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Samuel Johnson (1709-1784), The Rambler

18

Estadıstica Cuantica Fuera de Equilibrio

La estadıstica cuantica descrita mediante las herramientas teoricas de los capıtulosanteriores es muy limitada. Los sistemas fısicos en consideracion deben estar enequilibrio termodinamico, con una temperatura constante mantenida por un reci-piente termico. En este caso, la funcion de particion y la matriz densidad se puedencalcular mediante una continuacion analıtica de las amplitudes de evolucion tem-poral mecanico-cuanticas para el tiempo imaginario tb − ta = −ih/kBT . En estecapıtulo queremos ir mas alla de la fısica en equilibrio termodinamico y extenderel formalismo de la integral de trayectoria a fenomenos dependientes del tiempofuera de este equilibrio termodinamico. El proceso de tunelamiento, discutido enel Capıtulo 17, pertence a esta clase de fenomenos y su comprension total requieredel andamiaje teorico de ese capıtulo. En los primeros tratamientos, el estado fuerade equilibrio termodinamico se evito estudiando solo ciertos problemas en cuasi-equilibrio. El problema completo se resolvio aplicando el formalismo de equilibriotermodinamico al sistema cuantico con ayuda de una constante de acoplamientopositiva, lo cual garantiza un equilibrio perfecto, y extendiendo los resultados al sis-tema en cuasi-equilibrio mediante la continuacion analıtica a una pequena constantede acoplamiento negativa.

Antes de que podamos construir una formulacion de integral de trayectoria capazde analizar los verdaderos fenomenos fuera de equilibrio termodinamico, necesita-mos algo de trabajo previo sobre las herramientas tradicionales de los operadoresmecanico cuanticos.

18.1 Respuesta Lineal y Funciones de GreenDependientes del Tiempo para T =/ 0

Si las desviaciones del equilibrio termico del sistema cuantico son pequenas, unadescripcion simple de los fenomenos fuera de equilibrio se obtiene mediante la teorıa

de la respuesta linear . En la mecanica cuantica de operadores, la teorıa se introduceen la siguiente forma. Primero, se supone que el sitema tiene un operador Hamilto-niano independiente del tiempo H. El estado base se determina de la ecuacion deSchrodinger, la cual evoluciona como funcion del tiempo de acuerdo a la ecuacion

|ΨS(t)〉 = e−iHt|ΨS(0)〉 (18.1)

1332

18.1 Respuesta Lineal y Funciones de Green Dependientes del Tiempo para T 6= 0 1333

(en unidades naturales h = 1, kB = 1). El subındice S indica que usamos la imagende Schrodinger.

Luego, el sistema de perturba ligeramente agregando a H una interaccion externadependiente del tiempo,

H → H + Hext(t), (18.2)

donde se supone que Hext(t) se aplica a partir de un cierto tiempo t0, i.e., Hext(t) se

anula para t < t0. El estado base perturbado de Schrodinger tiene la dependenciatemporal

|ΨdistS (t)〉 = e−iHtUH(t)|ΨS(0)〉, (18.3)

donde UH(t) es el operador de traslacion temporal en la imagen de Heisenberg. Esoperador cumple con la siguiente ecuacion de movimiento

i˙UH(t) = Hext

H (t)UH(t), (18.4)

y donde1

HextH (t) ≡ eiHtHext(t)e−iHt. (18.5)

A menor orden en teorıa de perturbacion, el operador UH(t) estara dado por

UH(t) = 1− i∫ t

t0dt′ Hext

H (t′) + · · · . (18.6)

En lo que sigue, suponemos que el inicio de la perturbacion es en t0 = −∞.Consideramos un observable arbitrario de Schrodinger dependiente del tiempo O,cuya representacion de Heisenberg tiene la siguiente dependencia temporal

OH(t) = eiHtOe−iHt. (18.7)

El valor esperado dependiente del tiempo de este operador, para el estado perturbado|Ψdist

S (t)〉, estara dado por

〈ΨdistS (t)|O|Ψdist

S (t)〉 = 〈ΨS(0)|U †H(t)e

iHtOe−iHtUH(t)|ΨS(0)〉≈ 〈ΨS(0)|

(

1 + i∫ t

−∞dt′ Hext

H (t′) + . . .)

OH(t)

×(

1− i∫ t

−∞dt′ Hext

H (t′) + . . .)

|ΨS(0)〉 (18.8)

= 〈ΨH |OH(t)|ΨH〉 − i〈ΨH |∫ t

−∞dt′

[

OH(t), HextH (t′)

]

|ΨH〉+ . . . .

1Notese que luego del reemplazo H → H0, HextH → H int

I , la Ec. (18.4) coincide con la ecuacionpara el operador de evolucion temporal en la imagen de interaccion, la cual sera introducida enla Seccion 18.7. Sin embargo, contrario a lo que se vera en esa seccion la interaccion actual es unartefacto no permanente que sera igualado a cero al final y H es un Hamiltoniano total complicado,no uno libre y simple. Esta es la razon por la cual aquı no hablamos de la imagen de interaccion.

1334 18 Estadıstica Cuantica Fuera de Equilibrio

Hemos identificado el estado de Heisenberg independiente del tiempo con el estadodependiente del tiempo de Schrodinger a tiempo cero en la forma usual, i.e., |ΨH〉 ≡|ΨS(0)〉. Ası, el valor esperado de O se desvia del equilibrio por la cantidad

δ〈ΨS(t)|O|ΨS(t)〉 ≡ 〈ΨdistS (t)|O(t)|Ψdist

S (t)〉 − 〈ΨS(t)|O(t)|ΨS(t)〉= −i

∫ t

−∞dt′ 〈ΨH |

[

OH(t), HextH (t′)

]

|ΨH〉. (18.9)

Si el lado izquierdo se transforma a la imagen de Heisenberg, tendremos

δ〈ΨS(t)|O|ΨS(t)〉 = δ〈ΨH|OH(t)|ΨH〉 = 〈ΨH|δOH(t)|ΨH〉,

de tal manera que la Ec. (18.9) sera de la forma

〈ΨH |δOH(t)|ΨH〉 = −i∫ t

−∞dt′ 〈ΨH |

[

OH(t), HextH (t′)

]

|ΨH〉. (18.10)

Sera de gran ayuda utilizar la funcion retardada de Green de los operadores OH(t)y HH(t

′) en el estado |ΨH〉 [comparese con la Ec. (3.40)]:

GROH(t, t

′) ≡ Θ(t− t′)〈ΨH |[

OH(t), HH(t′)]

|ΨH〉. (18.11)

Luego, la desviacion del equilibrio termico estara dada por la integral

〈ΨH |δOH(t)|ΨH〉 = −i∫ ∞

−∞dt′GR

OH(t, t′). (18.12)

Supongamos ahora que el observable OH(t) puede presentar oscilaciones. En-tonces, en general una perturbacion externa acoplada a OH(t) podra excitar estasoscilaciones. El acoplamiento mas simple es uno lineal, donde la energıa de interac-cion sera

Hext(t) = −OH(t)δj(t), (18.13)

y donde j(t) representa una fuente externa. Sustituyendo la Ec. (18.13) en laEc. (18.12) obtenemos la formula de la respuesta lineal

〈ΨH |δOH(t)|ΨH〉 = i∫ ∞

−∞dt′GR

OO(t, t′)δj(t′), (18.14)

donde GROO es la funcion retardada de Green de los dos operadores O:

GROO(t, t

′) = Θ(t− t′)〈ΨH |[

OH(t), OH(t′)]

|ΨH〉. (18.15)

Para frecuencias donde la transformada de Fourier de GOO(t, t′) es singular, la mas

ligera perturbacion da origen a una respuesta grande. Este es el famoso fenomenoresonante, hallado en todo sistema oscilador. Si la frecuencia externa ω coincide

18.1 Respuesta Lineal y Funciones de Green Dependientes del Tiempo para T 6= 0 1335

con una frecuencia propia, la transformada de Fourier de la funcion de Green di-verge. Generalmente, las frecuencias propias de un sistema complejo de N cuerposse determinan calculando la Ec. (18.15) y hallando las singularidades para cada ω.

Es facil generalizar esta descripcion a un ensemble termico para una tempera-tura distinta de cero. La modificacion principal consiste en el reemplazo del valoresperado del estado base, por el promedio termino

〈O〉T ≡ Tr (e−H/T O)

Tr (e−H/T ).

Utilizando la energıa libre

F = −T log Tr (e−H/T ),

podemos reescribir este resultado como

〈O〉T = eF/TTr (e−H/T O). (18.16)

En un ensemble gran canonico, H debe reemplazarse por H−µN y F por su versiongran canonica FG (ver la Seccion 1.17). A temperatura finita, la formula (18.14) dela respuesta lineal sera

δ〈O(t)〉T = i∫ ∞

−∞dt′GR

OO(t, t′)δj(t′), (18.17)

donde GROO(t, t

′) es la la funcion retardada de Green para una temperatura distinta

de cero definida por [recordemos la Ec. (1.306)]

GROO(t, t

′) ≡ GROO(t− t′) ≡ Θ(t− t′) eF/TTr

e−H/T[

OH(t), OH(t′)]

. (18.18)

En un sistema fısico real, generalmente hay muchos observables, por ejemplo OiH(t)

para i = 1, 2, . . . , l, el cual presenta oscilaciones acopladas. Luego, la funcion retar-dada de Green es una matriz l × l

GRij(t, t

′) ≡ GRij(t− t′) ≡ Θ(t− t′) eF/TTr

e−H/T[

OiH(t), O

jH(t

′)]

. (18.19)

Luego de una transformada de Fourier y una diagonalizacion, las singularidades deesta matriz dan informacion fısica importante sobre las propiedades resonantes delsistema.

La funcion retardada de Green para T 6= 0, tiene un lugar intermedio entre lafuncion de Green de tiempo real, de la teorıa de campo para T = 0, y la funcion deGreen para tiempo imaginario utilizadas para la descripcion del equilibrio termicopara T 6= 0 (ver la Subseccion 3.8.2). La funcion de Green (18.19) depende tantodel tiempo real como de la temperatura, a traves del tiempo imaginario.


18.2 Representacion Espectral de las Funciones de Greenpara T =/ 0

Las funciones retardadas de Green estan asociadas con las funciones de Green detiempo imaginario, de la fısica de los fenomenos en equilibrio, mediante una conti-nuacion analıtica. Para dos operadores arbitrarios O1

H , O2H , la continuacion analıtica

se define mediante el promedio termico

G12(τ, 0) ≡ G12(τ) ≡ eF/TTr[

e−H/T Tτ O1H(τ)O

2H(0)

]

, (18.20)

donde OH(τ) es el operador de Heisenberg de tiempo imaginario

OH(τ) ≡ eHτ Oe−Hτ . (18.21)

Para ver la relacion entre G12(τ) y la funcion retardada de Green GR12(t), utilizamos

un conjunto completo de estados |n〉, introducimos los operadores O1, O2 y, paraτ ≥ 0, desarrollamos G12(τ) en terminos de la representacion espectral

G12(τ) = eF/T∑

n,n′

e−En/T e(En−En′ )τ 〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉. (18.22)

Dado que para la transformacion τ → τ+1/T G12(τ) es periodica, su representacionde Fourier contiene solo las frecuencias discretas de Matsubara ωm = 2πmT :

G12(ωm) =∫ 1/T

0dτ eiωmτG12(τ)

= eF/T∑

n,n′

e−En/T(

1− e(En−En′)/T)

〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉

× −1

iωm − En′ + En. (18.23)

La funcion retardada de Green cumple condiciones de frontera no periodicas (oantiperiodicas). Por lo tanto, todas las frecuencias ω de las componentes de Fourierde esta funcion son reales:

GR12(ω) =

∫ ∞

−∞dt eiωt Θ(t)eF/TTr

e−H/T[

O1H(t), O

2H(0)

]

∓

= eF/T∫ ∞

0dt eiωt

∑

n,n′

[

e−En/T ei(En−En′)t〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉

∓e−En/T e−i(En−En′)t〈n|O2|n′〉〈n′|O1|n〉]

. (18.24)

Para hallar la integral en la segunda suma intercambiamos n y n′, ademas paraasegurar la convergencia hemos agregado una cantidad infinitesimal imaginaria ypositiva iη a ω [recordemos la discusion luego de la Ec. (3.84)]. El resultado es

GR12(ω) = eF/T

∑

n,n′

e−En/T[

1− e(En−En′ )/T]

〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉

× i

ω − En′ + En + iη. (18.25)

18.2 Representacion Integral de las Funciones de Green para T 6= 0 1337

Comparando este resultado con el hallado en la Ec. (18.23), vemos que las funcionestermicas de Green se obtienen de las funciones retardadas mediante el reemplazo [1]

i

ω − En′ + En + iη→ −1

iωm − En′ + En. (18.26)

Un procedimiento similar es valido para operadores fermionicos Oi (los cualesno son observables). Con respecto al caso del boson, tendremos solo dos cambios.El primero, en la representacion de Fourier para tiempo imaginario de las funcionesde Green, las frecuencias bosonicas de Matsubara ωm de la Ec. (18.23) ahora seranfermionicas. El segundo, en la definicion de la funciones retardadas de Green (18.19),el conmutador se reemplaza por un anticonmutador, i.e., los operadores fermionicosOi

H de la funcion retardada de Green se definen por

GRij(t, t

′) ≡ GRij(t− t′) ≡ Θ(t− t′)eF/TTr

e−H/T[

OiH(t), O

jH(t

′)]

+

. (18.27)

Estos cambios dan origen a un signo opuesto en el termino e(En−En′ )/T en ambasformulas (18.23) y (18.25). Ademas de esto, la relacion entre las dos funciones deGreen estara dada una vez mas por la regla de la Ec. (18.26).

A continuacion introducimos la funcion espectral

ρ12(ω′) =

(

1∓ e−ω′/T)

eF/T

×∑n,n′ e−En/T2πδ(ω − En′ + En)〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉,(18.28)

donde el signo superior se refiere a bosones y el inferior a fermiones, respectivamente.Bajo un intercambio de los operadores la funcion espectral se comporta como

ρ12(ω′) = ∓ρ12(−ω′). (18.29)

Usando esta funcion espectral podemos reescribir la transformada de Fourier de lafuncion retardada de Green y las funciones termicas de Green, como las siguientesintegrales espectrales:

GR12(ω) =

∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)i

ω − ω′ + iη, (18.30)

G12(ωm) =∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)−1

iωm − ω′. (18.31)

Estas ecuaciones muestran como se obtienen las funciones de Green de tiempo imagi-nario a partir de las funciones retardadas de Green, mediante una continuacionanalıtica al plano complejo discreto de las frecuencias de Matsubara, ω → iωm. Elproblema inverso, reconstruir las funciones retardadas de Green, en todo el semi-plano superior de ω, a partir de las funciones de Green de tiempo imaginario definidassolo para las frecuencias de Matsubara ωm no tiene una solucion general a menosque se tenga mas informacion [2]. Por ejemplo, las reglas de suma de los campos


canonicos, que seran deducidas mas tarde en la Ec. (18.66), junto con la condicionasintotica (18.67) lo cual hace que la continuacion analıtica sea unica [3].

Regresando a las variables temporales t y τ , las funciones de Green son

GR12(t) = Θ(t)

∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)e−iω′t, (18.32)

G12(τ) =∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)T∑

ωm

e−iωmτ −1

iωm − ω′. (18.33)

La suma sobre las frecuencias pares o impares de Matsubara, para el lado derechode G12(τ), fueron evaluadas en la Seccion 3.3 para bosones y fermiones, y obtuvimos

T∑

n

e−iωmτ −1

iωm − ω= Gp

ω,e(τ) = e−ω(τ−1/2T ) 1

2 sin(ω/2T )

= e−ωτ (1 + nω) (18.34)

y

T∑

n

e−iωmτ −1

iωm − ω= Ga

ω,e(τ) = e−ω(τ−1/2T ) 1

2 cos(ω/2T )

= e−ωτ (1− nω), (18.35)

donde las funciones de distribucion de Bose y Fermi son [ver las Ecs. (3.93), (7.542)y (7.544)]

nω =1

eω/T ∓ 1, (18.36)

respectivamente.

18.3 Otras Funciones de Green Importantes

Al estudiar la dinamica de los sistemas a temperatura finita, hay varias funciones deGreen para las cuales una util representacion espectral sera deducida a continuacion.

En analogıa con las funciones retardadas de Green para los operadores bosonicosy fermionicos introduciremos su contraparte, las llamadas funciones avanzadas de

Green (comparemos con la pagina 40)

GA12(t, t

′) ≡ GA12(t− t′) = −Θ(t′ − t)eF/TTr

e−H/T[

O1H(t), O

2H(t

′)]

∓

.

(18.37)

La transformada de Fourier de esta funcion tiene la siguiente representacion espectral

GA12(ω) =

∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)i

ω − ω′ − iη, (18.38)

18.3 Otras Funciones de Green Importantes 1339

la cual difiere del caso retardado (18.30) por el signo del termino iη. Este hecho per-mite que la transformada de Fourier se anule para t > 0, de tal forma que la funcionde Green dependiente del tiempo tiene la representacion espectral [comparese conla Ec. (18.32)]

GA12(t) = −Θ(−t)

∫ ∞

−∞

dω

2πρ12(ω)e

−iωt. (18.39)

Restando las funciones de Green retardada y avanzada, obtenemos el valor es-perado termico del conmutador o del anticonmutador:

C12(t, t′) = eF/TTr

e−H/T[

O1H(t), O

2H(t

′)]

∓

= GR12(t, t

′)−GA12(t, t

′). (18.40)

Notemos las siguientes identidades:

GR12(t, t

′) = Θ(t− t′)C12(t, t′), (18.41)

GA12(t, t

′) = −Θ(t′ − t)C12(t, t′). (18.42)

Cuando sustituimos las representaciones espectrales (18.30) y (18.39) de las fun-ciones GR

12(t) y GA12(t) en la Ec. (18.40), y usando la identidad (1.328)

i

ω − ω′ + iη− i

ω − ω′ − iη= 2

η

(ω − ω′)2 + η2= 2πδ(ω − ω′), (18.43)

obtenemos la representacion espectral integral de la funcion conmutador:2

C12(t) =∫ ∞

−∞

dω

2πρ12(ω)e

−iωt. (18.44)

Ası, conociendo la funcion conmutador C12(t) determinamos directamente la funcionespectral ρ12(ω) a partir de conocer sus componentes de Fourier

C12(ω) = ρ12(ω). (18.45)

En el estudio de la dinamica de un sistema en un ambiente termico, el orde-namiento temporal de las funciones de Green tiene un papel importante. Estasfunciones se definen por

G12(t, t′) ≡ G12(t− t′) = eF/TTr

[

e−H/T T O1H(t)O

2H(t

′)]

. (18.46)

Sustituyendo los estados intermedios, como en la Ec. (18.23), encontramos la repre-sentacion espectral

G12(ω) =∫ ∞

−∞dt eiωt Θ(t) eF/TTr

e−H/T O1H(t)O

2H(0)

+∫ ∞

−∞dt eiωt Θ(−t)eF/TTr

e−H/T O2H(t)O

1H(0)

= eF/T∫ ∞

0dt eiωt

∑

n,n′

e−En/T ei(En−En′)t 〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉

± eF/T∫ 0

−∞dt eiωt

∑

n,n′

e−En/T e−i(En−En′)t〈n|O2|n′〉〈n′|O1|n〉 . (18.47)

2Debido a la relacion (18.41), encontramos la misma representacion eliminando el factor Θ(t)en la Ec. (18.32).


Intercambiando una vez mas n y n′, podemos reescribir esta expresion en terminosde la funcion espectral (18.28) en la forma

G12(ω)=∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)

[

1

1∓ e−ω′/T

i

ω − ω′ + iη+

1

1∓ eω′/T

i

ω − ω′ − iη

]

. (18.48)

Escribamos tambien la descomposicion espectral de otro operador complemen-tario al operador C12(t), visto en la Ec. (18.40), en el cual el campo de bosones yfermiones aparece con el conmutador ”erroneo”:

A12(t− t′) ≡ eF/TTr

e−H/T[

O1H(t), O

2H(t

′)]

±

. (18.49)

Esta funcion caracteriza la magnitud de las fluctuaciones de los operadores O1H and

O2H . Sustituyendo los estados intermedios, hallamos

A12(ω) =∫ ∞

−∞dt eiωteF/TTr

e−H/T[

O1H(t), O

2H(0)

]

±

= eF/T∫ ∞

−∞dt eiωt

∑

n,n′

[

e−En/T ei(En−En′)t〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉

±e−En/T e−i(En−En′)t〈n|O2|n′〉〈n′|O1|n〉]

. (18.50)

En la segunda suma intercambiamos n y n′ y hallamos la integral, la cual es sobretodo el intervalo temporal y por tanto dara como resultado una funcion δ:

A12(ω) = eF/T∑

n,n′

e−En/T[

1± e(En−En′ )/T]

〈n|O1|n′〉〈n′|O2|n〉

× 2πδ(ω −En′ + En). (18.51)

En terminos de la funcion espectral (18.28) hallamos una expresion sencilla

A12(ω) =∫ ∞

−∞

dω′

2πtanh∓1 ω

′

2Tρ12(ω

′) 2πδ(ω − ω′) = tanh∓1 ω

2Tρ12(ω). (18.52)

De tal manera que el valor esperado (18.49), del “mal” conmutador, tiene la depen-dencia temporal

A12(t, t′) ≡ A12(t− t′) =

∫ ∞

−∞

dω

2πρ12(ω) tanh

∓1 ω

2Te−iω(t−t′). (18.53)

Hay otra forma de escribir la representacion espectral de las distintas funcionesde Green. Para las funciones de Green retardadas y avanzadas GR

12, GA12, descom-

ponemos la representaciones integrales (18.30) y (18.38) de acuerdo a la regla (1.329):

i

ω − ω′ ± iη= i

[ Pω − ω′

∓ iπδ(ω − ω′)]

, (18.54)

18.4 Operadores Hermıticos Autoadjuntos 1341

donde P representa el valor principal de la integral sobre la singularidad, con lo cualtendremos

GR,A12 (ω) = i

∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)[ Pω − ω′

∓ iπδ(ω − ω′)]

. (18.55)

Sustituyendo la Ec. (18.54) en la Ec. (18.48) encontramos la representacion alterna-tiva de la funcion de Green ordenada temporalmente

G12(ω) = i∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)[ Pω − ω′

− iπ tanh∓1 ω

2Tδ(ω − ω′)

]

. (18.56)

Al termino proporcional a δ(ω− ω′), en la representacion espectral, comunmente sele conoce como la parte absorbente o la parte disipativa de la funcion de Green. Elprimer termino proporcional al valor principal es llamado la parte dispersiva o la

parte de de la fluctuacion.

La reelevancia de la funcion espectral ρ12(ω′), en la determinacion tanto de la

parte fluctuante ası como la parte disipativa de la funcion de Green ordenada tem-poralmente, es el contener el importante teorema de fluctuacion-disipacion. Enforma detallada este teorema se puede redefinir como sigue: La funcion espectralcomun ρ12(ω

′) de la funcion conmutador, Ec. (18.44), la funcion retardada de Green,Ec. (18.30), y la parte de fluctuacion de la funcion de Green ordenada temporal-mente, Ec. (18.56), determina, luego de ser multiplicada por el factor tanh∓1(ω′/2T ),la parte disipativa de la funcion de Green ordenada temporalmente, Ec. (18.56).

Las tres funciones de Green −iG12(ω), −iGR12(ω) y −iGA

12(ω) tienen la mismaparte real. Una comparacion de las Ecs. (18.30) y (18.31) permite ver que medianteuna continuacion analıtica podemos hallar la funcion de Green de tiempo imaginarioa partir de las funciones de Green retardada y avanzada. La descomposicion espec-tral (18.56) muestra que para la funcion de Green ordenada temporalmente estaafirmacion no es correcta, esto se debe al factor extra tanh∓1(ω/2T ), que apareceen el termino absorbente.

Sera de ayuda hallar otra representacion de la funcion de Green ordenada tem-poralmente. Esta representacion se obtiene luego de reescribir la expresion tan∓1

en terminos de las funciones de distribucion de Bose y Fermi (18.36) en la formatan∓1 = 1± 2nω. De donde podemos hacer la descomposicion

G12(ω) =∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′)

[

i

ω − ω′ + iη± 2πnω δ(ω − ω′)

]

. (18.57)

18.4 Operadores Hermıticos Autoadjuntos

Si los dos operadores O1H(t), O

2H(t) son Hermıticos y el autoadjunto el uno del otro,

O2H(t) = [O1

H(t)]†, (18.58)


la funcion espectral (18.28) puede reescribirse como

ρ12(ω′) = (1∓ e−ω′/T )eF/T

×∑

n,n′

e−En/T2πδ(ω′ − En′ + En)|〈n|O1H(t)|n′〉‖2. (18.59)

Lo cual muestra que

ρ12(ω′)ω′ ≥ 0 para bosones,

ρ12(ω′) ≥ 0 para fermiones.

(18.60)

Esta propiedad nos permitira deducir varias desigualdades utiles entre diversas fun-ciones de Green diagonales en el Apendice 18A.

De la condicion (18.58) tenemos que el valor esperado de anticonmutadores yconmutadores cumple con la relaciones de inversion temporal

GA12(t, t

′) = ∓GR21(t

′, t)∗, (18.61)

A12(t, t′) = ±A21(t

′, t)∗, (18.62)

C12(t, t′) = ∓C21(t

′, t)∗. (18.63)

G12(t, t′) = ±G21(t

′, t)∗. (18.64)

Ejemplo de esto son las funciones de los operadores de creacion y aniquilacion,las cuales seran estudiadas en detalle un poco mas tarde. En forma general, estaspropiedades son ciertas para todo campo de partıculas no relativistas O1

H(t) = ψp(t),

O2H(t) = ψ†

p(t), las cuales tienen un momentum especıfico p.Ademas, los operadores cumplen con las reglas de conmutacion para tiempos

iguales de cada momentum

[

ψp(t), ψ†p(t)

]

= 1 (18.65)

(ver las Secciones 7.6 y 7.9). Usando las Ecs. (18.40) y (18.44) deducimos de esteresultado la regla de suma de la funcion espectral :

∫ ∞

−∞

dω′

2πρ12(ω

′) = 1. (18.66)

Para un campo canonico libre donde ρ12(ω′) = 2πδ(ω′ − ω), esta regla de suma se

cumple trivialmente. En general, la regla de suma asegura que el comportamientopara valores grandes de ω de las funciones de Green, de tiempo imaginario retardaday avanzada, de los operadores de campo canonicamente conjugados es el mismo quepara partıculas libres, i.e.,

G12(ωm) −−−→ωm→∞

i

ωm

, GA,R12 (ω) −−−→

ω→∞

1

ω. (18.67)

18.5 Funciones de Green del Oscilador Armonico para T 6= 0 1343

18.5 Funciones de Green del Oscilador Armonico para T =/ 0

Como un ejemplo consideremos un oscilador armonico de frecuencia Ω o, en formaequivalente, una partıcula libre en el formalismo de la segunda cuantizacion delcampo (ver el Capıtulo 7). Empezaremos con el segundo caso.

18.5.1 Operadores de Creacion y Aniquilacion

Los operadores O1H(t) y O2

H(t) son los operadores de creacion y aniquilacion en laimagen de Heisenberg

a†H(t) = a†eiΩt, aH(t) = ae−iΩt. (18.68)

Los estados propios del operador Hamiltoniano

H =1

2

(

p2 + Ω2x2)

=ω

2

(

a†a+ aa†)

= ω(

a†a± 1

2

)

(18.69)

son

|n〉 = 1√n!(a†)n|0〉, (18.70)

donde valores propios son En = (n ± 1/2)Ω, para n = 0, 1, 2, 3, . . . o n = 0, 1,dependiendo de que a† y a conmuten o anticonmuten, respectivamente [comparesecon la Ec. (7.564)]. En la interpretacion de la segunda cuantizacion del campo lasenergıas son En = nΩ y las funciones finales de Green son las mismas. El calculode la funcion espectral ρ12(ω

′) es trivial. El operador de Schrodinger O2 = a† puedeconectar el estado |n〉 solo con 〈n + 1|, cuyo elemento de matriz es

√n + 1. El

operador O1 = a hace lo contrario. Ası tenemos

ρ12(ω′) = 2πδ(ω′ − Ω)(1∓ e−Ω/T )eF/T

∞,0∑

n=0

e−(n±1/2)Ω/T (n+ 1). (18.71)

Ahora hacemos uso de las funciones de particion del oscilador cuyas trayectoriascumplen condiciones de frontera periodicas y antiperiodicas:

ZΩ ≡ e−F/T =∞,1∑

n=0

e−(n±1/2)Ω/T =

[2 sinh(Ω/2T )]−1

2 cosh(Ω/2T )para

bosonesfermiones

.(18.72)

Estas funciones nos permiten calcular las sumas de la Ec. (18.71) en la siguienteforma

∞∑

n=0

e−(n+1/2)Ω/T (n + 1) =

(

−T ∂

∂Ω+

1

2

)

e−F/T =(

1∓ e−Ω/T)−1

e−F/T ,

0∑

n=0

e−(n−1/2)Ω/T (n + 1) = eΩ/2T =(

1 + e−Ω/T)−1

e−F/T . (18.73)


Por lo tanto, la funcion espectral ρ12(ω′) del oscilador cuantico, cuya frecuencia es

Ω, estara dada por

ρ12(ω′) = 2πδ(ω′ − Ω). (18.74)

Con esto, las funciones de Green, retardadas y de tiempo imaginario, seran

GRΩ(t, t

′) = Θ(t− t′)e−Ω(t−t′), (18.75)

GΩ(τ, τ′) = −T

∞∑

m=−∞

e−iωm(τ−τ ′) 1

iΩm − Ω(18.76)

= e−Ω(τ−τ ′)

1± nΩ

±nΩ

para τ≥<

τ ′, (18.77)

donde nΩ es el numero promedio de partıculas dado por la Ec. (18.36). Por ejemplo,por las Ecs. (18.44) y (18.74), la funcion de conmutacion sera

C12(t, t′) = e−iΩ(t−t′), (18.78)

y de las Ecs. (18.53) y (18.74), la funcion de correlacion del “mal conmutador” sera:

AΩ(t, t′) = tanh∓1 Ω

2Te−iΩ(t−t′). (18.79)

Es claro que estas expresiones para el oscilador armonico podrıan haberseobtenido desde el inicio definiendo directamente las ecuaciones del operador. Porejemplo, la funcion conmutador

CΩ(t, t′) = eF/TTr

e−H/T [aH(t), a†H(t

′)]∓

(18.80)

se transforma en la Ec. (18.78) usando la regla de conmutacion para tiempos dife-rentes

[aH(t), a†H(t

′)] = e−iΩ(t−t′), (18.81)

la cual se sigue de la Ec. (18.68). Dado que el lado derecho es un numero c, elpromedio termodinamico es trivial:

eF/TTr (e−H/T ) = 1. (18.82)

Luego de esto, las relaciones (18.41) y (18.42) determinan las funciones retar-dadas y avanzadas de Green

GRΩ(t− t′) = Θ(t− t′)e−iΩ(t−t′), GA

Ω(t− t′) = −Θ(t′ − t)e−iΩ(t−t′). (18.83)

Para la funcion de Green de tiempo imaginario

GΩ(τ, τ′) ≡ eF/TTr

[

e−H/T Tτ aH(τ)a†H(τ

′)]

, (18.84)


la expresion (18.77) se obtiene luego de utilizar las relaciones [ver la Ec. (18.85)]

a†H(τ) ≡ eHτ a†e−Hτ = a†eΩτ ,

aH(τ) ≡ eHτ ae−Hτ = ae−Ωτ , (18.85)

y la formula de suma (18.73).

La funcion del “mal” conmutador (18.79) se puede deducir de inmediato de ladefinicion

A12(t− t′) ≡ eF/TTr

e−H/T[

aH(t), a†H(t

′)]

±

(18.86)

y de la Ec. (18.68), luego de sustituir los estados intermedios.

Para el comportamiento temporal de la funcion de Green ordenada temporal-mente, usando la Ec. (18.48), tendremos

GΩ(ω) =(

1∓ e−Ω/T)−1

GRΩ(ω) +

(

1∓ eΩ/T)−1

GAΩ(ω), (18.87)

y la transformada de Fourier sera

GΩ(t, t′) =

(

1∓ e−Ω/T)−1

Θ(t− t′)e−iΩ(t−t′) −(

1∓ eΩ/T)−1

Θ(t′ − t)e−iΩ(t−t′)

=[

Θ(t− t′)± (eΩ/T ∓ 1)−1]

e−iΩ(t−t′) = [Θ(t− t′)± nΩ] e−iΩ(t−t′).

(18.88)

El mismo resultado puede obtenerse facilmente usando la definicion dada en laEc. (18.68) e insertando los estados intermedios:

GΩ(t, t′) ≡ GΩ(t− t′) = eF/TTr

[

e−H/T T aH(t)a†H(t

′)]

= Θ(t− t′)〈a a†〉e−iΩ(t−t′) ±Θ(t′ − t)〈a† a〉e−iΩ(t−t′)

= Θ(t− t′)(1± nΩ)e−iΩ(t−t′) ±Θ(t′ − t)nΩe

−iΩ(t−t′), (18.89)

esta relacion es la misma hallada en la Ec. (18.88). Para la funcion de correlacion,donde intercambiamos a y a†,

GΩ(t, t′) ≡ GΩ(t− t′) = eF/TTr

[

e−H/T T a†H(t)aH(t′)]

, (18.90)

encontraremos

GΩ(t, t′) = Θ(t− t′)〈a† a〉e−iΩ(t−t′) ±Θ(t′ − t)〈a a†〉e−iΩ(t−t′)

= Θ(t− t′)nΩe−iΩ(t−t′) ±Θ(t′ − t)(1± nΩ)e

−iΩ(t−t′), (18.91)

en acuerdo con la Ec. (18.64).


18.5.2 Operadores de Campo Reales

De las expresiones anteriores es facil construir las funciones de Green correspon-dientes a los operadores de posicion del oscilador armonico x(t). Sera de muchautilidad mantener la discusion lo mas general posible, utilizando osciladores que nonecesariamente son masas puntuales en el espacio, sino que pueden ser variables decampo. Ası, en lugar de x(t), usaremos el sımbolo ϕ(t), y lo llamaremos la variabledel campo. Tal como en la Ec. (7.295) descomponemos el campo como

x(t) =

√

h

2MΩ

[

ae−iΩt + a†eiΩt]

. (18.92)

En esta seccion usaremos unidades fısicas. En forma directa, la funcion conmutador(18.40) sera

C(t, t′) ≡ 〈[ϕ(t), ϕ(t′)]∓〉ρ = − h

2MΩ2i sinΩ(t− t′), (18.93)

implicando la funcion espectral [recordemos la Ec. (18.44)]

ρ(ω′) =1

2MΩ2π [δ(ω′ − Ω)− δ(Ω′ + Ω)]. (18.94)

El operador real ϕ(t) se comporta como la diferencia de una partıcula de frecuenciaΩ y −Ω, multiplicado por un factor general 1/2MΩ. Ası pues, es facil hallar lasfunciones de Green avanzadas y retardadas a partir de los operadores ϕ(t) y ϕ(t′):

GR(t, t′) =h

2MΩ

[

GRΩ(t, t

′)−GR−Ω(t, t

′)]

= − h

2MΩΘ(t− t′) 2i sinΩ(t− t′), (18.95)

GA(t, t′) =h

2MΩ

[

GAΩ(t, t

′)−GA−Ω(t, t

′)]

=h

2MΩΘ(t− t′) 2i sinΩ(t′ − t). (18.96)

De la representacion espectral (18.53) obtenemos la siguiente expresion para el “malconmutador”

A(t, t′) = 〈[ϕ(t), ϕ(t′)]∓〉 =h

2MΩcoth±1 Ω

2kBT2 cosΩ(t− t′). (18.97)

Una vez mas, esta relacion junto con la Ec. (18.93) es una manifestacion del teoremade fluctuacion-disipacion (18.53).

El promedio de estas dos funciones dara la funcion de correlacion dependiente deltiempo a una temperatura finita, la cual contiene solo el producto de los operadores

GP (t, t′) ≡ 〈ϕ(t)ϕ(t′)〉 = h

2MΩ[(1± 2nΩ) cosΩ(t− t′)− i sinΩ(t− t′)] , (18.98)

donde nΩ es el numero promedio de partıculas dado por la Ec. (18.36). En el lımitede temperatura cero donde nΩ ≡ 0, esta expresion se reduce a la forma

GP (t, t′) = 〈ϕ(t)ϕ(t′)〉 = h

2MΩe−iΩ(t−t′). (18.99)


La funcion de Green ordenada temporalmente se obtiene de esta expresion mediantela relacion

G(t, t′) = Θ(t− t′)GP (t, t′)±Θ(t′ − t)GP (t′, t) =1

2[A(t, t′) + ǫ(t− t′)C(t, t′)] ,

(18.100)donde ǫ(t − t′) es la funcion escalon dada en la Ec. (1.316). De manera explıcita,la funcion de Green ordenada temporalmente es

G(t, t′) ≡ 〈T ϕ(t)ϕ(t′)〉 = h

2MΩ[(1± 2nΩ) cosΩ|t− t′| − i sinΩ|t− t′|] , (18.101)

la cual para T → 0 sera

G(t, t′) = 〈T ϕ(t)ϕ(t′)〉 = h

2MΩe−iΩ|t−t′|. (18.102)

Es decir, tenemos la siguiente regla mnemomica, introducimos una temperaturafinita en la funcion de Green de temperatura cero multiplicando simplemente laparte real de la funcion exponencial por el factor 1 ± 2nΩ. Esta es otra forma dedefinir el teorema de fluctuacion-disipacion.

En el caso bosonico, hay otra forma de escribir la funcion de Green ordenadatemporalmente (18.101):

G(t, t′) ≡ 〈T ϕ(t)ϕ(t′)〉 = h

2MΩ

cosh[

Ω

2(hβ − i|t− t′|)

]

sinhhΩβ

2

. (18.103)

Para t−t′ > 0, esta expresion coincide con la funcion periodica de Green Gpe (τ, τ

′) =Gp

e (τ−τ ′) para tiempos-imaginarios τ > τ ′ [ver la Ec. (3.251)], donde τ y τ ′ se han decontinuar analıticamente hacia it y it′, respectivamente. Separando la Ec. (18.101)en su parte real e imaginaria vemos, por comparacion con la Ec. (18.100), que lasfunciones anticonmutador y conmutador son el doble de la parte real e imaginariade la funcion de Green ordenada temporalmente:

A(t, t′) = 2ReG(t, t′), C(t, t′) = 2i ImG(t, t′). (18.104)

En el caso fermionico, las funciones hiperbolicas cosh y sinh en el numerador ydenominador se intercambian, y el resultado coincide con la continuacion analıticade la funcion antiperiodica de Green dada en la Ec. (3.266).

Las propiedades de inversion temporal (18.61)–(18.64) de las funciones de Greenpara los campos reales ϕ(t), seran:

GA(t, t′) = ∓GR(t′, t), (18.105)

A(t, t′) = ±A(t′, t), (18.106)

C(t, t′) = ∓C(t′, t), (18.107)

G(t, t′) = ±G(t′, t). (18.108)


18.6 Funciones de Green Fuera de Equilibrio

Hasta este momento hemos supuesto que el sitema esta en contacto continuo conun bano termico, el cual proporciona una temperatura constante a todo el volu-men. Suponemos tambien que la perturbacion de la Ec. (18.3) es muy pequena,de tal forma que solo una mınima parte de las partıculas estaran excitadas. Si laperturbacion aumenta, se pueden formar nubes localizadas de partıculas excitadas.Tal sistema no esta en equilibrio termico y su repuesta es, necesariamente, no li-neal. En este caso, debemos estudiar la evolucion temporal mecanico-cuantica delsistema. Para describir teoricamente este proceso, debemos suponer un equilibrioinicial caracterizado por algun operador densidad [comparar con la Ec. (2.367)]

ρ =∑

n

ρn|n〉〈n|, (18.109)

con los valores propios dados por

ρn = e−En/T . (18.110)

La perturbacion se activa al tiempo t0. Si el estado inicial esta fuera de equilibrio ypuede ser caracterizado por un operador densidad del tipo dado por la Ec. (18.109)pero tiene una probabilidad diferente de la Ec. (18.110), con algunas adaptaciones,el formalismo a ser visto a continuacion sigue siendo valido. Es claro que en el lımitede desviaciones muy pequenas, respecto al estado de equilibro, el formalismo a serdescrito se reduce a la teorıa de respuesta lineal vista anteriormente.

Primero desarrollaremos una teorıa perturbativa de los operadores de evoluciontemporal en equilibrio. Con esto contruimos una integral de trayectoria para ladescripcion del comportamiento dinamico de una sola partıcula en contacto con unbano termico. En principio, esta descripcion puede aplicarse a ensembles de muchaspartıculas considerando una integral de trayectoria similar para las fluctuacionesdel campo. Luego de la discusion del Capıtulo 7, es directo el uso de la segundacuantizacion y los detalles no requieren de mayor presentacion.

La teorıa de perturbacion para la mecanica estadıstico-cuatica fuera de equilibrioa desarrollarse a continuacion se le conoce como el formalismo de la funcion de

Green de trayectoria temporal cerrada (CTPGF). Este formalismo fue desarrolladopor Schwinger [4] y Keldysh [5], y ha sido aplicado exitosamente a muchos problemasde la fısica estadıstica fuera de equilibrio, en particular a la superconductividad yla fısica de plasmas.

El problema fundamental de la mecanica estadıstica fuera de equilibrio es hallarla evolucion temporal de los promedios termicos del producto de operadores deHeisenberg ϕH(t). A fin de aplicar el formalismo a sistemas interesantes es utilmantener la formulacion general y trabajar con campos relativistas de operadoresϕH(x, t). Al igual que en la Seccion 7.6, un argumento espacial x extra da origen a unoperador dependiente del tiempo ϕ(t) en cada punto x del espacio. Para prepararnospara el interesante estudio de los campos electromagneticos, consideremos la accion

18.6 Funciones de Green Fuera de Equilibrio 1349

clasica invariante relativisticamente mas simple que describe un campo observableen D dimensiones de la forma

A0=∫

dtdDxL0(x, t)≡1

2

∫

dtdDx

[ϕ(x, t)]2 − [∇ϕ(x, t)]2 −m2ϕ2(x, t)

. (18.111)

Como en la Seccion 7.6, trabajamos con un conjunto contable de infinitos puntos x,suponiendo que el espacio es una red muy fina con espaciamiento ǫ, donde al finaltomaremos el lımite ǫ → 0. La ecuacion asociada de Euler-Lagrange que extremizala accion es la ecuacion de Klein-Gordon

ϕ(x, t) + (−∂2x +m2)ϕ(x, t) = 0. (18.112)

La solucion del problema son ondas planas

fp(x, t) =1

√

2ωpVe−iωpt+ipx, fp(x, t) =

1√

ωpVeiωpt+ipx (18.113)

con energıa tanto positiva como negativa. Al igual que en la Seccion 7.6, suponemosque el sistema esta confinado en un volumen cubico V finito. Con esta hipotesis losmomenta p son discretos. Las soluciones (18.113) se comportan como la solucionde un conjunto infinito de osciladores armonicos, uno asociado con cada vector demomentum p, donde las frecuencias dependen de p

ωp ≡√

p2 +m2. (18.114)

La solucion general de la Ec. (18.112) puede representarse como la serie

ϕ(x, t) =∑

p

1

2ωpV

(

ape−iωp+ipx + a∗pe

iωpt+ipx)

. (18.115)

Los momenta canonicos de las variables de campo ϕ(x, t) son las velocidades decampo

π(x, t) ≡ px(t) ≡ ϕ(x, t). (18.116)

Los campos estan cuantizados mediante las reglas de conmutacion canonicas

[π(x, t), ϕ(x, t)] = −iδxx′ . (18.117)

Ahora, el campo cuantico se puede representar como una serie como la hallada enla Ec. (18.115), pero en terminos de los operadores ap y los operadores Hermıticosadjuntos a†p. Estos operadores cumplen con las reglas de conmutacion canonicasnormales de los operadores de creacion y aniquilacion dadas en la Ec. (7.294):

[ap(t), a†p′(t)] = δpp′ , [a†p(t), a

†p′(t)] = 0, [ap(t), ap′(t)] = 0. (18.118)


Las cantidades mas simples y fuera de equilibrio, a ser estudiadas, son los prome-dios termicos de uno o dos de estos operadores de campo. En forma general, po-dremos estudiar los promedios de uno o dos campos con respecto a un operadordensidad inicial arbitrario ρ, los llamados promedios ρ:

〈ϕH(x)〉ρ = Tr [(ρ ϕH(x)] ,

〈ϕH(x)ϕH(y)〉ρ = Tr [ρ ϕH(x)ϕH(y)] .(18.119)

Por simplicidad, usaremos una notacion cuatro vetorial, lo mismo que coordenadasespacio temporales x ≡ (x, t), con lo cual escribiremos ϕH(x, t) en la forma ϕH(x).

En general, los campos ϕ(x, t) interactuaran entre sı y con otros campos, agre-gando con ello una interaccion Aint a la accion dada en la Ec. (18.111). El com-portamiento de un sistema de campos en interaccion puede ser estudiado en teorıade perturbacion. El estudio se hace mediante las tecnicas mostradas en la Seccion1.7. Primero identificamos la parte independiente del tiempo del Hamiltoniano, enla ecuacion de Schrodinger, que tiene solucion exacta. Esta es la parte libre delHamiltoniano H0. Para el campo ϕ(x, t) en estudio esto se obtiene de la accion(18.111) mediante una transformacion usual de Legendre (1.13). En la notacion deoperadores tendremos

H0 =∫

dDx H0(x, t) ≡1

2

∫

dDx

[ ˙ϕ(x, t)]2 + [∇ϕ(x, t)]2 +m2ϕ2(x, t)

. (18.120)

La interaccion Aint dara origen al Hamiltoniano de interaccion H int(t). Ahora in-troducimos los operadores de campo en la imagen de interaccion de Dirac ϕ(x).Estos operadores estan relacionados con los operadores en la imagen de Heisenbergmediante el Hamiltoniano libre H0, por la expresion

ϕ(x) ≡ eiH0(t−t0)ϕH(x, t0)e−iH0(t−t0). (18.121)

Los operadores en las dos imagenes son iguales el uno con el otro para el tiempot0 donde se conoce el operador densidad ρ. Introducimos tambien la imagen deinteraccion para el Hamiltoniano de interaccion3

H intI (t) ≡ eiHtH int(t)e−iHt. (18.122)

Este operador se usa para llevar el operador de evolucion temporal a la imagen deinteraccion

U(t, t0) ≡ T exp[

i∫ t

t0dt′ H int

I (t′)]

. (18.123)

Esto nos permite expresar la dependencia temporal de los operadores de campo ϕ(x)en la forma:

ϕH(x) = U(t0, t)ϕ(x)U(t, t0). (18.124)

3Por consistencia, el operador de campo ϕ(x) debe de llevar el mismo subındice I. Sin embargo,se omite por brevedad de la notacion.


Los promedios ρ del campo de Heisenberg en la representacion de interaccion seran

〈ϕH(x)〉ρ = Tr[

ρ U(t0, t)ϕ(x)U(t, t0)]

, (18.125)

〈ϕH(x)ϕH(x′)〉ρ =

Tr[

ρ U(t0, t)ϕ(x)U(t, t′)ϕ(x′)U(t′, t0)

]

, t > t′,

Tr[

ρ U(t0, t′)ϕ(x′)U(t′, t)ϕ(x)U(t, t0)

]

, t′ > t.(18.126)

Ahora, supongamos que la interaccion ha estado actuando por mucho tiempo, i.e.,sea t0 → −∞. En este lımite, la Ec. (18.125) se puede reescribir en terminos deloperador de dispersion S ≡ U(∞,−∞) del sistema.4 Usando el operador de ordentemporal T dado en la Ec. (1.241), podemos escribir

〈ϕH(x)〉ρ = Tr[

ρ S†T Sϕ(x)]

, (18.127)

〈ϕH(x)ϕH(y)〉ρ = Tr[

ρ S†T Sϕ(x)ϕ(y)]

. (18.128)

Estas expresiones son iguales a las expresiones dadas en las Ecs. (18.125) y (18.126);por ejemplo

S†T(

Sϕ(x))

= U(−∞, t)U(t,∞)T(

U(∞, t)ϕ(x)U(t,−∞))

= U(−∞, t)ϕ(x)U(t,−∞).(18.129)

Para un desarrollo posterior es util ver que los operadores de los valores espera-dos (18.127) y (18.128) pueden reinterpretarse como un nuevo tipo de productosordenados temporalmente, ordenados sobre un contorno temporal cerrado el cual seextiende desde t = −∞ hasta t = ∞ e inversamente. Puede imaginarse que estecontorno encierra el eje temporal en el plano complejo t, tal como se muestra en laFigura 18.1. El contorno va desde t = −∞ hasta t = ∞ sobre el eje temporal y

Figure 18.1 Contorno temporal cerrado en las integrales de trayectoria de ida y vuelta.

regresa por debajo de el. De acuerdo con esto, distinguimos los valores de t sobre

4Los elementos de matriz entre estados propios del momentum de S, forman la llamada matrizS.


la rama superior y sobre la rama inferior denotados como t+ y t−, respectivamente.En forma similar definimos x(t+) ≡ x+ y x(t−) ≡ x−. Visto como una funcion delcontorno temporal cerrado, el operador

S†T(

Sϕ(x))

(18.130)

puede reescribirse como

TP(

S†Sϕ(x+))

, (18.131)

donde TP representa el ordenamiento temporal sobre el contorno cerrado temporal.La coordenada x esta sobre la rama positiva del contorno, donde la etiquetamoscomo x+. El operador TP es llamado operador de ordenamiento de la trayectoria.

Podemos hallar un funcional generador para un producto arbitrario de opera-dores de campo ordenados a lo largo de la trayectoria de tiempo cerrado:

TP

S†S exp[

i∫

dx j(x+)ϕ(x+)]

, (18.132)

donde dx es la abreviatura de d3xdt. La diferenciacion funcional con respecto aj(x+) dara como resultado ϕ(x+) ≡ ϕ(x). Por razones de simetrıa es util intro-ducir la fuente j(x−), acoplada al campo en la rama inferior ϕ(x−). De esta formatrabajaremos con la funcional generatriz simetrica

Z[jP] = Tr(

ρ TPS†S exp

i[∫

dx j(x+)ϕ(x+) +∫

dx j(x−)ϕ(x−)])

.

La cual se puede reescribir como

Z[jP] = Tr

ρ TPS†S exp

[

i∫

Pdx jP(x)ϕP(x)

]

, (18.133)

donde el subındice p distinge las ramas temporales.El sımbolo de ordenamiento de la trayectoria sirve para escribir una expresion

formal util de la representacion de interaccion del operador S†S:5

S†S = TP exp[

−i∫

Pdt H int

I (t)]

. (18.134)

En terminos de esto, Z[jP] tendra la forma

Z[jP] = Tr

ρ TP exp[

−i∫

PdtH int

I (t) + i∫

Pdx jP(x)ϕP(x)

]

. (18.135)

Para calcular las integrales a lo largo del contorno temporal certado p, es apropiadocruzar la rama temporal inferior en la misma direccion que la rama superior desde

5Notese que el lado izquierdo es igual a 1 debido a que S es unitaria. Sin embargo, esta identidadno puede ser usada en las expresiones de ordenamiento de la trayectoria (18.131)–(18.133), dadoque los terminos de la corriente requieren de una factorizacion de S o S† para tiempos especıficosy una insercion de operadores de campo entre los factores.


t = −∞ hasta ∞ (dado que estamos usando la integracion en esta direccion), yreescribir la integral de contorno cerrado en el termino fuente,

∫

Pdx jP(x)ϕP(x) =

∫

d3x[∫ ∞

−∞dt j(x, t+)ϕ(x+)+

∫ −∞

∞dt j(x, t−)ϕ(x−)

]

, (18.136)

como∫

Pdx jP(x)ϕP(x) =

∫

d3x∫ ∞

−∞dt [j(x, t+)ϕ(x+)− j(x, t−)ϕ(x−)] . (18.137)

Es claro que la derivada funcional con respecto a −j(x, t−) da como resultado unfactor ϕ(x−). De forma correspondiente, imaginaremos los dos campos ϕ(x+), ϕ(x−)como las dos componentes de un vector

~ϕ(x) =

ϕ(x+)

ϕ(x−)

, (18.138)

donde tenemos la corriente asociada

~ (x) =

j(x+)

−j(x−)

. (18.139)

En esta notacion vectorial, el termino fuente sera∫

dx~(x) ~ϕ(x), (18.140)

y todas las formulas de trayectoria temporal cerrada van directamente sobre lasformulas vectoriales o matriciales, cuyas integrales son solo sobre el eje temporalpositivo, por ejemplo

∫

Pdx jP(x)GP(x, x

′)jP(x′) =

∫

dx~(x)G(x, x′)~(x′), (18.141)

donde G(x, x′) en el lado derecho representa la matrix 2× 2

G(x, y) =

G++(x, y) G+−(x, y)

G−+(x, y) G−−(x, y)

≡

G(x+, y+) G(x+, y−)

G(x−, y+) G(x−, y−)

. (18.142)

Dado que todas la formulas para jP y ϕP son validas tambien para ~ y ~ϕ, identi-ficaremos los objetos de trayectoria temporal cerrada con los vectores y matricescorrespondientes.

Diferenciando la funcional generatriz con respecto a jP obtenemos todas las fun-ciones de Green contenidas en la teorıa. De la segunda derivada obtenemos la funcionde Green de dos puntos

GP(x, y) =δ

iδjP(x)

δ

iδjP(y)Z[jP]

∣

∣

∣

jP=0= Tr

[

ρ TPS†S ϕP(x)ϕP(y)

]

, (18.143)


la cual podemos descomponer de acuerdo a las ramas del contorno temporal cerradoen la misma forma que la matriz (18.142):

GP(x, y) =

G++(x, y) G+−(x, y)

G−+(x, y) G−−(x, y)

. (18.144)

Los cuatro elementos de matriz son las funciones de Green fısicamente relevantesdependientes del tiempo discutidas en la seccion anterior para el caso donde ρ esun operador de densidad en equilibrio. Aquı estas funciones pueden estar fuerade equilibrio y estar formadas con una ρ promedio arbitraria en vez del promediotermico a una temperatura dada. Regresando de la imagen de la interaccion a laimagen de Heisenberg, la matriz GP(x, y) es el valor esperado

GP(x, y) = 〈TPϕH(xP)ϕH(yP)〉ρ, (18.145)

donde xP puede ser x+ o x−. Considerando las diferentes componentes, observamosque el orden de la trayectoria es trivial en tanto x y y esten en diferentes ramalesdel eje temoral. Puesto que y+ se encuentra siempre antes de x−, el operador deordenamiento de la trayectoria se puede omitir, de tal forma que

G−+(x, y) = 〈ϕH(x)ϕH(y)〉ρ. (18.146)

En la configuracion contraria, el orden de trayectoria es opuesto. Cuando sereestablece el orden original, obtenemos un signo negativo para el campo defermiones. Por tanto,

G+−(x, y) = 〈ϕH(y)ϕH(x)〉ρ = ±〈ϕH(x)ϕH(y)〉ρ. (18.147)

En cualquier caso, luego de un ordenamiento explıcito de la trayectoria, una dis-tincion entre la rama temporal superior e inferior es superflua.

Si tanto x como y se encuetran en el ramal superior, el ordenamiento de latrayectoria coincide con el ordenamiento temporal usual, de tal forma que G++(x, y)es igual al valor esperado

G++(x, y) = 〈T ϕH(x)ϕH(y)〉ρ ≡ G(x, y), (18.148)

i.e., el promedio ρ de la funcion de Green usual de ordenamiento temporal. Similar-mente, si x y y estan en la rama inferior, el ordenamiento de la trayectoria coincidecon el usual ordenamiento anti-temporal y

G−−(x, y) = 〈T ϕH(x)ϕH(y)〉ρ ≡ G(x, y). (18.149)

De estas relaciones es facil ver que solamente tres de los cuatro elementos de matrizde GP(x, y) son linealmente independientes, ya que tenemos la relacion

G++ +G−− = G+− +G−+. (18.150)


Esto se puede verificar escribiendo explıcitamente el ordenamiento y el anti-ordenamiento temporal en el lado izquierdo. En la teorıa de respuesta lineal delas Secciones 18.1 y 18.2, las funciones independientes de Green mas apropiadas sonlas funciones retardadas y avanzadas junto con los valores esperados del anticonmu-tador (el conmutador para fermiones). Por analogıa, en el caso fuera de equilibrio,definimos

GR(x, y) = Θ(x− y)〈[ϕH(x), ϕH(y)]∓〉ρ, (18.151)

GA(x, y) = −Θ(y − x)〈[ϕH(x), ϕH(y)]∓〉ρ, (18.152)

A(x, y) = 〈[ϕH(x), ϕH(y)]±〉ρ. (18.153)

Como en la Ec. (18.53), la ultima expresion coincide con la parte absorbida o disipa-tiva de la funcion de Green. El valor esperado del conmutador (el anticonmutadorpara fermiones),

C(x, y) = 〈[ϕH(x), ϕH(y)]∓〉ρ, (18.154)

no es una cantidad independiente, esta relacionada con las otras expresiones por larelacion

C(x, y) = GR(x, y)−GA(x, y). (18.155)

Una comparacion de la descomposicion de Fourier del campo (18.115) con elcampo (18.92), muestra que las funciones de Green son superposiciones simples deondas planas del oscilador armonico para todos los momenta p y las frecuenciasΩ = ωp. El factor de normalizacion h/M , sera 1/V . Por ejemplo,

GR(x, x′) =∑

p

M

hVeip(x−x′)GR(t, t′)|Ω=ωp

. (18.156)

En el lımite continuo, con la regla (7.571) donde la suma sobre los momenta es unaintegral y a partir de la Ec. (18.95), esto se convierte en

GR(x, x′) = −Θ(x− x′)∫ dDp

2ωp(2π)Deik(x−x′) 2i sinωp(t− t′). (18.157)

Similarmente de la Ec. (18.102) encontramos

A(x, x′) =∫

dDp

2ωp(2π)Deik(x−x′) 2 cosωp(t− t′). (18.158)

Estas y otras funciones de Green satisfacen identidades analogas a las halladasanteriormente a partir del operador de posicion ϕ(t) del oscilador armonico simpleen las Ecs. (18.105)–(18.108):

GA(x, x′) = ∓GR(x′, x), (18.159)

A(x, x′) = ±A(x′, x), (18.160)

C(x, x′) = ∓C(x′, x). (18.161)

G(x, x′) = ±G(x′, x)∗. (18.162)


Es facil expresar los elementos de la funcion de Green GP(x, y), Ec. (18.144),la matriz de dimension 2 × 2, en terminos de las tres cantidades independientes(18.153). Puesto que

GR = G−+ −G−− = G++ −G+−,

GA = G+− −G−− = G++ −G−+,

A = G−+ +G+− = G++ +G−−,

C = G−+ −G+− = GR −GA,

(18.163)

encontramos

G−+ =1

2(A + C) = 1

2(A+GR −GA),

G+− =1

2(A− C) = 1

2(A−GR +GA),

(18.164)

y

G++ = GR +G+− = 12(A+GR +GA),

G−− = G+− +G−+ −G++

= A−G++ = 12(A−GR −GA).

(18.165)

Por lo tanto, la matriz GP(x, y) se puede escribir como sigue:

GP =1

2

A +GR +GA A−GR +GA

A+GR −GA A−GR −GA

. (18.166)

En calculos de interes es mas conveniente usar la transformacion introducida porKeldysh [5], la cual surje de la transformacion de similaridad

G = QGPQ−1, donde Q =

1√2

1 −1

1 1

= (QT )−1, (18.167)

produciendo la sencilla funcion matricial triangular de Green

G(x, y) =1√2

1 −1

1 1

1

2

A+GR +GA A−GR +GA

A+GR −GA A−GR −GA

× 1√2

1 1

−1 1

=

0 GA

GR A

. (18.168)

Debido a las ventajas de calculo vale la pena re-expresar todas las cantidades en lanueva base. El termino de fuente lineal, por ejemplo, se convierte en

∫

P dx jP(x)ϕP(x) =∫

dx (j(x+),−j(x−))

ϕ(x+)

ϕ(x−)

=∫

dx (x)ˆϕ(x),

(18.169)

18.7 Teorıa de Perturbacion de las Funciones de Green Fuera de Equilibrio 1357

donde los vectores fuente son

˜ϕ(x) ≡ Q

(

ϕ(x+)

ϕ(x−)

)

=1√2

(

ϕ(x+)− ϕ(x−)

ϕ(x+) + ϕ(x−)

)

, (18.170)

y los vectores de campo son

(x) ≡

j1(x)

j2(x)

= Q

j(x+)

−j(x−)

=1√2

j(x+) + j(x−)

j(x+)− j(x−)

. (18.171)

El temino cuadratico fuente∫

dx dx′ jP(x)GP(x, x′)jP(x

′) (18.172)

=∫

dx dx′ (j(x+),−j(x−))

G++ G+−

G−+ G−−

(x, x′)

j(x′+)

−j(x′−)

se convierte en∫

dx dx′ T (x)G(x, x′)(x′). (18.173)

El producto6 de dos funciones de Green G(1) y G(2) tiene la misma form triangularque cada uno de los factores. Las tres entradas no nulas se descomponen como sigue:

G12 = G(1)G(2) = QG(1)P Q−1QG

(2)P Q−1

=

(

0 GA1G

A2

GR1G

R2 GR

1A2 + A1GA2

)

. (18.174)

Mas detalles de estas funciones de Green se pueden encontrar en la bibliografıa [6].

18.7 Teorıa de Perturbacion de las Funciones de GreenFuera de Equilibrio

La imagen de interaccion se puede usar para desarrollar una representacion per-turbativa de las funciones de Green fuera de equilibrio. Para esto regresamos a lafuncional generatriz (18.135) y suponemos que la interaccion depende unicamente delos operadores de campo. Generalmente sera una interaccion local, i.e., una integralespacio-tiempo sobre una densidad de interaccion:

exp[

−i∫

Pdt H int

I (t)]

= exp[

i∫

Pdt∫

d3xLint(ϕP(x, t))]

. (18.175)

El desarrollo formal siguiente se aplica tambien al caso de una interaccion generalno local

exp

iAintP [ϕP]

. (18.176)

6El producto se define en el sentido funcional, i.e.,(G(1)G(2))(x, y) =

∫

dz G(1)(x, z)G(2)(z, y).


Para tener en cuenta la interaccion, usamos el hecho ya utilizado en la Seccion 3.18,a saber que para el valor esperado dado por la Ec. (18.135) el campo ϕP se puedeescribir como un operador diferencial δ/iδjP(x) actuando sobre el termino fuente.En esta forma, el termino de interaccion se puede extraer del valor termico esperado.El resultado es la funcional generatriz en la imagen de la interaccion

Z[jP] = exp

iAintP [δ/iδjP]

Z0[jP], (18.177)

donde la funcion de particion libre sera

Z0[jP] = Tr

ρ TP exp[

i∫

Pdx ϕP(x) jP(x)

]

. (18.178)

Para utilizar esta formula tenemos que hallar explıcitamente la funcion Z0[jP].Desarrollando el exponencial en potencias de iAint

P [δ/iδjP] y llevando a cabo laderivada funcional δ/iδjP, obtenemos la representacion perturbativa de Z[jP].

Para un operador densidad general ρ, la funcion de particion libre Z0[jP] nose puede hallar en forma cerrada. A continuacion presentamos explıcitamente lafuncion Z0[jP] solo para el caso de un sistema armonico en equilibrio termico,donde el promedio ρ, 〈. . .〉ρ son los promedios termicos 〈. . .〉T calculados en lasSecciones 18.1 y 18.2. Puesto que los terminos de fluctuacion en el campo ϕ(t) soncuadraticos, Z0[jP] debe de tener un exponente cuadratico en las fuentes jP. Paracumplir con la Ec. (18.143), es necesario que la la funcional este dada por

Z0[jP] = exp[

−1

2

∫

dxdy jP(x)GP(x, y)jP(y)]

. (18.179)

Insertando la matriz 4× 4 dada en la Ec. (18.166), obtenemos

Z0[j+, j−] = exp

[

−1

2

∫

dx∫

dx′ (j+,−j−)Q−1

(

0 GA

GR A

)

Q

(

j+

−j−

)]

= exp

− 1

4

∫

dx∫

dx′[

(j+ + j−)(x)GA(x, x′)(j+ − j−)(x

′)

+ (j+ − j−)(x)GR(x, x′)(j+ + j−)(x

′)

+ (j+ − j−)(x)A(x, x′)(j+ − j−)(x

′)]

, (18.180)

donde

j+(x) ≡ j(x+), j−(x) ≡ j(x−). (18.181)

Las funciones de Green avanzadas son diferentes de cero solamente para t < t′. Usan-do la relacion (18.159), se puede ver que el segundo termino es igual al primero.Para el campo real en estudio, estos terminos son puramente imaginarios [ver laEc. (18.156)]. La funcion de anticonmutacion A(x, x′) es simetrica debido a la ex-presion (18.160). Por lo tanto reescribimos la Ec. (18.180) en la forma

Z0[j+, j−] = exp

− 1

2

∫

dx∫

dx′ Θ(x′ − x) (18.182)

×[

(j+ − j−)(x)GR(x, x′)(j+ + j−)(x

′) + (j+ − j−)(x)A(x, x′)(j+ − j−)(x

′)]

.

18.7 Teorıa de Perturbacion de las Funciones de Green Fuera de Equilibrio 1359

Para toda funcion espectral dada, es facil escribir explıcitamente el exponenteusando las representaciones espectrales (18.44) y (18.53).

Como un ejemplo importante, consideremos el caso simple de un solo osciladorarmonico de frecuencia Ω. Entonces el campo ϕ(x) depende unicamente del tiempot, y las funciones del conmutador y del conmutador “equivocado” estan dadas porlas Ecs. (18.93) y (18.102). Reintroduciendo los factores h y kB, tenemos

Z0[j+, j−] = exp

− 1

2h2

∫

dt∫

dt′Θ(t− t′) (18.183)

×[

(j+ − j−)(t)C(t, t′)(j+ + j−)(t

′) + (j+ − j−)(t)A(t, t′)(j+ − j−)(t

′)]

o, mas explıcitamente,

Z0[j+, j−] = exp

− 1

2MΩh

∫

dt∫

dt′ Θ(t′ − t)

×[

− (j+ − j−)(t) i sinΩ(t− t′) (j+ + j−)(t′) (18.184)

+ (j+ − j−)(t) cothhΩ

2kBTcosΩ(t− t′) (j+ − j−)(t

′)]

.

Hemos sacado ventaja de la presencia de la funcion de Heaviside para expresar lafuncion retardada de Green para t > t′ como una funcion del conmutador C(t, t′)[recordemos las Ecs. (18.151) y (18.154)]. Junto con la funcion de anticonmutadorA(t, t′), obtenemos para t > t′

G(t, t′) =1

2[A(t, t′) + C(t, t′)] =

h

2MΩ

coshΩ

2[hβ − i(t− t′)]

sinhhΩβ

2

, (18.185)

lo cual coincide con la funcion de Green ordenada temporalmente (18.101) parat > t′, ası como con la funcion periodica de Green de tiempo-imaginario continuadaanalıticamente dada por la Ec. (3.251). Ası pues, el exponente de esta funcionalgeneratriz es bastante similar al termino fuente en equilibrio dado en la Ec. (3.221).

Por supuesto, la funcional generatriz (18.180) se puede derivar, sin la discusionprevia, completamente en terminos de las integrales de trayectoria para el osciladorarmonico en equilibrio termico. Usando la notacion X(t) para un campo osciladordependiente unicamente del tiempo ϕ(x), podemos tomar la funcional generatrizdirectamente de la Ec. (3.168):

(Xbtb|Xata)jΩ =

∫

DX(t) exp

i

h

∫ tb

tadt[

M

2(X2 − Ω2X2) + jX

]

= e(i/h)Acl,jFΩ,j(tb, ta). (18.186)

con la accion clasica total

Acl,j =1

2

MΩ

sinΩ(tb − ta)

[

(X2b +X2

a) cosΩ(tb − ta)−2XbXa

]

+1

sinΩ(tb − ta)

∫ tb

tadt[Xa sin Ω(tb − t) +Xb sinΩ(t− ta)]j(t), (18.187)


y el factor de fluctuacion (3.170), expresando la Ec. (18.187) como en la expresion(3.171), en terminos de las dos soluciones, Da(t) y Db(t), de las ecuaciones diferen-ciales homogeneas (3.48) introducida en las Ecs. (2.228) y (2.229):

Acl,j =M

2Da(tb)

[

X2b Da(tb)−X2

aDb(ta)−2XbXa

]

+1

Da(tb)

∫ tb

tadt [XbDa(t)+XaDb(t)]j(t). (18.188)

El factor de fluctuacion estara expresado por una relacion como la dada en laEc. (3.172). Entonces calculamos el promedio termico de la integral de trayecto-ria hacia adelante–hacia atras del oscilador X(t), mediante la integral Guassiana

Z0[j+, j−] =∫

dXb dXa (Xb hβ|Xa0)Ω (Xbtb|Xata)j+Ω (Xbtb|Xata)

j−∗Ω . (18.189)

Aquı (Xb hβ|Xa0)Ω es la amplitud de tiempo-imaginario (2.411):

(Xbhβ|Xa0) =1

√

2πh/M

√

Ω

sinh hβ

× exp

− 1

2h

MΩ

sinh hβΩ[(X2

b +X2a) cosh hβΩ− 2XbXa]

. (18.190)

Hemos preferido derivar la funcion Z0[j+, j−], usando el lenguaje de operadores yaque esto ilustra mejor el signficado fısico de los diferentes terminos de la Ec. (18.185).

18.8 Integral de Trayectoria Acoplada a un ReservorioTermico

Despues de estos preparativos, nos podemos embarcar en el estudio de un problemasencillo y tıpico de la termodinamica fuera del equilibrio. Nos gustarıa entender elcomportamiento mecanico-cuantico de partıculas acopladas a un reservorio termicode temperatura T , moviendose en un potencial arbitrario V (x) [7]. Sin el reservorio,la probabilidad de ir de xa, ta a xb, tb estarıa dada por7

|(xbtb|xata)|2 =∣

∣

∣

∣

∫

Dx(t) exp

i

h

∫

dt[

M

2x2 − V (x)

]∣

∣

∣

∣

2

. (18.191)

Esto se puede escribir como una integral de trayectoria sobre dos orbitas indepen-dientes, denominadas x+(t) y x−(t):

(xbtb|xata)(xbtb|xata)∗ =∫

Dx+(t)Dx−(t) (18.192)

× exp

i

h

∫ tb

tadt[

M

2(x2+ − x2−)− (V (x+)− V (x−))

]

.

7En lo que sigue, mostraremos explıcitamente las constantes h y kB.

18.8 Integral de Trayectoria Acoplada a un Reservorio Termico 1361

De acuerdo con el desarrollo de la Seccion 18.7, las dos orbitas se reinterpretan comolas dos ramas de una solo orbita de tiempo-cerrado xP(t). La coordenada temporaltP de la trayectoria va de ta a tb ligeramente por arriba del eje temporal real y regresaligeramente debajo de este, tal como se muestra en la Fig. 18.1. Entonces, la dis-tribucion de probabilidad (18.191) se puede escribir como una integral de trayectoriasobre el contorno de tiempo-cerrado rodeando el intervalo (ta, tb):

|(xbtb|xata)|2 =∫

DxP exp

i

h

∫

Pdt[

M

2x2P − V (xP)

]

. (18.193)

Ahora introducimos el acoplamiento con un reservorio termico para lo cual usa-mos, como en la discusion para el equilibrio en la Seccion 3.13, un bano de osciladoresarmomicos independientes ϕi(t) con masasMi y frecuencias Ωi en equilibrio termicoa la temperatura T . Por simplicidad, suponemos que el acoplamiento es lineal tantoen ϕi(t) como en la posicion de la partıcula x(t). El bano termico contribuye a laEc. (18.193) con un factor que involucra el valor termico esperado de la interaccionlineal

|(xbtb|xata)|2 =∫

DxP exp

i

h

∫

Pdt[

M

2x2P − V (xP)

]

× Tr

ρ TP exp

[

i

h

∑

i

ci

∫

Pdt ϕi

P(t) xP(t)

]

. (18.194)

Donde los ϕiP(t), para i = 1, 2, 3, . . ., son los operadores de la posicion de los os-

ciladores armonicos auxiliares. Puesto que los osciladores son independientes, latraza de los exponenciales se factoriza en un producto de expresiones de un solooscilador

Tr

ρ TP exp

[

i

h

∑

i

ci

∫

Pdt ϕi

P(t)xP(t)

]

=∏

i

Tr

ρ TP exp[

i

hci

∫

Pdt ϕi

P(t)xP(t)]

.

(18.195)El operador densidad ρ tiene los valores propios dados en la Ec. (18.110).

Cada factor en lado derecho es de la forma dada por la Ec. (18.178), dondeϕ(t) = ciϕ

iP(t)/h y j+,− = x+,−(t), de tal manera que la Ec. (18.195) conduce a la

funcion de particion dada en la Ec. (18.183), la cual sera

Zb0 [x+, x−] = exp

− 1

2h2

∫

dt∫

dt′ Θ(t− t′) (18.196)

×[

(x+ − x−)(t)Cb(t, t′)(x+ + x−)(t

′) + (x+ − x−)(t)Ab(t, t′)(x+ − x−)(t

′)]

,

donde Cb(t, t′) y Ab(t, t

′) contienen a la funcion de conmutador y anticonmutador delbano termico. Estas expresiones son sumas de la funciones de correlacion dadas porlas Ecs. (18.93) y (18.102) de los osciladores individuales de masa Mi y frecuenciaΩi, donde cada uno contribuye con un peso c2i . Ası podemos escribir

Cb(t, t′)=

∑

i

c2i 〈[ϕi(t), ϕi(t′)]〉T = −h

∫ ∞

−∞

dω′

2πρb(ω

′)i sinω′(t−t′), (18.197)

Ab(t, t′)=

∑

i

c2i 〈ϕi(t), ϕi(t′)〉T = h

∫ ∞

−∞

dω′

2πρb(ω

′) cothhω′

2kBTcosω′(t−t′), (18.198)


donde los promedios termicos en el ensemble, para las temperaturas fijas T , estanahora denotadas por un subındice T y

ρb(ω′) ≡ 2π

∑

i

c2i2MiΩi

[δ(ω′ − Ωi)− δ(ω′ + Ωi)] (18.199)

es la funcion espectral del bano termico. Esta funcion es la continuacion anti-simetrica de la funcion espectral (3.408) para ω′ negativo. Ya que la funcion es-pectral ρb(ω

′) es impar en ω′, en la Ec. (18.199) podemos reemplazar las funcionestrigonometricas −i sinω′(t− t′) y cosω′(t− t′) por el exponencial e−iω′(t−t′).

La expresion en el argumento de la exponencial de la Ec. (18.196) se puedeconsiderar como una accion efectiva en la integral de trayectoria, la cual se obtienepor el bano termico. Por lo tanto, obtenemos

Z0[x+, x−]=exp

i

hAFV[x+, x−]

=exp

i

h

(

AFVD [x+, x−] +AFV

F [x+, x−])

,(18.200)

donde la accion efectiva AFV[x+, x−] consta de una parte disipativa, AFVD [x+, x−],

y una parte de fluctuacion, AFVF [x+, x−]. La expresion Z0[x+, x−] es la famosa fun-

cional de la influencia introducida por vez primera por Feynman y Vernon.Sustituyendo la Ec. (18.200) en la Ec. (18.194) y mostrando explıcitamente las

dos ramas de la trayectoria xP (t), con los lımites apropiados de la integral temporal,de la Ec. (18.194) obtenemos la probabilidad de que la partıcula se mueva desdexata hasta xb tb, de acuerdo a la integral de trayectoria

|(xbtb|xata)|2 =∫

Dx+(t)∫

Dx−(t)×

× exp

i

h

∫ tb

tadt[

M

2(x2+ − x2−)− (V (x+)− V (x−))

]

+i

hAFV[x+, x−]

. (18.201)

Para entender mejor la funcional de la influencia, introducimos la funcion auxiliarretardada

γ(t− t′) ≡ Θ(t− t′)1

M

∫ ∞

−∞

dω

2π

σb(ω)

ωe−iω(t−t′). (18.202)

Con lo que podemos escribir

Θ(t− t′)Cb(t, t′) = ihMγ(t− t′) + ihM∆ω2δ(t− t′), (18.203)

donde la cantidad

∆ω2 ≡ − 1

M

∫ ∞

−∞

dω′

2π

σb(ω′)

ω′= − 1

M

∑

i

c2iMiΩ

2i

(18.204)

se presento anteriormente en la Ec. (3.420). Sustituyendo el primer termino de ladescomposicion (18.203) en la Ec. (18.196), la parte disipativa de la funcional de lainfluencia se puede integrar por partes en t′ y obtenemos

AFVD [x+, x−] = −M

2

∫ tb

tadt∫ tb

tadt′ (x+ − x−)(t)γ(t− t′)(x+ + x−)(t

′)

+M

2

∫ tb

tadt(x+ − x−)(t)γ(t− tb)(x+ + x−)(ta). (18.205)


La funcion δ en la Ec. (18.203) contribuye a AFVD [x+, x−] con un termino analogo al

hallado en la Ec. (3.421)

∆Aloc[x+, x−] =M

2

∫ tb

tadt∆ω2(x2+ − x2−)(t), (18.206)

el cual podemos absorber simplemente en los terminos del potencial de la integralde trayectoria (18.201), renormalizando el potencial a la forma

− i

h

∫ tb

tadt [Vren(x+)− Vren(x−)] . (18.207)

Esta renormalizacion es completamente analoga a la renormalizacion de la formulapara tiempos imaginarios de la Ec. (3.423).

La funcion impar del bano termico ρb(ω′) se puede desarrollar solo en las poten-

cias impares de ω′. La aproximacion de menor orden

ρb(ω′) ≈ 2Mγω′, (18.208)

describe la disipacion ohmica para una cierta constante de friccion γ [recordemos laEc. (3.427)]. Para frecuencias mucho mayores que las razones de relajacion atomicas,la friccion tiende a cero. Este comportamiento es modelado por la Ec. (3.428), laforma de Drude de la funcion espectral,

ρb(ω′) ≈ 2Mγω′ ω2

D

ω2D + ω′2

. (18.209)

Sustituyendo este resultado en la Ec. (18.202), obtenemos la forma de Drude de lafuncion γ(t):

γRD(t) ≡ Θ(t) γωDe−ωDt. (18.210)

El superındice enfatiza la naturaleza retardada. Este resultado tambien se puedeescribir como una integral de Fourier

γRD(t) =∫ ∞

−∞

dω′

2πγRD(ω

′)e−iω′t, (18.211)

cuyas componentes de Fourier seran

γRD(ω′) = γ

iωD

ω′ + iωD. (18.212)

La posicion del polo en el semi-plano inferior asegura la naturaleza retardada deltermino de friccion, dando origen a la funcion de Heaviside en la Ec. (18.210)[recordemos la Ec. (1.312)].

Los coeficientes del desarrollo de tiempo-imaginario γm de la Ec. (3.431) estanrelacionados con los actuales coeficientes por la expresion

γm = γ(ω′)|ω′=i|ωm|, (18.213)


en completa analogıa con la relacion entre las funciones de Green de tiempo retar-dado e imaginario, Ecs. (18.30) y (18.31).

En el lımite ohmico, dado por la Ec. (18.208), se simplifica la parte disipativa dela funcional de la influencia. En este caso, γRD(t) tendra una forma muy aguda parat positiva, y se puede aproximar por un funcion δ retardada a la derecha, como

γRD(t) → γ δR(t), (18.214)

cuyo superındice R indica la simetrıa retardada de la funcion δ. Con esto, laEc. (18.205) se convierte en una accion local

AFVD [x+, x−] = −M

2γ∫ tb

tadt(x+ − x−)(x+ + x−)

R − M

2γ(x2+ − x2−)(ta). (18.215)

La naturaleza derecha de la funcion δR(t) da origen a un cambio infinitesimal nega-tivo en el argumento temporal de las velocidades (x++ x−)(t), con respecto al factor(x+−x−)(t), indicado por el superındice R. Este cambio expresa la causalidad de lasfuerzas de friccion y se vera que es crucial al generar la probabilidad de conservacionde la amplitud temporal de la distribucion de probabilidad.

El segundo termino cambia unicamente la curvatura del potencial efectivo parael tiempo inicial y se puede ignorar.

Es util incorporar tambien la informacion de la pendiente (18.208) en la funcionde correlacion del bano termico Ab(t, t

′), dada en la Ec. (18.198), y factorizarla como

Ab(t, t′) = 2MγkBTK(t, t′), (18.216)

donde

K(t, t′) = K(t− t′) ≡ 1

2MγkBT

∑

i

c2i 〈ϕi(t), ϕi(t′)〉T . (18.217)

El prefactor en la Ec. (18.216) se abrevia convenientemente por la constante

w ≡ 2MγkBT, (18.218)

la cual esta relacionada con la llamada constante de difusion

D ≡ kBT/Mγ (18.219)

por medio de la expresion

w = 2γ2M2D. (18.220)

La descomposicion de Fourier de la Ec. (18.217) es

K(t, t′) =∫ ∞

−∞

dω′

2πK(ω′)e−iω′(t−t′), (18.221)


donde

K(ω′) ≡ 1

2Mγ

ρb(ω′)

ω′

hω′

2kBTcoth

hω′

2kBT. (18.222)

En el lımite de disipacion puramente Ohmica, este resultado se simplifica a la forma

K(ω′) → KOhm(ω′) ≡ hω′

2kBTcoth

hω′

2kBT. (18.223)

La funcion K(ω′) tiene la normalizacion K(0) = 1, dando a K(t − t′) una areatemporal:

∫ ∞

−∞dtK(t− t′) = 1. (18.224)

En el lımite clasico h→ 0, la funcion espectral de Drude (18.209) conduce a

KclD(ω

′) =ω2D

ω′2 + ω2D

, (18.225)

cuya transformada de Fourier es

KclD(t− t′) =

1

2ωDe−ωD(t−t′). (18.226)

En el lımite de disipacion Ohmica, este resultado se convierte en una funcion δ. AsıK(t − t′) se puede ver como una funcion δ ensanchada por fluctuaciones cuanticasy efectos de relajacion.

Con la funcion K(t, t′), en las Ecs. (18.196), (18.200) y (18.201) la parte de lasfluctuaciones de la funcional de la influencia sera

AFVF [x+, x−] = i

w

2h

∫ tb

tadt∫ tb

tadt′ (x+ − x−)(t)K(t, t′) (x+ − x−)(t

′). (18.227)

Aquı hemos usando la simetrıa de la funcion K(t, t′) para eliminar la funcion deHeaviside Θ(t− t′) del integrando y extender el rango de integracion de la variablet′ al intervalo completo (ta, tb).

En el lımite Ohmico, la probabilidad de que la partıcula se mueva desde xatahasta xb tb esta dado por la integral de trayectoria

|(xbtb|xata)|2 =∫

Dx+(t)∫

Dx−(t)

× exp

i

h

∫ tb

tadt[

M

2(x2+ − x2−)− (V (x+)− V (x−))

]

× exp

−i∫ tb

tadtMγ

2h(x+ − x−)(t)(x+ + x−)

R(t)

− w

2h2

∫ tb

tadt∫ tb

tadt′ (x+ − x−)(t)K

Ohm(t, t′) (x+ − x−)(t′)

. (18.228)


Esta es la integral de trayectoria de tiempo cerrado de una partıcula en contacto conun reservorio termico.

Las trayectorias x+(t), x−(t) se pueden asociar tambien con un movimiento haciaadelante y hacia atras en el tiempo de la partıcula. Por esta razon, la Ec. (18.228)es llamada una integral de trayectoria hacia adelante–atras . El guion se pronunciacomo menos , par enfatizar los signos opuestos en las acciones parciales.

Es conveniente cambiar las variables de integracion y usar las coordenadas prome-dio y relativa de las dos trayectorias x+, x−:

x ≡ (x+ + x−)/2,

y ≡ x+ − x− . (18.229)

Entonces la Ec. (18.228) sera

|(xbtb|xata)|2 =∫

Dx(t)∫

Dy(t)

× exp

− i

h

∫ tb

tadt[

M(

−yx+ γyxR)

+ V(

x+y

2

)

− V(

x− y

2

)]

− w

2h2

∫ tb

tadt∫ tb

tadt′ y(t)KOhm(t, t′)y(t′)

. (18.230)

18.9 Ecuacion de Fokker-Planck

En el lımite de alta temperatura, la transformada de Fourier del nucleo K(t, t′) en laEc. (18.223) tiende a la unidad, de tal forma que K(t, t′) se convierte en una funcionδ, por lo que la integral de trayectoria (18.230), para la distribucion de probabilidadde una partıcula acoplada a un bano termico, se simplifica a la forma

P (xbtb|xata) ≡ |(xbtb|xata)|2 =∫

Dx(t)∫

Dy(t)

× exp

− i

h

∫ tb

tadt y[Mx+MγxR + V ′(x)]− w

2h2

∫ tb

tadt y2

. (18.231)

El superındice R registra el cambio infinitesimal hacia atras del argumento temporal,como en la Ec. (18.215). La variable y se puede integrar y obtenemos

P (xbtb|xata) = N∫

Dx(t) exp

− 1

2w

∫ tb

tadt [Mx+MγxR + V ′(x)]2

. (18.232)

La constante de proporcionalidad N se puede fijar mediante la integral de normali-zacion

∫

dxb P (xbtb|xata) = 1. (18.233)

Puesto que la partıcula esta inicialmente concentrada aldedor de xa, la normalizaciontambien se puede fijar por la condicion inicial

limtb→ta

P (xbtb|xata) = δ(xb − xa). (18.234)

18.9 Ecuacion de Fokker-Planck 1367

El lado derecho de la Ec. (18.232) se parece a un integral de trayectoria Gaussianaasociada con la Lagrangiana [8]

Le =1

2w[Mx +Mγx+ V ′(x)]2. (18.235)

Sin embargo, el resultado sera diferente debido al ordenamiento temporal del terminoxR.

Ademas de esto, la Lagrangiana no es del tipo covencional, ya que involucra unasegunda derivada temporal. El principio de la accion δA = 0, nos dara la siguienteecuacion de Euler-Lagrange

∂L

∂x− d

dt

∂L

∂x+d2

dt2∂L

∂x= 0. (18.236)

Esta ecuacion tambien se puede deducir mediante el formalismo usual de Lagrangeconsiderando a x y a x como coordenadas generalizadas independientes x, v.

18.9.1 Integral de Trayectoria Canonica para la Distribucion deProbabilidad

En la Seccion 2.1 hemos construido integrales de trayectoria para la amplitud deevolucion temporal que resuelven la ecuacion de Schrodinger. Por analogıa, espe-ramos que la integral de trayectoria (18.232), para la distribucion de probabilidad,sea solucion de una ecuacion diferencial tipo Schrodinger. Esta ecuacion se conocecomo la ecuacion de Fokker-Planck . Como en la Seccion 2.1, la expresion se obtienereescribiendo la integral de trayectoria en forma canonica. Si v = x se consideracomo una variable dinamica independiente, el momento canonico de x y v sera [9]

p = i∂L

∂x= i

Mγ

w[Mx +Mγx+ V ′(x)] = i

Mγ

w[Mv +Mγv + V ′(x)],

pv = i∂L

∂x=

1

γp. (18.237)

El Hamiltoniano estara dado por la transformada de Legendre

H(p, pv, x, v) = Le(x, x)−2∑

i=1

∂Le

∂xixi = Le(v, v) + ipv + ipvv, (18.238)

donde v tiene que eliminarse en favor de pv usando la expresion (18.237). Esto nosconduce a

H(p, pv, x, v) =w

2M2p2v − ipv

[

γv +1

MV ′(x)

]

+ ipv. (18.239)

Por lo tanto, la representacion de la integral de trayectoria cononica para la dis-tribucion de probabilidad sera

P (xbtb|xata) =∫

Dx∫ Dp

2π

∫

Dv∫ Dpv

2π

× exp ∫ tb

tadt [i(px+ pvv)−H(p, pv, x, v)]

. (18.240)


Es facil ver que la integral de trayectoria sobre p impone la condicion v ≡ x, des-pues de lo cual la integral de trayectoria sobre pv nos lleva de nuevo a la expresioninicial (18.232). Podemos conservar la varible auxiliar v(t) como una cantidad defluctuacion independiente en todas las formulas y separar la distribucion de proba-bilidad P (xbtb|xata) en funcion de las integrales en v

P (xbtb|xata) =∫ ∞

−∞dvb

∫ ∞

−∞dva P (xbvbtb|xavata). (18.241)

En forma detallada, la distribucion de probabilidad del lado derecho tiene la siguienterepresentacion en integrales de trayectoria

P (xbvbtb|xavata) = |(xbvbtb|xavata)|2 =∫

Dx∫ Dp

2π

∫

Dv∫ Dpv

2π

× exp∫ tb

tadt [i(px+ pvv)−H(p, pv, x, v)]

, (18.242)

donde los puntos extremos de v se mantienen fijos en vb = v(tb), va = v(ta).Ahora usamos la relacion entre la integral de trayectoria canonica y la ecuacion

de Schrodinger discutida en la Seccion 2.1, para concluir que la distribucion deprobabilidad (18.242) cumple con una ecuacion diferencial tipo Schrodinger [10]:

H(p, pv, x, v)P (x v tb|xavata) = −∂tP (x v t|xavata). (18.243)

La cual se conoce como la ecuacion de Klein-Kramers , y corresponde al movimientode una partıcula puntual inerte con disipacion. Al mismo tiempo encontramos queesta expresion es un caso especial de la ecuacion de Fokker-Planck de dos variables,cuya version general depende de N variables xx1, . . . , xN , contenidas en el vector x,y tiene la forma

∂tP (x t|xavata) =[

−∂iDi(x) + ∂i∂jD(2)ij (x)

]

P (x t|xavata). (18.244)

Para N = 2, tenemos que la Ec. (18.243) es un caso especial de esta expresion, i.e.,

∂tP (x t|taxa) = (−κij∂ixj +Dij∂i∂j)P (x t|taxa). (18.245)

donde tenemos la matriz de difusion

D =

(

0 00 w/2M2

)

=

(

0 00 γkBT/M

)

=

(

0 00 γ2D

)

, (18.246)

y

=

(

0 −1V ′(x)/M γ

)

. (18.247)

Es de observarse que cuando pasamos del Hamiltoniano clasico (18.239) al ope-rador Hamiltoniano de la ecuacion diferencial (18.243), existe un problema con eloperador de ordenamiento. Tal problema se encontro en la Seccion 10.5 y se dis-cutio al final de la Seccion 11.3. En este sentido la analogıa con las integrales de


trayectoria sencillas de la Seccion 2.1, no es del todo correcta. Cuando formulamosla Ec. (18.243) no sabemos el orden, con respecto a v, en el cual debemos manteneral operador de momento pv. Si en la Ec. (18.232) estuviesemos tratando con unaintegral funcional ordinaria sabrıamos cual serıa ese orden. Como en el caso de lainteraccion electromagnetica de la Ec. (11.89), encontrarıamos el orden simetrico−(pvv + vpv)/2.

Usando fundamentos fısicos, es facil hallar el orden correcto. La ecuacion dife-rencial (18.243) tiene que conservar la probabilidad total

∫

dx dvP (x v tb|xavata) = 1 (18.248)

para todo tiempo t. Esto estara garantizado si todos los operadores de momento semantienen a la izquierda de las coordenadas en el operador Hamiltoniano. De hechoal integrar la ecuacion (18.243) de Fokker-Planck sobre x y v, y solo si los operadoresdel momentum estan a la izquierda, obtendremos que la integral se anula y con ellohallamos que la probabilidad total es independiente del tiempo. Es de esperar queeste orden sea deducible de la naturaleza retardada de la velocidad del termino yxR

de la Ec. (18.231). Este hecho se mostrara en la siguiente seccion.

18.9.2 Resolviendo el Problema del Operador de Ordenamiento

El problema de ordenamiento del operador Hamiltoniano asociado con laEc. (18.239) no involucra al potencial V (x). Por lo tanto, podemos estudiar esteproblema considerando simplemente el Hamiltoniano libre clasico

H0(p, pv, x, v) =w

2M2p2v − iγpvv + ipv, (18.249)

el cual esta asociado con la integral de trayectoria Lagrangiana

P0(xbtb|xata) = N∫

Dx(t) exp

− 1

2w

∫ tb

tadt [Mx+MγxR]2

, (18.250)

ignorando de momento el problema del operador de ordenamiento. Mas aun, pode-mos concentrarnos en la distribucion de probabilidad para xb = xa = 0 y suponerque la diferencia temporal tb − ta es muy grande. Entonces todas las frecuencias deFourier son continuas.

A pesar de la restriccion para valores grandes de la diferencia tb− ta, el resultadoa ser deducido sera valido para todo intervalo temporal. La razon es que el operadorde orden es una propiedad de intervalos temporales extremadamente cortos, por loque no importa que tan largo sea el intervalo temporal sobre el cual resolvemos elproblema.

Olvidando por el momento la naturaleza retardada de la velocidad x, la integralde trayectoria Gaussiana se puede hallar inmediatamente y obtenemos

P0(0 tb|0 ta) ∝ Det−1(−∂2t − γ∂t)

∝ exp

[

−(tb − ta)∫ ∞

−∞

dω′

2πlog(ω′2 − iγω′)

]

, (18.251)


donde γ es positiva. La integral del lado derecho diverge. Esto es una consecuenciade que no hemos usado el procedimiento de segmentacion temporal de Feynman paradefinir la integral de trayectoria. Al igual que para el oscilador armonico ordinario,discutido en detalle es las Secciones 2.3 y 2.14, esto conducira a una integral finitaen la cual ω′ se reemplaza por ω′ ≡ (2− 2 cos aω′)/a2:

1

2

∫ ∞

−∞

dω′

2πlog[ω′4 + γ2ω′2] =

1

2

∫ ∞

−∞

dω′

2πlog ω′2 +

1

2

∫ ∞

−∞

dω′

2πlog[ω′2 + γ2] = 0 +

γ

2.

(18.252)La deduccion puede verse en la Seccion 2.14, en particular el primer termino de laEq. (2.485). El mismo resultado se puede obtener, sin la segmentacion temporal,por medio de la regularizacion analıtica de la integral divergente de la Ec. (18.251),tal como se mostro en la Ec. (2.504). Recordemos la discusion de la Seccion 10.6donde se vio que la regularizacion analıtica es el unico metodo que permite definirla integral de trayectoria sin necesidad de la segmentacion temporal, de tal maneraque definida en esta forma la integral de trayectoria es invariante ante una transfor-macion de coordenadas [11]. Por lo tanto, parece apropiado utilizar el mismo pro-cedimiento en las actuales integrales de trayectoria con disipacion y usar la formulade regularizacion dimensional (2.541):

∫ ∞

−∞

dω′

2πlog(ω′ ± iγ) =

γ

2, γ > 0. (18.253)

Aplicando este resultado al determinante funcional de la expresion (18.251), obte-nemos

Det(−∂2t − γ∂t) = Det(i∂t)Det(i∂t + iγ) = exp [Tr log(i∂t) + Tr log(i∂t + iγ)]

= exp[

(tb − ta)γ

2

]

, (18.254)

y ası

P0(0 tb|0 ta) ∝ exp[

−(tb − ta)γ

2

]

. (18.255)

Lo cual corresponde a la energıa γ/2, y al ordenamiento −iγ(pvv + vpv)/2 en eloperador Hamiltoniano.

Ahora consideraremos el retardo del argumento temporal de xR. Especıfica-mente, reemplazamos el termino γyxR de la Ec. (18.230) por la forma de Drudedada en el lado izquierdo de la Ec. (18.214) antes de hallar el lımite ωD → ∞:

γyxR(t) →∫

dt′ y(t) γRD(t− t′) x(t′), (18.256)

conteniendo ahora explıcitamente a la funcion retardada de Drude (18.210) de lafriccion. Entonces la integral para la frecuencia en la Eq. (18.251) se convierte en

∫ ∞

−∞

dω′

2πlog

(

ω′2 − γω′ωD

ω′+iωD

)

=∫ ∞

−∞

dω

2π

[

−log(ω′+iωD) + log(

ω′2+iω′ωD−γωD

)]

,

(18.257)


donde hemos omitido la integral del log ω′, en virtud la Ec. (18.253). Ahora descom-ponemos

log(


)

= log(ω′+iω1) + log(ω′+iω2), (18.258)

donde

ω1,2 =ωD

2

(

1±√

1− 4γ

ωD

)

, (18.259)

y usando la formula (2.541), encontramos

∫ ∞

−∞

dω

2π

[

−log(ω′+iωD)+log(


)]

= −ωD

2+ω1

2+ω2

2= 0. (18.260)

La anulacion de la integral con respecto a la frecuencia, implica que el determinantefuncional retardado es trivial:

Det(−∂2t − γ∂Rt ) = exp[

Tr log(−∂2t − γ∂Rt )]

= 1, (18.261)

contrario a lo obtenido en la Ec. (18.254), a partir de la integral en la frecuencia sinconsiderar la modificacion de Drude. Con el determinante (18.261), la probabilidadsera una constante

P0(0 tb|0 ta) = const. (18.262)

Esto muestra que la naturaleza retardada de la fuerza de friccion ha sustraido

la energıa γ/2 en la expresion (18.255). Puesto que la integral de trayectoriaordinaria corresponde a un operador Hamiltoniano con un termino simetrizado−i(pvv + v pv)/2, la sustraccion de γ/2 cambia este termino en la cantidad −iγpvv.

Notese que el caso opuesto, correspondiente a un termino de velocidad avanzada

xA en la Ec. (18.230), serıa aproximado por una funcion de Drude γAD(t) que tiene lamisma apariencia que el termino γRD(t) en la Ec. (18.212), pero donde ωD es negativo.El lado derecho de la Ec. (18.260) se convertirıa entonces en el factor 2γ en lugardel cero. La fomula correspondiente para el determinante funcional es

Det(−∂2t − γ∂At ) = exp[

Tr log(−∂2t − γ∂At )]

= exp [(tb − ta)γ] , (18.263)

donde γ∂At se obtiene de la version avanzada de la matriz funcional (18.256), en lacual ωD se reemplaza por −ωD. Ası encontramos que

P0(0 tb|0 ta) ∝ exp [−(tb − ta)γ] , (18.264)

con una energıa adicional γ/2, con respecto a la formula ordinaria (18.255). Estocorresponde al operador de orden inverso (sin significado fısico) −iγvpv en H0, lo queviolarıa la conservacion de la probabilidad de la evolucion temporal por un factorde dos con respecto al caso de orden simetrico.


Las formulas anteriores para los determinantes funcionales se pueden extenderfacilmente para el caso, ligeramente mas general, donde V (x) es el potencial de unoscilador armonico V (x) =Mω2

0x2/2. En tal caso la integral de trayectoria (18.232)

para la distribucion de probabilidad sera


Dx(t) exp

− 1

2w

∫ tb

tadt [Mx+MγxR + ω2

0x]2

, (18.265)

la cual evaluamos en xb = xa = 0, donde estara dada por la expresion retardadaapropiada

P0(0 tb|0 ta) ∝ Det−1(−∂2t − γ∂t + ω20)

∝ exp

[

−(tb − ta)∫ ∞

−∞

dω′

2πlog(ω′2 − iγω′ − ω2

0)

]

. (18.266)

El logaritmo se puede descomponer en la suma log(ω′ + iω1) + log(ω′ + iω2), donde

ω1,2 =γ

2

1±√

√

√

√1− 4ω20

γ2

. (18.267)

Ahora aplicamos la formula de regularizacion analıtica (2.541) para obtener

∫ ∞

−∞

dω′

2π[log(ω′ + iω1)+log(ω′ + iω2)]=

ω1

2+ω2

2= γ. (18.268)

Tanto el movimiento sobre– como el sub–amortiguado daran el mismo el resultado.Esta es una de las situaciones donde utilizamos nuestros comentarios que siguen alas Ecs. (2.544) y (2.543), relacionadas con la cancelacion de las partes oscilatorias.Para el determinante funcional (18.266), el resultado es

Det(−∂2t − γ∂t − ω20) = exp

[

Tr log(−∂2t − γ∂t − ω20)]

= exp[

(tb − ta)γ

2

]

. (18.269)

Notese que el resultado es independiente de ω0. Esto se puede entender simplementehallando las derivadas, con respecto a ω2

0, del logaritmo del determinante funcionalen la Ec. (18.254). Puesto que logDetM = Tr logM , esto dara la traza de la funcionde Green asociada:

∂

∂ω20

Tr log(−∂2t − γ∂t − ω20) = −

∫

dt (−∂2t − γ∂t − ω20)

−1(t, t). (18.270)

En el espacio de Fourier, el lado derecho se convierte en la integral sobre la frecuencia

−∫

dω′

2π

1

(ω′ + iω1)(ω′ + iω1). (18.271)

Ya que los dos polos estan debajo del contorno de integracion, podemos cerrar elcontorno en el semi-plano superior y obtener un cero. Cerrando el contorno en el


semi-plano inferior nos permitirıa obtener dos contribuciones no nulas a partir de loresiduos de los dos polos los que, sin embargo, se cancelan entre sı.

La funcion de Green (18.270) es causal, contrario con la funcion de Green del os-cilador de la Seccion 3.3, cuyo polo izquierdo esta en el semi–plano superior (recorde-mos la Fig. 3.3). Ası esta funcion tiene como prefactor una funcion de Heaviside[recordemos la Ec. (1.305) y la discusion dada ahı sobre la causalidad]. La anulacionde la integral (18.270) puede reintrepretarse como si fuera causada por la funcionde Heaviside, Ec. (1.304).

La dependencia en γ de la Ec. (18.269) puede igualmente calcularse como:

∂

∂γlog Det∂t(−∂2t − γ∂t − ω2

0) = −∫

dt [∂t(−∂2t − γ∂t − ω20)

−1](t, t). (18.272)

Hallamos la traza en el espacio de frecuencias:

i∫

dω′

2π

ω′

(ω′ + iω1)(ω′ + iω1). (18.273)

Si ahora cerramos el contorno de integracion con un semi-cırculo infinito en el semi-plano, por el teorema del residuo, obtenemos una integral nula sobre el semi-cırculoi∫

dω′/2πω′, de donde hallamos el valor 1/2, de acuerdo con la Ec. (18.269).Mas aun, la formula (18.269) se puede generalizar para considerar coeficientes

dependientes del tiempo

Det[

−∂2t −γ(t)∂t − Ω2(t)]

=exp

Tr log[

−∂2t −γ(t)∂t − Ω2(t)]

= exp

[

∫ tb

tadtγ(t)

2

]

.

(18.274)Esto se sigue de la factorizacion

Det[

−∂2t − γ(t)∂t − Ω2(t)]

= Det[∂t + Ω1(t)] Det[∂t + Ω2(t)] , (18.275)

donde

Ω1(t) + Ω2(t) = γ(t), ∂tΩ2(t) + Ω1(t)Ω2(t) = Ω2(t), (18.276)

y donde hemos usado la formula (3.134).Por lo tanto, el resultado hallado de la integral de trayectoria general (18.232),

sin considerar los terminos de retardo de la velocidad, sera la probabilidad

P0(0 tb|0 ta) ∝ exp[

−(tb − ta)γ

2

]

, (18.277)

tal como se obtuvo en la Ec. (18.255).Introduzcamos ahora el retardo del termino de velocidad usando la expresion

de Drude dependiente de ω′ para el coeficiente de friccion, Ec. (18.212). Primeroconsideramos de nuevo la integral de trayectoria armonica (18.265), en cuyo caso laEc. (18.266) se convierte en

P0(0 tb|0 ta) ∝ exp

−(tb − ta)∫ ∞

−∞

dω′

2πlog

[

ω′2 − iγRD(ω′)ω′ − ω2

0

]

. (18.278)


Reescribiendo el logaritmo como − log(ω′ + iωD) + Σ3k=1 log(ω

′ + iωk), donde

ω1,2 =γ

2

1±√

√

√

√1− 4ω20

γ2

, ω3 = ωD − γ (18.279)

[recordemos la Ec. (3.454) en la discusion del equilibrio dada en la Seccion 3.15], yusando de nuevo la formula (2.541) encontramos

∫ ∞

−∞

dω′

2π

[

− log(ω′ + iωD) +3∑

k=1

log(ω′ + iωk)

]

= −ωD +3∑

k=1

ωk

2= 0. (18.280)

Ası, γ y ω0 desaparecen del determinante funcional, y obtenemos

P0(0 tb|0 ta) = const . (18.281)

Esto implica que el determinante funcional es unitario [12]

Det(∂2t + iγ∂Rt + ω20) = 1, (18.282)

contrario al caso del determinante sin retardo (18.269). La independencia en γde este resultado se puede ver tambien eurısticamente, como en la Ec. (18.270),hallando la derivada con respecto a γ:

∂

∂γDet(−∂2t − γ∂Rt − ω2

0) = −∫

dt [∂Rt (∂2t − γ∂t − ω2

0)−1(t, t). (18.283)

Dado que la derivada retarda contiene el factor de Heaviside Θ(t − t′) de laEc. (1.304), tendremos un cero para t = t′.

En forma similar, el resultado 1/2 de la derivada no retarda de la Ec. (18.272),se puede entender como una consecuencia del promedio de la funcion de Heaviside(1.313) para t = t′.

Por supuesto, una derivada temporal avanzada en el determinante (18.282) darıalugar al resultado

Det(∂2t + iγ∂At + ω20) = γ. (18.284)

En analogıa con la Ec. (18.275), el determinante retardado general es tambienindependiente de γ(t) y Ω(t).

Det[

−∂2t − γ(t)∂Rt − Ω2(t)]

= 1. (18.285)

En el caso avanzado, encontrarıamos similarmente

Det[

−∂2t − γ(t)∂At − Ω2(t)]

= exp[∫

dt γ(t)]

. (18.286)


Comparando los determinantes funcionales (18.269) y (18.282) vemos que laprescripcion del retardo se puede evitar transformando trivialmente la Lagrangiana(18.235) a la forma

Le(x, x) =1

2w[x+Mγx+ V ′(x)]

2 − γ

2. (18.287)

De esto, la integral de trayectoria se puede calcular mediante la segmentacion tem-poral usual, y el resultado se puede deducir directamente de la Ref. [8].

El Hamiltoniano asociado con esta Lagrangiana se modifica solo ligeramente conrespecto a la forma sencilla dada en la Ec. (18.249):

H0(p, pv, x, v) =w

2M2p2v − iγpvv + ipv − γ

2. (18.288)

El factor γ/2 extra, asegura que en el operador Hamiltoniano (18.239) pv esta a laizquierda de v.

18.9.3 Amortiguamiento Fuerte

Para γ ≫ V ′′(x)/M , la dinamica esta controlada por la disipacion, y la Lagrangiana(18.235) tiene la forma mas convencional en la cual solo aparecen x y x:

Le(x, x) =1

2w

[

MγxR + V ′(x)]2

=1

4D

[

xR +1

MγV ′(x)

]2

, (18.289)

donde xR esta ligeramente antes que V ′(x(t)). La distribucion de probabilidad


Dx exp[

−∫ tb

tadt Le(x, x

R)]

(18.290)

puede verse como una integral de trayectoria Euclidiana ordinaria para la matrizdensidad de una partıcula de masaM = 1/2D. Como tal obedece una ecuacion difer-encial tipo Schrodinger. Olvidandonos por el momento de las sutilezas del retardo,introducimos una integracion auxiliar del momentum y usemos la representacioncanonica de la Ec. (18.290):

P (xbtb|xata) =∫

Dx∫ Dp

2πexp

∫ tb

tadt

[

ipx− 2Dp2

2+ ip

1

MγV ′(x)

]

. (18.291)

Por lo tanto, esta distribucion de probabilidad satisface la ecuacion de Schrodinger

H(pb, xb)P (xbtb|xata) = −∂tbP (xbtb|xata), (18.292)

donde el operador Hamiltoniano es

H(p, x) ≡ 2Dp2

2− ip

1

MγV ′(x) = −D∂x

[

∂x +1

DMγV ′(x)

]

. (18.293)


Para conservar la probabilidad, el operador del momentum tiene que estar a laizquierda del termino potencial. Solo entonces se anulara la integral sobre xb de laEc. (18.292). La Ec. (18.292) es la ecuacion sobre–amortiguada de Klein-Kramers,tambien llamada ecuacion de Smoluchowski . Esta expresion es un caso especial dela ecuacion ordinaria de Fokker-Planck.

Sin el retardo sobre x en la Ec. (18.290), la integral de trayectoria darıa comoresultado el operador simetrizado −i[pV ′(x) + V ′(x)p]/2 en el operador H . Esto sesigue del hecho de que el acoplamiento (1/2DMγ)xV ′(x) tiene la misma aparienciaque el acoplamiento de una partıcula a un campo magnetico con un “potencialvectorial” A(x) = (1/2DMγ)V ′(x) [ver la Ec. (10.171)].

No es dıficil darse cuenta de esto, principalmente por el efecto del retardo de lavelocidad en la integral de trayectoria (18.289). Supongamos, por el momento, quew es muy pequeno. Entonces la integral de trayectoria (18.290) sin el retardo,


Dx exp

− 1

2w

∫ tb

tadt [Mγx+ V ′(x)]

2

, (18.294)

se puede calcular en la aproximacion Gaussiana, dando como resultado para xb =xa = 0 el determinante funcional inverso

P0(0 tb|0 ta) = Det−1 [∂t + V ′′(x)/Mγ] , (18.295)

cuyo valor, de acuerdo a la formula (3.134), sera

Det [∂t + V ′′(x)/Mγ] = exp[∫

dt V ′′(x)/2Mγ]

. (18.296)

La version retardada de este determinante es trivial:

Det[

∂Rt + V ′′(x)/Mγ]

= 1, (18.297)

como quedo claro de la Ec. (18.285). La version avanzada serıa [comparemos con laEc. (18.286)]

Det[

∂At + V ′′(x)/Mγ]

= exp[∫

dt V ′′(x)/Mγ]

. (18.298)

A pesar de que los determinates (18.296), (18.297) y (18.298) han sido discutidosunicamente para intervalos temporales tb − ta grandes, las formulas siguen siendovalidas para todos los intervalos temporales, debido a la naturaleza trivial de primerorden del operador diferencial. Sin embargo, para intervalos temporales cortos, lasegunda derivada es aproximadamente independiente del tiempo. Por esta razon ladiferencia entre las integrales de trayectoria ordinarias y retardadas (18.290) estadada por la diferencia entre los determinantes funcionales (18.296) y (18.297), no solopara w muy pequeno sino que tambien para todo w. Ası, como en la Eq. (18.287),podemos evitar el retardo de la velocidad agregando a la Lagrangiana (18.289) untermino que contiene la segunda derivada del potencial:

Le(x, x) =1

4D

[

x+1

MγV ′(x)

]2

− 1

2MγV ′′(x). (18.299)


A partir esto, la integral de trayectoria se puede calcular con la misma particionusada para el acoplamiento invariante de norma de la Seccion 10.5:


Dx(t) exp

−∫ tb

tadt

1

4D

[

x+V ′(x)

Mγ

]2

− V ′′(x)

2Mγ

. (18.300)

Como un ejemplo consideremos un potencial armonico V (x) =Mω20x

2/2, dondela Lagrangiana (18.299) se convierte en

Le(x, x) =1

4D(x+ κx)2 − κ

2, (18.301)

donde hemos abreviado κ ≡ ω20/γ. La ecuacion de movimiento sera

−x+ κ2x = 0, (18.302)

y su solucion, que conecta xa, ta con xb, tb, es

x(t) =1

e2κta−e2κtb[

eκ(t+ta)xa−eκ(−t+ta+2κtb)xa−eκ(t+tb)xb+eκ(−t+2 ta+tb)xb

]

. (18.303)

Este resultado tiene la siguiente accion Euclidiana total

Ae =κ(eκtb xb − eκta xa)

2

2D (e2κtb − e2κta)− κ

2. (18.304)

Luego de una apropiada substitucion de las variables y usando la Ec. (2.171), eldeterminante de la fluctuacion es

Fκ(tb − ta) =1

√

2π sinh κ(tb−ta). (18.305)

Luego, la distribucion de probabilidad estara dada por

P (xbtb|xata) = Fκ(tb−ta)e−Ae =1

√

2πσ2(tb − ta)exp

− [xb − x(tb−ta)]22σ2(tb−ta)

,(18.306)

donde x(t) y σ2(t) son los promedios

x(t) ≡ 〈x(t)〉 = xae−κt, σ2(t) ≡ 〈[x(t)− x(t)]2〉 = D

κ

(

1− e−2κt)

, (18.307)

obtenidos de las integrales 8

x(tb − ta) ≡ 〈x(tb − ta)〉 ≡∫ ∞

−∞xbP (xbtb|xata), (18.308)

〈[x(tb − ta)− x(tb − ta)]2〉 ≡

∫ ∞

−∞[xb − x(tb − ta)]

2P (xbtb|xata). (18.309)

8Un metodo alternativo para calcular tales valores esperados sera presentado en la Seccion18.15.


El momentum canonico asociado con la Lagrangiana (18.301) es p = (x+κx)/2D,de tal forma que mediante la transformada Euclidiana de Legendre (2.340) y fijandoel operador de orden segun se discutio en la Ec. (18.247), el operador Hamiltonianosera:

H(p, x) = Dp2 + iκpx, p ≡ −i∂x. (18.310)

Este es el mismo operador de la Ec. (18.293) para el potencial armonico, la ecuacionde Fokker-Planck (18.292) sera:

(

−D∂2xb+ κ∂xb

xb)

P (xbtb|xata) = −∂tbP (xbtb|xata). (18.311)

Para tb → ta, la distribucion de probabilidad (18.306) se comporta como unafuncion δ alrededor de la posicion inicial xa. En el lımite de valores grandes detb − ta, la probabilidad converge a la distribucion lımite

limtb→∞

P (xbtb|xata) =√

κ

2πDexp

−κ x2b

2D

. (18.312)

Reemplazando nuevamente κ por ω20/γ = V ′′(0)/Mγ, y usando la expresion para D

dada en la Ec. (18.219), tenemos

limtb→∞

P (xbtb|xata) =√

V ′′(0)

2πkBTexp

− 1

kBTV (xb)

. (18.313)

Ası, la distribucion lımite de la Ec. (18.290) depende unicamente de xb. Este lımiteestrara dado por el factor de Boltzmann asociado con el potencial V (x), en el cual semueve la partıcula. El resultado se puede generalizar para incluir una gran variedadde potenciales.

Un resultado interesante, relacionado con el anterior, se puede derivar intro-duciendo un termino fuente externo jb x(tb) en la Lagrangiana (18.299). Medianteuna diferenciacion funcional repetida con respecto a jb encontramos que los valoresesperados

〈xn〉 = limtb→∞

〈xn(tb)〉 = limtb→∞

∫ Dxxn(tb)e−∫ tbta

dt Le(x,xR)

∫ Dx e−∫ tbta

dt Le(x,xR)(18.314)

tienen el siguiente lımite para tiempos grandes

limtb→∞

〈xn(tb)〉 = 〈xn〉 =∫

dx xne−V (x)/kBT

∫

dx e−V (x)/kBT. (18.315)

La generalizacion de esta relacion a la teorıa cuantica de campos forma la base dela cuantizacion estocastica de la Seccion 18.12.

18.10 Ecuaciones de Langevin 1379

18.10 Ecuaciones de Langevin

Consideremos la integral de trayectoria hacia adelante–atras (18.230) para valoresgrandes de γT . El segundo exponente limita las fluctuaciones de y tal que se cumplela relacion |y| ≪ |x|, y se supone que K(t, t′) adopta la forma de Drude (18.226), lacual se convierte en una funcion δ para el lımite ωD → ∞. Entonces podemos usarel desarrollo

V(

x+y

2

)

− V(

x− y

2

)

∼ yV ′(x) +y3

24V ′′′(x) + . . . , (18.316)

conservando solo el primer termino. Adicionalmente introducimos la cantidad auxi-liar η(t), mediante la relacion

η(t) ≡Mx(t) +MγxR(t) + V ′(x(t)). (18.317)

Con esto y luego de una integracion por partes del primer termino usando laspropiedades de los puntos extremos y(tb) = y(ta) = 0, la funcion exponencial(18.230) tendra la forma:

exp

− i

h

∫ tb

tadt yη − w

2h2

∫ tb

tadt∫ tb

tadt′ y(t)K(t, t′)y(t′)

. (18.318)

La variable y se puede integrar facilmente y encontramos la siguiente distribucionde probabilidad

P [η] ∝ exp

− 1

2w

∫ tb

tadt∫ tb

tadt′ η(t)K−1(t, t′)η(t′)

, (18.319)

donde el ancho de la fluctuacion w esta dado por la Ec. (18.218), y K−1(t, t′) denotala matriz funcional inversa de K(t, t′).

La ecuacion (18.317) que define a η(t), se puede ver como una ecuacion diferencial

estocastica a ser resuelta para las posiciones arbitrarias iniciales x(ta) = xa y lasvelocidades x(ta) = va. La ecuacion diferencial esta restringida por una variableGaussiana aleatoria de ruido η(t) con la siguiente funcion de correlacion

〈η(t)〉η = 0, 〈η(t)η(t′)〉η = wK(t− t′), (18.320)

donde el valor esperado de una funcional arbitraria F [x] esta definido por medio dela integral de trayectoria

〈F [x]〉η ≡ N∫

x(ta)=xa

DxP [η]F [x]. (18.321)

El factor de normalizacion N se fija usando la condicion N ∫ Dη P [η] = 1, de talmanera que 〈 1 〉η = 1. En lo que sigue, este factor de normalizacion estara siempreincluido en la norma Dη.

Para cada funcion η(t), la solucion de la ecuacion diferencial dara una integralde trayectoria xη(xa, xb, ta) con una posicion final xb = xη(xa, xb, tb) y velocidad


vb = xη(xa, xb, tb), siendo todas funcionales de η(t). De esta solucion podemoscalcular la distribucion P (xbvbtb|xavata) para los valores finales xb y vb, sumandosobre todas las trayectorias obtenidas de las funciones η(t) con la distribucion deprobabilidad (18.319). El resultado es por supuesto el mismo que el de la distribucion(18.242), obtenido previamente mediante la integral de trayectoria cononica.

Es util mostrar claramente la dependencia de las velocidades inicial y final sepa-rando la ecuacion diferencial estocastica (18.317) en dos ecuaciones de primer orden

Mv(t) +MγvR(t) + V ′(x(t)) = η(t), (18.322)

x(t) = v(t), (18.323)

a ser resueltas para los valores iniciales x(ta) = xa y x(ta) = va. Para una funcionη(t) dada, las posiciones y velocidades finales tienen la distribucion de probabilidad

Pη(xbvbtb|xavata) = δ(xη(t)− xb)δ(xη(t)− vb). (18.324)

Dadas estas distribuciones para todas las funciones η(t) posibles, de la integral detrayectoria sobre toda η(t) calculada con la distribucion de ruido (18.319), encon-traremos la distribucion de probabilidad final P (xbvbtb|xavata). El resultado tendrala expresion

P (xbvbtb|xavata) = 〈Pη(xbvbtb|xavata)〉η. (18.325)

Cambiemos la variable de integracion de x(t) a η(t). Esto dara origen al Jaco-biano

J [x] ≡ Det[δη(t)/δx(t′)] = det [M∂2t +Mγ∂Rt + V ′′(x(t))]. (18.326)

En la Ec. (18.285) hemos visto que debido al retardo de ∂Rt , este Jacobiano es uni-tario. Por lo tanto podemos reescribir el valor esperado (18.321) como una integralfuncional

〈F [x]〉η ≡∫

Dη P [η]F [x]∣

∣

∣

x(ta)=xa. (18.327)

De la distribucion de probabilidad P (xbvbtb|xavata) podemos hallar la probabili-dad dependiente solo de la posicion P (xbtb|xata) integrando sobre todas las veloci-dades inicial y final como se hizo en la Ec. (18.241). Mostrando de esta forma quela solucion a la integral de trayectoria hacia adelante–atras para el lımite de altastemperaturas, Ec. (18.232), se puede obtener de una solucion de las ecuaciones dife-renciales estocasticas (18.317), o mas especıficamente, de las ecuaciones diferencialesestocasticas (18.322) y (18.323).

La ecuacion diferencial estocastica (18.317), junto con la funcion de correlacionEc. (18.320), se conoce como la ecuacion semiclasica de Langevin. El ancho dela fluctuacion w dado en la Ec. (18.320) se obtuvo de la Ec. (18.218). El llamarlasemiclasica enfatiza el truncamiento del desarrollo (18.316), donde hemos usado solo

18.10 Ecuaciones de Langevin 1381

el primer termino, el cual se puede justificar solo para el caso de potenciales ligera-mente armonicos. Para una discusion mas completa sobre el rango de aplicabilidaddel truncamiento ver la ver el trabajo relacionado en la Ref. [14]. La integral detrayectoria no truncada es equivalente a la ecuacion de Langevin en forma de ope-rador, llamada ecuacion cuantica de Langevin [15]. Esta equivalencia sera discutidamas adelante en la Subseccion 18.19.

La interpretacion fısica de la Ec. (18.320) es como sigue. Para T → 0 y h → 0,donde el cociente h/T = const, la variable aleatoria η(t) no fluctua en lo absoluto yla Ec. (18.317) se reduce a la ecuacion clasica de movimiento de una partıcula en unpotencial V (x), con un termino de friccion adicional proporcional a γ. Si tanto Tcomo h son ambos finitos, la partıcula es agitada alrededor de su trayectoria clasicapor las fluctuaciones termicas y cuanticas. En el lımite de altas temperaturas (parah fijo), K(ω′) se reduce a

limT→∞

K(ω′) ≡ 1. (18.328)

Luego, η(t) es una variable aletoria instantanea con valor promedio cero y funcionde correlacion no nula:

〈η(t)〉η = 0, 〈η(t)η(t′)〉η = w δ(t− t′), (18.329)

Todas las funciones de correlacion de orden superior se anulan. Una variable aleato-ria con estas caracterısticas se conoce como ruido blanco. La ecuacion diferencialestocastica (18.317) junto con el ruido blanco (18.329) se reduce a la ecuacion clasica

de Langevin con inercia [16].En el lımite opuesto de bajas temperaturas, K(ω′) diverge en la forma

K(ω′)−−−→T→0

h|ω′|2kBT

, (18.330)

de tal forma que wK(ω′) tiene el lımite finito

limT→0

wK(ω′) =Mγh|ω′|. (18.331)

Para encontrar la transformada de Fourier de este resultado, usamos la descom-posicion de Fourier de la funcion de Heaviside (1.306)

Θ(ω′) =1

2π

∫ ∞

−∞dt e−iω′t i

t + iη(18.332)

con lo cual podemos construir la combinacion antisimetrica

Θ(ω′)−Θ(−ω′) =1

2π

∫ ∞

−∞dt e−iω′t

(

i

t+ iη+

i

t− iη

)

≡ i

π

∫ ∞

−∞dt e−iω′tP

t. (18.333)


Multiplicando por ω′ tenemos

|ω′| = ω′[Θ(ω′)−Θ(−ω′)] = −1

π

∫ ∞

−∞dt ∂te

−iω′tPt=

1

π

∫ ∞

−∞dt e−iω′t∂t

Pt

= −1

π

∫ ∞

−∞dt e−iω′tP

t2. (18.334)

Comparando con la Ec. (18.331) vemos que en el lımite cuantico puro, K(t− t′) sepuede escribir como

wK(t− t′) =T=0

−Mγh

π

P(t− t′)2

. (18.335)

Por lo que el movimiento mecanico-cuantico en contacto con una fuente termicarecupera la forma de un movimiento clasico, perturbado por una fuente aleatoriacon correlaciones temporales de largo alcance

〈η(t)η(t′)〉η = −Mγh

π

P(t− t′)2

. (18.336)

El rango temporal se obtiene del promedio temporal

〈(∆t)2〉t ≡∫ ∞

−∞d∆t (∆t)2K(∆t) = − ∂2

∂ω′2K(ω′)

∣

∣

∣

∣

ω′=0= −1

6

(

h

kBT

)2

. (18.337)

Ademas del signo negativo (el cual serıa positivo para tiempos Euclidianos), lavariable aleatoria adquiere mas y mas memoria a medida que la temperatura decrecey el sistema se mueve mas y mas en el regimen cuantico. Notese que, debido a lanormalizacion unitaria de K(t − t′) dado en la Ec. (18.224), no se requiere ningunfactor extra de normalizacion al construir el promedio temporal (18.337).

En el lımite de sobreamortiguamiento, la ecuacion clasica de Langevin con inercia(18.317) se reduce a la ecuacion sobreamortiguada de Langevin:

x(t) = −V ′(x(t))/Mγ + η(t)/Mγ. (18.338)

En el lımite de altas temperaturas, la variable de ruido η(t) tiene las funciones decorrelacion (18.329). En este caso se dice que la ecuacion diferencial estocastica(18.338) describe un proceso de Wiener . El primer termino en el lado derechorx(x(t)) ≡ −V ′(x(t))/Mγ se conoce como la deriva del proceso.

La distribucion de probabilidad x(t) que resulta de este proceso se calcula comoen las Ecs. (18.325) y (18.321), a partir de la integral de trayectoria

P (xbta|xata) =∫

Dη P [η] δ(xη(t)− xb), (18.339)

y Dη se normaliza de tal forma que∫ Dη P [η] = 1.

18.11 Solucion en Integrales de Trayectoria de la Ecuacion de Klein-Kramers 1383

Una representacion en integrales de trayectoria relacionada con esto se obtuvousando la identidad

∫ x(tb)=xb

x(ta)=xa

Dx δ[x− η] = δ(xη(tb)− xb), (18.340)

la cual se puede probar facilmente usando la particion temporal de la representacionde Fourier de la fucional δ

δ[x− η] =∫

Dp ei∫

dt p (x−η) (18.341)

y hallando todas las integrales del momentum. Esto lleva la integral de trayectoria(18.339) a la forma

P (xbtb|xata) =∫ x(tb)=xb

x(ta)=xa

Dx∫

Dη P [η] δ[x− η]. (18.342)

Para un potencial armonico V (x) =Mω20x

2/2, donde la ecuacion sobreamortiguadade Langevin es

x(t) = −ω20 x(t)/Mγ + η(t)/Mγ = −κ x(t)/Mγ + η(t), (18.343)

y donde la variable de ruido η(t) ≡ η(t)/Mγ tiene las funciones de correlacion

〈η(t)〉 = 0, 〈η(t)η(t′)〉η =w

M2γ2δ(t− t′) = 2Dδ(t− t′), (18.344)

el calculo de la integral de trayectoria estocastica dara de nuevo la probabilidad(18.306).

18.11 Solucion en Integrales de Trayectoria de la Ecuacionde Klein-Kramers

Para una partıcula libre a temperatura finita existe otra forma de representar lasolucion dada por la Ec. (18.440). Consideremos la integral de trayectoria de laEc. (18.240) para la probabilidad, con el Hamiltoniano dado por la Ec. (18.288).

Introduzcamos la velocidad termica vT ≡√

kBT/M y escribamos la accion como

[comparar con la Ec. (2.340)]

Ae=∫ tb

tadt [−i(px+pvv) +H(p, pv, v, x)] , (18.345)

donde

H(p, pv, v, x) = γv2T

(

pv − iv

2v2T

)2

+γ

4v2T

(

v + 2iv2Tγp

)2

+v2Tγp2 +

γ

2. (18.346)


En la integral de trayectoria (18.240), podemos integrar sobre x(t), lo que conviertea la integral de trayectoria sobre p(t) en una integral ordinaria, y obtenemos ası larepresentacion integral

P (xbvbtb|xavata) =∫

dp

2πP (vbtb|vapa)peip(xb−xa)−v2T p2(tb−ta)/γ , (18.347)

donde

Pp(vbtb|vata) =∫

Dv∫ Dpv

2πexp

∫ tb

tadt [ipv v −Hp(pv, v)]

, (18.348)

y donde el Hamiltoniano dependiente en p, que contiene tanto a pv como a v es:

Hp(pv, v) ≡ γv2T

(

pv − iv

2v2T

)2

+γ

4v2T

(

v + 2iv2Tγp

)2

− γ

2. (18.349)

En el operador Hamiltoniano asociado, el cambio de pv por −iv/2v2T se puede elimi-nar por medio de la transformacion de similaridad

Hp(pv, v) ≡ ev2/4v2T Hpe

−v2/4v2T = γv2Tp2v +

γ

4v2T

(

v + 2iv2Tγp

)2

− γ

2. (18.350)

Ası, podemos reescribir Pp(vbtb|vata) como

Pp(vbtb|vata) = e−v2b/4v2T Pp(vbtb|vata)ev

2a/4v

2T (18.351)

donde Pp(vbtb|vata) es la probabilidad asociada con el Hamiltoniano Hp(pv, v). EsteHamiltoniano describe un oscilador armonico con frecuencia γ alrededor del centrolocalizado en vp = −2iv2T p/γ dependiente de p. Si denotamos a la masa de esteoscilador por m = 1/2γv2T , podemos escribir inmediatamente las funciones de ondapropias como ψn(v− vp), donde ψ(x) esta dada por la Ec. (2.302), y cuyas energıasson nγ. Ası, podemos expresar la distribucion de probabilidad de x y v como unarepresentacion espectral

P (xbvbtb|xavata) = e−(v2b−v2a)/4v2T

∫ dp

2π

∞∑

n=0

ψn(vb − vp)ψn(va − vp)e−nγ(tb−ta)

× eip(xb−xa)−v2T p2(tb−ta)/γ , (18.352)

donde

ψn(v) =1

(2nn!√π)1/2(

√2vT )1/2

e−v2/4v2THn(v/√2vT ). (18.353)

En el lımite de amortiguamiento fuerte solo n = 0 contribuye a la suma, de dondeencontramos

P (xbvbtb|xavata) =e−(v2b−v2a)/4v

2T√

2πvT

∫

dp

2πe−[(vb−vp)2+(va−vp)2]/4v2T eip(xb−xa)−v2T p2(tb−ta)/γ .

18.12 Cuantizacion Estocastica 1385

Integrando este resultado sobre vb tenemos

P (xbtb|xavata) =∫ dp

2πeip(xb−xa−va/γ)−v2T p2(tb−ta)/γ=

1√

4πv2T/γe−

γ(xb−xa−va/γ)2

4v2T(tb−ta) ,(18.354)

donde en la exponencial hemos omitido teminos de orden γ−2. En la Ec. (18.440),por medio de calculos estocasticos, sera deducida una expresion compacta para lasolucion general.

18.12 Cuantizacion Estocastica

En la Ec. (18.314) observamos que el valor esperado de las potencias de la variableclasica x en un potencial V (x), se puede recuperar como un resultado de una integralde trayectoria asociada con la Lagrangiana (18.299). De la Ec. (18.339) sabemos quela integral de trayectoria (18.314) se puede reemplazar por la integral de trayectoriaestocastica:

〈xn〉 = lims→∞

〈xn(s)〉 = lims→∞

∫

Dη xnη (s)P [η] , (18.355)

donde

P [η] ≡∫

Dηe−(1/4kBT )∫ s

sads′η2(s′)

, (18.356)

Para simplificar las ecuaciones, hemos reemplazado el tiempo fısico por un parametroreescalado s = t/Mγ.

En forma equivalente podemos decir que obtenemos los valores esperados(18.355) resolviendo la ecuacion diferencial estocastica del proceso de Wiener

x′(s) = −V ′(x) + η(s), (18.357)

donde η(s) es un ruido blanco, con el par de funciones de correlacion

〈η(s)〉T = 0, 〈η(s)η(s′)〉T = 2kBT δ(s− s′), (18.358)

y vamos al lımite de valores grandes de s de los valores esperados 〈xn(s)〉.Estos resultados se pueden generalizar facilmente a la mecanica cuantica Eucli-

diana. Supongamos que queremos calcular las funciones de correlacion (3.298)

〈x(τ1)x(τ2) · · ·x(τn)〉 ≡ Z−1∫

Dxx(τ1)x(τ2) · · ·x(τn) exp(

−1

hAe

)

. (18.359)

Introducimos una varible temporal auxiliar adicional s y construimos la ecuaciondiferencial estocastica

∂sx(τ ; s) = − δAe

δx(τ ; s)+ η(τ ; s), (18.360)


donde η(τ ; s) tiene las funciones correlacion

〈η(τ ; s)〉 = 0, 〈η(τ ; s)η(τ ′; s′)〉 = 2hδ(τ − τ ′)δ(s− s′). (18.361)

El papel del ancho de la fluctuacion termica 2kBT de la Ec. (18.358) lo tiene ahora2h. Las funciones de correlacion (18.359) se pueden calcular a partir de las funcionesde correlacion auxiliares de x(τ, s), en el lımite de valores grandes de s:

〈x(τ1)x(τ2) · · ·x(τn)〉 = lims→∞

〈x(τ1, s)x(τ2, s) · · ·x(τn, s)〉. (18.362)

Debido a la variable temporal extra de la varible estocastica x(τ ; s), a diferencia dela Ec. (18.357), la distribucion de probabilidad asociada con la ecuacion diferencialestocastica (18.379) es una funcional P [xb(τ), sb; xa(τ), sa] dada por la generalizacionfuncional de la integral de trayectoria (18.300):

P [xb(τb), s; xa(τ), sa] = N∫

Dx(τ ; s)

× e−∫ sbsa

ds

14h

∫

∞

−∞dτ[∂sx(τ ;s)+ δ

δx(τ ;s)Ae]− 1

2hδ2

δx(τ ;s)2Ae

. (18.363)

Esta distribucion de probabilidad cumple con la generalizacion funcional de laecuacion de Fokker-Planck (18.292):

H [p(τ), x(τ)]P (x(τ)s|xa(τ); sa) = −∂sP (x(τ)s|xa(τ); sa), (18.364)

donde el Hamiltoniano es

H [p(τ), x(τ)] =∫ ∞

−∞dτ

[

hp2(τ)− ip(τ)δ

δx(τ)Ae

]

, (18.365)

y donde p(τ) ≡ δ/δx(τ). Por brevedad, hemos omitido el subıdice b del estado final.Explıcitamente, la ecuacion de Fokker-Planck (18.364) tiene la forma

−∫ ∞

−∞dτ

hδ

δx(τ)

[

hδ

δx(τ)+

δAe

δx(τ)

]

P [x(τ), s; xa(τ), sa]=−h∂sP [x(τ), s; xa(τ), sa].(18.366)

Para s → ∞, la distribucion es independiente de la trayectoria inicial xa(τ) ytiene el lımite [comparemos con la Ec. (18.314)]

lims→∞

P [x(τ), s; xa(τ), sa] =e−Ae[x]/h

∫

Dx(τ) e−Ae[x]/h, (18.367)

y las funciones de correlacion (18.378) estan dadas por la integral de trayectoriausual, sin considerar la condicion de normalizacion, la cual cumple con 〈1〉 = 1.

Como un ejemplo, consideremos un oscilador armonico donde la Ec. (18.360)sera

∂sx(τ ; s) = −M(−∂2τ + ω2)x(τ ; s) + η(τ ; s). (18.368)

18.12 Cuantizacion Estocastica 1387

Cuya solucion sera

x(τ ; s) =∫ s

0ds′ e−M(−∂2

τ+ω2)(s′−s)η(τ ; s′). (18.369)

Por lo tanto, la funcion de correlacion tiene la forma,

〈x(τ1; s1)x(τ2; s2)〉=∫ s1

0ds′1

∫ s2

0ds′2 e

M(−∂2τ+ω2)(s′1+s′2−s1−s2)〈η(τ1; s′1)η(τ2; s′2)〉. (18.370)

Insertando la expresion (18.361), esto se convierte en

〈x(τ1; s1)x(τ2; s2)〉= h∫ ∞

0ds[

e−M(−∂2τ+ω2)(s+|s1−s2|) − e−M(−∂2

τ+ω2)(s+s1+s2)]

,(18.371)

o tambien

〈x(τ1; s1)x(τ2; s2)〉 =h

M

1

−∂2τ + ω2

[

e−M(−∂2τ+ω2)|s1−s2| − e−M(−∂2

τ+ω2)(s1+s2)]

. (18.372)

Utilizando condiciones de frontera de Dirichlet (xb = xa = 0), donde el operador(−∂2τ +ω2) tiene como solucion las funciones propias sinusoidales de la forma (3.63),con frecuecias propias dadas por la Ec. (3.64), obtenemos la siguiente representacionespectral

〈x(τ1; s1)x(τ2; s2)〉 =h

M

2

tb − ta

∞∑

n=1

1

ν2n + ω2sin νn(τ1 − τa) sin νn(τ2 − τa)

×[

e−M(ν2n+ω2)|s1−s2| − e−M(−ν2n+ω2)(s1+s2)]

. (18.373)

Para valores grandes de s1, s2, se puede omitir el segundo termino. Si ademas,s1 = s2, obtenemos la funcion de correlacion de tiempo imaginario [comparemos conlas Ecs. (3.69), (3.304) y (3.36)]:

lims1=s2→∞

〈x(τ1; s)x(τ2; s)〉 = 〈x(τ1)x(τ2)〉 =h

M

1

−∂2τ + ω2(τ1, τ2)

=h

M

sinhω(τb − τ>) sinhω(τ< − τa)

ω sinhω(τb − τa). (18.374)

Podemos usar estos resultados para calcular la amplitud de evolucion temporal deacuerdo a la version de tiempo imaginario de la Eq. (3.318):

(xbτb|xaτa) = C(xb,xa)e−Ae(xb,xa;τb−τa)/he

−∫ τbτa

M2dτ ′b〈Le,fl(xb,xb)〉/h, (18.375)

donde Ae(xb,xa; τb − τa) es la version Euclidiana de la accion clasica (4.87). Si laLagrangiana tiene la forma estandar, entonces

〈Le,fl(xb, xb)〉 =M

2〈δx2

b〉, (18.376)


y obtenemos la amplitud de evolucion de tiempo imaginario de una expresion similara la dada en la Ec. (3.318). La constante de integracion se determina resolviendola ecuacion diferencial (3.319), y una ecuacion similar para xa. Como antes, de estoencontramos que C(xb,xa) es independiente de xb y xa.

Aplicando este resultado al oscilador armonico, donde usamos condiciones defrontera de Dirichlet, obtenemos

M

2〈δx2

b〉 =hω

2D cothω(τb − τa). (18.377)

Integrando este resultado con respecto a τb obtenemos h(D/2) log[2 sinhω(τb − τa)],de tal manera que el segundo exponencial en la Ec. (18.375) se reduce al factor defluctuacion correcto, hallado en la amplitud de tiempo imaginario en D-dimensiones[comparar con la Ec. (2.411)].

El formalismo se puede usar facilmente en la mecanica cuantica de tiempo real.Reemplazamos t → −iτ y Ae → −iA, y encontramos que las funciones de cor-relacion de tiempo real se obtienen en el lımite de valores grandes de s

〈x(t1)x(t2) · · ·x(τn)〉 = lims→∞

〈x(t1, s)x(t2, s) · · ·x(tn, s)〉, (18.378)

donde x(t; s) cumple con la ecuacion diferencial estocastica

h∂sx(t; s) = iδA

∂x(t; s)+ η(t; s), (18.379)

y donde si reemplazamos τ por t, el ruido η(t; s) tiene las mismas funciones decorrelacion que en la Ec. (18.361). Esta forma de calcular las funciones de correlacionmecanico-cuanticas es llamada la cuantizacion estocastica [17].

18.13 Calculo Estocastico

La relacion entre las ecuaciones de Langevin y Fokker-Planck es un tema importantedel llamado calculo estocastico. Dada una ecuacion de Langevin, el orden temporalcon respecto a x y x en el potencial V (x) es cuestion de eleccion. Elecciones diferentesforman la base del calculo Ito o calculo de Stratonovich. La posicion retardada queaparece naturalmente en la derivacion de la integral de trayectoria hacia adelante–atras, favorece el uso del calculo Ito. Un ordenamiento de punto medio, como enlas integrales de trayectoria invariantes de norma de la Seccion 10.5, se correspondecon el calculo de Stratonovich.

18.13.1 Version Estocastica de Kubo de la Ecuacion de Liouville

Vale la pena rastrear como el operador de orden retardado del termino de friccionentra en el calculo estocastico. Supondremos que las ecuaciones diferenciales es-tocasticas (18.322) y (18.323) se han resuelto para alguna funcion especıfica de ruidoη(t), de tal forma que conocemos la distribucion de probabilidad Pη(x v t|xavata)

18.13 Calculo Estocastico 1389

dada por la Ec. (18.324). Ahora observamos que la dependencia temporal de esta dis-tribucion esta regida por una ecuacion diferencial simple conocida como la ecuacion

estocastica de Kubo de la relacion de Liouville [18], la cual se obtiene como sigue[19]. Una derivada de la Ec. (18.324) dara

∂tPη(x v t|xavata) = xη(t)δ′(xη(t)− x)δ(xη(t)− v) + xη(t)δ(xη(t)− x)δ′(xη(t)− v).

(18.380)

Inicialmente, las derivadas de las funciones δ son con respecto a los argumentosxη(t) y xη(t). Sin embargo, estas derivadas se pueden expresar en terminos de lasderivadas con respecto a −x y −v. Puesto que xη(t) depende de xη(t) tenemos queser cuidadosos al colocar la derivada −∂v. La formula general para esta operacion sepuede expresar en la siguiente forma. Dada una variable dinamica arbitraria z(t), lacual puede ser cualquier funcion local (local en el sentido temporal) de x(t) y x(t),y cuya derivada es una funcion de z(t), i.e., z(t) = F (z(t)), entonces

d

dtδ(z(t)−z) = z(t)

∂

∂z(t)δ(z(t)−z) = − ∂

∂z[z(t)δ(z(t)−z)] = − ∂

∂z[F (z)δ(z(t)−z)].

(18.381)Para demostrar esta formula, multiplicamos cada expresion por una funcion g(z)arbitraria de prueba y suave e integramos sobre z. Cada integral dara el mismoresultado g(z(t)) = z(t)g′(z(t)) = F (z)g′(z(t)). Aplicando la identidad (18.381) a laEc. (18.380), obtenemos una ecuacion para Pη(x v t|xavata):

∂tPη(x v t|xavata) = −[∂xxη(t) + ∂vxη(t)]Pη(x v t|xavata). (18.382)

Ahora, con la ayuda de la ecuacion de Langevin (18.317), expresamos xη(t) enterminos de la fuerza de friccion −Mγxη(t), la fuerza −V ′(xη(t)) y el ruido η(t). Enla virtud de la funcion δ, δ(xη(t)− v), la velocidad xη(t) se puede reemplazar por v,y la Ec. (18.382) se convierte en

∂tPη(x v t|xavata) = −

v∂x +1

M[η(t) + f(x, v)]

Pη(x v t|xavata), (18.383)

donde

f(x, v) ≡ −Mγv − V ′(x) (18.384)

es la suma del potencial y las fuerzas de friccion. Esta es la ecuacion estocastica deLiouville debida a Kubo, la cual junto con la funcion de correlacion (18.218), de lavarible de ruido, y la expresion para hallar los valores esperados, Ec. (18.325), deter-mina el comportamiento temporal de la distribucion de probabilidad P (x v t|xavata).

18.13.2 De la Ecuacion de Kubo a la Ecuacion de Fokker-Planck

Calculemos el valor esperado de Pη(x v t|xavata) con respecto a las fluctuaciones deruido y mostremos que P (x v t|xavata), dada por la Ec. (18.325), satisface la ecuacion


de Fokker-Planck, cuya inercia estara dada por la Ec. (18.243). Primero observamosque en el valor esperado Gaussiano (18.321), la multiplicacion de una funcional F [η]por η produce el mismo resultado que la diferenciacion funcional con respecto a η,con una posterior multiplicacion funcional por la funcion de correlacion 〈η(t)η(t′)〉:

〈η(t)F [η]〉η =∫

dt′〈η(t)η(t′)〉η⟨

δη(t)

δη(t′)F [η]

⟩

η

. (18.385)

Esto se sigue del hecho de que η(t) se puede obtener de una derivada funcional dela distribucion Gaussiana dada en la Ec. (18.321), en la forma:

η(t)e−12w

∫

dtdt′η(t)K−1(t,t′)η(t′)= −w∫

dt′K(t, t′)δ

δη(t′)e−

12w

∫

dtdt′η(t)K−1(t,t′)η(t′). (18.386)

Dentro de la integral funcional (18.321) sobre η(t), una integracion por partes llevala derivada funcional −δ/δη(t′) al frente de F [η], ademas de un cambio de signo. Losterminos de superficie se pueden descartar ya que el integrando decrece exponen-cialmente rapido para valores grandes del ruido η(t). Ası, obtenemos la util formuladada en la Ec. (18.385).

Teniendo en mente el promedio Gaussiano (18.321), podemos por lo tanto reem-plazar la Ec. (18.383) por

∂tPη(x v t|xavata) = −

v∂x+1

M∂v

[

w∫

dt′K(t, t′)δ

δη(t′)+ f(x, v)

]

Pη(x v t|xavata).

(18.387)

Despues de esto, observamos que

δ

δη(t′)δ(xη(t)−x)δ(xη(t)−v) = −

[

δxη(t)

δη(t′)∂x +

δxη(t)

δη(t′)∂v

]

δ(xη(t)−x)δ(xη(t)−v).

(18.388)

De la ecuacion estocastica diferencial (18.317), deducimos el siguiente compor-tamiento de las derivadas funcionales:

δxη(t)

δη(t′)=

1

Mδ(t− t′)− γΘ(t− t′) + funcion suave de t− t′, (18.389)

δxη(t)

δη(t′)=

1

MΘ(t− t′) +O(t− t′), (18.390)

δxη(t)

δη(t′)= O((t− t′)2). (18.391)

Sustituyendo las Ecs. (18.380), (18.390) y (18.391) en la Ec. (18.387), se encuentraque las derivadas funcionales (18.390) y (18.391) estaran multiplicadas por K(t, t′)y se integran sobre t′.


Consideremos ahora el regimen de altas temperaturas. En este lımite la funcionK(t, t′) es extremadamente aguda alrededor de t = t′, representando casi una funcionδ [recordemos la normalizacion unitaria (18.328)]. Enfatizamos este resultado escri-biendo K(t, t′) ≡ δǫ(t− t′), donde el subındice indica el ancho ǫ de K(t, t′), el cualtiende a cero como h/kBT para valores grandes de T [recordemos la Ec. (18.337)].En este lımite, la contribucion de la derivada (18.391) se anula, mientras que factor(18.390) contribuye a la Ec. (18.387) con el termino

∫

dt′K(t, t′)δ

δη(t′)δ(xη(t)−x)δ(xη(t)−v) (18.392)

=−∫

dt′δǫ(t−t′)δxη(t)

δη(t′)∂vδ(xη(t)−x)δ(xη(t)−v) =− 1

2M∂vδ(xη(t)−x)δ(xη(t)−v).

El factor 1/2 del lado derecho se obtiene del hecho de que la supuesta funcion δ,δǫ(t−t′) es simetrica en t − t′, de tal manera que su convolucion con la funcion deHeaviside Θ(t − t′) es no nula solo sobre la mitad del pico. Tomando el promediodel ruido (18.325), obtenemos de la relacion (18.387) la ecuacion de Fokker-Planckcon el factor de inercia dado por la Ec. (18.243):

∂tP (x v t|xavata) =

−v∂x +1

M∂v

[

w

2M∂v − f(x, v)

]

P (x v t|xavata). (18.393)

Notese que como una consecuencia de la formula (18.381), los operadores diferen-ciales tienen el mismo orden que en la Ec. (18.239).

En el lımite sobreamortiguado, la derivacion de la ecuacion de Fokker-Plancksera muy simple. En este caso tenemos que considerar unicamente la distribucionen el espacio x puro

Pη(x t|xata) =∫

dv Pη(x v t|xavata) = δ(xη(t)− x), (18.394)

cuya derivada temporal estara dada por

∂tPη(x t|xavata) = −∂xxη(t)Pη(x t|xavata)= − 1

Mγ∂x[η(t)− V ′(x)]Pη(x t|xavata). (18.395)

Despues de tratar al termino de ruido η(t) de acuerdo a la regla (18.385)

η(t) → w∫

dt′δǫ(t− t′)δ

δη(t′), (18.396)

usando

δ

δη(t′)δ(xη(t)− x) = −δxη(t)

δη(t′)δ(xη(t)− x) (18.397)


y

δxη(t)

δη(t′)=

1

Mγδ(t− t′) + funcion suave de t− t′,

δxη(t)

δη(t′)=

1

MγΘ(t− t′) +O(t− t′), (18.398)

encontramos la ecuacion sobreamortiguada de Fokker-Planck (18.292):

∂tP (x t|xata) =[

D∂2 +1

MγV ′(x)

]

P (x t|xata). (18.399)

Las distribuciones P (x t|xata) y P (x v t|xavata) se obtienen de las funciones δ dedistribucion iniciales P (x ta|xata) = δ(x− xa) y P (x v ta|xata) = δ(x− xa)δ(v− xa).

Multipliquemos estas funciones δ por las probabilidades iniciales arbitrariasP (x, ta) y P (x v, ta) e integremos sobre x y v, de donde obtenemos las integralesde trayectoria estocastica

P (x , t) =∫

Dη e−(1/2w)∫

dtdt′ η(t)K−1(t,t′)η(t′)P (xaη(t), ta), (18.400)

P (x v, t) =∫

Dη e−(1/2w)∫

dtdt′ η(t)K−1(t,t′)η(t′)P (xaη(t), vaη, t), (18.401)

donde xaη y vaη son las posiciones y las velocidades iniciales de las trayectorias quellegan a los valores finales x y v, de acuerdo a la ecuacion de movimiento con ruidofijo η(t):

xaη(t) = x−∫ t

tadt′ x(t′), vaη(t) = x−

∫ t

tadt′ v(t′). (18.402)

Usando la expresion (18.338), en el lımite de altas temperaturas la ecuacion so-breamortiguada se puede escribir como

P (x , t) =∫

Dη e−(1/2w)∫

dt η2(t)P

(

x− 1

Mγ

∫ t

tadt′ [η(t′)− V ′(x(t′))] , t

)

. (18.403)

La ecuacion de evolucion temporal (18.399) se obtiene de este resultado, haciendoel calculo para un incremento temporal muy corto ǫ:

P (x , t+ ǫ) =∫

Dη e−(1/2w)∫

dt η2(t)

− ǫ

Mγ

∫ t+ǫ

tdt′ [η(t′)− V ′(x(t′))] ∂x

+1

2M2γ2

∫ t+ǫ

tdt′∫ t+ǫ

tdt′′ [η(t′)− V ′(x(t′))] [η(t′′)− V ′(x(t′′))] ∂2x + . . .

× P

(

x− 1

Mγ

∫ t

tadt′ [η(t′)− V ′(x(t′))] , t

)

. (18.404)

Ahora usando las funciones de correlacion (18.329), conservando solo potencias deorden lineal en ǫ, en el lımite ǫ→ 0 encontramos directamente la ecuacion (18.399).


18.13.3 Lema de Ito

Una herramienta importante para el estudio de las variables estocasticas se obtienedel lema de Ito. Sea x(t) una variable estocastica que sigue un proceso de Wienercon termino de deriva rx(x(t), t), el cual se supone que es una funcion suave dex(t) y t [comparemos con la Ec. (18.338)], i.e., x(t) fluctua armonicamente con unruido blanco alrededor de su promedio 〈x(t)〉 = rx(x(t), t) de acuerdo a la ecuaciondiferencial estocastica

x(t) = 〈x(t)〉+ η(t) = rx + η(t). (18.405)

Omitiremos la dependencia de rx en sus argumentos suaves, ya que esto sera irre-levante para los argumentos posteriores. El ruido blanco tiene un promedio nulo〈η(t)〉 = 0, y su unica funcion de correlacion no nula es

〈η(t)η(t′)〉 = σ2δ(t− t′). (18.406)

El valor de x(t) para un tiempo ligeramente posterior t+ǫ es x(t+ǫ) = x(t)+∆x(t),donde

∆x(t) ≡∫ t+ǫ

tdt′ x(t′) = ǫrx +

∫ t+ǫ

tdt′ η(t′). (18.407)

Consideremos ahora una funcion arbitraria f(x(t)). Su valor al tiempo t + ǫ tienela serie de Taylor

f(x(t+ ǫ)) = f(x(t)) + f ′(x(t))∆x(t)

+1

2f ′′(x(t))[∆x(t)]2 +

1

3!f (3)[∆x(t)]3 + . . . . (18.408)

El termino lineal en ∆x(t) en el lado derecho de la Ec. (18.408), tendra el prome-dio

〈∆x(t)〉 =∫ t+ǫ

tdt′ 〈x(t′) + η(t′)〉 =

∫ t+ǫ

tdt′ 〈x(t′)〉 ≈ ǫrx, (18.409)

donde hemos omitido los argumentos x(t) y t de rx(x(t), t) ya que, a orden menoren ǫ, la variacion de rx(x(t), t) en el pequeno intervalo (t, t + ǫ) se puede ignorar.

El promedio del termino cuadratico 〈[∆x(t)]2〉 es

〈[∆x(t)]2〉 =∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2 〈[〈x(t1)〉+ η(t1)] [〈x(t2)〉+ η(t2)]〉

≈ ǫ2r2x + 〈η(t1)η(t2)〉.

Debido a la presencia de la funcion δ en la funcion de correlacion (18.406), el segundotermino es del orden de ǫ. Ası, encontramos

〈[∆x(t)]2〉 = ǫσ2 +O(ǫ2). (18.410)


El promedio del termino cubico 〈[∆x(t)]3〉 esta dado por la integral

∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2

∫ t+ǫ

tdt3 〈[〈x(t1)〉+ η(t1)] [〈x(t2)〉+ η(t2)] [〈x(t3)〉+ η(t2)]〉

=∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2

∫ t+ǫ

tdt3

[

〈x(t1)〉〈x(t2)〉〈x(t3)〉+ 〈x(t1)〉〈η(t2)η(t3)〉

+ 〈x(t2)〉〈η(t1)η(t3)〉+ 〈x(t3)〉〈η(t1)η(t2)〉]

=ǫ3r3x + 3ǫ2rxσ2 = O(ǫ2). (18.411)

Los promedios de las potencias de orden superior [∆x(t)]n son obviamente al menosde orden ǫn/2. Ası en el lımite ǫ→ 0, encontramos la formula simple

〈f(x(t))〉 = 〈f ′(x(t))〉〈x(t)〉+ σ2

2〈f ′′(x(t))〉. (18.412)

Notese que en la formulacion de particion temporal, f(x(t))x(t) tiene la formaf(xn)(xn+1 − xn)/ǫ, donde xn y xn+1 fluctuan de manera independiente, de talforma que podemos tratar a xn y (xn+1 − xn)/ǫ como las varibles independientes dela fluctuacion. En el lımite continuo x(t) y x(t) seran independientes.

El punto importante senalado por Ito es que este resultado no solo es verdaderopara los promedios, sino que tambien para las mismas derivadas f(x(t)), i.e., f(x(t))obedece la ecuacion diferencial estocastica

f(x(t)) = f ′(x(t)) x(t) +σ2

2f ′′(x(t)), (18.413)

la cual es conocida como el lema de Ito.Para demostrar este resultado debemos probar que las fluctuaciones omitidas

en los terminos de orden superior [∆x(t)]n, donde n ≥ 2, son de orden mayor, enfuncion de ǫ, comparado con el termino principal en la fluctuacion de ∆x(t), la cuales de orden ǫ. Denotando la parte fluctuante de [∆x(t)]n por zn(t), para n = 1, 2,tenemos

z1(t) =∫ t+ǫ

tdt η(t), z2(t) ≡ [z2,1(t) + z2,2(t)] , (18.414)

donde las dos partes de z2(t) son

z2,1(t)=2∫ t+ǫ

tdt1 〈x(t1)〉 z1(t) ≈ 2ǫrx z1(t), z2,2(t)=[z1(t)]

2. (18.415)

Las fluctuaciones de z2,1(t) son menores, por un factor ǫ, que los terminos dominantesde z1(t). Por lo tanto, en el lımite ǫ→ 0, estas fluctuaciones se puede ignorar.

El tamano de la fluctuaciones z2,2(t) se estiman calculando la varianza〈[z2,2(t)]2〉 − 〈z2,2(t)〉2. El primero de los dos valores esperados es

⟨

[z2,2(t)]2⟩

=∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2

∫ t+ǫ

tdt3

∫ t+ǫ

tdt4 〈η(t1)η(t2)η(t3)η(t4)〉. (18.416)


De acuerdo a la regla de Wick (3.305), para las fluctuaciones armonicas, el valoresperado en el lado derecho es igual a la suma de los tres pares de contraciones

〈η(t1)η(t2)〉〈η(t3)η(t4)〉+ 〈η(t1)η(t3)〉〈η(t2)η(t4)〉〈η(t1)η(t4)〉〈η(t2)η(t3)〉. (18.417)

Sustituyendo la Ec. (18.406) y realizando las integrales, obtenemos⟨

[z2,2(t)]2⟩

= 3ǫ2σ4. (18.418)

El segundo termino en la varianza de z2,2(t) es

〈z2,2(t)〉2 = 〈z21(t)〉2 =[∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2 〈η(t1)η(t2)〉

]2

= ǫ2σ4. (18.419)

Por lo tanto, obtenemos que la varianza de z2,2(t) es:

〈[z2,2(t)]2〉 − 〈z2,2(t)〉2 = 2σ4ǫ2. (18.420)

Este resultado se debe de comparar con la varianza de las fluctuaciones dominantesz1(t) de la Ec. (18.413):

〈[z1(t)]2〉 − 〈z1(t)〉2 =∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2 〈η(t1)η(t2)〉 = ǫσ2, (18.421)

lo que implica que el orden de z1(t) es σ√ǫ. De tal manera que la fluctuacion de

[∆x(t)]2 es menor que el de ∆x(t) por un factor√ǫ, y en el lımite continuo ǫ → 0

puede ser ignorado.Con esto hemos probado que no solo el valor esperado 〈[∆x(t)]2〉 sera igual a

ǫσ2, como se establecio en la Ec. (18.410), sino que tambien la misma fluctuacion[∆x(t)]2:

[∆x(t)]2 = ǫσ2 +O(ǫ2). (18.422)

De manera similar podemos derivar las estimaciones [∆x(t)]n = O((σ√ǫ)n) para

las fluctuaciones de orden superior zn(t) en la serie de Taylor (18.408). Las cualesse pueden ignorar comparadas con z1(t), probando ası el lema de Ito(18.413).

Para una funcion exponencial, el lema de Ito dara

d

dtePx =

(

P x+σ2P 2

2

)

ePx. (18.423)

Lo cual se puede integrar

ePx = e∫ t

0dt′ P x eP

2σ2t/2. (18.424)

El valor esperado de esta cantidad tambien se puede formular como una reglapara calcular el valor esperado de la exponencial de una integral sobre una variableGaussiana con ruido promedio cero:

⟨

eP∫ t

0dt′ η(t′)

⟩

= eP2∫ t

0dt′∫ t

0dt′′〈η(t′)η(t′′)〉 = eP

2σ2t/2. (18.425)


Esta regla tambien se puede deducir directamente de la regla de Wick (3.310). Ellado derecho corresponde al factor de Debye-Waller , utilizado en la fısica del estadosolido para describir la reduccion de la intensidad de los picos de Bragg por mediode las fluctuaciones termicas de las posiciones atomicas [ver la Ec. (3.311)].

Existe una forma mnemotectica simple para formalizar la derivacion de laEc. (18.413) en una notacion diferencial informal. Desarrollamos

f(x(t+ dt)) = f(x(t) + xdt) = f(x(t)) + f ′(x(t))x(t)dt+1

2f ′′(x(t))x2(t)dt2 + . . . ,

(18.426)e insertamos en los terminos de orden superior del desarrollo el factor x = 〈x〉+η(t),donde 〈η(t)〉 = 0 y cuyo valor esperado es

〈η2(t)〉 dt = σ2, (18.427)

el cual expresa infinitesimalmente la ecuacion correcta

∫ t+ǫ

tdt′ 〈η(t′)η(t)〉 =

∫ t+ǫ

tdt′ σ2 δ(t′ − t) = σ2. (18.428)

La variable x2(t)dt2 tiene el valor esperado σ2dt y una varianza 〈[x2(t)dt2]2 −〈x2(t)dt〉2〉 = 2σ2dt2, de tal forma que en la Ec. (18.426) x2(t)dt2 se puede reemplazarcomo sigue:

x2(t)dt2 → σ2dt/2. (18.429)

Una estimacion apropiada se cumple para todos los terminos de orden superior:

zn ≈ O((σ√ǫ)n). (18.430)

oxn(t)dtn ≈ O((σ

√dt)n). (18.431)

Estos terminos se pueden omitir en el desarrollo (18.426), con lo cual regresamos ala regla (18.412) de Ito.

Debe de hacerse notar que el lema de Ito es valido solo en el lımite ǫ → 0.Para un eje temporal discreto con una particion ∆t = ǫ pequena pero finita, lasfluctuaciones de zn(t) no se pueden ignorar extrictamente, sino que se reemplazaranpor un factor pequeno σ

√∆T . La version discreta del lema de Ito dara el desarrollo

de la diferencia de la fluctuacion ∆f(x(tn)) ≡ f(x(tn+1))− f(x(tn)), en la siguienteforma:

∆f(x(tn))

∆t= f ′(x(tn))

∆x(tn)

∆t+σ2

2f ′′(x(tn)) +O(σ

√∆t). (18.432)

18.14 Solucion de la Ecuacion de Langevin

En la Ec. (18.306) hemos encontrado la distribucion de probabilidad para elmovimiento de una partıcula con mucha disipacion, para ello resolvimos la inte-gral de trayectoria (18.300) para el potencial del oscilador armonico V (x) = ω2

0x2/2.

18.14 Solucion de la Ecuacion de Langevin 1397

Por completes, hallaremos el mismo resultado usando el calculo estocastico. Laecuacion diferencial estocastica asociada con la Lagrangiana (18.301) es

x(t) = −κx(t) + η(t), (18.433)

donde

〈η(t)〉η, 〈η(t)η(t′)〉η = 2Dδ(t− t′). (18.434)

Esta ecuacion se resuelve usando la relacion

x(t) = x0e−κt +

∫ t

0dt1 e

−κ(t−t1)η(t1), (18.435)

de tal manera que obtenemos 〈x(t)〉η = x0e−γt, y ademas

〈x(t)x(t′)〉η = x20e−κ(t+t′) + 2D

∫ t

0dt1 e

−κ(t−t1)∫ t′

0dt2 e

−(t′−t2)δ(t1 − t2)

= x20e−κ(t+t′) + κ−1D

(

e−κ|t−t′|−e−κ(t+t′))

, (18.436)

y la desviacion cuadratica media sera

〈[x(t)− 〈x(t)〉]2〉η = κ−1D(

1− e−2κt)

. (18.437)

De estos valores esperados recuperamos inmediatamente la funcion de distribucionprevia (18.306).

Este resultado se puede generalizar facilmente a una ecuacion de Langevin conD-componentes

x(t) = −x(t) + (t), (18.438)

donde es una matriz, y (t) un vector de ruido. Sus funciones de correlacion sepueden expresar en terminos de una matriz de difusion D, en la forma

〈(t)〉 = 0, 〈(t)T (t′)〉

= 2Dδ(t− t′), (18.439)

las cuales han de ser comparadas con las expresiones en una dimension (18.329).Entonces la probabilidad (18.306) sera

P (xbtb|xata) =1

√2π

D

1√

det [σ2(tb − ta)]D

× exp

−1

2[xb − x(tb−ta)]i[σ2

ij(tb−ta)]−1[xb − x(tb−ta)]j

, (18.440)

dondex(t) = e−t xa , (18.441)

yσ2ij(t) ≡ 〈[x(t)− x(t)]i[x(t)− x(t)]j〉

. (18.442)


La probabilidad (18.440) es solucion de la ecuacion de Fokker-Planck (18.245)

∂tP (x t|taxa) = (−κij∂ixj +Dij∂i∂j)P (x t|taxa). (18.443)

El resultado en D componentes (18.440) nos permite resolver la ecuacion deLangevin con inercia, dada en la Ec. (18.317). Simplemente reescribimos el par deecuaciones equivalentes (18.322) y (18.323) en la forma matricial (18.438), dondex1 = x y x2 = v, e identificamos

=

(

0 −1ω20 γ

)

, (t) =1

M

(

0η(t)

)

, (18.444)

de tal manera que la matriz de difusion tendra la forma de la Ec. (18.246).Los valores propios de la matriz no hermıtica dada por la Ec. (18.441), son

κ1,2 = 12(γ ±

√

γ2 − 4ω20 ). Los vectores propios asociados u(1,2), que cumplen la

relacion u(1,2) = κ1,2u(1,2), son (−1, κ1) y (1,−κ2), respectivamente, mientras

que los vectores de la izquierda, que cumplen la relacion v(1,2) = κ(1,2)v

(1,2), son(κ2, 1)/(κ1−κ2) y (κ1, 1)/(κ1−κ2), respectivamente. Los dos conjuntos de vectores

propios son mutuamente ortonormales y completos: u(i)·v(j) = δij ,∑

k v(k)i u

(k)j = δij.

Entonces, la matriz tiene la representacion espectral κij =∑

k κku(k)i v

(k)j , y la repre-

sentacion de la exponencial es: (e−t)ij =∑

k e−κktu

(k)i v

(k)j . La cual explıcitamente

sera

e−t =1

κ1 − κ2

(

κ1e−κ2t − κ2e

−κ1t e−κ2t − e−κ1t

ω20(e

−κ1t − e−κ2t) κ1e−κ1t − κ2e

−κ2t

)

. (18.445)

La matriz inversa [σ2ij(tb−ta)]−1 esta dada por

[σ2ij(t)]

−1 =[

det σ2ij(t)

]−1(

σ2vv(t) −σ2

xv(t)−σ2

xv(t) σ2xx(t)

)

(18.446)

donde los elementos de matriz σ2ij(tb−ta) se calculan de los valores esperados (18.442).

Esto se hace expresando la solucion (18.438) como en la Ec. (18.435), en la forma

x(t) = e−t xa +∫ t

tadt (t), (18.447)

y usando las funciones de correlacion (18.439) para encontrar

σ2xx(t) =

γ2D

(κ1 − κ2)2

[

1

κ1

(

1− e−2κ1t)

+1

κ2

(

1− e−2κ2t)

− 4

κ1 + κ2

(

1− e−κ1+κ2)t)

]

,

σ2xv(t) =

γ2D

(κ1 − κ2)2

(

e−κ1t − e−κ2t)2, (18.448)

σ2vv(t) =

γ2D

(κ1 − κ2)2

[

κ1(

1− e−2κ1t)

+ κ2(

1− e−2κ2t)

− 4

κ−11 +κ−1

2

(

1− e−κ1+κ2)t)

]

.

18.14 Solucion de la Ecuacion de Langevin 1399

En el lımite de tiempos muy grandes, estas funciones convergen a

σ2xx(t) →

γD

κ1κ2=γD

ω20

, σ2xv(t) → 0, σ2

vv(t) → γD, (18.449)

por lo que el determinante det σ2ij(t) se convierte en γ2D2/ω2

0, y la distribucion(18.440) sera la distribucion de Boltzmann

limtb→∞

P (xbvbtb|xavata) =ω0

2πγDe−(v2b+ω2

0x2b)/2γD =

Mω0

2πkBTe−M(v2b+ω2

0x2b)/2kBT . (18.450)

La velocidad muestra la forma bien conocida de la distribucion de Maxwell :

P (vb) =1√

2πγDe−v2b /2γD =

1√

2πkBT/Me−Mv2b/2kBT =

1√2πvT

e−v2b /2v2T ,(18.451)

la cual tendra la siguiente velocidad termica media

vT ≡√

kBT/M. (18.452)

Si integramos el resultado bidimensional P (xbvbtb|xavata) sobre todas las veloci-dades finales, obtenemos

P (xbtb|xavata)=∫

dvb P (xbvbtb|xavata)=1

√

2πσ2xx(tb−ta)

exp

−1

2

[xb−x(tb−ta)]2σ2xx(tb−ta)

.

(18.453)Notese que este resultado depende de va, mediante la relacion x(tb− ta) = xa +γ−1(1− e−γ(tb−ta))va.

En ausencia de un potencial externo, i.e. para ω0 = 0, los valores propios κ1,2son γ y 0, respectivamente, y la matriz e−t se reduce a

e−t =

(

1 γ−1(1− e−γt)0 e−γt

)

. (18.454)

Los elementos de matriz σ2ij(t) son simplemente9

σ2xx(t)=γ

−1D(2γt−3+4e−γt− e−2γt), σ2xv(t) = D(1−e−γt)2, σ2

vv(t) = γD(1−e−2γt),

(18.455)cuyo determinante es

det σ2ij(t) = D2

[

2γt(1− e−2γt) + (1− e−γt)2(−4 − 2e−γt + e−3γt)]

. (18.456)

En el lımite de tiempos muy grandes, estos elementos de matriz se convierten en

σ2xx(t) → 2Dt, σ2

xv(t) → D, σ2vv(t) → γD, det σ2

ij(t) → 2γtD2. (18.457)

Por supuesto, el ultimo resultado se puede deducir integrando sucesivamenteel par de ecuaciones de Langevin con inercia (18.322) y (18.323), para el poten-cial V (x) cero. Primeramente la ecuacion para v(t), la cual es v(t) = v0e

−γt +∫ t0 dt1 e

−γ(t−t1)η(t1)/M , y dara 〈v(t)v(t′)〉η = v20e−γ(t+t′) + γD

(

e−γ|t−t′|−e−γ(t+t′))

,

donde se han usado las funciones de correlacion de ruido blanco (18.329). Las ecua-ciones para x(t) se obtienen de las relaciones para v(t), luego de integrar sobre t.

9Para un calculo alterno de los valores esperados (18.442), ver la Seccion 18.15.


18.15 Evolucion de la Probabilidad en la Imagen deHeisenberg

Se puede desarrollar una descripcion en terminos de los operadores de Heisenberg para hallar ladependencia temporal de valores termicos esperados. Esta descripcion esta en completa analogıacon lo presentado de la Seccion 2.23 para la amplitud de evolucion temporal mecanico-cuantica.Consideremos los valores termicos esperados de x y x2 para una partıcula que se localiza en xa altiempo inicial t = ta. Estos valores termicos estaran dados por las integrales

〈x〉 ≡∫ ∞

−∞

dxb xbP (xbtb|xata), (18.458)

〈x2〉 ≡∫ ∞

−∞

dxb x2bP (xbtb|xata). (18.459)

Por simplicidad, veamos primero el caso de un termino de friccion. Al igual que en la mecanicacuantica, es util introducir para las probabilidades una notacion tipo bra-ket, en lugar de hacerlopara las amplitudes,

〈xbtb|xata〉 ≡ |(xbtb|xata)|2. (18.460)

El hecho de que esta probabilidad obedezca una ecuacion del tipo Fokker-Planck implica quepodemos escribirla en la forma

〈xbtb|xata〉 = e−(tb−ta)H(pb,xb)δ(xb − xa). (18.461)

Ası, podemos introducir una base de vectores independientes del tiempo |xa〉, los cuales cumplenla relacion

〈xb|xa〉 = δ(xb − xa). (18.462)

En esta base, los operadores p y x estan definidos de la forma usual. Los operadores cumplen lasrelaciones

〈xb|x = xb〈xb|, 〈xb|p = −i ∂∂xb

〈xb|. (18.463)

Ahora podemos reescribir la Ec. (18.461) en la notacion bra-ket, en la forma

〈xbtb|xata〉 = 〈xb|e−H(p,x)(tb−ta)|xa〉. (18.464)

El valor esperado de una funcion f(x) se calcula como sigue

〈f(x)〉 =

∫ ∞

−∞

dxb f(xb)〈xb|e−(tb−ta)H(p,x)|xa〉

=

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|f(x)e−(tb−ta)H(p,x)|xa〉 (18.465)

=

∫ ∞

−∞

dxb

∫ ∞

−∞

dx 〈xb|e−(tb−ta)H(p,x)|x〉〈x|f(x(tb − ta))|xa〉.

En el ultimo termino hemos introducido el operador de Heisenberg dependiente del tiempo

x(t) ≡ etH(p,x)xe−tH(p,x). (18.466)

La probabilidad P (xbtb|xata) cumple con la condicion de normalizacion∫ ∞

−∞

dxb P (xbtb|xata) =

∫ ∞

−∞

dxb 〈xbtb|xata〉 (18.467)

=

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|e−(tb−ta)H(p,x)|xa〉 = 1.

18.15 Evolucion de la Probabilidad en la Imagen de Heisenberg 1401

Aplicando esta condicion a la ultima lınea de la Ec. (18.465), llegamos a la formula

〈f(x)〉 =

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|f(x(tb − ta))|xa〉. (18.468)

Para el movimiento Browniano de una partıcula, donde

Le =x2

4D, H = Dp2, (18.469)

los operadores de Heisenberg son

p(t) = p, x(t) = eHtxe−Ht = x− i2Dpt, (18.470)

y

x2(t) = x2 − i2D · (px+ xp)t− 4D2p2t2,

= x2 + 2Dt− i2D · 2xp− 4D2p2t. (18.471)

Es directo calcular los siguientes elementos de matriz:

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|x|xa〉 = xa,

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|p|xa〉 = −i∫ ∞

−∞

dxb∂

∂xbδ(xb − xa) = 0,

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|x2|xa〉 =

∫ ∞

−∞

dxb xb2δ(xb − xa) = xa

2, (18.472)

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|p2|xa〉 = −∫ ∞

−∞

dxb∂2

∂xb2δ(xb − xa) = 0,

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|px|xa〉 = −i∫ ∞

−∞

dxb∂

∂xbδ(xb − xa)xa = 0.

Las integrales que se anulan reflejan la invariancia translacional de la integracion de estado bra∫∞

−∞dxb 〈xb|, el cual es por tanto aniquilado por un operador de translacion pb sobre su derecha:

∫ ∞

−∞

dxb 〈xb|p = 0. (18.473)

Con ayuda de la Ecs. (18.472), obtenemos

〈x〉 = xa, 〈x2〉 = xa2 + 2D(tb − ta), (18.474)

y

〈(x− xa)2〉 = 2D(tb − ta). (18.475)

Claramente, se puede desarrolar un formalismo similar para el caso general donde la La-grangiana conteniene terminos del tipo x. Todo lo que tenemos que hacer es definir operadoresde Heisenberg dependientes del tiempo para ambos conjuntos de coordenadas canonicas x, p, v,pv. Por ejemplo, consideremos el caso de una partıcula libre, donde V (x) = 0 y la Hamiltoniana(18.239) se reduce a

H =w

2M2p2v − iγpvv + ipv. (18.476)


Si queremos calcular los valores esperados 〈f(x, v)〉, para una partıcula inicialmente en xa con unavelocidad inicial xa = va, ahora tenemos que evaluar integrales de la forma

〈f(x, v)〉 =

∫ ∞

−∞

dxb

∫ ∞

−∞

dvb f(xb, vb)P (xbvbtb|xavata)

=

∫ ∞

−∞

dxb

∫ ∞

−∞

dvb 〈xbvb|f(x(tb − ta), v(tb − ta))|xava〉. (18.477)

Introducimos aquı los vectores base |xv〉 que diagonalizan los operadores x, v. Los operadores demomento cumplen la relacion

〈xv|p = − ∂

∂x〈xv|, 〈xv|pv = − ∂

∂v〈xv|. (18.478)

Ası, tenemos

〈x2〉 =

∫ ∞

−∞

dxb

∫ ∞

−∞

dvb 〈xbvb|x2(tb − ta)|xava〉, (18.479)

donde x(t) es el operador de Heisenberg definido por

x(t) = etH(p,pv,x,v)xe−tH(p,pv,x,v). (18.480)

Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg son

˙p(t) = [H, p(t)] = 0,˙pv(t) = [H, pv(t)] = γpv(t) − p(t),˙x(t) = [H, x(t)] = v(t),

˙v(t) = [H, v(t)] = −i wM2

pv(t) − γv(t). (18.481)

De acuerdo a la primera ecuacion, p(t) es un operador constante:

p(t) ≡ p = const.

La segunda ecuacion tiene como solucion la expresion

pv(t) = pveγt − 1

γp(eγt − 1), (18.482)

donde pv es el valor inicial de pv(t) en t = 0. Con este resultado, la cuarta ecuacion de las relaciones(18.481) se puede integrar para dar

v(t) = ve−γt − iw

M2

∫ t

0

dt′ e−γ(t−t′)pv(t

′)

= ve−γt − iw

γM2

[

pv sinh γt− 1

γp(cosh γt− 1)

]

. (18.483)

Sustituyendo este resultado en la tercera ecuacion de (18.481) obtenemos inmediatamente

x(t) = x+ v1

γ(1 − e−γt) − i

w

γM2

[

pv cosh γt− 1

γp(sinh γt− γt)

]

. (18.484)

Usando ahora las relaciones que extienden la Ec. (18.473), para expresar la invarianza translacionaldel estado integrado:

∫ ∞

−∞

dxb

∫ ∞

−∞

dx2b 〈xbx2b|

ppv

= 0, (18.485)

18.16 Supersimetrıa 1403

encontramos directamente

〈x〉 = xa + xa1

γ

(

1 − e−γ(tb−ta))

, 〈v〉 = vae−γ(tb−ta), (18.486)

de acuerdo con las Ecs. (18.441) y (18.454). Se encuentra que los valores esperados de los cu-mulantes cuadraticos

⟨

(x − 〈x〉)2⟩

,⟨

(x − 〈x〉)(v − 〈v〉)⟩

,⟨

(v − 〈v〉)2⟩

son los mismos que en laEc. (18.457).

18.16 Supersimetrıa

Se puede derivar una nueva e interesante simetrıa a partir del determinante funcional (18.296),el cual da origen al ultimo termino extra en el exponencial de la integral de trayectoria (18.300).Reescribamos implıcitamente este resultado como

P0(xbtb|xata) ∝∫

Dx(t)Det

[

∂t +V ′′(x)

Mγ

]

exp

−∫ tb

ta

dt1

4D

[

x+V ′(x)

Mγ

]2

.

(18.487)

En esta expresion, el ordenamiento temporal de la velocidad x con respecto a V ′(x)/Mγ esarbitrario. Puede ser del tipo mecanico-cuantico (de Stratonovich), pero tambien retardado (tipoIto) o avanzado, siempre que se use el mismo ordenamiento temporal tanto en la Lagrangiana comoen el determinante.

La nueva simetrıa surge si se genera el determinante con la ayuda de un campo auxiliar defermiones c(t) a partir de una integral de trayectoria sobre c(t):

det [∂t + V ′′(x(t))/Mγ] ∝∫

DcDc e−∫

dtc(t)[Mγ∂t+V ′′(x(t))]c(t). (18.488)

En teorıa cuantica de campos, a tales campos fermionicos auxiliares se les refiere como camposfantasmas . Con estos campos podemos reescribir la integral de trayectoria (18.290), para la dis-tribucion de probabilidad, como una integral de trayectoria ordinaria

P (xbtb|xata) =

∫

Dx∫

DcDc exp −APS[x, c, c] , (18.489)

donde APS es la accion Euclidiana

APS =1

2DM2γ2

∫ tb

ta

dt

1

2[Mγx+ V ′(x)]

2+ c(t) [Mγ∂t + V ′′(x(t))] c(t)

, (18.490)

hallada por primera vez por Parisi y Sourlas [20] y por McKane [21]. Esta accion tiene unapropiedad particular. Si denotamos la expresion en el primer bracket por

Ux ≡Mγ∂tx+ V ′(x), (18.491)

el operador entre las variables de Grassmann en (18.490), es simplemente la derivada funcional deUx:

Uxy ≡ δUx

δy= Mγ∂t + V ′′(x). (18.492)

Ası, tenemos

APS =1

2D

∫ tb

ta

dt

[

1

2U2x + c(t)Uxy c(t)

]

, (18.493)


donde Uxyc(t) es la notacion usual abreviada de la multiplicacion matricial funcional∫

dt′Uxy(t, t′)c(t′). La relacion entre los dos terminos permite que esta accion sea supersimetrica.

La accion es invariante bajo transformaciones que mezclen grados de libertad de Fermi y Bose.Denotando una pequena variable de Grassmann anticonmutante y a su conjugada (ver la Seccion7.10) por medio de ε y ε, la accion es invarante bajo las transformaciones de campo

δx(t) = εc(t) + c(t)ε, (18.494)

δc(t) = −εUx, (18.495)

δc(t) = Uxε. (18.496)

La invarianza se sigue inmediatamente despues de observar que

δUx = εUxyc(t) + c(t)Uxyε. (18.497)

Formalmente, tambien es posible hallar una construccion similar para una partıcula con untermino de inercia en la integral de trayectoria (18.232), la cual es una integral de trayectoriaordinaria que involucra a la Lagrangiana (18.287). Ası, tenemos


DxJ [x] exp

− 1

2w

∫ tb

ta

dt [Mx+Mγx+ V ′(x)]2

, (18.498)

donde J [x] es una abreviatura del determinante

J [x] = det [M∂2t +Mγ∂t + V ′′(x(t))], (18.499)

el cual se conoce a partir de la formula (18.274). La integral de trayectoria (18.498) es valida paratodo ordenamiento del termino de velocidad, siempre y cuando sea el mismo ordenamiento en laexponencial y en el determinante funcional.

Ahora podemos expresar al determinante funcional como una integral de trayectoria sobrecampos fermionicos fantasmas

J [x] = det [M∂2t +Mγ∂t + V ′′(x(t))] ∝∫

DcDc e−∫

dt c(t)[M∂2t +Mγ∂t+V ′′(x(t))]c(t),

(18.500)y reescribir la distribucion de probabilidad P (xbtb|xata) como una integral de trayectoria ordinaria

P (xbtb|xata) ∝∫

Dx∫

DcDc exp−AKS[x, ,c], (18.501)

donde A[x, ,c] es la accion Euclidiana

AKS[x, ,c] ≡∫ tb

ta

dt

1

2w[Mx+Mγx+V ′(x)]2 + c(t)

[

M∂2t +Mγ∂t+V′′(x(t))

]

c(t)

.

(18.502)

Esta expresion formal contiene sutilezas que surgen de las condiciones de frontera, cuando calcu-lamos el Jacobiano (18.500) de la integral funcional del lado derecho. Es necesario factorizar eloperador de segundo orden en el determinante funcional, expresar el determinante de cada factorde primer orden como una integral funcional en variables de Grassmann como en la Ec. (18.488).Al final, la accion es nuevamente supersimetrica, pero existen el doble de campos auxiliares deFermi [22].

Como una comprobacion de esta formula, podemos dejar que el acoplamiento con el reservoriotermico tienda a cero, γ → 0. Entonces el primer factor en la Ec. (18.501),

exp

(

−∫ tb

ta

dt

1

2w[Mx+Mγx+V ′(x)]2

)

18.16 Supersimetrıa 1405

sera proporcional a una funcional δ, δ[Mx+V ′(x)]. El argumento es simplemente la derivadafuncional de la accion original del sistema cuantico dada en la Ec. (18.191), de tal forma que en ellımite obtenemos δ[δA/δx]. Por otra parte, la matriz funcional entre los campos de Grassmann enla Ec. (18.501) se reduce a δ2A/δx(t)δx(t′) y obtenemos la integral de trayectoria

P (xbtb|xata) ∝γ→0

∫

Dx δ[δA/δx]

×∫

DcDc exp

−∫ tb

ta

dt

∫ tb

ta

dt′ c(t)δ2A/∂x(t)∂x(t′)c(t′)

. (18.503)

Llevando a cabo la integral sobre las variables de los campos de Grassmann


∫

Dx δ[δA/δx] Det[

δ2A/∂x(t)∂x(t′)]

. (18.504)

La funcional δ selecciona de todas las trayectorias solo aquellas que obedecen las ecuaciones demovimiento de Euler-Lagrange. Con ayuda de la identidad funcional

δ[Mx+ V ′(x)] = δ[x− xcl] × Det−1[Mx+ V ′′(x)], (18.505)

la cual generaliza la identidad δ(f(x)) = δ(x)/f ′(x), para f(0) = 0, la integral de trayectoriaanterior sera simplemente


∫

Dx δ[x − xcl], (18.506)

la cual es la distribucion de probabilidad usual hallada en la fısica clasica. Notese la diferenciaimportante con respecto a la amplitud clasica de la Ec. (4.96), donde la concentracion de la integralde trayectoria sobre la trayectoria clasica es forzada por una expresion compleja, la cual oscila demanera importante, por lo cual se necesita del factor de la fluctuacion semi-clasico de la Ec. (4.97)para obtener una normalizacion apropiada. En la probabilidad (18.506) esta concentracion se lograpor medio de una funcional δ real.

Notese que por medio de una descomposicion de Fourier de la funcional δ de la Ec. (18.503),obtenemos la representacion alternativa de la integral de trayectoria de la fısica clasica


∫

DxDλDcDc e−∫

tb

tadtδA/δx(t)λ(t)−

∫

tb

tadt∫

tb

tadt′c(t)δ2A/δx(t)δx(t′)c(t′)

. (18.507)

Esta representacion es supersimetrica bajo las transformaciones

δx = εc , δc = 0 , δc = −ελ , δλ = 0 , (18.508)

como fue senalado por Gozzi [23].Existe un forma compacta de reescribir la accion usando supercampos . Definimos un superes-

pacio tridimensional que consta de un tiempo y dos variables auxiliares de Grassmann θ y θ.Entonces definimos un supercampo

X(t) ≡ x(t) + iθc(t) − iθc(t) − θλ(t). (18.509)

Ahora consideramos la super accion

Asuper ≡∫

dθdθA[X ] ≡∫

dθdθA[x + iθc− iθc− θθλ] (18.510)

y desarrollamos la accion en una serie funcional de Taylor:

∫

dθdθ

A[x] +δAδx

(iθc− iθc− θθλ) +1

2(iθc− iθc− θθλ)

∂2Aδxδx

(iθc− iθcc− θθλ)

.


Debido a la nilpotencia de las variables de Grassmann, dada por la Ec. (7.375), el desarrollo sedetiene despues del segundo termino. Recordando ahora las reglas de integracion de las Ecs. (7.378)y (7.379), obtenemos

δAδxλ+

1

2c∂2Aδxδx

c,

que corresponde precisamente a la notacion funcional breve para el exponente negativo de la integralde trayectoria (18.507).

18.17 Ecuacion Estocastico–Cuantica de Liouville

A bajas temperaturas, donde las fluctuaciones cuanticas son importantes, la integral de trayectoriahacia adelante–atras (18.230) no nos permite derivar una ecuacion diferencial tipo Schrodinger parala distribucion de probabilidad P (x v t|xavatt). Para ver la razon de ello veamos la representacioncanonica de la Ec. (18.230):

|(xbtb|xata)|2 =

∫

DxDy∫ Dp

2π

Dpy2π

exp

i

h

∫ tb

ta

dt [px+ py y −HT ]

, (18.511)

donde

HT =1

Mpypx + γpyy + V (x + y/2)− V (x− y/2) − i

w

2hyKOhmy (18.512)

representa un cuasi-Hamiltoniano dependiente de la temperatura para un sistema Ohmico asocia-do con la Lagragiana de una integral de trayectoria hacia adelante–atras (18.230). La notacionKOhmy(t) abrevia el producto de la matriz funcional KOhm(t, t′) con el vector funcional y(t′),definido por KOhmy(t) ≡

∫

dt′KOhm(t, t′)y(t′). Por lo tanto HT es una objeto no local (en elsentido temporal), esta es la razon por la cual se le llama cuasi-Hamiltoniano.

Resulta de utilidad omitir la integracion respecto a y en los puntos extremos de la integralde trayectoria (18.511), y construir una representacion en terminos de una integral de trayectoriapara el producto de las amplitudes

U(xbybtb|xayata) ≡ (xb + yb/2 tb|xa + ya/2 ta)(xb − yb/2 tb|xa − ya/2 ta)∗. (18.513)

Dada alguna matriz densidad inicial ρ(x+, x−; t) = ρ(x+y/2, x−y/2; t) en el tiempo t = ta, la cualpodrıa de hecho estar en equilibrio y ser estacionaria, como en la Ec. (2.367), la matriz funcionalU(xbybtb|xayata) nos permite calcular ρ(x+, x−; t) para todo tiempo mediante la ecuacion deevolucion temporal

ρ(x + y/2, x− y/2; t)=

∫

dxa dya U(x y t|xayata) ρ(xa + ya/2, xa − ya/2; ta). (18.514)

Recordemos que, con respecto a y, la transformada de Fourier de ρ(x+y/2, x−y/2; t) es la funcionde Wigner (ver la Ec. (1.224)).

Cuando se considera el cambio de U(x y t|xayata) sobre un pequeno intervalo de tiempo ǫ, lasvariables de los momenta p y py tienen el mismo efecto que los operadores diferenciales −i∂xb

y−i∂yb

, respectivamente. Sin embargo, el ultimo termino en HT es no local temporalmente, por locual no se puede deducir una ecuacion diferencial tipo Schrodinger.

El problema de localidad se puede eliminar introduciendo una variable de ruido η(t), confuncion correlacion determinada por la Ec. (18.321):

〈η(t)η(t′)〉T =w

2[KOhm]−1(t, t′). (18.515)

18.17 Ecuacion Estocastico–Cuantica de Liouville 1407

Con esto, podemos definir un operador Hamiltoniano temporalmente local dependiente de η

Hη ≡ 1

M(px + γy) py + V (x+ y/2) − V (x− y/2)− yη, (18.516)

el cual controla la evolucion de las versiones dependientes de η del producto de las amplitudes(18.513), mediante la ecuacion estocastica de Schrodinger

ih∂tUη(x y t|xayata) = Hη Uη(x y t|xayata). (18.517)

La misma ecuacion es cierta para la matriz densidad ρη(x, y; t), dependiente del ruido.Promediando esta ecuacion sobre η con la distribucion (18.321), para ya = yb = 0, obtenemos

la misma distribucion de probabilidad que la integral de trayectoria hacia adelante–atras (18.230):

|(xbtb|xata)|2 = U(xb 0 tb|xa 0 ta) ≡ 〈U(xb 0 tb|xa ya ta)〉η. (18.518)

En el lımite de altas temperaturas, el promedio de la ecuacion estocastica de Schrodinger (18.517)toma la forma

ih∂tU(x y t|xa ya ta) = ˆHTU(x y t|xa ya ta), (18.519)

donde ahora ˆH es local (en el sentido temporal)

ˆHT ≡ 1

Mpy px + γypy + V (x+ y/2)− V (x− y/2) − i

w

2hy2, (18.520)

de donde, del Hamiltoniano (18.512), en el lımite de altas temperaturas obtenemos KOhm → 1[recordemos la Ec. (18.223)]. En terminos de las posiciones separadas de la trayectoria x± = x±y/2,donde px = ∂+ + ∂− y py = (∂+ − ∂−)/2, este resultado tiene la forma familiar [24]

ˆHT ≡ 1

2M

(

p2+ − p2−)

+ V (x+) − V (x−) +γ

2(x+ − x−)(p+ − p−) − i

w

2h(x+ − x−)2.

(18.521)Con frecuencia, el ultimo temino se escribe como −ihΛ(x+ − x−)2, donde Λ es la llamada razonde decoherencia por longitud al cuadrado

Λ ≡ w

2h2=MγkBT

h2. (18.522)

Esta razon de decoherencia esta compuesta por la razon de amortiguamiento γ y la longitud termicacuadratica (2.353):

Λ =2πγ

l2e(hβ), (18.523)

y regula el decamiento de los picos de interferencia [25].Notese que el orden de los operadores en el termino de mezclado en la Ec. (18.520), el cual es

de la forma ypy, es opuesto al termino de mezclado −ipvv dado en el operador diferencial de laEc. (18.239) de la relacion de Fokker-Planck. Este orden es necesario para garantizar la conser-vacion de la probabilidad. De hecho, multiplicando la ecuacion de evolucion temporal (18.519) porδ(y) e intengrando ambos lados sobre x y y el lado izquierdo se anula.

El que este orden es correcto, se puede verificar calculando la fluctuacion del determinante dela integral de trayectoria para el producto de las amplitudes (18.513) en la forma Lagrangiana,la cual luce igual que en la Ec. (18.230), excepto que la diferencia entre las trayectorias haciaadelante y hacia atras y(t) = x+(t) − x−(t) es diferente de cero en los puntos extremos. Cuandola fluctuacion se anula en los puntos extremos, esto es irrelevante. Como se explico anteriormente,el orden es un problema de tiempos cortos, y podemos utilizar tb − ta → ∞. Mas aun, ya que elorden es independiente del potencial, podemos considerar solamente el caso libre V (x± y/2) ≡ 0.El determinante relevante de la fluctuacion se calculo en la formula (18.254). En el operadorHamiltoniano (18.520), y con respecto al termino simetricamente ordenado γy, py/2, esto implicauna energıa adicional −iγ/2, la cual tiende hacia γypy, y ası al orden en la Ec. (18.521).


18.18 Ecuacion Clave para la Evolucion Temporal

En el lımite de altas temperaturas, el Hamiltoniano (18.521) sera local. Entonces la ecuacion deevolucion temporal (18.514), para la matriz de densidad ρ(x+a, x−a; ta), se puede convertir en unaecuacion de operadores

ih∂tρ(x+, x−; ta) = ˆHTρ(x+, x−; ta), (18.524)

donde ˆHT es el operador del Hamiltoniano dependiente de la temperatura (18.521). Debido a la nolocalidad del ultimo termino en la Ec. (18.512), no existe una ecuacion como esta para el lımite debajas temperaturas. Por esta razon no se puede evitar el tener que resolver la ecuacion estocasticade Schrodinger (18.517), junto con el promedio (18.518). Sin embargo, para temperaturas modera-damente altas, se puede construir un formalismo en terminos de un Hamiltoniano, aunque estorequiere resolver una relacion de recurrencia. Para este proposito escribimos el cuasi-Hamiltonianoen D dimensiones

ˆHT ≡ 1

2M

(

p2+ − p2

−

)

+ V (x+) − V (x−) +Mγ

2(x+ − x−)(ˆx+ + ˆx−)R

− iw

2h(x+ − x−)KOhm(x+ − x−), (18.525)

donde la transformada de Fourier de KOhm(t, t′) se desarrolla en potencias de ω′ [recordemos laEc. (18.223)]

KOhm(ω′) = 1 +1

3

(

hω′

2kBT

)2

+ . . . . (18.526)

Para cada operador −←

∂t ∂t, aparece una potencia ω′2. De esta forma, para el ultimo terminoencontramos un desarrollo de apariencia local en el lımite de alta temperatura

−i(x+−x−)KOhm(x+−x−)=−i(x+−x−)2 + iwh

24(kBT )2(ˆx+− ˆx−)2 + . . . . (18.527)

La expresion no es realmente local, ya que el operador ˆx esta definido implıcitamente como unaabreviatura del conmutador

ˆx ≡ i

h[ ˆHT , x]. (18.528)

Si el desarrollo (18.527) se calcula a orden superior, obtenemos derivadas de orden mayor de x, lascuales se definen recursivamente:

ˆx ≡ i

h[ ˆHT , ˆx], ˆx ≡ i

h[ ˆHT , ˆx], . . . . (18.529)

Ası la Ec. (18.525), junto con el desarrollo (18.527), es una ecuacion recursiva para el operador

Hamiltoniano ˆHT . Para valores pequenos de γ (y para asıw = 2MγkBT ), la relacion de recurrenciase puede resolver interactivamente, en un primer paso sustituimos ˆx ≈ p/M en la Ec. (18.530).

Es ultil re-expresar la Ec. (18.524) en la forma del operador de Dirac, donde la matriz densidadtiene una representacion en bra–ket ρ(t) =

∑

mn ρmn(t)|m〉〈n|. Denotando p2/2M + V en la

Ec. (18.525) como H , obtenemos junto con el desarrollo (18.527), la ecuacion clave local:

ih∂tρ = ˆHT ρ ≡ [H, ρ] +Mγ

2

(

xˆxρ− ρˆxx + x ρ ˆx− ˆx ρ x)

− iw

2h[x, [x, ρ]] − iwh2

24(kBT )2[ˆx, [ˆx, ρ]] + . . . . (18.530)

18.18 Ecuacion Clave para la Evolucion Temporal 1409

La validez del procedimiento interactivo anterior es facil de probar usando la particion temporalde la integral de trayectoria. El segmento final de magnitud infinitesimal ǫ sera

U(x+b,x−b, tb|x+a,x−a, tb − ǫ)

=

∫

dp+(tb)

(2π)3

∫

dp−(tb)

(2π)3e

ihp+(tb)[x+(tb)−x+(tb−ǫ)]−p−x−−HT (tb). (18.531)

Consideremos ahora un termino de la forma generica F+(x+(t))F−(x−(t)) en HT (t). Cuandoderivamos U(x+b,x−b, tb|x+a,x−a, tb−ǫ) con respecto al tiempo final tb, en el integrando obtenemosel factor −HT (tb). En tb, el termino F+(x+(t))F−(x−(t)) del hamiltoniano HT (t) tiene la formaexplıcita ǫ−1 [F+(x+(tb)) − F+(x+(tb − ǫ))]F−(x−(tb)), el cual se puede extraer de la integral, dedonde obtenemos

ǫ−1 [F+(x+(tb))U − UF+(x+(tb − ǫ))]F−(x−(tb)). (18.532)

En el lenguaje de operadores, la amplitud U esta asociada con U ≈ 1− iǫ ˆHT /h, de tal forma que el

termino F+(x+(t))F−(x−(t)) en ˆHT dara un operador de Schrodinger en la ecuacion de evoluciontemporal (18.530),

i

h

[

ˆHT , F+(x+)]

F−(x−). (18.533)

Para las funciones dependientes de la segunda derivada x, tenemos que separar los dos ultimossegmentos temporales en la Ec. (18.531) y convertir las dos integrales intermedias sobre x en

expresiones con operadores, las cuales conducen de nueva cuenta al conmutador de ˆHT con x, yası sucesivamente.

El operador de orden en los terminos entre parentesis de la Ec. (18.530) esta determinado porel retardo de x± con respecto a x± en la Ec. (18.521). Esto implica que el operador asociado ˆx(t),tiene un argumento temporal que esta ligeramente antes del de x±, actuando ası primero sobreρ antes que sobre x. Esto coloca a ˆx(t) a la derecha de x, i.e., junto a ρ. En el lado derecho deρ, el tiempo va en la direccion opuesta, de tal forma que ˆx se debe ubicar a la izquierda de x, denuevo junto a ρ. De esta manera obtenemos un operador de orden que asegura que la Ec. (18.530)conserva la probabilidad total.

De hecho, esta propiedad y la positividad de ρ estan garantizadas por la observacion de que laecuacion clave (18.530) se puede escribir en la forma de Lindblad [26]

∂tρ = − i

h[H, ρ] −

2∑

n=1

(

1

2LnL

†nρ+

1

2ρLnL

†n − L†nρLn

)

, (18.534)

donde usamos los dos operadores de Lindblad [27]

L1 ≡√w

2hx, L2 ≡

√3w

2h

(

x− ih

3kBTˆx

)

. (18.535)

Notese que en la Ec. (18.530), el operador de orden evita que el termino xˆxρ se conviertaen una divergencia pura. Si reescribimos este termino como la suma de un conmutador y unanticonmutador, [x, ˆx]/2+x, ˆx/2, entonces el ultimo termino representara una divergencia pura,y podemos pensar que los dos primeros terminos γ en la Ec. (18.530) se obtienen de un terminoadicional anti-Hermıtico en el operador Hamiltoniano H , el operador de disipacion

Hγ = γM1

4[x, ˆx]. (18.536)


18.19 Relacion con la Ecuacion Cuantica de Langevin

La ecuacion estocastica de Liouville (18.517) tambien se puede derivar de la version de operadoresde la ecuacion de Langevin (18.317), obteniendo la llamada ecuacion Cuantica de Langevin

M ¨x(t) +Mγ ˙x(t) + V ′(x(t)) = η(t), (18.537)

donde η(t) es una variable de un operador de ruido, que cumple con la siguiente regla de con-mutacion

[ηt, ηt′ ] = wih

kBT∂tδ(t− t′), (18.538)

y con la funcion de correlacion [28]

1

2〈[ηt, ηt′ ]+〉η = wK(t, t′). (18.539)

El conmutador (18.538) y la funcion de correlacion (18.539) estan relacionadas entre sı comose requiere por el teorema de fluctuacion-disipacion. Omitiendo el factor coth(hω/2kBT ) en laEc. (18.223), la integral de Fourier (18.221) para K(t, t′) se reduce a (h/2kBT )∂tδ(t − t′). Unacomparacion con la representacion espectral general, Ec. (18.53), muestra que el valor esperadodado por la Ec. (18.539) tiene la siguiente funcion espectral

ρb(ω′) = 2Mγhω′. (18.540)

Sutituyendo este resultado en la representacion espectral (18.53) obtenemos el lado derecho de laEc. (18.538).

Se puede construir una variable de ruido con las propiedades dadas en las Ec. (18.538) y(18.539), superponiendo las velocidades de osciladores cuantizados con frecuencia ω en la siguienteforma:

η(t) = −i√

Mhγ

π

∫ ∞

0

dΩ′√

Ω′[aΩ′e−iω′t − a†ω′e

iω′t]. (18.541)

Es apropiado senalar que existe una derivacion directa de la ecuacion cuantica de Langevin(18.537), cuyo operador de ruido η(t) cumple con las propiedades de conmutador y de fluctuaciondadas en las Ecs. (18.538) y (18.539), a partir de la ecuacion de Kubo para la relacion estocasticade Liouville, y por lo tanto utilizando la integral de trayectoria hacia adelante–atras (18.230) [29].

18.20 Disipacion Electromagnetica y Decoherencia

Analicemos el caso de un bano termico de particular importancia: generalmente los atomos seobservan a temperatura finita donde interactuan con un ensemble gran canonico de fotones enequilibrio termico. Aun cuando se eliminen todos los mecanismos principales de ensanchamiento,esta interaccion ensachara el ancho de lınea natural de los niveles atomicos. Para estudiar estasituacion, construyamos una descripcion en integrales de trayectoria hacia adelante–atras de unbano de fotones y derivemos de esto una ecuacion clave para la matriz densidad que describela disipacion y decoherencia electromagnetica. Como una aplicacion, calcularemos la formulade Wigner-Weisskopf para el ancho de lınea natural de un estado atomico a temperatura cero,encontraremos los efectos de temperatura finita y calcularemos la desplazamiento de Lamb entreestados atomicos de ondas tipo s y p para el numero cuantico principal n = 2, con la notacion2S1/2 y 2P1/2. Eventualmente, la ecuacion clave puede tener aplicaciones en el caso de gasesinterestelares diluidos o sistemas de varias partıculas en cavidades.

18.20 Disipacion Electromagnetica y Decoherencia 1411

18.20.1 Integrales de trayectoria hacia adelante–atras

Teniendo en mente la aplicacion a la fısica atomica, consideremos un sistema cuantico tridimen-sional descrito por una matriz densidad mecanico-cuantica independiente del tiempo ρ(x+,x−; t).Contrario a la Ec. (18.514), aquı usamos las variables hacia adelante–atras como argumentos yescribimos la ecuacion de evolucion temporal en la forma

ρ(x+b,x−a; tb) =

∫

dx+a dx−a U(x+b,x−b, tb|x+a,x−a, ta)ρ(x+a,x−a; ta). (18.542)

Para un potencial vectorial electromagnetico externo A(x, t), el kernel de la evolucion temporalesta determinado por integrales de trayectoria hacia adelante–atras del tipo dado en la Ec. (18.192),en las cuales las trayectorias hacia adelante–atras comienzan en diferentes puntos iniciales y finalesx+a,x−a y x+b,x−b, respectivamente:

U(x+b,x−b, tb|x+a,x−a, ta) ≡ (x+b, tb|x+a, ta)(x−b, tb|x−a, ta)∗ =

∫

Dx+Dx−

× exp

i

h

∫ tb

ta

[

M

2

(

x2+ − x2

−

)

− V (x+) + V (x−) − e

cx+A(x+, t) +

e

cx−A(x−, t)

]

.

(18.543)

El potencial vectorial A(x, t) es una superposicion de osciladores Xk(t), de frecuencia Ωk = c|k|,contenidos en el volumen V :

A(x, t) =∑

k

ck(x)Xk(t), ck =eikx√2ΩkV

,∑

k

=

∫

d3kV

(2π)3. (18.544)

Para una temperatura finita T , suponemos que estos osciladores estan en equilibrio, por lo quedebemos escribir sus funciones de correlacion ordenadas temporalmente como

Gijkk′(t, t

′) = 〈T X ik(t), Xj

−k′(t′)〉 = δij tr

kk′ GΩk(t, t′) ≡ δkk′P⊥k

ijGΩk(t, t′). (18.545)

La matriz de proyeccion tranversal se obtiene luego de sumar sobre los vectores de polarizaciontransversal de los fotones:

P⊥kij =

∑

h=±

ǫi(k, h)ǫj ∗(k, h) = (δij − kikj/k2). (18.546)

La funcion GΩk(t, t′) en el lado derecho de la Ec. (18.545) es la funcion de Green (18.185) de

un oscilador individual con frecuencia Ωk. Esta funcion se separa en sus partes real e imagi-naria, definidas por AΩk

(t, t′) y CΩk(t, t′), como en la Ec. (18.185), las cuales son las funciones

de conmutador y anticonmutador del oscilador a temperatura T : CΩk(t, t′) ≡ 〈[X(t), X(t′)]〉T y

AΩk(t, t′) ≡ 〈[X(t), X(t′)]〉T , respectivamente.Entonces, el promedio termico del kernel de la evolucion temporal, Ec. (18.543), estara dado

por la integral de trayectoria hacia adelante–atras

U(x+b,x−b, tb|x+a,x−a, ta) =

∫

Dx+(t)

∫

Dx−(t)

× exp

i

h

∫ tb

ta

dt

[

M

2(x2

+ − x2−) − (V (x+) − V (x−))

]

+i

hAFV[x+,x−]

, (18.547)

donde expiAFV[x+,x−]/h es la funcional de Feynman-Vernon de la influencia definida en laEc. (18.200). La accion de la influencia AFV[x+,x−] es la suma de una parte disipativa y unaparte fluctuante AFV

D [x+,x−] y AFVF [x+,x−], cuyas formas explıcitas son

AFVD [x+,x−] =

ie2

2hc2

∫

dt

∫

dt′Θ(t− t′)


×[

x+(t)Cb(x+ t,x′+ t′)x+(t′) − x+(t)Cb(x+ t,x

′− t′)x−(t′)

− x−(t)Cb(x− t,x′+ t′)x+(t′) + x−(t)Cb(x− t,x

′− t′)x−(t′)

]

, (18.548)

y

AFVF [x+,x−] =

ie2

2hc2

∫

dt

∫

dt′Θ(t− t′)

×[

x+(t)Ab(x+ t,x′+ t′)x+(t′) + x+(t)Ab(x+ t,x

′− t′)x−(t′)

+ x−(t)Ab(x− t,x′+ t′)x+(t′) + x−(t)Ab(x− t,x

′− t′)x−(t′)

]

, (18.549)

donde Cb(x− t,x′− t′) y Ab(x− t,x

′− t′) agrupan las funciones 3 × 3 del conmutador y anticon-

mutador del bano de fotones. Estas expresiones son la suma de las funciones de correlacionsobre el bano de los osciladores de frecuencia Ωk, cada contribucion tiene como peso el factorck(x)c−k(x′) = eik(x−x

′)/2ΩkV . Ası, generalizando las Ecs. (18.197) y (18.198) tendremos elresultado

Cijb (x t,x′ t′) =

∑

k

c−k(x)ck(x′)⟨

[X i−k(t), Xj

k(t′)]

⟩

T

= −ih∫

dω′d3k

(2π)4ρk(ω′)P⊥k

ijeik(x−x′) sinω′(t− t′), (18.550)

Aijb (x t,x′ t′) =

∑

k

c−k(x)ck(x′)⟨

X i−k(t), Xj

k(t′)⟩

T

= h

∫

dω′d3k

(2π)4ρk(ω′)P⊥k

ij cothhω′

2kBTeik(x−x

′) cosω′(t− t′), (18.551)

donde ρk(ω′) es la densidad espectral con la cual contribuye el oscilador de momento k:

ρk(ω′) ≡ 2π

2Ωk

[δ(ω′ − Ωk) − δ(ω′ + Ωk)]. (18.552)

A temperatura cero, identificamos en las Ecs. (18.550) y (18.551) una contribucion doble de laparte imaginaria y real del propagador de Feynman para una partıcula sin masa en t > t′, la cualen notacion de cuadri-vector, donde usamos k = (ω/c,k) y x = (ct,x), sera

G(x, x′) =1

2[A(x, x′) + C(x, x′)] =

∫

d4k

(2π)4eik(x−x

′) ih

k2 + iη

=

∫

dω d3k

(2π)4ich

ω2 − Ω2k

+ iηe−i[ω(t−t′)−k(x−x′)], (18.553)

y donde η es un numero positivo infinitesimalmente pequeno.Ahora, enfocaremos nuestra atencion a sistemas tan pequenos, tal que se puedan ignorar los

efectos de retardo. Entonces podemos ignorar la dependencia en x de las Ecs. (18.551) y (18.552),con lo cual tendremos

Cijb (x t,x′ t′) ≈ Cij

b (t, t′) = ih

2πc

2

3δij∂tδ(t− t′). (18.554)

Sustituyendo este resultado en la Ec. (18.548) e integrando por partes, obtendremos dos contribu-ciones. La primera es un termino divergente

∆Aloc[x+,x−] =∆M

2

∫ tb

ta

dt (x2+ − x2

−)(t), (18.555)


donde

∆M ≡ −e2

c2

∫

dω′d3k

(2π)4σk(ω′)

ω′δij trkk = − e2

3π2c3

∫ ∞

0

dk (18.556)

diverge linealmente. Este resultado simplemente renormaliza el termino cinetico en la integral detrayectoria (18.547), cuya renormalizacion sera

i

h

∫ tb

ta

dtMren

2

(

x2+ − x2

−

)

. (18.557)

Indentificando M con Mren podemos ignorar esta renormalizacion.El segundo termino tiene la forma [comparemos con la Ec. (18.205)]

AFVD [x+,x−] = −γM

2

∫ tb

ta

dt (x+ − x−)(t)(x+ + x−)R(t), (18.558)

donde usamos la constante de friccion del bano de fotones, hallada anteriormente en la Ec. (3.444):

γ ≡ e2

6πc3M=

2

3

α

ωM, (18.559)

α ≡ e2/hc ≈ 1/137 es la constante de estructura fina (1.505) y ωM ≡ Mc2/h es la frecuencia deCompton asociada con la masa M . Notese una vez mas que contrario con la constante de friccionusual γ de la Seccion 3.13, este resultado tiene dimensiones de 1/frecuencia.

Como se discutio en la Seccion 18.8, el retardo forzado por la funcion de Heaviside en elexponente de la Ec. (18.548) elimina la mitad izquierda de la funcion δ [ver la Ec. (18.214)]. Esteresultado asegura la causalidad de las fuerzas de dispacion, lo cual se mostro en la Seccion 18.9.2y que es crucial para obtener la conservacion de la probabilidad de la evolucion temporal de ladistribucion probabilidad [13]. El superındiceR en la Ec. (18.558) mueve la aceleracion (x++x−)(t)hacia tiempos ligeramente anteriores con respecto al factor de velocidad (x+ − x−)(t).

Veamos ahora la funcion anticonmutador. Sustituyendo la Ec. (18.552) y la constante defriccion γ hallada en la Ec. (18.559), obtenemos

e2

c2Ab(x t,x

′ t′) ≈ 2γkBTKOhm(t, t′), (18.560)

al igual que en la Ec. (18.216) y con la misma funcion KOhm(t, t′) de la Ec. (18.223), cuyos primerosterminos del desarrollo de alta temperatura recuerdan a los de la Ec. (18.526).

En terminos de la funcion KOhm(t, t′), la parte fluctuante de la funcional de la influencia enlas Ecs. (18.549), (18.548) y (18.547) sera [comparemos con la Ec. (18.227)]

AFVF [x+,x−] = i

w

2h

∫ tb

ta

dt

∫ tb

ta

dt′ (x+ − x−)(t)KOhm(t, t′) (x+ − x−)(t′). (18.561)

Aquı hemos usado la simetrıa de la funcion KOhm(t, t′) para eliminar la funcion de HeavisideΘ(t − t′) del integrando, extendiendo el rango de integracion t′ al intervalo completo (ta, tb).Tambien, por brevedad, hemos introducido la constante

w ≡ 2MkBTγ. (18.562)

En el lımite de altas temperaturas, la amplitud de evolucion temporal de la matriz densidadesta dada por medio de la integral de trayectoria

U(x+b,x−b, tb|x+a,x−a, ta) =

∫

Dx+(t)

∫

Dx−(t)

× exp

i

h

∫ tb

ta

dt

[

M

2(x2

+ − x2−) − (V (x+) − V (x−))

]

(18.563)

× exp

− i

2hMγ

∫ tb

ta

dt (x+ − x−)(x+ + x−)R − w

2h2

∫ tb

ta

dt (x+ − x−)2

,


donde, ahora, el ultimo termino es local, ya que KOhm(t, t′) → δ(t − t′). En este lımite (como enel lımite clasico h → 0), este termino reune en uno solo las trayectorias hacia adelante–atras. Lamatriz densidad (18.563) sera diagonal. Sin embargo, se conserva el termino γ, el cual describe elamortiguamiento de la radiacion clasica.

Para temperaturas moderadamente altas, debemos de incluir tambien el primer termino de lacorreccion dado en la Ec. (18.526), el cual agregara al exponente en un termino adicional

− w

24(kBT )2

∫ tb

ta

dt (x+ − x−)2. (18.564)

La expresion extendida es la buscada integral de trayectoria de tiempo-cerrado de una partıcula encontacto con un reservorio termico.

18.20.2 Ecuacion Clave para la Evolucion Temporal en un BanoTermico

Es posible derivar una ecuacion clave para la evolucion temporal de la matriz densidadρ(x+a,x−a; ta), analoga a la Ec. (18.530) para una partıcula cuantica en un bano termico. Puestoque las partes de disipacion y fluctuantes de la funcional de la influencia en las Ecs. (18.555) y(18.561) coinciden con los terminos correspondientes de la Ec. (18.230), con la excepcion de unpunto extra sobre las coordenadas, el operador Hamiltoniano asociado, dependiente de la tempera-tura, se obtiene directamente de la Ec. (18.525) usando el desarrollo dado en la Ec. (18.527), dondesolo basta agregar los puntos extras. En el lımite de altas temperaturas

H ≡ 1

2M

(

p2+−p2

−

)

+ V (x+) − V (x−) +Mγ

2(ˆx+− ˆx−)(ˆx++ˆx−)R − i

w

2h(ˆx+− ˆx−)2,

(18.565)que se puede extender a temperaturas moderadamente altas mediante el Hamiltoniano correspon-diente a la Ec. (18.564):

∆ ˆHT ≡ iwh

24(kBT )2(ˆx+ − ˆx−)2. (18.566)

La ecuacion clave correspondiente a la ecuacion Ohmica (18.530), sera

ih∂tρ = ˆHT ρ ≡ [H, ρ] +Mγ

2

(

ˆxˆxρ− ρˆxˆx + ˆx ρ ˆx− ˆx ρ ˆx)

− iw

2h[ˆx, [ˆx, ρ]] − iwh2

24(kBT )2[ˆx, [ˆx, ρ]]. (18.567)

La conservacion de la probabilidad total y la positividad de ρ quedan aseguradas por la observacionde que la Ec. (18.567) se puede escribir en la forma de Lindblad

∂tρ = − i

h[H, ρ] −

2∑

n=1

(

1

2LnL

†nρ+

1

2ρLnL

†n − L†nρLn

)

, (18.568)

donde usamos los operadores de Lindblad

L1 ≡√w

2hˆx, L2 ≡

√3w

2h

(

ˆx− ih

3kBTˆx

)

. (18.569)

Como se hizo notar en la discusion de la Ec. (18.530), el operador de orden en la Ec. (18.567)evita que termino ˆxˆxρ sea una divergencia pura. Reescribiendo este termino como la suma de unconmutador y un anticonmutador, [ˆx, ˆx]/2 + ˆx, ˆx/2, el ultimo termino es una divergencia pura.


Con lo cual podemos suponer que el primero de los dos terminos γ de la Ec. (18.567) se debe a unoperador de disipacion anti-Hermıtico adicional

Hγ = γM1

4[ˆx, ˆx]. (18.570)

Para una partıcula libre donde V (x) ≡ 0 y [H, p] = 0, tenemos que a todo orden en γˆx± = p±/M , de tal manera que la ecuacion de evolucion temporal (18.567) sera

ih∂tρ = [H, ρ] − iw

2M2h[p, [p, ρ]]. (18.571)

En la representacion del momentum de la matriz densidad ρ =∑

pp′ ρpp′ |p〉〈p′|, el ultimo termino

se simplifica a −iΓ ≡ −iw(p− p′)2/2M2h2, el cual multiplica a ρ, lo que muestra que una partıculalibre no disipa energıa por radiacion y que los elementos fuera de la diagonal de la matriz decaencon la razon Γ.

Para e2 pequena, la Ec. (18.565) junto con el termino del desarrollo (18.566), se puede resolveraproximadamente en un sola interaccion, sustituyendo ˆx ≈ p/M y ˆx ≈ −∇V/M .

18.20.3 Ancho de Lınea

Apliquemos la ecuacion clave (18.567) a los atomos, donde V (x) sera el potencial de Coulomb,suponemos que inicialmente el sistema esta en el estado propio |i〉 de H , donde la matriz densidadsera ρ(0) = |i〉〈i|. Ya que los atomos decaen muy lentamente, podemos tratar al termino γ en laEc. (18.567) de manera perturbativa. Esto conduce a una derivada temporal de la matriz densidad

∂t〈i|ρ(t)|i〉 = − γ

hM〈i|[H, p] p ρ(0)|i〉 =

γ

M

∑

f 6=i

ωif 〈i|p|f〉〈f |p|i〉

= −Mγ∑

f

ω3if |xfi|2, (18.572)

donde hωif ≡ Ei − Ef , y xfi ≡ 〈f |x|i〉 son los elementos de matriz del operador dipolar.Una ancho extra viene de los dos ultimos terminos de la Ec. (18.567):

∂t〈i|ρ(t)|i〉 = − w

M2h2〈i|p2|i〉 − w

12M2(kBT )2〈i|p2|i〉

= −w∑

n

ω2if

[

1 +h2ω2

if

12(kBT )2

]

|xfi|2. (18.573)

La dependencia temporal se obtiene por la emision espontanea, lo mismo que por la emision yabsorcion inducida. Para identificar las diferentes contribuciones, reescribimos la descomposicionespectral dada en las Ecs. (18.550) y (18.551) en la aproximacion independiente de x, donde

Cb(t, t′) +Ab(t, t

′) (18.574)

=4π

3h

∫

dω′d3k

(2π)4π

2MΩk

1 + cothhω′

2kBT

[δ(ω′ − Ωk) − δ(ω′ + Ωk)] e−iω′(t−t′),

o

Cb(t, t′) +Ab(t, t

′) (18.575)

=4π

3h

∫

dω′d3k

(2π)4π

2MΩk

2δ(ω′− Ωk)+2

ehΩk/kBT−1[δ(ω′−Ωk) + δ(ω′+Ωk)]

e−iω′(t−t′).

Siguiendo la interpretacion intuitiva de Einstein, el primer termino entre corchetes sera la emisionespontanea, los otros dos terminos acompanados por la funcion de ocupacion de Bose dan cuenta


de la emision y absorcion inducida. Para temperaturas altas e intermedias la Ec. (18.575) tiene elsiguiente desarrollo

4π

3h

∫

dω′d3k

(2π)4π

2MΩk

2δ(ω′ − Ωk)

+

(

2kBT

hΩk

− 1 +1

6

hΩk

kBT

)

[δ(ω′ − Ωk) + δ(ω′ + Ωk)]

e−iω′(t−t′). (18.576)

El primer termino entre corchetes corresponde a la emision espontanea. Esta emision contribuyea la razon de cambio ∂t〈i|ρ(t)|i〉 con el termino −2Mγ

∑

f<i ω3if |xfi|2. Este resultado difiere del

hallado en el lado derecho de la Ec. (18.572) en dos aspectos importantes. Primero, la suma estarestringida a los estados de menor orden f < i, donde ωif > 0, ya que la funcion δ permite solodecaimientos. Segundo, obtenemos un factor 2 extra. Efectivamente, comparando la Ec. (18.574)con la Ec. (18.576) vemos que la emision espontanea recibe contribuciones iguales tanto del factor 1como del factor coth(hω′/2kBT ), contenidos en los corchetes de la Ec. (18.574), i.e., de los terminosde disipacion y fluctuacion Cb(t, t′) y Ab(t, t

′).Ası, el ancho de lınea natural de los niveles atomicos obtenido de nuestra ecuacion clave estara

dado por la relacion

Γ = 2Mγ∑

f<i

ω3if |xfi|2, (18.577)

de acuerdo con la historica formula de Wigner-Weisskopf .Por lo tanto, en terminos de Γ la razon (18.572) se puede escribir como

∂t〈i|ρ(t)|i〉 = −Γ +Mγ∑

f<i

ω3if |xfi|2 +Mγ

∑

f>i

|ωif |3 |xfi|2. (18.578)

El segundo y tercer terminos no contribuyen a la razon de cambio de 〈i|ρ(t)|i〉, ya que se cancelancon los terminos de emision y absorcion inducida asociados con el factor −1 que aparece en elparentesis grande de la parte de la fluctuacion de la Ec. (18.576). El tiempo de vida media finitocambia la dependencia temporal del estado |i, t〉, desde |i, t〉 = |i, 0〉e−iEt hasta |i, 0〉e−iEt−Γt/2.

Notese que debido a la restricciones para f < i en la Ec. (18.577), no existe operador localtemporal cuyo valor esperado sea Γ. Solo la combinacion emision–absorcion inducida espontanea dela Ec. (18.578) se puede obtener de un operador local, el cual es de hecho el operador de disipacionde la Ec. (18.570).

Para toda temperatura, las transiciones espontaneas e inducidas conducen a la razon de cambiode 〈i|ρ(t)|i〉:

∂t〈i|ρ(t)|i〉 = −2Mγ

∑

f<i

ω3if +

∑

f

ω3if

1

ehωif/kBT − 1

|xfi|2. (18.579)

Para un estado con numero cuantico principal n, los efectos de la temperatura seran detectablessolo si T es mayor por el factor −1/(n+ 1)2 + 1/n2 ≈ 2/n3 a la temperatura de Rydberg, TRy =157886.601K. Este sera el caso solo si n >∼ 20, donde los efectos a temperatura ambiente serıanobservables.

18.20.4 Corrimiento de Lamb

En el caso de los atomos, la funcional de la influencia de Feynman (18.547) nos permite calcularel celebre corrimiento de Lamb. Estando interesados en el comportamiento temporal de la matrizdensidad del estado puro ρ = |i〉〈i|, podemos calcular perturbativamente el efecto de las acciones(18.548) y (18.549). Para esto, consideremos la parte disipativa de la accion de la influencia (18.548)


sobre el primer termino que contiene x+(t) y x+(t′), e integramos las posiciones externas en laintegral de trayectoria (18.547) sobre las funciones de onda iniciales, con lo cual tenemos

Uii,tb;ii,ta =

∫

dx+b dx−b

∫

dx+a dx−a〈i|x+b〉〈i|x−b〉

× U(x+b,x−b, tb|x+a,x−a, ta)〈x+b|i〉〈x−b|i〉. (18.580)

A menor orden en γ, el efecto del termino Cb en la Ec. (18.548) se puede evaluar en la aproxi-macion local (18.554), en la siguiente forma. Consideremos la aproximacion lineal para el exponenteexp[

∫

dtdt′O(t, t′)] ≈ 1 +∫

dtdt′O(t, t′) y propagemos el estado inicial con ayuda de la amplitudUii,t′;ii,ta para un primer tiempo t′, luego con Ufi,t;fi,t′ hacia un tiempo posterior t y finalmentecon Uii,ta;ii,t para el tiempo final tb. El estado intermedio, entre los tiempos t y t′, es arbitrario ydebe de sumarse. Los detalles de como hallar este tipo de perturbacion, estan dados en la Seccion3.17. Ası encontramos

∆CUii,tb;ii,ta = ie2

2h2c2

∫ tb

ta

dtdt′∑

f

∫

dx+

∫

dx′+ Uii,ta;ii,t〈i|x+〉x+〈x+|f〉

×[∂t∂t′Cb(t, t′)]Ufi,t;fi,t′〈f |x′+〉x′+〈x′+|i〉Uii,t′;ii,ta . (18.581)

Sustituyendo Uii,ta;ii,t = e−iEi(ta−t)/h etc., obtenemos

∆CUii,tb;ii,ta = − e2

2h2c2

∫ tb

ta

dtdt′ 〈i|x(t) [∂t∂t′Cb(t, t′)] x(t′)|i〉

= − e2

2h2c2

∑

f

∫ tb

ta

dtdt′ eiωif (t−t′)〈i|ˆx|f〉Cb(t, t

′)〈f |ˆx|i〉. (18.582)

En la Ec. (18.554), si expresamos Cijb (t, t′) en la forma

Cijb (t, t′) =

h

2πc

2

3δij∫

dω

2πω e−iω(t−t′), (18.583)

la integracion sobre t y t′ dara

∆CUii,tb;ii,ta = −i e2

4πhc32

3

∫ tb

ta

dt

∫

dω

2π

∑

f

ω

ω − ωif − iη|ˆxfi|2. (18.584)

El mismo tratamiento se aplica al factor Ab en la accion (18.549), donde el primer termino quecontiene a x+(t) y x+(t′) cambia la Ec. (18.585) a la forma

∆Uii,tb ;ii,ta=−i e2

4πhc32

3

∫ tb

ta

dt

∫

dω

2π

∑

f

ω

ω − ωif + iη

(

1+cothhω

2kBT

)

|ˆxfi|2. (18.585)

La integral en ω se puede segmentar, de manera conveniente, en una parte de temperatura cero

I(ωif , 0) ≡∫ ∞

0

dω

π

∑

f

ω

ω − ωif + iη, (18.586)

y una correccion de temperatura finita

∆IT (ωif , T ) ≡ 2

∫ ∞

0

dω

π

∑

f

ω

ω − ωif + iη

1

ehω/kBT − 1. (18.587)

Descomponiendo 1/(ωif − ω + iη) = P/(ω − ωif )− iπδ(ωif −ω), la parte imaginaria de la integralen ω dara la mitad del ancho natural de lınea de la Ec. (18.572). La otra mitad se obtiene de la


parte de la integral de la Ec. (18.548) que contiene a x−(t) y x−(t′). El valor principal de la integralde temperatura cero diverge linealmente, de donde obtenemos nuevamente la renormalizacion dela masa (18.556). Substrayendo esta divergencia de I(ωif , 0), la integral resultante mantiene lamisma forma que I(ωif , 0), pero donde en el numerador ω se reemplaza por ωif = 0. Esta integraldiverge logarıtmicamente en la forma (ωif/π) log[(Λ−ωif)/|ωif |], donde Λ es el parametro de cortede Bethe [30]. Para Λ ≫ |ωif |, el resultado (18.585) implica un cambio en energıa del nivel atomico|i〉:

∆Ei =e2

4πc32

3π

∑

f

ω3if |xfi|2 log

Λ

|ωif |, (18.588)

llamado corrimiento de Lamb.Generalmente, la variacion lenta del logaritmo se aproxima por el promedio L = log[Λ/〈|ωif |〉],

donde 〈|ωif |〉 es el factor de peso, sobre los niveles de energıa y se extrae de la integral. Entonces,la contribucion del termino (18.585) se puede atribuir a un factor extra

HLS ≈ −iLπγM

1

4[ˆx, ˆx] (18.589)

en el Hamiltoniano (18.567). De esta forma, el corrimiento de Lamb aparece como una co-rreccion Hermıtica, logarıtmicamente divergente, al operador (18.570), el cual controla la emisionespontanea de fotones.

A menor orden en γ, el conmutador para un potencial de Coulomb V (x) = −e2/r es igual a

− i

M2[p, ˆp] =

h

M2∇

2V (x) =h2c α

M24πδ(3)(x), (18.590)

de donde hallamos

∆Ei =4α2h3

3M2c〈i|δ(3)(x)|i〉. (18.591)

Para un estado atomico con numero cuantico principal n y funcion de onda ψn(x), obtenemos

∆En =4αh3

3M2c2αL |ψn(0)|2. (18.592)

Solo los estados atomicos s contribuyen, ya que las fuciones de onda para el resto de los momentaangulares se anulan en el origen. Explıcitamente, en el origen, los estados s del atomo de hidrogeno(13.219) tendran el valor

ψn(0) =1√n3π

(

1

aH

)3/2

, (18.593)

donde aH = h/Mcα es el radio de Bohr (4.376). Si la carga nuclear es Z, entonces aB estaradisminuido por este factor. Ası, obtenemos que el corrimiento de energıa sera

∆En =4α2h3

3M2c

(

Mcα

h

)3L

n3π. (18.594)

Para el atomo de hidrogeno con n = 2, obtenemos

∆E2 =α3

6πα2Mc2L. (18.595)

La cantidad Mc2α2 es la energıa unitaria de la fısica atomica, la cual determina el espectro delatomo de hidrogeno, a saber, En = −Mc2α2/2n2. Ası

Mα2 = 4.36 × 10−11erg = 27.21eV = 2 Ry = 2 · 3.288 × 1015Hz. (18.596)


Sustituyendo este resultado, y α ≈ 1/137.036, en la Ec. (18.595) obtenemos10

∆E2 ≈ 135.6MHz× L. (18.597)

Se encuentra que, aproximadamente, la constante L es

L ≈ 9.3, (18.598)

de donde encontramos la estimacion

∆E2 ≈ 1261MHz. (18.599)

El valor experimental del corrimiento de Lamb

∆ELamb shift ≈ 1057 MHz (18.600)

estara contenido en este rango. En este calculo se han ignorado dos efectos: la polarizacion delvacıo del foton y el factor de forma del electron, el cual se obtiene de las correcciones radiativas.Estos efectos reducen la frecuencia (18.599) en la cantidad (27.3+51)MHz, con lo cual la estimacionteorica estara mas cerca del valor experimental. La polarizacion del vacıo sera discutida en detalleen la Seccion 19.4.

Para temperaturas finitas, la Ec. (18.588) cambia a

∆Ei =e2

4πc32

3π

∑

f

ω3if |xfi|2

[

logΛ

|ωif |+

(

kBT

hωij

)2

J

(

hωif

kBT

)

]

, (18.601)

donde J(z) denota a la integral

J(z) ≡ z

∫ ∞

0

dzP

z′ − z

z′

ez′ − 1, (18.602)

cuyo desarrollo a baja temperatura (valores grandes de z) es: J(z) = −π2/6 − 2ζ(3)/z + . . . , ytiende a cero en el lımite de altas temperatura ( valores pequenos de z), en la forma −z log z, comose muestra en la Fig. 18.2.

10 20 30 40 50

-1.5

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

z = hωij/kBT

6J(z)/π2

Figure 18.2 Comportamiento de la funcion 6J(z)/π2 en el corrimiento de Lamb para

temperatura finita.

Las ecuaciones anteriores se pueden aplicar al caso de gases interestelares diluidos o, despues deuna reformulacion para un volumen finito, a sistemas de varias partıculas contenidas en cavidades.Hasta ahora hemos construido una ecuacion clave para un numero finito de modos [31].

10El valor exacto de la constante de Lamb, α4M/6π, es 135.641± 0.004 MHz.


18.20.5 Ecuaciones de Langevin

Para valores altos de γT , el ultimo termino en la integral de trayectoria hacia adelante–atras(18.563) implica que, en la diferencia entre las trayectorias y(t) ≡ x+(t) − x−(t), el tamano delas fluctuaciones es muy pequeno. Entonces, es conveniente introducir el promedio de las dostrayectorias en la forma x(t) ≡ [x+(t) + x−(t)] /2, y hallar el desarrollo

V(

x +y

2

)

− V(

x− y

2

)

∼ y ·∇V (x) + O(y3) . . . , (18.603)

manteniendo solo el primer termino. Adicionalmente, introducimos una cantidad auxiliar (t),mediante la relacion

(t) ≡M x(t) −Mγ ˙x(t) + ∇V (x(t)). (18.604)

Con esto, la funcion exponencial en la Ec. (18.563) sera

exp

[

− i

h

∫ tb

ta

dt y− w

2h2

∫ tb

ta

dt y2(t)

]

, (18.605)

donde w es la constante dada en la Ec. (18.562).Consideremos ahora la parte diagonal de la amplitud (18.603), donde x+b = x−b ≡ xb y

x+a = x−a ≡ xa, lo cual implica que yb = ya = 0. Esto representa la distribucion de probabilidad

P (xb tb|xa ta) ≡ |(xb, tb|xa, ta)|2 ≡ U(xb,xb, tb|xa,xa, ta). (18.606)

Ahora, en la Ec. (18.605), la variable y se puede integrar y encontramos la distribucion de proba-bilidad

P [] ∝ exp

[

− 1

2w

∫ tb

ta

dt2(t)

]

. (18.607)

El valor esperado de una funcional arbitraria de F [x] se puede calcular mediante la integral detrayectoria

〈F [x]〉η ≡ N∫

DxP []F [x], (18.608)

donde el factor de normalizacion N se fija por la condicion 〈 1 〉 = 1. Por medio del cambio delas variables de integracion de x(t) a η(t), el valor esperado de la Ec. (18.608) se puede reescribircomo una integral funcional

〈F [x]〉η ≡ N∫

DP [] F [x]. (18.609)

Notemos que la distribucion de probabilidad (18.607) es independiente de h. Por lo que en laaproximacion (18.603) obtenemos la ecuacion clasica de Langevin. En principio, el integrandocontiene un factor J−1[x], donde J [x] es el Jacobiano funcional

J [x] ≡ Det[δηi(t)/δxj(t′)] = det [(

M∂2t −Mγ∂3Rt)

δij + ∇i∇jV (x(t))]. (18.610)

Por medio del mismo procedimiento dado en la Seccion 18.9.2 se puede demostrar que el determi-nante es unitario, esto debido al retardo del termino de friccion, justificando ası su omision en laEc. (18.609).

La integral de trayectoria (18.609) se puede interpretar como el valor esperado con respecto ala soluciones de una ecuacion diferencial estocastica (18.604), forzada por una variable Gaussianaaleatoria de ruido η(t), la cual obedece la funcion de correlacion

〈ηi(t)ηj(t′)〉T = δijw δ(t− t′). (18.611)

18.21 Ecuacion de Fokker-Planck en Espacios con Curvatura y Torsion 1421

Puesto que la disipacion tiene una tercera derivada temporal, el tratamiento de las condicionesiniciales no es trivial y sera discutida en otra parte. En la mayorıa de las aplicaciones fısicas γconduce a una razon lenta de decamiento. En este caso el procedimiento mas simple para resolverla Ec. (18.604) es escribir la ecuacion estocastica en la forma

M x(t) + ∇V (x(t)) = (t) +Mγ ˙x(t), (18.612)

y resolverla iterativamente, primero sin el termino γ, sustituyendo la solucion en el lado derecho,tal procedimiento es equivalente a un desarrollo perturbativo respecto de γ de la Ec. (18.563).

Notemos que la iteracion de menor orden de la Ec. (18.612), donde ≡ 0, se puede multiplicarpor x y obtenemos la ecuacion para el cambio de energıa de la partıcula

d

dt

[

M

2x2 + V (x) −Mγxx

]

= −Mγ x2. (18.613)

El lado derecho es la potencia electromagnetica clasica radiada por una partıcula acelerada. Eltermino extra entre parentesis es conocido como el termino de Schott [32].

18.21 Ecuacion de Fokker-Planck en Espacios conCurvatura y Torsion

De acuerdo al nuevo principio de equivalencia encontrado en el Capıtulo 10, en espacios con cur-vatura y torsion las ecuaciones de movimiento se pueden transformar por medio de una trans-formacion no holonomica dxi = eiµ(q)dqµ. En estos espacios las ecuaciones son aplicables a ladifusion de atomos en cristales con defectos [33]. Si denotamos gµν q

ν por medio de vµ, la ecuacionde Langevin (18.317) tendra la forma

vµ = Fµ(q, v) + eiµ(q)ηi (18.614)

donde Fµ(q, v) es la suma de todas las fuerzas, obtenida luego de la transformacion no holonomica:

Fµ(q, v) ≡M[

Γνλµ(q)vνvλ − γvµ]

− ∂µV (q). (18.615)

Ademas de la fuerza transformada dada en la Ec. (18.384), Fµ(q, v) contiene las fuerzas resultantesobtenidas de la transformacion de coordenadas. Para la distribucion

Pη(qvt|qavata) = δ(qη(t) − q)δ(qη − vµ), (18.616)

en lugar de la Ec. (18.383) obtenemos la ecuacion de Kubo

∂tPη(q v t|qavata) =

−∂µgµν(q)vν − 1

M∂vµ[

eiµ(q)ηi + Fµ(q, v)]

Pη(q v t|qavata),

(18.617)

y de esta ecuacion, obtenemos la generalizacion de la ecuacion de Fokker-Planck (18.393) paraespacios con curvatura y torsion:

∂tP (x v t|xavata)=

−∂µgµνvν +1

M∂vµ

[ w

2M∂vµ − Fµ(q, v)

]

P (x v t|xavata). (18.618)

En el lımite de sobreamortiguamiento, las distribuciones de probabilidad integradas

P (q t|qata) ≡∫

dDvP (q v t|qavata) (18.619)


cumplen con la relacion [generalizando de esta forma la Ec. (18.399)]

∂tP (q t|qat) =

[

D∂µeiµ∂νei

ν +1

Mγ∂νg

µνVν(q)

]

P (q t|qat), (18.620)

donde Vν(q) ≡ ∂νV (q).En las ecuaciones de Fokker-Planck (18.617) y (18.620), las distribuciones de probabilidad

P (q v t|qavata) y P (qt|qat) estan normalizadas a la unidad∫

dDqdDv P (q v t|qavata) = 1,

∫

dDq P (q t|qata) = 1, (18.621)

como se puede ver de la definicion dada por las Ecs. (18.616) y (18.619). Para distribucionesnormalizadas con la integral invariante de volumen

∫

dDq√g, a ser denotadas como P inv(qt|qata) ≡√

g−1P (qt|qat), de la Ec. (18.620) obtenemos la siguiente ecuacion invariante de Fokker-Planck:

∂tPinv(q t|qata) =

D√g∂µg

µν√g[

∂ν + 2Sν +1

kBTVν(x)

]

P inv(q t|qata). (18.622)

El primer termino en el lado derecho contiene el operador de Laplace-Beltrami, dado en laEc. (11.13).

Con ayuda de la derivada covariante D∗µ definida en la Ec. (11.96), la cual se obtiene de Dµ

mediante una integracion por partes, esta ecuacion tambien se puede escribir como

∂tPinv(q t|qata) =

[

D gµνD∗µD∗ν +

1

MγDµV

µ(x)

]

P inv(q t|qata), (18.623)

donde Dµ es la derivada covariante dada por la Ec. (10.37) y asociada con el sımbolo de Christoffel.

18.22 Interpretacion Estocastica de las AmplitudesMecanico-Cuanticas

En la ultima seccion hemos visto que la distribucion de probabilidad |(xb, tb|xa, ta)|2, es el resultadode una ecuacion diferencial estocastica que describe una trayectoria clasica perturbada con untermino de ruido η(t), el cual cumple con la funcion de correlacion dada en la Ec. (18.320). Esinteresante observar que la amplitud mecanico-cuantica (xb, tb|xa, ta) posee una interpretacionestocastica bastante similar, a pesar de tener algunos factores imaginarios i y, como veremos, unaspecto poco satisfactorio. Recordemos la representacion en terminos de la integral de trayectoriade la amplitud de evolucion temporal dada en la Ec. (2.712). Esta integral involucra a la accionA(x, t;xa, ta), desde el punto inicial xa hasta la posicion actual de la partıcula x. Recordando ladefinicion del factor de fluctuacion F (xb, xa; tb − ta) dada en la Ec. (4.97), vemos que este factoresta dado por la integral de trayectoria

F (xb, xa; tb − ta) =

∫

(xa,ta)(xb,tb)

Dx exp

[

i

h

∫ tb

ta

dtM

2(x− v)

2

]

, (18.624)

donde v(x, t) = (1/M)∂xA(x, xa; tb − ta) es la velocidad clasica de la partıcula. Ademas del factori y la ausencia del sımbolo de retardo, esta integral de trayectoria tiene la misma forma que lade la probabilidad (18.290), la cual incluye un amortiguamiento grande. Como en la Ec. (2.713),introducimos la variable de momentum p(t) y obtenemos la integral de trayectoria canonica

F (xb, xa; tb−ta) =

∫

(xa,ta)(xb,tb)

D′x Dp2πh

e(i/h)

∫

tb

tadtp(t)[x(t)−v(x(t),t)]−p2(t)/2M

, (18.625)

la cual es muy similar a la integral de trayectoria estocastica dada por la Ec. (18.290). El papel dela constante de difusion D = kBT/Mγ lo tiene ahora el factor h/2. En analogıa con la integral de

18.22 Interpretacion Estocastica de las Amplitudes Mecanico-Cuanticas 1423

trayectoria de una partıcula en un campo magnetico dada en la Ec. (2.654), el factor de fluctuacioncumple con una ecuacion tipo Schrodinger

(

p2b2M

+1

2pb, vb

)

F (xb, xa; tb − ta) = ihF (xb, xa; tb − ta). (18.626)

Esto se puede verificar facilmente para el caso de una partıcula libre, donde vb = (xb−xa)/(tb− ta)y el factor de fluctuacion es F (xb, xa; tb − ta) =

√

2πih(tb − ta), ver la Ec. (2.130). Notemos elorden del operador simetrico en el producto pv de acuerdo con la particion temporal dada en laSeccion 10.5, y el consiguiente orden del operador observado en la Ec. (11.88). Reordenamos eloperador Hamiltoniano en el lado izquierdo de la Ec. (18.626), para colocar p a la izquierda de lavelocidad,

H → p2

2M+ pv +

i

2∇v. (18.627)

Sin el ultimo termino, la integral de trayectoria de la Ec. (18.625) describirıa la fluctuacion delas trayectorias que obedecen una ecuacion diferencial estocastica analoga a la ecuacion clasica deLangevin, Ec. (18.338) [34]:

x(t) − v(x(t), t) = p(t)/M. (18.628)

La variable del momentum p(t) tiene el papel de la variable de ruido η(t). Ademas de un factor i,este ruido cuantico tiene la misma funcion de correlacion que la variable de ruido blanco:

〈p(t)p(t′)〉 = −iMhδ(t− t′). (18.629)

La “ecuacion de Fokker-Planck” asociada con este “proceso” serıa la ecuacion ordinaria deSchrodinger para la amplitud (xbtb|xata).

Para un partıcula libre, el problema del ordenamiento se puede resolver notando que en la inte-gral de trayectoria de la Ec. (18.624), la constante v se puede eliminar de la integral de trayectoria,con lo cual tendrıamos

F (xb, xa; tb − ta)=e−iA(xb,xa;tb−ta)/h

∫

(xa,ta)(xb,tb)

Dx exp

(

i

h

∫ tb

ta

dtM

2x2)

, (18.630)

donde el factor de la derecha es ası mismo la integral de trayectoria para la amplitud (xbtb|xata).Esta amplitud es identica con la integral de trayectoria para la distribucion de probabilidad delmovimiento Browniano, y las fluctuaciones mecanico-cuanticas estan determinadas por el proceso

x(t) = p(t)/M, (18.631)

donde el ruido cuantico esta dado por la Ec. (18.629).En presencia de un potencial, tambien se puede construir un proceso que represente apropia-

damente las fluctuaciones mecanico-cuanticas, aunque la situacion es mas complicada [35]. Paraencontrar este proceso reescribimos la accion dada en la Ec. (18.624) en la forma

A =

∫ tb

ta

dtM

2(x− v)

2=

∫ tb

ta

dtM

2

[

(x− s)2 − ih

2s′2]

, (18.632)

donde no se conoce aun la funcion s(x). Ahora, el Hamiltoniano sera

H → p2

2M+

1

2p, s + ihs′2 =

p2

2M+ ps, (18.633)

con el operador de orden apropiado. Para que se cumpla la Ec. (18.632), la funcion s(x) debesatisfacer las ecuaciones

v = s′, − ihs′2 + s2 = v2. (18.634)


Recordando las Ecs. (4.12) y (4.5) vemos que las ecuaciones (18.634) se pueden resolver con laayuda del eikonal completo S(x):

s(x) = S(x)/M. (18.635)

Por lo tanto, el proceso que describe las fluctuaciones mecanico-cuanticas es

x(t) − S(x)/M = p(t)/M. (18.636)

Sin embargo, la analogıa no es realmente satisfactoria, ya que el eikonal completo contieneinformacion sobre todas las fluctuaciones. De hecho, por la definicion (4.4), el eikodal estadada por el logaritmo de la amplitud (x t|xata), o por alguna otra superposicion ψ(x, t) =∫

dxa (x t|xata)ψ(xata) de la amplitud:

S(x) = −ih log(x t|xata). (18.637)

Para el factor de fluctuacion esto implica que

s(x) − v(x) = δv(x) ≡ − i

MhF (x t|xata). (18.638)

Por lo tanto, en terminos de la integral de trayectoria (18.624), la representacion para el factor defluctuacion que tiene una analogıa maxima con la integral de trayectoria estocastica (18.300), sera

F (xbtb, xata)=

∫

(xa,ta)(xb,tb)

Dx exp

i

h

∫ tb

ta

dtM

2

[

xR − v +i

Mh logF (xbtb, xata)

]2

.

(18.639)

Puesto que sabemos que F (xbtb, xata) describe las fluctuaciones mecanico-cuanticas como un pro-ceso, encontramos que esta representacion es de poca utilidad practica. Sin embargo, la repre-sentacion inicial dada en la Ec. (18.624), la cual no corresponde a un proceso propio, se puede usarpara resolver problemas mecanico-cuanticos.

18.23 Ecuacion Estocastica para la Funcion de Onda deSchrodinger

Es posible escribir una integral de trayectoria tipo estocastico para la funcion de onda deSchrodinger ψ(x, t) en D dimensiones. En analogıa con la Ec. (18.403), tendremos

ψ(xb, tb) =

∫

Dv e(i/h)

∫

tb

tadt [(M/2)v2(t)−V (xv(tb,t))]

ψ (xv(tb, ta), ta) , (18.640)

donde

xv(tb, t) ≡ x(tb) −∫ tb

t

dt′ v(t′) (18.641)

es una funcional de v(t′) que parametriza las fluctuaciones de todas las trayectorias posibles quellegan al punto fijo final x(tb), despues de haber empezado en un punto inicial arbitrario x(t).Estos son los puentes Brownianos entre los dos puntos. Las variables v(t) son las fluctuacionesde las velocidades independientes de la partıcula. La aparicion natural de las velocidades en lanorma de la integral de trayectoria estocastica (18.640) esta de acuerdo con nuestra observaciondada en la Ec. (10.141), de que la norma de la particion temporal debe contener las diferenciasde las coordenadas ∆xn como las varibles de integracion, en lugar de ser solamente propiamentecoordenadas, lo que fue el punto de partida para hallar las transformaciones no holonomicas de lascoordenadas a espacios con curvatura y torsion.

18.23 Ecuacion Estocastica para la Funcion de Onda de Schrodinger 1425

Es facil verificar que la Ec. (18.640) cumple con la Schrodinger equation, para ello calculamosla funcion de onda para un tiempo ligeramente posterior tb + ǫ y desarrollando el lado derecho enpotencias de ǫ. Con ayuda de las funciones de correlacion

〈vi(t)〉 = 0, 〈vi(t)vj(t′)〉 = ihδij δ(t− t′), (18.642)

encontramos, mediante un paso intermedio similar al usado en la Ec. (18.404), que el resultadodeseado sera:

i∂tψ(x, t) =

[

− h2

2M∂2x + V (x)

]

ψ(x, t). (18.643)

Tambien podrıamos escribir una integral de trayectoria para la amplitud de evolucion temporal

(xbtb|xata)=

∫

Dv e(i/h)

∫

tb

tadt [(M/2)v2(t)−V (xv(tb,t))]

δ(D)(xa − xb +

∫ tb

ta

dtv(t)), (18.644)

de donde podemos obtener la amplitud de Schrodinger (18.640) despues de hallar la convolucioncon la funcion de onda ψ(xa, ta) (misma que se reduce a la funcion δ(D)(xa − xb) para tb → ta,como es de esperar).

El tratamiento de una interaccion con un potencial vectorial no es un caso trivial. La interac-cion electromagnetica dada en la Ec. (10.168)

Aem =

∫ t

ta

dtA(x(t)) · x (18.645)

no se puede introducir simplemente en el exponente de la integral de trayectoria (18.640), ya queen su evaluacion, mediante las funciones de correlacion (18.642), se supone la independencia delas variables de ruido v(t). Lo cual ya no sera cierto en presencia de la interaccion (18.645).Recordemos la discusion dada en la Seccion 10.6, donde se muestra que la particion temporal dela interaccion (18.645) debe contener el ordenamiento de punto medio del potencial vectorial conrespecto a los intervalos ∆x, para ser compatible con la ecuacion clasica de campo. Ademas, en laSeccion 11.3 hemos visto que esto garantiza la invariancia de norma. Para la particion temporalde la accion, esto implica que la Ec. (18.645) tiene la forma [ver la Ec. (10.179)]

Aǫem = A(x) · ∆x. (18.646)

En esta expresion, una variacion de ∆x cambia tambien a x, implicando que en la suma sobretodas las particiones de las acciones, ∆x no son independientes. Esto solo se logra por medio dela interaccion de post-punto del nuevo desarrollo [ver la Ec.(10.178)]. En el continuo, debemos deindicar el producto del post-punto somo se hizo antes en la Ec. (18.231), por medio de un sımbolode retardo R, y reescribir la Ec. (18.645) en la forma

Aem =

∫ t

ta

dt

[

A(x(t))xR(t) − iǫh

2M∇·A(x(t))

]

. (18.647)

En la teorıa de ecuaciones diferenciales estocasticas, esta expresion de post-punto se conoce comola integral de Ito . La integral de punto ordinario de la Ec. (18.645) se conoce como la integral deStratonovich.

Ahora, podemos agregar la integral de Ito a la accion dada en la Ec. (18.644), donde x(t) sereemplaza por v(t), y obtenemos

(xbtb|xata) =

∫

Dv exp

i

h

∫ tb

ta

dt

[

M

2v2(t) + A(xv(tb, t))v

R(t) − V (xv(tb, t))

]

× exp

i

h

∫ tb

ta

dt

[

−iǫ h

2M∇·A(xv(tb, t))

]

δ(D)(xa − xb +

∫ tb

ta

dtv(t)). (18.648)


Desarrollando el integrando funcional en potencias de v(t), como en la Ec. (18.403), y usando lasfunciones de correlacion dadas en la Ec. (18.642), obtenemos la ecuacion de Schrodinger

i∂t(x t|xata) =

[

− h2

2M[∇− iA(x)]

2+ V (x)

]

(x t|xata). (18.649)

La ventaja de la integral de Ito es que, usando las funciones de correlacion (18.642), el calculo sevuelve bastante simple. Sin embargo, es muy complicado manejar la integral misma, ya que no sepuede modificar por medio de una integracion por partes. Esto solo puede hacerse para la integralordinaria de Stratonovich.

18.24 Ecuacion Estocastica Real y Determinista para laFuncion de Onda de Schrodinger

La variable de ruido de la ecuacion diferencial estocastica previa tiene una funcion de correlacionimaginaria dada por la Ec. (18.629). Sin embargo, se puede construir una ecuacion diferencialestocastica real y modificar este hecho en un modelo determinista simple que posea las propiedadescuanticas de una partıcula en un potencial arbitrario. En particular, el modelo tiene un espectrodiscreto de energıas con una energıa de estado base bien definida, en este sentido vamos mas alladel un modelo propuesto anteriormente por ’tHooft [36], cuyo espectro no tiene lımite inferior.

Sea u(x) =(

u1(x), u2(x))

un campo independiente del tiempo en dos dimensiones, a llamarsecampo madre. La reparametrizacion del grado de libertad de las coordenadas espaciales se fijausando coordenadas armomonicas, en cuyo caso

∇2u(x) = 0, (18.650)

donde ∇2 es el operador de Laplace. En forma equivalente, se puede suponer que las componentes

u1(x) y u2(x) cumplen con las ecuaciones de Cauchy-Riemann

∂µuν = ǫµ

ρǫνσ∂ρuσ, (µ, ν, . . . = 1, 2), (18.651)

donde ǫµν es el pseudo-tensor antisimetrico de Levi-Civita. La metrica es δµν , tal que los ındicespueden estar colocados en la parte inferior o superior de las variables.

18.24.1 Ecuacion Diferencial Estocastica

Consideremos ahora una partıcula puntual en contacto con una bano termico con “temperatura”h. Se supone que su orbita clasica x(t) obedece una ecuacion diferencial estocastica, que consta deuna rotacion y una translacion aleatoria en la direccion diagonal n ≡ (1, 1):

x(t) = !× x(t) + n η(t), (18.652)

donde ! es el vector de rotacion de longitud ω, cuya direccion es ortogonal al plano, y η(t) unvariable de ruido blanco, con valor esperado nulo y funcion de correlacion

〈η(t)η(t′)〉 = h δ(t− t′). (18.653)

Para una partıcula que inicia en x(0) = x, la posicion x(t) a un tiempo posterior t es una funcionde x y para 0 < t′ < t sera una funcional de la variable de ruido η(t′):

x(t) = Xη(x, t). (18.654)

Como se hizo anteriomente en la Seccion 18.13, usamos el subındice η para indicar la dependenciafuncional en la variable de ruido ν.

18.24 Ecuacion Estocastica Real y Determinista de la Funcion de Onda de Schrodinger1427

Ahora usamos las orbitas que terminan en todos los puntos finales posibles x = x(t), con estodefinimos un campo dependiente del tiempo u(x; t), el cual es igual a u(x) en t = 0, y evolucionaen el tiempo como sigue:

u(x; t) = ut[x; η] ≡ u (X0[t,x; η]) , (18.655)

donde la notacion ut[x; η] indica las variables en la misma forma que en la Ec. (18.654).Como una consecuencia de la ecuacion dinamica de la Ec. (20A.1), el cambio temporal del

campo u(x, t) para un pequeno intervalo desde t = 0 a t = ∆t, tendra el desarrollo

∆uη(x, 0) = ∆t [!× x] ·∇uη(x, 0) +

∫ ∆t

0

dt′ η(t′) (n ·∇)uη(x, 0)

+1

2

∫ ∆t

0

dt′∫ ∆t

0

dt′′ η(t′)η(t′′) (n ·∇)2uη(x, 0) + . . . . (18.656)

Los terminos omitidos son del orden de ∆t3/2.

18.24.2 Ecuacion para el Ruido Promedio

Ahora hallamos el promedio del ruido dado en la Ec. (20A.2), definiendo el campo promedio

u(x, t) ≡ 〈uη(x, t)〉. (18.657)

Usando el caracter nulo del promedio de η(t) y la funcion de correlacion (18.653), obtenemos en ellımite ∆t→ 0 la derivada temporal

∂tu(x, t) = Hu(x, t), para t = 0, (18.658)

donde el operador de evolucion temporal es

H ≡ [!× x] ·∇ +h

2(n ·∇)2. (18.659)

El promedio sobre η ha hecho que el operador H sea independiente del tiempo. Por esta razon, elcampo promedio u(x, t), para un tiempo arbitrario t, se obtiene por medio de la operacion

u(x, t) = U(t)u(x, 0), (18.660)

donde U(t) es una simple exponencial

U(t) ≡ eHt, (18.661)

como se sigue inmediatamente de la Ec. (18.658) y la propiedad trivial H U(t) = U(t)H.Notese que el operador H conmuta con el operador de Laplace ∇

2, asegurando ası que lapropiedad armonica dada en la Ec. (18.650) de u(x) sea valida para todo tiempo, i.e.,

∇2u(x, t) ≡ 0. (18.662)

18.24.3 Oscilador Armonico

Ahora mostramos que la Ec. (18.658) describe la mecanica cuantica de un oscilador armonico.Restringamos nuestra atencion a una lınea, donde x1 ≡ x es arbitraria y x2 = 0. Aplicando lasecuaciones de Cauchy-Riemann (18.651), podemos reescribir la Ec. (18.658) en terminos solo de x

∂tu1(x, t) = ω x∂xu

2(x, t) − h

2∂2x u

2(x, t), (18.663)

∂tu2(x, t) = −ω x∂xu1(x, t) +

h

2∂2x u

1(x, t), (18.664)


donde hemos omitido las segundas coordenades espaciales x2 = 0. Ahora introducimos un campocomplejo

ψ(x, t) ≡ e−ωx2/2h[

u1 (x, t) + iu2 (x, t)]

. (18.665)

El cual cumple con la ecuacion diferencial

ih∂tψ(x, t) =

(

− h2

2∂2x +

ω2

2x2 − hω

2

)

ψ(x, t), (18.666)

que es la ecuacion de Schrodinger de un oscilador armonico, con el espectro discreto de energıasdado por En = (n+ 1/2)hω, n = 0, 1, 2, . . . .

18.24.4 Potencial General

El metodo se puede generalizar facilmente a un potencial arbitrario. Simplemente reemplazamosla Ec. (18.652) por las relaciones

x1(t) = −∂2S1(x(t)) + n1 η(t),

x2(t) = −∂1S1(x(t)) + n2 η(t), (18.667)

donde S(x) comparte con u(x) la propiedad armonica dada por la Ec. (18.650):

∇2S(x) = 0, (18.668)

i.e., las funciones Sµ(x), donde µ = 1, 2, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann tal comolo hace uµ(x) segun la Ec. (18.651). Repitiendo los pasos anteriores, en lugar del operador de laEc. (18.659), encontramos

H ≡ −(∂2S1)∂1 − (∂1S

1)∂2 +h

2(n ·∇)2, (18.669)

y las Ecs. (18.663) y (18.664) seran:

∂tu1(x, t) = (∂xS

1)∂xu2(x, t) − h

2∂2x u

2(x, t), (18.670)

∂tu2(x, t) = −(∂xS

1) ∂xu1(x, t) +

h

2∂2x u

1(x, t). (18.671)

Esta evolucion temporal preserva la naturaleza armonica de u(x). De hecho, usando la propiedadarmonica ∇

2S(x) = 0 podemos derivar facilmente la siguiente dependencia temporal de las com-binaciones de Cauchy-Riemann dadas en la Ec. (18.651):

∂t(∂1u1 − ∂2u

2) = H(∂1u1 − ∂2u

2) − ∂2∂1S1(∂1u

1 − ∂2u2) + ∂22S

1(∂2u1 + ∂1u

2),

∂t(∂2u1 + ∂1u

2) = H(∂2u1 + ∂1u

2) − ∂2∂1S1(∂2u

1 + ∂1u2) − ∂22S

1(∂1u1 − ∂2u

2).

Ası ∂1u1 − ∂2u

2 y ∂2u1 + ∂1u

2, las cuales son cero para cualquier tiempo, seguiran siendo cero entodo momento.

En acuerdo con las Ecs. (18.671), la combinacion

ψ(x, t) ≡ e−S1(x)/h

[

u1 (x, t) + iu2 (x, t)]

(18.672)

cumple con la ecuacion de Schrodinger

ih∂tψ(x, t) =

[

− h2

2∂2x + V (x)

]

ψ(x, t), (18.673)

donde el potencial esta relacionado con S1(x) por medio de la ecuacion diferencial de Riccati

V (x) =1

2[∂x S

1(x)]2 − h

2∂2x S

1(x). (18.674)

El oscilador armonico se recupera usando el siguiente par de funciones

S1(x) + iS2(x) = ω(x1 + ix2)2/2. (18.675)

Apendice 18A Desigualdades para las Funciones Diagonales de Green 1429

18.24.5 Ecuacion Determinista

En la ecuacion diferencial estocastica Ec. (18.667), el ruido η(t) tambien se puede reemplazar pormedio de una fuente compuesta de osciladores clasicos deterministas qk(t), k = 1, 2, . . . cuyasecuaciones de movimiento seran

qk = pk, pk = −ω2kqk, (18.676)

donde

η(t) ≡∑

k

qk(t). (18.677)

Se supone que las posiciones iniciales qk(0) y los momenta pk(0) estan aleatoriamente distribuidoscon un factor de Boltzmann e−βHosc/h, de tal forma que

〈qk(0)qk(0)〉 = h/ω2k, 〈pk(0)pk(0)〉 = h. (18.678)

Usando la ecuacion de movimiento

qk(t) = ωkqk(0) sinωkt+ pk(0) sinωkt, (18.679)

encontramos la funcion de correlacion

〈qk(t)qk(t′)〉 = ω2k cosωkt cosωkt

′〈qk(0)qk(0)〉 + sinωkt sinωkt〈pk(0)pk(0)〉= cosωk(t− t′). (18.680)

Ahora podemos suponer que los osciladores qk(t) son las componentes de Fourier de un campono masivo, por ejemplo el campo gravitacional cuyas frecuencias son ωk = k y cuyas condicionesaleatorias iniciales fueron causadas por el big bang. Si la suma anterior sobre k es simplementeuna integral sobre el momentum

∫∞

−∞dk, entonces de la Ec. (18.680) obtenemos la funcion de

correlacion de ruido blanco dada en la Ec. (18.653) para η(t).De esta forma, se muestra que es posible simular las funciones de onda mecanico-cuanticas

ψ(x, t) y el espectro de energıas de un potencial arbitrario por medio de ecuaciones deterministasy con condiciones iniciales aleatorias en el inicio del universo.

Queda por resolver el problema abierto de encontrar un origen clasico del segundo ingredienteimportante de la teorıa cuantica: la teorıa de las medidas cuanticas, las cuales se han de extraerde la funcion de onda ψ(x, t). Solo entonces entenderemos como Dios tira los dados [37].

Apendice 18A Desigualdades para las FuncionesDiagonales de Green

Introduzcamos varias funciones diagonales de Green, que constan de los promedios termicos de con-mutadores y anticonmutadores de tiempos iguales de operadores de campo bosonicos y fermionicos,elementales o compuestos. Por brevedad, escribimos

〈. . .〉T = Tr[

exp(−H/T ) . . .]

/

Tr[

exp(−H/T )]

= 〈. . .〉T (18A.1)

y definimos los promedios con las representaciones espectrales obvias

c ≡ 〈[ψ, ψ†]∓〉T =

∫ ∞

−∞

dω

2πρ12(ω),

a ≡ 〈[ψ, ψ†]±〉T =

∫ ∞

−∞

dω

2πρ12(ω) tanh∓1

ω

2T.

(18A.2)


Debemos introducir tambien una cantidad obtenida por integracion de la funcion de Green detiempo imaginario sobre un periodo τ ∈ [0, 1/T ). Esto dara las expresiones no negativas para loscampos bosonicos y fermionicos [ver la Ec. (18.23)]

g ≡ G(ωm = 0) =

∫ 1/T

0

dτ 〈ψ(τ)ψ†(0)〉T

=

∫ ∞

−∞

dω

2πρ12(ω)

1

ω

1

tanh(ω/2T )

≥ 0. (18A.3)

Notese que para campos fermionicos, los pesos espectrales en esta integral estan acompanados porel factor extra tanh(ω/2T ). Esto se debe al hecho de que ωm = 0 no es una frecuencia fermionicade Matsubara, sino una bosonica “equivocada”. De hecho, la suma en la Ec. (18.23) para G(ωm)contiene un factor 1 − e(En−En′)/T tanto para bosones como para fermiones, mientras que en larepresentacion espectral dada por la Ec. (18A.3) ρ12(ω) introduce, mediante la Ec. (18.59), unfactor 1− e−ω/T para bosones y un factor 1+ eω/T para fermiones, explicando ası el factor relativotanh(ω/2T ) en la Ec. (18A.3).

La integracion sobre τ permite obtener el factor 1/ω en la Ec. (18A.3). Este factor tambiense encuentra integrando la funcion retarda de Green G12(t) y la funcion conmutador C12(t) sobretodos los tiempo reales, de donde obtenemos las representaciones espectrales

i

∫ ∞

−∞

dtΘ(t)〈[ψ(t), ψ†(0)]∓〉T =∫ dω

2π ρ12(ω) 1ω ,

i

∫ ∞

−∞

dtΘ(t)〈[ψ(t), ψ†(0)]±〉T =∫ dω

2π ρ12(ω) 1ω tanh∓1 ω

2T .

(18A.4)

Otro conjunto de valores termicos esperados involucrara el producto de operadores de campocon derivadas temporales en lugar de integrales. Sus representaciones espectrales contienen unfactor ω extra. Por ejemplo, la derivada τ del valor esperado dado en la Ec. (18A.3) conduce a laexpresion

−〈 ˙ψ(0), ψ†(0)〉T =

∫ ∞

−∞

dω

2πρ12(ω)ω(1 ± nω). (18A.5)

Las derivadas de tiempo real de los valores esperados dados en la Ec. (18A.4) tienen las integralesespectrales

d ≡ i〈[ ˙ψ(0), ψ†(0)]∓〉T =∫∞

−∞dω2π ρ12(ω)ω,

e ≡ i〈[ ˙ψ(0), ψ†(0)]±〉T =∫∞

−∞dω2π ρ12(ω)ω tanh∓1 ω

2T .(18A.6)

Los valores esperados c, a, g, d, e satisfacen varias desigualdades rigurosas. Para derivar estasdesigualdades, observamos que

µ(ω) =1

g

1

2πρ12(ω)

1

ω

1

tanh(ω/2T )

(18A.7)

es una funcion positiva. Esto se sigue directamente de la Ec. (18.59), de acuerdo a la cual paraω negativa ρ12(ω) es negativa para bosones, mientras que sera positiva para fermiones. Dividimosahora por la integral total g definida en la Ec. (18A.3), donde la integral sobre µ(ω) esta normalizadaa la unidad,

∫ ∞

−∞

dω µ(ω) = 1, (18A.8)

Apendice 18A Desigualdades para las Funciones Diagonales de Green 1431

tanto para bosones como para fermiones. Usando µ(ω), formamos las siguientes razones:

c

g=

∫ ∞

−∞

dω µ(ω)ω

1

coth(ω/2T )

, (18A.9)

a

g=

∫ ∞

−∞

dω µ(ω)ω

coth(ω/2T )

1

, (18A.10)

d

g=

∫ ∞

−∞

dω µ(ω)ω2

1

coth(ω/2T )

, (18A.11)

e

g=

∫ ∞

−∞

dω µ(ω)ω2

coth(ω/2T )

1

. (18A.12)

Las desigualdades a derivarse estan basadas en la desigualdad de Jensen-Peierls para las funcionesconvexas deducidas en el Capıtulo 5. Recordemos que una funcion convexa f(ω) satisface la relacion

f

(

ω1 + ω2

2

)

≤ f(ω1) + f(ω2)

2, (18A.13)

lo cual puede generalizarse a la forma

f

(

∑

i

µiωi

)

≤∑

i

µif(ωi), (18A.14)

donde µi es un conjunto arbitrario de numeros positivos, con la condicion∑

i µi = 1. En el lımitecontinuo, este resultado se convierte en

f

(∫ ∞

−∞

dω µ(ω)ω

)

≤∫ ∞

−∞

dω µ(ω)f(ω). (18A.15)

Es claro que una desigualdad de Jensen-Peierls similar se cumple para funciones concovas, dondeel signo de la desigualdad estara en el sentido opuesto.

Ahora, aplicamos la desigualdad de Jensen-Peierls (18A.15) a la funcion

f(ω) = ω cothω

2T, (18A.16)

la cual luce igual que una hiperbola ligeramente distorsionada, que se acerca al origen desde infinitoa lo largo de lınea diagonal |ω| y cruzando el eje f en ω = 0, f(0) = 2T . La segunda derivada def(ω) es positiva para toda ω, asegurando de esta forma la convexidad. La funcion (18A.16) apareceen el integrando de la parte bosonica de la Ec. (18A.10). Por lo tanto, el lado derecho de la integral(18A.15) se puede escribir como a/g. El lado izquierdo es obviamente igual a (c/g) coth(c/2Tg).Por lo que llegamos a la desigualdad

c cothc

2Tg≤ a. (18A.17)

En terminos de los operadores de campos originales, esto equivale a

〈[ψ, ψ†]+〉T ≥ 〈[ψ, ψ†]−〉T coth〈[ψ, ψ†]−〉T

2T∫ 1/T

0 dτ 〈ψ(τ)ψ†(0)〉T. (18A.18)

En el caso especial donde ψ sea un campo canonico de interaccion bosonico con momentum p, elconmutador es simplemente [ψ, ψ†]− = 1, y la desigualdad sera

1 + 2〈ψ†pψp〉T ≥ coth(1/2Tg) = 1 +2

e1/gT − 1= 1 + 2ng−1 , (18A.19)


i.e.,

〈ψ†pψp〉T ≥ 1

e1/gT − 1≡ ng−1 , (18A.20)

donde ng−1 es la funcion de distribucion de boson libre, Ec. (18.36), con energıa g−1.

Esta es una relacion bastante interesante. La cantidad g es la funcion de Green de equilibrioEuclidiano G(ωm,p), para ωm = 0. Para partıculas libres en contacto con un reservorio, la funcionestara dada por

g−1 = G(0,p)−1 =p2

2M− µ ≡ ξ(p), (18A.21)

i.e., la funcion de Green es igual a la energıa de la partıcula, medida con respecto al potencialquımico µ. Mas aun, sabemos que para partıculas libres

〈ψ†pψp〉T = nξ(p), (18A.22)

de tal manera que la desigualdad (18A.20) se convierte en una igualdad. Por lo tanto, el contenidode la desigualdad (18A.20) se puede parafrasear como sigue: para cualquier interaccion, la ocu-pacion de un estado con momentum p nunca es menor que la ocupacion del nivel del boson librecon energıa g−1 = G(0,p).

Se puede derivar otra desigualdad de la funcion concava

f(y) =√y coth

√y

2T, (18A.23)

usando y = ω2 y la norma∫ ∞

−∞

dω µ(ω) =

∫ ∞

0

dy√yµ(√y) = 1. (18A.24)

Como se argumento antes, las funciones concavas satisfacen una desigualdad opuesta a la dada enla Ec. (18A.15), de lo cual derivamos la desigualdad

f

(∫ ∞

0

dy√yµ(√y)y

)

≥∫ ∞

0

dy√yµ(√y)f(y), (18A.25)

la cual se puede reescribir como

f

(∫ ∞

−∞

dω µ(ω)ω2

)

≥∫ ∞

−∞

dω µ(ω)f(ω2). (18A.26)

De nuevo, el lado derecho es igual a a/g, pero ahora esta acotado por arriba por medio de

a

g≤√

d

gcoth

(

1

2T

√

d

g

)

. (18A.27)

La desigualdad combinada

c cothc

2Tg≤ a ≤

√

dg coth

(

1

2T

√

d

g

)

(18A.28)

puede usarse para derivar mas desiguladades:

c2 ≤ dg,

c coth(d/2Tc) ≤ a,

g ≤ coth(c/2Ta),

c ≤ d tanh(c/2Ta),

c ≤ a tanh(d/2Tc).

(18A.29)

Apendice 18B Funcional Generatriz General 1433

Para campos fermionicos vemos que se cumple una desigualdad como la dada en la Ec. (18A.17),donde c y a son intercambiados, i.e.,

a cotha

2Tg≤ c, (18A.30)

lo cual conduce a

〈[ψ, ψ†]−〉T ≤ 〈[ψ, ψ†]+〉T tanh〈[ψ, ψ†]+〉T

2T∫ 1/T

0 dτ 〈ψ(τ)ψ†(0)〉T. (18A.31)

Para campos fermionicos canonicos donde [ψ, ψ†]+ = 1, este resultado se convierte en

1 − 2〈ψ†ψ〉T ≤ tanh(1/2gT ) = 1 − 2

e1/gT + 1, (18A.32)

i.e., la contraparte fermionica de la Ec. (18A.20):

〈ψ†pψp〉T ≤ 1

e1/gT + 1= ng−1 , (18A.33)

donde ng−1 es la funcion de distribucion del fermion libre, Ec. (18.36), con la energıa g−1. Comoen el caso de Bose, las partıculas libres satisfacen

〈ψ†pψp〉T = nξ(p), (18A.34)

donde g−1 = ξ(p), de tal manera que la desigualdad de la Ec. (18A.33) se convierte en una igualdad.La desigualdad implica que la ocupacion un nivel fermionico de interaccion nunca sera mayor quela ocupacion correspondiente al nivel del fermion libre de energıa g−1 = G(0,p)−1.

La segunda desigualdad dada en la Ec. (18A.29) tambien se puede hallar para fermiones, loque equivale a la Ec. (18A.30), pero donde a y d son reemplazados por c y e.

Apendice 18B Funcional Generatriz General

Para un operador de campo a(t) con frecuencia Ω y su Hermıtico conjugado a†(t), las funcionesde Green retardas y avanzadas y los valores esperados de conmutadores y anticonmutadores sederivaron en las Ecs. (18.68)–(18.77):

GRΩ(t, t′) = Θ(t− t′)e−iΩ(t−t′),

GAΩ(t, t′) = −Θ(t′ − t)e−iΩ(t−t′),

CΩ(t, t′) = e−iΩ(t−t′),

AΩ(t, t′) =

(

tanhΩ

2T

)∓1

e−iΩ(t−t′). (18B.1)

Introduciendo las fuentes complejas η(t) y η†(t) asociadas con estos operadores, la funcional gene-ratriz para estas funciones es

Z0[ηP, η†P] = Tr

ρ TP exp

[

−i∫ tb

ta

dt(a†η + η†a)

]

. (18B.2)

Las fuentes complejas se distinguen por los contornos temporales cerrados con el subındice P. Conesto, la funcional generatriz se puede escribir inmediatamente, y sera

Z0[ηP, η†P] = exp

−∫

dt

∫

dt′η†P(t)GP(t, t′)ηP(t′)

, (18B.3)


con lo cual generalizamos la Ec. (18.179), donde la matriz

Gp =1

2

(

AΩ +GRΩ +GA

Ω AΩ −GRΩ +GA

Ω

AΩ +GRΩ −GA

Ω AΩ −GRΩ −GA

Ω

)

(18B.4)

contiene los siguientes valores esperados de los operadores sobre los dos ramales temporales:

Gp(t, t′) =

(

〈TPaH(t+)a†H(t′+)〉T 〈TPaH(t+)a†H(t′−)〉T〈TPaH(t−)a†H(t′+)〉T 〈TPaH(t−)a†H(t′−)〉T

)

=

(

〈T aH(t+)a†H(t′+)〉T ±〈a†H(t′−)aH(t+)〉T〈aH(t−)a†H(t′+)〉T 〈T aH(t−)a†H(t′−)〉T

)

. (18B.5)

Notemos que los operadores aH(t+), a†H(t+) y aH(t−), a†H(t−) obedecen las ecuaciones demovimiento de Heisenberg, donde los Hamiltonianos son

H+ ≡ Ω

2

[

a†H(t+)aH(t+) ± aH(t+)a†H(t+)]

,

H− ≡ −Ω

2

[

a†H(t−)aH(t−) ± aH(t−)a†H(t−)]

. (18B.6)

En la interpretacion de segunda cuantizacion, tendremos

H+ ≡ Ω

2a†H(t+)aH(t+),

H− ≡ −Ω

2a†H(t−)aH(t−).

La dependencia temporal explıcita de los elementos de matriz de GP(t, t′), dada en la Ec. (18B.5),sera

GP(t, t′) = e−iΩ(t−t′)

(

Θ(t− t′) ± nΩ ±nΩ

1 ± nΩ Θ(t′ − t) ± nΩ

)

, (18B.7)

donce nΩ = (eΩ/T ± 1)−1.Por otro lado, esta funcion de Green se puede descomponer en la forma

G0P(t, t′) +GN

P (t, t′), (18B.8)

donde G0P(t, t′) es la funcion de Green a temperatura cero, i.e., la expresion (18B.7) para nΩ ≡ 0.

La matriz GN (t, t′) contiene los valores esperados de los productos normales :

GNP (t, t′) ≡

(

〈N aH(t+)a†H(t′+)〉T 〈N aH(t+)a†H(t′−)〉T〈N aH(t−)a†H(t′+)〉T 〈N aH(t−)a†H(t′−)〉T

)

≡ ±(

〈a†H(t′+)aH(t+)〉T 〈a†H(t′−)aH(t+)〉T〈a†H(t′+)aH(t−)〉T 〈a†H(t′−)aH(t−)〉T

)

. (18B.9)

Para un producto arbitrario de operadores, el producto normal de N(. . .) se define reordenando losoperadores de tal manera que todos los operadores de aniquilacion actuaran primero sobre el estadolocalizado al lado derecho. Al final, el producto recibe el factor de fase (−)F , donde F es el numerode permutaciones de fermiones utilizadas para llegar al orden normal. Existe una descomposicionsimilar para los operadores antes de hallar los valores esperados. Para cualquier par de operadoresA(t), B(t′) que son una combinacion lineal de operadores de creacion y aniquilacion, el productoordenado temporalmente se puede descomponer en la forma

T A(t)B(t′) = 〈T A(t)B(t′)〉0 + NA(t)B(t′), (18B.10)

Apendice 18B Funcional Generatriz General 1435

donde 〈. . .〉0 ≡ Tr (|0〉〈0| . . .) denota el valor esperado a temperatura cero. Esta descomposicionesta demostrada en el Apendice 18C, donde tambien esta generalizado el producto para el caso demas de dos operadores.

Veamos tambien la base de Keldysh:

ηP = QηP =1√2

(

1 −11 1

)

ηP. (18B.11)

Entonces la funcional generatriz sera [en lugar de la funcional dada en la Ec. (18.180)]:

Z0[η∗P, ηP] = exp

[

−∫

dt

∫

dt′ (η∗+,−η∗−)Q−1

(

0 GAΩ

GRΩ A

)

Q

(

η+

−η−

)]

= exp

− 1

2

∫

dt

∫

dt′[

(η∗+ − η∗−)(t)GRΩ(t− t′)(η+ + η−)(t′)

+ (η∗+ + η∗−)(t)GAΩ(t− t′)(η+ − η−)(t′)

+ (η∗− − η∗−)(t)AΩ(t− t′)(η+ − η−)(t′)]

, (18B.12)

donde hemos usado la notacion

η+(t) ≡ η(t+), η−(t) ≡ η(t−). (18B.13)

La expresion (18B.12) se puede simplificar [como hicimos antes en la Ec. (18.180)] usando la relacionde inversion temporal dada en la Ec. (18.62), en la forma

AΩ(t, t′) = Θ(t, t′)AΩ(t, t′) ± Θ(t′ − t)AΩ(t′, t), (18B.14)

con lo cual obtenemos

Z0[η∗P, ηP] = exp

− 1

2

∫ ∞

−∞

dt

∫ t

−∞

dt′

×[

(η+ − η−)∗(t)GRΩ(t, t′)(η+ + η−)(t′)

− (η+ − η−)(t)GRΩ(t, t′)∗(η+ + η−)∗(t′)

+ (η+ − η−)∗(t)AΩ(t, t′)(η+ − η−)(t′)

+ (η+ − η−)(t)AΩ(t, t′)∗(η+ − η−)∗(t′)]

. (18B.15)

Para el caso de un campo de segunda cuantizacion, este resultado es la funcional generatriz masutil.

La expresion (18B.15) se puede usar para deducir la funcional generatriz para las funcionesde correlacion entre uno o mas campos ϕ(t) y los momenta canonicamente conjugados asocia-dos. Como un ejemplo, consideremos un oscilador armonico con ϕ(t) = x(t) y los momenta p(t).Queremos encontrar la funcional generatriz

Z[jP, kP] = Tr

(

ρ TP exp

i

∫

P

dx [jP(t)xP(t) + kP(t)pP(t)]

)

. (18B.16)

La variable de posicion x(t) se descompone como en la Ec. (18.92), en la suma de operadores decreacion y aniquilacion:

x(t) =

√

h

2MΩ

[

ae−iΩt + a†eiΩt]

. (18B.17)


La inversa de esta descomposicion es

aa†

= (MΩ ϕ± ip)/√

2MΩh, (18B.18)

y existe una relacion analoga para las fuentes complejas:

ηη†

= (j ± iMΩ k) /√

2MΩh. (18B.19)

Sustituyendo estas fuentes en la Ec. (18B.15), obtenemos la funcional generatriz

Z0[jP, kP] = exp

− 1

2MΩ

∫ ∞

−∞

dt

∫ t

−∞

dt′ (j+ − j−)(t)

×

[ReAΩ(t, t′) + iImGRΩ(t, t′)]j+(t′)

− [ReAΩ(t, t′) − iImGRΩ(t, t′)]j−(t′)

(18B.20)

−1

2

∫ ∞

−∞

dt

∫ t

−∞

dt′ (k+ − k−)(t) [ImAΩ(t, t′) − iReGRΩ(t, t′)]j+(t′)

− [ImAΩ(t, t′) + iReGRΩ(t, t′)]j−(t′)

+ (j ↔ kMΩ)

.

En este momento es util introducir las cantidades

α(t, t′) =1

2MΩ

[

ReAΩ(t, t′) + iImGRΩ(t, t′)

]

,

β(t, t′) =1

2MΩ

[

ImAΩ(t, t′) − iReGRΩ(t, t′)

]

. (18B.21)

Entonces la funcional generatriz sera

Z0[j+, j−, k+, k−]= exp

−∫ ∞

−∞

dt

∫ t

−∞

dt′ (j+−j−)(t) [α(t, t′)j+(t′)−α∗(t, t′)j−(t′)] + (j ↔ kMΩ)

−MΩ

∫ ∞

−∞

dt

∫ t

−∞

dt′ (k+−k−)(t) [β(t, t′)j+(t′)−β∗(t, t′)j−(t′)] + (j ↔ kMΩ)

.

(18B.22)

Si el oscilador esta acoplado solo a la fuente real j, i.e., si su funcional generatriz es de la forma

Z[jP] = Tr

ρ TP exp

[

i

∫

P

dx jP(t)xP(t)

]

, (18B.23)

en el exponencial de la Ec. (18B.22) podemos omitir todos los terminos excepto la primera lınea,con lo cual tendremos

Z0[j+, j−] = exp

−∫ ∞

−∞

dt

∫ t

−∞

dt′ (j+ − j−)(t) [α(t, t′)j+(t′) − α∗(t, t′)j−(t′)]

.

(18B.24)

Puesto que las Ecs. (18B.22) y (18B.24) contienen solo el orden temporal causal t > t′, en laEc. (18B.21) la funcion de Green retardada GR

Ω(t, t′) se puede reemplazar por el valor esperado delconmutador [ver las Ecs. (18.40), (18.41) y (18.42)]. Ası, para t > t′, las funciones α(t, t′) y β(t, t′)son iguales a 11

α(t, t′) =1

2MΩ[ReAΩ(t, t′) + iImCΩ(t, t′)] , t > t′,

β(t, t′) =1

2MΩ[ImAΩ(t, t′) − iReCΩ(t, t′)] , t > t′. (18B.25)

11Note que α(t, t′) = 〈x(t)x(t′)〉T .

Apendice 18C Descomposicion de Wick del Producto de Operadores 1437

Para un oscilador simple de frecuencia Ω usamos la funcion espectral (18.74), las propiedadesdadas en las Ecs. (18.44) y (18.53) para AΩ(t, t′) y CΩ(t, t′), y encontramos las expresiones:

α(t, t′) =1

2MΩ

[

Re e−iΩ(t−t′)

coth Ω2T

tanh Ω2T

+ iIm e−iΩ(t−t′)

]

=1

2MΩ

[

cosΩ(t− t′)

coth Ω2T

tanh Ω2T

− i sinΩ(t− t′)

]

, (18B.26)

β(t, t′) =1

2MΩ

[

Im e−iΩ(t−t′)

coth Ω2T

tanh Ω2T

− iRe e−iΩ(t−t′)

]

= − 1

2MΩ

[

sin Ω(t− t′)

coth Ω2T

tanh Ω2T

+ i cosΩ(t− t′)

]

. (18B.27)

Note que las partes real e imaginaria de las funciones α(t − t′) se pueden combinar en una solaexpresion (β = 1/T )

α(t− t′) =1

2MΩ

cosh[Ω(β/2 − i(t− t′)]

sinh(Ωβ/2)para bosones,

sinh[Ω(β/2 − i(t− t′)]

cosh(Ωβ/2)para fermiones.

(18B.28)

La funcion bosonica concuerda con la funcion de Green ordenada temporalmente, Ec. (18.101),para t > t′ y continuada analıticamente para t < t′.

En un espacio de Fourier, las funciones (18B.26) y (18B.27) corresponden a

α(ω′) =π

2MΩ

(

coth±1ω′

2T+ 1

)

[δ(ω′ − Ω) − δ(ω′ + Ω)] ,

β(ω′) = − iπ

2MΩ

(

coth±1ω′

2T+ 1

)

[δ(ω′ − Ω) + δ(ω′ + Ω)] .

Separemos estas funciones en una contribucion de temperatura cero mas un remanente

α(ω′) =π

MΩ

δ(ω′ − Ω) ± 1

eΩ/T ∓ 1[δ(ω′ − Ω) + δ(ω′ + Ω)]

,

β(ω′) =π

MΩ

δ(ω′ − Ω) ± 1

eΩ/T ∓ 1[δ(ω′ − Ω) − δ(ω′ + Ω)]

.

Como fundamento de este formula recordamos que, Einstein explico primeramente la emision yabsorcion inducida de la luz en los atomos con lo que el cosidero como momentos dipolares oscilandoarmonicamente en contacto con un reservorio termico, el cual constaba de las componentes deFourier del campo electromagnetico en equilibrio termico. A dicho bano termico se le llama uncuerpo negro. Al primer termino, puramente disipativo e independiente de la temperatura, deα(ω′) Einstein le atribuyo la emision espontanea de fotones. El segundo termino tiene su origen enlas fluctuaciones del bano, dando origen a que la energıa entre y salga via la emision y absorcioninducida de fotones. Este termino es proporcional del numero de ocupacion del estado del osciladornΩ = (e−Ω/T ∓1)−1. La igualdad de los prefactores al frente a los dos terminos, es la manifestacionimportante del teorema de fluctuacion-disipacion encontrada anteriormente [ver la Ec. (18.53)].

Apendice 18C Descomposicion de Wick del Producto deOperadores

Consideremos dos operadores A(t) y B(t), los cuales son una combinacion lineal de operadores decreacion y aniquilacion

A(t) = α1a(t) + α2a†(t),


B(t) = β1a(t) + β2a†(t). (18C.1)

Queremos mostrar que el ordenamiento temporal del producto de los dos operadores tiene ladescomposicion mencionada en la Ec. (18B.10):

T A(t)B(t) = 〈T A(t)B(t)〉0 + NA(t)B(t). (18C.2)

El primer termino en el lado derecho, es el valor esperado ordenado temporalmente del productoa temperatura cero; el segundo termino es el producto normal de los dos operadores.

Si A y B son ambos operadores de creacion y aniquilacion, la afirmacion es trivial donde〈T AB〉0 = 0. Si uno de los dos, digamos A(t), es un operador de creacion y el otro, B(t), unoperador de aniquilacion, entonces

T a(t)a†(t′) = Θ(t− t′)a(t)a†(t′) ± Θ(t′ − t)a†(t′)a(t)

= Θ(t− t′)[a(t)a†(t′)]∓ ± a†(t′)a(t). (18C.3)

Debido al conmutador (anticommutador) el primer termino es un numero c. Como tal es igual alvalor esperado del producto ordenado temporalmente a temperatura cero. El segundo termino esun producto normal, ası que podemos escribir

T a(t)a†(t′) = 〈T a(t)a†(t′)〉0 + N a(t)a†(t′). (18C.4)

El mismo argumento se aplica si a y a† se intercambian (tal intercambio solo produce un cambiode signo en ambos lados de la ecuacion). La afirmacion general para A(t)B(t′) se sigue de labilinealidad del producto.

La descomposicion (18C.2) del ordenamiento temporal del producto de dos operadores se puedeextender al producto de n operadores, de donde obtenemos

T A(t1) . . . A(tn) =n∑

i=2

N˙A(t1) . . .

˙A(ti) . . . A(tn). (18C.5)

Un par de puntos en comun sobre una pareja de operadores denota una contraccion de Wick , deltipo discutido en la Seccion 3.10. Esto indica que la pareja de operadores se ha reemplazado porel valor esperado 〈T A(t1)A(ti)〉0, multiplicado por un factor (−)F , donde F = es la permutacionde fermiones necesaria para traer el operador contraido a las posiciones adyacentes. Los factoresrestantes se contraen en la misma forma. De este modo, cualquier producto ordenado temporal-mente

T A(t1) · · · A(tn) (18C.6)

se puede desarrollar como una suma de productos normales de estos operadores conteniendo demanera sucesiva uno, dos, tres, etc., pares de operadores contraidos.

La regla del desarrollo se puede representar en forma mas compacta por medio de una funcionalgeneratriz

T ei∫

∞

−∞

dtA(t)j(t)= e− 1

2

∫

∞

−∞

dtdt′j(t)〈T A(t)A(t′)〉0j(t′)N

(

ei∫

∞

−∞

dtA(t)j(t))

. (18C.7)

La diferenciacion con respecto a las fuentes j(t), en ambos lados de la expresion, da origen a lasdescomposiciones anteriores.

Hallando los promedios termicos esperados de la expresion (18C.7) a la temperatura T , encon-tramos

⟨

T ei∫

∞

−∞

dtA(t)j(t)⟩

T

= e− i

2

∫

∞

−∞

dtdt′j(t)G(t,t′)j(t′), (18C.8)

donde

G(t, t′) = 〈T A(t)A(t′)〉0 + 〈NA(t)A(t′)〉T . (18C.9)

El primer termino en el lado derecho se calcula a temperatura cero. Todos los efectos de tempera-tura finita residen en el segundo termino.

Notas y Referencias 1439

Notas y Referencias

El teorema de fluctuacion-disipacion fue formulado por primera vez porH.B. Callen and T.A. Welton, Phys. Rev. 83, 34 (1951).Este teorema generaliza la relacion entre las constantes de difusion y visconsidad descubiertas porA. Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 17, 549 (1905),y una relacion analoga para la emision de luz inducida enA. Einstein, ”Strahlungs-Emission und -Absorption nach der Quantentheorie”, Verhandlungen derDeutschen Physikalischen Gesellschaft 18, 318 (1916),donde Einstein derivo la formula de Plack de la radiacion del cuerpo negro. Ver tambien la apli-cacion de este teorema en el ruido termico en un resistor:H. Nyquist, Phys. Rev. 32, 110 (1928).

K.V. Keldysh, Z. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1515 (1964); Sov. Phys. JETP 20, 1018 (1965).Ver tambienV. Korenman, Ann. Phys. (N. Y.) 39, 72 (1966);D. Dubois, in Lectures in Theoretical Physics , Vol. IX C, ed. by W.E. Brittin, Gordon and Breach,New York, 1967;D. Langreth, in Linear and Nonlinear Electronic Transport in Solids , ed. by J.T. Devreese andV. Van Doren, Plenum, New York, 1976;A.M. Tremblay, B. Patton, P.C. Martin, and P. Maldague, Phys. Rev. A 19, 1721 (1979).Para la derivacion de la ecuacion de Langevin de la integral de trayectoria hacia adelante–atras,verS.A. Adelman, Chem. Phys. Lett. 40, 495 (1976);y especialmenteA. Schmid, J. Low Temp. Phys. 49, 609 (1982).Para resolver el problema del operador de orden, Schmid supuso que una derivacion en terminos dela particion temporal de la integral de trayectoria hacia adelante–atras darıa una version segmen-tada de la ecuacion diferencial estocastica (18.317), ηn ≡ (M/ǫ)(xn−2xn−1+xn−2)+(Mγ/2)(xn−xn−2) + ǫV ′(xn−1). La matriz ∂η/∂x tiene un determinante constante (M/ǫ)N(1 + ǫγ/2)N . Su ar-gumento [citado tambien en el texto deU. Weiss, Quantum Dissipative Systems , World Scientific, 1993,en la discusion que sigue a la Ec. (5.93)], es inaceptable por dos razones: Primero, su segmentacionno esta deducida. Segundo, el determinante resultante tiene un lımite continuo erroneo, pro-porcional a exp

[∫

dt γ/2]

para ǫ → 0, N = (tb − ta)/ǫ → ∞, correspondiendo al determinantefuncional retardado de la Ec. (18.274), mientras que, por la Ec. (18.282), el lımite correcto serıaindependiente de γ.El texto anterior de U. Weiss contiene muchas aplicaciones a integrales de trayectoria fuera deequilibrio.

Sobre las ecuaciones de Langevin y Fokker-Planck se puede encontrar mas informacion enS. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943);N.G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland, Amsterdam,1981;P. Hanggi and H. Thomas, Phys. Rep. 88, 207 (1982);C.W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods , Springer Series in Synergetics, 1983, Vol. 13;H. Risken, The Fokker-Planck Equation, ibid., 1983, Vol. 18;R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, Statistical Physics II , Springer, Berlin, 1985;H. Grabert, P. Schramm, and G.-L. Ingold, Phys. Rep. 168, 116 (1988).

La ecuacion estocastica de Schrodinger, con el operador Hamiltoniano (18.521), fue derivada porA.O. Caldeira and A.J. Leggett, Physica A 121, 587 (1983); A 130 374(E) (1985).Ver tambien


A.O. Caldeira and A.J. Leggett, Phys. Rev. A 31, 1059 (1985).Una discusion reciente de la relacion entre la segmentacion temporal e Ito versus el calculo deStratonovich se puede encontrar enH. Nakazato, K. Okano, L. Schulke, and Y. Yamanaka, Nucl. Phys. B 346, 611 (1990).Para la representacion en terminos del operador de Heisenberg del calculo estocastico verN. Saito and M. Namiki, Progr. Theor. Phys. 16, 71 (1956).Aplicaciones recientes de la ecuacion de Langevin a problemas de decamientos en fluctuacionescuanticas estan discutidas enU. Eckern, W. Lehr, A. Menzel-Dorwarth, F. Pelzer, A. Schmid, J. Stat. Phys. 59, 885-934 (1990).Ver tambien sus referencias y sus acotaciones al final del Capıtulo 3.

La ecuacion cuantica de Langevin esta discutida enG.W. Ford, J.T. Lewis and R.F. O’Connell, Phys. Rev. Lett. 55, 42273 (1985); Phys. Rev. A 37,4419 (1988); Ann. of Phys. 185, 270 (1988).

Modelos deterministas para funciones de onda tipo Schrodinger se discuten enG. ’t Hooft, Class. Quant. Grav. 16, 3263 (1999) (gr-gc/9903084); hep-th/0003005; Int. J. Theor.Phys. 42, 355 (2003) (hep-th/0104080); hep-th/0105105; Found. Phys. Lett. 10, 105 (1997)(quant-ph/9612018).Ver tambien: Lecture on Ref. [37].La representacion dada en la Seccion 18.24 se debe aZ. Haba and H. Kleinert, Phys. Lett. A 294, 139 (2002) (quant-ph/0106095).Ver tambienF. Haas, Stochastic Quantization of the Time-Dependent Harmonic Oscillator , Int. J. Theor.Phys. 44, 1 (2005) (quant/ph-0406062).M. Blasone, P. Jizba, and H. Kleinert, Phys. Rev. A 71, 2005; Braz. J. Phys. 35, 479 (2005)(quant/ph-0504047); Annals Phys. 320, 468 (2005) (quant/ph-0504200).Otras correcciones se deben aM. Blasone, P. Jizba, G. Vitiello, Phys. Lett. A 287, 205 (2001) (hep-th/0007138);M. Blasone, E. Celeghini, P. Jizba, G. Vitiello, Quantization, Group Contraction and Zero-PointEnergy, Phys. Lett. A 310, 393 (2003) (quant-ph/0208012).

Las citas individuales se refieren a

[1] Algunos autores definen aG12(τ) con un signo menos extra y a la funcion de Green retardadacon un factor −i, de tal forma que la relacion es mas directa: GR

12(ω) = G12(ωm = −iω+η).VerA.A. Abrikosov, L.P. Gorkov, and I.E. Dzyaloshinski, Sov. Phys. JETP 9, 636 (1959); oMethods of Quantum Field Theory in Statistical Physics , Dover, New York, 1975; tambienA.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems , McGraw-Hill,New York, 1971.Nuestra definicion dada en la Ec. (18.20), sin el signo negativo, esta de acuerdo con ladefinicion de la amplitud de energıa constante del Capıtulo 9, Ec. (1.325), la cual es tambienuna funcion de Green retardada.

[2] E.S. Fradkin, The Green’s Function Method in Quantum Statistics , Sov. Phys. JETP 9, 912(1959).

[3] G. Baym and D. Mermin, J. Math. Phys. 2, 232 (1961).Una extrapolacion usa aproximaciones de Pade:H.J. Vidberg and J.W. Serene, J. Low Temp. Phys. 29, 179 (1977); W.H. Press, S.A.Teukolsky, W.T. Vetterling, and B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, CambridgeUniv. Press (1992), Chapter 12.5.Ya que generalmente la funcion termica de Green solo se conoce en forma aproximada, la

Notas y Referencias 1441

continuacion analıtica no es unica. Un metodo que maximiza la entropıa, publicado porR.N. Silver, D.S. Sivia, and J.E. Gubernatis, Phys. Rev. B 41, 2380 (1990)selecciona el resultado mas confiable.

[4] J. Schwinger, J. Math. Phys. 2, 407 (1961).

[5] K.V. Keldysh, Z. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1515 (1964); Sov. Phys. JETP 20, 1018 (1965).

[6] K.-C. Chou, Z.-B. Su, B.-L. Hao, and L. Yu, Phys. Rep. 118, 1 (1985);ver tambien K.-C. Chou et al., Phys. Rev. B 22, 3385 (1980).

[7] R.P. Feynman and F.L. Vernon, Ann. Phys. 24, 118 (1963);R.P. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals , McGraw-Hill, NewYork, 1965, Sections 12.8 and 12.9.

[8] Las solucion a integrales de trayectoria con segundas derivadas temporales en el Lagrangianoestan dadas enH. Kleinert, J. Math. Phys. 27, 3003 (1986) (http://www.physik.fu-berlin.de/~klei-nert/144).

[9] H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter , op. cit., Vol. II, Section 17.3 (ibid.http/b2),y las referencias ahı contenidas.

[10] Ver el artıculo en extenso deS. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943), o los artıculos originales:A.A. Fokker, Ann. Phys. (Leipzig) 43, 810 (1914);M. Planck, Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. p. 324 (1917);O. Klein, Arkiv Mat. Astr. Fysik 16, No. 5 (1922);H.A. Kramers, Physica 7, 284 (1940);M. Smoluchowski, Ann. Phys. (Leipzig) 48 , 1103 (1915).

[11] H. Kleinert, A. Chervyakov, Phys. Lett. B 464, 257 (1999) (hep-th/9906156); Phys.Lett. B 477, 373 (2000) (quant-ph/9912056); Eur. Phys. J. C 19, 743-747 (2001) (quant-ph/0002067); Phys. Lett. A 273, 1 (2000) (quant-ph/0003095); Int. J. Mod. Phys. A 17,2019 (2002) (quant-ph/0208067); Phys. Lett. A 308, 85 (2003) (quant-ph/0204067); Int. J.Mod. Phys. A 18, 5521 (2003) (quant-ph/0301081) .

[12] En un primer intento por mostrar que este determinate funcional es unitario,A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 49, 609 (1982), forzo una segmentacion temporal apropiadadel operador diferencial en la Ec. (18.326). Sin embargo, ya que esto no fue derivado a partirde una segmentacion temporal de la integral de trayectoria hacia adelante–atras (18.230),este procedimiento no se puede considerar como una demostracion.

[13] El problema del operador de ordenamiento fue resuelto por primera vez porH. Kleinert, Ann. of Phys. 291, 14 (2001) (quant-ph/0008109).

[14] R. Benguria and M. Kac, Phys. Rev. Lett. 46, 1 (1981);Y.C. Chen, M.P.A. Fisher and A.J. Leggett, J. Appl. Phys. 64, 3119 (1988).

[15] G.W. Ford, M. Kac, and P. Mazur, J. Math. Phys. 6, 504 (1965).G.W. Ford and M. Kac, J. Stat. Phys. 46, 803 (1987).

[16] P. Langevin, Comptes Rendues 146, 530 (1908).

[17] G. Parisi and Y.S. Wu, Scientia Sinica 24, 483 (1981).

[18] R. Kubo, J.Math.Phys. 4, 174 (1963);R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume, Statistical Physics II (Nonequilibrium StatisticalMechanics), Springer-Verlag, Berlin, 1985 (Chap. 2).

[19] J. Zinn-Justin, Critical Phenomena, Clarendon, Oxford, 1989.


[20] G. Parisi and N. Sourlas, Phys. Rev. Lett. 43, 744 (1979); J. de Phys. 41, L403 (1981);Nucl. Phys. B 206 , 321 (1982);

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[22] H. Kleinert and S. Shabanov, Phys. Lett. A 235, 105 (1997) (quant-ph/9705042).

[23] E. Gozzi, Phys. Lett. B 201, 525 (1988).

[24] A.O. Caldeira and A.J. Leggett, Physica A 121, 587 (1983); A 130 374(E) (1985).

[25] Mas sobre este tema se encuentra en la coleccion de artıculosD. Giulini, E. Joos, C. Kiefer, J. Kupsch, I.O. Stamatescu, H.D. Zeh, Decoherence and theAppearance of a Classical World in Quantum Theory, Springer, Berlin, 1996.

[26] G. Lindblad, Comm. Math. Phys. 48, 119 (1976). Este artıculo muestra que la forma(18.534) de la ecuacion clave (18.524) garantiza la positividad de las probabilidades derivadasa partir de la soluciones. El lado derecho, en forma mas general, puede ser igual a∑

mn hmn

(

12 LmLnρ+ 1

2 ρLmLn − LnρLm

)

+ h.c. .

[27] L. Diosi, Europhys. Lett. 22, 1 (1993).

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[33] H. Kleinert and S. Shabanov, J. Phys. A: Math. Gen. 31, 7005 (1998) (cond-mat/9504121);R. Bausch, R. Schmitz, and L.A. Turski, Phys. Rev. Lett. 73, 2382 (1994); Z. Phys. B 97,171 (1995).

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[35] Z. Haba, Lett. Math. Phys. 37, 223 (1996).

[36] G. ’t Hooft, Found. Phys. Lett. 10, 105 (1997) (quant-ph/9612018).

[37] G. ’t Hooft, How Does God Throw Dice? in Fluctuating Paths and Fields - Dedicatedto Hagen Kleinert on the Occasion of his 60th Birthday, Eds. W. Janke, A. Pelster,H.-J. Schmidt, and M. Bachmann, World Scientific, Singapore, 2001 (http://www.phy-sik.fu-berlin.de/~kleinert/fest.html).

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