1.- Evolución das ideas acerca da natureza da luz! 2

2.- Óptica xeométrica! 2

2.1.- Principio de Fermat. Camiño óptico! 3

2.2.- Reflexión e refracción. Leis de Snell! 3

2.3.- Laminas plano-paralelas! 4

2.4.- Prisma óptico! 4

2.5.- Dispersión de la luz! 4

3.- Criterios de signos! 5

4.- Sistemas ópticos ! 6

4.1.- Dioptrio esférico! 6

4.2.- Dioptrio plano! 7

4.3.- Espello esférico! 7

4.4.- Espello plano! 7

5.- Formación de imaxes! 8

5.1.- Dioptrio esférico! 8

5.2.- Espello esférico! 8

6.- Lentes delgadas! 10

6.1.- Tipos de lentes:! 11

6.2.- Formación de imaxes.! 11

7.- Aberraciones ! 12

8.- Instrumentos ópticos! 13

Óptica Xeométrica

1

• 1.- Evolución das ideas acerca da natureza da luz! ! A controversia sobre a natureza da luz é unha das máis interesantes da historia da ciencia. Newton foi defensor da teoría corpuscular, na que a luz se consideraba que estaba formada por corpúsculos que se movían en liña recta. Mediante esta teoría explicou a reflexión e a refracción da luz.

!! Se non existe ningún rozamento, a compoñente da cantidade de movemento da partícula paralela á superficie non se ve modificada polo choque, pero a compoñente perpendicular á parede invértese (admitimos que a masa da superficie é moito maior cá da partícula e que a colisión é elástica). Así pois, o ángulo de reflexión é igual ao de incidencia.! ! Para a refracción no caso dunha superficie aire - vidro, aire - auga, Newton supoñía que as partículas luminosas eran fortemente atraídas polo vidro ou a auga, de modo que, cando se aproximaban á superficie, recibían un impulso momentáneo que facía aumentar a compoñente da cantidade de movemento perpendicular á superficie. Así, a dirección da cantidade de movemento das partículas luminosas variaba e o feixe luminoso era obrigado a desviarse cara á normal da superficie.! ! Explicaba a difracción producida por unha fenda como a dispersión das partículas nos bordes da fenda. ! ! Os defensores principais da teoría ondulatoria da propagación da luz foron Huygens e Hooke. Huygens demostrou a reflexión e a refracción por medio desta teoría. Newton recoñeceu as virtudes da teoría ondulatoria, en particular porque explicaba as cores formadas polas láminas delgadas; porén, rexeitou a teoría ondulatoria debido á propagación da luz en liña recta, de observación común.! !Debido á gran reputación de Newton, está teoría foi rexeitada durante máis dun século.! !En 1801, Thomas Young reavivou a teoría ondulatoria, ao explicar o fenómeno de interferencias mediante esta teoría. Pero o gran revulsivo a esta teoría deullo Fresnel, que realizou un gran número de estudos sobre interferencias e difraccións, e deulle á teoría ondulatoria unha base matemática. Demostrou que la propagación rectilínea da luz era debida á súa pequena lonxitude de onda.! En 1860 Maxwell publicou a súa teoría electromagnética, na que se demostraba que a luz era unha onda, e isto provocou que quedase en desuso a teoría corpuscular. ! En 1887, Hertz descubriu o efecto fotoeléctrico, que só se pode demostrar a través da teoría corpuscular. En 1905 Einstein unifica as dúas teorías ao darlle carácter dual.

• 2.- Óptica xeométrica! ! É a parte da óptica que trata, a partir de representacións xeométricas, dos cambios de dirección que experimentan os raios luminosos nos distintos fenómenos de reflexión e refracción. ! ! A óptica xeométrica parte dos seguintes supostos:! ! - Raio é a traxectoria seguida pola enerxía radiante na súa propagación.! ! - A luz propágase en liña recta nos medios homoxéneos e isótropos.

Óptica Xeométrica

2

!! - Os raios luminosos son reversibles; o camiño seguido por un raio é independente de que se produza nun determinado sentido ou noutro.!! ! - Índice de refracción: n = c/v, é o cociente entre a velocidade da luz no baleiro e a velocidade da luz no medio. Para distintas frecuencias, o índice de refracción toma distinto valor.

! 2.1.- Principio de Fermat. Camiño óptico! Consideremos un raio de luz que se propaga nun medio material, con índice de refracción n, entre os puntos P e Q. Nun desprazamento infinitesimal ds cúmprese que v = ds/dt, onde v é a velocidade da luz nese medio. Posto que n = c/v, temos que c/n = ds/dt e, por tanto, dt = n/c ds. O tempo total que tarda a luz en percorrer o camiño S desde P ata Q será:

t= c

1 ndsP

Q#

! Defínese camiño óptico como

L = nds

P

Q#

! ! Se o medio é homoxéneo desde o punto de vista óptico, é dicir, se a velocidade da luz e con ela o índice de refracción, é igual en calquera punto; entón pode extraerse n fóra da integral e o camiño óptico é L = n S

! ! O Principio de Fermat establece que a luz se propaga dun punto a outro seguindo a traxectoria para a cal o tempo que tarda é mínimo. Posto que o tempo que tarda a luz en ir desde un punto a outro está relacionado co camiño óptico que siga, o Principio de Fermat tamén pode enunciarse como segue: A luz propágase entre dous puntos pola traxectoria cuxo camiño óptico sexa mínimo. Nos medios homoxéneos a condición de camiño óptico mínimo redúcese a que a súa lonxitude xeométrica sexa mínima, isto é, unha recta.

! 2.2.- Reflexión e refracción. Leis de Snell

! ! Reflexión: O raio incidente ao chegar á superficie de separación entre dous medios é devolto ao primeiro, dando lugar ao raio reflectido. As leis de reflexión son:!! ! - O raio incidente, o raio reflectido e a normal á superficie de separación están no mesmo plano.! ! - O ángulo incidente é igual ao ángulo reflectido. ! ! Refracción: É o cambio na dirección de propagación que experimenta un raio incidente ao pasar dun medio a outro con distinto índice de refracción. As leis de refracción son:! ! - O raio incidente, o refractado e a normal están no mesmo plano! ! - n sen i = n´sen r

! ! ! Existe unha determinada situación na que non hai raio refractado, xa que este se propaga pola superficie de separación; neste caso, o ángulo de refracción vale 90º. Esta situación denomínase reflexión total e o ángulo incidente denomínase ángulo límite.

Óptica Xeométrica

3

! n sen iL = n´, sen iL= n´/n , como o seno é menor que 1, implica que o índice de refracción n´ ten que ser menor que n, pois a luz viaxa dun medio con maior índice a outro con menor índice de refracción.

! 2.3.- Laminas plano-paralelasO ángulo con que incide o raio que sobre a lamina é o mesmo co que sae o raio da lamina. A desviacion lateral que sofre o raio incidente é d

!

! 2.4.- Prisma óptico A desviación que sofre o raio incidente co raio emerxente do prisma é d

! 2.5.- Dispersión de la luz

La dispersión es la separación de la luz blanca en los distintos colores, debido a que la velocidad de la luz en un medio cualquiera varía con la longitud de onda (el índice de refracción de un medio y por tanto la velocidad de la luz en el mismo depende de la longitud de onda. Cada color tiene una longitud de onda distinta). Así, para un mismo ángulo de incidencia, la luz se refracta con ángulos distintos para diferentes colores.

Óptica Xeométrica

4

Para ver un arco iris el observador tiene que estar localizado entre el sol y una lluvia uniforme, para ello tienen que caer a una velocidad constante(peso y rozamiento por viscosidad). Cuando se cumple que la velocidad de las gotas es uniforme, la gota adquiere un volumen máximo con la mínima superficie . Sólo en estas condiciones es posible la dispersión luminosa den-tro de la gota y por tanto el arco iris. Por lo tanto, la lluvia no debe ser torrencial, ni estar afectada por el viento.

• 3.- Criterios de signosI. A luz viaxa sempre de esquerda a dereita.II. Os elementos que fan referencia á imaxe son designadas coas mesmas letras que no

obxecto, pero con primas. Os puntos represéntanse con letras maiúsculas, os segmentos con letras minúsculas e os ángulos con letras gregas.

III. As distancias toman a súa orixe na superficie óptica de xeito que para os puntos situados á súa esquerda, as distancias son negativas e para os situados á súa dereita, as distancias son positivas. Para os radios de curvatura, emprégase o mesmo criterio: se o centro de curvatura está á dereita, o radio é positivo e se está á esquerda o radio é negativo.

IV. Os ángulos de incidencia e refracción considéranse positivos se ao levar, por xiro, o raio a coincidir coa normal polo camiño angular máis curto, vaise en sentido horario, e negativos en caso contrario.

V. Os ángulos formados co eixe considéranse positivos se ao levar, por xiro, o raio a coincidir co eixe polo camiño angular máis curto, vaise en sentido antihorario, e negativos en caso contrario.

VI. As distancias perpendiculares ao eixe considéranse positivas cara a arriba! e negativas cara a abaixo.

Óptica Xeométrica

5

• 4.- Sistemas ópticos!! ! Un sistema óptico é un conxunto de superficies que separan medios con distintos índices de refracción

! 4.1.- Dioptrio esférico

! ! O dioptro esférico é una superficie esférica que separa dous medios de índices de refracción n e n´

! A lei de refracción para o raio incidente á a seguinte: n senf = ln sen lf

e se os ángulos son pequenos (zona paraxial), podemos substituír o seno do ángulo polo ángulo: n f = ln lf

Dos triángulos OIC e O´IC da figura deducimos que:

-v+z+180 - f = 180; f = z -vlf + lv +180 -z = 180; lf = z - lv

Substituíndo estas dúas ecuacións na ecuación de refracción, obtemos n(z -v) = ln (z - lv ) Na zona paraxial, a distancia VI´ pódese desprezar, polo que:

φ =

hr

;σ =hs

;σ´= hs´

substituindo estas expresións na ecuación anterior

que é a ecuación de Gauss do dioptro esférico.

! ! , !n h

r−hs

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= n´ h

r−hs´

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, expresión que se pode escribir da forma

- sn + ls

ln = rln -n

Óptica Xeométrica

6

! Se o punto O está no infinito, a imaxe O´ fórmase nun punto particular, denominado foco imaxe F´ situado a una distancia f´, distancia focal imaxe. Se na ecuación do dioptro facemos s= inf , entonces s´= f´

f´ = n´ - n

n´r

! Analogamente, para un punto obxecto O cuxa imaxe estea no infinito, obtemos a distancia focal obxecto,

f =- n´ - nn r

! O tamaño da imaxe vén dado polo aumento lateral, definido por:

yy´ = n´s

n s´

! 4.2.- Dioptrio plano! O dioptro plano é aquel no que a superficie de separación entre dous medios é un plano. A ecuación obtense da do dioptro esférico facendo o radio infinito, de xeito que queda da seguinte forma

- sn + s´

n´ = 0, sn = s´

n´

! 4.3.- Espello esférico ! ! Se se trata dunha superficie esférica reflectinte, podemos deducir as ecuacións correspondentes só con facer n´ = -n, pois nun espello, a luz sempre viaxa no mesmo medio, pero en sentido contrario despois da reflexión.! Así pois, para unha superficie esférica reflectinte, a ecuación de Gauss é a seguinte:

�

1s

+ 1s′

= 2r

e o valor da focal é: f = f´= r/2 , no espello esférico só hai un foco.

�

1s

+ 1s′

= 1f

Para obter o tamaño da imaxe, calculamos o aumento lateral β´, cuxa expresión é

�

β′ = y′y

= − s′s

! 4.4.- Espello plano! A ecuación obtense a partir da do espello esférico facendo que o radio teña un valor de s

1 + s´1 = 0, s

1 =- s´1 , s =-s´

a imaxe fórmase á mesma distancia á que se atopa o obxecto

Óptica Xeométrica

7

• 5.- Formación de imaxes 5.1.- Dioptrio esférico

A imaxe é invertida

5.2.- Espello esférico! ! a) Cóncavo! ! ! 1.- Obxecto antes do centro da esfera.

A imaxe é real, invertida e de menor tamaño 2.- Obxecto entre o centro e o foco

A imaxe é real, invertida e de maior tamaño

Óptica Xeométrica

8

! ! ! 3.- Obxecto no foco

A imaxe fórmase no infinito

4.- Obxecto entre o foco e o espello

A imaxe é virtual, dereita e de maior tamaño ! b) Convexo

!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! A imaxe é virtual, dereita e de menor tamaño

Óptica Xeométrica

9

• 6.- Lentes delgadas! Una lente delgada non é máis ca a asociación de duas superficies esféricas separadas por unha distancia d = 0! Supoñamos un raio que incide na lente procedente dun punto axial O. A imaxe dada pola primeira superficie, O´, estará situada a unha distancia s1´ dela e a s2 da segunda cara da lente.! Se aplicamos a ecuación do dioptro a estas dúas superficies, obtemos:

−1s1+ns´1

=n −1r1

−ns2

+1s´2

=1− nr2

YY´s1

s´1

s2

s´2

Y1´=Y2

Sumando estas duas ecuacións

−1s1+ns´1

−ns2

+1s´2

=n −1r1

+1− nr2

−1s1+1s´2

= n −1( ) 1r1−1r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ n 1

s2−1s´1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se a lente é delgada, d=0 e s2 = s1´ e a expresión anterior queda:

−1s+1s´

= n −1( ) 1r1−1r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se o obxecto ten a imaxe no infinito, o obxecto se atopa no foco obxecto a unha distancia chamada distancia focal obxecto f.

1f= − n −1( ) 1

r1−1r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se o obxecto esta no infinito, a imaxe se atopa no foco imaxe a unha distancia chamada distancia focal imaxe f´.

1f ´

= n −1( ) 1r1−1r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A distancia focal imaxe ten o mesmo valor que a distancia focal obxecto pero cambiada de signo.

! A ecuación da lente queda:

−1s+1s´

=1f ´

Óptica Xeométrica

10

A inversa da distancia focal denomínase potencia e a súa unidade é a dioptría se a distancia focal está expresada en metros.

O aumento lateral para a lente será o produto dos aumentos de cada unha das superficies.

β´= β1´β2´=s1´ns1

⋅ns2´s2

β´= s´s

posto que s1´= s2

! 6.1.- Tipos de lentes: As lentes clasifícanse en converxentes e diverxentes Lente converxente: é máis grosa na súa parte central; clasifícanse en biconvexas(r1>0 e r2<0), planoconvexas(r1>0 e r2= inf ) e meniscoconvergente (r1>0 , r2>0 e r1<r2).! ! Lente diverxente: é más grosa nos extremos; clasifícanse en bicóncavas(r1<0 e r2>0), planocóncavas(r1= inf e r2>0) e meniscodiverxente (r1>0, r2>0 e r1>r2).

! 6.2.- Formación de imaxes.

! a) Converxentes! 1.- Obxecto situado a unha distancia maior que o dobre da distancia focal

F F´s

s´

! ! ! A imaxe é real, invertida e de menor tamaño

! 2.- Obxecto situado a unha distancia dobre da distancia focal.!

! !

F F´s

s´

! ! ! A imaxe é real, invertida e de igual tamaño.

Óptica Xeométrica

11

! ! 3.- Obxecto situado antes do foco.

Y

F F´Y´

Imaxe real, invertida e de maior tamaño

4.- Obxecto situado entre o foco e a lente

FF´

s

s´

Imaxe virtual, dereita e de maior tamaño ! b) Diverxentes

F´ F

s

s´

Imaxe virtual, dereita e de menor tamaño • ! 7.- AberracionesLos instrumentos ópticos causan en las imágenes defectos o aberraciones, que son conse-cuencia de las leyes de reflexión-refracción de la luz. Las aberraciones mas comunes son:aberración esférica y aberración cromática

a) Aberración esférica: Todo lo estudiado hasta ahora estaba restringido a la óptica paraxial, pero no todos los rayos van próximos al eje óptico sobre todo si el tamaño del instrumen-to óptico es grande.Esta aberración es típica de espejos y lentes, en ellos los rayos paralelos se cortan en el foco, pero este punto es distinto en el caso de rayos paraxiales de los que no lo son. Los

Óptica Xeométrica

12

rayos no paraxiales convergen en un punto mas cercano a la lente si esta es convergente, y mas alejado si es divergente.

Para eliminar la aberración esférica se puede utilizar un diaframa que elimina los rayos no paraxiales o, en el caso de lentes usando una combinación del lentes divergente-conver-gente.

b) Aberración cromática : Se origina porque la luz no es monocromática, los distintos colores tienen distintas longitudes de onda, distinto indice de refracción, por lo que no convergen todos los colores en un punto, el color azul converge antes que el color rojo. Este defecto se corrige usando una combinación de lentes. Los espejos no sufre aberración cromática porque no hay fenómeno de refracción

• 8.- Instrumentos ópticos••••••••••••••••

Óptica Xeométrica

13