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Coseno
Coseno
Gráfica de Coseno
Definición cos x
Dominio
Imagen [-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada -sen x
Función primitiva sen x
Función inversa acos x
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Triángulo rectángulo en un sistema decoordenadas cartesianas.
En trigonometría, el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el catetoadyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:
En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo
Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, lacircunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.
Índice
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1Cálculo por serie de potencias
2Representación gráfica en la recta
3Relaciones trigonométricas
o 3.1Relación entre el seno y el coseno
o 3.2Coseno de la suma de dos ángulos
o 3.3Coseno del ángulo doble
o 3.4Coseno del ángulo mitad
o 3.5Suma de funciones como producto
o 3.6Producto de funciones como suma
4Derivada del coseno
5Generalizaciones del coseno
6Véase también
7Enlaces externos
Cálculo por serie de potencias[editar]
En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:
que en sumatorio seria:
La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:
Donde i es la unidad imaginaria.
Representación gráfica en la recta[editar]
Relaciones trigonométricas[editar]
El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.
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Relación entre el seno y el coseno[editar]
La curva del coseno es la curva del seno desplazada a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:
Coseno de la suma de dos ángulos[editar]
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Coseno del ángulo doble[editar]
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Coseno del ángulo mitad[editar]
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Suma de funciones como producto[editar]
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Producto de funciones como suma[editar]
Trigonometría
Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es
'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y
μετρον metron 'medida'.1
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones
trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante ycosecante. Interviene directa o
indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos
donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de
la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por
ejemplo, son usadas en astronomíapara medir distancias a estrellas próximas, en la medición
de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.
El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este
manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final
delastronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de esos
ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.
Índice
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1Historia
2Unidades angulares
3Las funciones trigonométricas
o 3.1Razones trigonométricas
3.1.1Representación gráfica
o 3.2Razones trigonométricas inversas
3.2.1Representación gráfica
o 3.3Otras funciones trigonométricas
o 3.4Funciones trigonométricas recíprocas
3.4.1Representación gráfica
o 3.5Funciones trigonométricas inversas recíprocas
3.5.1Representación gráfica
4Equivalencia entre las funciones trigonométricas
5Valor de las funciones trigonométricas
6Sentido de las funciones trigonométricas
o 6.1Primer cuadrante
o 6.2Segundo cuadrante
o 6.3Tercer cuadrante
o 6.4Cuarto cuadrante
7Cálculo de algunos casos
o 7.1Para 90-α
o 7.2Para 90+α
o 7.3Para 180-α
o 7.4Para 180+α
o 7.5Para 270-α
o 7.6Para 270+α
o 7.7Para -α
8Identidades trigonométricas
o 8.1Recíprocas
o 8.2De división
o 8.3Por el teorema de Pitágoras
9Seno y coseno, funciones complejas
10Véase también
11Referencias
o 11.1Bibliografía
o 11.2Enlaces externos
Historia[editar]
Artículo principal: Historia de la trigonometría
Tablilla babilonia Plimpton 322.
Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los
lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de
una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida,
un campo que se podría llamar trilaterometría.
Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las
estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere
la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de la
interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han
afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un
gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones
de ecuaciones de segundo grado, o una tabla trigonométrica.
Papiro de Ahmes
Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la
trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el
escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.), contiene el siguiente problema relacionado con la
trigonometría:
Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de
largo, ¿cuál es su Seked?
La solución al problema es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y
su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es
la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su respectiva cara.
Unidades angulares[editar]
En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si
bien la más utilizada en la vida cotidiana es elgrado sexagesimal, en matemáticas es
el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado
centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en
topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay
2π radianes (algo más de 6,28).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados
centesimales.
Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.
Transportador en radianes Transportador en grados sexagesimales
Transportador en grados centesimales Transportador en mil angular
Las funciones trigonométricas[editar]
Artículo principal: Función trigonométrica
La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la
relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con
este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin
original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con
aplicaciones en los campos más diversos.
Razones trigonométricas[editar]
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir
las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado
en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre
el cateto opuesto sobre la hipotenusa.
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la
hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto
sobre el cateto adyacente,
Representación gráfica[editar]
Representación de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano (x,y), los
valores en el eje x expresados en radianes.
Razones trigonométricas inversas[editar]
Artículo principal: Inverso multiplicativo
Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una circunferencia de centro A y
radio 1
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno,
o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno,
o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
La Cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la
razón inversa de la tangente, o también su inverso
multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones
trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo
que haya un interés específico en hablar de ellos o
las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho,
los términos cosecante, secante y cotangente no
suelen utilizarse
Representación gráfica[editar]
Representación de las funciones trigonométricas inversas
en el plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x
expresados en radianes.
Otras funciones trigonométricas[editar]
Además de las funciones anteriores, existen otras
funciones trigonométricas. Matemáticamente se
pueden definir empleando las ya vistas. Su uso no es
muy corriente, pero sí se emplean, dado su sentido
geométrico. Veamos:
El seno cardinal o función sinc (x) definida:
El verseno, es la distancia que hay entre la
cuerda y el arco en una circunferencia, también
se denomina sagita o flecha, se define:
El semiverseno, se utiliza en navegación al
intervenir en el cálculo esférico:
El coverseno,
El semicoverseno
La exsecante:
Funciones trigonométricas recíprocas[editar]
Artículo principal: Función
recíproca
En trigonometría, cuando el
ángulo se expresa
en radianes (dado que un
radián es
el arco de circunferencia de
longitud igual al radio), suele
denominarse arco a
cualquier cantidad
expresada en radianes; por
eso las funciones recíproca
se denominan con el prefijo
arco, cada razón
trigonométrica posee su
propia función recíproca:
y es igual al seno de x, la
función recíproca:
x es el arco cuyo seno
vale y, o también x es
el arcoseno de y.
si:
y es igual
al coseno de x, la
función recíproca:
x es
el arco cuyo
coseno vale y,
que se
dice: x es
el arcocoseno d
e y.
si:
y es igual
al tangente
de x, la
función
recíproca:
x es
el arco
cuya
tangent
e
vale y,
o x es
igual
al arcot
angente
de y.
NOTA:
Es
común,
que las
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escritas
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