Punto 6

Se tiene la siguiente función de densidad de probabilidad f x (x )

f x ( x )={ x2,∧0≤x<1

k ,∧1≤x< 43

−32x+3 , 4

3≤x ≤2

a. Se sabe que para quef x (x ) sea una función de densidad de probabilidad el área bajo la curva debe ser 1 por lo que el valor de k debe asegurar que esta norma se cumpla. Por lo que se calcula el área bajo la curva de los dos segmentos con funciones ya definidas para así encontrar el área faltante.

∫0

1

x2dx+∫43

2−32x+3 dx

¿ x3

3 |0

1

+(−34x2+3 x)|4

3

2

¿ 13−3+6+ 4

3−4

¿ 53−1

¿ 23

Luego se calcula la integral de k y se evalúa para encontrar el valor que hace que

el resultado de la integral sea 13

∫1

43

k dx

¿ kx|143

¿ 43k−k

¿ 13k

Para cumplir que el área bajo la curva sea 1 el valor que se debe asignar a k=1 y se obtiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

f x ( x )={ x2,∧0≤x<1

1 ,∧1≤x< 43

−32x+3 , 4

3≤x ≤2

b. Se calculan las integrales respectivas a intervalo de la función de densidad de probabilidad siempre teniendo en cuenta los valores de los intervalos anteriores:

∫−∞

∞

f x ( x )dx

Para 0 ≤ x < 1:

∫0

x

t 2dt

x3

3 |0

x

¿ x3

3

Para 1 ≤ x <43

:

∫0

1

t 2dt+∫1

x

dt

13+∫1

x

dt

13+(x)|

1

x

¿ 13+x−1

¿ x−23

Para 43

≤ x < 2

∫0

1

t 2dt+∫1

43

dt+∫43

x−32t+3dt

23+∫43

x−32t+3dt

23+(−34t 2+3 t)|4

3

x

¿−34x2+3 x−2

Obteniendo la siguiente función de distribución acumulada y su respectiva gráfica:

G ( x )={0 ,∧x<0x3

3,0≤x<1

x−23,1≤x<

43

−34x2+3 x−2 , 4

3≤ x ≤2

1 , x>2

c. El tiempo de espera que un paciente ambulatorio debe esperar antes de ser atendido se halla calculando el valor esperado de la función de densidad de probabilidad:

μ=∫−∞

∞

x f x ( x )dx

μ=∫0

1

x3dx+∫1

43

xdx+∫43

2−32x2+3 xdx

¿ x4

4 |0

1

+ x2

2 |1

43+(−x

3

2+32x2)|4

3

2

¿ 14−12+ 89−4+6+ 32

27−83

¿1,1574

Al registrar el tiempo que los pacientes ambulatorios deben esperar para ser atendidos se tiene que en promedio un paciente ambulatorio debe esperar 1,1574 horas para ser atendido.

Para encontrar la desviación estándar se debe calcular primero la varianza

ϑ2=∫−∞

∞

( x−μ )2( f x¿(x))dx¿

Para 0 ≤ x < 1:

¿∫0

1

( x−1,1574 )2 (x2 )dx

¿∫0

1

(x2−2,3148 x+1,34) (x2 )dx

¿∫0

1

x4−2,3148 x3+1,34 x2dx

¿ 0,2 x5−0,5787 x4+0,4465 x3|01

¿0,0678

Para 1 ≤ x <43

:

¿∫1

43

( x−1,1574 )2dx

¿∫1

43

x2−2,3148 x+1,34dx

¿ x3

3−1,1574 x2+1,3395 x|

1

43

¿0,003115

Para 43

≤ x < 2

¿∫43

2

( x−1,1574 )2(−32x+3)dx

¿∫43

2

(x¿¿2−2,3148x+1,34)(−32x+3)dx ¿

¿∫43

2−32x3+6,4722x2−8,95376x+4,01872dx

¿−0,375 x4+2,1574 x3−4,47688 x2+4,01872x|43

2

¿0,06107

ϑ2=0,06107+0,003115+0,0678

ϑ2=0,13198814

ϑ=√0,13198814ϑ=0,3633

La varianza tiene un valor de 0,13198814 y la desviación estándar tiene un valor de 0,3633

d. Ya que la variable es una variable aleatoria continua la probabilidad de que un evento ocurra se calcula integrando la función de densidad de probabilidad sobre el intervalo deseado. Ya que se requiere la probabilidad de que un paciente deba esperar exactamente una hora los dos extremos de la integral serán 1 y el área en cada caso sería la misma y al restarla se obtendría una probabilidad de 0 como se observa en el siguiente desarrollo:

P (A )=∫a

b

f x ( x )dx

P(x=1)=∫1

1

x2dt

x3

3 |1

1

¿ 13−13

¿0

e. Hay dos formas de calcular la probabilidad de que un paciente ambulatorio deba esperar entre 1,25h y 1,75h. La primera es integrando la función de densidad de probabilidad sobre estos dos límites y la segunda es reemplazando estos valores en la función de distribución acumulada y restando la probabilidad del menor a la probabilidad del mayor:

Integral:

P (A )=∫a

b

f x ( x )dx

P(1,25≤ x<1,75)=∫54

74

f x ( x )dx

¿∫54

43

dx+∫43

74

−32x+3dx

¿ x|54

43+(−3

4x2+3 x)|4

3

74

¿ 43−54−14764

+ 214

+ 43−4

¿ 71192

P (1,25≤ x<1,75 )=0,3697

Esta es la gráfica que representa el área de interés a integrar para encontrar la probabilidad:

Ahora se calcula la probabilidad a partir de la función de distribución acumulada:

P (a≤x<b )=G (b )−G (a )P (1,25≤ x<1,75 )=G (1,75 )−G (1,25 )

¿−34

(1,75 )2+3 (1,75 )−2−1,25+ 23

P (1,25≤ x<1,75 )=0,3697

f. Para calcular la probabilidad de que un paciente ambulatorio seleccionado al azar deba esperar entre 1,25 y 1,75 horas antes de ser atendido si se sabe que el tiempo de espera es superior a una hora se utiliza:

P (A|B )= P (A∩B )P (B )

Siendo A el evento en el que el paciente deba esperar entre 1,25 y 1,75 horas y B el evento en el que el paciente deba esperar más de 1 hora esta fórmula se puede reducir a:

P (A|B )= P (A )P (B )

Ya que el evento A se encuentra totalmente contenido en el evento B la intersección entre el evento A y el evento B es el evento A. Además para calcular la probabilidad de que el paciente deba esperar más de una hora es más fácil calcular la probabilidad que deba esperar entre 0 y 1 hora y restarle esta probabilidad a 1 obteniendo así la probabilidad de que el paciente deba esperar más de una hora:

P (B )=1−∫0

1

x2dx

P (B )=1−( x33 |0

1

)P (B )=1−1

3

P (B )=23

Del numeral anterior ya se tenía que la probabilidad de que ocurra el evento A era de P(A)= 0,3697 por lo que

P (A|B )=0,369723

P (A|B )=0,554