ANEXO A

CONCEPTOS

OPERATIVOS

ANNEX A

OPERATIVE CONCEPTS

ANEXO A

MANUEL JOS SIERRA HERNNDEZ

371

El presente anexo trata de una exposicin resumida y concisa de

los conceptos operativos que en este trabajo se utilizan.

Principalmente, son los siguientes:

- Teora de la informacin o de la comunicacin.

- Valores discretos y valores continuos.

- Lgica difusa.

- Teora de juegos.

- Teora de la complejidad computacional.

- Incompletitud.

1. A Mathematical Theory of Communication [1]

El artculo que da ttulo a este punto, fue publicado en 1948 en la

revista The Bell System Technical Journal por el ingeniero

elctrico y matemtico estadounidense Claude Elwood Shannon.

Aunque algunas de las leyes matemticas en l descritas ya fueron

presentadas veinte aos atrs por Hartley, uno de sus colegas en

los laboratorios Bell, y sus planteamientos tericos introducidos

por varios autores, es en este artculo donde por primera vez se

fundamenta el hecho que si la nocin de comunicacin se puede

entender como todos aquellos procedimientos mediante los

cuales una mente puede influir en otra [2], entonces, adems de

atender en el comunicado a la componente semntica (cmo se

estructura para dar significado) o pragmtica (las modificaciones

en la conducta que el mensaje produce), tendramos que

preguntarnos adems por el procedimiento de transmisin entre el

emisor y el receptor. En otras palabras, los aspectos tcnicos del

comunicado. No porque se hable o se intente comunicar algo toda

la informacin puede ser comprendida o interceptada por el

receptor; si el canal se halla contaminado por ruido de otra

procedencia, o si el propio emisor ofrece informacin de ms, el

sentido podra incluso perderse, tornarse confuso. La

comunicacin, de repente, pasa a ser algo susceptible de ser

imperfecto. Para ello, el propsito inicial de la Teora de la

Comunicacin, o de la Informacin, supuso el ser un intento de

modelizar matemticamente los problemas que los incipientes

medios de informacin en pleno desarrollo (la radio, la televisin, el

telfono, etc.) planteaban. En este contexto, las preguntas a las

que este modelo tena que responder eran las siguientes: Cul es

la capacidad de carga de un determinado medio o canal?, Qu

medio es el mejor para reproducir un determinado tipo de

mensaje? y cmo separar las distorsiones, el ruido, la informacin

de ms, del mensaje? Con estas premisas, haba que conformar

una metodologa que permitiera computar, hacer cuantificable, la

capacidad del canal, el ruido del canal y la informacin contenida

en el mensaje.

Un primer paso para desentramar esta metodologa sera cmo

conceptualizar la transmisin del mensaje. En un comunicado

podemos distinguir entre el contenido o lo que se expresa, el

cdigo que sirve para configurar el mensaje, el modo de

transmisin, el medio o canal por el que se transmite, y el tiempo

requerido para la comprensin del contenido. Por ejemplo, un

poema de Garcilaso, las variantes fonticas del castellano, la voz

humana, el aire de una sala, y a la par que se pronuncia el poema.

ANEXO A

373

This annex contains a brief exposition of the

operative concepts that mainly have been used:

- Theory of Communication or of

Information

- Computational Complexity Theory

- Discrete and Continuous Mathematics

- Fuzzy Logic

- Game Theory

- Incompleteness

1. A Mathematical Theory of Communication [1]

In the study of the communication there is a

semantic perspective (how the language is

structured to produce meanings) and there is

also a pragmatic one (the effect that the

communication produces in the receiver). It

should also have a technical perspective, we

would have to wonder about the transmission

method between an originator and a receiver. It

is possible that although we emit a message it

could not arrive to the receiver.

In 1948, Claude Elwood Shannon

formulated the Mathematical Theory of

Communication (or of the information), to

respond the necessity of studying these technical

aspects. We need, to communicate a message,

a system of signs to configure it, a channel to

transmit it and a method that would be

compatible with the necessary time that the

receiver needs to understand the message

appropriately. The first step would be not to keep

in mind the meaning of the message, but only

the signs that are transmitted. We have a group

of signs with which we can configure infinite

messages. The quantity of information of the

message would be the probability that aleatorily,

with that system of signs, we can configure it.

For example, a position in a chess board. The

probability would be of 1/64 because the board

La teora de la informacin apareci para estudiar

los aspectos tcnicos de los primeros medios de

comunicacin. The theory of information appeared

to study the technical aspects of the first media. Sin

referencia. Without reference.

Una primera conclusin es que, lgicamente, para que se

transmita el mensaje a travs de un medio, ste tiene que ser

compatible con el modo de transmisin. La palabra hablada no se

transmite en el vaco. Por otra parte, el modo de transmisin debe

ser capaz de formular todos los diferentes matices que puede dar

de s el cdigo. Y en tercer lugar, el contenido tiene que poder ser

construido con ese cdigo. Con estas relaciones obtenemos que

un mensaje es susceptible de ser enviado si su contenido es

codificable, toda la variedad de matices de ste es abordable por

el modo de transmisin, su naturaleza es compatible con el medio

o canal, y el tiempo requerido para su transmisin es el correcto.

Un segundo paso consistira en tratar de reducir todas estas

variables. Si la naturaleza del modo de transmisin es compatible

con el medio o canal entonces pueden simplificarse a una sola: el

canal. Y, modificando el orden entre el contenido y el cdigo,

quizs resultase mejor si en vez de partir de un contenido

especfico del mensaje, pensar que ese sistema de codificacin,

aparte de poder generar ese comunicado en concreto, es capaz de

hacerlo con otros muchos. De este modo, resulta mucho ms

prctico trabajar con todos los contenidos posibles que con uno

solo, contemplar la comunicacin ms que como la transmisin de

un contenido como la transmisin de un grado de libertad, que se

caracterizara por esa esta variedad de mensajes posibles. Por

ejemplo, si cada colocacin en un tablero de ajedrez fuera un

mensaje, el nmero sera igual a sesenta y cuatro posibles

colocaciones.

Aunque, no es que se elimine el poder trabajar con un

contenido en concreto, sino que lo que se hace es relacionarlo con

ese grado de libertad. Se introduce el concepto de cantidad de

informacin de un mensaje y se introduce como la probabilidad

[3] o incertidumbre de que aleatoriamente se pueda formular ese

contenido mediante ese cdigo. En un tablero de ajedrez,

siguiendo con el ejemplo, existe una probabilidad, o incertidumbre,

de uno contra 64 (o 6 bits de informacin, como se explica ms

adelante) de que aleatoriamente se opte por una colocacin

concreta. En mensajes ms complicados como escribir una

palabra, la incertidumbre se multiplicara por la eleccin de cada

letra (con cada paso la informacin o grado de libertad es de 28

posibles caracteres).

Un tercer paso sera ya definir cmo computar la informacin. Esto

se realiza a travs de una unidad de medida, el bit de informacin,

que se puede definir como el nmero de preguntas con una

cantidad de respuestas posibles fija que seran necesarias para

distinguir un mensaje en concreto dentro del grado de libertad.

Normalmente, el nmero de respuestas fijas es de dos: s/no,

blanco/negro, 0/1, etc., obteniendo as un cdigo binario. Ahora

bien, si entendemos que cada una de estas preguntas reduce a la

mitad los posibles mensajes, entonces no habr dificultades a la

hora de catalogar que si la cantidad de informacin de un

comunicado es de 6 bits, no es que haya (2x6) 12 posibles

mensajes esperando a ser utilizados, sino 64 (2 elevado a 6). Por lo

tanto, para calcular la cantidad de informacin de un comunicado,

la frmula sera log

2

A (logaritmo en base 2 de A), siendo A el

nmero de posibles contenidos que se pudieran enviar.

Con esto ltimo ya podemos saber la cantidad de

informacin de un comunicado, no obstante necesitaramos de una

ANEXO A

374

has 64 cells.

The measure unit is the bit. The bit is

defined as the number of questions with a finite

number of answers that would be necessary to

configure the message. That number of answers

is usually two (yes/no, white/black, 0/1.)

obtaining this way a binary system. Every time

we formulate a question we reduce the number

of possibilities in half, therefore if in a chess

board we have 64 possible placements, the

number of questions or of bits it is log

2

64 = 6.

The following step would be to define

the necessary time to transmit the message. We

have a transmission channel. The capacity of the

channel is the number of signs that is able to

transmit for unit of time multiplied for the variety

of signs with which it configures the message.

For example, a channel that only transmits 0 and

1 and whose transmission speed is of 6 signs

per second. Its capacity would be of 1bit x 6 = 6

bits/s. This channel would take one second in

transmitting a position in a chess board.

Nevertheless, let us imagine that we

want to transmit a video. They are twenty-four

images per second, each picture is made up of

100 pixels, and 256 tonalities exist. The previous

channel of 6 bits/s would take 400 seconds in

transmitting a single picture. If we are patient this

transmission speed is correct. But, what happens

if we want to see the video on real time? This

transmission speed is insufficient. The

appropriate channel is that that can transmit the

message in the time that we want.

Now then, the quantity of information

can decrease. If in the message exists signs that

are more usual than others, we understand that

there is a redundancy of that sign. This way, the

probability to conform a message aleatorily is

smaller since we know that this sign is more

usual.

However, the quantity of information of a

message can also increase. We have a channel,

and through it the information that we want to

transmit is transmitted, but at the same time,

without realizing, another class of information

64 posibles colocaciones igual a 6 bits de

informacin. 64 cells equal to 6 bits of information.

Malfada, de Quino.

quinta variable, el tiempo requerido, para analizar su inteligibilidad,

o mejor dicho, su adecuacin o fidelidad de reproduccin en un

determinado canal. Por ejemplo, intentando dar respuesta a una de

las preguntas que al principio se sealaron: cul es la capacidad

de transmisin de un canal? En ausencia de ruido, si el nmero de

caracteres diferentes que contiene el sistema de codificacin es de

32 (5 bits), y el nmero de estos caracteres que puede enviar por

segundo, o representar simultneamente, es de N, entonces la

capacidad del canal es de 5xN bits/segundo o 5xN bits

simultneos. Esto conectara con otra pregunta: qu medio es el

mejor para reproducir un determinado tipo de mensaje? Aquel que

permita combinar la reproduccin de la cantidad de informacin

del mensaje con el tiempo o espacio que se estimara necesario

para que el contenido adquiera sentido. Siguiendo con el ejemplo

del tablero de ajedrez, con 64 posibles situaciones, si en el anterior

medio o canal 5xN bits, N es igual a 1, entonces se tardaran dos

segundos en enviar un mensaje. Esto en principio parece viable,

pero imaginemos que en vez de la colocacin de una ficha en un

tablero de ajedrez, se enva una grabacin de video de 8 bits de

color (256 tonalidades diferentes). Podemos enviar la imagen por

este canal? S, igualmente. Incluso se podra enviar dicha imagen a

travs de un cdigo morse, con seales largas y cortas que

funcionan como ceros y unos que codifiquen cada una de las

tonalidades. Otra cuestin es si se pretende que el receptor

contemple la imagen a tiempo real a la vez que la enva el emisor.

Tenemos un canal de 5 bits por segundo, para una grabacin de 8

bits multiplicada por el tamao de la imagen y por el nmero de

imgenes por segundo que requiere para simular el movimiento.

Resultara del todo insuficiente. Para ver la imagen con estos

requisitos de tiempo necesitaramos una capacidad al menos igual

o superior que la que dicha imagen necesita. A este requerimiento

de bits de informacin en el tiempo o de manera simultnea, se le

llama tasa de transmisin, un nmero que relaciona la cantidad de

informacin del mensaje y el tiempo que se requiere para su

transmisin.

Ahora bien, la cantidad de informacin de un mensaje puede

reducirse si se hiciera constar las repeticiones o la redundancia

que dentro de su contenido tienen determinados fragmentos de

cdigo. Dicho de otro modo, si se repiten palabras, o se repiten

posiciones, o existe un determinado reglamento, por ejemplo de

tipo ortogrfico, entonces la probabilidad de que un mensaje se

conforme aleatoriamente bajo dichas reglas, es mayor que si no

existiese dicha redundancia en los contenidos, y por tanto la

cantidad de informacin es menor. Por ejemplo, en una situacin

de inicio de partida de ajedrez, la colocacin de la reina se reduce

a un bit de informacin (dos posiciones a un lado y al otro del

tablero), la de los alfiles, los caballos y las torres, a dos bits, y la de

los peones a cuatro bits. No obstante, si decidimos que slo nos

incumbe la posicin de los peones negros, la informacin se

reduce a tres bits, y que un pen negro es indistinguible de otro

pen negro, entonces a medio bit: cualquier posicin de la

segunda fila del lado de las negras.

No obstante, el contenido del mensaje tambin puede

aumentar la informacin. Cambiando de ejemplo, si tuviramos

que responder a la pregunta acerca del da del ao en el que naci

una persona, en principio variaramos sobre 365 posibilidades (o

dicho de otro modo, 8.51 bits de informacin). Si a esta pregunta

ANEXO A

375

could be transmitted. This information is added

to the message, the quantity of information of the

same one increases, and it would be possible

under these conditions that the channel cannot

transmit the message in the time that it requires.

This excess of information is denominated

noise.

Finally, to conclude with this point, it is

necessary to introduce the formula that Shannon

proposed for the computation of the information:

H = P

i

log

2

(1/P

i

); P

i

es la

probabilidad de encontrar un

determinado signo dentro del mensaje.

Pi is the probability of finding a certain

sign inside the message.

2. Computational Complexity

The purpose of this point is to introduce the

algorithm concept, mainly from the point of view

of its effectiveness. The algorithmic, or

computational, complexity is the discipline that

studies these circumstances.

An algorithm is a process constituted by a series

of steps by which it negotiates an input and

obtains an output. This number of steps must be

finite. Besides, each step must be perfectly

defined and to offer precise results. These steps,

and the memory that they need, in other words,

the resources that the algorithm needs,

constitute the computational complexity of the

algorithm. An algorithm is more effective than

other if for the same operation, its complexity, the

Diseo de John Maeda. Maeda es autor de una

buena parte de los emoticones y otros elementos

que a menudo vemos por Internet y que por s

solos son capaces de comunicar un mensaje

integrado proveniente de ms all de la propia

imagen. Para recibir un mensaje, necesitaramos

un programa cuya capacidad de memorizacin de

emoticones fuera al menos igual o superior que la

que dicho mensaje necesita. Design of John

Maeda. Maeda is author of a big part of the

emoticons and other elements that we often see for

Internet and that are able to conform a message by

themselves. To receive a message, we would need

a program whose capacity of memorization of

emoticons would be at least the same or bigger that

the one that the message needs. MAEDA, J. (2006)

Las leyes de la simplicidad. Editorial Gedisa,

Barcelona, 2007.

resolviramos con la afirmacin naci en verano, entonces

reduciramos a la mitad (puesto que no sabemos si naci en el

hemisferio norte o sur), y el nmero de posibilidades sera

aproximadamente de 182 (7.51 bits). No obstante, podra suceder

lo contrario: que propongamos la afirmacin dicha persona tiene

ms de cuarenta aos. Se trata de informacin, pero no es la que

buscamos para reducir o para desentramar el mensaje. Sin

embargo, se aade a l, es una posibilidad ms que la

comunicacin contiene, por lo que el nmero de mensajes

posibles se amplia: existen 365 das en los que esa persona ha

podido nacer y aparte puede tener ms o menos de cuarenta aos.

El nmero de posibilidades se acrecienta, a 730, siendo el nmero

de bits de informacin de 9.51.

Por un lado se puede opinar que este bit de ms acrecienta

el grado de libertad del comunicado, el nmero de posibilidades.

Por tanto, la flexibilidad que el emisor presenta a la hora de

expresar sus intenciones. Sin embargo, tiende a confundir el

objetivo del comunicado, que es averiguar el da del ao en que

naci esa persona. No es informacin relevante en el mensaje,

pero se acopla a l. Introduce incertidumbre, pero si el saber que

contamos con 365 das es una incertidumbre deseada, en este

caso la incertidumbre no es deseada. En definitiva, este tipo de

informacin irrelevante es lo que se denomina ruido, datos,

interferencias, informacin de ms, que al aumentar la cantidad de

informacin disminuye la probabilidad de conformacin del

mensaje, de tal modo que ste, dependiendo del canal, de la tasa

de transmisin necesaria para que se reproduzca de un modo

coherente, pudiera incluso no llegar a codificarse, transmitirse e

interpretarse adecuadamente [4]. El aumento de la incertidumbre y

la capacidad del canal influye en la transmisin del mensaje:

demasiada informacin que necesita transmitirse en muy poco

tiempo dificulta la fidelidad y la inteligibilidad del mismo.

Es en este punto donde entra la resolucin de la tercera cuestin:

cmo separar las distorsiones, el ruido, la informacin de ms, del

mensaje? Para ello, es necesario introducir el concepto de entropa

(H). La entropa mide la aleatoriedad de un mensaje, es decir, es

bastante similar al concepto de probabilidad excepto que se mide

en bits de informacin. Su formulacin es la siguiente:

H = P

i

log

2

(1/P

i

);

P es la probabilidad en tanto por uno de sucederse cada uno de

los smbolos de un mensaje. Si por ejemplo dispusiramos cuatro

signos que se interpretan como estados del tiempo (nublado,

soleado, lluvioso, niebla) y los asociramos a cada uno con una

probabilidad de sucederse, entonces la entropa medira la

capacidad de poder predecir el siguiente estado de una manera

aleatoria. Si el valor de la entropa fuera alto significara que todos

los estados tienen probabilidades parecidas de sucederse por lo

que sera difcil la prediccin. Si en cambio fuera bajo eso querra

decir que habra valores con distintas probabilidades por lo que

resultara ms fcil discretizar entre los mismos. De este modo,

siguiendo este concepto de la entropa, la separacin del ruido del

mensaje respecto de lo que en realidad interesa se realizara

mediante la aplicacin de teoremas (de los cuales no creo que sea

el tema de este trabajo el entrar a fondo a analizarlos) cuyo objeto,

ANEXO A

376

resources that it needs, is smaller.

For example, you can distinguish

between space and temporary complexity. The

space complexity is the memory that the

algorithm requires. But let us stop better in the

other complexity. The temporary complexity is

defined as the necessary number of steps for a

certain operation. The nomenclature is T (n),

being n the number of steps. Depending on

this number the algorithms can be classified in

complexity classes:

- O(1), constant complexity class.

- O(log n), logarithmic complexity class.

- O(n), lineal complexity class.

- O(n log n), quasi-lineal complexity

class.

- O(n

2

), square complexity class.

- O(n

3

), cubil complexity class.

- O(n

a

), polinomio complexity class.

- O(2

n

), exponential complexity class.

- O(n!), factorial complexity class.

An algorithm to conform a net among n

elements of a group would be formulated in the

following way: T (n) = (n

2

- n) / 2, a square

complexity class O(n

2

).

The previous text corresponds to a brief

description of the computational complexity

theory. Also, in this topic, it is convenient to

speak of the Kolmogorov Complexity. Usually,

this theory is introduced as an alternative

information theory to Shannons. Shannon

describes the quantity of information as the

probability to conform a message aleatorily.

Kolmogorov, on the other hand, describes the

number of steps that would be necessary to

compose a message.

For example, we have the two following

code lines:

A: 01010101010101010101

A travs de un registro histrico meteorolgico, la

entropa sera igual a la probabilidad de predecir

qu tiempo har maana. Through a historical

meteorological registration, the entropy would be

similar to the probability of predicting tomorrow's

weather. www.inm.es

a travs del anlisis de las distintas probabilidades, sera el clculo

de una entropa media alrededor del cual se disponen los datos

que interesan para la emisin del mensaje.

2. Complejidad algortmica.

El propsito de este punto es introducir el concepto de algoritmo, y

particularmente desde el punto de vista de su eficacia. La

complejidad algortmica, que se constituye como una rama de la

teora de la computacin, es la disciplina que estudia estas

circunstancias.

La definicin de un algoritmo se corresponde con la formulacin

de un proceso o serie de pasos por los cuales se gestiona una

entrada de datos y se obtiene una salida. Para este cometido, cada

paso debe estar perfectamente definido, arrojar resultados

precisos, no indeterminados, y el nmero en total de stos ser una

cantidad finita. Con esta definicin se considera que un algoritmo

es ms eficaz que otro si para un mismo tipo de operacin, por

ejemplo ordenar los elementos de un conjunto desordenado segn

categoras, el nmero de recursos necesarios es menor. A esta

cantidad de recursos se le denomina complejidad algortmica o

computacional, y segn el tipo de recursos se puede distinguir

entre complejidad temporal, el tiempo empleado, y complejidad

espacial, la memoria requerida por el suceso.

Desde el punto de vista de este trabajo, es particularmente

interesante detenerse en la complejidad temporal. El tiempo

empleado se halla en relacin con el nmero de pasos, y tambin

de otros factores como el tipo de mquina empleada, el lenguaje

de programacin, etc. Esto se escribe con la nomenclatura T(n) ,

siendo n el nmero de datos de entrada. Para simplificar esto, lo

que se hace comnmente es independizar al nmero de pasos del

resto de los factores, y agrupar los diferentes tiempos en familias

llamadas rdenes de complejidad, de este modo se obtiene una

serie de familias O que son comunes para todos los

computadores y con el cual evaluar los algoritmos. Los rdenes de

complejidad ms habituales, ordenados de mayor a menor

eficacia, son los siguientes:

- O(1), orden de complejidad constante.

- O(log n), orden de complejidad logartmico.

- O(n), orden de complejidad lineal.

- O(n log n), orden de complejidad cuasi-lineal.

- O(n

2

), orden de complejidad cuadrtico.

- O(n

3

), orden de complejidad cbico.

- O(n

a

), orden de complejidad polinmico.

- O(2

n

), orden de complejidad exponencial.

- O(n!), orden de complejidad factorial.

Un algoritmo que consista en la seleccin de un elemento

dentro de un conjunto, contiene una sola operacin, y pertenece a

un orden de complejidad constante O(1).

Un algoritmo que consista en un proceso de ordenacin de

n elementos dentro de un conjunto desordenado en una serie de

categoras podra requerir para cada elemento de tres operaciones:

seleccin, identificacin y distribucin, por lo que T(n) = 3n, y

ANEXO A

377

B: 10011010110010110110

Both sequences, according to Shannon,

have the same information because the number

of 0 and 1 is the same. But, according to

Kolmogorov, that defines the quantity of

information like the number of bits of the minimum algorithm to conform the sequence, A has less quantity of information than B because it

can be formulated by the algorithm Repeats 01

ten times, while B would have to repeat the

whole sequence. Finally, an operation that

cannot be solved by any algorithm, you can

understand that its complexity is infinite.

3. Discrete and Continuous Mathematics

The discrete mathematics are those that

predominantly are used in the matrixes of

territorial shift. Hence, it is licit to describe on

what they consist and to differentiate them of

another type of mathematics as the continuous

ones.

The discrete mathematics are those that

only admit operations with rational and finite

numbers. The continuous mathematics, on the

other hand, are those where are possible an

irrational number as a result.

In general, the continuous mathematics

have more precision than the discrete ones since

they admit a bigger numeric spectrum.

Nevertheless, when calculating, the continuous

mathematics we could have big problems. These

mathematics admit infinite and irrational

numbers, processes with an infinite number of

steps. Just as it is contemplated in the previous

point about the computational complexity, these

numbers, these processes, cannot be contained

by any algorithm. In other words, they are not

computable. This way, the discrete mathematics

are those that preferably are used in that

necessity of computability.

4. Fuzzy sets [2]

Fuzzy sets were introduced for the first time by

the Russian mathematician Lofti A. Zadeh in

1965. Fuzzy Sets appeared as a result of the

appearance of a logic type that equally was

denominated as fuzzy.

Classic logic only admits two answer

classes: yes/no, true/false, etc. But there are

considerations that need a bigger number of

answers, even tending to infinite. For example,

the next question: is that person tall or not? A

possible answer would be: Tall with regard to

what? It doesnt exist an only answer. The

solution would be to take two reference values

as a meter and two meters and to consider that a

person is more or less tall depending if his/her

height is closer to a value or to the other one.

This is an example of a fuzzy set that accepts

infinite solutions. If for the statement: that person

entrara dentro de un orden de complejidad lineal O(n).

Un algoritmo para el establecimiento de conexiones entre

todas las componentes de un conjunto requerira de T(n) = (n

2

n) / 2, y el orden de complejidad que se obtendra sera cuadrtico

O(n

2

).

Lo desarrollado hasta ahora se concibe como una breve

introduccin a la complejidad computacional. Aparte, es lcito

comentar un punto especfico dentro de ella. La Teora de la

Complejidad Algortmica fue formulada en 1965 por el matemtico

ruso Andri Kolmogrov. Usualmente se la contempla como una

teora de la informacin alternativa a la propuesta por Shannon

veinte aos atrs. La diferencia consiste en que si la teora de

Shannon se atiene a la probabilidad con que los distintos smbolos

o fragmentos de cdigo aparecen en un mensaje, la complejidad

de Kolmogrov concibe el comunicado como un todo, como una

secuencia de orden establecido inalterable, y su cometido es

calcular los pasos necesarios que requerira un algoritmo para

componer ese mensaje.

Por ejemplo, tenemos las dos siguientes secuencias binarias:

A: 01010101010101010101

B: 10011010110010110110

Ambas secuencias, por la teora de Shannon, poseen la

misma cantidad de informacin ya que el nmero de ceros y de

unos es el mismo. La cuestin difiere con Kolmogrov, que define

la complejidad de una secuencia como la longitud en bits del

mnimo algoritmo que es necesario para reproducirla [5]. La

secuencia A se puede formular con un algoritmo del estilo: Repite

01 diez veces, mientras que en la secuencia B no se reconoce

ningn patrn y el mnimo programa tendra que referirse a la

cadena al completo. De este modo, la complejidad de Kolmogrov

de B es mayor que la de A. La utilidad de esta teora descansa en

la posibilidad de comprimir cadenas y de reducir as los recursos

que una mquina, que una computadora, necesitara para codificar

la secuencia. Si existe ese mnimo algoritmo, la complejidad de la

secuencia es la longitud de ese algoritmo. En cambio, si se revela

la incapacidad de encontrar un algoritmo que formule esa cadena

entonces la complejidad de Kolmogrov es igual a infinito.

3. Valores discretos y continuos.

Las matemticas discretas son las que predominantemente se

emplea en las matrices de cambio territorial. Por ello, es lcito

describir en qu consiste y diferenciarlas de otro tipo de

matemticas como son las continuas.

Para empezar, es preciso definir una funcin continua como

aquella en la que sus resultados pueden ser nmeros enteros,

pero tambin otros que tan slo son una aproximacin hacia algo,

o un nmero irracional, o incluso que tiende a infinito. El nmero

dos, por ejemplo, en una funcin continua podra solamente existir

como lmite hacia el cual tienden las sucesivas operaciones pero

sin llegar nunca a l; es decir, llegar un momento en el por mucho

que avancemos en el desarrollo de dicha funcin, lo nico que

conseguiramos sera expandir la serie peridica de nueves del 1.9,

ANEXO A

378

is tall, one meter is false and two meters true,

this logic allows us to take infinite intermediate

values growing the truthfulness of that statement

in the measure it comes closer to two meters.

5. Theory of Games and Economic Behavior [3]

The game theory was outlined per first time by

mathematicians Morgensten and Von Neumann.

Its purpose is the analysis of the different

behaviors that the players attack to achieve an

objective. To each strategy a result corresponds:

winner, defeats, tie, balance situation. Inside the

different situations that can be given in the game

theory, one of the most well-known models is the

denominated Nash Equilibrium [4], a situation

in which all the players have a strategy that

whenever they don't change it they will obtain a

minimum gain.

5.1 Classification of the different types of games.

Games can be classified in the following way:

- Symmetric and asymmetric games. The

symmetrical games are those where the different

players adopt the same role, or said with other

words, they can exchange their roles without

changing the game rules and the results. The

asymmetric games are those where this

condition is not possible. For example, the fight

between a dictator and a rebellious.

Problema de los puentes de Knigsberg. La teora

de grafos naci de la pregunta de los habitantes

de Knigsberg acerca de si se poda, cruzando los

siete puentes de la ciudad una vez, regresar al

mismo punto. Euler, en 1736, demostr que no se

poda. Valores discretos, lo importante no es la

trama al completo de la ciudad, ni los accidentes

del ro, ni la distancia entre un puente y otro, tan

slo la posicin de los puentes con respecto de las

islas y de los mrgenes. Problem of the bridges of

Knigsberg. The graphs theory was born from the

question of the inhabitants of Knigsberg about if

one could, crossing the seven bridges of the city

once, to return to the same point. Euler, in 1736,

demonstrated that this question was impossible.

Discrete values, the important thing is not the

complete city, neither the accidents of the river,

neither the distance among a bridge and other, only

the position of the bridges with regarding the

islands.

pero jams el valor 2. En definitiva, las matemticas continuas son

aquellas que admiten que cualquier valor de la linealidad entre

menos y ms infinito, ambos inclusive, sea susceptible de ser un

resultado.

En contra, las matemticas discretas son aquellas que

nicamente admiten operaciones con nmeros racionales y finitos.

Al operar nunca obtendremos aproximaciones hacia algo, tan slo

cantidades y operaciones finitas. Como la misma palabra indica se

discretiza dentro del amplsimo e infinito panorama del campo

matemtico continuo. Expresado con un ejemplo cromtico, en

matemticas discretas trabajaramos con el blanco, el negro, y si

acaso tres o cuatro tonalidades de grises que hayamos

preseleccionado. Esto es, un nmero finito de valores. En

Matemticas continuas en cambio estaramos abiertos a operar

con infinitos matices de grises intermedios, no necesariamente

preseleccionados, sin tener que llegar nunca al blanco o al negro.

Un acercamiento a la relacin entre ambas matemticas se

podra explicar por medio de la precisin. A priori, el discretizar

entre la linealidad de los valores continuos, el negar la posibilidad

de que determinados valores participen o sean resultado de las

operaciones, aparentemente disminuye la precisin. Slo

aparentemente. La Teora de la Informacin, por ejemplo, si se

trabajase con cantidades de informacin que pueden tender a

infinito contradice la propia necesidad de computabilidad finita de

la misma; la hace ms compleja de lo que debera de tal manera

que la incertidumbre es infinita. Del mismo modo, un algoritmo

debe contar con un nmero de pasos finito porque en caso

contrario no podra ser introducido en una mquina. En la Teora de

grafos no se puede trabajar con el territorio completo, con todos

los matices, con todas las variables y atributos, sino que se

requiere discretizar puntos dentro de l para despus

relacionarlos; en caso contrario dichas relaciones tendran que

pasar por todos las situaciones intermedias, tener en cuenta su

influencia en cada una de las partculas y atributos, de tal modo

que la modelizacin se perdera en infinitas operaciones. O la

pixelizacin de una fotografa, el ordenador no puede desplegar

hasta el infinito la gama de detalles y de color de la imagen; en

caso contrario el nmero de bits necesarios para almacenar dicha

imagen sera infinito y no tendra capacidad para operar con ella. El

acoger los valores discretos como modo de operar supone trabajar

con no linealidades, con entidades finitas. Puede suponer una

reduccin, pero si analizramos por ejemplo un rbol de una

manera continua, la informacin que obtendramos copara la

memoria de todos los ordenadores del mundo y an as seguira

sobrando. Respecto de la Teora de la Informacin, se podra

afirmar que cuanto la cantidad de informacin ms se acerque a

infinito, ms nos acercaremos a operar con valores continuos. Pero

si un mensaje se define por una probabilidad, y sta es

inversamente proporcional a la cantidad de informacin, entonces

la probabilidad sera igual a cero, y ese mensaje de ningn modo

podra ser enviado o generado. De aqu podramos obtener una

conclusin inesperada: un objeto real o material nunca puede ser

transmisible, puesto que su cantidad de informacin tiende a

infinito. Y si la cantidad de informacin tiene que ser finita, la

informacin entonces puede ser una magnitud fsica cuantificable

pero se trata de una magnitud fsica necesariamente virtual.

En conclusin, es razonable pensar que las matemticas

ANEXO A

379

- Games of zero sum and non zero sum. The

games of zero sum are those where the sum of

the playerss losses and earnings is equal to

zero. That is to say, one player only can win

whenever the other player loses, and the

quantity of what he/she obtains is similar to what

his/her litigant loses.

- Cooperative and not cooperative games.

Cooperative games are those where the different

players collaborate to get a result.

- Simultaneous and sequential games. The

simultaneous games are those where the players

don't know information of the previous

movements of the other litigants. The sequential

games, in the other hand, are those where the

players know part of the previous steps of the

rest of the competitors, or all the steps as in the

games of perfect information.

- Finally, infinitely long games. It doesnt exist a

final result and the interesting thing in these

games is to value the strategic position of every

player in order to confront the future challenges.

6. Incompleteness

For incompleteness it is understood in

mathematics the impossibility of consolidating a

only perfect formal language, built by a series of

rules, starting from those you are able to

formulate all the propositions and theorems of

this discipline. This matter presents a great

transcendency nowadays as soon as the

confirmation of this incompleteness indicates that

it is possible to find certain problems, certain

propositions that at least with the help of the

computers wont never be solved.

In 1931, Kurt Gdel demonstrated [5] that this

formal language can not exist, there are

propositions that can not be outlined by a group

of rules, even in elementary mathematics using

natural numbers.

Not very later, Turing demonstrated that

there were certain operations that can not be

resolved by an algorithm. As the problem of the

detention, to know when an algorithm stops

working when it has obtained a result.

Lastly, the computational complexity

indicates us that an algorithm is more efficient

than other if, for the same operation, the number

of resources is smaller. Nevertheless, one

cannot know if that algorithm is the most efficient

that you can formulate.

[1] SHANNON, C. E. (1948) A Mathematical Theory of Communication. Published in The Bell System Technical Journal. Vol. 27, PP. 379.423, 623.656, July-

October, 1948.

[2] ZADEH, L. (1965) Fuzzy sets. Information and Control 8, Pgs. 338-353, University of Berkeley, 1965.

continuas presentan una mayor precisin que las discretas, pero

en cuanto se refieren a objetos virtuales finitos, las matemticas

discretas resultan ser ms precisas que las continuas.

4. Fuzzy sets [6]

Fuzz es una palabra inglesa que se puede traducir como tamo,

pelusa, vello [7]. En este sentido, se puede hablar de Fuzzy como

lleno de pelusas, nebuloso, borroso. Finalmente, Fuzzy Sets

como establecimientos o conjuntos difusos.

Los conjuntos difusos fueron introducidos por primera vez

por el matemtico ruso Lofti A. Zadeh en 1965, en su artculo Fuzzy

Sets, publicado por el departamento de publicaciones de la

Universidad de Berkeley en Estados Unidos. Los conjuntos difusos

aparecen como la expresin de la resolucin de un determinado

modelo de lgica que igualmente responde bajo el adjetivo de

difusa, borrosa o nebulosa (fuzzy). Fuzzy en cuanto que no ofrece

resultados concretos, o mejor dicho, que trata de preguntas cuyas

respuestas no tienen una definicin clara.

Por ejemplo, la lgica clsica o bivaluada (dos valores) slo

presenta dos clases de respuestas: verdadero o falso, 0 o 1,

blanco o negro, etc. La respuesta a la pregunta si los hombres son

mortales es verdadero; si la pregunta consistiera en si la sangre es

prpura la respuesta sera falso. Ahora bien, qu pasara si la

pregunta fuese del tipo si esa persona que vemos en frente nuestra

es alta? Primero, alta con respecto a qu? Y segundo: si acaso

esa persona se la considerase alta, no podra existir otra todava

ms alta? La lgica difusa (o multivaluada porque permite mltiples

respuestas) dara solucin a esta disyuntiva proponiendo unos

valores de referencia entre los cuales puede incluirse la medida de

la altura de esa persona. Si un metro es bajo (0), y dos alto (1), esa

persona se la considerara ms o menos alta en funcin de su

cercana a los valores de un metro y dos metros. Si midiera 1.75,

entonces el valor de su altura perteneciente al conjunto difuso

entre 0 y 1 sera de 0.75. Dicho de otro modo, si 0 es falso y si 1

fuera verdadero, la veracidad de una afirmacin crecera con

respecto se acercase a 1.

Esto es, no existen nicamente dos posibles respuestas,

sino infinitas entre los valores de 0 y 1. Si comparramos con lo

que comentamos en el anterior apartado acerca de valores

discretos y valores continuos, la lgica clsica o bivaluada

pertenecera al mbito de las matemticas discretas; en oposicin,

la lgica difusa se acercara ms a los valores continuos. No

obstante, hay que hacer aqu una aclaracin. Los conjuntos difusos

surgen de una discretizacin de la linealidad en un solo intervalo.

Funcionan porque se ha acotado el campo continuo. Si en la teora

de la informacin el nmero de posibles mensajes que se pueden

enviar debe ser finito precisamente para que pueda ser enviado, en

la lgica difusa se permite trabajar con un infinito nmero de

posibilidades siempre que se hallen acotadas por los lmites de

verdadero/falso, 0/1, blanco/negro, alto/bajo, etc. Dicho de otro

modo, con la lgica difusa se podra conseguir el extender cada bit

de informacin a un infinito nmero de valores. O al revs, acotar

infinitos valores en un solo bit de informacin.

Por otra parte, la lgica difusa tambin permite operar con

magnitudes y respuestas intermedias. Por ejemplo, con una lgica

ANEXO A

380

[3] MORGENSTERN, O.; NEUMANN, J. V. (1947)

Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.

[4] NASH, J. F. (1950) Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of the USA.

[5] NAGEL, E.; NEWMAN, J. R. (1958) Gdels Proof. Routledge, New York, 2005.

Get Fuzzy, de Darby Conley. Las relaciones entre

un perro y un gato no se limitan a una lgica

bivaluada entre el perro no persigue al gato y el

perro persigue al gato, hay que tener en cuenta

las infinitas posibilidades intermedias. Get Fuzzy, of

Darby Conley. The relationships between a dog and

a cat are not limited to a dual logic between the

dog it doesn't pursue the cat and the dog pursues

the cat, it is necessary to keep in mind the infinite

intermediate possibilities. CONLEY, D. (2002) Get

fuzzy (A contrapelo n2); Logica Difuzza. Astiberri

Ediciones, Bilbao, 2007.

bivaluada o es todo (verdadero) o es nada (falso). Con la lgica

difusa lo que obtenemos es un nivel de respuestas acorde con la

magnitud de la entrada. Si el grado de veracidad de una

proposicin es tal, el modo de actuar a continuacin deber ser en

consecuencia y proporcional a tal. Esto se puede ver en las

diferencias que Fredric Jameson [8] seala entre el fordismo y el

postfordismo. Si en los principios de las cadenas de montaje, el

consumidor poda elegir entre el Ford T negro, y el Ford T gris (o

blanco o negro, o verdadero o falso, o alto o bajo, etc.), la industria

fue evolucionado hacia lo que hoy llamamos postfordismo, el cual,

basndose en las tecnologas de la informacin, no es que el

consumidor haya de elegir entre el modelo negro o el gris, sino

que la industria acoge sus preferencias de color, textura, tamao,

peso, prestancia, etc., y le confiere al consumidor un coche a su

medida (a cada valor dentro de intervalo corresponde una

determinada y caracterstica respuesta; infinitos valores, infinitas

respuestas).

Otra aplicacin de la lgica difusa es aquella que se emplea

en control de sistemas complejos. Por ejemplo, un aire

acondicionado con un sensor de temperatura ambiente. Si

estuviera programado para encenderse cuando la temperatura

fuera mayor de 25C, con una lgica bivaluada, o blanco o negro,

si dicha temperatura se hallase oscilando entre 24.5 y 25.5, el

aparato estara apagndose y encendindose continuamente, con

el consiguiente costo de energa, desgaste de la tecnologa, etc.

Con la lgica difusa lo que se hara es formalizar una nube de

puntos, tomar las sucesivas oscilaciones de temperatura entre

dichos valores y realizar como un clculo de la entropa de la

probabilidad de que se sucedan dichos valores. Dicho con otras

palabras, se obtendra el centro de gravedad o de inercia de dicha

nube de valores, y dependiendo de su valor se apagara o se

encendera. De este modo el funcionamiento del aparato sera

mucho ms estable y consecuente con la realidad del ambiente, o

al menos mucho ms flexible ante sus cambios.

Finalmente, para terminar con este apartado, responder a la

cuestin: cundo es conveniente usar sistemas que empleen

lgica fuzzy o difusa? [9]:

- En procesos complejos, si no existe un modelo de solucin

sencillo.

- En procesos no lineales.

- Cuando haya que introducir la experiencia de un operador

experto que se base en conceptos imprecisos obtenidos

de su experiencia.

- Cuando ciertas partes del sistema a controlar son

desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con

errores posibles).

- Cuando el ajuste de una variable puede producir el

desajuste de otras.

- En general, cuando se quieran representar y operar con

conceptos que tengan imprecisin o incertidumbre (como en

las Bases de Datos Difusas).

Actualmente las tecnologas fuzzy o borrosas se emplean en:

- Control de sistemas: trfico terrestre, trfico areo

ANEXO A

381

Henry Ford en un Ford T, 1917. Henry Ford drivinf a

Ford T, 1917.

(helicpteros...), compuertas en plantas hidroelctricas,

centrales trmicas, mquinas lavadoras, ascensores,...

- Prediccin y optimizacin: Prediccin de terremotos,

optimizar horarios,...

- Reconocimiento de patrones y Visin por ordenador:

Seguimiento de objetos con cmara, reconocimiento de

escritura manuscrita, reconocimiento de objetos,

compensacin de vibraciones en la cmara,

- Sistemas de informacin o conocimiento: Bases de datos,

- Inteligencia artificial.

5. Theory of Games and Economic Behavior [10]

La Teora de Juegos naci de la mano de los matemticos John

von Neumann y Oskar Morgenstern en 1947 para explicar y

desarrollar comportamientos en los procesos econmicos, aunque

posteriormente se aplic a campos tan diversos como la biologa o

la filosofa. Los modelos que se estudian son procesos que

contienen a los personajes, los denominados juegos, donde cada

entidad dentro de l, como jugador, desarrolla un rol y un

comportamiento. Su funcionamiento se basa en el nmero de

posibles acciones, de combinaciones de acciones, de estrategias,

que los jugadores puedan plantear en la formulacin del juego, y a

cada combinacin se le asocia un resultado de acuerdo con la

obtencin de una ganancia: victoria, derrota, empate, situacin de

desequilibrio, etc.

Con esta lgica de partida, la teora de juegos es fcilmente

complementable. Si utilizramos conjuntos difusos aplicados al

juego, aparte de las situaciones de victoria o derrota, se podra

trabajar con los mltiples estados intermedios entre la victoria y la

derrota de cada uno de los jugadores. O, si aplicramos la teora

de la informacin aqu, concibiendo que cada combinacin de

acciones o estrategia se viera como un posible mensaje,

podramos utilizar los conceptos de entropa y de redundancia, con

la suposicin de que las estrategias con mayor garanta de xito

son las que ms redundancia tienen, para predecir cules

comportamientos o acciones son ms probables a acometer.

De este modo, ahora podramos hablar del equilibrio de

Nash [11] como una situacin hipottica dentro de la Teora de

Juegos en la que todos los jugadores que se enfrentan a una

situacin tienden de una manera natural y autoorganizada a

adoptar una serie de estrategias en la que todos y cada uno sin

excepcin obtienen la victoria siempre y cuando no varen su

estrategia (por ello equilibrio). Esto se podra explicar con el

dilema del prisionero, uno de los modelos de interaccin ms

famosos de la teora de juegos. En el dilema del prisionero se narra

la situacin de dos presos que han participado conjuntamente en

un delito grave pero que han sido capturados por otro delito

menor. La polica los encierra en celdas separadas sin contacto

entre ellas y se dispone a interrogar a cada uno de los presos, y

dependiendo de esta confesin la pena de crcel ser una u otra.

En esta situacin a los jugadores se les presenta dos estrategias a

seguir: o confesar que fue el otro nicamente quien cometi el

delito grave (esto es, traicionar), o no decir nada (mantenerse fiel).

Imaginemos unas ganancias para cada accin: si los dos

jugadores se traicionan mutuamente, cada uno obtiene una pena

ANEXO A

382

En la teora de juegos la informacin se gestiona

en funcin de los resultados, de tal modo que cada

combinacin o eleccin de acciones no es un

mensaje sino una estrategia, y los jugadores

tendern a acoger esa estrategia que les permita

obtener una situacin ms cercana a la victoria. In

the game theory the information is negotiated in

function of the results, in such a way that each

combination or election of actions is not a message

but a strategy, and the players will tend to those

strategies that allow them to obtain a nearer

situation to the victory. GOYA, F. (1920-1923) Duelo

a garrotazos.

de crcel de diez aos; si ambos se mantienen fieles, cuatro aos;

y si slo uno traiciona al otro ste obtendr dos aos de crcel y su

compaero diez. Por supuesto, aqu cuanto menor es la pena

mejor es el resultado, por lo que es probable que uno de los dos

traicionase al otro. Pero si el jugador contrario hace lo mismo

entonces sucede que ambos son castigados a la pena ms alta.

Entonces, el planteamiento de Nash informara que la situacin a la

que se tendera es que ambos decidieran mantenerse fieles y as

obtener una ganancia intermedia, y seguiran obteniendo esta

ganancia siempre que no decidiesen cambiar de estrategia.

5.1 Clasificacin de los distintos tipos de juegos:

Dentro de la Teora de Juegos se han desarrollado distintas

maneras de clasificar y categorizar a los mismos. Entre ellas

conviene destacar las siguientes clasificaciones entre juegos

simtricos y asimtricos, de suma cero y de suma no cero,

cooperativos y no cooperativos, simultneos y secuenciales.

- Los juegos simtricos son aquellos en los que los personajes

pueden intercambiar sus papeles sin que las combinaciones de

acciones o las posibles ganancias se modifiquen. Un ejemplo lo

tenemos en el dilema del prisionero explicado anteriormente por el

que cualquiera de los prisioneros puede tomar el rol del otro. Son

indistinguibles. En cambio, en un juego asimtrico esto no sucede;

si tomamos como referencia la relacin entre el dictador y el

revolucionario, el revolucionario no puede tomar el rol del dictador

sin que sus posibles acciones o las ganancias que pueda obtener

se mantengan impertrritas.

- Los juegos de suma cero son aquellos en los que la suma total de

las recompensas obtenidas por los diferentes jugadores es igual a

0. Es decir, necesariamente la ganancia positiva de un jugador

repercute en que la ganancia de otro ha de ser negativa. Por

ejemplo, el ajedrez. La victoria se computa con 1, la derrota con -1,

y las tablas con 0. El empate no beneficia a ninguno de los dos

contendientes, para obtener un resultado positivo hay que ganar a

costa del despropsito del otro. En cambio, un juego de suma no

cero sera aquel en el que existe una posibilidad por la cual si un

jugador obtiene una ganancia positiva, sus contrincantes no por

ello su ganancia ha de ser negativa. El ejemplo lo tenemos en el

propio dilema del prisionero, o en la liga de ftbol donde un

empate proporciona un punto respecto al valor 0 de la derrota.

- La diferencia entre juegos cooperativos y no cooperativos es que

en los primeros los jugadores no compiten, sino que anan sus

esfuerzos hacia un fin comn, siendo la derrota o la victoria una

ganancia de grupo. En este tipo de juegos, por tanto, lo importante

es el anlisis de las estrategias que cada uno de los jugadores

puede tomar hacia un fin comn.

- Los juegos simultneos son aquellos en los que cada jugador no

conoce los movimientos previos de otros jugadores, de este modo

es como si decidieran sus acciones a la vez. Por ejemplo, el dilema

del prisionero. En cambio, en los secuenciales (tambin llamados

dinmicos), cada jugador cuenta con algo de informacin acerca

de los movimientos anteriores del otro, como en el ajedrez.

ANEXO A

383

Dentro de los secuenciales cabe distinguir los denominados

juegos de informacin perfecta. En ellos cada uno de los jugadores

conoce la totalidad de las posibles estrategias, posibles ganancias,

as como las acciones que ha acometido cada jugador a lo largo

de la partida. De este modo, podramos comparar este tipo de

juegos con lo que se coment respecto de la teora de la

informacin respecto a que la redundancia en el mensaje puede

reducir la informacin o aumentar la probabilidad de predecir el

siguiente movimiento. Es decir, conociendo dichos datos un

jugador puede permitirse anteceder las operaciones del rival. Por

ello, lo importante de este tipo de juegos es plantear las estrategias

con el fin de disminuir la redundancia y con ello la capacidad que

presentan los rivales para prever los movimientos a continuacin.

En otras palabras, el valor de la estrategia no se halla en la

consecucin de un resultado final, sino que vara segn el nmero

de posibles estrategias posteriores que haga viables, todas con la

misma o similar ganancia, o dicho de otra manera, aumentar la

informacin.

Finalmente, queda comentar acerca de la existencia de los

Juegos de Longitud Infinita o Super Juegos. Como el mismo

nombre indica en este tipo de juegos el nmero de secuencias es

infinito y por tanto no hay un resultado final tipo victoria o derrota.

Recordando lo que se dijo en el prrafo anterior, ms que el

anlisis de las consecuencias finales del juego, lo que importa en

este tipo de modelos es el movimiento actual, o mejor dicho, cada

movimiento, siendo la consecuencia de dicho anlisis el definir

quin o qu jugador en cada instante presenta la mejor estrategia

(ya sea conociendo los movimientos anteriores o no).

6. Incompletitud.

Por incompletitud se comprende en matemticas la imposibilidad

de consolidar un nico lenguaje formal perfecto comprendido por

una serie de reglas a partir de las cuales poder formular todas las

proposiciones y teoremas de esta disciplina. Este asunto presenta

una gran trascendencia hoy en da en cuanto que la confirmacin

de esta incompletitud indica que existen ciertos problemas, ciertas

sentencias, que al menos con la ayuda de los ordenadores jams

se podr resolver. A principios del siglo XX, David Hilbert, un

eminente matemtico alemn, se propuso como finalidad

precisamente el encontrar este lenguaje formal perfecto. Para l,

esta tarea supona la gran meta a la que deban aspirar los

matemticos, puesto que una vez identificado, la matemtica

podra considerarse como un juego en el que nicamente

atendiendo a sus reglas, sin necesidad de comprobaciones

empricas ni de recursos externos como la intuicin del individuo,

se podran sonsacar todos los teoremas de la matemtica. Sin

embargo, aos ms tarde en 1931, Kurt Gdel demostr [12] que

haba proposiciones que no podan ser planteadas formalmente,

incluso utilizando en matemticas elementales basadas en

nmeros enteros. Existen afirmaciones que aunque fcilmente

resolubles por la intuicin, no pueden ser satisfechas siguiendo

principios lgicos.

No obstante, el formalismo de Hilbert supuso, a pesar de

esta incompletitud, un gran avance, sobre todo en lo referido a la

teora de computacin [13]. El hecho de que mediante una serie de

ANEXO A

384

Los juegos se conciben como un entrenamiento.

La ciencia ficcin se ha alimentado a menudo de

esta nocin hasta confundir juego o simulacro con

realidad. Games are conceived as a training. The

science fiction has often despicted this notion until

confusing game or mockery with reality. SCOTT

CARD, O. (1985) El juego de Ender. Editorial Zeta

Bolsillo, Barcelona, 2006.

reglas que conforman un lenguaje formal se pueda realizar un

conjunto de operaciones sin necesidad de ayuda exterior, fue de

gran inspiracin para la creacin de los ordenadores. Por

supuesto, debido a esta incompletitud, los ordenadores son

incapaces de resolver ciertas cuestiones, presentan un lmite.

Por ejemplo, Turing demostr que los ordenadores no

pueden resolver el problema de la detencin, acerca de cundo un

algoritmo se detendr al haber completado la operacin que se le

designa. Y de especial inters es otra cuestin relacionada con la

complejidad algortmica. Dado un mismo objetivo un algoritmo es

ms eficiente que otro si por ejemplo el nmero de pasos es

menor. No obstante, no se puede demostrar que ese algoritmo sea

el ms eficiente, que no exista otro con un menor nmero de pasos

a la hora de resolver esa operacin. Esto, aplicado sobre otros

campos, plantea la duda sobre la optimizacin del conocimiento.

Dada una serie de circunstancias, una teora que las explique es

ms eficiente que otra si el nmero de postulados que contiene es

menor, pero nunca se puede asegurar que esa teora sea la ptima.

[1] SHANNON, C. E. (1948) A Mathematical Theory of

Communication. Publicado en The Bell System Technical Journal.

Vol. 27, PP. 379.423, 623.656, Julio, Octubre, 1948.

[2] LPEZ, A; PARADA, A.; SIMONETTI, F. (1995) Introduccin a la

psicologa de la comunicacin. Ediciones Universidad Catlica de

Chile, Santiago, 1995.

[3] Actualmente la Teora de la Informacin se encuadra como una

parte de la Teora Matemtica de la Probabilidad.

[4] A esto podramos plantear una contradiccin. Puede que el

saber que una persona tenga ms o menos de cuarenta aos no

indique nada acerca del da de su cumpleaos, pero en principio el

saber si naci en el hemisferio norte o en el hemisferio sur

tampoco, a menos que se conozca la estacin. Esto es, el orden

de las preguntas influye en la designacin del mensaje. O mejor

dicho, el supuesto ruido, dependiendo del orden o de las

combinaciones de las distintas informaciones, es capaz de reducir

la informacin aumentando as la inteligibilidad de un comunicado.

[5] MARTNEZ, F.; MARTN, G (2003) Introduccin a la

programacin estructurada en C. Volumen 64 de Educaci,

Universidad de Valencia, 2003.

[6] ZADEH, L. (1965) Fuzzy sets. Information and Control 8, Pgs.

338-353, Universidad de Berkeley, 1965.

[7] GALINDO, J. Conjuntos y sistemas difusos (lgica difusa y

aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la

Computacin. E.T.S. de Ingeniera Informtica. Universidad de

Mlaga.

[8] JAMESON, F. (1994) Las semillas del Tiempo. Editorial Trotta,

Madrid, 2000.

[9] VV.AA. (1997) Lgica Fuzzy para Principiantes. Sur A&C, Omron

ANEXO A

385

Kurt Godel. Sin referencia. Without reference.

Electronics S.A. Editorial I. Hernndez, 1997.

[10] MORGENSTERN, O.; NEUMANN, J. V. (1947) Theory of Games

and Economic Behavior. Princeton University Press.

[11] NASH, J. F. (1950) Equilibrium points in n-person games.

Proceedings of the National Academy of the USA.

[12] NAGEL, E.; NEWMAN, J. R. (1958) Gdels Proof. Routledge,

New York, 2005.

[13] CHAITIN, G. J. (1999) Ordenadores, paradojas y fundamentos

de las matemticas. Revista Investigacin y Ciencia, Madrid, julio

del 2003.

ANEXO A

386