Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

186
Fractal generat amb ordinador per l’alumne David Cortés QUADERN D’EXERCICIS MATEMÀTIQUES 3r ESO GRUP: ______ NOM : __________________________________________________________

description

Fractal generat amb ordinador per l’alumne David CortésINSTITUT ANTONI MAURA DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUESProgramació de matemàtiques curs 2012 – 2013MATEMÀTIQUES 3r ESO Aquest material està fet a partir de recursos propis però també de recursos trobats a la xarxa. Sentim molt no haver indicat l'autoria d'aquells recursos que no són pròpis però no consideràvem que no tenia sentit anar possant indicacions a cada pàgina i també es fà molt difícil trobar l'autoria original de cada recurs. Si alguna persona troba algun material pròpi i no vol que el fem servir al llibre, preguem es posse en contacte amb nosaltres i l'eliminarem el més aviat possible. Aquest material està obert a comentaris, cada any intentem millorar-lo, poc a poc, i tota ajuda serà ben rebuda.

Transcript of Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Page 1: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Fractal generat amb ordinador per l’alumne David Cortés

QUADERN D’EXERCICIS MATEMÀTIQUES 3r ESO

GRUP: ______

NOM : __________________________________________________________

Page 2: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

INSTITUT ANTONI MAURA

DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES

ORIENTACIONS ACADÈMIQUES

NOM MATÈRIA : MATEMÀTIQUESCURS : 3r ESOPROFESSOR:

1. INTRODUCCIÓ GENERAL Programació de matemàtiques curs 2012 – 2013

2. UNITATS DIDÀCTIQUES I CONTINGUTS

UNITATS CONTINGUTS

1. Repàs de nombres enters Operacions, prioritat d’operacions, operacions combinades. Problemes.

2. Nombres racionals i irracionals Operacions combinades. Classificació de nombres. Fraccions .Decimals. Nombres racionals. Nombres irracionals. Problemes.

3. Potències d’exponent enter Definició, operacions i propietats. Repàs de potències de base 10. Notació científica. Arrels.

4. Llenguatge algebraic Traducció al llenguatge albebraïc. Operacions amb monomis i polinomis, identitats notables. Factor comú. Fraccions algebraiques (introducció).

5. Equacions Equacions de primer i segon grau (completes i incompletes). Problemes.

6. Sistemes d´equacions Sistemes d’equacions Problemes d’equacions i sistemes.

7. Les funcions i els gràfics. Concepte i elements d’una funció; formes de definir una funció. Fenòmens de la vida quotidiana: interpretació de gràfic. Propietats globals de les funcions.

8. Funcions lineals. Funció de proporcionalitat. Funció constant. Equacions de la recta ( punt– pendent., recta que passa per dos punts, general). Aplicacions pràctiques. Problemes de la vida quotidiana.

9. Estadística Població i mostra. Variables estadístiques (quantitatives, qualitatives, discretes i continues). El procés que se segueix en estadística. Organització de dades. Confecció d'una taula de freqüències. Gràfics estadístics. Paràmetres estadístics de centralització (càlcul i interpretació) i de dispersió (interpretació) : càlcul mitjançant taules de freqüències.

10. Tractament de l'atzar Conceptes bàsics: conjunts, esdeveniments, freqüències. Càlcul de probabilitats. La regla de Laplace. La llei dels grans nombres.

11. Geometria plana i de l’espai Aplicacions del teorema de Pitàgores (problemes). Problemes d´àrees i volums .

2

Page 3: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

INSTITUT ANTONI MAURA

DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES3. TEMPORITZACIÓ

PRIMER TRIMESTRE Unitats 11, 1, 2 i 3

SEGON TRIMESTRE Unitats 4, 5 i 6

TERCER TRIMESTRE Unitats 7, 8, 9, 10

4. CRITERIS DE AVALUACIÓ I QUALIFICACIÓ

1. Proves escrites amb nota , amb observació especial de les estratègies utilitzades. Es passaran proves de temes o de part d’ells quan sigui necessari observar si van assolint els coneixements que es pretén a cada tema. De vegades aquestes proves podran incloure exercicis de temes anteriors, de tal manera que serviran per anar recuperant les mancances al llarg del curs.

2. Observació dels hàbits de treball :la feina realitzada en casa i a classe, així com el quadern augmentaran o disminuiran el promig de la puntuació obtinguda en les proves escrites.

3. Observació de la participació i actitud front a la matèria

Per a obtindre la qualificació de cada trimestre els percentatges que donaran la nota final seran els següents:PERCENTATGE EN LA NOTA DE

L’AVALUACIÓProves escrites realitzades 70%Treball a l’aula i a casa i quadern 20%Actitud i participació 10%

Pel que fa a la recuperació de matemàtiques pendents de 2n d’eso:• A finals de gener, el professor podrà decidir, en base a la feina desenvolupada, si l’alumne aprova la

matèria de 2n. Si no aprova, durant aquest mes hi haurà un examen dels continguts de la matèria corresponent. L’alumne haurà d’estar informat pel professor de la matèria sobre aquests continguts. A finals del mes d’abril hi haurà un altre examen pels alumnes que no hagin aprovat al mes de gener. En les dues convocatòries, de gener i d’abril, els alumnes disposaran d’una fitxa per repassar i que contarà 1 punt si la lliuren abans de l’examen.

• Si l'alumne aprova la matèria de 3r, li queda aprovada la matèria pendent corresponent a 2n.• Si l’alumne NO aprova la matèria de 3r al juny, al setembre farà recuperació de 3r ESO i de 2n ESO.

5. CRITERIS DE RECUPERACIÓ DE LA MATÈRIA

• Per recuperar la matèria al llarg del curs, cada professor, per Nadal i Pasqua, lliurarà als alumnes treballs amb continguts acumulats. A més, cada professor té llibertat per fer recuperacions per temes o trimestres. I finalment, a final de curs tots els alumnes suspesos, es podran presentar a un examen de recuperació global al juny. En aquesta convocatòria també es podrà pujar nota.

• Per recuperar la matèria al setembre, els alumnes presentaran les tasques d’estiu (que contaran 1 punt) i faran l’examen corresponent de la convocatòria

6. MATERIAL I RECURSOS DIDÀCTICS

• Quadern d’exercicis elaborat pel departament.• Quadern.• Calculadora científica.

3

Page 4: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 1: REPÀS DE NOMBRES ENTERS

1. INTRODUCCIÓ

2. OPERACIONS BÀSIQUES

2.1. LA SUMA I RESTA. Exercici 1

2.2. CADENES DE SUMES I RESTES Exercici 2,3

2.3. LA TAULA DELS SIGNES:

SIGNES JUNTS, MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ Exercici 4,5

3. OPERACIONS COMBINADES

3.1. AMB UN PARÈNTESIS Exercici 7

3.2. AMB MÉS D’UN PARÈNTESISExercici 8

4. AUTOAVALUACIÓ

4

Page 5: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. INTRODUCCIÓ

Els nombres naturals són aquells nombres que no tenen signe, per tant, positius; i

que tampoc tenen coma, es a dir, no tenim cap fracció de la unitat. El seu símbol és

la N, i està format per N = { 0, 1, 2, 3, 4, ....}

Després, amb la necessitat d’expressar un deute o mancança, van aparèixer els

nombres enters, que són aquells que no tenen coma però si que tenen signe, poden

ser positius o negatius. El seu símbol és la Z = { ...., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,....}

Per tant, tots els nombres naturals són també nombres enters!

I els següents nombres: 515−

, ,9 32 també són nombres enters!

2 OPERACIONS BÀSIQUES

2.1 LA SUMA I LA RESTA

Sumarem quan tenen el mateix signe i deixarem el signe que tenen.

+ 4 + 5 = + 9 – 3 – 8 = –11

I restarem si tenen signes diferents, deixant el signe del més gran

– 4 + 7 = + 3 + 2 – 8 = – 6

1. Practica les sumes o les restes. Pensa que si no tenen signe al davant sempre serà positiu:a) 8 – 3 =

b) – 4 + 9 =

c) – 3 – 6 =

d) + 7 + 3 =

e) 2 – 8 =

f) 9 – 2 =

g) – 5 – 3 =

h) – 7 + 2 =

i) + 8 – 12 =

j) – 3 – 8 =

k) 4 – 9 =

l) – 7 + 3 =

m)+3 – 4 =

n) – 6 + 2 =

o) – 3 + 5 =

p) –7 – 8 =

q) +3 – 1 =

r) +2 + 7 =

s) – 6 – 2 =

t) +4 – 9 =

u) –3 – 5 =

v) –2 + 5 =

w) +4 – 9 =

x) +2 + 6 =

y) – 3 + 7 =

z) –8 – 3 =

aa) –2 + 6 =

bb) +7 – 4 =

cc) +2 – 8 =

dd) – 4 – 1 =

ee) –5 + 9 =

ff) +5 – 2 =

gg) +8 – 12 =

hh) –6 + 2 =

ii) +4 – 2 =

jj) +5 – 9 =

2.2 CADENES DE SUMES I RESTES

Si tenim vàries sumes i restes, el més fàcil és:sumar tots els positiussumar tots els negatiusFer la resta deixant el signe del més gran.6 + 2 – 7 – 3 + 6 – 2 positius = +6 +2 + 6 = +14 +14 – 12 negatius = –7 –3 – 2 = – 12+2

5

Page 6: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2. Fes tu ara els següents exercicis:

a) –5 + 2 + 7 – 8 –3 + 9 =

b) – 7 – 2 + 6 – 3 + 3 =

c) –8 + 7 + 2 + 1 – 7 – 3 + 1 =

d) –3 + 4 + 5 –2 – 4 –1 + 7 =

e) 5 – 3 – 2 + 6 + 1 – 9 =

f) –4 – 2 + 6 + 8 – 2 + 3 =

g) – 6 – 3 + 2 + 4 – 8 =

h) 7 – 3 + 2 + 4 – 6 – 1 + 6 =

2.3 LA TAULA DELS SIGNES: SIGNES JUNTS, MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ

La taula la emprarem quan: hi ha dos signes junts

separats per un parèntesis, en la multiplicació i en la

divisió.

+ ( + 3 ) – ( + 5 ) + ( – 4 ) – ( – 3 ) = + 3 – 5 – 4 + 3 = + 6 – 9 = – 3

( + 4 ) · ( – 3 ) = – 12 , o bé, ( – 2 ) · ( – 6 ) = + 12 , o bé, ( – 8 ) : ( + 2 ) = – 4

3. Fes les següents cadenes de sumes, abans indica el signe definitiu de cada nombre:a) – ( + 3) + ( – 4) – ( +2 ) =

b) + ( – 4) + ( – 3) – ( – 8) =

c) – ( –1) – ( + 2) + ( –3) – ( – 6) =

d) + ( +5) – ( + 4) – ( –2) + ( –1) =

e) – ( –2) + ( –3) – ( –1) + ( +2) – ( –5) =

f) – ( +2) + ( + 4) + ( –2) – ( –1) =

g) – ( + 6) – ( +4 ) + ( +5) + ( –2) – ( –3) =

h) + ( –6) + ( –9) – ( +11) + ( +2) =

i) + ( +5) – ( +2) + ( +3) – ( –4) – ( +6) =

j) – ( –5) – ( + 4) + ( +6 ) – ( – 4 ) =

4. Aplica també la taula dels signes però ara a les multiplicacions i divisions:

a) (+ 5) . (+ 8) =

b)(– 15) . (– 3 ) =

c) (– 12) . (+ 4) =

d)(+ 50) . (– 4) =

e) (+ 9) . (+ 8) =

f) (– 9) . (– 16) =

g)(+ 12) . (– 6) =

h)(– 11 ). (+ 6) =

i) 72 : 12 =

j) –10 : (+ 5)=

k)72 : 6 =

l) (– 60) : (– 12)

m)5

15−

−=

n)1590

+−

=

o)+ 39 : –13 =

p)(– 200) : (– 40) =

q)(+ 6): (– 6) =

r) ( –200): (+ 40) =

s) 1575

+−

=

t)36

−−

=

+ + ++ – –– + –– – +

6

Page 7: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

5. Realitza les següents operacions :

a) (– 5) . (– 2) . (+ 4 ) . (– 3 )=

b) (– 3 ). (–1 ) . (– 2 ) . (+ 2 ) . (+ 6 )=

c) (– 2 ) . (– 2 ) . (– 2 ) . (– 2 ) . (– 2 ) . (– 2 ) =

d) (– 17) + (– 30) + (+ 28) + (+ 23) =

e) (– 5) + (+ 29) + (– 14) + (– 26) =

6. T’ha semblat fàcil? Doncs ara ho barregem a veure si ho saps. Quantes penses que encertaràs?

a) –4·5 =

b) 7–4 =

c) 9:(–3) =

d) –7–7 =

e) 5 – 9 =

f) –8·(–7)=

g) –5 + 9=

h) –8·(–3)=

i) 7 – 9 =

j) 18:(–3) =

k) –7 + 9 =

l) –3 – 5 =

m)–7·3 =

n) –5·(–7)=

o) 6 – 5 =

p) –8·7 =

q) 9 + 8=

r) –3· 5 =

s) –3·(–6)=

t) 5·(–9)=

u) –3 – 6=

v) 6 – 4 =

w) –3· 9=

x) –8 – 7 =

y) 4·(–6) =

z) –8·(–3)=

aa) 7 – 6 =

bb) 4 + 7=

cc) –6 · 4=

dd) –1 + 9=

ee) 8·(–7)=

ff) –2 + 3 =

gg) –6 – 4 =

hh) 3·(–8)=

ii) –6 + 4=

jj) –3 ·6 =

kk) 4 – 3 =

ll) –7 + 6 =

mm) 14:(–2 )=

nn) –8 + 2=

3. OPERACIONS COMBINADES

3.1 AMB UN PARÈNTESIS

Farem el mateix amb els signes però has de recordar la prioritat d’operacions:

1r. Parèntesis

2n. Multiplicacions i divisions

3r. Sumes i restes

–3 + 6·( 2 – 7 ) = –3 + 6·( – 5) = – 3 – 30 = –33

Pensa que en cada pas has d’escriure TOTS els nombres al mateix lloc menys

l’operació que té la prioritat, que posarem el seu resultat.

7. Fes tu ara els següents exercicis:

a) –2 + 3·( 5 – 1 ) =

b) 2 – 4·( 5 – 7 ) =

c) 1 + 3·( 4 – 8 ) + 5·( –2 + 4 ) =

d) 8·( 2 – 3· 4 ) =

7

Page 8: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

e) 2 – ( 15 – 8 ) =

f) 6 – 4·( 8 – 3 ) – 2·( 2 – 9 ) =

g) –3 + 6·( 2 – 7 ) – 3·( 8 – 2 ) =

h) 12 + 6·( –8 – 3 ) =

i) –2 + ( –3 + 5 )·4 =

j) ( 12 – 4 )·(–5) + 2·( 5 – 8 ) =

k) 2 + ( –5 + 2 )·3 =

l) 6 + ( 8– 15 )·5 – ( 2 + 3 )·(–2) =

m)5 – 7·( 8·3 – 5) =

n) 8 – 6·( –2 + 7·3 ) =

o) –5 + 7·(8 – 2 ) =

p) –5·( 3 – 2 ) =

q) –5·(3 + 5) + 2 =

r) –15:5 + 10:(–5)=

s) 3 – 2·( –5· 2 – 7 ) =

t) –( 3 + 2)·5 – 2·6 =

u) + 2·(–7 + 3) + 10 =

v) – 4·(3 + 1) + 4·3 =

w) 2·(7 – 4) – 5·2 =

x) –2 + 5·( –2 + 3·4) =

3.2 AMB MÉS D’UN PARÈNTESIS

8. Igual que abans, però resoldrem primer els parèntesis petits i després el grans.

a) 9 – [4 + ( –8 + 7)·5]=

b) (– 9 + 8)·[7 + 5·(8 – 9) + 7] – 3 + 1=

c) 5 – [4 – (5 – 10) + 9·(7 – 4) ] =

d) 9 + [4 – (9 – 2·5) + 10] – 9 =

e) 8 + 3·(– 7 + 5) + [ 9 + (12 – 8)·3 + 5] =

f) 7 + ( – 4)·[ 9:(–3) + ( 8·5 – 32 ) ] =

g) [7 – 9:(–3) + (7 – 5)·(–3) ]·2 + 9 =

h) [ 8 – 3 + 7·(5 – 9)] + 8 – 3 =

8

Page 9: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

i) 2 – 7·[ (5 – 8 )·3 – 7 + 5] =

j) 9 – [ 8 – 3·(7 – 5 )] + 8·[ 7 – (5 – 9) – 8] =

k) (3 – 7)·5 – 8·[ ( 3 – 7 )·5 + 9] =

l) [–8 + 7·(3 – 5) ] + (9 – 1)·[8 – 3 + (7 – 9)] =

m)–(3 –5 ) + 9·[–5 + 9 – 4 ·(3 – 8 ) + 5·(–9)] =

n) 8 – 4·[ 2 – 3·(8 – 2)] =

o) (5 – 9)·[ 8 + 9·(2 – 3) + 9] + 8·[ 7 – 2·(3 + 9)]=

p) [–8 + (5 – 9)· 4 ]·2 – 3=

q) 8 – [4 + (8 – 6 )·7] =

r) (–7 + 3)·6 + 5·[ 1 – 3·(5 – 9)] =

s) 6 – (–3)·(–9 + 7 – 1) – [ 7 – 4·(–5 + 2 + 6) – 1] =

t) 6 – 4 ·[ –3·(5 – 3 + 1 ) + (2 – 5) · (–4)]=

u) 3 · 5 – 2·[–3 – (1 – 4) · [1 – 2·( 3 – 5)] – 3·2] =

v) – 5·[ 6 – ( 8:4 – 2 + 3 · 5)·2 + 20 ] =

4. AUTOAVALUACIÓ

a) (+3) · (+8)=

b) (–3) · (– 8) =

c) (+3) · ( – 8) =

d) (– 3) · (+ 8) =

e) (+ 6) : (+ 2) =

f) (– 6) : (–2) =

g) (+ 6) : ( –2) =

h) (– 6) : (+ 2) =

i) + (– 38) – (–12) =

j) (+ 38) – (+ 12) =

k) + (– 38) – (+ 12) =

l) (+ 38) – (– 12) =

m)+ (+42) – (– 47) =

n) (+42) – (+ 47) =

o) + (– 42) – (– 47)=

p) (– 42) – (+ 47) =

q) – [ – ( – 3) + (– 2) ] =

r) – [ + ( – 8 + 2 ) ] =

s) –8·( –3 + 5 ) = Sol: –16

t) 6 – 5·4 + ( 2– 3)·8 = Sol: – 22

u) –9 – (2 + 3)·(–4 + 5) = Sol: –14

v) – 4·( 1 – 3·4 + 5) = Sol: –24

w) –2·3 + [ –8 + 3·( 10 – 4·2) ] = Sol: –8

x) 9· (2 – 5) + 6·3 – 7 = Sol: –16

y) [ 5 + ( 2 – 6)·2 ]·2 + 3 = Sol: –3

z) – (–5)·[(– 4 ) + 2 – ( 4 + 3·2 – 1) ] = Sol:–55

9

Page 10: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 2: NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS

1. NOMBRES RACIONALS. FORMES D'EXPRESSIÓ.· Nombres racionals.· Decimals exactes i periòdics.· Conversions :

· Fracció a decimal i decimal a fracció. Fracció generatriu. Exercicis 1– 3. · Fracció a percentatge i percentatge a fracció. Exercicis 1– 3.2. CLASSIFICACIÓ DELS NOMBRES.

· Successives ampliacions del conjunt de nombres : naturals, enters, racionals, reals.· Identificació de nombres racionals i irracionals. Exercici 4.

3. FRACCIONS EQUIVALENTS. SIMPLIFICACIÓ.· Fraccions equivalents. · Obtenció de fraccions equivalents. Exercicis 7, 9.· Simplificació de fraccions. Exercici 8.· Fracció irreductible.

4. COMPARACIÓ I ORDENACIÓ. REDUCCIÓ A DENOMINADOR COMÚ.· Mínim comú múltiple de diversos enters. · Càlcul del mínim comú múltiple. Exercicis 10, 11.· Reducció a comú denominador. Exercicis 10, 11.· Comparació i ordenació de fraccions. Exercicis 10, 11.

5. OPERACIONS AMB FRACCIONS.· Operacions amb fraccions :

· Suma i resta . Exercici 12.· Producte i divisió. Exercici 13.· Operacions combinades. Exercici 14.· Sumes i restes amb parèntesis. Exercici 15.· Operacions combinades amb parèntesis.. Exercici 15.· Fraccions de fraccions. Exercici 16.

· Càlcul de la fracció d'una quantitat donada. Exercici 17.

6. PROBLEMES· Resolució de problemes en els quals intervenguin fraccions. Exercicis 18– 36.

7. AUTOAVALUACIÓ

10

Page 11: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. NOMBRES RACIONALS. FORMES D'EXPRESSIÓ.

Un nombre racional és de la forma

enterenter

, on el nombre de dalt és diu numerador i

el d’abaix denominador.El denominador divideix al numerador.

Els nombres racionals es poden expressar en forma de fracció, de decimal o de percentatge.

De fracció a decimal Basta fer la divisió.Exemple 1:

25

= 2’5 32

= 0’666... = 6'0

De decimal a fracció. · Si és un nombre decimal finit és prou amb posar el nombre amb la part decimal com si fos entera i dividir per l'unitat seguida de tants zeros com hi hagi a la part decimal. Aixó equival a multiplicar i dividir per la mateixa potència de 10

2’17 = 100217

100100·17'2 =

· Si és decimal infinit periòdic, cal distingir dos casos :

· Periòdic pur : Multiplicam per una potència de 10 tal que el primer periode passi a la part entera, i a continuació restam el nombre inicial.

Exemple 2: N = 3'47474747... Hem de multiplicar per 100 perquè es repeteixen 2 xifres: 100·N = 347'4747...

– N = 3'4747... Per tant: = 99344

.

99·N = 344

· Periòdic mixt : Seguim el mateix procediment, però abans de restar multiplicam també el nombre inicial per una potència de 10 que faci passar a la part entera l'avantperiode.Exemple 3: N = 2'5142142142... Hem de multiplicar per 1000 perquè el periode té tres xifres, i després per 10, ja que l'avantperiode té una xifra. 1000·N = 25142'142142...

– 10·N = 25'142142... Per tant: F= 990

25117.

990·N = 25117

11

Page 12: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

De percentatge a decimal Un percentatge és una part sobre un total de 100. Per tant, equival a la divisió per 100 de la quantitat donada.

Exemple 4 :

25% = 25'010025 =

37'5% = 375'0100

5'37 =

De percentatge a fracció Expressam en forma de fracció de denominador 100, i simplificam si cal.

Exemple 5 :

25% = 41

205

10025 ==

37'5% = 83

4015

20075

1000375

1005'37 ====

De decimal a percentatge Procedim de manera inversa que en el pas de decimal a percentatge; és a dir, multiplicam per 100.

Exemple 6 : 63% = 0'63 5% = 0'05

1. Expressa en forma de percentatge :

a) =10017

e) 0'15 =

b) =21

f) 0'4 =

c) =43

g) 0'04 =

d) =52

h) 2 =

2. Expressa en forma de decimal :

a) =154

e) 95% =

b) =5

12f) 7% =

c) =34

g) 12'5% =

d) =75

h) 150% =

12

Page 13: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

3. Expressa en forma de fracció : a) 0’3 = f) 4’141414... =

b) 2’25 = g) 5'123123123... =

c) 0'225 = h) 3’14444... =

d) 0'075 = i) 0’0232323... =

e) 6’222.... = j) 2'12151515... =

2. CLASSIFICACIÓ DELS NOMBRES

Els nombres Naturals = { 0,1,2,3...} són els que primer coneixem. Més envant, s'amplia aquest conjunt de nombres afegint– ne els oposats dels seus elements (els nombres negatius). Obtenim així el conjunt dels nombres Enters = {..., –2, –1, 0, 1, 2,...}Després es torna ampliar el conjunt dels nombres afegint– ne tots aquells que són quocient de dos nombres enters. Aquests, com hem dit al principi, són els nombres Racionals .Observa que tots els nombres naturals són també enters per definició, i a més són racionals, ja que tot nombre natural es pot escriure en forma de fracció de denominador 1 :

122,

111 == , etc.

Per la mateixa raó, els nombres enters també són racionals. Però no tots els enters són naturals (només els positius i el zero). Ni tots els nombres racionals són naturals ni enters. En resum, el conjunt dels nombres naturals està inclòs dins el dels nombres enters, que a la vegada forma part dels nombres racionals.

Són aquests tots els nombres possibles ? La resposta és que no. Existeix una infinitat de nombres que no poden expressar– se en forma de fracció, o quocient entre dos nombres enters. El primer que es va conèixer a la història és el nombre 2 = 1'4142135623... ,que correspon a la mesura de la diagonal d'un quadrat de costat la unitat.Aquests són els nombres Irracionals. També són irracionals les arrels no exactes : 3 = 1'7320508075... , 5 =2’23606797749... , etc.I també ho és el nombre que s'obté en dividir el perímetre d'una circumferència pel seu diàmetre, és a dir π = 3’14159265...

13

Page 14: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Altres irracionals famosos són el nombre e = 2'71828182...i el nombre d'or,

φ = =+2

51 1'61803398...

Reconeixement de nombres irracionals a partir de l'expressió decimal

Tots els nombres racionals s'expressen, com hem vist, en forma de decimal exacte o infinit periòdic. Els nombres irracionals tenen una expressió decimal infinita no periòdica.Exemple 7 : 7'5 Racional – 4'23 Racional 5 Racional 3'272727... Racional 1’68764654148.... Irracional 2'010010001... Irracional

4. Identifica raonadament els nombres irracionals :a) 1 k) 1'121221222...

b) 2’4 l) 28

c) 5’222... m) 3'89256256256...

d) –1 n) 45−

e) 7 o) 25'0

f) 32

p) 0'121122111222...

g) 25 q) – 2'121212...

h) 39

r) 91

i) –2’5 s) 01'0j) 0 t) 24

5. Identifica raonadament els nombres enters de la pregunta anterior.

6. Dóna tres exemples d'un nombre:Natural = { , , }Enter = { , , }Racional = { , , }Irracional = { , , }

14

Page 15: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

3. FRACCIONS EQUIVALENTS. SIMPLIFICACIÓ.

Fraccions equivalents

Dues fraccions són equivalents si representen el mateix nombre.

Obtenció de fraccions equivalents Una fracció no canvia de valor si multipliquem o dividim per un mateix nombre el numerador i el denominador. Exemple 8 :

104

2·52·2

52 ==

156

3·53·2

52 ==

Per tant, les fraccions 156

104,

52 i són equivalents.

A vegades, també és possible dividir numerador i denominador per un mateix nombre : la fracció així obtenguda és equivalent a la primera, i deim que hem simplificat o reduït la fracció.Simplificar una fracció és convertir– la en una fracció equivalent dividint numerador i denominador pel mateix nombre.Exemple 9 :

73

5:355:15

3515

2:702:30

7030 ====

Per tant, les fraccions 73

3515,

7030 i són equivalents.

Si no hi ha cap nombre pel que poguem dividir numerador i denominador, direm que la fracció és irreductible.

A l'exemple anterior, la fracció 73

és irreductible.

SEMPRE que treballem amb fraccions acabarem reduint– les fins arribar a la irreductible.

7. Calcula tres fraccions equivalents en cada cas :

a) 62

b) 4

12

c) 500

3

d) 7

12

15

Page 16: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

8. Simplifica fins arribar a la irreductible les següents fraccions :

a) 4812

e) 6072

b) 2821

f) 4032

c) 60

120g)

3612

d) 540240

h) 360720

9. Troba el terme que falta en cadascun dels següents parells de fraccions :

a) 95

45=a

b) d

1614021 =

c) 7

1391 =b

d) 4080

9 c=

4. COMPARACIÓ I ORDENACIÓ. REDUCCIÓ A DENOMINADOR COMÚ.

Reducció a denominador comú

Donades dues fraccions, sempre podem transformar– les en altres dues que : · Tenguin el mateix denominador. · Cada fracció sigui equivalent a una de les fraccions inicials.El denominador comú és el mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors.Els nous numeradors s'obtenen dividint el mcm entre els denominadors i multiplicant el resultat pels numeradors inicials. Exemple 10 :

65

i 47

Calculam mcm (6,4) = 12

12

i 12

Posem 12 als denominadors. Dividim 12 pels denominadors : 12:6 = 2 , 12:4 = 3

1210

i 1221

Multiplicam els resultats pels numeradors: 2·5 = 10 , 3·7 = 21

Ordenació de fraccions. Si les fraccions tenen el mateix denominador, la comparació entre elles és directa : serà més gran la que tengui el major numerador. Si tenen denominadors distints, les reduïm a comú denominador i comparam els nous numeradors.Exemple 11:

Comparar les fraccions 1511

107 i

3021

107 =

3022

1511 = Per tant,

1511

107 <

16

Page 17: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

10. Compara les fraccions :

a) 129

i 1512

b) 85

i 127

11. Ordena de menor a major :

a) 97

, 65

, 1813

b) 129

, 53

, 157

c) 83

, 125

, 43

, 64

d) 158

, 52

, 21

, 32

5. OPERACIONS AMB FRACCIONS.Acabarem sempre simplificant el resultat tantes vegades com es pugui, fins arribar a

una fracció irreductible.

Suma i resta

Reduïm les fraccions a comú denominador, i després sumam (o restam) els nous numeradors. Exemple 12 :

1513

3026

3021

305

107

61 ==+=+

101

101

102

101

51 =−=−

Multiplicació

Multiplicam entre sí els numeradors i els denominadors. Exemple 13 :

2120

7·34·5

74·

35 ==

Divisió

Multiplicam la primera fracció per la inversa de la segona.

Exemple 14 :

1235

47·

35

74:

35 ==

Aixó és el mateix que multiplicar el numerador de la primera pel denominador de la segona, i el denominador de la primera pel numerador de la segona :

1235

4·37·5

74:

35 ==

12. Realitza les següents operacions :

a) =+41

21

b) =−41

21

c) =+52

43

d) =+2011

125

17

Page 18: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

e) =−85

43

f) =+65

41

g) =+97

61

h) =−1571

107

i) =+311 j) =−

1011

k) =−232 l) =+

125

83

m) =++81

41

21

n) =++107

43

52

o) =+−61

31

21

p) =−+157

53

32

q) =−+−67

23

53

32

r) =++−61

254

37

13. Realitza les següents operacions :

a) =54·

35

b) =97·

73

c) =104·

85

d) =32:

52

e) =187:

92

f) =125:

83

g) =5·51

h) =92·7

i) =4:38

j) =53:6

Operacions combinades

Procedirem pas a pas, respectant la jerarquia d'operacions. Ens evitarem càlculs fastigosos si podem simplificar les fraccions en els passos intermitjos.Exercici resolt 1

12037

12075

120112

85

1514

4830

4542

106:

83

56·

97 =−=−=−=−

Exercici resolt 2

1513

15103

32

51

32

589

32

158

53

32

4524

53

32

56·

94

53

=+=+=+−

=+

−=+

−=+

14. Realitza les següents operacions :

a) =+34·

29

54·

35

b) =+ 5·51

104·

85

18

Page 19: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

c) =+187·

92

32:

52

d) =+ 4:38

95:

32

e) =−45·

32

54·

43

f) =+1015·

58

62·

83

g) 161

81·

41

21 −− = h) =+−

32

56·

94

53

15. Realitza les següents operacions :

a)

+−

32

613 =

b)

−+

275

322 =

c)

−− 2

315 =

d)

+⋅

85

34

56

=

e) =++

+

41

34·

23

311·

23

f)

+−

+− 1

52

43·2

41

53

=

g)

+−

+

41

31·

21

43

311 =

h)

−−−

+

21

431

31

65

=

i) 42·

35

21

32:

62 +

− =

j)

−−

31

65·

61

21

43·

32

k)

−−

+

41

21:31

42:5

19

Page 20: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

l) 43

:

⋅−

83

65

+ 128

65:

83 − =

m) =⋅

−⋅+−⋅

⋅− 23

72

335

314:

47

23

32

64

32

n) =

+−−

32

411

65

o) =

−+−

+−

31

211

31

212

p) 1 1 1 143 4 5 6

− − − + =

Quocients de fraccions Quan tenim operacions de fraccions al numerador i al denominador, hem d'efectuar les operacions a cada banda i després resoldre de la següent manera :

cbda

dc

ba

dcba

··: ==

Exercici resolt 3

154

3·54·1

43:

51

4351

===

16. Redueix les fraccions:

a) b) c) d)

103

39

41

132

+⋅

− e)

−⋅

−⋅

22171

56

1191

43

Fracció d'una quantitat

Per calcular el valor de la fracció d'una quantitat donada, simplement hem de multiplicar la fracció per aquesta quantitat. Pensa que el denominador sempre divideix i el numerador multiplica.

43

107

53

41

353

353

+

211

211

+

20

Page 21: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 14 :

Calcular els 32

de 84 .

562·282)·3:84(84·32 ===

17. Calcula :

a) 23

de 20 b) 72

de 28

c) 72

de 735 d) 135

de 104

e) 65

de 498 f) 83

de 1160

g) 94

de 153 h) 117

de 1650

6. PROBLEMES

Problema resolt 1 (determinar la part coneixent el total) D’un pastís que pesava 1’6 kg. ja se n’han menjat 3/8. Quant pesa el tros que han menjat ?Han menjat els 3/8 d'1'6 kg (fracció 3/8 de la quantitat 1'6). Per tant,

kg6'03·2'03)·8:6'1(6'1·83 ===

Problema resolt 2 (determinar el total coneixent la part)

He recorregut 10 km d'un camí. Si he fet 82

parts del camí, quants km té aquest ?

Si 2/8 del camí són 10 km, llavors 1/8 del camí seran 10:2 = 5 km.Per tant, el camí complet (8/8) tendrà 5·8 =40 km.

També hauríem pogut raonar així : Aquest és el problema invers de l'anterior, que hem resolt multiplicant per la fracció. Per tant, realitzarem l'operació inversa : dividir per la fracció (que és el mateix que multiplicar per l'invers d'aquesta).

Invertim la fracció i multiplicam, 408·58)·2:10(10·28 === km.

21

Page 22: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Problema resolt 3 D’un bidó d’oli se’n treu primer la meitat i després la cinquena part. Tot i això, encara hi queden 3 litres. Quina és la capacitat del bidó? Podem representar gràficament el problema per a aclarir idees :

Com que les fraccions són 21

i 51

, dividirem el total en 10 parts (mcm de 2 i 5).

Reduïm a denominador comú : 105

21 = parts se'n treuen primer ,

102

51 = parts se'n

treuen després. Queden, per tant, 103

parts del bidó.

Si 103

parts són 3 litres, llavors el total serà (veure problema resolt 2) :

103·3

10 = litres.

Si consideram que el total és la unitat, podem resoldre problemes com l'anterior

de manera més directa. La fracció que queda és el resultat de restar 21

i 51

a la

unitat. És a dir: 103

102510

51

211 =−−=−− és la fracció restant. El final es resol

igual.

18. S’han consumit els 5/6 d’una capsa de 30 bombons. Quina fracció en queda ? Quants de bombons queden ?

19. Si ja he fet 32

parts d'un camí de 21km. Quants km em falten per recòrrer ?

20. Una horta té una extensió de 8000 m2, dels quals els 3/5 es traben sembrats de blat de moro, i la resta d’alfals. Quants de metres quadrats s’hi han dedicat a cada conreu ?

21. Un agricultor rega al matí 2/5 d’un camp. A l’horabaixa rega la resta, que són 6000 m2. Quina és la superfície total del camp?

22. Tres quarts de quilo de formatge costen 8’70 €. Quant costa un quilo ?23. Quants habitants té una població si els menors de 15 anys són 2800 i són 2/7 del

total ?24. Una parcel·la que ocupava 3/7 d’un terreny s’ha venut per 12000 €. Quant costava

el terreny complet ?

1/2

1/5

22

Page 23: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

25. En una classe hi ha 10 nines i 14 nins. Quina fracció representen les nines? I els nins ?

26. Amb un recipient que contenia ¾ de litre d’aigua, hem omplert un tassó de 2/5 de litre de capacitat. Quina fracció de litre queda en el primer recipient ?

27. En una enquesta sobre consum, ½ de les persones enquestades afirmen que els agrada el cafè, 1/3 declara que no els agrada, i la resta, no contesta. Quina fracció dels enquestats contesta ? Quina fracció no contesta ? 28. En un depòsit ple d’aigua hi havia 3000 litres. Un dia es va gastar 1/6 del depòsit, i un altre dia, 1250 litres. Quina fracció en queda?

29. D’un solar se’n van vendre els 32

de superfície, i després, els 32

de la resta.

L’ajuntament va expropiar els 3200 m2 quedaren per a un parc públic. Quina n’era la superfície?

30. En una parada de fruites i verdures, els 65

de l’import de les vendes d’un dia

corresponen a l’apartat de fruites. Del diners recaptats en la venda de fruita, els 83

corresponen a las taronges. Si la venda de taronges ascendeix a 89 €, quina caixa ha fet l’establiment?

31. Tres socis inverteixen els seus estalvis en un negoci. El primer hi aporta 1/3 del capital, el segon 2/5 i el tercer la resta. Tres mesos després, reparteixen uns beneficis de 150000 €. Quant correspon a cada soci?

32. D’un pastís de carabassa, el primer dia de menjar queden 3/5 parts. I el segon dia, del que queda, ens deixem 1/3 part. Si sobren 150gr, quants quilos pesava el pastís?

33. Un camp rectangular de 120 m de llarg es posa a la venda en dues parcel·les a raó de 50 € el metre quadrat. La primera parcel·la, que representa els 7/12 del camp, surt per 140.000 €. ¿Quina és l’amplària del camp?

34. En rentar una tela, la longitud es redueix en 1/10 i l’amplària, 1/15. Quina longitud hem de comprar d’una peça de 0,90 m d’ample per tenir, després de rentar–la, 10,5 m2 de tela?

35. En un dipòsit queden 15L. Si l'altre dia vam gastar 2/5, quina és la capacitat del dipòsit?

36. D'un camí de 65Km, el primer dia vaig fer 12km, el segon dia 2/10 parts. Quants quilòmetres me falten per fer? Quina fracció representa això?

23

Page 24: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

7. AUTOAVALUACIÓ

1. Situa en cada casella els nombres corresponents. Atenció: un nombre pot estar en més d’una casella.

– 2, 3, –4/5, 3/6, 4/2, – 25 , 26 , 13'4

, 6’18 , 0’01001000100001... , 3 125−

16/4 , – π, 4 2 , 2−π , π

Naturals

Enters

Racionals

Irracionals

2. Demostra que 96'3

i 3’7 se expressen amb la mateixa fracció.

Demostra que 0’3

+ 0’ 6

= 1.

3. Ordena de menor a major les següents fraccions 6

13,29,

415,

310

4. Realitza les següents operacions, simplificant el resultat.

a)

+−

+

61

53

52

65

b)

−−

++

5721

52

43

c)

−−

31

56:

37

215 d)

−+

+

29

45·

31

62:

341

e)

341

45·

31

62

+

+

5. Si Joana s’ha gastat 41

del que tenia en un CD i ara li queden 102 €. Quants euros tenia al

començament?

6. El dipòsit d’un cotxe estava ple de gasolina en començar el viatge. En acabar la primera

etapa li queden 53

del dipòsit. En la segona etapa s’ha gastat 31

del dipòsit. Si el dipòsit és de 150 litres. Quants litres queden al dipòsit? Quants litres va gastar en cada etapa?

24

Page 25: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 3: POTÈNCIES I ARRELS

1. POTÈNCIES

1.1. DEFINICIÓ.

· Potència de base racional i exponent enter.· Expressió en forma de producte i en forma de potència. Exercicis 1, 2.1.2. CÀLCUL.

· Base entera i exponent natural. Exercicis 3, 5.· Base entera i exponent negatiu. Exercici 6. · Base fraccionària i exponent enter. Exercici 7. · Determinació del signe a les potències de base negativa. Exercici 3. · Discriminació entre potències de base negativa i nombres negatius expressats en

forma exponencial. Exercici 4. 1.3. PROPIETATS I OPERACIONS.

· Producte, quocient, potenciació, potència. Exercicis 8– 18, 22– 25.

· Identificació de potències implícites. Exercicis 20, 21.

· Operacions combinades. Exercicis 19, 21.

2. ARRELS

2.1. DEFINICIÓ.

· Arrel enèsima d'un nombre. Índex i radicand.

· Nombre de solucions d'una arrel.

· Expressió en forma de potència. Exercici 26.

2.2. CÀLCUL.

· Càlcul d'arrels enèsimes. Exercicis 27– 29.

2.3. PROPIETATS I OPERACIONS.

· Producte, divisió, potència, arrel. Exercicis 30– 37.

· Extracció de factors. Exercicis 30– 36.

3. NOTACIÓ CIENTÍFICA

3.1. DEFINICIÓ.

· Expressió de nombres amb potències de base 10. Exercicis 38, 39. · Caracterització de la notació científica.

· Canvis de notació: notacions científica i convencional. Exercicis 40– 42.

3.2. OPERACIONS.

· Multiplicació i divisió de nombres en notació científica. Exercici 43.

· Resolució de problemes amb nombres en notació científica. Exercicis 44– 52.

4. AUTOAVALUACIÓ

25

Page 26: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. POTÈNCIES

Potències d'exponent enter positiu

Una potència de base a i exponent enter positiu n és un producte de n factors iguals :

vegadesn

n aaaaa ·...···=

Exemple 1 6·6·6·6 = 64

base 64 exponent

El factor que es repeteix s'anomena base. L'exponent ens indica el nombre de vegades que apareix repetida la base.

L’exponent 1 no s’escriu. S'entèn que tot nombre que no dugui exponent està elevat a 1. aa =1

Exemple 25 = 51 , 61 = 6

Potències d'exponent zero Tot nombre elevat a zero, val 1. 10 =a

Exemple 3

1 = 90 , 30 = 1 , 125 0

=

Potències d'exponent enter negatiu

Si n és un nombre natural i a un nombre racional, es defineix la potència de base a i exponent – n com la inversa de la potència de base a i exponent n :

nn

aa 1=−

Exemple 4

33

212 =− ,

22

43

34

=

26

Page 27: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. Completa la taula:

Producte de factors iguals

Potència Base Exponent Es llegeix

)5)·(5)·(5)·(5( −−−−410

7 5Cinc al quadrat

2. Expressa en forma de potència:

a) (−3) · (−3) ·(−3) · (−3) = e) (−8) · (−8) ·(−8) = b) (x−1) · (x−1) · (x−1) = f) (−a) · (−a) ·(−a) · (−a) ·(−a) · (−a) =c) t · t · t · t · t = g) 15 · 15 · 15 · 15 · 15 ·15 =d) (x+2) · (x+2) · (x+2) · (x+2) = h ) 25 · 25· 25 · 25 =

1.1. CÀLCUL DE POTÈNCIES

EXPONENT ENTER POSITIU

Base natural Multiplicam la base per ella mateixa tantes vegades com calgui.

Exemple 5 34 = 3·3·3·3 = 81

Base entera negativa Igual que en el cas anterior, però el signe del resultat dependrà de l'exponent : · Si és parell el resultat serà positiu. · Si és senar el resultat serà negatiu.

Exemple 6 (– 3)2 = (– 3)· (– 3) = + 9 Exponent parell (– 4)3 = (– 4)· (– 4)· (– 4) = – 64 Exponent senar

La base negativa ha d’anar sempre dins parèntesi; en cas contrari no es considera una potència de base negativa, i el resultat sempre negatiu.

Exemple 7 – 32 = – 3·3 = – 9

Base fraccionària La potència de base fraccionària és un producte de fraccions. Per tant, multiplicarem el numerador per ell mateix i el denominador per ell mateix, tantes vegades com calgui.

27

Page 28: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 8

8

12525

25

3

33

==

278

278

3)2(

3)2(

32

3

333

−=−=−=

−=

3. Calcula les potències següents:a) (– 4)3 = g) (– 5)3 =

b) (– 4)1 = h) (– 8)2 =

c) (– 2)4 = i) (– 5)0 =

d) (– 3)4 = j) (– 3)3 =

e) =

5

21 k) =

3

53

f) =

3

53 l) =

4

23

4. Calcula les següents potències:a) – 25 = e) – 30 =

b) (–3)3 = f) (– 10)4 =

c) – 13 = g) (– 4)3 =

d) – 72 = h) – 22 =

5. Calcula:a) 80= c) 125550 = e) 986750 =

b) 121110 = d) 470 = f) 100000 =

EXPONENT ENTER NEGATIU

Invertim la base, i canviam el signe de l'exponent. A continuació, operam com en el cas anterior.

Exemple 9

321

212 5

5 ==−

125

852

52

25

3

333

==

=

81331 4

4 ==−

28

Page 29: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

6. Calcula les potències següents:

a) 8–3 = f) (– 3)–4 =

b) 3–5 = g) (– 2)–6 =

c) 1–10 = h) (– 4)–3 =

d) 7–4 = i) (–2)–1 =

e) 1

3−2 = j) 1

5−3 =

7. Calcula:

1. 3

35 −

= 2.

4

1001 −

= 3.

2

37 −

− =

4. 2

23 −

= 5.

1

31 −

− = 6.

2

63 −

− =

1.2 PROPIETATS DE LES POTÈNCIES

Si a i b són nombres racionals, i m i n enters, es compleixen les següents propietats :

(1) am · an = am+n Producte de potències de la mateixa base

(2) am : an = am–n Quocient de potències de la mateixa base (3) (am)n =am·n Potència de potència

(4) (a · b)m =am · bm Potència de producte

(5) (a : b)m =am : bm Potència de quocient

Exemple 10

(1) 42 · 43 = 42+3 =45

(2) 56 : 54 = 56–4 = 52

(3) (82)3 = 82 ·3 = 86

(4) (3 · 5)2 = 32 · 52

(5) (6 : 5)2 = 62 : 52

29

Page 30: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 1 Expressa el resultat en forma de potència única : a) 55 · 5–3 · 5 = 55– 3+1 = 53

b) 23 : 2– 2 = 23– (– 2) = 23+2 = 25

c) ((3– 2)–3)– 1 = 3(– 2)(– 3)(– 1) = 3– 6

d) 32·52 = (3·5)2 = 152

e) 63 : 33 = (6 : 3)3 = 23

8. Expressa el resultat en forma de potència única:a) 2–3 · 22 · 2 = f) 12 · 12–6 ·125 = k) 7 · 7–8 · 76 · 70 =b) 3 · 3–5 = g) 8–7 · 83 = l) 44 · 4–6 · 43 =c) 53 · 5–4 · 52 = h) 64 · 6 · 6–7 = m) 23 · 2–5 =d) 53 · 5 · 5–2 = i) 10–5 · 10 · 10–3 = n) 205 · 20–2 · 20 =

e) =

− 23

21·

21·

21 j) =

23

32·

32 o) =

− 22

23·

32

9. Expressa el resultat en forma de potència única:a) a–3 · a6 · a = d) z · z–3 ·z7 = g) a · a–5 · b–3 · b4 =b) x · x–8 = e) a–5 · a8 = h) x4 · x–6 · x–3 =c) y3 · y–7 · y5 = f) a4 · b · b–7 = i) a–4 · a–3 =

10. Expressa el resultat en forma de potència única:a) a–6 · b2 · b · a = d) a · a3 ·b9 = g) z · z–3 · z6 · a0 =b) a · a–2 = e) b–5 · b–6 = h) a8 · a–9 · a–6 =c) x–2 · y–4 · x3 = f) a–3 · a · a–2 = i) c–3 · c–3 =

11. Indica amb una V les igualtats i amb una F les igualtats falses. Raona la teva resposta.a) 34 · 34 · 54 = 114 d) 52 · 43 = 95 g) 52 + 42 = 92

b) 302 · 305 = 307 e) 72 + 74 = 76 h) 43 – 48 = 4–5

c) 57 · 5 · 56 · 5 = 511 f) 34 + 52 = 86 i) 22 · 74 = 146

12. Expressa el resultat en forma de potència única:a) 135 : 13–8 = e) 4–5 : 4 = i) 5–10 : 56 =b) 98 : 9–6 = f) 35 : 32 = j) 105 : 10 =c) 6–8 : 67 = g) 3–5 : 3–2 = k) 9–11 : 9–3 =

d) =

32

52:

52 h) =

25

21:

21 l) =

− 12

52:

52

13. Expressa el resultat en forma de potència única:a) a–6 : a–2 = d) b3 : b–2 = g) d–3 : d3 =b) b : b–4 = e) b–2 : b–6 = h) b8 : b–9 =c) z–2 : z–4 = f) a–4 : a–2 = i) c–3 : c8 =

14. Escriu els nombres que falten:a) 510 : 5–4 = 5__ d) 10–5 : 10__ = 10b) 56 : 5__ = 5–2 e) 10__ : 102 = 104

c) 5__ : 53 = 5–8 f) 10–5 : 103 = 10__

30

Page 31: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

15. Escriu cada nombre com a quocient de dues potències de la mateixa base:a) 35 = 38 : 33 e) 108 =

b) 5–3 = f ) 4–6 =

c) 8–2 = g) 9–8 =

d) 104 = h) 6–2 =

16. Expressa el resultat en forma d’una sola potència:a) (53)4 = e) (63)6 = i) (10–5)5 =b) (8–5)4 = f) (26)–9 = j) ((10–1)–3)–2 = c) (92)–3 = g) (4–7)2 = k) ((3–2)–5)3 =d) (7–3)–6 = h) (5–4)–3 = l) ( – 23 )4 = 17. Escriu l’exponent que falta:a) (85)__ = 810 b) (9__)3 = 99 c) (72)4 = 7__

d) (63)__ = 612 e) (2__)4 = 220 f)(102)_ = 106

g) (10__)5 =105 h) (6_)2 = 610 i) (35)__ = 320

18. Escriu com a potència d’una potència:a) 310 = (32)5 d) 4–25 = g) 8–20 = b) 615 = e) 12–6 = h) 930 =c)10–14= f) 8–21 = i) 545 =

Exercici resolt 2 Redueix i expressa en forma d’una sola potència :

a) 231314

562

14

562

3333

33

3·3333 −−

+−

====⋅⋅

b) 222224)1(12

4

121

4

1332

1323

1332

323

10)5·2(5·25·255·

22

5·25·2

5·25·2

5·5·2·25·522 =======⋅⋅ −−−

−−−−

+−

−−

19. Redueix i expressa en forma d’una sola potència:

a) =−− 432 )2·2( b) =⋅−

3

75

333

c) =⋅5

34

222 d) =⋅⋅−

4

562

3333

e) ( ) =32

4

33·3

f) =⋅⋅2

653

aaaa

g) =⋅⋅⋅⋅⋅

−2

212

542

2233333

Exercici resolt 3 Simplifica les bases al màxim : 272 = (33)2 = 33·2 = 36

123 = ( 22·3)3 = 22·3·33 = 26·33

31

Page 32: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

20. Escriu com a potència, simplificant la base al màxim:a) 43 = d) 642 = g) 6253 = b) 84 = e) 813 = h) 1444 =c) 502 = f) 143 = i) 603 =

Exercici resolt 4 Simplifica :

5

4547237

73

27

433

243

433

423

223

2223

23

223

323·23·2

3·23·2

3·23·2

3·3·22·3·2

)3·()3·2()2·(3·2

9·64)3(2 =======⋅−⋅ −−−

+

+

21. Simplifica :

a) =⋅ −

2

24

842 e) =

⋅ 2

2

326 i) =

⋅−

−−

25

124

3·9·829·3·4·2

b) ( ) =−⋅8

22 23

f) =⋅ 5·812

4·3·25 2

j) =6·1418·28

c) ( )=

−⋅−

2

3

393

g) ( )=

−⋅

−−

2

2

3

1

24

22 k) =

⋅ 75·401845·100·72

d) =⋅

⋅42

35

63666 h) =

⋅ −

13

225

923·4·2 l) =

⋅ 15·64010·30·12

22. Escriu com a producte de potències:a) (2 · 5)8 = d) (2 · 5 · 7)3 =b) (7 · 3)6 = e) (3 · 4)2 =c) (5 · 9)4 = f) (3 · 5 · 6)5 =

23. Escriu els nombres que falten:a) (a · b · c)3 = __3 · b_ · c3 c) (__ · y · z)_ = ___ · y2 · z2

b) (__ · d · e)5 = c5 · d5 · e5 d) (f · __ · z)6 = ___ · i6 · ___

24. Quan es pugui, expressa com una sola potència i després calcula:a) (4 +1)2 = d) (3 + 2)2 =b) 42 + 12 = e) 32 + 22 =c) 42 · 12 = f) 32 · 22 =

25. Escriu com a quocient de potències:a) (8 : 2)8 = d) (10 : 5 )3 =b) (7 : 7)6 = e) (6 : 3)2 =c) (9 : 3)4 = f) (14 : 7 )5 =

32

Page 33: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2. ARRELS

2.1. DEFINICIÓ.

Arrel n– èsima d'un nombre

L’arrel quadrada és l’operació inversa d’elevar al quadrat.

abba =⇔= 2

Exemple 11 416 = , perquè 42 = 16 Però també :

416 −= , perquè (– 4)2 = 16

L’arrel cúbica és l’operació inversa d’elevar al cub.

abba =⇔= 33

Exemple 12283 = , perquè 23 = 8

En aquest cas, la solució és única : no existeix cap altre nombre que elevat al cub dóni 8. Observem que (– 2)3 = – 8.

En general, per a qualsevol nombre natural n distint del zero, l'arrel n– èsima és l’operació inversa d’elevar a n.

abba nn =⇔=

El nombre a s'anomena radicand, i n és l'índex de l'arrel. L'expressió n a s'anomena radical. A l'arrel quadrada no s'escriu l'índex, s'entèn que és 2.

Expressió en forma de potència

Una arrel n– èsima es pot expressar en forma de potència d'exponent fraccionari :

nn aa1

=

Aquesta definició té sentit, ja que aaaaa nnn

n

n

n ====

1·11

33

Page 34: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 13

31

3 1111 =

21

66 =

Per tant, podem aplicar als radicals les propietats ja conegudes de les potències :

(1) mnmnmn aaaaa1111

··+

==

(2) mn

m

n

m

n

aa

aaa 11

1

1

−==

(3) nmmnm

nm n aaaa ··1

11

==

=

(4) nnnnnn babababa ··)·(·111

===

(5) n

n

n

nnn

ba

b

aba

ba ==

= 1

11

26. Escriu en forma potencial :

a) 6 5 c) 2b) 4 7 d) 3 8−

Nombre de solucions d'una arrel

Si l'índex és senar, l'arrel tendrà solució única, del mateix signe que el radicand. Si l'índex és parell i el radicand positiu i, l'arrel tendrà dues solucions iguals però de signe oposat, com ja hem vist. Si l'índex és parell i el radicand negatiu, l'arrel no té solució (raona per què). En resum :imparell positiu Solució única i positivaimparell negatiu Solució única i negativaparell positiu Dues solucions de signe oposatparell negatiu No existeix

Exemple 143273 = 3273 −=−2164 ±= 4− no existeix

34

Page 35: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2.2. CÀLCUL.

27. Calcula les arrels quadrades següents sense utilitzar la calculadora:

a) 64 d) 144b) 100 e) 625c) 400 f) 16

28. Calcula les següents arrels:

a) 6 64 b) 3 8− d) 4 625 e) 25−

f) 164 g) 4

16625 h) 5 1− i) 4 1−

j) 64 k) 3 1000 l) 41 m) 3 25

29. Calcula, sempre que es pugui:a) 3 64 = e) =5 32 i) 01,0 =b) =−3 8 f) =4 16 j) 3 1 =c) =−4 81 g) =−5 32 k) 3 1− =d) =5 100000 h) 36,0 = l) 1 =

2.3 OPERACIONS.

Arrel d'un producte

Aplicam la Propietat (4) : nnn baba ·· =

Arrel d'un quocient

Aplicam la Propietat (5) : n

nn

ba

ba =

Arrel d'una arrel

Aplicam la Propietat (3) : nmm n aa ·=

Potència d'una arrel

Aplicam la Propietat (3) : ( ) n mnm

mn aaa ==

35

Page 36: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 5 Opera i simplifica si és possible :a) 3333 105·25·2 ==b) 3333 25:105:10 ==c) 123 4 1515 =

d) 77)7( 22 ±==

Extracció de factors

Descomponem el radicand en factors primers i, si és possible, agrupam els factors en potències d'exponent l'índex de l'arrel. Finalment simplificam, aplicant– ne les propietats anteriors.

Exercici resolt 6

Treu els factors que puguis de l’arrel :a) 333·33·3327 223 ====b) 5125·3·25·3·25·3·2720 22424 ====

30. Opera i simplifica si és possible :a) =33 5.25 c) =3 23 3 4.2 e) =−8 58 2 2.8

b) =5 25 3 5.3 d) =− 5 55 1 5.5 f) =5 25 3 4.6

31. Opera i simplifica si és possible :

a) =4

452 c) =3

6352

e) =12520

b) =2

86d) =

13169 f) =3

1144

32. Treu els factors que puguis fóra de l’arrel:a) =196 d) =300 g) =342

b) =12 e) =3 16 h) =456

c) =50 f) =4 48 i) =32

33. Expressa amb un sol radical i simplifica’l, si es pot:a) =33 5.2 d) =3 53 6 . bb g) =

12144

36

Page 37: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

b) =3

12 e) =1144

h) =8 58 2 . xx

c) =5 25 3 2.2 f) =3 43 2 . aa i) =4 43 6 5.5

34. Expressa amb un sol radical i calcula:a) 50.2 = d) =33 2.4

g) =5

10

b) =10.4,6 e) =3 33 2 4.8 h) =100.49,0

c) =2

32 f) =4 44 2 3.3 i) =10.9,16

35. Realitza aquestes operacions:a) =25.)2( 2 d) =333 2.)4( g) =334 2:)4(

b) =2)10.(64,0 e) =5:)2( 3 h) =7.)7( 2

c) =3)2(

16f) =

2)4(166

i) =434 2.)2(

37

Page 38: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

36. Expressa amb un sol radical i simplifica’l, si es pot:a) =5.)4( 2 d) =43 53 6 ).( bb g) =

4)2(8

b) =3

)12( 3

e) =2)12(

444 h) =35 25 2 ).( xx

c) =5 25 3 2.2 f) =53 433 2 ).()( aa i) =4 423 6 5.)5(

37. Expressa amb un sol radical:a) =3 5 d) =4 g) =7 5 5

b) 4 8 = e) 5 4 3 3 h) =8 3 9

c) =5 3 7 f) 8 7 6 8 i) =7 3 4

3. NOTACIÓ CIENTÍFICA

Expressió decimal de les potències de base 10

· Amb exponent positiu : Es representen amb un 1 seguit de tants zeros com indiqui l'exponent.

Exemple 15 100102 = 100000105 =

· Amb exponent negatiu : Es representen amb un 1 precedit de tants zeros com indiqui l'exponent, i amb una coma a la dreta del primer zero.

Exemple 16

1'010110 1 ==− 001'0

1000110 3 ==−

Multiplicació d'una potència de base 10 per un nombre decimal

· Amb exponent positiu : Desplaçam la coma cap a la dreta tants llocs com indiqui l'exponent.

38

Page 39: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 17 1’2·104 = 12000 Desplaçam 4 llocs a la dreta 0'25·103 = 250 Desplaçam 3 llocs a la dreta

· Amb exponent negatiu : Desplaçam la coma cap a l'esquerra tants llocs com indiqui l'exponent.

Exemple 18 1’2·10– 4 = 0'00012 Desplaçam 4 llocs a l'esquerra 2500·10– 3 = 2'5 Desplaçam 3 llocs a l'esquerra

38. Calcula :

a) 102 = c) 104 = e) 106 =

b) 10–3 = d) 10–5 = f) 10–6 =

39. Transforma en potències de deu:

a) 10000 = c) 1000 = e) 0'0000001 =

b) 1000000 = d) 0’0001= f) 0’01 =

La notació científica s’utilitza per expressar de forma abreujada nombres molt grans o molt petits.

Un nombre escrit en notació científica consta de dues parts :

· Un nombre decimal a amb una sola xifra entera (compresa entre l'1 i el 9).

· Una potència de 10 amb exponent enter n.

Exemple 19 15000 = 1’5·104 12000000 = 1’2·107

0'0000125 = 1'25·10– 5

0’0058= 5’8·10–3

40. Escriu amb notació ordinària :

a) 6'5 · 105 = b) 7 · 1010 = c) 3 · 108 =

d) 9'15 · 10–3 = e) 3'125 · 10–5 = f) 2'33 · 10–2 =

39

Page 40: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

41. Escriu amb notació científica aquests nombres:

a) 1200000 d) 0’0000000132 g) 4589700

b) 3230000 e) 0’000458 h) 78000000

c) 0,00000467 f) 0,0054 i) 789456892

42. Escriu amb notació científica:

a) La mida del virus de la grip : 0’000 000 002 2 metres

b) La població mundial : 6 400 000 000 de persones

Operacions amb nombres en notació científica

Multiplicació

Multipliquem les parts decimals i sumem els exponents de les potències de 10.

Divisió

Dividim les parts decimals i restem els exponents de les potències de 10.

Cal expressar el resultat de l'operació en notació científica!Exercici resolt 7

Realitza aquestes operacions i expressa’n el resultat en notació científica : (1’5·104)·(8·102 ) = (1'5·8)·(104 ·102) = 12·106 = 1'2· 107 (1'25·105):(2'5·102 ) = (1'25:2'5)·(105:102) = 0'5· 103 = 5· 102

43. Realitza aquestes operacions i expressa’n el resultat en notació científica :

a) (4’75·1012)·(8’45·105) =

b) (2’56·109):(1’27·106) =

c) (2'71·103)·(3'24·104) =

d) (5'32·105)·(1'93·10– 2) =

e) (8'21·106):(2'45·104) =

f) (7'27·103):(3'25·10– 2) =Algunes mesures físiques en notació científica

Massa de la Terra : 5’975·1027 gDistància de la Terra al Sol : 1’5·1011 mNeurones del cervell humà : 1’0·1010 neurones

40

Page 41: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Població estimada de la Terra : 6’2·109 habitantsVelocitat de la llum : 3’0·108 m/sRadi ecuatorial de la Terra : 6’3783·107 mMida del virus de la poliomielitis : 1’3·10– 8 mMassa de l’electró : 9’1·10– 34 g

Problema resolt 1

Es diu que se’n deterioren cada dia irreversiblement unes 20000 neurones del cervell humà. Al cap de 60 anys, quantes n’hi haurà fora d’ús ? Quina fracció del cervell serà aleshores inservible ? 60 anys són 60·365 = 21900 = 2'19·104 dies 20000 = 2·104 neuronesAl cap de 60 anys n'hi haurà (2'19·104)·(2·104) = 4'38·104 neurones mortes. Com que el cervell humà té 1’0·1010 neurones , la fracció inservible serà

00000438'010·38'410·1

10·38'4 610

4

== −

És a dir, menys del 0'0005% del cervell.

44. Un litre d'oxigen conté 2’69·1022 molècules. Quant pesa?

45. Quants virus de la poliomielitis cal posar en fila perquè tenguin la mateixa longitud que unglòbul vermell ?

46. Amb una renda nacional de 2’47·1019 € i una població de 3’8·107 habitants, quina és la renda per càpita ?

47. Un motor de gasolina de quatre cilindres consumeix 7’3 L de carburant en una hora, en un règim de 5400 rpm. Escriu en notació científica els litres de gasolina que entren a cada cilindre en un cicle.

48. Expressa en notació científica la massa del Sol en kg, tenint en compte que és 330000 vegades més gran que la de la Terra.

49. L’ésser viu més petit és un virus, pesa aproximadament, 10– 18 g, i el més gran és la balena blava, pesa sobre, 138000 kg. Quants de virus fan falta per aconseguir el pes de la balena?

50. Calcula a quants de km equival un any– llum, i expressa el resultat en notació científica.

51. La dosi d’una vacuna és 0’05 cm3. Si la vacuna té 100000000 bacteris per cm3, quants de bacteris hi haurà en una dosi ? Expressa– ho en notació científica.

52. En 18 g d’aigua hi ha 6’02·1023 molècules d’aquest compost. Quina és la massa en grams d’una molècula d’aigua ?

41

Page 42: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

4. AUTOAVALUACIÓ

1. Completa la taula:Base Exponent Potència Càlcul Valor Es llegeix

Tres al quadrat103

2 –2Mil elevat a zero

(–3)·(–3)·(–3)

2. Relaciona les dues columnes quan sigui possible (hi ha elements que no tenen parella)

23 · 24 1023 + 2 27

75 : 72 555 : 54 62

65 – 63 73

3. Redueix a una sola potència:a) m2 · m5 · m–8 · m = c) b6 : b8 : b–7 =b) (a5 : a4): (a–5 : a4)= d) (c–2 · c–3 ) · (c–6 · c–4 )=

4. Calcula el valor:

a) –7 + 5·(3 – 1)2 = c) –4 + 50 – 12+ 4 + 3·(4 – 7)3 =

b) ( ) 43 2(4 1) 5+ − = d) (50 · 5) : 5–2 =

5. Redueix a una sola potència:

a) =32

463

25·55·5·5 c) =−

−−

42

1063

3·33·3·3·3

b) =− 2

23

255·5·5 d) =

5·93·3·25·5

2

53

6. Redueix a una sola potència:a) 3–4 = c) (n–4)–2 =

b) (32)–3 = d) [ ] =

0532 )3(

7. Realitza aquestes operacions:

a) =8.)2( 3 c) =3)2(

8

b) =2)10.(100 d) =323 2.)2(

8. Calcula el resultat numèric: a) (–1)10 = c) 23 =b) –22 = d) 2–3 =

9. Redueix a una sola potència:

42

Page 43: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

a) 105 : 10–5 = c) (3–6)–5 =b) 24 · 27 = d) (m3)0 =

10.Escriu amb notació científica:a) 98 000 000 000 = c) 3 000 =b) 0’000 009 = d) 0’000 000 000 067 876 =

11. La massa de la Lluna és 7,34·1023 quilograms i la massa de la Terra és 5’975· 1024

quilograms. Quantes vegades més gran és la massa de la Terra que la de la Lluna ?

43

Page 44: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 4: EL LLENGUATGE ALGEBRAIC

1. LLENGUATGE ALGEBRAIC.

· Llenguatge algebraic. Variables. Expressions algebraiques.· Traducció del llenguatge natural a l'algebraic. Exercici 1.· Valor numèric d'una expressió algebraica.· Càlcul del valor numèric d'una expressió algebraica. Exercicis 2, 3.

2. MONOMIS. OPERACIONS AMB MONOMIS.

2.1. DEFINICIÓ.· Monomis. Coeficient i part literal. Grau d'un monomi. Monomis semblants2.2. OPERACIONS.· Suma i resta. Exercici 4.· Producte. Exercici 5. · Divisió. Exercici 6.

3. POLINOMIS. OPERACIONS AMB POLINOMIS

3.1. DEFINICIÓ.· Polinomis. Grau d'un polinomi. Forma reduïda.2.2. OPERACIONS.· Suma i resta. Exercicis 7– 9.· Producte. Exercicis 10, 11.· Divisió per monomi. Exercici 12. · Treure factor comú. Exercici 13.3.3. IDENTITATS NOTABLES.· Quadrat d'un binomi, suma per diferència.· Aplicacions de les identitat notables. Exercicis 14– 19.

4. FRACCIONS ALGEBRAIQUES

4.1. DEFINICIÓ.4.2. OPERACIONS.

· Simplificació. Exercicis 20– 24.· Producte i divisió. Exercici 22.· Suma i resta. Exercicis 23, 24.

5. AUTOAVALUACIÓ

44

Page 45: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. LLENGUATGE ALGEBRAIC

El llenguatge algebraic treballa amb relacions entre nombres, alguns dels quals

es representen mitjançant lletres. Les lletres s'anomenen variables, incògnites o

indeterminades. Però no hem d'oblidar que representen nombres, i per tant podem

realitzar amb elles les mateixes operacions que amb els nombres.

Una expressió algebraica és una combinació d'operacions entre nombres i

variables.

Exemple 1 :23x ,

524 23 −+− xxx ,

)2()1( 2 −⋅− xx ,

2

3

32ab

ba− , són expressions algebraiques.

En traduir l'enunciat d'un problema donat al llenguatge algebraic, obtenim

expressions algebraiques.

Exemple 2 :

Llenguatge natural : Si ara tinc 14 anys, l’edat que tindré d’ací uns quants anys.

Llenguatge algebraic: 14 + x On x representa els anys que han de passar.

Abans de començar a escriure en llenguatge algebraic, fixem–nos en les següents traduccions

Natural Algebraic

Un nombre x

El doble d’un nombre 2x

El terç d’un nombre x31

La suma de dos nombres x + y

Un nombre parell 2x

La diferència de dos nombres x – y

Dos nombres consecutius x , x+1

El quadrat d’un nombre x2

El següent d’un nombre x + 1

45

Page 46: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. Tradueix al llenguatge algebraic :

Natural AlgebraicEl doble d’un nombre més dues unitatUn nombre disminuït en cinc unitatsLa tercera part d’un nombreEl cub d’un nombre més una unitatL’anterior a un altre qualsevol La meitat de l’alçada d’una persona 20 cm menys que l’alçada d’una persona. Els tres quarts de l’alçada d’una persona.Els tres cinquens d’un nombre menys 1.La suma de tres nombres consecutiusUn múltiple de 3 més el seu dobleLa suma d’un nombre i el seu quadratEl producte d’un nombre pel nombre següentUn nombre més la meitat d’un altreEl quadrat de la suma de dos nombresLa suma del quadrat de dos nombresLa diferència dels quadrats de dos nombresEl doble del producte de dos nombresEl doble d’un nombre menys 5 unitatsUn nombre augmentat en deu unitatsLa quarta part d’un nombre més 2 unitatsLa edat de qualsevol persona fa dos anysLa edat de qualsevol persona d’aquí a quinze anysEl quadrat d’un nombre més el triple d’aquest nombreEl triple de la diferència de dos nombresLa meitat de la suma de dos nombresEl quadrat del doble d’un nombreLa suma de les edats de dues personesEl triple d’un nombre més 6 unitatsL’àrea d’un rectangle en què un costat és el triple de

l’altreEl nombre de segells que tindrem d’aquí unes quantes setmanes, si ara en tenim 400 i cada setmana n’afegim 2.

46

Page 47: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Valor numèric d'una expressió algebraica

Si a una expressió algebraica substituïm les variables per valors determinats i fem

les operacions indicades, obtindrem el valor numèric de l'expressió per als valors

donats.

Exemple 3

L’expressió 3x, per a x = 2, té un valor numèric de 3·2 = 6.

L’expressió 5( x + y2 ), per a x = 2 i y = 3, el valor numèric és 5( 2 + 32) = 5·11 =

55.

2. Calcula el valor numèric de les següents expressions algebraiques :

2x + 3 x2 –1 3 – x 2x2

x = 1x = –2x = 3x = 0

3. Contesta les següents preguntes : a) Què val l’expressió 2xy3 quan x és 2 i y és – 3 ?b) Què val l’expressió 2a quan a és 0 ?c) I l’expressió a· b quan a és –1 i b és 6 ?d) Per a x = 2 i y = –3, què val l’expressió x – y ?

2. MONOMIS. OPERACIONS AMB MONOMIS.2.1. DEFINICIÓ.

Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d'un nombre, anomenat coeficient, per una o més variables, anomenades part literal. Exemple 42x Coeficient 2, part literal x5a2 Coeficient 5, part literal a2

xy Coeficient 1, part literal xy – b Coeficient – 1, part literal b

– 6x2yz Coeficient – 6, part literal x2yz

x3 Coeficient

13 , part literal x

El grau d'un monomi és el nombre de factors que formen la seva part literal. Exemple 52x Grau 15a2 Grau 2 xy Grau 2 – b Grau 1 – 6x2yz Grau 4Els nombres són monomis de grau zero : 1 = x0 , 2 = 2x0 , etc.Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal. Exemple 62x i – x – 6x2yz i 3x2yz xy i 5xy són semblants

47

Page 48: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2.2. OPERACIONS.

Suma i resta Sols podem sumar o restar quan els monomis són semblants, és a dir, quan la part literal és igual. Aquesta no es modifica, sols sumarem o restarem els coeficients.

Exemple 7 2x2 – 5x2 = –3x2 En canvi, 3x + 6x2 no es pot sumar.

Multiplicació Sumam els exponents de les incògnites iguals i multiplicam els coeficients.

Exemple 8 2x · 3x4 = 6x5 3x · 2y = 6xy 2x3y2 · 4xy3z = 8x4y5z

Divisió Restam els exponents i dividim els coeficients.

Exemple 9 6x4 : 2x = 3x3 3x : x5 = 3x–4 8xy5z· 4xy3 = 2y2z

4. Realitza les següents operacions:a) x + x + x =b) x + 2x + 3x =c) x + y + x + y =d) 2a + 7a =e) 5x2 – x2 =

f) 3a2 – 8a2 =g) 4a3 – 5a3 + 2a3=h) 7a – 10a + 2 =i) 3x2 + 2x2 – 6x2 =

5. Realitza les següents operacions:

a) =⋅ 22 53 xx

b) =⋅ 55 46 xx

c) =⋅ 23 xx

d) =⋅ 74 64 xx

e) 5 37 5x x⋅ =

j) =⋅− 75 6)3( xx

k) =⋅ 479 x

l) =−⋅− 33 )2()11( xx

m) =−⋅− 44 )6()5( xx

n) =−⋅ 53 )12(4 xx

f) =24 ·xx g) =⋅ 42 24 xx

h) =⋅ yy 52 3

i) =⋅ 32 62 xyyx

o) =⋅ 52 4abba

p) =⋅− yxyx 223 27

q) =232 4·3 abba

r) =⋅ zxyyzx 222 32

48

Page 49: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

6. Realitza les següents operacions:f) 6x : 3 =g) 10x2 : 2 =h) x2 : x =i) 6x : 3x =j) 5x : 10x =

k) 20x3 : 4x =l) (–10x2) : (–2x2) =m)(–14x) : (–2x3) =n) (4x5) : (4x3) =

3. POLINOMIS. OPERACIONS AMB POLINOMIS

2.1. DEFINICIÓ.

Un polinomi és una expressió algebraica formada per un o més monomis enllaçats pels signes de suma o resta. Cadascun dels monomis s'anomena terme.

Exemple 103x2y + 5x – 8y2 Polinomi de 3 termes i dues indeterminades7x3 + 2x2 – 5x + 3 Polinomi de 4 termes i una indeterminada 3xy2 Polinomi de 1 terme (monomi) i dues indeterminades

Si alguns dels termes del polinomi són semblants, ens convé operar entre sí aquests termes, per tal de simplificar l'expressió. Llavors deim que el polinomi està en forma reduïda.

Exemple 117x3 – 5x2 + 4x4 – 2x2 – 3x4 + 1 Agrupant els termes semblants, obtenim el polinomix4 + 7x3 – 7x2 + 1 en forma reduïda El grau d'un polinomi és el major dels graus dels seus termes.

Exemple 123x2y + 5x – 8y2 Grau 37x3 + 2x2 – 5x + 3 Grau 3 3x – 1 Grau 1 x4 + 7x3 – 7x2 + 1 Grau 4

3.2. OPERACIONS.

Suma Sumarem per graus, de major a menor, de manera que ens quede un polinomi ordenat

Exemple 13( 2x3 + 5x2 – 4x + 1 ) + ( – 6x2 – 3x + 7 ) = 2x3 – x2 – 7x + 8 2x3 + 5x2 – 4x + 1 – 6x 2 – 3x + 7 2x3 – x2 – 7x + 8 Resta Igual que a la suma, però per evitar complicacions:Primer, canviarem el signe de tots els termes del segon polinomi. I després sumarem.

49

Page 50: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 14( x3 – 2x + 6 ) – ( 5x2 – 2x + 4 ) = (x3 – 2x + 6 ) + ( –5x2 + 2x – 4 ) = x3 – 5x2 + 2 x3 – 2x + 6 –5x 2 + 2x – 4 x3 – 5x2 + 2 Multiplicació Multiplicam cada terme d'un dels factors per tots els termes de l'altre factor, i després sumam els termes semblants.

Exemple 15(3x2 – 4x)·( x2 – 4x + 5) = – 4x3 + 16x2 – 20x + 3x4 – 12x3 + 15x2 =3x4 – 16x3 + 31x2 – 20x

També podem multiplicar així : x2 – 4x + 5 3x 2 – 4x – 4x3 + 16x2 – 20x 3x 4 – 12x 3 + 15x 2 3x4 – 16x3 + 31x2 – 20x

Divisió de polinomi per monomi Dividim cada terme del primer polinomi pel monomi.

Exemple 16( 6x4 – 2x3 + 4x2 ) : 2x2 = 3x2 – x + 2

7. Realitza les següents operacions :a) 2 2(3 11 4) ( 3 2)x x x x+ + + − − =b) 4 4 2(3 7 1) (4 3 2 3)x x x x x+ − + − + − =c) 5 4 3 2 5 4 3 2(4 3 5 2 3) ( 7 2 3 4)x x x x x x x x x x+ − + + − − − + − + − =d) ( 2x3 – 3x2 + 5x – 1) – ( x3 + 2x – 3) =

8. Donats els polinomis P(x) = 3x3–2x+3 , Q(x) = 2x2+3x–2 , R(x) = 2x+2 ,calcula :

- P(x) – Q(x) – R(x) - Q(x) + R(x) - P(x) + Q(x)- R(x) – Q(x)

9. Calcula :a) =+−++−+−−+ )437()1243()543( 2622362 xxxxxxxxb) =−++++−−+−+−− )543()2423()434()634( 63536226 xxxxxxxxxxxc) =+−−−+−++−−+ )853()763()422()247( 2353 xxxxxxxxxd) =−−+−−++− )36729()4257( 54334 xxxxxx

50

Page 51: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

10. Fes les operacions següents :a) =−⋅− )52()43( 2 xxb) =−⋅− )65()93( 9 xxc) =−⋅− )45()84( 22 xxxd) =−⋅−− )32()32( xxe) =−⋅+ )32()22( xxf) =+⋅− )47()47( 22 xx

g) =−⋅− )64()64( xxh) =+⋅− )1()1( xxi) =−⋅+⋅− )3()23()47( 222 xxxj) =−⋅−⋅+ )2()37()45( 22 xxxx

k) =

+⋅

−+ 1

32

31

2

2 xxx

11. Fes els següents productes :16. =+⋅+ )2()1( xx17. ( ) ( ) =+⋅− 32 xx18. ( ) =+⋅ 32xx19. ( ) =+⋅ 53 2 xx20. =+⋅ )(4 yxxy21. ( ) =+⋅+ 532 xx

22. ( ) =++⋅ 2322 xxx23. ( ) =−+⋅ 433 2 xxx24. ( ) ( ) =+⋅+ 32xyx25. ( ) ( ) =+⋅−+ 3232 xxx26. ( ) ( ) =+⋅− yxxy 23227. ( ) =+⋅− 23)2( xxx

12. Fes les següents divisions:

a) ( ) =−+ xxxx :43 234

b) ( ) =−+ 2234 3:6315 xxxxc) ( ) =−+ xxxx 2:1048 235

d) ( ) =+− 2245 3:6912 xxxx

Treure factor comú

Ve a ser l'operació contrària a fer una multiplicació de polinomi per monomi. És una aplicació de la propietat distributiva : a(b + c) = ab + ac

Exemple 17 3x·(2x + 3) = 3x·2x + 3x·3 = 6x2 + 9x Normalment, aplicam aquesta propietat d'esquerra a dreta, però també es pot fer a la inversa (les igualtats són camins de doble sentit).

Regla pràctica : 1) Treure el màxim comú divisor dels coeficients (dividint). 2) Treure les variables que siguin comunes, fins el menor grau (restant).

Exemple 1812x5 – 18x3 + 6x2 = 6x2 · ( 2x3 – 3x + 1 )

13. Treu factor comú:1. =+ xxy 32

2. =++ aaab 323 2

3. =−+ 22 32 xyxyyx

4. =−+ xzyxyxyz 2223

5. =−+ xyzxyzzxy 423 22

6. =− abba 24 2

7. =− 4523 39 baba

8. =+− zyxzyxzyx 5223253 4168

51

Page 52: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

9. =+ zxzx 223 412

10. =+− 344224 20515 yxyxyx

11. =−− 363235436 402030 baxbaxbax

12. =− 927 2x

13. =++ 643 101216 xxx

14. =+ mnnm 153 34

15. =+ yxyx 223 1428

16. =+ yxyx 223 124

17. =− 33x

18. =− xx 25 2

19. =− 22147 baab

3.3. IDENTITATS NOTABLES

Quadrat d'una suma 222 ··2)( bbaaba ++=+

Quadrat d'una resta 222 ··2)( bbaaba +−=−

Suma per diferència 22))(( bababa −=−+

Demostració 22222 ··2··))·(()( bbaababbaabababa ++=+++=++=+ 22222 ··2··))·(()( bbaababbaabababa +−=+−−=−−=−

2222 ··))(( bababbaababa −=++−=−+ En aquestes tres identitats, a i b poden ser expressions algebraiques qualssevol.

Exemple 19 912433)·2·(2)2()32( 2222 ++=++=+ xxxxx

Exemple 20 234222222 42025)2()2)·(5·(2)5()25( xxxxxxxxx +−=+−=−

Exemple 21 2822444 94)3()2()32)(32( yxyxyxyx −=−=−+

14. Desenvolupa els quadrats següents:a) =+ 2)1(x g) =+ 2)2( yx m) =− 2)32( xb) =− 2)1(x h) =+ 2)3( yx n) ( x + 3 )2 =c) =− 2)1( x i) =− 2)32( yx o) =− 223 )2( yxd) =+ 2)2( x j) =+ 22 )( yx p) =− 2)2(xe) =+ 2)32( x k) =− 2)( xx q) =+ 2)1( x

f) =

+

2

23x l) =

2

31x r) =

+

2

21x

52

Page 53: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

15. Desenvolupa els productes :

a) =−+ )1)(1( xx e) =−+ )32)(32( xx i) =−+ ))(( 22 xxxx

b) =−+ )3)(3( xx f) =−+ ))(( yxyx j) =−+ ))(( xxxx

c) =−+ )1)(1( xx g) =

+ 3

23

2xx

k) =−+ )5)(5( 33 xx

d) =−+ )2)(2( xx h) =−+ )1)(1( 22 xx l) =−+ )223)(223( xx

16. Desenvolupa els productes :a) =−+ )7)(7( xxb) ( 2x2 – y )2 =

b) =−+ )12)(12( xxd) =−+ )32)(32( xxyxxy

e) ( 3xy + 2x )2 =f) ( 4x – 3 )2 =

17. Expressa en forma de producte :

a) =+−412 xx g) =++ 1

4

2

xx

b) =++ 442 xx h) =++ 122 xxc) =++ 144 2 xx i) =− 12xd) =++ 9124 2 xx j) =− 42xe) =+− 122 xx k) =− 94 2xf) =+− 442 xx l) =− 32x

19. Expressa en forma de producte : a) ( ) =++ 92416 24 xx b) ( ) =+− 9124 2 xx c) ( ) =++ 234 4129 xxx d) ( ) =− 916 4x e) ( ) =++ 2222 93025 xyxyx f) ( ) =+ 24 925 xx g) ( ) =− 22 94 yx

4. FRACCIONS ALGEBRAIQUES

4.1. DEFINICIÓ.

Una fracció algebraica és el quocient de dos polinomis.

Exemple 22

4

32

96

xyzyx

,

3613

2 −++xx

x ,

11+x

són fraccions algebraiques.

53

Page 54: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

4.2. OPERACIONS.

Simplificació Dividim numerador i denominador per tots aquells factors que siguin comuns.

Exemple 23

223

3

5

3

2·2·2·2

42

xy

xxyx

xyx == Els factors comuns 2 i x3 es cancel·len.

Tan sols podem simplificar coses que estan multiplicant! Per tant, a vegades, abans, hem de treure factor comú o emprar les identitats notables.Exemple 24

xyx

yxxxyxyxx

yxxyxx

2)(

)·(·3·2))·(·(3

)(6)(3

2

22 −=+

−+=+

− Els factors comuns 3x i (x + y) es

cancel·len.

Reducció a comú denominador El procediment és el mateix que seguim amb les fraccions numèriques, començant per el càlcul del mínim comú múltiple dels denominadors.

Exemple 25

yxx5,2,1

2 El mínim comú múltiple és x2y

yxx

yxy

yxxy

2

2

22

5,2, Dividim per cada denominador i multiplicam pel

numerador.

Suma i resta Recorda: per poder sumar o restar fraccions, abans hem de igualar els denominadors, i després tan sols sumem els numeradors.

Exemple 26

32

32

32

3

32

2

3223 41012

4)2·(5

4)·(1

4)4·(3

25

413

yxyxyx

yxy

yxxy

yxx

xxyxy−+=−+=−+

Multiplicació Multiplicam numerador per numerador i denominador per denominador.

Exemple 27

ba

abba

abba

ab

ba

65

1210

4·35·2

45·

32

2

2

2

2

2

2

===

Divisió Multiplicam la primera fracció per la inversa de la segona.

Exemple 28

3

2

3

32

222 54

1512

56·

32

65:

32

yx

xyx

xyx

yx

xxy

yx ===

54

Page 55: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

20. Simplifica les expressions següents:

a) 3

43

42

xyzyx

= c) 32

322yzx

zxy=

b) 2

3

46

xyxy

= d) 532

243

1620

zyxzyx

=

21. Simplifica :

a) 252xx

= b) 4422

++

xx

=

c) 51036

++

xx

= d) 3366

−+

xx

=

e) xxxx

−−

2

23

= f) 2

2

26 yxyxy

−=

g) aaaa

153102

2

2

++ = h) 23

23

3366aba

baa−− =

i) =+ xxx

22

2

j) =+ 32

3

xxx

k) =+3

2 5x

xx l) =− xxx

151052

2

m) =−

−42

2aa

n) =−

+11

2xx

o) =−

+xx

x962

3 p) =++

+12

12 xx

x

22. Opera i simplifica :

a) 4

:2

3 2xx = b) 4

3

3

2 2:54

yx

yx

=

c) 32

:3 aba = d) 2

3 4612 xyxyxy ⋅⋅ =

23. Opera i simplifica :

a) =−yx11

b) =+ 2

11aa

c) =−yx

x2

d) =− 2

23xx

55

Page 56: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

e) =−−+

xxx 1

11

f) =−+−

xxx 1

11

g) =+

−− 2

12

1xx

h) =−

−+ 1

21

3xx

i) =−

−+ 2

42

5xx

j) =+−+

−+

11

11

xx

xx

24. Opera i simplifica :

a) 225

413

xxx−+

b) 22

123yxyx

+−

c) =−+

− 2

11

11xxx

d) xyyxxy 83

21

41

22 +−

e) xxx 23 2

f) x

xx 2

135

2

+−

g) 2

15xxy

yx +−

h) x

xx 3

121 −−

i) 323 61

22

xyyxx +

5. AUTOAVALUACIÓ1. Opera els següents monomis:

a) 3x3·2x =b) 6x2+ 4x =c) 8x2 : 2x =d) 4x2y3 · 3x4v =

e) 2x – 6x =f) 3x2 + 4x2 =g) 4x6y3 : 2x2y3 =h) 2x3 + 6x2 =

2. Opera els següents polinomis:

a) ( ) =−+++− 43)223( 22 xxxxb) ( ) =−−−+−− 532)223( 223 xxxxc) ( ) =−+⋅+− 43)12( 2 xxx

3. Empra les identitats notables;a) =+ 22 )23( xb) ( ) =− 22 3xxc) ( ) =−⋅+ xxxx 23)23( 22

2. A la inversa, =+− 22 366025 yxyx

4. Treu factor comú tot el que sigui possible:a) =+− )263( 234 xxxb) =− )63( 5334 yxyx

5. Fes la següent suma, simplifica al final si és possible:

a) =

+−

yyx

xyyx

xx 2234 26

24

b) =−−xyyx111

22

56

Page 57: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 5: EQUACIONS

1. DEFINICIONS.

· Equacions. Membres i incògnites.

· Solucions d'una equació. Equacions incompatibles i compatibles, determinades i

indeterminades.

· Comprovació de les solucions. Exercici 1.

2. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

2.1 DEFINICIÓ I REGLES DE RESOLUCIÓ.

· Equacions de primer grau. Forma reduïda.

· Equacions equivalents.

· Transformacions que conserven l'equivalència : regles de la suma i del producte.

2.2 RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DE PRIMER GRAU.

· Immediates. Exercicis 2-4.

· Amb parèntesis. Exercicis 5, 6.

· Amb denominadors. Exercicis 7-10.

2.3 PROBLEMES.

·Traducció de situacions del llenguatge verbal a l’algebraic. Exercicis 11-54.

· Resolució de problemes mitjançant equacions de primer grau. Exercicis 11-54.

3. EQUACIONS DE SEGON GRAU.

3.1 DEFINICIÓ.

· Equacions de segon grau. Forma reduïda.

3.2 RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DE SEGON GRAU.

· Incompletes. Exercicis 55-57.· Completes. Exercici 58.· En forma no reduïda. Exercici 59.

· Determinació del nombre de solucions segons el discriminant. Exercici 60.

3.3 PROBLEMES.

·Traducció de situacions del llenguatge verbal a l’algebraic. Exercicis 61-64.

· Resolució de problemes mitjançant equacions de segon grau. Exercicis 61-64.

4. AUTOAVALUACIÓ

57

Page 58: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. DEFINICIONS.

Una equació és una expressió algebraica que consta de dos membres, separats pel signe “=”, i en la qual apareix alguna incògnita, o quantitat desconeguda, que hem de determinar.Exemples : 1) x – 5 = 8

2) 7

25

1 +=+ xx

3) 022 =−− xx 4) 012 =+x 5) 2x +10 = 2·(x + 5) 6) 31 −+= xx 7) 322 12

=+x

L'expressió a l'esquerra del signe “=” s'anomena primer membre, i la de la dreta, segon membre.Resoldre una equació és trobar el valor o valors de la incògnita que fan que la igualtat sigui certa. Aquest valor s'anomena solució.

Exemple 1 : En les sis equacions anteriors, les solucions són : 1) x = 13 2) x = 3/2 3) x = -1 i x = 2 (dues solucions) 4) No té solució. 5) Qualsevol valor és solució. 6) x = 4 7) x = 2 i x = -2 (dues solucions)Una equació amb alguna solució s’anomena compatible i en cas contrari, incompatible. I si té infinites solucions es diu compatible indeterminada.Comprovar una solució consisteix en sustituir la incògnita pel valor de la solució i realitzar les operacions indicades. Si resulta el mateix valor numèric en els dos membres, la solució és correcta.

Exemple 2 : Comprovem la solució x = 3/2 a la segona equació.

2727

7

223

2525

5

123

==+

==+

1. Comprova les solucions en els exemples 1 i 3. Raona per què la quarta equació és incompatible, i la cinquena és indeteminada.

58

Page 59: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2. EQUACIONS DE PRIMER GRAU.

2.1. DEFINICIÓ I REGLES DE RESOLUCIÓ.Una equació de primer grau és una expressió que es pot reduir a la forma : ax + b = 0 , on a ≠ 0

Exemple 3 : 3x - 5 = 0 a = 3 , b = -5 4x + 3x = 5 No reduïda 85 + 6y = 3 + 47y No reduïda 7( 2) 9( 6) 116x x+ + + = No reduïda

21

252 =+ x

No reduïda

Equacions equivalents

Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució.

Exemple 4 : Les equacions 5x + 200 = 2x + 80 , 3x = 120 i x = 40són equivalents. Resoldre una equació consisteix en transformar-la pas a pas en una sèrie d'equacions equivalents, fins que arribar a aïllar la incògnita.

Transformacions que mantenen l'equivalència d'equacions

Transformació Regla práctica

Sumar o restar la mateixa expressió en els dos membres de la igualtat.

El que està sumant en un membre passa restant a l'altre membre. I viceversa.

Multiplicar o dividir pel mateix nombre (llevat del zero) els dos membres de la igualtat.

El que està multiplicant tot un membre passa dividint tot l'altre. I viceversa.

2.2 RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DE PRIMER GRAU.

IMMEDIATES Regla pràctica :

Tenim l’equació 5234 +=− xx1r) Termes amb incògnita en un membre i els termes sense incògnita (termes independents) en l’altre. 4x – 2x = 5 + 32n) Realitzem en cada membre les operacions indicades. 2x = 8

3r) Aïllem la incògnita: x=82=4

59

Page 60: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 1 Resoldre l'equació 5x – 4 = 17 – 2x 5x + 2x – 4 = 17 Sumam 2x als dos membres (és com si -2x passàs al membre esquerre sumant).7x – 4 = 17 7x = 17 + 4 Sumam 4 als dos membres (és com si -4 7x = 21 passàs al membre dret sumant).

x = 721

Dividim per 7 els dos membres (és com si

x = 3 7 passàs al membre dret dividint). Comprovació5·3 – 4 = 15 – 4 = 1117 – 2·3 = 17 – 6 = 11

2. Resol les equacions :1) 2x –4 = 6 2) x – 9 = – 5 3) t – 5 = 74) 4x – 8 = 2 5) 1 = 4x + 5 6) 3x + 5 = 117) 9 + 3x = 6 8) 5 + x = 3 9) 2y – 7 = 1

3.Resol les equacions :a) 2 4 8x + = g) 6 3 5x − = − +b) 4 6 12x − = h) 2 10x =c) 6 3 3x+ = i) 3 1 11x − =d) 10 5 15x+ = j) 3 17 16 3x − + = +e) 6 4 2 2x+ = + k) 3 1 7 1x x+ = −f) 3 4 11 2a− + = − l) 7 2 3 8x x− = −

4. Troba el valor de x en cada cas i verifica la solució :a) 9 3 5 1x x+ = −b) 3x + 6 = 9 + 3xc) 7 8 2 3x x− = −d) 5 9 12x x+ = +

e) 5x + 4 = 4x + 4 + xf) 3 2 7 3x x− = +g) 6 5 9 3x x+ = −

h) 2 6 3x x+ = −

AMB PARÈNTESIS

Per resoldre equacions amb parèntesis s’aplica la propietat distributiva : a·(b + c) = a·b + a·c a·(b - c) = a·b + a·c (multiplicam cada nombre per separat i sumam o restam)Exemple: Resol l’equació 10)3(5 =−x1r pas) Eliminen els parèntesis aplicant la propietat distributiva.

10155 =−x2n pas) Resulta una equació immediata equivalent a la primera, que resoldrem de la manera habitual.5x = 15 + 10 = 25

60

Page 61: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 2

Resol l'equació 3(5 – x) + 2(1 – x) = 8 – (3 – x)

15 – 3x + 2 – 2x = 8 – 3 + x -3x – 2x – x = 8 – 3 – 15 – 2 -6x = -12x = 2

5. Resol les següents equacions:

a) 1 (4 ) 3 1x x− − = + g) 6 3 5x − = − +b) 5 3 2(2 6)x x+ = + h) 2(3 3) 3(5 )x x− = +c) 8 7 9 2 4x x− = + − i) 8(3 2) 4(4 3) 6(4 )x x x− − − = −d) 10 5 15x+ = j) 4 2( 8) 2 3(4 )x x x x− + = + −e) 7( 5) 2(4 ) 4 13x x x− − − = − k) 3 ( 2) 7 2( 4) 3 (2 5 )x x x x x− + + = + − − −f) 2(3 5) 7 4 5( 2) 4x x x+ − + = + + l) 2( 3) 3( 4) 1x x− − − =

6. Resol les següents equacions:a) 5 4 3(5 2 )x x+ = − g) 2 ( 1) 3 2 4 3( 1)x x x x− + + − = − +b) 3 20 15 6 8x x− + = − − h) 3 4( 5) 2 5 3( 1)x x x− − + = + +c) 8 5 3(2 4)x x− = − + i) 3 4 9 5 6x x− + = −d) 2(3 4) 5 2(2 4 ) 7x x− + = + − j) 4 ( 6 ) 3 5 2 (4 3)x x x x− − − − = − − +

AMB DENOMINADORS

Per eliminar els denominadors, es multipliquen els dos membres de l’equació per un múltiple d'aquells.Exemple: 2 53 6x x− = Multipliquem tota l’equació per 6. Les dues bandes!

4x – x = 303x = 30 Continuem com sempre.

x=303=10

Exercici resolt 3

Resol l'equació 2 1 5 4 3 4 2

3 6 2 4x x x x− − − +− = −

4(2x – 1) – 2(5x – 4) = 6(3x – 4) – 3(x + 2) Multiplicam per 128x – 4 – 10x + 8 = 18x – 24 – 3x – 6 8x – 10x -18x + 3x = -24 – 6 + 4 – 8 -17x = -34

21734 =

−−=x

61

Page 62: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

7. Resol les següents equacions:

a) 5 23x = −

b) 2 44x =

c) 2 5 15

3x − =

d) 6 2 3

4x+ =

e) 2 5 15

3x − =

f) 3 6 5

3x + =

8. Resol les següents equacions:

a) 2 14 3 5x x x− + = − c)

4 558 12x x− =

b) 2 10

3 9x x+ = d)

4 553 6x x+ =

9. Resol les següents equacions:

a) 15 04 3 2x x x− + − = d)

2 3 466 3 2x x x− +− = −

b) 3 2 4 5 7 5

5 3 2x x x− − −− = e)

621

23)1(2 xxx −−−=−

c) 3 4 3 55 0

2 6x xx + −− + = f) 1

4)6(3

82 −=++−− xxx

10. Resol les següents equacions:

a) 2 3 4 5

2 3 4 5x x x x+ + + −− = − e)

4 5 4 1 9 62 7 4

x x x+ − +− =

b) 2 1 4 45 2 10x x− + = f)

4 6 3 96 18

x x− +=

c) 2 2 4 8 24

3 4 5x x x− + −+ − = g)

3 1 5 22( 1) 3 4 3 6

x xx x− −− − − = + −

d) 3 5 1 2 1

4 3 6x x x− − −+ = h)

2( 3) 3( 1) 41 ( 2)5 10 2

x x x x− − −− = + − −

2.3 PROBLEMES D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Per resoldre problemes mitjançant equacions de primer grau, convé procedir de forma organitzada, per la qual cosa és útil seguir aquests passos:

a) Identificam les dades conegudes, allò que desitgem conèixer, i donam nom a la incògnita.

b) Relacionam mitjançant una igualtat (equació) allò conegut (dades) amb allò desconegut (incògnita).

c) Resolem l’equació.d) Interpretam i comprovam la solució a l’enunciat.

62

Page 63: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Problema resolt 1

La diferència entre un nombre i el seu triple és 40. Troba aquest nombre.

Anomenam x al nombre que ens demanen.El seu triple serà 3x. Per tant, 3x – x = 40Resolem, 2x = 40

x = 402=20

El nombre que cerquem és el 20.Comprovació : El triple de 20 és 60, i 60 – 20 = 40.

11. Troba un nombre tal que en restar–li 47 doni com a resultat 29.

12. Troba un nombre que sumat a 15 doni 70.

13. La diferència entre un nombre i el seu doble és –4. Quin és aquest nombre?

14. Un nombre augmentat en la tercera part dóna 72. Quin és aquest nombre?

Problema resolt 2

La suma de dos nombres consecutius és 97. Quins són aquests nombres ?

Si x és el primer nombre, el següent serà x + 1. L'equació resultant : x + x + 1 = 97Resolem, x = 48. Els nombres són 48 i 49.La comprovació és immediata.

15.La suma de dos nombres consecutius és 155. Quins nombres són?

16. Sum tres nombres enters consecutius i obtinc 318. Quins són aquests tres nombres?

17. Troba 3 nombres consecutius sabent que el triple del menor menys el doble del major dóna 6.

18. Troba 3 nombres parells consecutius que sumats donin 120.

19. Troba 3 nombres imparells consecutius que sumats donin 105.

20. Amb 7 bitllets iguals tenim 350 euros. Quin és el valor del bitllet?

Problema resolt 3

He comprat dues revistes que m'han costat 6 €. Què val cada revista, si la segona val el triple que la primera ?

Anomenem x al preu de la primera revista. Com que entre les dues costen 6 €, la segona valdrà 6 – x.A més, la segona val el triple que la primera, per tant val 3x. És a dir, 3x = 6 – x

63

Page 64: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Resolem l'equació, i obtenim x = 1'5.Per tant, la primera revista val 1'5 €, i la segona, 4'5 €.Efectivament, 4'5 és el triple de 1'5, i el preu de les dues revistes és 4'5 + 1'5 = 6 € .

21. Entre dos amics tenen 87 cromos. Si l’un en té el doble que l’altre, quants cromos te cada un?

22. A 1r d’ESO hi ha 13 noies més que nois. Si en total hi ha 83 alumnes, quantes noies hi ha?

23. En una festa a què assisteixen 42 persones, hi ha tres homes més que dones i també tants nens com homes i dones junts. Determina el nombre d’homes , dones i nens.

24. Em faltem 4,10 € per comprar la meva pizza preferida. Si tingués el triple dels diners que tinc, em podria comprar 2 pizzes. Quant val la pizza i quants diners tinc?

25. El jornal d'un repartidor de pizzes és de 6 € fixos més 0'40 € per pizza repartida. Quantes pizzes va repartir un dia, si va guanyar 16'8 € ?

Problema resolt 4

L'edat d'una mare és el triple de la de la seva filla, i d'aquí a 16 anys només serà el doble. Quants d'anys tenen la mare i la filla ?

Anomenam x l'edat de la filla. Llavors : 3x : edat de la mare x + 16 : edat de la filla d'aquí a 16 anys. 3x + 16 : edat de la mare d'aquí a 16 anys.Plantejam l'equació : 3x + 16 = 2(x + 16)Resolem :3x + 16 = 2x + 32x = 16La filla té 16 anys, i la mare 3· 16 = 48. Comprovam :D'aquí a16 anys, la filla tendrà 16 + 16 = 32 anys, I la mare 48 + 16 = 64 anys, que és el doble de l'edat de la filla.

26. El triple de l’edat que tenia en Jordi fa 4 anys és el doble de la que tindrà d’aquí a 8 anys. Quina és l’edat actual d’en Jordi?

27. L’edat de la Cristina és el triple de la d’en Jordi, i d’aquí a 20 anys serà el doble. Calcula les edats actuals de les dues persones.

28. Una mare té 49 anys i la seva filla, 26. Quants anys fa que l’edat de la mare era el doble que la de la filla?

64

Page 65: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Problema resolt 5

Tres germans decideixen fer un regal a sa mare. El més gran paga la meitat, el segon la tercera part, i el més petit els 2 € que falten. Quin és el preu del regal ?

Vàrem trobar aquests tipus de problemes a la Unitat 2, on utilitzàvem representacions gràfiques, raonaments i operacions amb fraccions per arribar a la solució. Ara veurem com es poden resoldre de manera més directa gràcies a l'àlgebra.

x : Preu del regal

2x

: Meitat del preu, que paga el primer

3x

: Tercera part del preu, que paga el segon

Entre tots tres paguen 232

++ xx , i aquesta quantitat és el preu del regal, que és

x. Per tant,

xxx =++ 232

Resolem :3x + 2x + 12 = 6x 12 = 6x – 3x - 2xx = 12Comprovam :El primer germà paga 12/2 = 6 €, el segon, 12/3 = 4€, I el tercer, 2 €.6 + 4 + 2 = 12

29. En un viatge, el conductor para a la gasolinera quan ja ha fet els 2/5 del camí. Després de recórrer 1/3 més, s'atura una altra vegada per prendre un cafè i pensa que encara li queden 64 km. Quants km té el recorregut complet ?

30. D'un depòsit ple d'aigua treim la meitat del contingut; després la tercera part de la resta, i encara n'hi ha 240 litres. Determina la capacitat del depòsit.

31. Troba un nombre el doble del qual més el seu triple menys la seva meitat menys la seva tercera part sigui 1875.

32. A un hotel hi ha tres empleats : en Lamine guanya els 2/3 del que guanya na Maria, i en Josep la meitat del que guanya en Lamine. Si el propietari paga mensualment 3000 € en sous, quant guanya cada un ?

33. Hem comprat un article amb un descompte del 15% i n'hem pagat 10'2 €. Quant valia sense descompte ?

34. Una oposició consta de dos exàmens : un d'escrit, que és el 65% de la nota, i un altre d'oral, que és el 35%. Si un opositor té en l'escrit un 4, quina nota ha de treure en l'oral per obtenir un 5 de qualificació final ?

65

Page 66: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Problema resolt 6

En augmentar en 5 cm el costat d'un quadrat, la seva superfície augmenta en 75 cm2. Calcula el costat del quadrat.

En tot problema geomètric, convé fer una representació gràfica:

Anomenam l el costat del quadrat. El costat augmentat en 5 cm farà l + 5 cm.Superfície del quadrat petit : A = l2

Superfície del quadrat gran : (l + 5)2

Per altra banda, segons l'enunciat, la superfície del quadrat gran és A + 75, és a dir, l2 + 75. Per tant : (l + 5)2 = l2 + 75Resolem desenvolupant el binomi :l2 + 10l + 25 = l2 + 75l2 - l2 + 10l = 75 – 2510l = 50l = 5Comprovam : Superfície del quadrat inicial : 52 = 25 cm2

Longitud del costat augmentat : 5 + 5 = 10 cm Superfície del quadrat augmentat : 102 = 100 cm2

25 + 75 = 100

35. El perímetre d’un quadrat fa 44 m. Quant fa de costat?

36. El perímetre d'un solar de forma rectangular és de 84 m. Sabent que és el doble de llarg que d'ample, troba'n les dimensions.

37. El perímetre d'un triangle isòsceles és de 18 cm. Cadascun dels costats iguals és 3 cm més gran que el desigual. Troba els costats del triangle.

38. Calcula les dimensions d'un rectangle el perímetre del qual és 80 cm I l'altura els dos terços de la seva base.

39. Un dels angles aguts d'un triangle rectangle fa un terç del que fa l'altre. Quant fan els angles d'aquest triangle ?

40. Un hort té forma rectangular de costats 80 m i 150 m. Volem ampliar-lo afegint-hi la mateixa longitud a cada costat, de manera que el nou perímetre mesuri 660 m. Quines han de ser les noves dimensions del terreny ?

41. La base d'un rectangle és 3 cm més gran que l'altura. Si n'augmentam en 2 cm la base i l'altura, la seva àrea augmenta en 26 cm2. Quines són les dimensions del rectangle original ?

66

Page 67: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

42. Un tronc es deixa recolzat verticalment en una paret. Si la base se separa 9 dm del sòl, l'extrem superior baixa 3 dm. Calcula la longitud del tronc.

43. Un bambú té una altura de 10 peus. Es trenca i l'extrem trencat toca a terra a 3 peus del tronc. Quina altura té la part del bambú que resta dreta ?

44. El nenúfar sobresurt 10 cm de la superfície de l'aigua. Si l'inclinem, desapareix a 10 cm del punt on emergia. Calcula quina és la profunditat de l'aigua.

Problema resolt 7 Si mesclam 12 kg de cafè de 12'40 €/kg amb 8 kg de cafè de 7'40 €/kg, quin serà el preu de la mescla ?

Disposam les dades en forma de taula :kg €/kg Preu total

Cafè A 12 12'4 148'8Cafè B 8 7'4 59'2Mescla 20 x 208

El preu total s'obté multiplicant els quilos pel preu per quilo. Per tant : 20x = 208 x = 10'4La comprovació vé donada per la pròpia taula.

Problema resolt 8

Dues ciutats A i B estan a 300 km. De la ciutat A surt cap a la ciutat B un cotxe a la velocitat de 110 km/h. Simultàniament, surt de B cap a A un camió a 90 km/h. Calcula el temps que estaran a trobar-se i la distància que recorre cada un.

La velocitat a què s'aproximen els vehicles és la suma de les dues velocitats : 110 + 90 = 200 km/h

67

Page 68: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

L'espai recorregut entre els dos cotxes és de 300 km. El problema equival al de calcular el temps que estarà a recòrrer 300 km un cotxe que es desplaça a 200 km/h. L'espai recorregut és el producte de la velocitat per el temps : 300 = 200t t = 1'5Finalment, en 1'5 h el primer vehicle haurà recorregut 1'5·110 = 165 km,y el segon 1'5·90 = 135 kmEl càlcul de la distància recorreguda per cada cotxe forma part de la comprovació: 165 + 135 = 300 km, que és la distància que separa els mòbils.

Problema resolt 9

Un ciclista que va a 18 km/h pretén agafar un altre ciclista que va a 10 km/h, i li du un avantatge de 20 km. Quant de temps estarà a fer-ho i quina distància recorrerà fins a aconseguir-lo ?

Com que els ciclistes van en el mateix sentit, la velocitat a què s'aproximen és la diferència de les dues velocitats : 18 – 10 = 8 km/hEl problema equival al de calcular el temps que estarà a recòrrer 20 km un mòbil que es desplaça a 8 km/h. Com en el cas anterior : 20 = 8t t = 2'5En 2'5 h, el primer ciclista haurà recorregut 2'5·18 = 45 km,i el segon 2'5·10 = 25 km.Com que la distància que els separava era de 20 km : 20 + 25 = 45 km-

Problema resolt 10

Un granger va al mercat per vendre una partida de botelles de llet a 0'50 € la botella. En el camí se li trenquen 60 botelles. Per obtenir el mateix benefici, augmenta en 0'05 € el preu de cada botella. Amb quantes botelles va sortir de la granja ? Quants de diners pretén guanyar ?

El cost de les botelles que es trenquen és igual a l'augment de cost de les botelles intactes. A partir d'aquesta idea, raonam així : x : número de botelles 0'5·60 = 30 € : cost de les botelles trencades x – 60 : número de botelles intactes 0'05(x-60) : augment de cost de les botelles intactesPer tant, 0'05(x – 60) = 30 0'05x = 33 x = 660Va sortir de la granja amb 660 botelles, i pretenia guanyar 650·0'5 = 330 €Quantitat que coincideix amb el que guanyarà amb les 600 botelles intactes al preu de 0'55 € per botella : 600·0'55 = 330 €

68

Page 69: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

46. Si mesclam un lingot de 3500 g amb un 80% d'or amb un altre lingot de 1500 g amb un 95% d'or, quina proporció d'or hi haurà en el lingot resultant ?

47. Mesclam 30 kg de cafè de 4 €/kg amb una quantitat de cafè superior de 5 €/kg, i en resulta una mescla a 4'40 €/kg. Quina quantitat de cafè superior hem utilitzat ?

48. Tenim dos refrescos : l'un amb un 50% de suc de taronja i l'altre amb un 90%. Quina quantitat de cada refresc es necessita per preparar 60 l de mescla amb un 80% de suc ?

49. Dos brolladors aboquen les aigües en un depòsit de 345 litres de capacitat. Si el cabal del primer és de 50 l/min, i el del segon, 40 l/min, quant de temps tardaran a omplir el depòsit ?

50. Un ciclista surt per una carretera a 15 km/h. Mitja hora després en surt un altre a perseguir-lo a una velocitat de 20 km/h. Quant de temps estarà a agafar-lo ?

51. Un ciclista que va 18 Km/h tarda 45 minuts a agafar–ne un altre, que li porta un avantatge de 6 Km. Quina velocitat porta el que anava davant?

52. Una penya esportiva va contractar un autobús per seguir el seu equip. Si l'autobús s'hagués omplit, cada un hauria pagat 850 pts; però quedaren 3 places buides, i el viatge costà 900 pts. Quantes places tenia l'autobús ?

53. Un grup d'estudiants lloga un pis per 700 € al mes. Si fossin dos més, cada un pagaria 40 € menys. Quants són ara ?

54. Uns quants amics es reparteixen un premi i surten a 15 € cada un. Si haguéssim estat quatre amics més, haurien sortit a 3 € menys. Quants eren per a repartir?

3. EQUACIONS DE SEGON GRAU

3.1. DEFINICIÓ.

Una equació de segon grau és una expressió que es pot reduir a la forma :ax2 + bx + c = 0 on a, b i c són nombres (sempre a és distint de zero)Els termes a, b i c s’anomenen coeficients.

Exemples : 0962 =+− xx Reduïda. a = 1, b = -6, c = 9 092 =+− xx Reduïda. a = -1, b = 9, c = 0 0252 =−x Reduïda. a = 1, b = 0, c = -25 232 =− xx No reduïda. 8)1)(1( =+− xx No reduïda.

69

Page 70: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

3.2. RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DE SEGON GRAU.

EQUACIONS INCOMPLETES

Les equacions de segon grau on els coeficients b o c són zero, es diuen incompletes. Poden ser de dos tipus :(1) ax2 + c = 0 , amb b = 0(2) ax2 + bx = 0 , amb c = 0

(1) Equacions sense terme de primer grau : ax2 + c = 0 Es resolen aïllant x:

acx

acx −±=→−=2

(2) Equacions sense terme independent: ax2 + bx = 0 Es treu factor comú la x i s’iguala a zero cada un dels dos factors:

(ax+b)·x = 0→ Solucions: 02

1

=

−=

xabx

Exercici resolt 4

Resoldre l'equació 0753 2 =−x

525

253752

±=±=

==

x

x

Exercici resolt 5

Resoldre l'equació 032 2 =− xx0)32( =−xx

23032 =→=− xx , o bé, x = 0

55. Resol les següents equacions:a) 0123 2 =− xx e) 2 16 0x x− =b) 2618 xx = f) 035 2 =− xxc) 0112 =+ xx g) 02410 2 =−− xxd) 0162 =+− xx h) 093 2 =− xx

56. Resol les següents equacions:a) 23 147 0x − = d) 02002 2 =−xb) 25 80 0x − = e) 02433 2 =−xc) 02422 2 =−x f) 02564 2 =−x

70

Page 71: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

57. Resol les següents equacions:a) 2 24 120x − = b) 0982 2 =−x c) 2 03382 =−xd) 5x2 + 10x = 0 e) 3x2 – 108 = 0 f) 4x2 – 20 = 0d) 0252 =−x e) 01083 2 =−x f) 01255 2 =−xg) 2x2 – 14x = 0 h) 3x2 + 12x = 0 i) 4x2 – 4 = 0

g) 27 343x = h) 01692 =−x i) 23 243x =

Si tots els coeficients de l'equació són distints de zero, els procediments que hem aplicat a les equacions incompletes no ens serveixen de res. Ara donarem una fòrmula que ens permitirà resoldre qualsevol tipus d'equació de segon grau, sempre que estigui expressada en forma reduïda.

CAS GENERAL

Donada una equació de segon grau de la forma ax2 + bx + c = 0 , amb a distint de zero,les solucions, si existeixen, venen donades per l'expressió

x= a

acbb2

42 −±−

Exercici resolt 6

Resoldre l'equació 0232 =+− xx

Identificam els coeficients : a = 1, b = -3, c = 2

12

213

213

213

213

2893

1·22·1·4)3(3

24 22

==

+

=±=

=±=−±=−−±

=−±−=a

acbbx

Les solucions són x = 2 i x = 1.

Exercici resolt 7

Resoldre l'equació 022 =++ xx

a = 1, b = 1, c = 1

271

2811

1·22·1·411

24 22 −±−=−±−=−±−=−±−=

aacbbx

Com que no existeix l'arrel quadrada d'un nombre negatiu, l'equació no té solució.

71

Page 72: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 8

Resoldre l'equació 0962 =++ xx

a = 1, b = 6, c = 9

326

206

206

236366

1·29·1·466

24 22

−=−=±−=

=±−=−±−=−±−=−±−=a

acbbx

En aquest cas, la solució x = -3 és única.

Raona : De què depèn que l'equació tengui dues, una o cap solucions ?

Observació La fòrmula general es pot aplicar a totes les equacions de segon grau que estiguin en forma reduïda, incloent-hi les incompletes.

58. Resol les següents equacions de segon grau:a) 0452 =+− xx i) 0232 2 =++ xxb) 062 =−+ xx j) 0353 2 =++ xxc) 2 10 25 0x x− + − = k) 062 2 =−+ xxd) 0962 =+− xx l) 2 2 8 0x x− + + =e) 036122 =++ xx m) 2 20 64 0x x− + − = f) 0522 =++ xx n) 26 1 0x x− − + =g) 24 4 1 0x x− + = o) 22 6 0x x+ + =h) 2 20 64 0x x− + − = p) 26 13 5 0x x+ − =

Resolució d'equacions expressades en forma no reduïda

Realitzam les operacions indicades en l'equació (parèntesi, quadrats, etc.), reduïm i agrupam tots els termes al primer membre.

Exercici resolt 9

Resoldre l'equació 234)12)(12( +=−+ xxx

Operam els parèntesi (suma per diferència, veure Unitat 4) : 23414 2 +=− xxAgrupam els termes : 02444 2 =−− xxCom que tots els coeficients són múltiples de 4, dividirem per 4 per facilitar els càlculs : 062 =−− xxPer tant : a = 1, b = -1, c = - 6

72

Page 73: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

23

251

251

2251

22411

1·2)6·(1·4)1(1

24 22

−==

+

=±=+±=−−−±

=−±−=a

acbbx

Les solucions són x = 3 i x = -2 59. Resol les següents equacions. Recorda que per poder aplicar la fórmula l’equació ha d’estar expressada com cal: a) 8)13)(13( =+− xx j) 2 2( 3) 16 (1 )x x− = − +b) 1)2)(3( =+− xx k) ( 3) 10x x − =c) 15)12( 2 −=− xx l) 7)3)(3( =−+ xx

d) 0156 =+−x

x m) 2 3 5 18

2x x x− − = +

e) 312 =+x

x n) 243

5 22

+= xx

f) )1)(1()72)(72( −+=−+ xxxx o) 0)2)(3( =+− xxg) 010)1(3 2 =++ xx p) ( 3)( 2) 5( 1) 16x x x− + − + =

h) )2(32 += xx q) 1121 =++x

x

i) 67)1(6 −=− xxx r) 6)1( =−xx

Nombre de solucions d'una equació de segon grau

Com podíem sospitar (veure exercicis resolts 6, 7 i 8), el nombre de solucions d'una equació de segon grau depèn de l'expressió sota l'arrel, b2 –4ac. Aquesta expressió s'anomena discriminant, precisament perquè ens permet determinar quantes solucions té l'equació, sense necessitat de resoldre-la. Si el valor d'aquesta expressió és positiu, l'arrel tendrà dos resultats, positiu i un altre negatiu, cada un dels quals ens dóna una solució. Si és zero, l'arrel dóna un sol resultat, zero, i per tant tindrem solució única. Si és negatiu, l'arrel és impossible, no n'hi haurà cap solució. En resum, per determinar el nombre de solucions d'una equació de segon grau, considerarem el signe del determinant.

a) Si b2 –4ac > 0, l’equació té dues solucions.b) Si b2 –4ac = 0, l’equació té una solució.c) Si b2 –4ac < 0, l’equació no té solucions.

Exercici resolt 10

Determinar, sense resoldre-la, el nombre de solucions de l'equació 012 =++ xx

a = 1, b = 1, c = 1b2 –4ac = 12 – 4·1·1= -7 < 0No té solució.

73

Page 74: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

60. Determinar, sense resoldre-les, el nombre de solucions de les equacions :a) 0232 2 =++ xx b) 0222 =−− xxc) 0122 =++ xx d) 0422 =+− xxe) 022 =−+ xx f) 0222 =+− xx

3.3. PROBLEMES D’EQUACIONS DE SEGON GRAU

Problema resolt 11

El producte d'un nombre natural i el seu doble és 50. De quin nombre es tracta ?

Si x és el nombre, el seu doble serà 2x. Per tant, x·2x = 50 2x2 = 50 x2 = 25Les solucions són x = 5 I x = -5.Com que l'enunciat del problema parla d'un nombre enter, hem de descartar la solució negativa (cosa que no faríem si ens demanàssin nombres enters).

Problema resolt 12

La superfície d'un rectangle és 150 cm2, i el perímetre, 50 cm. Quines són les seves dimensions ?

Anomenarem x a la base del rectangle. x·(25 – x) = 150 25x – x2 = 150 0 = x2 – 25x + 150

1015

2525

22525

1·2150·1·4)25(25 2

=±=±=−−±

=x

Si la base fa 15 cm, l'altura farà 25 – 15 = 10 cm.Si la base fa 10 cm, l'altura farà 25 – 10 = 15 cm.Les dues solucions són en realitat una sola en el context del problema.

Comprovació : Superfície : 10·15 = 150 cm2

Perímetre : 2(10+15) = 50 cm61. El producte de dos nombres naturals consecutius és 90. Quins nombres són ?

62. Tenim un quadrat de 3 cm de costat. a) Si volem obtenir un altre quadrat amb el quàdruple de superfície, quant hem d'allargar el costat ?b) Com ha de ser el costat si volem que la superfície sigui doble ?c) I si volem reduir-la a la meitat ?

63. Calcula el radi d'una circumferència amb una superfície doble que la d'una altra de radi 3 cm.

74

Page 75: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

53. Els tres costats d'un triangle mesuren 15 cm, 22 cm i 23 cm, respectivament. Si als tres restam la mateixa longitud, el triangle resultant és rectangle. Quina longitud és aquesta ?

64. Un grup d'amics lloga un autocar per 2000 € per a una excursió. En fallen 4, per la qual cosa els assistents han de pagar 25 € més cada un. Quants n'hi havia al principi ?

5. AUTOAVALUACIÓ

1. Resol les següents equacions :

a) 7)3)(3( =−+ xx c) 2 50 5 10x x x+ − =b) ( 3)( 1) 21x x− + = d) 25 12 4 8x x x− = − +

2. Resol les següents equacions de primer grau:

a) 7( 2) 9( 6) 116x x+ + + = c) 6(2 9) 2(4 1) 112x x+ + − =b) 5( 8) 3( 1) 99x x+ + + = d) )5(24)5(22 −+=−− xx

3. Resol les següents equacions de primer grau:

a) 1 2

5 7x x+ += c)

2 3 3 1 79 12

x x− −− =

b) 3 1 1 4

5 3x x− +− = d)

3 1 5 42 7

x x− +=

4. El perímetre d’un quadrat després d’augmentar 5 cm el costat és 168 cm. Quina és la mida del costat del quadrat inicial?

5. El doble d’un nombre més el seu triple dóna 125. Quin és aquest nombre?

6. Tinc 12 monedes, unes de 5 euros i altres de 2 euros. Quantes monedes tinc de cada si sumen un total de 51 euros?

7. Resol les següents equacions de segon grau:

a) 2 16 0x − = d) 243

5 22

+= xx g) 2

5x x=

b) 22 6 0x − = e) 2 25 144x − = h) 312 =+x

x

c) 01222 =−+ xx f) 012 2 =++− xx i) 21 2 6 02

x x− − =

75

Page 76: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 6: SISTEMES D’EQUACIONS

1. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS.

· Sistema d'equacions lineals. Forma reduïda. Incògnites, coeficients i termes independents.

· Solucions d'una equació i solucions d'un sistema lineal. · Recerca de solucions per tempteig. Exercici 2.

· Comprovació de les solucions. Exercicis 1, 3.

· Sistemes equivalents.

· Transformacions que conserven l'equivalència. Exercici 4.

2. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA. NOMBRE DE SOLUCIONS D'UN SISTEMA.

· Interpretació geomètrica d'una equació lineal. · Representació gràfica. Exercici 5.

· Nombre de solucions. Sistemes incompatiles i compatibles, determinats i

indeterminats.

· Determinació del nombre de solucions. Exercici 6.

3. MÈTODES DE RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS

3.1. REDUCCIÓ. Exercici 7.

3.2. SUBSTITUCIÓ. Exercici 8.

3.3. IGUALACIÓ. Exercici 9.

4. SISTEMES NO REDUITS. Exercici 10.

5. PROBLEMES

·Traducció de situacions del llenguatge verbal a l’algebraic. Exercicis 11-33.· Resolució de problemes mitjançant la utilització de sistemes d’equacions lineals.

Exercicis 11-33.

6. AUTOAVALUACIÓ

76

Page 77: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

Una sistema d’equacions lineals amb dues incògnites es pot expressar en la forma reduïda : ax + by = c dx + ey = f Els nombres a, b, d, e són els coeficients de les incògnites, i els nombres c i f són els termes independents.

Exemple 1 : 2x + 3y = 3

5x – y = 16 Els coeficients de la x són 2 i 5; de la y, 3 i -1; els termes independents, 3 i 16.

Una solució d’una equació lineal és un parell de valors que compleixen l’equació lineal.

Exemple 2 : Algunes solucions de l'equació 2x + 3y = 3 són : x = 0 , y = 1 x = 1 , y = 1/3 x = 3 , y = -1Es pot comprovar substituint el parell d'incògnites pel parell de valors de cada solució.

Una equació lineal de dues incògnites té infinites solucions. Trobar solucions particulars és fàcil : basta aïllar una de les incògnites, donar valors qualssevol a l'altra i calcular els resultats. Exemple 3 : Aïllant la y a l'equació 5x – y = 16 , resulta :

y = 5x – 16 Donant valors a x : Per a x = 0, y = 5·0 – 16 = -16 Per a x = 1, y = 5·1 – 16 = -11 Per a x = 2, y = 5·2 – 16 = -4Així, successivament, podríem trobar tantes solucions de l’equació com volguèssim.

1. Comprova si el parell x = 1 i y = 2 és solució d’alguna d’aquestes equacions lineals:a) x + 2y = 5b) 3x + 4y = 11c) – x +2y = – 1d) 7y – 2 = 2x

2. Troba algunes solucions de les equacions de l'exercici anterior.

77

Page 78: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

La solució d’un sistema d'equacions lineals és un parell de valors que compleixen les dues equacions.

Exemple 4 : El parell x = 3 , y = -1, és la solució del sistema :

2x + 3y = 3 5x – y = 16 En efecte : 2·3 + 3·(-1) = 6 – 3 = 3 5·3 - (-1) = 15 + 1 = 16

Un sistema d'equacions lineals de dues incògnites pot tenir infinites solucions, solució única, o cap solució. Un sistema es diu compatible si té solució, i incompatible si no en té. Dos sistemes són equivalents si tenen les mateixes solucions.

Exemple 5: Els sistemes

2x + 3y = 3 5x – y = 16 i

2x + 3y = 3 7x + 2 y = 19són equivalents (comprova-ho). Hem obtengut el segon sistema a partir del primer. De quina manera ho hem fet ?

3. Comprova si x = 2, y = ½ és solució dels sistemes d’equacions següents:

a)

−=−−=+7231247

yxyx

b)

=+−=+16232

yxyx

Operacions que transformen un sistema lineal en un altre d'equivalent

(1) Sumar o restar la mateixa expressió algebraica o el mateix nombre als dos membres d'una equació.(2) Multiplicar o dividir pel mateix nombre distint de zero els dos termes d'una equació.(3) Sumar o restar les dues equacions del sistema.

Exemple 6 : Transforma el sistema x + 3y = 8 2x – y = 9en un altre d'equivalent en què la incògnita y tengui el mateix coeficient en les dues equacions.

78

Page 79: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Multiplicam la segona equació per 3 : x + 3y = 8 6x – 3 y = 27 Exemple 7 : Transforma el sistema x + 3y = 8 6x – 3 y = 27en un altre d'equivalent en què una de les equacions tengui una sola incògnita. Sumam la primera equació a la segona : x + 3y = 8 7x = 35i la segona equació ha quedat transformada en una altra d'una sola incògnita, fàcil de resoldre : x = 35/7 = 5. Substituint el valor de x a la primera equació : 5 + 3y = 8 ,aïllam la segona incògnita, i trobam y = 1

4. Intenta resoldre els següents sistemes, transformant-los en altres d'equivalents.

c)

−=−−=+7231247

yxyx

d)

=+−=+16232

yxyx

2. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA. NOMBRE DE SOLUCIONS D'UN SISTEMA LINEAL.

Interpretació geomètrica d'una equació lineal

Hem vist que una equació lineal té infinites solucions, i que cada solució és un parell de valors (x,y) que verifiquen l'equació. Podem considerar aquests parells de valors com les coordenades de punts en el pla.

Per trobar diverses solucions, aïllàvem una de les incògnites, i donàvem valors qualssevol a l'altra incògnita.

Exemple 8 : Donada l’equació lineal –2x + y = 0aïllam la incògnita y : y = 2x i donam valors a la incògnita x : Si x = 0, aleshores y = 2·0 = 0 ; si x = 1, aleshores y = 2·1 = 2 ; etc. Així, donant valors diferents a x, obtenim els corresponents de y. Recollim tots aquests valors (solucions de l’equació lineal) en una taula:

79

Page 80: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

x y-1 -20 01 22 4... ... Si representam aquests punts en un sistema de coordenades i unim els punts, la figura resultant és una recta.

Aquest resultat no depèn de l'equació triada : sempre obtindrem una recta en representar gràficament les solucions de qualsevol equació lineal. Per tant, des d'un punt de vista geomètric, tota equació lineal correspon a una recta en el pla. Els infinits punts de la recta són les infinites solucions de l'equació.

5. Representa gràficament les següents equacions lineals :a) 5x + y = 8b) 2x – y = 4c) x + 2y = 3d) x – 3y – 6 = 0e) 5 + 7x = 9yf) 4y – 8 = 6x

Nombre de solucions d'un sistema lineal

Si cada equació lineal representa una recta, un sistema d'equacions lineals representarà dues rectes en el pla. Les solucions del sistema són comuns a les dues equacions que el composen. Però les solucions de cada equació són els punts de la recta corresponent. Per tant, les solucions del sistema són els punts comuns a les dues rectes.

Recordem que les posicions relatives de dues rectes en el pla són tres : secants, paral·leles i coincidents. Ara veurem que a cadascuna d'aquestes posicions relatives correspon un nombre diferent de solucions del sistema.

(1) Si les rectes són secants, només tenen un punt comú, que és el punt a on es tallen. Aixó vol dir que el sistema té una única solució, donada per les coordenades del punt de tall. Es diu que el sistema és compatible determinat.

80

Page 81: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 9 :

=+−=−

16323

yxyx

Si representam gràficament les dues equacions, obtindrem dues rectes que es tallen en el punt de coordenades (2,5).

Comprova que aquest parell de valors és solució del sistema.

(2) Si les rectes coincideixen, tots els seus punts seran comuns, i el sistema té infinites solucions. Es diu que és un sistema compatible indeterminat.

Exemple 10 :

=+=+

30641532

yxyx

(3) Si les rectes són paral·leles, no tenen cap punt comú, i el sistema no té solució, ja que les solucions comuns a les dues equacions són els punt comuns a les dues rectes corresponents. Es diu que és un sistema incompatible.

Exemple 11 :

=+=+

3242

yxyx

81

Page 82: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

6. Determina, sense resoldre'ls, el nombre de solucions dels següents sistemes :

3. MÈTODES DE RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS3.1. REDUCCIÓ

Mètode de reducció

1) Multiplicam les equacions per un nombre adequat, de tal forma que una incògnita tengui el mateix coeficient a les dues equacions, però amb signes oposats. 2) Sumam terme a terme i així s'elimina una incògnita. 3) Resolem aquesta equació, que ara només té una incògnita. 4) Conegut el valor d'aquesta incògnita, substituïm aquest valor a una de les equacions de l’enunciat, que ara només tendrà l'altra incògnita (la primera ja no ho és, perquè ara coneixem el seu valor). 5) Resolem aquesta equació, i trobam el valor de la segona incògnita.

Exercici resolt 1 Resol per reducció el sistema :

−=+=+

125123

yxyx

=−−=+

125123

yxyx

Multiplicam per –1 la segona equació

=−−=+

125123

yxyx

Sumam terme a terme i eliminam la y

22 =− x

12

222 −=−

=→=− xx Resolem l'equació resultant

Substituïm la x pel valor trobat x = -1 a una de les equacions,

2244231212312)1·(3 ==→=→+=→=+−→=+− yyyyy

Solució: x = –1 , y = 2

82

Page 83: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

7. Resol els següents sistemes per reducció:a) 2x + y = 4 b) 3x + y = 1 x + y = 3 x + y = 1

c) 5x + y = 14 d) x + 4y = -8 2x + y = 5 x + y = -2

e) 2x + 5y = -1 e) x + y = 2 2x + y = 3 3x + y = 2

f) 2x + 3y = 13 g) 2x + 3y = 0 5x + 3y = 19 x + y = 0

h) 4x + 5y = -3 i) 5x + 8y = 13 x + 3y = 1 3x + 2y = 5

j) x + y = -3 k) x + 2y = 9 3x + 2y = -8 3x + 4y = 23

m) 2x – 3y = – 4 n) 4x + 5y = – 1 5x + 6y = 17 2x – 3y = 5

3.2. SUBSTITUCIÓ

Mètode de substitució

1) Aïllam una incògnita en una de les equacions.

2) Substituïm esta incògnita per l'expressió obtinguda a l’altra equació.

3) Resolem aquesta equació, que ara només té una incògnita.

4) Conegut el valor d'aquesta incògnita, substituïm aquest valor a una de les

equacions de l’enunciat, que ara només tendrà l'altra incògnita.

5) Resolem aquesta equació, i trobam el valor de la segona incògnita.

Exercici resolt 2 Resol per substitució el sistema :

2 3 15 2 1

y xx y

+ = + = −

321213 yxyx −=→−= Aïllam x a la primera equació

123215 −=+

− yy

Substituïm a la segona equació

83

Page 84: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Resolem:

248845361036105

33

36

310512

310512

3215

=−−=→−=−→−−=+−→−=+−

→−=+−→−=+−→−=+

yyyyyy

yyyyyy

Substituïm la y pel valor trobat y = 2 a una de les equacions, que resoldrem :

133

3341313413)2·(2132

−=−=→

−=→−=→=+→=+→=+

x

xxxxxy

Solució: x = –1; y = 2

8. Resol els següents sistemes per substitució.

a) 3x + 2y = -11 h) 5x + 4y = -9 2x + 3y = -9 2x + 3y = -5

b) 7x + 2y = 29 i) x + y = 12 3x + 5y = 29 x – y = 2

c) x + y = 2 j) 3x + y = -6 -x + y = 0 x – y = -2

d) x + 4y = 7 k) x + y = 0 x – y = 2 3x – y = -4

e) 5x + 3y = 6 l) 4x – 5y = 12 -2x + 3y = 6 -x + 3y = -3

f) 5x + y = 13 m) 4x + 5y = 5 2x – y = 1 -x – 3y = -3

g) x – y = -2 n) -3x – 2y = 7 -3x + 2y = 2 2x + 3y = -8

3.3. IGUALACIÓ

Mètode d'igualació

1) Aïllam una incògnita a la primera equació. 2) Aïllam la mateixa incògnita a la segona equació. 3) Igualam les dues expressions. 4) Resolem l'equació resultant, que ara només té una incògnita. 5) Conegut el valor d'aquesta incògnita, substituïm aquest valor a una de les equacions de l’enunciat, que ara només tendrà l'altra incògnita (la primera ja no ho és, perquè ara coneixem el seu valor). 6) Resolem aquesta equació, i trobam el valor de la segona incògnita.

84

Page 85: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 3 Resol per igualació el sistema :

2 3 15 2 1

y xx y

+ = + = −

231312 xyxy −=→−= Aïllam y a la primera equació

251512 xyxy −−=→−−= Aïllam y a la segona equació

Igualam i resolem:

122

22115351312

51231

−=−=→

−=→−−=+−→−−=−→−−=−

x

xxxxxxx

Substituïm la x pel valor trobat x = -1 a una de les equacions, que resoldrem :

224

423121321)1·(32132

==

→=→+=→=−→=−+→=+

y

yyyyxy

Solució: x = –1, y = 2

9. Resol els següents sistemes per igualació :

a)

−=−=+

3235

yxyx

b)

−=+=+−

1214

yxyx

c)

=−=+

24

yxyx

d)

−=+=+−12

143yx

yx

e)

=+ 1128

yxx

=−+=

192352

yxyx

f)

=−=−961745

yxyx

g)

=+=+

823934

yxyx

h)

=+=−

14651132

yxyx

i)

=−=+

93

yxyx

j)

−=−=−

626953

yxyx

k)

=−=+

425423

yxyx

l)

=−−=+115346

yxyx

85

Page 86: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

4. SISTEMES NO REDUÏTS

Si el sistema no vé en forma reduïda, abans de resoldre'l haurem de fer una sèrie d'operacions.

A. Equacions lineals amb parèntesi

1. Realitzam les operacions indicades pels parèntesis. 2. Agrupam les incògnites en el membre esquerre i el termes independents en el terme dret.

Exemple 12 :

=−+−=++−

4)1(4224)1(3

yxyx

=−+−=++−

44422433

yxyx

Operam

=+−=+

84233

yxyx

Agrupam

B Equacions lineals amb denominadors 1. Multiplicam pel mínim comú múltiple dels denominadors. 2. Operam els parèntesi, si cal. 3. Agrupam les incògnites en el membre esquerre i el termes independents en el terme dret.

Exemple 13 :

=++−

=−++

45

32

1

63

12

3

yx

yx

=++−=−++

40)3(2)1(536)1(2)3(3

yxyx

Multiplicam la 1ª equació per 6 i la 2ª per 10

=++−=−++

406255362293

yxyx

Operam

=+=+

39252923

yxyx

Agrupam

86

Page 87: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

10. Resol els següents sistemes d’equacions :

a)

−=

=

945

2

yx

yxb)

−=

=

752

6yx

xy

c) 4( 5) 2 102 3 11

x yy x

+ − = − =

d) 8( 2) 3( 4) 5( 1)5( 8) 2(3 1)

x y xx y

− − − = − + = −

e) 3( ) 1 5 42 3( 1) 3( 1)

x y x yx y x x y

+ − = − + + = + + −

f) 4( 1) 3( 2) 55( 3) 2 3( ) 7

x y y xx y y x

− − + = − + + = − + +

g) 6( 1) 2 8( 2) 3( 5)

3( 2) 2( 1)y y x y

x y x− + − = + − +

− + = + h)

45 2

3 21

x y

x y

− = − =

i) 1

2 5

13 7

x y

x y

+ = + =

j)

2 43 5

3 4 92 3

x y

x y

− = + =

k)

11 2 227

3 2148 4

x y

x y

+ = − =

l)

8 4 4 2 73 2

2 2 122 2

x y

x y

− − − = − + − − =

m)

5 1 3 4 37 2

5 2 3 1 44 5

x y

y x

− + − = + + − = −

5. PROBLEMES

Resolució de problemes mitjançant sistemes lineals

Els sistemes d’equacions lineals s’utilitzen per resoldre problemes en els quals hi ha dues quantitats desconegudes. Passes a seguir :

1) Identificar què és el que coneixem (dades) i què és el que ens demanen (incògnites). Pot ajudar fer un esquema.

2) Expressar, mitjançant equacions, les relacions existents entre les incògnites i les dades. Obtenim així un sistema de dues equacions lineals.

3) Resoldre el sistema obtingut.

4) Respondre a la pregunta.

5) Comprovar la solució sobre l'enunciat.

87

Page 88: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

11. Calcula dos nombres la suma dels quals sigui 191 i la diferència, 67.

12. Troba dos números sabent que la meitat de la seva suma és 218 i el doble de la seva diferència és 116.

13. Dos números sumen 51. Si el primer ho dividim entre 3 i el segon entre 6, els quocients es diferencien en 1. Troba els números.

14. La raó entre dos números és 2/3. Si s'afegeixen 20 unitats al més petit i 5 al més gran la raó s'inverteix. De quins números es tracta?

15. La suma de les dues xifres d'un número és 8. Si al número se li afegeixen 18, el número resultant està format per les mateixes xifres en ordre invers. Troba el número.

16. El quocient d'una divisió és 3 i la resta 5. Si el divisor disminueix en 2 unitats, el quocient augmenta en 1 unitat i el nou resta és 1. Troba el dividend i el divisor.

17. Avui l'edat d'un fill és 1 any menys que 1/3 de la de sa mare. Si d'aquí a 5 anys, l'edat de la mare serà 10 anys major que el doble de la del seu fill, quina edat tenen?

18. Quant mesuren els angles d'un triangle si un val 50º i la diferència dels altres dos és 30º?

19. El perímetre d'un rectangle té 28 cm. Calcula l'àrea d'aquest rectangle sabent que un dels seus costats té quatre centímetres més que l'altre.

20. En un triangle isòsceles de 14 cm de perímetre, el costat desigual és tres vegades menor que cadascun dels altres costats. Quant mesuren els costats?

21. Dos quilos de peres i tres de pomes costen 7,80 €. Cinc quilos de peres i quatre de pomes costen 13,20 €. Quant costa el quilo de peres? I el de pomes?

Problema resolt 1 Les gallines i els conills que hi ha en un corral fan 57 caps i 160 potes. Quants exemplars hi ha de cada espècie ? Anomenam x al nombre de gallines, i y al nombre de conills. Com que en total tenim 57 animals : x + y = 57 El nombre de potes de gallina és 2x, i el nombre de potes de conill, 4y. En total, les potes són 160 : 2x + 4y = 160 Resolem el sistema :

=+=+

1604257

yxyx

=+=+

80257

yxyx

Dividim la segona equació per 2

23=y Restam a la segona la primera, i trobam el valor de y5723 =+x Substituim el valor de y a la primera equació

342357 =−=x Trobam el valor de x Per tant, al corral hi ha 44 gallines i 13 conills.

88

Page 89: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Comprovació : 34 + 23 = 57 animals 2·34 + 4·23 = 68 + 92 = 160 caps

22. Un hotel té habitacions dobles i senzilles. En total hi ha 50 habitacions i 87 llits. Quantes habitacions té de cada tipus?

23. Per a pagar un article que costava 3 €, he utilitzat nou monedes, unes de 20 cèntims i unes altres de 50 cèntims. Quantes monedes de cada classe he utilitzat?

24. En un bar venen entrepans de cuixot a 3,5 € i entrepans de truita a 2 €. En un matí han venut 52 entrepans i la recaptació final ha estat de 149 €. Quants n’han venut de cada classe?

25. Un exercici realitzat en classe consta de 16 qüestions. El professor suma 5 punts per cada resposta correcta i resta 3 punts per cada qüestió no contestada o mal contestada. Si un alumne ha obtingut 32 punts en l'exercici, quantes qüestions ha contestat correctament?

26. Un fabricant de bombetes obté un benefici de 0,3 € per cada peça que surt del taller per a la venda, però té una pèrdua de 0,4 € per cada peça defectuosa que ha de retirar. En una jornada ha fabricat 2 100 bombetes i ha obtingut uns beneficis de 484,4 €. Quantes bombetes vàlides i quantes de defectuoses ha fabricat aquest dia?

Problema resolt 2 He pagat 90,50 € per una camisa i un jersei que costaven, entre els dos, 110 €. En la camisa m’han rebaixat un 20% i en el jersei, un 15%. Quin era el preu original de cada article? x : preu original de la camisa y : preu original del jersei Si el preu original dels dos articles era 110 € : x + y = 110 Si ens descompten el 20% d'un preu, pagarem el 80% d'aquest, i si ens descompten el 15%, pagarem el 85%. Per tant : 0'8x : preu rebaixat de la camisa 0'85y : preu rebaixat del jersei I, si hem pagat en total 90'5 € : 0'8x + 0'85y = 90'5 Hem de resoldre el sistema :

=+=+

5'9085'08'0110

yxyx

=+=+

5'9085'08'0888'08'0

yxyx

Multiplicam la primera equació per 0'8

5'205'0 =y Restam a la segona equació la primera

5005'05'2 ==y Trobam el valor de y

11050 =+x Substituïm el valor de y a la primera equació6050110 =−=x Trobam el valor de x

La camisa costava 60 €, i el jersei, 50 €.

89

Page 90: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Comprovació : 60 + 50 = 110 € és el preu original 0'8·60 + 0'85·50 = 48 + 42'5 = 90'5 € és el preu rebaixat

27. Per uns pantalons i unes sabates he pagat 126 €. Si el preu dels pantalons augmentàs un 14%, seria el 75% del preu de les sabates. Quant he pagat per cadascun?

28. Na Maria ha comprat un abric que es trobava rebaixat un 15%. Na Marta ha comprat un altre abric 25 € més car, però ha aconseguit una rebaixa del 20%, amb la qual cosa només ha pagat 8 € més que na Maria. Quin era el preu de cada abric?

29. En un centre escolar hi ha matriculats 795 estudiants entre els dos cursos de batxillerat. El 45% de primer i el 52% de segon són dones, la qual cosa comporta un total de 384 alumnes entre els dos cursos. Quants d’estudiants hi ha a cada curs?

Problema resolt 3 En una empresa es fabriquen dos tipus de bicicleta, A i B. Per a fabricar–ne una del model A, calen 1 kg d’acer i 3 kg d’alumini, i per a una del model B, 2 kg de cadascun d’aquests materials. Si a l’empresa disposen de 80 kg d’acer i 120 kg d’alumini, quantes bicicletes de cada tipus s’hi poden fabricar ? x : nombre de bicicletes de tipus A y : nombre de bicicletes de tipus B Organitzam la informació en una taula :

Tipus A Tipus B Total kgKg d'acer x 2y 80Kg d'alumini 3x 2y 120 x + 2y = 80 3x + 2y = 120 Resolem el sistema, per reducció :

=+=+

12023802

yxyx

402 =x Restam a la segona equació la primera

20240 ==x Trobam el valor de x

80220 =+ y Substituïm el valor de x a la primera equació

302

606020802 ==→=−= yy Trobam el valor de y

S'hi poden fabricar 20 bicicletes del tipus A i 30 del tipus B.Comprovació : Es necessiten 20 kg d'acer per a les bicicletes del tipus A, i 2·30 = 60 kg per a les del tipus B. Així, 20 + 60 = 80 kg d'alumini. Les bicicletes del tipus A precisen 3·20 = 60 kg d'alumini, i les del tipus B, 2·30 = 60 kg. La suma d'aquestes quantitats, 60 + 60 = 120 kg, coincideix amb el total d'alumini de què es disposa.

90

Page 91: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

30. Una empresa comercialitza dues classes de llaunes d'estofat : les normals, que contenen 200 g de carn i 150 g de patates, i les extra, que porten 250 g de carn i 100 g de patates.Amb 44 kg de carn i 26 kg de patates, quantes llaunes de cada classe es poden fabricar ?

31. Un comerciant barreja cafè de Guinea amb cafè Moka per obtenir-ne una qualitat intermèdia. Si els barreja en la proporció 2 a 3 (per cada 2 kg de Guinea se n'hi afegeixen 3 kg de Moka), la barreja surt a 4'84 €/kg, mentre que amb la proporció de 2 a 1, el preu de la barreja és de 4'2 €/kg. Quin és el preu del quilogram de cada classe de cafè ?

Problema resolt 4 Dues poblacions A i B disten 25 km. Un vianant surt de A cap a B a una velocitat de 4 km/h. Simultàniament surt de B cap a A un altre vianant a 6 km/h. Calcula el temps que es torben a trobar-se i la distància que ha recorregut cadascun fins que es troben. x : temps fins que es troben y : distància recorreguda Una taula ens ajuda a entendre les relacions entre les incògnites i les dades :

Distància Temps Velocitat1r vianant y x 42n vianant 25 – y x 6 La distància és el producte de la velocitat pel temps; per tant :

=−=

xyxy

6254

La primera equació correspon al 1r vianant, i l'altra al 2n

xx 6425 =− Substituïm y per 4x a la segona equació

5'21025104625 ==→=+= xxxx Trobam el valor de x

105'2·4 ==y Substituïm aquest valor a la primera equació, i trobam el valor de y Es troben al cap de 2'5 hores (és a dir, 2 h 30 min). El primer vianant recorre 10 km, i el segon, 25 – 10 = 15 km.Comprovació :

La velocitat del primer vianant seria de 45'2

10 = km/h; i la del segon, 65'2

15 =

km/h, en coincidència amb les dades de l'enunciat.

32. Un autobús surt de la ciutat A cap a la ciutat B a 105 km/h. Simultàniament surt de B cap a A un cotxe a 120 km/h. La distància entre A i B és de 300 km. Calcula la distància que recorre cada un fins que es troben.

33. Un tren que avança a una velocitat de 70 km/h porta un avantatge de 90 km a un altre tren que avança per una via paral·lela a 110 km/h. Calcula el temps que tarda el segon a atrapar el primer i la distància recorreguda fins a aconseguir-lo.

91

Page 92: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

6. AUTOAVALUACIÓ

1. Donada la següent equació: 2x – 5y = 7

a) Aïlla la y

b) Calcula tres possibles solucions de l'equació.

2. Resol pels tres métodes el següent sistema:

=−=+3

32xy

yx

3. Resol pel mètode que consideris més adequat:

5 1 3 4 37 2

5 2 3 1 44 5

x y

y x

− + − = + + − = −

4. Cerca dos nombres que sumen 24 i que el doble del primer més el triple del segon és 54.

5. En un test de 30 preguntes s’obtenen 0,75 punts per cada resposta correcta i es resten 0,25 punts per cada una d’errada. Si la meva nota ha estat 10,5 quants d’encerts i quantes errades he tingut?

92

Page 93: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 7: LES FUNCIONS I LES GRÀFIQUES

1. CONCEPTES BÀSICS.· Concepte de funció. Variables independent i dependent, domini i recorregut.

Exercicis 1-3.· Expressions diverses d'una funció : enunciat, taula, gràfic, expressió analítica.· Gràfics cartesians. Eixos d'abscisses i d'ordenades, origen de coordenades.

· Anàlisi, descripció quantitativa i comparació de situacions de dependència funcional donades mitjançant taules, gràfics o enunciats. Exercicis 2, 3, 8, 14, 15.

· Anàlisi i descripció qualitativa de gràfics que representen fenòmens de l’entorn. Exercicis 7, 14-20.

· Elaboració de gràfics continus o discontinus a partir d’un enunciat o d'una taula de valors. Exercicis 4-6.

· Construcció de taules de valors a partir d’enunciats o gràfics senzills. Exercicis 4, 5· Obtenció de l'expressió analítica d'una funció donada a partir d'un enunciat o d'una

taula. Exercicis 4, 5.2. CARACTERÍSTIQUES D’UNA FUNCIÓ

· Anàlisi d’una funció a partir de l’estudi de les característiques locals i globals de la gràfica corresponent:

· Creixement i decreixement. Exercicis 9, 14, 15. · Màxims i mínims. Exercicis 9, 14, 15.· Continuïtat. Exercicis 6, 10, 15.· Simetries. Exercici11.· Periodicitat. Exercicis 12, 13.

· Anàlisi i descripció qualitativa de la velocitat de creixement d'una funció. Exercicis 14-20.

· Anàlisi i descripció quantitativa de la velocitat de creixement d'una funció en un interval : taxa de variació.

· Càlcul de la taxa de variació. Exercici21.3. EXERCICIS I PROBLEMES.

Exercicis22-29.

93

Page 94: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. CONCEPTES BÀSICS.

Una funció és una relació entre dues variables, anomenades : · variable independent , · variable dependent, que a cada valor de la primera li assigna un únic valor de la segona. El conjunt de tots els valors de la variable independent s’anomena domini. El conjunt de tots els valors de la variable dependent s’anomena recorregut.Exemple 1 La pressió atmosfèrica minva en relació amb l'altura on ens trobem sobre el nivell de la mar, encara que no ho fa uniformement : al principi disminueix més ràpidament que després.

La variable independent és l'altura (km), i la variable dependent és la pressió (atm). La relació entre l'altura sobre el nivell de la mar i la pressió atmosfèrica és una funció, perquè cada altura correspon una única pressió. A la representació gràfica, el domini de la funció és l'interval (0, 28), i el seu recorregut, l'interval (0'02, 1). L'extrem inferior del recorregut és aproximat. Quina és la pressió al nivell de la mar? Quina és la pressió a 16 km d'altura ? A quina altura tenim una pressió de 0'2 atmòsferes ?

Les funcions serveixen per a descriure fenòmens naturals o, simplement, per a expressar relacions matemàtiques. Exemples : · El camí recorregut per un mòbil en passar el temps. · La temperatura de l'aire en variar l'altura. · El nivell de l'aigua en una botella segons el volum que conté. · L'àrea d'un quadrat en variar la longitud del seu costat.

1. Quines d'aquestes gràfiques no corresponen a funcions ? Raona la resposta.

94

Page 95: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2. Amollem un globus que s’eleva i, quan arriba a una altura determinada, rebenta. En el gràfic següent hi ha representada l’altura, amb el pas del temps, a què es troba el globus fins que rebenta.

a) Identifica les variables independent i dependent. Quina escala utilitzem per a cada variable? b) Quin és el domini de definició d’aquesta funció? Quin recorregut té ?c) A quina altura rebenta? Quant tarda a rebentar des que l’amollem?d) Quina altura guanya el globus entre el minut 0 i el 4? I entre el 4 i el 8? En quin d’aquests dos intervals creix més ràpidament la funció?

3. Aquest és el perfil d’una etapa ciclista d’un club de cicloturisme.

I aquest és el gràfic que indica com s’ha recorregut l’etapa.

a) Identifica les variables independent i dependent. b) Identifica el domini i el recorregut d’aquesta funció.c) Quina és la longitud de l’etapa? Quant de temps han tardat a recórrer–la?d) En quin tram van més de pressa i en quin més lentament? Quan passen pel cim més alt?e) Quina distància hi ha de C a D? Quant de temps tardaren a recórrer–la? Quina velocitat dugueren?

95

Page 96: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

F ormes d'expressar una funció Una funció es pot expressar de diverses maneres : un enunciat verbal, una taula de valors, un gràfic, o una expressió analítica (fòrmula).Exemple

Enunciat Una botiga ven cafè a 12 € el quilogram.

Taula

Massa (kg) 0'5 0'8 1 1'5Import (€) 6 9'60 12 18

Gràfic

Fórmula Si x és el nombre de kg, i y és l’import a pagar en euros, es tracta d'expressar com es calcula el darrer en funció del primer. Com que l'import és el resultat de multiplicar el preu pel nombre de quilos :

y =12x

Representació gràfica d'una funció Representam les dues variables sobre uns eixos cartesians : · La variable independent (x) sobre l'eix horitzontal (eix d'abscisses). · La variable dependent (y) sobre l'eix vertical (eix d'ordenades).

Cada punt de la gràfica té dues coordenades : l'abscissa x i l'ordenada y. Aquesta se sol expressar també com f(x). El punt d'intersecció dels dos eixos (on es tallen) s'anomena origen de coordenades. Els eixos han d'estar graduats en sengles escales, de manera que poguem quantificar el valor de les dues variables.

02468

101214161820

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Import (€)

Nombre de Kg

96

Page 97: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 1 Un venedor d'ordinadors rep cada mes 600 € fixos més 30 € per cada ordinador venut.

a) Elabora una taula de valors que mostri com varia el sou d’un mes segons el nombre d'ordinadors venuts .Nº ordinadors 0 1 2 3 4 5Sou (€) 600 630 660 690 720 750

b) Representa gràficament les dades d’aquesta taula. Té sentit unir els punts ? No podem unir els punts, perquè la variable és entera.

c) Utilitza el gràfic per determinar què cobrarà un mes que ha venut 9 ordinadors, i quants ordinadors ha venut un mes que ha cobrat 1050 €. Si ha venut 9 ordinadors cobrarà 970 €. Si ha cobrat 1050 €, ha venut 15 ordinadors.

d) Troba l’expressió analítica que ens permet calcular el sou en funció del nombre d'ordinadors venuts. El sou és el resultat de sumar una part fixa (600 €) i una part variable, que resulta de multiplicar per 30 el nombre x d'ordinadors venuts. Per tant, la equació que ens diu el sou segons el número d'ordinadors venuts és f(x) = 600 + 30x

e) Utilitza aquesta expressió per calcular què cobrarà en Jordi un mes que ha venut 20 ordinadors. f(20) = 600 + 30·20 = 1200 € f) Quants ordinadors ha venut aquest mes, si ha cobrat 1770 € ? Igualam l'expressió analítica de la funció sou a 1770, i resolem l'equació resultant : 600 + 30x = 1770 x = 39

4. En Jordi treballa com a repartidor de pizzes per a l’empresa Pizzabuona. Li paguen 9 € diaris, més 1’5 € per cada pizza repartida.

a) Elabora una taula de valors que mostri com varia el sou d’un dia segons el nombre de pizzes repartides.b) Representa gràficament les dades d’aquesta taula. Té sentit unir els punts ?

97

Page 98: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

c) Utilitza el gràfic per determinar què cobrarà un dia que ha repartit 9 pizzes, i quantes pizzes ha repartit un dia que ha cobrat 18 €. d) Troba l’expressió algebraica que ens permet calcular el sou d’en Jordi en funció del nombre de pizzes repartides.e) Utilitza aquesta expressió per calcular què cobrarà en Jordi un dia que ha repartit 17 pizzes.

5. Un venedor d’ordinadors pot triar entre dues opcions en el moment de signar el seu contracte :

A : Sou fix mensual de 660 € B : Sou fix mensual de 450 €, més el 5 % de les vendes que hi faci

a) Representa gràficament, en ambdòs casos, les funcions que ens donen el sou que guanya segons les vendes que hi faci.b) Troba les expressions algebraiques d’aquestes funcions.c) Si es preveu unes vendes mensuals de 5400 € en ordinadors, quina opció l’interessa més ? Raona la teva desposta.d) A quant han de pujar les vendes per guanyar el mateix amb les dues modalitats de contracte ?

6. Un proveïdor d'Internet cobra als abonats per la quantitat d'informació que descarreguen. Els preus són :

Informació (Mb) 0 a 4 4'01 a 6 6'01 a 9 Més de 9Preu (€) 1 3 5 7

a) Representa gràficament la funció.b) És contínua ?

Interpretació qualitativa d'una gràficaExercici resolt 2 Aquestes quatre gràfiques representen la temperatura màxima diària (T) de quatre ciutats al llarg del temps (t), durant un any.

a) A quina d'aquestes ciutats oscil·la menys la temperatura ? A la b, ja que té el menor recorregut.b) Una correspon al nostre país i una altra a les nostres antípodes. A quines ens referim ? Raona la resposta. El nostre país correspon a la c, perquè la temperatura és mínima a principi d'any, va pujant fins arribar a un màxim en la meitat de l'any (finals de juliol i primers d'agost), i després va davallant fins que, a final d'any, torna al mínim del principi. A l'hemisferi sud, on es troben les nostres antípodes (Austràlia), el clima varia seguint un cicle invers : fa calor a principi d'any, es va refredant fins arribar a una

98

Page 99: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

temperatura mínima, i després la temperatura va pujant. Aquesta és la situació que descriu el gràfic a. c) Qualque gràfica és absurda. Digues quina i per què. La d, perquè descriu un augment progressiu de la temperatura (i a un ritme cada vegada major, raona per què) al llarg de l'any.d) Tria una escala adequada per a cada variable i gradua cadascun dels eixos. Seria raonable dividir l'eix d'abscisses en 12 parts iguals (una per a cada mes), i considerar que el segment de les ordenades comprès entre l'origen i el valor de la funció correspon a l'interval entre 0 i 40º C. Podríem dividir aquest segment en 8 parts iguals (de 5 en 5º C).

Interpretació conjunta de diversos gràficsExercici resolt 3 Aquestes gràfiques mostren el pes mitjà dels pacients d'un centre de salut des que neixen fins als 18 anys.

a) Digues quin és el pes mitjà dels al·lots i de les al·lotes als 10 i als 17 anys. 10 anys : devers 24 kg (nins) i 27 kg (nines) 17 anys : devers 59 kg (nins) i 52 kg (nines)b) Quan pesen més les al·lotes que els al·lots ? Entre els 8 i els 15 anys (aproximadament)c) Què signifiquen els punts d'intersecció de les dues gràfiques ? Edats que les nines i els nins pesen igual (que les dues funcions tenen el mateix valor).

7. N'Antònia, en Karim, na Xiao i en Lamine comenten com ha estat la seva anada a escola avui de matí.Antònia : He vengut en moto, però com que m'havia oblidat un treball que havia d'entregar, he hagut de tornar a ca nostra. Després he fet tanta via com he pogut.Karim : Ma mare m'ha duit en cotxe, però ens hem trobat un embós al semàfor que hi ha a mig camí i ens ha retardat molt.Xiao : He trobat a la porta de ca nostra un amic que va a una altra escola. Hem fet una part del camí i, quan ens hem separat, he hagut de fer via perquè, xerrant xerrant, se m'havia fet tard.Lamine : He sortit de ca nostra molt aviat perquè havia quedat amb en Joan i era tard. Després hem fet el camí junts amb més calma.

99

Page 100: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

a) Quina és la gràfica que correspon a la descripció que ha fet cadascun ?b) Qui viu més a prop de l'escola ? Qui ha estat més temps en arribar ? A totes les gràfiques l'escala és la mateixa.8. En un cotxe amb canvi de marxes el consum depèn no només de la velocitat, sinó de la marxa que hi hagi posada. Observa els tres gràfics i indica :

a) El consum a 50 i a 70 km/h.b) La velocitat màxima assolida consumint 8 litres.c) La marxa més econòmica a 50 i a 80 km/h.d) El domini i el recorregut de cada gràfic, i el significat que tenen.

2. CARACTERÍSTIQUES D’UNA FUNCIÓ

Creixement i decreixement Per a estudiar les variacions d’una funció hem de mirar el gràfic d’esquerra a dreta, és a dir, hem de veure com varia la y quan x augmenta.

Una funció és creixent quan en augmentar la variable independent, x, augmenta la variable dependent.

Una funció és decreixent quan en augmentar x disminueix y. També podem dir que una funció té un tram creixent o decreixent.

Funció creixent Funció decreixent Podem identificar el creixement seguint del gràfic d'esquerra a dreta : · Si és ascendent en un tram, la funció creix en aquest tram.

100

Page 101: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

· Si és descendent en un tram, la funció decreix en aquest tram.

Extrems

Una funció té en un punt :1. Un màxim relatiu, si la seva ordenada és major que la de tots els punts que

l'envolten. Dit d'una altra manera : si a l’esquerra la funció creix i a la dreta decreix.2. Un mínim relatiu, si la seva ordenada és major que la de tots els punts que

l'envolten. Dit d'una altra manera : si a l’esquerra la funció decreix i a la dreta creix.

El valor màxim de tots els que té la funció s’anomena màxim absolut, i el mínim s’anomena mínim absolut. Observació : Els extrems absoluts no i els relatius no tenen per què coincidir. Si la funció té el valor mínim (o màxim) al principi o al final de l'interval en què està definida, aquest mínim (o màxim) serà absolut però no relatiu (raona per què).

Exercici resolt 4 La gràfica adjunta ens dóna la pressió atmosfèrica en un lloc determinat, a cada moment, durant 16 dies.

Estudia'n el creixement i els extrems.

101

Page 102: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Intervals de creixement : (0, 3) i (10'5, 14)Intervals de decreixement : (3, 10'5) i (14, 16)Màxims relatius : x = 3, amb un valor de 953 (3, 953) x = 14, amb un valor de 945 (14, 945)Mínim relatiu : x = 10'5, amb un valor de 935 (10'5, 935)Màxim absolut : x = 3, amb un valor de 953 (3, 953)Mínim absolut : x = 10'5, amb un valor de 935 (10'5, 935)

9. Estudia el creixement i els extrems (absoluts i relatius) d’aquesta funció:

Continuïtat

Una funció és contínua si la seva gràfica es pot dibuixar d’un sol traç, és a dir, si no té punts de discontinuïtat.Exemples:Funció continua perquè no presenta “bots” ni “forats”.

Funció discontínua, ja que té “bots”.

102

Page 103: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Funció discontinua amb punts aïllats (variable discreta).

10. Estudia si les funcions següents són continues i, si no ho són, indica en quins punts són discontínues.

a) b)

c) d)

Periodicitat

Una funció és periòdica quan els valors que pren es van repetint cada cert interval, que s’anomena període.

Exemple :

Distància del cometa Halley al Sol al llarg dels dos darrers segles.El gràfic només ens permet afirmar que el periode és d'uns 120 anys (sense majors precisions).

103

Page 104: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

11. Determina si aquestes funciones són periòdiques i, en cas afirmatiu, indica’n el període:a) b)

c) d)

12. Les canastres d'una roda de parc d'atraccions pugen i davallen a mesura que la roda gira. Aquesta és la representació gràfica de la funció temps-distància al sòl d'una de les canastres :

a) Quant de temps està a fer una volta completa ?b) Observa quina és l'altura màxima i digues quin és el radi de la roda.c) Explica com podries calcular l'altura als 130 segons sense necessitat de continuar la gràfica.

Simetries

Respecte de l'eix d'ordenades Una funció f és simètrica respecte de l’eix d’ordenades o parella quan és invariant amb una simetria respecte d'aquest eix. Aixó vol dir que, si doblegam el paper per l'eix d'ordenades, les dues branques de la funció coincidirán. Dit d'una altra manera, una funció és parella si per a qualsevol valor x del seu domini es verifica que : f(–x) = f (x)Exemple: La funció f(x) = x2 és parella.

x f(x) = x2.–2 4–1 11 12 4

Observa que : f (–2) = 4 = f(2) f(–1) = 1 = f(1)

104

Page 105: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Respecte de l'origen de coordenades

Una funció f és simètrica respecte de l’origen o imparella quan una de les seves branques es pot obtenir de l'altra mitjançant una doble simetría : primer respecte de l'eix d'ordenades, i resprés respecte de l'eix d'abscisses. Dit d'una altra manera, una funció és imparella si per a qualsevol valor x del seu domini es verifica que : f(–x) = - f (x) Exemple: La funció f(x) = x3 és imparella.

x f(x) = x3

-2 -8-1 -11 12 8

f(-2) = - 8 = - f(2) f(-1) = -1 = - f(1)

13. Indica si aquestes funcions són simètriques i, en cas afirmatiu, digues de quin tipus.a ) b)

c) d)

105

Page 106: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

14. En una UVI hi ha un aparell que registra la temperatura d'un malalt amb febre intermitent. El gràfic correspon a un període de 24 hores :

a) Hi ha hagut alguna baixada de temperatura a la matinada ? A quina hora ha estat de 37º ?b) En algun moment el pacient ha tengut un descens brusc de temperatura. A quina hora s'ha iniciat ? Quan ha començat a recuperar-se ?c) Ha tengut el malalt algun altre moment de perill ?d) Indica el domini i el recorregut de la funció.e) Estudia'n el creixement i els extrems (absoluts i relatius).f) És contínua aquesta funció ?

15. El gràfic següent mostra l'altura del sol sobre l'horitzò (expressat en graus) durant un dia en una ciutat.

a) A quina hora, aproximadament, surt i a quina hora es pon el sol, aquest dia ?b) És una funció contínua ?c) Determina el domini i el recorregut de la funció.d) Estudia'n el creixement i els extrems (absoluts i relatius).e) Quantes hores de sol hi ha aquest dia ?f) Si repetim el procés tot el mes, donarà sempre el mateix ? És una funció periòdica

106

Page 107: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Velocitat del creixement Una manera de saber, de manera aproximada, si el creixement d'una funció és més o menys ràpid consisteix en representar, a intervals iguals de la variable independent (donats per segments horitzontals), els increments corresponents de la variable dependent (donats per segments verticals).

· Si el gràfic és una recta (Gràfic A), la variable dependent augmenta sempre en la mateixa mesura. · Si és similar al Gràfic B, els augments de la variable dependent són cada vegada majors · Si s'assembla al Gràfic C, els augments de la variable dependent són cada vegada menors.

Taxa de variació mitjana

La taxa de variació mitjana ens dóna una mesura més precisa de la velocitat de canvi d’una funció en un interval. La idea consisteix en dividir els increments de la variable dependent (segments verticals) pels corresponents increments de la variable independent (segments horitzontals). Es defineix així :

TVM [a,b] = abafbf

yincrementxincrement

−−= )()(

Si la funció és creixent, serà f (b) > f(a), i per tant la TVM serà positiva. Si és decreixent, llavors f (b) < f(a), i la TVM serà negativa (raona per què).

Si la funció vé donada en forma gràfica, el càlcul de la TVM és molt senzill, ja que es redueix a comptar quadradets i dividir (o deixar el resultat en forma de fracció).

107

Page 108: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple:

Determina la taxa de variació mitjana de la funció f(x) = x2 en els intervals [1,2] i [2,5].Solució numèrica :

TVM [1,2] = 31

1212

)1()2( 22

=−=−− ff

TVM [2,5] = 7321

325

25)2()5( 22

==−=−− ff

El creixement és molt més ràpid en el segon interval.Solució gràfica (només TVM [1,2] ) :

TVM [1,2] = 313 = , ja que l'augment en vertical és de 3 quadradets i en

horitzontal d'un.

16. El gràfic mostra la variació de l'alçària del nivell quan el recipient s'omple amb un cabal constant.

Aquí tens quatre botelles i les gràfiques corresponents. Assigna a cada botella la seva.

17. Representa les gràfiques corresponents a aquestes botelles.

108

Page 109: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

18. Dibuixa botelles que puguin tenir aquestes gràfiques :

19. La velocitat d'un cotxe de carreres en un circuit és constant en els trams rectes, i es redueix en les corbes. A més, quan més tancada sigui la corba més baixa serà la velocitat. Aquest gràfic mostra com varia la velocitat d'un cotxe quan recorre un dels tres circuits dibuixats més avall.

a) A quin dels tres correspon ? Raona la resposta.b) Fes el gràfic corresponent als altres circuits.

20. Les gràfiques següents ens mostren les marxes de sis excursionistes.

a) Descriu el ritme de cadascun.b) Quines d'aquestes gràfiques et semblen més poc realistes ?c) Qui fa més camí ?d) Qui camina durant més temps ?21. Determina les taxes de variació mitjana d’aquestes funcions en els intervals [0,1] i [3,4].

- f(x) = 5- f(x) = 2x+3- f(x) = x3

109

Page 110: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

3. EXERCICIS I PROBLEMES.

22. Les tarifes postals de Zedlàndia estan en basades en el pes dels paquets (arrodonit al gram més proper), com es mostra a la taula següent :

Pes (arrodonit al gram més proper) TarifesFins a 20 g21 g – 50 g51 g – 100 g101 g – 200 g201 g – 350 g351 g – 500 g501 g – 1000 g1001 g – 2000 g2001 g – 3000 g

0,46 zeds0,69 zeds1,02 zeds1,75 zeds2,13 zeds2,44 zeds3,20 zeds4,27 zeds5,03 zeds

a) Quins dels gráfics següents és la millor representació de les tarifes postals a Zedlàndia? (L'eix horitzontal mostra el pes en grams, i l'eix vertical mostra el preu en zeds.)

b) En Joan vol enviar a un amic dos objectes que pesen 40 g i 80 g respectivament. Segons les tarifes postals de Zedlàndia, decideix si és més barat enviar els dos objectes en un únic paquet o en dos paquets separats. Escriu els teus cálculs per a trobar el cost en els dos casos.

23. Mohamed està segut en una engronsadora. Comença a engronsar-se. Està intentant arribar tan alt com pugui.

a) Quin gràfic representa millor l'altura dels peus per damunt del terra mentre s'engronsa ?b) Descriu cada gràfic, i inventa una situació que li pugui correspondre.

110

Page 111: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

24. Un pagès planta pomeres amb un patró quadrat. Per tal de protegir els seus arbres del vent, planta xipresos en torn de l'horta.

A continuació pots veure un diagrama d'aquesta situació, on es pot observar el patró de pomeres i xipresos per a qualsevol nombre (n) de fileres de pomeres.

• Pomera x Xiprès

a) Completa la taula següent.n Nombre de pomeres Nombre de xipresos1 1 82 4345

b) Existeixen dues fòrmules que pots utilitzar per a calcular el nombre de pomeres i de xipresos segons el patró descrit a dalt :

Nombre de pomeres : n2

Nombre de xipresos : 8non n és el nombre de fileres de pomeres.

Existeix un valor de n per al qual el nombre de pomeres és igual al nombre de xipresos. Troba aquest valor de n i mostra el mètode que has seguit per a calcular-lo.c) Suposa que el pagès vol fer una horta molt més gran i plantar vàries fileres de pomeres. A mesura que el pagès va fent crèixer l'horta, què creixerà més ràpid, el nombre de pomeres o el nombre de xipresos ? Explica la teva resposta.

25. Un centre escolar vol llogar un autocar per anar d'excursió i es posen en contacte amb tres empreses per tal d'informar-se sobre els preus.

L'Empresa A cobra una taxa inicial de 375 € i 0,5 € per quilòmetre recorregut. L'Empresa B cobra una taxa inicial de 250 € i 0,75 € per quilòmetre recorregut. L'Empresa C cobra una taxa fixa de 350 € fins a 200 quilòmetres i 1,02 € per quilòmetre posterior a aquests 200 km.

Quina empresa haurà de triar el centre si per anar d'excursió han de recòrrer una distància total d'entre 400 i 600 km?

26. Un pagès decideix construir un corral de forma rectangular per al ramat. Per fer-lo, disposa d'una tela metàl·lica de 120 metres de llarg. Quines han de ser les dimensions del rectangle perquè la superfície tancada sigui la màxima possible ?

27. Tenim una xapa rectangular de 40x30 cm i volem fabricar-hi un recipient, com s'indica a la figura :

111

Page 112: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

El volum del recipient fabricat dependrà de la longitud x dels costats dels quadradets que tallam als cantons.a) Troba l'expressió analítica de la funció que relaciona la longitud dels costats de quadradets retallats amb el volum del recipient.b) Per a quin valor de x obtindrem un volum màxim ? c) Quin n'és el domini de definició ?

28. Per raons de salut la gent hauria de limitar els seus esforços, quan fan esport, per exemple, per tal de no superar una determinada freqüència cardiaca. Durant anys la relació entre la màxima freqüència cardiaca recomanada per a una persona i la seva edat es describia amb la fòrmula següent :Màxima freqüència cardiaca recomanada = 220 – edatInvestigacions recents han demostrat que aquesta fòrmula s'hauria de modificar lleugerament. La nova fòrmula és la següent :Màxima freqüència cardiaca recomanada = 208 – (0,7 x edat)

a) Un article de diari afirma: “El resultat d'usar la nova fórmula en lloc de l'antiga és que el màxim número recomanat de batecs cardíacs per minut disminueix lleugerament pels joves i augmenta lleugerament pels majors.” A partir de quina edat augmenta la màxima freqüència cardiaca recomanada com a resultat d'introduir la nova fòrmula? Escriu els teus càlculs.

b) La fòrmula per a la màxima freqüència cardiaca recomanada = 208 – (0,7 x edat) s'usa també per a determinar quan és més eficaç l'exercici físic. Les investigacions han demostrat que l'exercici físic és més eficaç quan els batecs cardíacs assoleixen el 80% de la màxima freqüència cardiaca recomanada.

Escriu una fòrmula que calculi la freqüència cardiaca recomanada per què l'exercici físic sigui més efectiu, expressada en termes d'edat.

112

Page 113: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

4. AUTOAVALUACIÓ

1. Aquest gràfic representa el nombre de viatgers que hi ha en l’aeroport de Palma en funció de les hores del dia.

a) És una funció? Per què?b) Es contínua o discontínua? c) Indica on creix i decreix.d) Determina els màxims i mínims.e) Determina si és periòdica o simètrica.

2. Per provar el rendiment d'un tren d'alta velocitat, se'l fa arrancar i, amb tota la potència, se l'accelera sobre una via horitzontal i sense revolts. S'anota a cada instant la velocitat que assenyala el velocímetre.

a) Identifica les variables independent i dependent. b) Quin és el domini de definició d’aquesta funció? Quin recorregut té ?c) La corba té una primera part ascendent. Què significa ?d) Al final, el gràfic és horitzontal. Què significa ?e) Indica la màxima velocitat possible i a quin instant, aproximadament, s'assoleix.f) Calcula l'augment de velocitat des de l'instant 0 al minut 1; des del minut 1 al 2; i des del 2 al 3. A quin període, dels tres assenyalats, l'acceleració és més gran ?3. La taula següent mostra la temperatura d'un malalt a cada hora :

a)Quan té la temperatura més baixa? I més alta? b) Dibuixa una gràfica que mostri com canvia la seva temperatura. Tria un punt de començament convenient per a l'eix de temperatures.

113

Page 114: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

4. Estudia si les funcions següents són continues, si no ho són, indica en quins punts són discontínues.a) b)

5. Un depòsit d'aigua té la forma i dimensions que es mostren en el dibuix. Inicialment el depòsit està buid. Desprès l'omplim d'aigua a raó d'un litre per segon.

a) Quin dels gràfics següents mostra com va canviant l'altura de l'aigua en la cisterna en funció del temps ?

b) Descriu cada gràfic.

114

Page 115: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 8: LES FUNCIONS LINEALS I QUADRÀTIQUES

1. FUNCIONS LINEALS.

1.1. DEFINICIÓ. CASOS PARTICULARS.

· Equació general de la funció lineal. Significat del pendent i de l'ordenada a l'origen.

· Identificació del pendent i de l'ordenada a l'origen a l'equació. Exercicis 1, 2.

· Funció de proporcionalitat directa i funció constant.

· No totes les rectes són funcions.

1.2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA.

· Construcció de taules de valors i gràfics lineals a partir de l'equació. Exercici 3. · Identificació del pendent i de l'ordenada a l'origen a partir de la gràfica. Exercici 4.

· Representació directa de rectes a partir de l'equació. Exercicis 5-7. · Obtenció directa de l'equació de la recta a partir del gràfic. Exercicis 8, 9.

1.3. APLICACIÓ A LA RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS.

· Resolució gràfica d'un sistema d'equacions lineals. Exercicis 10, 11.

1.4. ALTRES FORMES DE L'EQUACIÓ DE LA RECTA.

· Determinació de l'equació coneixent-ne un punt i el pendent. Exercicis 12-15, 17, 18.

· Determinació de l'equació coneixent-ne dos punts. Exercicis 16, 17.1.5. FUNCIONS LINEALS A LA VIDA QUOTIDIANA

2. FUNCIONS QUADRÀTIQUES

2.1. DEFINICIÓ.

· Equació general de la funció quadràtica.

2.2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA.

· Vèrtex, eix de simetria i branques.

· Representació gràfica de funcions quadràtiques. Exercici 19.

3. AUTOAVALUACIÓ

115

Page 116: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. FUNCIONS LINEALS

1.1. DEFINICIÓ. CASOS PARTICULARS.

Funcions lineals

Una funció lineal es pot expressar en la forma y = mx + n , on m i n són nombres qualssevol. Té per gràfica una recta :

· El coeficient m s'anomena pendent, i ens indica l'increment (si és positiva) o la reducció (si és negativa) de la variable y per cada unitat d'increment de la x (el grau d'inclinació de la recta) . · El terme independent n s'anomena ordenada en l'origen, perquè és el valor de la funció sobre l'eix d'ordenades (quan x val 0).

Exemple 1

La funció 13

2 += xy té per pendent 32=m , i per ordenada en l'origen n = 1. Per

cada unitat d'increment de la x, l'increment de la y és de 2/3 d'unitat (o per cada 3 unitats d'augment de la x, la y augmenta 2 unitats). Talla l'eix d'ordenades a y = 1.

La funció 545 +−= xy té per pendent

45−=m , i per ordenada en l'origen n = 5.

Per cada unitat d'increment de la x,la reducció de la y és de 5/4 d'unitat (o per cada 4 unitats d'augment de la x, la y disminueix 5 unitats). Talla l'eix d'ordenades a y = 5.

Casos particulars

Si n = 0 , l'equació és de la forma y = mx En aquest cas, la funció lineal passa per l'origen de coordenades, i s'anomena funció de proporcionalitat directa. Les relacions de proporcionalitat directa s'expressen amb expressions d'aquesta

116

Page 117: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

forma, ja que el quocient de les dues variables és constant :

mxymxy =→= La constant de proporcionalitat és el pendent de la recta.

Exemple 2

Les funcions xy 3= , xy21= , xy 2−= són de proporcionalitat directa. Les

constants de proporcionalitat són, respectivament, 3, ½, i -2.

Si m = 0 , l'equació és de la forma y = nEn aquest cas, la funció lineal és una recta paral·lela a l'eix d'abscisses que talla l'eix d'ordenades a y = n, i s'anomena funció constant.

Exemple 3

La funció y = 4 és una funció constant.

1. Indica per on tallen l'eix de les ordenades i quin pendent tenen les següents funcions:

a) y = x – 3 b) y = 2x + 1 c) y = 4x d) y = 2

tall en l’eix Y: tall en l’eix Y: tall en l’eix Y: tall en l’eix Y:pendent: pendent: pendent: pendent:

2. Indica el pendent i l'ordenada en l'origen de les rectes següents :i. 52 −= xy b) 1−= xy

c) 27 += xy d) 2

3−= xy

No totes les rectes són funcions

Les rectes paral·leles a l'eix d'ordenades no són funcions, ja que fan correspondre a un valor de x infinits valors de y.

117

Page 118: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Com que tots els seus punts tenen el mateix valor a la primera coordenada, es defineixen amb equacions de la forma x = k

Exemple 4

La recta x = 3 no és una funció.

1.2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA.

3. Completa les taules de valors de les rectes següents, i representa-les gràficament.y = 3x y = –2x

y = 2x

x y x y x y–2 –3 –20 –1 –11 0 23 2

Identificació gràfica del pendent d'una recta

Com s'ha dit, el pendent d'una recta indica la variació de la y (augment o disminució) per cada unidat de la x.

A la figura, P1 i P2 (amb les coordenades que s'indiquen) són dos punts d'una recta. · La variació de la y és la diferència entre les segones coordenades : y2 – y1. · La variació de la x és la diferència entre les primeres coordenades : x2 – x1. El pendent de la recta és el quocient :

12

12

varvar

xxyy

iacióiacióm

X

Y

−−==

Observem que x2 – x1 sempre serà positiu; en canvi, y2 – y1 serà positiu si la funció és creixent, i negatiu si és decreixent (raona per què).

118

Page 119: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Aquestes idees ens faciliten un procediment per a calcular el pendent d'una recta representada en un sistema de coordenades :

(1) Triam dos punts de la recta que tenguin coordenades enteres.(2) Comptam les unitats que avança la x entre els dos punts, i les unitats que

augmenta o disminueix la y.(3) Expressam els resultats en forma de fracció, amb la variació de la y en el

numerador, i la de la x en el denominador.(4) Si la y disminueix, posam signe negatiu.

Exercici resolt 1

Calcula el pendent de les rectes següents :

43=m

53−=m 1

33 −=−=m

4. Indica quin pendent tenen els següents segments:a) Pendent= b) Pendent = c) Pendent=

d) pendent= e) Pendent = f) Pendent =

g) pendent= h) pendent= i) pendent=

5. Dibuixa segments que tenguin els següents pendents:a) Pendent = 3 b) Pendent = –1 c) Pendent = 1 d) Pendent = 1/3 e) Pendent = –2

f) Pendent = –2/3 g) Pendent = 1/2 h) Pendent = 3/2 i) Pendent = 4/2 j) Pendent = –3/4

119

Page 120: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Representació de la recta a partir de l'equació Podem representar directament una funció lineal y = mx + n, sense necessitat de construir una taula de valors, seguint els següents passos : (1) Marcar el punt de tall (0,n) a l’eix de les ordenades (ordenada a l'origen). (2) A partir d'aquest punt, dibuixar un segment de pendent m. (3) Prolongar el segment en els dos sentits.

Exercici resolt 2 Fes la gràfica de la funció y = 2x, directament a partir de l'equació. A l'equació, n = 0, i m = 2 . Per tant :

Marcam el punt (0,0). Dibuixam un segment Prolongam el segment de pendent 2 (avança 1, puja 2).

Cas particular Recordem que si m = 0, es tracta de la funció constant, que es representa amb una recta paral·lela a l'eix d'abscisses que talla l'eix d'ordenades a y = n (veure Exemple 3).

Determinació de l'equació de la recta a partir de la gràfica

(1) Localitzar visualment el punt de tall amb les ordenades; així obtenim el valor de n. (2) Triar dos punts de la recta de coordenades enteres, i representar l'increment de les variables per mitjà de dos segments : un d'horitzontal per a la x, i un altre de vertical per a la y. (3) Escriure en forma de fracció el quocient entre els dos increments : el de la y en el numerador i el de la x en el denominador; simplificar si cal, i posar davant el signe negatiu si la recta és decreixent. Així obtenim el valor de m. (4) Escriure l'equació completa, substituint m i n pels valors trobats.

Exercici resolt 3 Troba l'equació de la recta a partir de la gràfica :

120

Page 121: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

(1) Talla les ordenades a -2; per tant n = -2.(2) i (3) Triam els punts (0,-2) i (2,3), i observam que a un increment de la x en 2

unitats correspon un increment de la y en 5 unitats. Per tant, 25=m

(4) L'equació de la recta és 225 −= xy

6. A partir del pendent i de l'ordenada en l'origen,dibuixa les gràfiques de les funcions següents :a) y = 2x + 1

c) y = x – 3

e) y = x

g) 23

2 −= xy

i) 22

3 += xy

k) 12 +−= xy

b) y = –x + 2

d) y = –3x + 5

f) y = 1

h) 2xy −=

j) 13

−= xy

l) 6

4−= xy

7. A partir del pendent i de l'ordenada en l'origen, dibuixa les gràfiques de les funcions següents :

3. 23 −= xy e) 15,0 −= xy

4. xy 2= f) 232 =− xy

5.2

3 xy −= g) 12

=− yx

6. 4−=y h) 53 −= xy

8. Digues quina és l'equació de la recta a partir de les següents gràfiques:

a) y= b) y=

121

Page 122: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

c) y= d) y=

e) y= f) y=

9. Troba les equacions de les rectes següents :

122

Page 123: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1.3. APLICACIÓ AL LA RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS.

Resolució gràfica de sistemes d'equacions lineals

A la unitat anterior vam resoldre sistemes d'equacions amb l'àlgebra. Però també es poden resoldre geomètricament.Donat un sistema d'equacions lineal. Hem de fer les gràfiques de les dues equacions, i el punt de tall d'estes dues rectes, serà la solució del sistema. Per fer-ho seguirem els següents passos: 1r) Aïllar les y a les dues equacions, per separat. Cercam l'equació explícita de la recte: y = mx + n 2n) Representam les rectes en el mateix sistema de coordenades: · Marcam el punt de tall amb les ordenades. · Representam el pendent, i prolongam el segment que resulta.3r) Si el sistema té una única solució (compatible determinat), aquesta és el punt de tall de les rectes.

De vegades no obtenim un punt de tall. En aquests casos, pot passar :

d) Que les rectes siguin paral·leles : el sistema no té solució (incompatible).

e) Que les rectes siguin coincidents : el sistema té infinites solucions (compatible indeterminat).

Exercici resolt 1 Resol gràficament el sistema :

=+−=−

16233

yxyx

Aïllam la y a cada equació :3+= xy m = 1, n = 3

823 +−= xy m =

23− , n = 8

Representam gràficament les dues rectes La solució és el punt d’intersecció : (2,5); és a dir, x = 2, y = 5.

10. Resol gràficament:

a)

=+=−

9213

yxyx

b)

=−=+

5263

yxyx

c)

=+=−3

32yx

yx

d)

=+=+

362334

yxyx

e)

−=−=+

3235

yxyx

f)

−=+=+−

1214

yxyx

11. Troba els vèrtexs del triangle definit per la intersecció de les rectes que són la representació gràfica de les funcions següents:

a) 443 +−= xy b) 5−= xy c) y=3

123

Page 124: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1.4. ALTRES FORMES DE L'EQUACIÓ DE LA RECTA.

Equació de la recta coneixent-ne un punt i el pendent

Coneixem el pendent m de la recta i un punt d'aquesta P, de coordenades (x0, y0). Com que l'equació de la recta és de la forma y = mx + n , es tracta de trobar el valor de n. Donat que el de m ja ens el diuen. Els punts de la recta són valors que poden prendre x i y. Substituïm doncs a l'equació x i y per les coordenades del punt que ens donen : y0 = m x0 + n Com que m, x0 i y0 són nombres coneguts, tenim una equació amb la incògnita n, que resoldrem : n = y0 - m x0

Exercici resolt 5 Troba l'equació de la recta que passa per (–5, –4) i té pendent 2. A l'equació y = mx + n , substituïm pels valors donats : x0 = -5, y0 = -4, m = 2 . – 4 = 2·(–5) + n I resolem : – 4 = –10 + n → –4 + 10 = n → n = 6 L'equació de la recta és : y = 2x + 6Equació punt-pendent de la recta

Com que n = y0 - m x0 , substituint n a l'equació y = mx + n resulta : y = mx + y0 - m x0 Treim factor comú m, i obtenim l'expressió : y = y0 + m(x - x0) coneguda com a equació punt-pendent de la recta.

Exemple 5 Amb aquesta equació es pot donar directament la solució de l'exercici anterior : y = - 4 + 2·(x + 5)Rectes paral·leles

Dues rectes paral·leles tenen el mateix pendent.

12. Troba l'equació de la recta en els casos següents :a) P(–3, 5) i pendent 2 b) P( 1, –4) i pendent – 3

c) P( –8, 2) i pendent 52

d) P(–7, –9) i pendent 37−

13. Troba l'equació de la recta en els casos següents :a) Paral·lela a y = –2x + 3 que passa pel punt ( 1, 4).b) Paral·lela a y= 4 que passa pel punt (3, –4)c) Paral·lela a y = –2x + 1 que passa pel punt (–5, –2)

14. Calcula c perquè la recta 5x –2y = c passi pel punt (–3, 7).

15. Calcula b perquè la recta 3x + by = –5 passi pel punt (–3, 4).

124

Page 125: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Equació de la recta que passa per dos punts

Si coneixem dos punts d'una recta, podem procedir així : (1) Trobar el pendent de la recta a partir dels dos punts, com s'ha vist anteriorment. (2) Trobar l'equació de la recta amb el pendent i un dels punts, com s'acaba de veure (Exercici resolt 5).

Però el problema es pot resoldre també amb un procediment més directe : (1) Substituir a l'equació y = mx + n les variables per les coordenades de cada punt. Obtenim així dues equacions lineals amb les incògnites m i n. (2) Resoldre aquest sistema.

Exercici resolt 6 Troba l'equació de la recta que passa pels punts (3,1) i (6,5).Primer procediment Podem calcular el pendent de dues maneres : · Gràficament : Comptant quadradets o mesurant l'increment de les variables.

· Numèricament : Calculant les diferències entre les coordenades.

34

3615

varvar =

−−==

X

Y

iacióiacióm Aquest mètode és més ràpid, perquè no cal dibuixar la

recta Ara calculam l'ordenada a l'origen com a l'Exercici resolt 5 :

34143·341 −=−=→+=+= nnn

L'equació de la recta és 334 −= xy

Segon procedimentnm += 3·1 Substituïm per les coordenades del primer puntnm += 6·5 Substituïm per les coordenades del segon punt

3443

5613

=→=→

=+=+

mmnmnm

Restam i trobam m

314134·3 −=→=+→=+ nnn Substituïm a una equació i trobam n

16. Troba l'equació de la recta que passa pels punts :a) P(2, –1) i Q(4, 0) b) P( 1, 3) i Q(5, –1)c) P( –1, 2) i Q(0, 5) d) P( 2, 3) i Q( –1, 5)

125

Page 126: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

17. Escriu l’equació d’aquestes rectes i representa-les :a) Passa per (–2, 3) i (5, –4).

b) Passa pel punt

− 2,

53

i el seu pendent és –3/2

c) Passa pel punt (2, 2) i la seva ordenada en l’origen val –5. d) Passa per (1, –5) i es paral·lela a y = 2x.

18. Donada la recta y = 3x – 2, troba la recta que passa pel punt (1, –1) i talla a l'eix OY en el mateix punt que l'anterior.

1.5. FUNCIONS LINEALS A LA VIDA QUOTIDIANA

Moltes situacions es poden representar per mitjà de funcions lineals. Alguns exemples són els preus en funció de la quantitat d'un article, l'import d'un rebut d'electricitat, els honoraris d'un llanterner, el canvi de moneda, la conversió de graus Farenheit en graus centígrades, l'espai recorregut per un mòbil que es desplaça a velocitat constant …

Exemple 6 Dins la mar, la pressió augmenta de manera uniforme a mesura que augmenta la profunditat. A la superfìcie, la pressió és 1 atmòsfera (1 atm). Per cada 10 m que ens enfonsam, la pressió augmenta 1 atmòsfera.. El gràfic representa la pressió (en mbar) que experimenta un objecte submergit en funció de la profunditat (en m).

Exemple 7 Pengem de l'extrem d'una molla (situat a 40 cm del sòl) distintes peses, i anotam l'allargament de la molla. El gràfic mostra la distància de l'extrem al terra (en cm) en funció del pes (en kg).

Quines són les equacions de les funcions representades als exemples 4 i 5 ?

126

Page 127: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2. FUNCIONS QUADRÀTIQUES

2.1. DEFINICIÓ.

Funcions quadràtiques

Les funcions quadràtiques es poden expressar, en forma reduïda, com y = ax2 + bx + c, amb a distint de 0

Les seves gràfiques són paràboles.

Les dues branques de la paràbola són simètriques respecte d'una recta paral·lela a l'eix d'ordenades, anomenada eix de la paràbola. El punt d'intersecció entre les branques i l'eix s'anomena vèrtex. Si a és un nombre positiu, les branques estan dirigides cap amunt (com a la ilustració). Si a és negatiu, les branques es dirigeixen cap avall. Per tant, tota funció quadràtica té un únic mínim o màxim relatiu, que correspon al vèrtex (Raona perquè, i de què depèn que sigui mínim o màxim).

2.2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA.

Representació gràfica

(1) Calcular la primera coordenada del vèrtex mitjançant la següent fòrmula, que es dóna sense justificació :

abx

2−=

(2) Calcular la segona coordenada del vèrtex, la y, substituint el valor trobat a la funció. (3) Calcular els punts de tall als eixos.Quan x = 0; y = cQuan y = 0; 0 = ax2 + bx + c, cal resoldre una equació de 2n grau. (4) Calcular, amb una taula de valors, dos o tres punts propers al vèrtex! (5) Representar els punts obtinguts, i unir-los amb un traç. Pensa que són simetrics.

127

Page 128: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 7 Representa la funció y = x2 – 6x + 3

( ) 31·26

2=−−=−=

abx Primera coordenada del vèrtex

633·6336 22 −=+−=+−= xxy Segona coordenada del vèrtex Coordenades del vèrtex : ( 3, –6 )Els punts de tall als vértexx = 0, y = 3. Tallarà l'eix d'ordenades pel (0, 3)y=0, x2 – 6x + 3 = 0

x=6±√62−4 · 1 · 32 · 1

=6±√36−122

=6±52

={5.50.5}

Calculam tres punts a l'esquerra :x y2 22 – 6·2 + 3 = - 51 12 – 6·1 + 3 = -20 02 – 6·0 + 3 = 3

Representam el vèrtex i la branca esquerra amb aquests tres punts, i després representam l'altra branca per simetria.

19. Representa les següents paràboles:a) 452 +−= xxyb) 0522 =++ xxc) y = 2x2 – 18xd) y = 3x2 + 6xe) y = x2 + 9

f) y = – 2x2 + 6x + 4g) y = 3x2 + 3x – 6h) y = x2 – 8i) y = x2 – 5x + 4j) y = – x2 + 2x – 3

128

Page 129: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

4. AUTOAVALUACIÓ

1. Dibuixa al sistema de coordenades el punts: P( 2, 6); Q(–1, 3); R(2, –4); S(0, –2)Quin d'aquests punts pertany a la recta y = – 2x?

a) Calcula 4 punts de la recta y = 2x – 5.

b) Representa la recta de l’apartat anterior als eixos de coordenades mitjançant una taula de valors.

c) Quin és el pendent i quina l'ordenada a l'origen de la recta y = x – 3? I en la recta y = – 2x + 4 ?

d) Representa les rectes anteriors a partir del pendent i l'ordenada a l'origen.

e) Troba l'equació de la recta que passa per P(2, –3) i és paral·lela a y = –3x + 4.

f) Troba l'equació d'una recta que passa pels punts P(1, –1) i Q(3, –2).

g) Associa cada una de les rectes r, s, t, p, q a una d’aquestes equacions:

1) xy31=

2) 23

2 += xy

3)3

5xy −=

4) 53

5 +−= xy

5) 3−=y

9. Escriu l'equació de cadascuna de les rectes següents:

10. Troba el punt d'intersecció de la recta 3x – 2y = 0 i la recta y = 6x – 2.

11. Dibuixa la següent paràbola y = 2x2 + 10x + 12.

129

Page 130: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 9: ESTADÍSTICA

1. CONCEPTES BÀSICS.· Població i mostra. Estadística Descriptiva i Estadística Inferencial. Exercici 3.· Necessitat, conveniència i representativitat d’una mostra. Exercici 2.· Mètodes de selecció aleatòria. · Variable estadística. · Tipus de variables estadístiques : qualitatives i quantitatives (discretes o contínues).

Exercicis 1, 3.2. ORGANITZACIÓ DE LES DADES EN TAULES DE FREQÜÈNCIES.

· Freqüència absoluta i relativa. · Freqüència acumulada. · Construcció de taules de freqüències : dades aïllades i agrupades en intervals.

Exercicis 4-7.· Interpretació de taules de freqüències. Exercicis 6, 7.

3. GRÀFICS ESTADÍSTICS· Construcció de gràfics estadístics : gràfic de barres, histograma, polígon de

freqüències, diagrama de sectors, pictograma. Exercicis 8-13.· Construcció del gràfic adequat a la naturalesa de les dades i a l’objectiu desitjat.

Exercicis 8, 12, 13.· Interpretació de gràfics estadístics. Exercicis 14-16.· Tendenciositat. Detecció de fal·làcies. Exercicis 17-19.

4. MESURES CENTRALS· Significat dels paràmetres de centralització : mitjana aritmètica, moda, mediana.· Càlcul i aplicacions dels paràmetres de centralització.

· Dades aïllades. Exercici 20.· Dades agrupades en intervals. Exercicis 21, 24.

5. MESURES DE DISPERSIÓ· Significat dels paràmetres de dispersió : rang, variància i desviació típica.· Càlcul i aplicacions dels paràmetres de dispersió.

· Dades aïllades. Exercici 22. · Dades agrupades en intervals. Exercicis 23, 24.

6. INTERPRETACIÓ CONJUNTA DE MITJANA ARITMÈTICA I DESVIACIÓ TÍPICA.· Associació de gràfics i paràmetres estadístics. Exercicis 25, 26· Coeficient de variació : significat i càlcul. Exercicis 27-29.· Utilització de les mesures de centralització i dispersió per realitzar comparacions i

valoracions. Exercicis 25-29.7. EXERCICIS I PROBLEMES · Anàlisi i crítica de la informació d’índole estadístic i de la seva presentació. Exercicis 30-39.8. AUTOAVALUACIÓ

130

Page 131: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. CONCEPTES BÀSICS.

L’estadística és la ciència que s’encarrega de recopilar i d’ordenar dades referides a diversos fenòmens per analitzar–les i interpretar–les posteriorment. La població és el conjunt de tots els elements objecte d’estudi. La mostra és la part de la població que estudiem, i ens serveix per deduir característiques de tota la població. Un individu és cada un dels elements que formen la població o la mostra. Variable estadística és la característica que mesuram en els individus. Cada variable pot prendre diferents valors o modalitats. Les variables estadístiques poden ser de dos tipus :· Qualitatives: Les dades recollides són modalitats d'una qualitat. Exemples : estat civil, color dels cabells, causes d’accidents laborals ...· Quantitatives: Les dades són valors numèrics. Podem distingir dos tipus de variable quantitativa :· Discretes : Només poden prendre valors aïllats. Exemples : nombre de fills, número de sabata, nombre de gols de cada equip a una lliga ...· Contínues : Poden prendre tots els valors d’un interval. Exemples : estatura, pes, duració d'un pneumàtic ...

1. Referit als alumnes de l’institut, indica si cada una de les variables següents és quantitativa discreta, quantitativa contínua o qualitativa:a) Edat dels alumnes.b) Estació de l’any en què varen néixer.c) Esport que practica cada un d’ells.d) Número de sabata que calcen.e) Gols marcats en una jornada per tots els equips de l’institut.f) Temps dedicat a les feines domèstiques.

Estadística Descriptiva i Estadística Inferencial

L'Estadística Descriptiva observa les variables a tots els individus d'una població, sense extreure'n conclusions per a un grup major. La majoria de vegades que es fa un estudi estadístic, la població és molt nombrosa i no és possible, o seria massa costós, fer la observació a cada individu. Per exemple, si volem conèixer les estatures mitjanes dels ciutadans de Palma, les preferències polítiques davant les properes el·leccions al Parlament de les Illes Balears, o la duració mitjana de les bombetes fabricades a una factoria. En aquests casos, es tria una mostra de la població, s'estudia la variable a la mostra i se n'extreu una conclusió que se suposa vàlida per a tota la població. L'Estadística Inferencial fa les observacions a una mostra i pretèn, a partir d'elles, inferir característiques de tota la població. En aquest procés cal actuar amb molta cautela : Com es tria la mostra ? Quin grau de confiança es pot tenir en el resultat obtingut ?Exemple 1 Volem fer un estudi sobre el nombre d'hores diàries de son entre estudiants d'ESO. Si només volem treure conclusions sobre el nostre curs, no necessitarem mostra, i el nostre curs serà la població. Farem estadística descriptiva. Si volem estudiar al conjunt d'estudiants d'ESO de l'institut (350 alumnes), serà convenient triar-ne una mostra reduïda, que sigui representativa i ens permeti aplicar els resultats a tot l'alumnat. Farem estadística inferencial.

131

Page 132: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Representativitat d'una mostra

En substituir l'estudi de la població pel de la mostra, es cometen errors. Però amb ells ja hi comptam i es poden controlar. Aixó vol dir que podem assegurar un marge reduït d'error i una certa fiabilitat de les conclusions. Ara bé, si la mostra està mal triada i no és representativa de la població, es produeixen errors addicionals imprevistos i incontrolats (biaixos). L'única manera de garantir la fiabilitat de les conclusions és que l'elecció de la mostra (el mostreig) sigui aleatori. Un mostreig és aleatori quan els individus de la mostra es trien a l'atzar, així que tots els individus de la població tenen la mateixa probabilitat de ser triats. Hem de tenir present que, inclús amb una mostra representativa, els resultats seran sempre una aproximació més o menys bona de la realitat, amb un cert marge d'error i un cert grau d'incertesa.Exemple 2 Continuant amb l'estudi sobre les hores de son, posem que volem triar una mostra de 60 alumnes, i considerem els següents sistemes de mostreig : · Els primers 60 alumnes que arriben a l'institut un dia triat a l'atzar.· Un grup complet de 1r, un altre de 2n, i un altre de 3r, triats a l'atzar.· Tres grups qualsevol, triats a l'atzar.· 15 alumnes de cada nivell educatiu, de 1r a 4t, triats a l'atzar.· Els 60 alumnes de millor rendiment acadèmic.· Enumerar els alumnes d'1 a 350, i triar-ne 60 números a l'atzar. Només el darrer mètode garanteix que tots els alumnes tenguin la mateixa probabilitat de ser elegits (raona per què), i per tant és l'únic dels sis que ens proporcionarà una mostra representativa.

2. En una població de 200000 habitants, es vol fer un sondeig sobre la intenció de vot en les properes eleccions municipals. Es triarà una mostra de 500 individus.a) Indica per què els següents sistemes de mostreig no proporcionen una mostra representativa. A : Triar a l'atzar 500 individus d'un barri determinat.B : Telefonar 500 individus triats a l'atzar. C : Enviar enquestadors que passejin aleatòriament i entrevistin els vianants que trobin.D : Entrevistar als primers 500 assistents al partit de futbol de diumenge.E : Aprofitar els caps de setmana, que n'hi ha gran afluència als centres comercials, per entrevistar als compradors. Quins són els més esbiaixats ? Argumenta la resposta.b) Explica com ho faries per tal de triar-ne una mostra representativa.

3. Identifica la població i el tipus de variable estadística que s’estudia en cada cas. Indica també si convé utilitzar una mostra, o no cal. Raona la teva resposta.a) Activitat preferida pels alumnes de 2n cicle d’ESO de l’Antoni Maura.b) Nombre de pel·lícules vistes mensualment pels alumnes del teu curs.c) Lloc de vacances dels habitants de Palma.d) Duració dels pneumàtics fabricats per una empresa.e) Preu d’un kg de lluç a les peixateries de Palma.f) Edats dels pacients ingresats a Son Espases.g) Notes obtingudes pels teus companys de classe a la darrera prova escrita de matemàtiques.h) Resultats obtinguts pels participants a una prova de salt de longitud.i) Extensió en km2 dels estats europeus.j) Nombre de fills de les parelles mallorquines.

132

Page 133: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Passos que es donen en un estudi estadístic1. Elaboració de l’enquesta, de manera que l’enquestat tingui clar allò que es

pregunta i quines són les possibles respostes.2. Selecció de la mostra.3. Recollida de dades: es passa l’enquesta i s’hi anoten les respostes.4. Organització, classificació i recompte de les respostes.5. Elaboració de taules amb els resultats.6. Càlcul de mesures de centralització i de dispersió.7. Confecció de gràfics.

2. ORGANITZACIÓ DE LES DADES EN TAULES DE FREQÜÈNCIES Desprès de recopilar les N dades d’un estudi estadístic, feim el recompte i agrupem les dades que són iguals a fi d’ordenar–les. Si la variable és quantitativa, ordenem els valors de menor a major. Si és qualitativa, escrivim cada valor (modalitat) i anotem el nombre de vegades que apareix.

Freqüència absoluta, if , d’una dada estadística és el nombre de vegades que es repeteix cada valor. La suma de les freqüències absolutes és igual al total de dades : Nf i =∑

Freqüència relativa, ih , d’una dada estadística és el quocient entre la freqüència absoluta i el nombre total de dades :

Nfh i

i =

La suma de les freqüències relatives és igual a la unitat : 1=∑ ih

Per calcular el percentatge de cada valor, basta multiplicar per 100 : 100·ii hp =

Quan els valors de la variable estan ordenats de menor a major, la freqüència acumulada, iF , en cada valor és la suma de la seva freqüència amb les de tots els valors anteriors.

133

Page 134: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Confecció d’una taula · Dades aïllades Si la variable pren un nombre reduït de valors, es presenten a la taula en forma de dades aïllades. Exemple 3 :Notes d’un grup: 9, 4, 8, 5, 5, 4, 1, 7, 2, 2, 3, 9, 6, 4, 10, 8, 2, 1, 6, 7, 6, 10

Taula de freqüènciesxi fi hi pi Fi

1 2 0'091 9'1 22 3 0'136 13'6 53 1 0'045 4'5 64 3 0'136 13'6 95 2 0'091 9'1 116 3 0'136 13'6 147 2 0'091 9'1 168 2 0'091 9'1 189 2 0'091 9'1 2010 2 0'091 9'1 22

N= 22 1 100 · Dades agrupades en intervals Si el nombre de valors que pren la variable és gran, convé agrupar–los en intervals.Exemple 4 : Estatures de 40 alumnes d’una classe:168, 160, 168, 175, 175, 168, 168, 158, 149, 160, 178, 169, 158, 163, 171, 162, 165, 163, 156, 174, 160, 165, 154, 163, 165, 161, 162, 166, 163, 159, 170, 165, 150, 167, 164, 165, 173, 172, 168, 168 Els símbols que tanquen els intervals indiquen la pertenència o no dels nombres extrems a l'interval. Per exemple, a [148'5, 153'5) 148'5 forma part de l'interval i 153'5 no.

Taula de freqüènciesInterval fi hi pi Fi

[148'5, 153'5) 2 0'05 5 2[153'5, 158'5) 4 0'10 10 6[158'5, 163'5) 11 0'275 27'5 17[163'5, 168'5) 14 0'350 35 31[168'5, 173'5) 5 0'125 12'5 36[173'5, 178'5) 4 0'10 10 40

N= 40 1 100

4. Els membres d’una família: padrins, pares, germans i néts, varen néixer a les següents estacions de l’any (P=primavera, E=estiu, T=tardor, H=hivern):P–E–H–T–P–H–E–P–T–E–E–T–P–H–E–H–T–P–E–H–P–P Fes el recompte de les dades i organitza–les en una taula (inclueix les freqüències absolutes, relatives i absolutes acumulades).

134

Page 135: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

5. Les notes d’anglès han estat:6,3,7,4,9,5,3,4,5,6,7,1,3,5,6,4,5,6,7,3,4,2,7,8,9,2,3,5,7,8,7,4,5,6,7,4,6,2,3,2,1,4,6,7,5,3,4,3,2,1a) Agrupa les dades en una taula amb freqüències absolutes, relatives i absolutes acumulades.b) Quants alumnes han suspès ? Quin percentatge dels alumnes varen treure un 5 ? Quin percentatge dels alumnes han suspès ?c) Agrupa–les de nou considerant els intervals : insuficient 1–4; suficient:5–6; notable:7–8; excel·lent:9–10.

6. La taula mostra l’esport que prefereixen practicar 40 estudiants. Esport FreqüènciaBasquetbol 10Voleibol 1Futbol 20Tennis 5Escacs 4

Calcula les freqüències relatives i els percentatges d’aquesta distribució.

7. A la taula s'indica el mes en què varen néixer 100 persones.Mes G F Mç Ab M Jn Jl Ag S O N DFreq 7 9 10 6 8 8 7 9 8 9 9 10a) Completa la taula afegint-ne les freqüències absolutes, relatives, percentatges i absolutes acumulades.b) Quantes persones varen néixer abans de juny?c) Quin percentatge correspon als que vàren nèixer l'agost ?

3. GRÀFICS ESTADÍSTICS El diagrama de barres serveix per representar freqüències de variables qualitatives quantitatives discretes. A l’eix d’abscisses representem els valors de la variable i a l’eix d’ordenades les freqüències. Sobre cada valor es traça una barra estreta d’alçària la freqüència (absoluta o relativa) corresponent.Exemple 5 : On s'acostuma a menjar peix?A casa 75%Al restaurant 22%En altres llocs 3,00%

L'histograma serveix per representar distribucions agrupades en intervals. A l’eix d’abscisses representem els intervals i a l’eix d’ordenades les freqüències. Sobre cada interval es traça un rectangle de base la longitud de l'interval i d'àrea

135

Page 136: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

proporcional a la freqüència (absoluta o relativa). Si tots els intervals tenen la mateixa longitud, l’alçària del rectangle coincidirà amb la freqüència.Exemple 6 :

El diagrama de sectors serveix per representar freqüències de qualsevol tipus de variable però l’emprem molt sovint per a las variables qualitatives. · La distribució es representa a un cercle dividit en sectors, un per a cada valor de la variable. L'àrea de cada sector ha de ser proporcional a la freqüència. · L’angle de cada sector és proporcional a la freqüència del valor corresponent. S’obté multiplicant la freqüència absoluta per 360º i dividint entre el nombre total de dades, o bé multiplicant la frqüència relativa per 360º :

º360º360 ⋅=⋅ ii hN

f

Exemple 7 :

El pictograma representa les freqüències per mitjà de figures. · A l’eix d’abscisses representem els valors de la variable. · Sobre cada valor es representa : · Una figura al·lusiva a la variable que estudiem, l’àrea de la qual es proporcional a la freqüència del valor corresponent. · O bé, una certa quantitat d'aquestes figures, proporcional a la freqüència d'aquest valor.

Exemple 8 :

136

Page 137: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

8. Representa les distribucions dels exemples 3 i 4 amb el gràfic més adient.

9. Les vendes de cotxes a un concessionari, un determinat mes, han estat:Models UnitatsEsportius 5Turismes 30Familiars 40Tot terrenys 15Industrials 25

Representa les dades a un diagrama de barres i a un diagrama de sectors.

10. Representa a un diagrama de sectors el nombre d’alumnes matriculats a l’ESO en els instituts d’una determinada població, segons la relació adjunta:1rESO: 1200 alumnes 3rESO: 1800 alumnes2n ESO: 1500 alumnes 4tESO: 900 alumnes

11. A la lliga juvenil de futbol, l’equip d’un institut ha obtingut els resultats següents en els partits de la temporada:

Guanyats Empatats Perduts25 15 10

Fes un diagrama de sectors amb els resultats de la taula anterior, expressant-ne les freqüències com a percentatges.

12. Les edats de 30 alumnes són: 12,13,14,15,12,13,14,12,15,16,13,14,13,15,13,15,13,12,15,16,15,13,14,12,13,14,12,15,16,12Fes el recompte de les dades, ordena–les i representa–les amb el gràfic adequat.

13. La taula següent indica el temps que empren els alumnes d’un grup per anar des de ca seva a l’escola.Temps (m.) [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)Núm. d’alumnes

2 11 13 6 3 1

Representa aquesta distribució per mitjà d'un gràfic adient.

14. A un diari trobam aquesta informació sobre les emissions de diòxid de carboni en el planeta l'any 2000 :

Nota : 1 gigatona són 1000 milions de tones.

137

Page 138: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

a) Com s’anomena el gràfic de la il·lustració ? b) Aquest gràfic conté una errada : troba-la, i corregeix-la.c) Quines són les dues activitats que generen més emissions de diòxid de carboni ? Quin percentatge del total els hi correspon ?d) Quantes tones d’aquest gas hi emeten a l’atmosfera ? Expressa també el resultat en kilograms, i amb notació científica. e) Quin és el percentatge d'emissions procedents de l'energia ? Quantes tones de CO2

produeixen aquests sectors en conjunt ?15. El diagrama següent mostra els nivells d'emissió de CO2 el 1990 (les barres clares) de diversos païssos (o regions), els nivells d'emissió de CO2 el 1998 (les barres fosques), i el percentatge de canvi en els nivells d'emissió entre 1990 i 1998 (les fletxes amb percentatges).

a) Quin és el major emissor de CO2 ? Quants milions de tones va emetre l'any 1998 ?b) Indica els dos païssos en què s'han produït les majors reduccions en els nivells d'emissió entre 1990 i 1998. Especifica els percentatges de reducció. Quantes tones menys s'han produït en els dos casos respecte de 1990 ? c) Indica els dos païssos en què tingueren els majors augments. Especifica els percentatges d'increment. Quantes tones més s'han produït en els dos casos respecte de 1990 ?d) En el diagrama es pot llegir que l'augment d'emissions de CO2 als Estats Units entre 1990 i 1998 va ser de l'11%. Com s'ha obtengut aquest 11% ? Escriu els teus càlculs.

16. Els següents diagrames mostren informació sobre les exportacions de Zedlàndia, un país que té per moneda el zed.

138

Page 139: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

a) Quin va ser el valor total (en milions de zeds) de les exportacions de Zedlàndia el 1998?b) Quin any es va produir l'increment més fort a les exportacions d'aquest país ?c) Com s'anomenen els dos gràfics de la ilustració ?d) Quina proporció de les importacions de l'any 2000 correspon al tabac ? I als productes tèxtils ?e) Quin va ser, en milions de zeds, el valor de les exportacions de suc de fruita l'any 2000?

Tendenciositat als gràfics estadístics Els gràfics estadístics ens permeten visualitzar fàcilment la informació classificada i organitzada. Han de reflectir una imatge fidedigna de la realitat. Però moltes vegades, en els mitjans de comunicació o en el debat d'idees, es construeixen de manera incorrecta, i ens transmeten una imatge deformada dels fets. Si la manipulació dels gràfics és deliberada, amb la intenció de transmetre-nos una idea interessada, deim que el gràfic és tendenciós. Als següents exercicis descobriràs algunes de les tècniques habituals de manipulació tendenciosa.

17. En un país el producte interior brut (PIB) ha evolucionat durant 6 anys segons aquest gràfic:

a) Construeix uns altres gràfics amb escala doble i meitat. Varia la impressió visual de creixement ?b) El govern, en la seva campanya electoral, presenta aquest altre gràfic per mostrar la bona gestió que ha fet durant els quatre anys del seu mandat :

Per què s'han omès les dades del 91 i del 92 ?c) Al segon gràfic la lectura de les altures dels rectangles s'adiu amb les del primer. Però d'acord amb la primera impressió visual, el PIB del 96 és més del doble que el del 93. On és la trampa ?d) Els rectangles estan més junts al segon gràfic que no al primer. Quin efecte visual produeix aquesta disposició ?e) A manera de síntesi, descriu tres maneres de manipulació tendenciosa d'un gràfic de barres.

139

Page 140: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

18. Els gràfics següents representen la cotització bursàtil d'una empresa :

a) Representen la mateixa informació ?b) Descriu la impressió visual que et causa cadascun d’ells. c) A què es deu la distinta impressió causada per cada gràfic ?d) Si el director general volgués presentar davant la Junta General d'Accionistes l’evolució de la cotització de l'empresa, quin dels gràfics triaria ? Raona la teva resposta.

19. Observa aquests dos pictogrames, que fan referència a l'audiència de dues cadenes de TV.

a) Transmeten la mateixa informació numèrica ?b) Quantes vegades és major l'audiència de la cadena B respecte de la cadena A ?c) Quina impressió visual causa el primer gràfic ? I el segon ?d) Indica quin dels dos pictogrames és incorrecte i per què.

4. MESURES DE CENTRALITZACIÓ

Les mesures de centralització són valors entorns dels quals, molt sovint, s’agrupen les dades. Les mesures principals són la mitjana aritmètica, la mediana i la moda. La mitjana aritmètica, x , d’un conjunt de dades és el valor mitjà que les representa. Es calcula amb la fórmula :

∑=

=n

i

ii

Nfxx

1

·

on ix representa el valor de cada dada, if és la freqüència absoluta de cada dada, N és el nombre total de dades i n és el número de valors distints que prenen

aquestes. El símbol ∑=

n

i 1 representa la suma dels n valors de l'expressió que segueix

quan i val 1, 2, ..., n. La mediana d’un conjunt de dades, Me , és el valor que ocupa el lloc central en el conjunt ordenat. És a dir, n'hi ha tants de valors majors com valors menors que la mediana.

140

Page 141: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Per calcular–la, primer ordenarem les dades de menor a major : · Si el conjunt de dades té un nombre de valors senar, la mediana és el terme que ocupa el centre, una vegada ordenats en ordre creixent. · Si el conjunt de dades és parell, la mediana és la mitjana aritmètica dels valors centrals. La moda, Mo , és el valor que es repeteix més, és a dir, aquell que té major freqüència. Si la major freqüència correspon a més d’un valor, direm que la sèrie es bimodal (dues modes) o multimodal (més de dues modes).

Càlcul de les mesures centrals Convé disposar els càlculs en forma de taula :xi fi xi·fi Fi

x1 f1 x1·f1 f1

x2 f2 x2·f2 f1 + f2

... ... ... ...xn fn xn·fn N

N ∑=

n

iii fx

1

·

· Dades aïlladesExemple 9 Seguint amb les notes de l'exemple 3 :

xi fi xi·fi Fi

1 2 2 22 3 6 53 1 3 64 3 12 95 2 10 116 3 18 147 2 14 168 2 16 189 2 18 2010 2 20 22

22 119

∑ ⋅=

Nfxx ii = 4,5

22119 =

Com que N = 22 és parell, n'hi haurà dues posicions centrals a la sèrie de dades ordenades 11 i 12. A la columna de freqüències acumulades s'observa que el valor 5 ocupa la posició 11, i el 6 la 12. Per tant,

141

Page 142: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Me = 5,52

65 =+

Com que n'hi ha tres valors amb freqüència màxima (2, 4 i 6), la distribució és multimodal, i Mo = 2, 4 i 6 · Dades agrupades en intervals Realitzarem els càlculs a partir del valor central de cada interval, anomenat marca de classe.Exemple 10 Seguint amb les estatures de l’exemple 4 :

Interval xi fi xi·fi Fi

[148'5, 153'5) 151 2 302 2[153'5, 158'5) 156 4 624 6[158'5, 163'5) 161 11 1771 17[163'5, 168'5) 166 14 2324 31[168'5, 173'5) 171 5 855 36[173'5, 178'5) 176 4 704 40

N= 40 6580

∑ ⋅=

Nfxx ii = 5,164

406580 =

Com que N = 40 és parell, n'hi ha dues posicions centrals en la sèrie de dades ordenada, les posicions 20 i 21. Mirant la columna de freqüències acumulades, observam que les dues estan incloses a l'interval [163'5, 168'5). Una aproximació a la mediana és la marca de classe de l'interval que la conté; per tant

166≈Me La major freqüència correspon al mateix interval; la moda serà la marca de classe corresponent :

166=Mo20. Troba la mitjana, la mediana i la moda de la distribució de l'exercici 5.

21. En un control de velocitat en carretera obtinguèrem les dades següents:

Velocitat (km/h) Nombre de cotxes[60, 70) 5[70, 80) 15[80, 90) 27[90, 100) 38[100, 110) 23[110,120) 17

Troba'n la mitjana, la mediana i la moda.

142

Page 143: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

5. MESURES DE DISPERSIÓ Les mesures de dispersió indiquen el grau d’agrupament de les dades entorn de la mitjana, la mediana i la moda. Com més petit sigui el valor de les mesures de dispersió, més agrupades estaran les dades al voltant de les mesures de centralització i, per tant, més representatives seran la mitjana, la mediana i la moda. El recorregut o rang d’un conjunt de dades és la diferència entre la major i la menor de les dades. La variància, σ2 , és la mitjana dels quadrats de les desviacions de les dades respecte de la mitjana :

N

xxi∑ −=

22 )(

σ

Per al seu càlcul, és recomanable usar la fòrmula equivalent :

22

2 ·x

Nxf ii −= ∑σ

La desviació típica, σ , és l’arrel quadrada de la variància.

σ = 22.

xN

xf ii −∑

Càlcul de les mesures de dispersió Com abans, disposarem els càlculs en forma de taula :xi fi xi·fi xi

2·fi

x1 f1 x1·f1 x12·f1

x2 f2 x2·f2 x22·f2

... ... ...xn fn xn·fn xn

2·fn

N ∑=

n

iii fx

1

· ∑=

n

iifx

i1

· Dades aïllades

Exemple 11 Seguint amb les notes de l'exemple 3 :

xi fi xi·fi xi2·fi

1 2 2 22 3 6 123 1 3 94 3 12 485 2 10 506 3 18 1087 2 14 988 2 16 1289 2 18 162

143

Page 144: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

10 2 20 20022 119 817

Recorregut : 10 – 1 = 9Variància :

98'716'2914'374'522

817· 222

2 =−=−=−= ∑ xN

xf iiσ

Desviació típica :82'298'72 === σσ

· Dades agrupades en intervals Com abans, realitzarem els càlculs a partir de les marques de classe. Exemple 12 Seguint amb les estatures de l’exemple 4 :

Interval xi fi xi·fi xi2·fi

[148'5, 153'5) 151 2 302 45602[153'5, 158'5) 156 4 624 97344[158'5, 163'5) 161 11 1771 285131[163'5, 168'5) 166 14 2324 385784[168'5, 173'5) 171 5 855 146205[173'5, 178'5) 176 4 704 123904

N= 40 6580 1083970Recorregut : 178'5 – 148'5 = 30Variància :

3925'2706025'270995'16440

1083970· 222

2 =−=−=−= ∑ xN

xf iiσ

Desviació típica :24'6392 === σσ

22. Calcula el rang i la desviació típica de la distribució de l'exercici 5.23. Calcula el rang i la desviació típica de la distribució de l'exercici 21.24. El pes de 50 persones es distribueix en kg de la manera següent:

[45,50) 9 Persones

[50,55) 10 Persones

[55,60) 12 Persones

[60,65) 8 Persones

[65,70) 7 Persones

[70,75) 4 Persones

Calcula'n la mitjana aritmètica i la desviació típica.

144

Page 145: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

6. INTERPRETACIÓ DE LA MITJANA ARITMÈTICA I DESVIACIÓ TÍPICA.

Associació de gràfics i paràmetres estadístics Observa la següent seqüència de distribucions. Totes tenen la mateixa mitjana, però les desviacions típiques són de cada pic majors. Per convèncer-te que és així, observa que per passar d'un gràfic al següent hem d'escurçar les barres centrals i allargar les exteriors. És a dir, hem d'allunyar alguns individus de la mitjana.

25. Els quatre gràfics següents corresponen a les estatures dels jugadors de quatre equips de bàsquet, A, B, C, D, dels quals donam els paràmetres. Quin és el gràfic de cada equip ?

26. Aquestes gràfiques i aquests paràmetres corresponen a les notes de tres grups A, B, C en un test. Quina gràfica correspon a cada grup ?

Coeficient de variació Si volem comparar la dispersió de la variable estadística a dues poblacions, utilitzarem per a cad distribució el coeficient de variació, que es calcula dividint la desviació típica per la mijana corresponent :

CV = x

σ

De vegades es dóna el resultat en tants per cent.

145

Page 146: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 13 L'estatura mitjana d'un grup, A, de persones, és de 168 cm, amb una desviació típica de 12 cm. Un altre grup, B, té una estatura mitjana de de 154 cm, amb una desviació típica de 7 cm. Quin grup presenta major dispersió ?

Coeficient de variació del grup A : 071'016812 ≈

Coeficient de variació del grup B : 045'0154

7 ≈

El grup A, amb un 7'1%, presenta major dispersió que el B (4'5%).

27. El sou mitjà dels treballadors d'una empresa, A, és de 900 € al mes, amb una desviació típica de 100 €. En una altra empresa, B, el sou mitjà és de 980 € al mes, amb una desviació típica de 150 €. Calcula els coeficients de variació i digues quina de les dues empreses té major variació relativa en els sous.28. El volum d'exportacions d'una empresa té una mitjana mensual de 650000 €, amb una desviació típica de 92500 €. La mateixa empresa ven mensualment, al mercat interior, una mitjana de 300000 €, amb una desviació típica de 25700 €.

Quin mercat és més estable, l'interior o l'exterior ?

29. Les puntuacions de dos atletes de gimnàstica rítmica han estat:Gimnasta A: 6,5 – 6,75 – 6,85 – 6,15 – 5,7Gimnasta B: 5,75 – 5,85 – 6,75 – 6,75 – 6,85A quin gimnasta atorgaries la primera posició?

7. EXERCICIS I PROBLEMES

30. Les temperatures màximes que s’han registrat, els darrers 15 dies, a una determinada ciutat, han estat 40º,39º,41º,39º,40º,38º,37º,40º,40º,41º,42º,39º,40º,39º,39ºa) Agrupa les dades en una taula que inclogui freqüències absolutes, relatives i absolutes acumulades.b) Representa la distribució amb un gràfic adient.c) Calcula'n la mitjana aritmètica, la mediana i la moda.d) Calcula'n el rang i la desviació típica.

31. A un hospital es registren, durant un mes, els següents pesos de nounats:Pes= ix absoluta freqüència=if[1'5, 2) 4[2, 2'5) 18[2'5, 3) 26[3, 3'5) 40[3'5, 4) 14[4, 4'5) 6

a) Calcula a una taula les freqüències absolutes, relatives i absolutes acumulades.b) Representa la distribució amb un gràfic adient.c) Calcula'n la mitjana aritmètica, la mediana i la moda.d) Calcula'n el rang i la desviació típica.e) Quin % de nounats ha pesat més de 3 kg?f) Quin % ha pesat més de 2 kg?

146

Page 147: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

32. Calcula la mitjana, mediana i moda en cada cas :

Com s'anomenen aquests dos gràfics ?

33. Ordena de dispersió més petita a més gran.

34. L'entrenador d'un equip de bàsquet dubta entre seleccionar n'Elena o na Maria. Els punts aconseguits per cadascuna, en una setmana d'entrenament, varen ser aquests :Elena 18 23 22 24 19 25 16Maria 18 26 18 28 22 17 18

a) Quina de les dues té una mitjana millor ?b) Quina de les dues és més regular ?

35. A una revista setmanal trobàrem aquest gràfic :

Mostra el número de delictes registrats per cada 100000 habitants, comentçant per intervals de 5 anys i canviant després a intervals d'un any.

147

Page 148: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

a) Quants delictes registrats per 100000 habitants hi va haver el 1965 ?b) Els fabricants de sistemes de seguretat utilitzaren les mateixes dades per elaborar el següent gràfic :

Com arribaren a elaborar aquest gràfic i per què ?c) A la policia no li va agradar gens el gràfic dels fabricants de sistemes de seguretat, perquè la policia volia demostrar que havia tengut èxit en la lluita contra la delinqüència. Dissenya un gràfic que pugui utilitzar la policia per tal de demostrar que la delinqüència s'ha reduït en els darrers temps.

36. El diagrama següent mostra els resultats en un examen de Ciències per a dos grups, anomenats Grup A i Grup B. La puntuació mitjana del Grup A és 62,0 i la mitjana del Grup B és 64,5. Els alumnes aproven aquest examen quan la seva puntuació és 50 o més.

En observar el diagrama, el professor afirma que, en aquest examen, el Grup B va ser millor que el Grup A. Els alumnes del Grup A no estan d'acord amb el professor. Intentan convencer-lo de que el Grup B no té per què haber sigut necessàriament el millor en aquest examen. Dóna un argument matemàtic, utilitzant la informació del diagrama, que puguin emprar els alumnes del Grup A.

37. A Zedlàndia, ès realitzaren diversos sondejos d'opinió per tal de conèixer el nivell de suport al President en les properes eleccions. Quatre diaris varen fer sondejos per separat en tota la nació. Els resultats es mostren a continuació :Diari 1: 36,5% (sondeig realitzat el 6 de gener, amb una mostra de 500 ciutadans elegits a l'atzar i amb dret a vot).Diari 2: 41,0% (sondeig realitzat el 20 de gener, amb una mostra de 500 ciutadans elegits a l'atzar i amb dret a vot).Diari 3: 39,0% (sondeig realitzat el 20 de gener, amb una mostra de 1.000 ciutadans elegits a l'atzar i amb dret a vot).

148

Page 149: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Diari 4: 44,5% (sondeig realitzat el 20 de gener, amb 1.000 lectors que cridaren per telèfon per a votar).

Si les eleccions se celebràssin el 25 de gener, quin dels resultats dels diaris seria la millor predicció del nivell de suport al president ? Dóna vàries raons que justifiquin la teva resposta.

38. En el col·legi de n'Irene, la professora de Ciències fa exàmens que es puntuen de 0 a º100. N'Irene té una mitjana de 60 punts dels seus quatre primers exàmens de ciències. En el quint examen va treure 80 punts. Quina és la mitjana de les notes de n'Irene en ciències després dels cinc exàmens?

39. Han pujat o han davallat els ingressos dels habitants de Zedlàndia en les darreres dècades? La mitjana d'ingressos per llar ha descendit : el 1970 fou de 34200 zeds, el 1980 de 30500 zeds i el 1990, de 31200 zeds. Emperò, els ingressos per persona augmentaren: el 1970 foren de 13500 zeds, el 1980 de 13850 zeds i el 1990, de 15777 zeds.

Una llar consisteix en totes les persones que viuen juntes a una mateixa vivenda. Explica com és possible que els ingressos per llar davallin i que, al mateix temps, els ingressos per persona hagin crescut a Zedlàndia.

8. AUTOAVALUACIÓ

1. Identifica la població i el tipus de variable estadística que s’estudia en cada cas.a) Temps diari dedicat a l'estudi per part dels estudiants d'Educació Secundària de les

Balears.b) Nombre d'assignatures aprovades el juny pels alumnes de 3r d'ESO de l'Antoni

Maura.c) Intenció de vot a Son Gotleu les properes eleccions municipals.d) Hores diàries que dediquen a veure televisió els estudiants de Secundària

d'Espanya.e) Despesa en telefonia mòbil als llars de Palma.

2. En una empresa on treballen 4200 homes i 6300 dones es vol fer una enquesta sobre satisfacció laboral amb una mostra de 300 persones. Digues què et sembla la manera com es tria la mostra.

a) Es trien a l'atzar 150 homes i 150 dones.b) Es pregunta a les 300 primeres persones que entren a treballar.c) Es trien els 300 primers treballadors per ordre alfabètic.d) Es pregunta als 150 que guanyen més i als 150 que guanyen menys.d) Es trien a l'atzar 120 homes i 180 dones.e) Es trien a l'atzar 300 persones del fitxer de personal.

3. Un diari va publicar la següent informació :a) Quin tant per cent dels accidents mortals són causats per distracció ?

149

Page 150: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

b) Quantes persones han mort en accidents la causa dels quals ha estat l'alcohol o altres drogues ?c) El 75% de les distraccions són fruit de l'eufòria o de la lentitud de reflexos que provoquen l'alcohol o altres drogues. Segons això, quin percentatge d'accidents mortals es troba relacionat amb l'alcohol o altres drogues ?

4. En un control de velocitat en carretera obtinguèrem les dades següents:Velocitat (km/h) Nombre de cotxes[60, 70) 5[70, 80) 15[80, 90) 27[90, 100) 38[100, 110) 23[110,120) 17

a) Completa la taula de manera que inclogui freqüències absolutes, relatives, percentatges i freqüències absolutes acumulades.

b) Representa la distribució amb un gràfic adient.c) Calcula'n la mitjana aritmètica, la mediana i la moda.d) Calcula'n el rang i la desviació típica.

5.. El pes mitjà d'una espècie d'animals, A, és de 21'3 kg i la desviació típica és de 2'5 kg. En una altra espècie d'animals, B, el pes mitjà és de 125 kg i la desviació típica és de 13 kg. Quina de les dues espècies té major variació relativa en el pes ?

ESTADÍSTICA AMB L’ORDINADORPer practicar o repassar els teus coneixements d’estadística pots visitar el següent hipervincle i treballar l’estadística online:

http://www.xtec.cat/formaciotic/mattic/mates/esta_eso/modul1/m1p1.htm

ESTADÍSTICA AMB LA CALCULADORAPer introduir dades a la calculadora ( CASIO fx–82MS) hauràs de seguir una sèrie de passos:

1) El mode estadístic → MODE 2.2) Per introduir les dades ix i la seva freqüència absoluta has de fer:Introdueix la dada ix i pitja el botó M+ de la calculadora.Per introduir la freqüència absoluta hauràs de moure la fletxa que senyala cap amunt de tal manera que a la pantalla sortirà freq1= per tal que podam posar el valor de la freqüència.Per continuar introduint tots els valors repetirem el mateix procés fins esgotar les dades.

3) Per poder obtindre diferents paràmetres estadístics a partir de la calculadora podem accedir pitjant a SHIFT i el botó del nombre 2. Amb aquesta opció vos sortiran una llista de diferents paràmetres, trieu aquell del qual voleu conèixer el seu valor.

150

Page 151: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Unitat 10: TRACTAMENT DE L'ATZAR.

1. CONCEPTES BÀSICS.Prediccions probabilístiques a la vida quotidiana. Exercicis 1-3.Idees intuïtives i prejudicis sobre atzar i probabilitat. Exercicis 4-8.Experiments aleatoris. Esdeveniments i espai mostral. Exercicis 9-16.Unió i intersecció d'esdeveniments. Exercici 13.Esdeveniment impossible, segur, contrari i incompatible. Exercicis 14-16.Freqüència absoluta i freqüència relativa d’un esdeveniment. Exercicis 17-19.Probabilitat d'un esdeveniment. Propietats de la probabilitat. Exercici 20.

2. CÀLCUL DE PROBABILITATS.Esdeveniments equiprobables. Llei de Laplace. Exercicis 20-33.Estabilització de la freqüència relativa. Exercicis 34-41. Realització i simulació d'experiments aleatoris. Ús de la calculadora. Exercicis 36-38,

42-45.Estimacions poblacionals a partir d'una mostra. Exercicis 29, 35, 40, 41.

3. AUTOAVALUACIÓ.

151

Page 152: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. CONCEPTES BÀSICS.

1. Molt sovint feim prediccions de coses que poden o no poden passar. Deim expressions com aquestes :· pot ser · gairebé impossible · possible· pràcticament segur · s'espera · hi ha qualque possibilitat· sense dubte · bastant probable · segur· a la millor · impossible · hi ha la mateixa probabilitat

Classifíca-les del 0% al 100%, o si vols de 0 a 1, segons la confiança que expressin de que ocorri qualque cosa.

2. A partir de la següent escala,Impossible Molt improbable Poc probable Probable Molt probable SegurAssigna una probabilitat als esdeveniments següents :a) Que durant el mes de juliol faci calor a Palma.b) Anar de vacances a Itàlia i trobar-te amb un company de la teva classe.c) Que el número del DNI de dos amics teus acabi en 5.

3. Construeix frases que comencin per les expressions que s'indiquen, i assigna, de manera aproximada, la probabilitat que correspondria a cada cas.a) És impossible que ...b) És molt poc probable que ...c) És bastant probable que …d) És molt probable que …e) És gairebé segur que ...f) És segur que …

4. Es va emetre un documental sobre terratrèmols i la freqüència amb que s'hi produeixen. Un geòleg entrevistat va dir : “En els propers vint anys, la posibilitat de que ocorri un terratrèmol a la ciutat de Zed és dos de tres.

Quina de les següents opcions reflexa millor el significat de l'afirmació del geòleg ?a) 2/3 · 20 = 14,3, per la qual cosa entre 13 i 14 anys a partir d'ara hi haurà un terratrèmol a la ciutat de Zed.b) 2/3 és més que 1/2, per la qual cosa es pot estar cert que hi haurà un terratrèmol a la ciutat de Zed en qualque moment en els pròxims 20 anys.c) La probabilitat que hi hagi un terratrèmol a la ciutat de Zed en qualque moment en els pròxims 20 anys és major que la probabilitat que no n'hi hagi.d) No es pot dir què passarà, perquè ningú no pot estar segur de quan tendrà lloc un terratrèmol.

5. Una família té tres filles i la mare torna estar embarassada. Què és més probable :a) Que sigui nina.b) Que sigui nin.c) Les dues respostes són igualment probables.

6. Què és més probable que passi :a) De 10 nadons, 7 són nens.b) De 100 nadons, 70 són nens.

152

Page 153: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

7. N'Ester i en Xavier volen comprar un dècim de la Loteria Nacional de Nadal. Abans de comprar-lo, en Xavier diu :a) Si l'any passat va acabar en 2, aquest any no pot acabar en 2.b) Si té tres xifres repetides no toca.c) No compris un número més petit de mil, que no toca.

És certa alguna d'aquestes afirmacions ?

8. Molta gent de tota Espanya compra números del sorteig de Nadal de la Loteria Nacional al poble de Sort (Lleida). A l'administració de loteria d'aquest poble toca un premi important molt sovint. Creus que és més probable que et toqui premi si compres el teu bitllet en aquest poble, en lloc de fer-ho, per exemple, al Polígon de Llevant de Palma ? Raona la resposta.

Un experiment és aleatori si no podem predir-ne el resultat. Cada vegada que repetim un experiment aleatori, el resultat pot ser diferent. Si es pot predir amb total certesa el resultat de l'experiment, es diu que aquest és determinista.Exemple 1 Treure una bola d'una bossa amb 10 boles numerades i observar quin número surt és un experiment aleatori. Tirar una pedra dins la mar és un experiment determinista. Espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori. Un esdeveniment és qualsevol subconjunt de l'espai mostral. Si l'esdeveniment està format per un sol element, es diu elemental. L'esdeveniment segur és aquell que sempre es produeix; coincideix amb l'espai mostral. L'esdeveniment impossible és el que no es produeix mai; el denotarem amb el símbol ∅ .Exemple 2 Si les boles de l'exemple anterior estan numerades de l'1 al 10, l'espai mostral de l'experiment és el conjunt S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Alguns esdeveniments són A = {1,3,5,7,9}, B = {1}, C = {5}, D = {3,4,8}, E = {2,3,5,7}. També ho és el propi conjunt S. Els esdeveniments B i C són elementals. Que sortirà un número entre 1 i 10 és l'esdeveniment segur. Que surti el número 11 és un esdeveniment impossible.

9. A continuació et presentam diverses experiències. Indica quines són aleatòries i quines deterministes. Escriu també els resultats possibles (espai mostral) d'aquelles experiències que consideris aleatòries.a) Llançam un dau de 6 cares.b) Una urna conté 7 boles blanques, 5 negres i 12 vermelles. Agafam una bola a l’atzar.c) Dins l'armari tens camises blanques, vermelles, verdes i grogues. Quan t'aixeques, agafes sense mirar la primera que et vé a la mà.d) Encalentim aigua a 100º C i observam si s'evapora.e) D’una baralla de 40 cartes, treiem una sense mirar i observam si és figura.f) D'una bossa que té 10 boles numerades del 0 al 9, se n'extreu una. g) Demanam per sortir junts a l'al·lot o al·lota que ens agrada.h) Feim girar una ruleta que tè els nombres 0 a 36.

153

Page 154: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

i) Deixam caure per la mateixa rampa una bola d'un quilogram de pes i una altra de mig quilogram i observam quina de les dues arriba més lluny.j) En despertar-nos, obrim la finestra i observam si està ennigulat.k) Tiram un llàpis sobre un enrajolat i observam si queda encreuat damunt alguna de les juntes entre rajoles. l) En un examen, intentam copiar al veïnat.m) Calculam el perímetre d'una moneda de 3 cm de diàmetre.n) Llançam una xinxeta i observam si cau amb la punta cap amunt o cap avall.

10. Llançam un dau tetraèdric.a) Indica alguns esdeveniments elementals.b) Digues un esdeveniment segur.c) Digues un esdeveniment impossible.

11. Llançam un dau cúbic.a) Indica alguns esdeveniments elementals.b) Digues un esdeveniment segur.c) Digues un esdeveniment impossible.d) Expressa els esdeveniments següents en forma de conjunts : A : Nombre parell B : Nombre primer C : Més petit que cinc

12. Els nombres de les ruletes dels casinos van del 0 al 36. Expressa els esdeveniments següents en forma de conjunts : A : Múltiple de 7 B : Comença amb 2 C : Acaba en 2 D : Té dues xifres iguals

Operacions amb esdeveniments

· Unió : És el conjunt format per tots els elements dels dos conjunts. Es simbolitza amb U. · Intersecció : És el conjunt format pels elements comuns als dos conjunts. Es simbolitza amb ∩. Exemple 3 A l'exemple anterior, teníem A = {1,3,5,7,9}, B = {1}, C = {5}, D = {3,4,8}, E = {2,3,5,7}. Llavors : AUB = A, AUC = A, AUD = {1,3,4,5,7,8,9}, AUE = {1,2,3,5,7,9} A∩B = B, A∩C = C, A∩D = {3}, A∩E = {3,5,7}

13. Donats els esdeveniments A, B i C de l'exercici 11, escriu els elements del següents conjunts :a) AUB = AUC = BUC = b) A∩B = A∩C = B∩C =

154

Page 155: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Dos esdeveniments són incompatibles si no es poden produir a la vegada.. És a dir, si no tenen cap element en comú. En cas contrari, els esdeveniments es diuen compatibles. Donat un esdeveniment A, anomenam esdeveniment contrari de A el que es produeix quan no ocorre A, i viceversa. El designarem per Ā. Exemple 4 Seguint amb les 10 boles de la bossa, els esdeveniments C = {5} i D = {3,4,8} són incompatibles. És a dir, C∩D = . ϕ En canvi, D i E = {2,3,5,7} són compatibles : si surt el 3, es produeixen tots dos a la vegada. Dit d'una altra manera, D∩E = {3}. L'esdeveniment contrari de A = {1,3,5,7,9} és Ā = {2,4,6,8,10} : si no surt senar, és que surt parell, i viceversa.

14. Donats els esdeveniments A, B i C de l'exercici anterior :a) Són compatibles entre sí ? Raona la resposta.b) Especifica l'esdeveniment contrari de cada un.c) Indica dos esdeveniments relacionats amb el llançament del dau que siguin incompatibles entre sí.

15. La baralla espanyola té 40 cartes, repartides a parts iguals en quatre colls : ors, copes, garrots i espases. Cada coll té 7 cartes numerades d'1 a 7 (la número 1 es diu as), i tres cartes numerades de 10 a 12 anomenades, per aquest ordre, sota, cavall i rei.

Mesclam bé les cartes d'una baralla espanyola, i treim una d'elles. Considera els següents esdeveniments :A : EspasesB : FiguraC : Rei de copesSón compatibles entre sí ? Raona la resposta.

16. Llançam un dau octaèdric. a) Escriu l'espai mostral.b) Escriu els elements dels següents esdeveniments :A : Nombre parell.B : Nombre primer.AUB =A∩B =Ā = c) Indica dos esdeveniments incompatibles.

155

Page 156: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Si repetim un experiment aleatori vàries vegades, la freqüència absoluta d'un esdeveniment A, f(A), és el nombre de vegades que s'ha produït A. La freqüència relativa de l'esdeveniment A, h(A), és el quocient entre la freqüència absoluta de A i el número n de vegades que s'ha repetit l'experiment :

nAfAh )()( =

Exemple 5 Repetim 10 vegades l'experiment de treure una bola de la bossa, tornant-la-hi cada vegada, i obtenim 6 vegades un nombre senar. O sigui, s'ha produït 6 vegades l'esdeveniment A = {1,3,5,7,9}. Llavors : f(A) = 6

6'0106)( ==Ah

17. Hem tirat una moneda 50 vegades, i hem obtingut 27 cares i 23 creus. Calcula la freqüència absoluta i la freqüència relativa de cada esdeveniment elemental.

18. Llançam 100 vegades un dau tetraèdric i anotam el número de la taula oculta.a) Completa la taula :Cara 1 2 3 4Freqüència absoluta 28 22 30 20Freqüència relativab) Calcula la freqüència relativa dels següents esdeveniments :A : Múltiple de 3B : Múltiple de 2C : Major que 1D : Menor que 1

19. Hem tirat un dau cúbic 40 vegades i hem obtingut una freqüència relativa de l'esdeveniment elemental Sortir 5 de 0'175. Quantes vegades ha sortit el 5 ?

Si S és l'espai mostral d'un experiment aleatori, la probabilitat P dels diversos esdeveniments és una funció que associa a cada esdeveniment un nombre comprès entre 0 i 1, i que compleix aquestes condicions : (1) La probabilitat de l'esdeveniment impossible és 0. P( ∅ ) = 0 (2) La probabilitat de l'esdeveniment segur és 1. P(S) = 1 (3) Si dos esdeveniments són incompatibles, la probabilitat de la unió dels dos esdeveniments és la suma de les seves respectives probabilitats. Si A∩B = ∅ , llavors P(AUB) = P(A) + P(B)

La probabilitat d'un esdeveniment aleatori és una mesura del grau de confiança que tenim que ocorri aquest esdeveniment.

Les probabilitats també es poden expressar en forma de percentatges : en aquest cas, estaran comprendides entre 0 i 100.

156

Page 157: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exemple 6 A l'experiment de la bossa, podem considerar raonablement que cada número té la mateixa probabilitat de sortir que els altres, 1 sobre 10. És a dir, que cada esdeveniment elemental té una probabilitat de 0'1. Hem definit així una funció que verifica les tres condicions : · La probabilitat de treure, per exemple, el número 11 és 0. · La probabilitat d'obtenir un número entre 1 i 10 és 1 (el 100%). · Per exemple, tenint en compte que B = {1} i C = {5}, aquests dos esdeveniments són incompatibles, i a més BUC = {1,5}. La probabilitat d'obtenir un 1 o un 5 és de 2 sobre 10, és a dir 0'2, que també resulta de sumar les probabilitats de 1 i de 5, 0'1 + 0'1. En canvi, D = {3,4,8} i E = {2,3,5,7} no són incompatibles, com ja hem vist. A més, DUE = {2,3,4,5,7,8}. En aquest cas, P(D) + P(E) = 0'3 + 0'4 = 0'7, mentre que P(DUE) = 0'6.

Propietats de la probabilitat De la definició que acabam de donar, es desprenen algunes propietats com aquestes : 1. La suma de les probabilitats dels esdeveniments elementals d'un experiment aleatori és igual a 1. 2. La probabilitat de l'esdeveniment contrari a un esdeveniment A és el resultat de restar a la unitat la probabilitat de A : P(Ā) = 1 – P(A) Demostració 1. Tots els esdeveniments elementals són incompatibles entre sí: per tant, segons la condició (3), la probabilitat del conjunt unió de tots ells és igual a la suma de les probabilitats dels resultats possibles. Ara bé, la unió de tots els esdeveniments elementals és igual a l'espai mostral i, segons la condició (2), la probabilitat de l'espai mostral és 1.

2. Un esdeveniment i el seu contrari sempre són incompatibles (és impossible que es produeixin a la vegada). Per la condició (3) : P(AUĀ) = P(A) + P(Ā) Però la unió d'un esdeveniment i el seu contrari és igual a l'espai mostral. Per la condició 2, la probabilitat de l'espai mostral és 1. Per tant : P(A) + P(Ā) = 1

20. Un entrenador de futbol ha declarat que la probabilitat de guanyar és 0'5, la de perdre 0'4, i la d'empatar 0'3. És aixó possible ? Raona la resposta.

157

Page 158: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

2. CÀLCUL DE PROBABILITATS.

Es diu que els resultats possibles d'un experiment aleatori són equiprobables si tots tenen la mateixa probabilitat de produir-se.Exemple 7 En el llançament d'una moneda, els dos possibles resultats són equiprobables. També ho són els resultats de llançar qualsevol dau amb forma de poliedre regular (sempre que no estigui carregat), i els de treure una bola d'una bossa. No ho són els resultats de llançar una xinxeta (punta amunt, punta avall), ni els de xutar un penalti.

21. Digues si els esdeveniments elementals dels següents experiments són equiprobables o no :a) Treure una carta a l'atzar d'una baralla espanyola i anotar de quin coll és.b) Despertar-se de matinada, i observar si plou o no.c) Fer girar la ruleta (caselles numerades de 0 a 36), i observar si el resultat és parell o senar.d) Observar el color del primer semàfor que ens trobem.e) Fer girar la ruleta, i observar quin nombre surt.

22. Calcula la probabilitat dels possibles resultats en els casos següents : a) Moneda.b) Dau tetraèdric.c) Dau cúbic.d) Dau octaèdric.e) Dau dodecaèdric.f) Dau icosaèdric.

Llei de Laplace

Si tots els esdeveniments elementals d'un experiment aleatori són equiprobables, la probabilitat d'un esdeveniment A és :

possiblescasosden

AafavorablescasosdenAPº

º)( =

Exercici resolt 1 Llançam un dau dodecaèdric regular. Calcula la probabilitat dels següents esdeveniments :a) A : Parell.Casos possibles : 12.Casos favorables : 6 , ja que A = {2,4,6,8,10,12}.

Per tant, 5'0126)( ==AP

Expressada en percentatge : 50%

158

Page 159: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

b) B : Nombre primer.Casos favorables : 5 , ja que B = {2,3,5,7,11}.

641'0125)(

==BP , o sigui del 41'7% (arrodonit).

c) C : Més petit que 5.Casos favorables : 4 , ja que C = {1,2,3,4}.

3'0124)(

==CP , és a dir del 33'3% (arrodonit).

d) D : El 15.Casos favorables : 0 , ja que es tracta d'un esdeveniment impossible. 0)( =DPe) E : Més gran que 0. Casos favorables : 12 , ja que E = {1,2,3,...,12} és l'esdeveniment segur. 1)( =EP

23. Llançam un dau de 6 cares. Calcula la probabilitat dels següents esdeveniments :a) Imparell.b) Múltiple de 3.c) Més petit que 3.d) Creu.

24. Una urna conté 7 boles blanques, 5 negres i 12 vermelles. Agafam una bola a l’atzar. Calcula la probabilitat dels següents esdeveniments :a) Negra.b) Blava.c) Vermella.d) Blanca.e) Blanca o negra.

25. D’una baralla espanyola de 40 cartes, treiem una carta a l’atzar. Calcula la probabilitat dels següents esdeveniments :a) Espases.b) Rei.c) Més petit que 4.d) Espases o copes.e) Espases i copes.f) Cavall d’oros.g) Figura.h) Figura de copes.

26. Un joc de dominò té 28 fitxes, i cada fitxa té dos números, del 0 al 6. Cada número apareix 7 vegades en el joc. Si treiem una fitxa a l’atzar, calcula la probabilitat dels següents esdeveniments :a) El 6 doble.b) Conté al menys un 6.c) La suma de punts és 10.d) La suma de punts és 5.e) Els dos nombres són imparells.

159

Page 160: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

f) Els dos nombres són parells. g) Un nombre és parell i l’altre imparell.h) La suma de punts és 13.

27. D'una bossa que té 10 boles numerades del 0 al 9, se n'extreu una a l'atzar. Calcula la probabilitat dels següents esdeveniments :a) Imparell.b) Nombre primer.c) Major que 5.d) Que no sigui el 7.

28. Una ruleta tè els nombres 0 a 36. El 0 està pintat de blanc, i els altres nombres, la meitat de vermell i la meitat de negre, de dos en dos i començant per vermell.

Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments :a) El 18. f) Múltiple de 3.b) Vermell. g) El 43.c) Blanc. h) Negre i parell.d) Parell. i) Té dues xifres iguals.e) Comença amb 2. j) Negre o parell.

29. El casino guanya (i es queda totes les apostes) cada vegada que surt el zero. En 4000 girs de ruleta, quantes vegades, aproximadament, s'espera que guanyi el casino ?

30. Quina de les següents terminacions d'un cupó de l'ONCE et sembla més probable, el 5, el 24 o el 237 ? Raona la resposta.

31. En la Loteria Primitiva s'extreuen boles numerades de l'1 al 49. Calcula la probabilitat que la primera bola extreta sigui :a) Un nombre d'una sola xifra.b) Múltiple de 7.c) Major que 25.

160

Page 161: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

32. Calcula la probabilitat de treure una bola negra a les 9 urnes del dibuix, i ordena aquestes probabilitats de menor a major.

33. En una fira, els jugadors llancen monedes (2 cm de diàmetre) sobre un tauler a quadres (6 cm de costat). Si la moneda hi cau tocant-ne una línia divisòria, el jugador la perd. Si roda i cau fora del tauler, la recupera. Pero si la moneda queda totalment dins d'un quadrat, el jugador recupera la moneda i se'n duu un premi. Quina és la probabilitat de guanyar en aquest joc ?

Estabilització de les freqüències relatives d'un esdeveniment A mesura que augmenta el número de vegades que es repeteix un mateix experiment aleatori, les freqüències relatives de cada esdeveniment tendeixen a estabilitzar-se, és a dir, es van aproximant a un valor determinat. Aquest valor és la probabilitat de l'esdeveniment.Exemple 8 El matemàtic anglès John Kerrich va caure presoner dels alemanys durant la Segona Guerra Mundial, i dedicà part del temps del seu cautiveri a realitzar la següent experiència. Va llançar 10000 vegades una moneda i analitzà com anava variant la proporció de cares que obtenia en augmentar el nombre de llançaments. La taula i la gràfica adjuntes mostren els seus resultats :Nombre de llançaments 10 20 30 100 1000 10000Freqüència absoluta cares 4 10 17 45 509 5067Freqüència relativa cares 0'4 0'5 0'57 0'45 0'509 0'5067

Així va poder comprovar una cosa que ja suposava : que amb un nombre petit de llançaments la proporció de cares fluctua bastant, però en augmentar el nombre de llançaments aquesta proporció es va estabilitzant i s'aproxima a un valor límit. Quin et sembla que és aquest valor a què s'acosta la proporció de cares ?

Aproximació de la probabilitat a partir de la freqüència relativa

Sempre que sigui possible repetir moltes vegades un experiment aleatori, podrem estimar la probabilitat d'un esdeveniment donat amb el valor de la seva freqüència relativa. Però s'ha de tenir present que el valor trobat serà sempre una aproximació al valor real. L'aproximació serà tant més bona quantes més vegades s'hagi repetit l'experiència.

161

Page 162: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Exercici resolt 2 En un estudi sobre 1000 famílies, s'han obtingut les dades següents :Tamany de la família 1 2 3 4 5 6 7 o més

Nombre de famíles 236 320 181 156 69 24 14Si elegim una família a l'atzar, estima les següents probabilitats :a) Que tengui dos membres.b) Que tengui més de 3 membres.c) Que tengui menys de 5 membres. En primer lloc, completam la taula amb les freqüències relatives :

Tamany de la família 1 2 3 4 5 6 7 o més

Freqüència absoluta 236 320 181 156 69 24 14Freqüència relativa 0'236 0'32 0'181 0'156 0'069 0'024 0'014

a) P(dos membres) = 0'32, o bé el 32%.b) P(més de 3 membres) = 0'156 + 0'069 + 0'024 + 0'014 = 0'263, el 26'3%c) P(menys de 5 membres) = 0'236 + 0'32 + 0'181 + 0'156 = 0'893, el 89'3%.

34. Hem llançat un botó 500 vegades i hem observat com cau :100 tirades 200 tirades 300 tirades 400 tirades 500 tirades

Pla 36 67 108 152 202Al revès 64 133 192 248 308

Completa la taula amb les corrresponents freqüències relatives :100 tirades 200 tirades 300 tirades 400 tirades 500 tirades

Pla Al revès

Quines probabilitats assignaries als dos resultats possibles ?

35. Llancem enlaire una capsa de llumins. Anomenem A, B I C les possibles posicions de repòs.

Encara que la intuïció ens diu que l'esdeveniment menys probable és el C, seguit del B, i que el més probable és l'A, desconeixem quines són les probabilitats dels tres resultats possibles. Per fer-ne una estimació, hem llançat enlaire 500 vegades una caixa de llumins buida i hem obtingut aquests resultats : Esdeveniment Freqüència absoluta

A 346B 138C 16

a) Quina probabilitat assignaries a cada esdeveniment ?

162

Page 163: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

b) Quantes vegades s'espera que ocorri C en 2000 llançaments ? I en 6000 ?c) En Marc troba que és massa fastigós llançar tantes vegades la capsa, i diu que amb 10 vegades n'hi hauria prou. Creus que té raó ? Per què ?

36. Buidam sobre la taula una capsa de 100 xinxetes.

a) Quantes creus que cauran amb la punta cap amunt ? b) Estima la probabilitat que una xinxeta llançada a l'aire quedi amb la punta cap amunt.

37. Llança tres monedes 50 vegades, i anota el nombre de cares en aquesta taula :Freqüència absoluta Freqüència relativa

CapUnaDuesTres

Fes una conjectura sobre les probabilitats que surti un nombre parell o imparell de cares, i després comprova-la mitjançant la taula següent :

Freqüència absoluta Freqüència relativaParell

ImparellPosa en comú els resultats amb la resta de la classe.

38. En un enrajolat de rajoles quadrades (30 cm de costat) llançam un llàpis (10 cm de longitud). Estima la probabilitat de que el llàpis quedi atravessat entre dues o més rajoles.

39. En un centre escolar hi ha 1000 alumnes repartits així :Nins Nines

Amb ulleres 187 113Sense ulleres 413 287

a) Si triam un alumne a l’atzar, digues quina és la probabilitat que :· Sigui nin. · Sigui nina.· Porti ulleres. · Sigui una nina amb ulleres.

b) Si en triar un alumne a l’atzar resulta ser nina, quina és la probabilitat de que porti ulleres?

40. En una prova de control de qualitat hem provat 1000 bombetes i n'hem trobat 36 de defectuoses.a) Si triam una bombeta a l'atzar, quina probabilitat hi ha que sigui defectuosa ? I de que funcioni ?b) Quantes bombetes defectuoses podem esperar en una partida de 45000 ?

163

Page 164: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

41. Dins una bossa tenim boles de colors, però no sabem quantes n’hi ha ni quins colors tenen. En 100 extraccions (tornant la bola cada vegada) hem obtingut bola blanca en 41 ocasions, negra en 19, verda en 18, i blava en 22 ocasions. a) Si tornam introduïr la mà dins la bossa, quina probabilitat assignaries als següents successos ?

· Treure bola blanca.· No treure bola blanca.· Treure bola verda o blava.· No treure bola negra ni blava.

b) Si tenim 1000 boles dins la bossa, quantes calcules que seran de cada color ?

Simulació d'experiments aleatoris

Les calculadores científiques tenen una funció que genera nombres aleatoris entre 0 i 0'999. Aixó vol dir que cada vegada que pitjam la tecla corresponent, normalment anomenada RAN, apareix en pantalla un nombre diferent i impredecible (entre 0 i 0'999). Si la repetició d'un experiment aleatori resulta fastigosa, o senzillament no es pot dur a terme, moltes vegades la podem simular d'una manera còmoda amb l'ajuda d'aquesta funció.Exercici resolt 3 Simula el llançament d'una moneda amb la calculadora. Podem suposar que si acaba en nombre parell és cara, i en cas contrari és creu (o viceversa). Si hem de fer molts de llançaments, podem considerar que cada una de les tres xifres decimals correspon a una moneda, i reduirem així el temps necessari a la tercera part.

42. Hem de fer un sorteig entre un grup de persones. Cada persona té un únic nombre, i els nombres no poden estar repetits. Fent servir la calculadora, simula l’extracció de boles numerades d’un bombo de loteria.a) Com es pot fer per a sortejar un premi entre 10 persones ?b) I si el sorteig és entre 100 persones ?c) I entre 500 persones ?d) I entre els 30 alumnes d’una classe ?

43. Volem simular el llançament d’un dau fent servir la tecla RAN de la calculadora.a) Com ho faries ?b) Posa en pràctica l’estratègia que acabes de dissenyar per a simular un nombre alt de llançaments, i emplena la taula següent :

1 2 3 4 5 6 TotalFreq. absolutaFreq. relativac) Quina utilitat té la simulació d’experiments aleatoris ?

44. S'introdueixen 8 ratolins per l'entrada del laberint de la figura, que té dues sortides : a una d'elles guaita un moix i a l'altra n'hi ha un bocí de formatge.

164

Page 165: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Si un ratolí arriba al formatge, en menja i surt lliure, però si arriba a la sortida que hi ha el moix, és devorat per aquest.a) Quants ratolins creus que s'en salvaran ? Quants seran menjats pel moix ?b) I si fòssin 16 ratolins ?c) Si un ratolí entra dins el laberint, quina probabilitat té de salvar-se ?

45. En una penya quinielística han fet un estudi segons el qual en el 50% dels partits el resultat és un 1, en el 33% una X, i en la resta un 2. a) Com es podria dissenyar un dau que simuli de la manera més exacta possible aquests resultats ?b) Com es podria fer aquesta simulació amb la calculadora ?

3. AUTOAVALUACIÓ.

1. A continuació et presentam diverses experiències. Indica quines són aleatòries i quines deterministes. Escriu també els resultats possibles (espai mostral) d'aquelles experiències que consideris aleatòries.a) Sortejar un premi entre na Joana Maria, na Xesca, en Felip i en Tomeu.b) Predir la distància que recorrerà un mòbil que es desplaça en línia recta a 200 km/h, al cap de 10minuts.c) Pitjar la tecla RAN de la calculadora i observar el resultat.d) Sense mirar, agafar la primera peça de fruita que ens vé a la mà d'un fruiter que conté prunes, cireres i aubercocs.e) Pitjar les tecles “8”, “x”, i “9” de la calculadora i observar el resultat.f) Llançar una fitxa de color vermell a una cara i vert a l'altra.

2. Llançam un dau de 8 cares. Calcula la probabilitat dels següents esdeveniments :a) Parell.b) El 10.c) Més gran que 5.d) El 3 ó el 4.e) Més petit que 9.

165

Page 166: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

3. La mare d'en Robert li deixa agafar un caramel d'una bossa. Ell no pot veure els caramels. El número de caramels de cada color que hi ha dins la bossa es mostra en el següent gràfic.

Quina és la probabilitat de que en Robert agafi un caramel vermell ?

4. Se n'extreu una bola d'aquesta urna i es mira el número obtingut :

a) Indica l'espai mostral.b) Calcula la probabilitat de cada resultat.c) Calcula la probabilitat d'obtenir un número més gran que 4.

5. En una empresa hi ha 200 empleats, 100 homes i 100 dones. Els fumadors són 20 homes i 15 dones.

Completa la taula següent :Fumador No fumador

Home 20 100Dona 15 100

200Se n'elegeix un empleat a l'atzar. Calcula aquestes probabilitats

a) Sigui fumador o fumadorab) Sigui home i no fumi.c) Sigui dona i no fumi.

166

Page 167: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

UNITAT 11: GEOMETRIA PLANA I DE L’ESPAI

1. ÀREES I PERÍMETRES DE FIGURES PLANES.

· Fòrmules per al càlcul d'àrees de figures planes.· Càlcul d'àrees i perímetres de figures elementals. Exercici 1.· Càlcul d'àrees de figures compostes. Exercicis 2, 3, 7-9.

2. VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS.

· Desenvolupament pla d'alguns cossos geomètrics.· Fòrmules per al càlcul del volum del prisma, piràmide, cilindre, con i esfera. · Càlcul del volum del prisma, piràmide, cilindre, con i esfera. Exercici 10. · Càlcul del volum de figures compostes per descomposició i per substracció.

Exercici 11.

3. SEMBLANÇA DE TRIANGLES. TEOREMA DE TALES.

· Relació de semblança entre figures planes.· Criteris d’igualtat i semblança als triangles. · Utilització de semblança per obtenir mesures i comprovació de relacions. Exercicis

12-15.

4. TEOREMA DE PITÀGORES.

· Teorema de Pitàgores : enunciats geomètric i algebraic. · Relació amb el problema del càlcul del costat d'un quadrat. Exercicis 16, 17.· Aplicacions elementals : càlcul de la hipotenusa, càlcul d'un catet. Exercicis 18, 19.

5. APLICACIONS AL CÀLCUL DE MAGNITUDS GEOMÈTRIQUES.· Aplicacions en el pla : costat d'un rombe, altura d'un trapezi, diagonal d'un rectangle,

costat d'un quadrat, altura d'un triangle isòscels i d'un triangle equilàter, apotema d'un polígon regular. Exercici 20.

· Aplicacions en l'espai : altura d'una piràmide i d'un con, altura de les cares laterals d'una piràmide, generatriu d'un con. Exercicis 25-28.

· Càlcul indirecte d'àrees i perímetres de figures elementals. Exercicis 21-24.· Càlcul indirecte de volums de cossos geomètrics. Exercicis 29-34.

6. PROBLEMES.· Aplicacions a la resolució de problemes geomètrics en la vida quotidiana. Exercicis

35-45.7. AUTOAVALUACIÓ.

167

Page 168: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. ÀREES I PERÍMETRES DE FIGURES PLANES.

El perímetre d'una figura plana és el valor de la suma de tots els costats de la

figura.

L'àrea d'una figura plana és el valor de la superfície tancada per la figura.

Àrea d'algunes figures planes

Paral·lelogram Triangle Rombe

Trapezi

A = b·h A = 2·hb

A=2·dD

A=2

)·( hbB +

Polígon regular Cercle

2·aperímetreA = 2·rA π=

El perímetre de la circumferència vé donat per l'expressió : rP ··2 π=

168

Page 169: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

1. Identifica les següents figures planes, i calcula'n l'àrea i el perímetre.

A B C D

E F G H

2. Calcula l'àrea de les següents figures, descomposant-les en altres de més senzilles.

A B

C D3. Calcula l'àrea de la part fosca a les figures següents.

A B C D E

169

Page 170: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

4. Sabem que, a qualsevol circumferència, la raó entre el perímetre i el diàmetre és constant, i

correspon al nombre π. És a dir,

π=DiàmetrePerímetre

Demostra, a partir d'aquest fet, la igualtat :rP ··2 π=

5. A partir de l'àrea del paral·lelogram, A = b·h, dedueix les àrees següents :

a) Triangle : A = 2·hb

b) Rombe : A = 2·dD

.6. Dedueix l'àrea del polígon regular a partir de l'àrea del triangle

7. Calcula l'àrea de la part fosca a les figures següents.

A B C D

E E F

8. Calcula l'àrea de la part fosca d'aquestes figures, construïdes a un quadrat de 8 cm de costat.

A B C

D E F

170

Page 171: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

9. El rectangle de la figura fa 6 cm de base per 4 cm d'altura.

a) Calcula l'àrea de cada cercle.b) Calcula el percentatge d'àrea del rectangle ocupada pels cercles.

2. VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS.

El volum d'un cos geomètric és la quantitat d'espai que ocupa.

Volum d'alguns cossos geomètrics

Poliedres Cossos de revolució

Prismes Piràmides Cilindres Cons Esferes

V= Abase·ALTURAV=(Abase·ALTURA)/

3 V= Abase·ALTURA V=(Abase·ALTURA)/

3

V= (4·П·r3)/3

10. Calcula el volum dels cossos següents :

A B C D E F

11. Calcula el volum dels cossos següents :

171

Page 172: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

3. SEMBLANÇA DE TRIANGLES. TEOREMA DE TALES.

Teorema de Tales Si les rectes a, b i c són paral·leles i en tallen a altres dues r i s, aleshores els segments que hi determinen són proporcionals.

A la figura, aixó vol dir que :

''''

CBBA

BCAB =

El teorema de Tales s'utilitza per a calcular segments de longitud desconeguda.

Exemple 1 Calcular la longitud del segment x sabent que r i s són paral·leles.

Pel teorema de Tales :

x4

12 =

Per tant :

22442

==

=

x

x

12. Calcula la longitud del segment x sabent que r i s són paral·leles.

a b c

172

Page 173: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Triangles semblants Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants si tenen :

· Els costats proporcionals :

''' c

cbb

aa == = raó de semblança

· Els angles respectivament iguals : 'ˆˆ,'ˆˆ,'ˆ CCBBÂA === En realitat, basta comprovar una de les dues condicions, ja que, si es verifica una d'elles, també ho farà l'altra. És a dir, si els angles són iguals els costats seran proporcionals, i si aquests són proporcionals els angles seran iguals. Conclusió : Si dos triangles tenen dos angles respectivament iguals, els triangles són semblants (raona per què).

Exemple 2 A la figura, els angles P i D són iguals, i també ho són N i C. Calcula p i b.

Com que els triangles tenen dos angles respectivament iguals, són semblants. Aleshores, els costats són proporcionals :

33'15'7

50·5'75·1055'7

10 ≈=→=→= ppp

25'1110

5'11215·5'7·10155'7

10 ==→=→= bbb

13. Calcula x a les figures.

a b

173

Page 174: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

14. Calcula x i y a les figures.

a b

15. Calcula els valors desconeguts.

4. TEOREMA DE PITÀGORES.

Càlcul del costat d'un quadrat a partir de la seva àrea

Ja saps que les operacions d'elevar al quadrat i calcular l'arrel quadrada positiva són inverses; és a dir : aa =+ 2 L'arrel del quadrat d'un nombre és el mateix nombre aa =2)( El quadrat de l'arrel d'un nombre és el mateix nombre Des d'un punt de vista geomètric, elevar un nombre a al quadrat equival al problema de calcular l'àrea A d'un quadrat de costat a, doncs 2aA = .

L'obtenció de l'arrel quadrada, geomètricament, equival a l'invers del problema de l'àrea : calcular el costat a d'un quadrat d'àrea A. És a dir : Aa +=

174

Page 175: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

16. Calcula l'àrea del quadrat en els següents casos :a) Costat 11 cm b) Costat 12 cm c) Costat 0'5 cm d) Costat 0'1 cm

17. Calcula el costat del quadrat en els següents casos :a) Àrea 64 cm2 b) Àrea 400 cm2 c) Àrea 0'5 cm2 d) Àrea 0'1 cm2

Teorema de Pitàgores

Explica per què les dues versions del teorema de Pitàgores són equivalents.

En un triangle rectangle, l'àrea del quadrat construït damunt de la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts damunt dels catets. A la figura, aixó vol dir que A1 = A2 + A3

Habitualment, el teorema s'enuncia sense fer referència a les àrees : En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.

A partir de la figura, aixó es pot expressar de la manera següent :

a2 = b2 + c2

Demostració del teorema de Pitàgores N'hi ha moltes demostracions del teorema de Pitàgores. La que segueix prové d'un llibre xinès titulat Sou Pei Suang Ching (traducció : El Clàsic de l'Aritmètica sobre el Gnomon i els Camins Circulars del Cel). Només fa servir trasllacions de peces sobre un tauler.

Raona per què aquesta seqüència de moviments constitueix una demostració del

175

Page 176: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

teorema.

Aplicació al càlcul dels costats d'un triangle rectangle

Si coneixem dos costats d'un triangle rectangle, el teorema de Pitàgores ens permet determinar el tercer costat.

Exemple 3 : Calcular la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets b = 9 cm i c = 12 cm.

Pel teorema de Pitàgores : 22514481129 222 =+=+=a

La longitud de la hipotenusa és la del costat del quadrat d'àrea 225 cm2. Per tant,25225 ==a cm

Exemple 4 : Calcular el catet d'un triangle rectangle del qual coneixem la hipotenusa a = 20 cm i l'altre catet c = 12 cm.

Pel teorema de Pitàgores :

2561444001444001220

2

2222

=−=+=→+=

bbb

Per tant,16256 ==a cm

18. Tenint en compte que b i c representen catets, calcula el valor de la hipotenusa a en els

següents triangles rectangles :

a) b = 3cm, c =4cm

b) b = 5cm, c =7cm

c) b = 15m, c =8m

176

Page 177: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

19. Calcula el valor del costat desconegut en els casos següents:

9

6

x 106

x

6

6

x 12

15

x

2025

x

5. APLICACIONS AL CÀLCUL DE MAGNITUDS GEOMÈTRIQUES.

Algunes aplicacions del teorema de Pitàgores a la geometria plana

Diagonal d'un rectangleExemple 5

La diagonal és la hipotenusa comú als dos triangles rectangles idèntics en què divideix el rectangle :

7'645

4593636 222

≈=

=+=+=

x

x

Altura d'un triangle isòscelsExemple 6

L'altura és el catet comú als dos triangles rectangles idèntics en què divideix el triangle. L'altre catet fa 6, perquè és la meitat de la base. Per tant :

864

643610036100610

2

2222

==

=−=+=→+=

h

hhh

177

Page 178: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

Costat d'un rombeExemple 7

Les diagonals divideixen el rombe en quatre triangles rectangles idèntics. Els catets de cada triangle fan la meitat de cada diagonal.

7'425'22

25'2225'6165'24 222

≈=

=+=+=

x

x

Altura d'un trapezi isòscelsExemple 8

L'altura traçada a la figura determina un triangle rectangle d'hipotenusa 3 i catet de la base 1'5 (raona per què). Per tant :

6'275'6

75'625'2925'295'13

2

2222

≈=

=−=+=→+=

x

xxx

Apotema d'un polígon regularExemple 9

L'apotema i el radi del pentàgon determinen un triangle rectangle d'hipotenusa 3'4 i catet de la base 2 (la meitat del costat). Aleshores :

7'256'7

56'7456'11456'1124'3

2

2222

≈=

=−=+=→+=

x

xxx

178

Page 179: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

20. Calcula els valors desconeguts.

21. Calcula les àrees i els perímetres de les figures següents:

179

Page 180: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

22. Calcula l'àrea de les figures. (Nota : A l’hexàgon mesura igual el costat que el radi).

A B C

23. Calcula l'àrea d'un octògon regular de 5 cm de costat.

24. Calcula les àrees i els perímetres de les figures següents:

a) Un rombe de diagonals 16cm i 10 cm.

b) Un triangle isòsceles de base 8cm i d’altura 10cm.

c) Un triangle rectangle de 4cm de base i 5cm d’hipotenusa.

d) Un trapezi isòsceles de 12cm i 6cm de bases i 5cm de costat lateral.

Algunes aplicacions del teorema de Pitàgores a la geometria de l'espaiApotema de la cara lateral d'una piràmideExemple 10

L'apotema de la cara lateral és la hipotenusa del triangle rectangle de catets l'altura de la piràmide (8 cm) i l'apotema de la base (6 cm, la meitat del costat del quadrat).

10100

100366468 222

==

=+=+=

a

a

Altura d'una piràmideExemple 11

L'altura és un catet del triangle rectangle que té com a hipotenusa l'aresta lateral (26 unitats) i com a segon catet el radi de la base (10 unitats ja que és igual al costat de l'hexàgon regular de la base).

180

Page 181: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

24576

5761006761006761026

2

2222

==

=−=+=→+=

h

hhh

Generatiu d'un con Exemple 12 La generatriu del con és la hipotenusa del triangle rectangle de catets l'altura (4 cm) i el radi de la base (2 cm).

5'420

2041624 222

≈=

=+=+=

x

x

25.Calcula l’altura d’una piràmide hexagonal regular si saps que l’aresta lateral amida 25 cm i l’aresta de la base, 15 cm.

26. Calcula l'apotema de la cara lateral d'una piràmide de base hexagonal, de 9 cm de costat de la base, i 19 cm d'altura.

27. Calcula el valor de les incògnites.

A B

28. Calcula la diagonal d'un ortoedre de dimensions 3, 4 i 5.

181

Page 182: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

29. Calcula el volum de les següents piràmides :30. Calcula el volum d'aquests cons :

31. Calcula el volum dels cossos següents : A D

32. Calcula el volum d’un con de radi 3 cm i generatriu 8 cm.

33. Calcula l’àrea i el volum d’una piràmide on la base és un hexàgon de costat 22 cm. L’altura de la piràmide és de 3 m

34. Calcula el volum dels cossos següents :

A B C D

182

Page 183: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

6. PROBLEMES.

35. Un fuster té la fusta necessària per a fer una tanca de 32 metres de llarg i la vol col·locar al voltant d'un jardí. Está considerant els següents dissenys pel jardí.

Indica en cada cas si es pot realitzar o no amb la tanca de 32 metres. Justifica la resposta.

36. Donades les figures següents :

a) Quina d'elles té major àrea ? Explica el teu raonament.b) Quina d'elles té major perímetre ? Explica el teu raonament.c) Descriu un mètode per trobar l'àrea de la figura B.d) Descriu un mètode per trobar l'àrea de la figura C.e) Descriu un mètode per trobar el perímetre de la figura B.d) Descriu un mètode per trobar el perímetre de la figura C.

37. Una pizzeria serveix dues pizzes redones del mateix gruix i de diferent tamany. La més petita té un diàmetre de 30 cm i val 6 €. La més gran té un diàmetre de 40 cm i val 8 €.

Quina de les dues resulta proporcionalment més econòmica ? Raona la resposta.

38. Prenim l'arbre de l'altra vorera com a referència i mesuram les distàncies que hi ha

indicades a la figura. Quina amplària té el riu ?

183

Page 184: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

39. Per saber quant n'hi ha de la casa a l'esglèssia s'ha pres la distància de la casa a l'arbre i després s'han clavat dues estaques a A i B de manera que AB sigui paral·lela a CD, amb una distància entre B i D de 30 m. Després, s'han fet els mesuraments indicats. Calcula la distància de la casa a l'esglèssia.

40. Per mesurar l'alçària d'un arbre, en Zenghui en veu la copa reflectida en un basal i pren les mesures que indica el dibuix. Quina és l'alçària de l'arbre ?

41. Per mesurar l'alçària de la casa, en Carles, de 165 cm d'estatura, se situà a 1'5 m de la tanca i prengué les mesures indicades. Quant mesura la casa ?

42. Quant de vi cap a la copa ?

184

Page 185: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

43. La primera imatge correspon a la piràmide de Kheops (segle XXVI a.C.), i la segona a la piràmide del Louvre (1988 d.C.). Les dues són regulars i de base quadrada. La piràmide de Kheops té una altura de 138 m, i el costat de la base fa 230 m; la del Louvre, 34 m d'altura i 21 m el costat de la base.

a) Calcula el volum de les dues piràmides.b) Calcula la mesura de les arestes laterals.c) Quantes vegades més petit és el volum de la segona piràmide ?

44. Quantes boles de sorbet de maduixa pot servir un gelater si el recipient que conté el gelat és ple fins a les tres quartes parts ?

Les mesures del recipient són 13x18x9 cm. El diàmetre de l'aparell de servir fa 56 mm.

45. Un joc de petanca consta de 4 esferes massisses de 8 cm de diàmetre que es guarden en estoigs de formes diverses. Aquí tens quatre tipus d'estoigs.

C

A B D

Calcula el volum de cada estoig i el percentatge del volum que ocupen les boles a cada estoig. Quin estoig aprofita millor l'espai ?

185

Page 186: Quadern 3r ESO de Matemàtiques per l'Antoni Maura

7. AUTOAVALUACIÓ1. Calcula les àrees i els volums de les figures següents:

186