ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFacultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

ROBÓTICA

QUAD-ROTOR

MODELO CINEMÁTICO

Andrés Brito

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1. INTRODUCCIÓN

Los vehículos aeroeos no tripulados (UAVs) han sido empleados en numerosas aplicacionesde defensa y civiles en las últimas dos o tres décadas. Han ganado una popularidad par-ticular debido a sus características únicas como el tamaño compacto, buena agilidad, altamaniobrabilidad y despegues y aterrizajes verticales.

El Modelo angular de Euler es uno de los dos modelos más populares para la representaciónde orientación, que incluye ángulos de Euler y quaterniones. Pero su principal desventajaes que tiene singularidades en el cálculo de velocidad angular.

El modelo que se presenta a continuación usa el Vector de Rotación, el cual muestra unsignificado físico intuitivo en la representación de postura de un quad-rotor UAV.

2. MODELO CINEMÁTICO

2.1. SISTEMAS DE COORDENADAS DE UN QUAD-ROTOR UAVS

Generalmente, un sistema de coordenadas inercial oxyz es puesto en la tierra para que sea lareferencia mientras que un sistema de coordenadas de cuerpo o’x’y’z’ esta atado al UAV, comose muestra en la Figura 1. Los cuatro empujes de rotor Fi(i = 1, 2,3, 4) son constantementeparalelos al eje z’ en el cuerpo. La diferencia de los pares, (F1, F3) y (F2, F4), guian a lasvariaciones de postura y traslación del UAV, el cual puede ser representado por el vector derotación como se muestra abajo.

Figura 1: Sistemas de Coordenadas Quad-rotor UAV [1]

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3. EL VECTOR DE ROTACIÓN Y LA CINEMÁTICA DEL QUAD-ROTOR UAV

El vector de rotación es definido como una función del eje de rotación y del ángulo derotación:

k = θ ∗ n= (kx , ky , kz) (1)

Por tanto, la magnitud de k es el ángulo de rotación θ y el vector unitario de k es el ejede rotación n. Basado en esto, la rotación entre el sistema de coordenadas del cuerpo y elsistema de coordenadas inercial esta dada por:

R=1θ 2

(k2x − k2

y − k2z )s

2θ/2 + θ

2c2θ/2 2sθ/2(kx kysθ/2 + θkzcθ/2) 2sθ/2(kx kzsθ/2 − θky cθ/2)

2sθ/2(kx kysθ/2 − θkzcθ/2) (k2y − k2

x − k2z )s

2θ/2 + θ

2c2θ/2 2sθ/2(ky kzsθ/2 + θkx cθ/2)

2sθ/2(kx kzsθ/2 + θky cθ/2) 2sθ/2(ky kzsθ/2 − θkx cθ/2) (k2z − k2

y − k2x)s

2θ/2 + θ

2c2θ/2

(2)Donde sθ/2, cθ/2, s2

θ/2 y c2θ/2 representan sen(θ/2), cos(θ/2) y sus cuadrados.

Luego, la velocidad angularω del UAV puede ser relacionada a la tasa del vector de rotaciónk en el sistema de coordenadas inercial por:

ω=

ωx

ωy

ωz

= 2W

kx

ky

kz

= 2W k (3)

Donde:

W =1

2θ 4

θ 2k2x − θk2

xsθ + θ 3sθ θ 2kx ky − θkx kysθ − 2θ 2kzs2θ/2 θ 2kx kz − θkx kzsθ + 2θ 2kys2

θ/2

θ 2kx ky − θkx kysθ + 2θ 2kzs2θ/2 θ 2k2

y − θk2ysθ + θ 3sθ θ 2ky kz − θky kzsθ − 2θ 2kxs2

θ/2

θ 2kx kz − θkx kzsθ − 2θ 2kys2θ/2 θ 2ky kz − θky kzsθ + 2θ 2kxs2

θ/2 θ 2k2z − θk2

z sθ + θ 3sθ

(4)sθ denota sen(θ ).

Para la velocidad de traslación del UAV, existe:

p =

px

py

pz

= Rυ= R

υx

υy

υz

(5)

Donde p es el vector posición del UAV en el sistema de coordenadas inerciales, υ es el vectorvelocidad en el sistema de coordenadas del cuerpo. Por tanto, la aceleración de traslaciónsigue la relación de derivación así:

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p = Rυ+ Rυ+ RS(ω)υ (6)

Donde:

S(ω) =

0 −ωz ωy

ωz 0 −ωx

−ωy ωx 0

(7)

4. BIBLIOGRAFÍA

REFERENCIAS

[1] Dongming Gan, Guowei Cai, Jorge Dias, Lakmal Seneviratne . Attitude Control of Quad-Rotor UAVs Using An Intuitive Kinematics Model. IEEE, 2013.

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