Alberto GüijosaDepto. de Física de Altas Energías

Instituto de Ciencias Nucleares, UNAMalberto@nucleares.unam.mx

Quarks y Branas a Partir de Luz en la Correspondencia

Holográfica

Basado en T. Fiol, AG, J.F. Pedraza, arXiv:1410.0692, JHEPT. Fiol, AG, A. Ramírez, G. Torrents, en procesoM. Chernicoff, J.A. García, AG, arXiv:0903.2047, PRLM. Chernicoff, J.A. García, AG, arXiv:0906.1592, JHEPM. Chernicoff, AG, arXiv:0803.3070, JHEPC.G. Callan, AG, hep-th/9906153, NPBC.G. Callan, AG, K. Savvidy, hep-th/9810092, NPB

Partículas= excitaciones pequeñas de un campo cuántico

Recordemos que un ‘particulero’ es en realidad un campista:

Teorías de Campos

Nuestro universo está hecho de campos

Teorías de Campos

Es importante entender el comportamiento de las teorías cuánticas de campos

Particularmente importante es entender el comportamiento de las teorías de norma (como QED o QCD), porque son pieza clave del Modelo Estándar y de los intentos por ir más allá

Entendemos bien con acoplamiento débil ( )YM 1g

pero nada bien con acoplamiento fuerte ( )YM 1g >

por medio de expansión perturbativa (diagramas de Feynman)

En cualquier teoría de norma (abeliana o no), es natural explorar qué ocurre cuando movemos una carga a lo largo de alguna trayectoria

Podemos preguntar p.ej. cómo es que la carga excita el campo de norma, cómo se hablan 2 cargas entre sí a través del campo,

o cómo se habla la carga a sí misma a través del campo

Aµ

Cuerdas en Teorías de Norma

Intuitivamente, líneas de campo gluónico se sienten entre sí:

( )qqV L Lσ

Quark Antiquark Este ‘tubo de flujo’ da lugar a potencial lineal en la separación quark-antiquark:

En teorías que confinan, como QCD, el acoplamiento se vuelve tan fuerte que NO observamos quarks y gluones aislados, sino combinaciones SIN color (hadrones): mesones, bariones, glubolas, etc.

Quark Antiquark Este ‘tubo de flujo’ da lugar a potencial lineal en la separación quark-antiquarkHaría falta entonces una energía infinita para separar al quark del antiquark

Intuitivamente, líneas de campo gluónico se sienten entre sí:

Cuerdas en Teorías de NormaEn teorías que confinan, como QCD, el acoplamiento

se vuelve tan fuerte que NO observamos quarks y gluones aislados, sino combinaciones SIN color (hadrones): mesones, bariones, glubolas, etc.

Estos tubos de flujo son visibles en cálculos numéricos con supercomputadoras (“QCD en la retícula”):

http://www.physics.adelaide.edu.au/theory/staff/leinweber/VisualQCD/Nobel

Sugiere conexión entre QCD y cuerdas ‘gordas’… Esta “cuerda de QCD”, de hecho marcó el origen histórico de la Teoría de Cuerdas (~ 1970)

Cuerdas en Teorías de Norma

Cuerdas en Teorías de NormaEn 1974, ’t Hooft encontró otra conexión entre teorías de norma no abelianas y teorías de cuerdas Al considerar el caso con muchos colores, ( en lugar de p.ej. ), ’t Hooft mostró que ¡los diagramas de Feynman se reorganizan de tal modo que parecen ser los de una teoría de cuerdas!

1cN

Intentar 2(3) ( ) (1/ )cSU SU O N∞ +

Cálculos numéricos (retícula): para muchas propiedades, ¡da aproximación razonable al caso ! cN →∞ 3cN =

[Teper; Lucini, Panero; Bali,Bursa,Castagnini,Collins,DelDebbio,Lucini,Panero]

3cN =

Los gluones forman cadenas que asemejan cuerdas

A partir de 1997, esta conexión se pudo entender de forma muy explícita, gracias al descubrimiento de la correspondencia holográfica,

también llamadadualidad o correspondencia

norma/gravedad,norma/cuerdas,AdS/CFT, bulto/frontera

o de Maldacena

Teoría de norma en d dim(SIN gravedad)

=Correspondencia Holográfica

Teoría de cuerdas en cierto espaciotiempo con D>d dim(CON gravedad)

Esta equivalencia parece ser totalmente absurda

A pesar de las marcadas diferencias, estas 2 teorías son equivalentes: existe un diccionario que traduce entre ellas

, ¡pero 18 años y 11000 citas después, sigue pareciendo cierta!

[Maldacena]

Notar que esta correspondencia borra la frontera entre cuerdas y campos: ¡el cuerdero secretamente es también un campista!

Teoría de norma en d dim(SIN gravedad)

=Correspondencia Holográfica

Teoría de cuerdas en cierto espaciotiempo con D>d dim(CON gravedad)

A pesar de las marcadas diferencias, estas 2 teorías son equivalentes: existe un diccionario que traduce entre ellasAcoplamiento fuerte Espacio débilmente curvado(cálculos difíciles) (cálculos fáciles)

[Maldacena]

Así que, además de absurda, ¡la correspondencia es muy útil!

Teoría de norma en d dim(SIN gravedad)

Conocemos ejemplos que involucran p.ej. a primas de QCD: sin/con quarks, sin/con supersimetría, sin/con confinamiento, etc.

[Sakai-Sugimoto(-Witten); Klebanov-Strassler; Maldacena-Núñez; Polchinski-Strassler; Freedman-Gubser-Pilch-Warner; etc.]

Y otros con similitud a sistemas de materia condensada(superfluidos, superconductores, metales extraños,…)

=Correspondencia Holográfica

Teoría de cuerdas en cierto espaciotiempo con D>d dim(CON gravedad)

[Son; Balasubramanian,McGreevy; Kachru,Liu,Mulligan; Gubser; Hartnoll,Herzog,Horowitz; Hartnoll, Polchinski, Silverstein, Tong; etc.]

=SYM en 3+1 dim

Cuerdas IIB en espaciotiempo[Maldacena]

( )cSU N4=N Cuerdas IIB en espaciotiempoasintóticamente 5

5AdS S×

Un Ejemplo Específico

anti-de Sitter

súper-Yang-Mills

x

z

0z =

( )2

2 2 2 2Lds dt dx dzz

= − + +

x

2Lzr

≡

z = ∞

=SYM en 3+1 dim

Cuerdas IIB en espaciotiempo[Maldacena]

( )cSU N4=N Cuerdas IIB en espaciotiempoasintóticamente 5

5AdS S×

Un Ejemplo Específico

Campo gluónico+6 escalares sin masa +4 espinores sin masa

( )CCA xµ

( )ICC xΦ

( )ACC xαλ

, 1, , 1, ,6 1, , 4cC C N I A= = =

=SYM en 3+1 dim

Cuerdas IIB en espaciotiempo[Maldacena]

( )cSU N4=N Cuerdas IIB en espaciotiempoasintóticamente 5

5AdS S×

Un Ejemplo Específico

Campo gluónico+6 escalares sin masa +4 espinores sin masa

( )CCA xµ

( )ICC xΦ

( )ACC xαλ

Cuerda

gravitóndilatón

campos de norma abelianos

( , , )MNh x z Θ( , , )x zϕ Θ

( , , )MNB x z Θ( , , )MNC x z Θ

axión ( , , )C x z Θ

( , , )MNPQC x z Θ+fermiones +modos masivos

=SYM en 3+1 dim

Cuerdas IIB en espaciotiempo[Maldacena]

( )cSU N4=N Cuerdas IIB en espaciotiempoasintóticamente 5

5AdS S×

Un Ejemplo Específico

Campo gluónico+6 escalares sin masa +4 espinores sin masa

( )CCA xµ

( )ICC xΦ

( )ACC xαλ

Cuerda+Objetos extendidos

no perturbativos:D1-brana (1 dim)D3-brana (3 dim)D5-brana (5 dim)D7-brana (7 dim)D9-brana (9 dim)NS5-brana (5 dim)etc.

Aplicaciones/EvidenciaAhora plantearemos varias preguntas sobre cargas en

SYMLas respuestas, además de informarnos sobre esta

teoría de norma en la región de acoplamiento fuerte, nos darán evidencia a favor de la correspondencia

== Extremo de cuerda en la

frontera de AdS, 0z =

¿A qué corresponde un Quark?

Quark (=carga en representaciónfundamental de )( )cSU N

== Extremo final de cuerda

en la frontera de AdS

¿Antiquark?

Antiquark (=carga en representaciónantifundamental)

=Quark-AntiquarkExtremos Quarks , Cuerda Campo Gluónico (+etc.)

¿Quark-Antiquark (Mesón)?

Es decir, ¡‘cuerda de QCD’ vive en 5 (+5) dimensiones, es delgada, y existe incluso en teorías que NO confinan!

↔ ↔= 1 Cuerda c/AMBOS extremos en 0z =

Quark Antiquark

=2 2

414

4( )

( )YM c

qq

g NV L

Lπ

= −Γ

[Rey,Yee;Maldacena]

¿Potencial Quark-Antiquark?

La energía de esta cuerda clásica conduce a predicción para el potencial quark-antiquark

LL

Potencial de Coulomb esperado (SYM es invariante bajo reescalamientos, NO confina)

[Erickson,Semenoff,Zarembo; Drukker,Gross; Pestun]

Dependencia de acoplamiento no perturbativaverificada años después

=

22

42Tr ( , )

32YM c

q

g NF t x

xπ + =

[Danielsson,Kruczenski,Keski-Vakkuri]

P.ej.,

2Tr ( ) , ( ) ,F x T xµν ( ,0), ( ,0),x h xµνϕ

Perfil tipo Coulomb

¿Campo generado por Quark?[Gubser,Klebanov,Polyakov; Witten]

Cuerda estáticaQuark estático

Quark-Antiquark

¿Campo generado por Mesón?

=

[Callan,AG]

(cf. )2

6Lx

[Klebanov,Maldacena,Thorn]

= 1 Cuerda c/AMBOS extremos en 0z =

LL

4 2 3142

75| |

15 ( )Tr ( , )

8(2 )YM c

x Lqq

g N LF t x

xπ

Γ =

¿Barión?

== cuerdas ??? cN

cN

???Barión ( quarks en

rep totalmente antisimétrica de ) ( )cSU N

Barión ( quarks en rep totalmente antisimétrica de )

¿Barión?

=

[Witten; Imamura; Callan,AG,Savvidy]

= cuerdas que terminan en una D5-brana enrollada en

cNcN

D5

( )cSU N 5S

¿Campo generado por Barión?

=

[AG]

=cNcN

D5

2 32

73| |bar

5Tr ( , )

18c YM c

x L

N g N LF t x

xπ =

Barión ( quarks en rep totalmente antisimétrica de ) ( )cSU N [Witten; Imamura;

Callan,AG,Savvidy]

cuerdas que terminan en una D5-brana enrollada en 5S

¿Otras Cargas?En la teoría de norma tiene sentido considerar cargas en cualquier representación del grupo de norma

( )cSU NEl caso más general es un “k-quark” (estado ligado de k quarks) con k índices de color, simetrizados o antisimetrizados según un diagrama de Young con k cajas (k=10 en la figura)

simetrizar

antisimetrizar

Si la correspondencia es correcta, ¡en la teoría de cuerdas debe existir un objeto adecuado para cada k-quark!

La idea básica es usar una D-brana para formar un estado ligado de k cuerdas:

=D-brana con k unidades

de campo eléctrico

E

k cuerdas

D-brana

k cuerdas= E

[Callan,Maldacena; Gibbons]

[Leigh; Callan,Klebanov;Abouelsaood,Callan,Nappi,Yost; Fradkin,Tseytlin]

[Drukker,Fiol]

Felizmente, ¡la teoría de cuerdas IIB incluye justamente a los objetos necesarios!

=

=

=

4 5⊂S S

quark

k-quark antisimétrico

k-quark simétrico

F1

D5+k F1

[Rey,Yee; Maldacena; Drukker,Gross,Ooguri]

[Drukker,Fiol;Gomis,Passerini]

[Yamaguchi;Gomis,Passerini; Hartnoll,Prem Kumar]

D3+k F1

Para un quark acelerado, cuerda cuelga detrás del extremo y codifica radiación gluónica emitida por el quark

=( )x t( )x t

¿Quark Acelerado?

( )NG F1 det m nmnS T dtdz g X Xα β= − − ∂ ∂∫

Para un quark acelerado, trayectoria de la cuerda se determina extremizando la acción de Nambu-Goto

=( , )X t z

( , )X t z

( )x t( )x t

¿Quark Acelerado?

¡Ecuación de movimiento altamente no lineal!

( )( , ) ( )dxX z z xd

µµ µττ τ

τ= +

=

[Mikhailov ]

( )xµ τ

Esta solución es ‘retardada’ (or ‘puramente saliente’)

( )xµ τ( )xµ τ

tiempo propio

Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!)

¿Quark Acelerado?

=( )xµ τ( )xµ τ

Esperaríamos que este quark emita radiación gluónica

¿Radiación de Quark Acelerado?

2 2 2YM

ret 2 32

( )( )2 (1 )1

tcg Nm a v aE t dt

vv π −∞

− ×= +

−−∫

La energía total de esta cuerda resulta ser:

Energía intrínseca del quark [Chernicoff, AG ]

Energía radiada[Mikhailov]

=( )xµ τ( )xµ τ

Esperaríamos que este quark emita radiación gluónica

¿Radiación de Quark Acelerado?

2 2 2YM

ret 2 32

( )( )2 (1 )1

tcg Nm a v aE t dt

vv π −∞

− ×= +

−−∫

La energía total de esta cuerda resulta ser:

En esta teoría no abeliana y fuertemente acoplada, ¡la tasa de pérdida de energía depende localmente de la trayectoria del quark!

¡¡Fórmula de Lienard!!

=

=

=

4 5⊂S S

quark

k-quark antisimétrico

k-quark simétrico

F1

D5+k F1

[Mikhailov]

[Drukker,Fiol]

[Mikhailov+Hartnoll,Prem Kumar]

D3+k F1

Trayectoria arbitraria

Trayectoria arbitraria

Reposo y aceleración uniforme

La trayectoria de la D3-brana, y el campo electromagnético sobre ella, se determinan extremizando la acción de Dirac-Born-Infeld

( )DBI D3 det m nmnS T dtdzd d g X X Fα β αβθ φ= − − ∂ ∂ +∫

¿Movimiento Arbitrario para D3?

¡Ecuaciones de movimiento altamente no lineales!

=k-quark simétrico

2SD3+k F12S

( )xµ τ( )xµ τ

Cuerda de LuzObservación crucial: las solución

de Mikhailov para la cuerda está compuesta por líneas rectas (a fijo), cada una de las cuales es una geodésica nula en el espaciotiempo

rett

( )22 2ret( ) 0t t X x z− − + − + =

ret 2ret

retret 2

ret

11 ( )

( )( , ) ( )1 ( )

t t zv tv tX t z x t z

v t

= +−

= +−

( )2

2 2 2 2Lds dt dx dzz

= − + +

( )v t( )x t

ret( )x tret( )v t

( , )X t z

Cuerda de LuzObservación crucial: solución de Mikhailov está compuesta

por geodésicas nulas en el espaciotiempoEs decir, ¡la superficie barrida por la cuerda se construye

disparando rayos de luz hacia el interior de AdS!

¿D-brana de Luz?Resulta natural intentar una construcción análoga para

la D3-brana. Primero en reposo:

=k-quark simétrico

D32S

2S

ret ret

2ret ret

( , , , ) ( ) ( , )

( , , , ) 1( , ) (cos ,sin cos ,sin sin )

X t z x t zn

t t z t zn

θ φ κ θ φ

θ φ κθ φ θ θ φ θ φ

= +

= + +=

Coincide con solución conocida

D-brana de Luz¡Resuelve ecuaciones de movimiento para caso general!

=k-quark simétrico

2SD3+k F12S

( )xµ τ( )xµ τ

2

2

2

( , , , ) ( ) 1 ( ) ( , , )

,41

YM c

c

X z x v n z

g k g NF

N

µ µ µ µ

αβαβ

τ θ φ τ κ τ κ τ θ φ

α β κκ

= + + +

= − ∀ < ≡+

Ej: Aceleración Uniforme

Ej: Movimiento Circular Uniforme

/ 3θ π φ= ∀

¿Radiación del k-quark?

La energía total de la D3 se separa en 2 términos:

=k-quark simétrico

2SD3+k F12S

Energía intrínsecade k-quark

Energía radiada (Lienard)

2 2 2 2 2YM YM

ret2 2 2 32

( )( ) 12 16 (1 )1

tc c

c

k g N k g Nk m a v aE t dtN vv π π −∞

− ×= + +

−−∫

( )xµ τ( )xµ τ

¿Radiación del k-quark?

La energía total de la D3 se separa en 2 términos:

=k-quark simétrico

2SD3+k F12S

2 2 2 2 2YM YM

ret2 2 2 32

( )( ) 12 16 (1 )1

tc c

c

k g N k g Nk m a v aE t dtN vv π π −∞

− ×= + +

−−∫

Dependencia de hace contacto con resultados EXACTOS previos

[Correa,Henn, Maldacena,Sever; Fiol,Garolera,Lewkowycz; Lewkowycz,Maldacena]

2YM, , ck g N

( )xµ τ( )xµ τ

Resumen• La correspondencia holográfica es una

herramienta muy útil para estudiar teorías de norma en el régimen de acoplamiento fuerte

• Nos da respuestas interesantes a muchas preguntas sobre cargas y radiación

• Pudimos construir soluciones de D3-brana duales a k-quarks simétricos con movimiento arbitrario

• La construcción es geométrica y basada en arrojar rayos de luz (geodésicas nulas)

• Obtenemos predicción para la energía intrínseca de y la tasa de energía radiada por la carga

• Contacto apropiado con resultados exactos disponibles

• Muchas posibles extensiones/generalizaciones

Transparencias extra, por si se necesitan

Lazos de WilsonLa manera de insertar una carga pesada en la teoría es introduciendo un lazo (o línea) de Wilson:

( )[ ] Tr exp ( )R R CW C P i dx A xµ

µ

≡ ∫

( )xµ τC

donde [ ]exp [ ]DA iS Aµ≡ ∫

Operador no local, invariante de norma

Lazos de WilsonLa manera de insertar una carga pesada en la teoría es introduciendo un lazo (o línea) de Wilson:

( )[ ] Tr exp ( )R R CW C P i dx A xµ

µ

≡ ∫

( )xµ τC

Representación(del grupo de norma) en que transforma la carga

Operador no local, invariante de norma

( )I IA x Tµ}

Lazos de WilsonLa manera de insertar una carga pesada en la teoría es introduciendo un lazo (o línea) de Wilson:

( )[ ] Tr exp ( )R R CW C P i dx A xµ

µ

≡ ∫

( )xµ τC

2

=1+ Tr ( ) ( )2! C C Ri dx dy P A x A yµ ν

µ ν + ∫ ∫

Lazos de WilsonContienen física interesante; p.ej. en el caso de un lazo rectangular muy largo, potencial entre cargas:

( )lim [ ] exp ( )R RRTW C iV L T

→∞=

C

T

L

Aquí nos interesarán lazos de Wilson en súper-Yang-Mills(SYM) con grupo de norma ( )SU N4=N

{ }( )[ ] Tr exp | | ( )iR R C i aW C P i d A x x uµ

µτ ϑ ≡ + Φ ∫

Se conocen algunos resultados EXACTOS (¡¡ a todo orden en el acoplamiento y en el número de colores !!), incluyendo

[línea recta] 1RW =

11

1[círculo] exp4 8NW L

N N Nλ λ

− = −

Laguerre: ( )11

11 1

( 1)!

NN

Ny dL y y

N dy

−−

−

= − −

[Drukker,Gross,Ooguri]

2YMg Nλ ≡

N

[Erickson,Semenoff,Zarembo;Drukker,Gross;Pestun]

capa de masacuerdaexp [ ]iS X =

en el límite , N →∞ λ →∞

[Berenstein,Corrado,Fischler,Maldacena;Drukker,Gross,Ooguri]

Lazos de Wilson en AdS/CFTLa equivalencia quark=cuerda conduce a una receta para lazos de Wilson en la representación fundamental:

[ ] [ ]cuerdaSYMTr ( ) exp [ ]W C DX iS X= ∫

( 0)X z C= =

( )[círculo] exp ...W λ= +

Elección de TransporteUna sutileza para movimiento general 3D:

k-quark simétrico

2S( )v t

( )v t tδ+

Si definiéramos solo con empujón asociado a

, entonces las n’s en instantes sucesivos estarían relacionados NO por empujón, sino que tendrían una rotación adicional (precesión de Thomas)

Para evitar esta rotación espuria, usar transporte de Fermi-Walker: 0