¿Qué fue de la música cuando se desfiguraron las esferas?

¿Qué fue de la música cuando se desfiguraron las esferas?!

Vicente Liern Carrión Facultad de Economía Universitat de València

Esfera Armilar -‐ G. Gobille (s. SVII)

Facu

ltad

de C

ienc

ias E

xact

as y

Nat

ural

es!

Buenos Aires, noviembre de 2016

El temperamento de Nassarre: Estudio matemática ��Revista de Musicología, XXII, 1 ��

Miguel Bernal Ripoll

“Uno de los principales problemas que se presentan en la praxis de la música antigua para tecla es el de la elección del temperamento adecuado. Entre 1500 y 1800, a medida que avanza y se amplía la teoría armónica, se buscan nuevas maneras de afinar los instrumentos de tecla. En cada momento, el temperamento es un compromiso entre una afinación ideal y su realización práctica, a causa de la restricción que supone que las teclas negras tengan la doble función de sostenidos y bemoles. […]

Acertar con el temperamento adecuado será importante para expresar mejor el espíritu de la música de un momento dado.”

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires

SISTEMAS AFINACIÓN

Afinaciones

Temperamentos

Justa entonación

S. Pitagórico ⇒ ∞ notas Sistema de Ptolomeo

. . . Sistema de Zarlino Sistema de Delezenne ⇒ ∞ notas

... ⇒ ∞ notas

⇒ 31 notas ⇒ 19 notas ⇒ 50 notas

Hölder ⇒ 53 notas Iguales ⇒ 12, 24, ... , 12 k notas

Irregulares ...

⇒ 12 notas

Regulares Mesotónicos

comma sint. comma sint.

2 / 7 1 / 3 Mesotónicos

comma sint. 1 / 4

comma sint. 1 / 4 Cíclicos comma sint. 1 / 3

comma sint. 2 / 7

Werckmeister, 1/4 de comma Werckmeister, 1/3 de comma Vallotti, 1/6 de comma


-500 -580

Pitágoras

s. VII a. C. No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo

-470 -399 Sócrates

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga

Platón -428 -347 Caldeos

-610 -547 Anaximandro


-500 -580

Pitágoras


-470 -399 Sócrates


Platón -428 -347 Caldeos


Región del fuego

Esfera del Sol

Esfera de la Luna

Esfera de las estrellas

Tierra

Astronomía


Región del fuego

Esfera del Sol

Esfera de la Luna


Tierra

Astronomía

Ciencia = Ciencia de los números Filosofía = Matemáticas de la Naturaleza

Anaximandro de Mileto concibió el concepto de tierra cilíndrica. Sus afirmaciones fueron novedosas, y se acercaron al modelo real mucho más que cualquier otro modelo anterior, pero no tuvo gran repercusión entre los pensadores griegos.


Región del fuego

Esfera del Sol

Esfera de la Luna


Tierra

Astronomía Representación caldea

Ciencia = Ciencia de los números Filosofía = Matemáticas de la Naturaleza

Quinta

Cuarta

Escala

Octava

Unísono Lo

Lo / 2

2 Lo / 3

3 Lo / 4


Filolao (s. V - IV a. C)

“la década es la fuente de todo, es el principio y la reina de la vida divina, celestial y humana”

!


3 2

2 m 3

< < 1

3 2

2

2

3 < < 1

3 2 2

< < 1

3 2

2 0 0

< < 1

2 2

3 3 m

< < 1

2 2

3

4

2 < < 1

2 2

2 0 0

< < 1

2 2 3

< < 1 2


Quinta

Cuarta

Tercera

Octava

Unísono Lo

Lo / 2

2 Lo / 3

3 Lo / 4

4 Lo / 5

-500 -580

Pitágoras




No se puede mostrar la imagen. Puede que su

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo

-384 -322 Aristóteles

Caldeos -470 -399

Sócrates

Platón -428 -347

Aristógeno -360 -300


1. Modificaciones de Arquitas (430 - 360 a. C.) 2/1 3/2 4/3 son del tipo (n+1) / n

9/8 10/9 16/15 ⇒ 9/8 . 10/9 . 16/15 = 4 / 3

3. Modificaciones de Ptolomeo (100 - 170)

4. Modificaciones de Zarlino (1517 - 1590) Afinidad entre los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a

1, 2, 3, 4, 5, 6 La longitud de las cuerdas que los producen son

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 5. Modificaciones de Kepler (1571 - 1630)

6. Modificaciones de Delezenne (1776 - 1866)

Justa entonación

2. Modificaciones de Aristóxeno (360 - 300 a. C.)

¿Qué ha sido de la armonía … Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires

… fab dob solb reb lab mib sib fa do sol re la mi si fa# do# sol# re# la# mi# si# ...

40/ 27 40/ 27 40/ 27 40/ 27 40/ 27

40/ 27 40/ 27

an = 3 n-1-4(E[n / 7] + E[(n + 3) / 7]) 5 E[n / 7] + E[(n + 3) / 7] 2 E{log2 3 n-1-4(E[n / 7] + E[(n + 3) / 7]) 5 E[n / 7] + E[(n + 3) / 7] }

Una forma de presentarlo es

3 / 2 ≈ 40 / 27 ⇒ 80 ≈ 81


Aportaciones de Kepler (1571-1630)

!


En Harmonices Mundi, 1619, Kepler afirmó: “Iam soni in coelo nulli existunt, nec tam turbu- lentus est motus, ex attritu aurae coelestis eliciatur stridor”

Saturno Júpiter

Marte Tierra

Mercurio Venus Icosaedro

Cubo Tetraedro

Dodecaedro

Octaedro

Expulsión de Graz - 1600 Universo ⇒ perfecta armonía geométrica ⇒ 6 esferas entre las que están

+ perfecta armonía musical los 5 poliedros regulares


Misterium Cosmographicum (1596)


c

d

b

a

f

e

h

g

k

i l

m

Saturno Júpiter

M

Marte

Venus Tierra

S

a, c, e, g, i afelios de los planetas



c

d

b

a

f

e

h

g

k

i l

m

Saturno Júpiter

M

Marte

Venus Tierra S

a, c, e, g, i afelios de los planetas

1. Cada planeta describe (en sentido directo) una órbita elíptica y uno de los focos es el Sol.

2. El área descrita por el vector que une el centro de un planeta y el centro del Sol es proporcional al tiempo empleado en recorrerla .

3. Los cuadrados de los tiempos de las revoluciones siderales de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.


Velocidad angular en segundos ≈ vibraciones variación en la velocidad ⇒ los tonos recorren un intervalo musical

Planeta Velocidad angular

Saturno Afelio 1' 46 " a en tre 1' 48 " 4/5 Tercera mayor P erihelio 2' 15 " b y 2' 15 "

Júpiter Afelio 4' 30 " c en tre 4' 35 " 5/6 Tercera menor P erihelio 5' 30 " d y 5' 30 "

Marte Afelio 26' 14 " e en tre 25' 21 " 2/3 Quinta P erihelio 38' 1 " f 38' 1 "

Tierra Afelio 57' 3 " g en tre 57' 28 " 15/16 Semitono P erihelio 61' 18 " h 61' 18 "

Venus Afelio 94' 50 " i en tre 94' 50 " 24/25 Diesis P erihelio 97' 37 " k 98' 47 "

Mercurio Afelio 164' 0 " l en tre 164' 0 " 5/12 Octava + Tercera P erihelio 384' 0 " f 394' 0 " mayor

Armonía Intervalo

y

y

y

y


Intervalo convergente: d (afelio planeta externo) / d (perihelio planeta interno) Intervalo divergente: d (afelio planeta interno) / d (perihelio planeta externo)

Saturno-Júpiter

Júpiter-Marte

Marte -Tierra

Tierra - Venus

Venus - Mercurio

Convergencia Divergencia

a / d = 1 / 3 b / c = 1 / 2

c / f = 1 / 8 d / e = 5 / 24

e / h = 5 / 12

g / k = 3 / 5

i / m = 1 / 4

f / g = 2 / 3

h / i = 5 / 8

k / l = 3 / 5

¿Qué ha sido de la armonía … Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires

do6 re6 mi6 fa6 sol6 la6 si6 do7 re7 mi7 do7 sol6 mi6 do6

Semitono

Diesis

sol-1 la-1 si-1 la-1 sol-1

si0 do0 re0 do0 si0

fa3 sol3 la3 sib3 do4 sib3 la3 sol3 fa3

sol4 lab4 sol4

mi5 mi5 mi5

tercera mayor

tercera menor

quinta

octava + tercera mayor

1/ 2 1/ 3

5 / 24

2 / 3

5/ 8

3 / 5

≠1/ 8

5 / 12

3 / 5

1 / 4


!


!Durante más de siglo y medio (en menos de 25 años) •  W. Herschel, precisamente un músico de la corte del rey Jorge

III de Inglaterra, descubrió Urano en 1781. •  Pocos años después, C. F. Gauss (1777 – 1855) demostró que

se podía construir con regla y compás el polígono regular de 17 lados.


“En música, no contamos más allá del cinco, similares en esto a esta gente que, hablando también de aritmética, no pasaban del número tres y dieron lugar al dicho alemán sobre los simples: ‘es tan simple que no sabe contar más de tres’. Todos nuestros intervalos en uso vienen en efecto de razones formadas por los pares de los números primos 1, 2, 3, 5. Si tuviéramos la suerte de un poco más de finura, podríamos llegar hasta el número primo 7. Y pienso que realmente hay gente en este caso. Esta es la razón por la que los antiguos no rechazaban completamente el número 7. Pero apenas habrá gente, que llegaría hasta los números primos [siguientes] más cercanos, 11 y 13."

Carta a C. Goldbach (1690 – 1764) del 17 de abril de 1712.

G. W. Leibniz (1646-1716)


“Los principios de la Armonía se reducen en último término a números, [...] el número 2 produce sólo octavas [...]. Después el número 3 produce los tonos que difieren de los anteriores en una quinta. Pero introduzcamos también el número 5 y veamos cuál sería el tono que produce 5 vibraciones [...] Si se quisiera también introducir el número 7, el número de tonos de una octava sería mayor, y se llevaría toda la música a un grado más alto. Pero aquí la Matemática abandona la armonía a la Música.”

Carta a la princesa Anhalt Dessau de 1760

L. Euler (1707- 1783)

3 de mayo de 1760


“Se sostiene generalmente que no nos servimos en la música más que de las proporciones compuestas por estos tres números primos 2, 3 y 5 y el gran Leibniz ha advertido ya, que en la música no se ha aprendido aún a contar más allá del 5; lo cual es incontestablemente cierto en los instrumentos afinados según la armonía. Pero, si mi conjetura se cumple, se puede decir que en la composición se cuenta ya hasta el 7 y que el oído está ya acostumbrado; es un nuevo género de música, que se ha comenzado a usar y que era desconocida por los antiguos […] Si ésta es una perfección en la composición, quizá se hará lo posible por llevar los instrumentos al mismo grado.”

Conjecture sur la raison de quelques dissonances généralement reçues dans la musique (1766)

L. Euler (1707- 1783)


Rudolf Haase (1920 – )

Escuela Superior de Música y Artes Visuales de Viena y Instituto Hans Kayser para la Investigación de los Principios Armónicos, La armonía como tema multidisciplinar, especialmente con las matemáticas o la astronomía,

Extiende los principios de Kepler a los planetas y contrastar sus propuestas con las de otros científicos, entre los que Francis Warrain (1867 – 1940) J. D. Titius (1729 – 1796) J. E. Bode (1747 – 1826)


!


!

!


Hace unos diez años, surgió la noticia de que un satélite, enviado al espacio por la NASA, “había encontrado las primeras evidencias de música originada en un cuerpo celeste”.

Hay una resistencia a abandonar la idea de Universo como un gran instrumento musical…


Zarliniana


Stan Friedman ��años 80


MÚSICA + LÓGICA FUZZY

•  Si fijamos la nota La = 440Hz (diapasón), una frecuencia de 442Hz, desde el punto de vista de la lógica booleana, es un sonido desafinado.

•  Sin embargo, para cualquiera que la escucha, esta nota está un poco desafinada. El paso entre afinado o no afinado se representa como un conjunto fuzzy.

LÓGICA FUZZY

Zonas de Garbuzov (en cents)

Unísono 30 Do-Do (-12, 12) 24 Segunda menor 1/35 Do-Reb (48, 174) 76 Segunda menor 32 Do-Re (160, 230) 70 Tercera menor 1/33 Do-Mib (272, 330) 58 Tercera mayor 34 Do-Mi (372, 430) 58 Cuarta 1/3 Do-Fa (472, 530) 58 Tritono 36 Do-Fa# (566, 630) 64 Quinta 3 Do-Sol (672, 730) 58 Sexta menor 1/34 Do-Lab (766, 830) 64 Sexta mayor 33 Do-La (866, 930) 64 Séptima menor 1/32 Do-Sib (966, 1024) 58 Séptima mayor 35 Do-Si (1066, 1136) 78

N. A. Garbuzov (1948) , The zonal nature of the human aural perception, Izdatelsvo Akademii Nauk SSSR, Moscow.


Ejemplo Nota N=299 Hz fijando La = 440 Hz

Nota: D (Re) Desviación 31.1702 cents


+


3 2

2log2(3/2) =

_

0.3766

0.5

1

D* N*- 124

D* - 124

D*

Definición Sea t = (t, δ) un número fuzzy triangular simétrico. El número triangular fuzzy 2t = (2t, 2t- δ, 2 t+ δ) con función de pertenencia

1- (2t-x) / (2t-2t-δ), 2t-δ < x < 2t 1- (x- 2t) / (2t+δ -2t), 2t< x < 2t+δ 0 en otro caso {µ 2t(x) =

Definición Sean 2t , 2s = dos notas musicales. Definimos el grado de compatibilidad de 2t , 2s como Compat[2t , 2s ]:= Pos(s = t) Así, 2t , 2s son α-compatibles, α en [0,1] si Pos(s = t) > α

Proposición Compat[ f1, f2 ]:= 1- _____d(f1,f2)_____ 2 x tolerancia en cents


Proposición Dos notas musicales 2t , 2s son α-compatibles si y sólo si |t-‐s| < 2 δ (1- α)

En particular δ = 1/2q la condición resulta |t-‐s| < 1/2q

SLF = {2cn | cn = ( Σ i=1…n λifi(n)-‐E[S i=1…n λifi(n)], δ)}

Definición Dadas {λi} i=1…n y una familia de funciones fi: Z Z, un sistema de afinación fuzzy es

Definición Dos sistemas Sq ={ 2si } i=1,…,q y Tq ={ 2ti } i=1,…,q son α-‐compatibles si para cada 2si de Sq existe una única 2ti

Compat[2ti , 2sj ]:> α


Proposición Dados dos sistemas Sq ={ 2si } i=1,…,q Tq ={ 2ti } i=1,…,q α-compatibles

α < min{1- |ti-si| / (2 δ) }

Ejemplo (con 41 notas)

0.78 0.79 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84

p28

p40t28 t40

_1

0.5


CONDICIONES SUFICIENTES DE COMPATIBILIDAD

Teorema: Sea Sq(δ) ={ 2si } i=1,…,q un sistema de afinación fuzzy generado por λ y Tq(δ) ={ 2ti } i=1,…,q el temperamento igual de q notas. Si | λ - p/q| < 1/ 2 q2

Algoritmos para sistemas generados por varios intervalos

Entonces, Sq(δ) ={ 2si } i=1,…,q y Tq(δ) son α - compatibles, α > 3/4

Temperamentos mesotónicos


Hemos hecho 48 grabaciones de 23 compases del concierto em Mib mayor de Franz Joseph Haydn (1732-‐1809)

RESULTADOS COMPUTACIONALES

Note Lower Upper Pythagor. Zarlinean Temp. (12)

Eb 305 316 309,0261 310,8272 311,127 F 346 356 347,6543 350,3555 349,2282 G 376 398 391,1111 396 391,9954 Bb 226 239 231,7695 233,5703 233,0819 Ab 406 414 412,0347 414,4362 415,3047 Bb 453 479 463,5391 467,1406 466,1638 C 502 533 521,4815 528 523,253 D 571 598 586,6667 594 587,3296 Eb 587 636 618,0521 621,6544 622,254 F 668 713 695,3086 700,7109 698,4564 G 781 795 782,2222 792 783,9908 Bb 548 570 549,3797 559,4889 554,3652 B 487 498 495 497,3235 493,8833 A 440 443 440 440 440


Note Interval of comp. Temp(12)

Interval of comp. Pythag.

Interval of comp. Zar.

Eb [0,6556, 0,7309] [0,6136, 0,7729] [0,6723, 0,7142] F [0,6675, 0,8392] [0,5893, 0,9174] [0,7834, 0,7233] G [0,2787, 0,7368] [0,3178, 0,6977] [0,1027, 0,9127] Bb [0,4658, 0,5659] [0,4681, 0,5635] [0,4295, 0,6021] Ab [0,6077, 0,9455] [0,7445, 0,9176] [0,6439, 0,9817] Bb [0,5041, 0,5297] [0,4319, 0,6018] [0,4678, 0,5659] C [0,2821, 0,6804] [0,3408, 0,6217] [0,1257, 0,8368] D [0,5118, 0,6882] [0,5313, 0,6687] [0,3163, 0,8838] Eb [0, 0,6217] [0,1075, 0,5044] [0,0069, 0,6050] F [0,2281, 0,6432] [0,3063, 0,5650] [0,1723, 0,6990] G [0,7585, 0,9338] [0,7194, 0,9729] [0,7578, 0,9345] Bb [0,5184, 0,8001] [0,3621, 0,9564] [0,6407, 0,6777] B [0,7570, 0,8562] [0,7179, 0,8953] [0,6368, 0,9764] A [0,8823, 1 ] [0,8823, 1 ] [0,8823, 1 ]


¬ Muchos músicos piensan que el tratamiento teórico de los conceptos musicales entra en conflicto con su práctica diaria ¬ Describir los sistemas de afinación como conjuntos difusos nos permite incluir su realidad y su instrucción teórica en una estructura matemática: modelo de la realidad. ¬ Cuando un sistema de afinación presenta muchas dificultades armónicas, como no permitir ciertas transposiciones, podemos utilizar un sistema compatible para evitar estos inconvenientes.


[...] Traspasa el aire todo hasta llegar a la más alta esfera, y oye allí otro modo de no perecedera música, que es la fuente y la primera. Ve cómo el gran maestro, aquesta inmensa cítara aplicado, con movimiento diestro produce el son sagrado, con que este eterno templo es sustentado. Y como está compuesta de números concordes, luego envía consonante respuesta; y entrambas a porfía se mezcla una dulcísima armonía. [...]

Oda III – A Francisco de Salinas Fray Luis de León (1527 –1591)


¿Qué fue de la música cuando se desfiguraron las esferas?

Documents

Transcript of ¿Qué fue de la música cuando se desfiguraron las esferas?