Química Física del Estado Sólido: Teoría de Bandas

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d

Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM

TeorTeoríía de bandasa de bandas

Luis SeijoLuis Seijo

Departamento de Química

Universidad Autónoma de [email protected]

http://www.uam.es/luis.seijo

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ContenidosContenidos

•• Electrones en un potencial periElectrones en un potencial perióódicodico

–– Ondas planas; red de Ondas planas; red de BravaisBravais; celda unidad primitiva; red ; celda unidad primitiva; red recrecííproca; celda de proca; celda de WignerWigner--SeitzSeitz; primera zona de Brillouin ; primera zona de Brillouin

•• Teorema de Teorema de BlochBloch

–– Funciones de onda de Funciones de onda de BlochBloch

•• Niveles electrNiveles electróónicos en un cristal perinicos en un cristal perióódicodico

•• FormaciFormacióón de bandasn de bandas

2

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


BibliografBibliografííaa

• The Physical Chemistry of Solids, R. J. Borg and G. J. Dienes, (Academic Press, San Diego, 1992).

• Solid State Physics, N. W. Ashcroft and N. David Mermin, (Thomson Learning, 1976). [Caps. 2, 4, 5, 8 y 9]

• Electronic Structure of Materials, A. P. Sutton, (Clarendon Press, Oxford, 1993).

3

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


OndasOndas planasplanas

4

Onda plana que se propaga en la dirección del espacio real :kr��

=propag

rkie�� ( )

zyx kkkk ,,≡�

( )zyxr ,,≡�

reales

reales

– el valor de la onda plana es constante en cualquier plano del espacio real que sea perpendicular a k

�

Czkykxkrk zyx =++=��

(un plano para cada valor de ) k�

⊥ C

– el valor de la onda plana es periódico a lo largo de líneasparalelas a , con periodicidad dada pork

�kπλ 2=

k�

p.ej., en la dirección de k

� )( λ+= rkirki ee– es un momento lineal; se conoce como el “vector de onda”k�

;ˆ xki

x

xki

xxx ekep �= ;ˆ

yki

y

yki

yyy ekep �= zki

z

zki

zzz ekep �=ˆ

��kp =

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Red de Red de BravaisBravais; ; celdacelda unidadunidad primitivaprimitiva

5

Red de Bravais:Conjunto de puntos discretos cuyo vector de posición viene dado por

332211 anananR��

++= 321 ,, nnn enteros

321 ,, aaa��

no coplanares

(definición alternativa) Red infinita de puntos discretos, cuya distribución y orientación es idéntica en todos los puntos de la misma.

ejemplo de red de Bravais bidimensional

ejemplo de red bidimensionalque no es de Bravais

Celda unidad primitiva:Volumen del espacio que, trasladado a todos los puntos de una red de Bravais, llena todo el espacio sin vacíos ni solapamientos: Genera el cristal completo.

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Red Red recrecííprocaproca (de (de unauna red de red de BravaisBravais))

6

Sea una red de Bravais , de periodicidad{ }R�

( )321 ,, aaa��

Red recíproca:

Una onda plana cualquiera no tiene, en general, la periodicidad de esa red de Bravais, pero síla tiene si su vector de onda apunta en ciertas direcciones y tiene ciertas longitudes.k

�

Conjunto de vectores de onda cuyas ondas planas tienen la periodicidadde la red de Bravais (o red directa)

{ }K�

rKiRrKi ee��

=+ )({ }K�

1=RKie�� { }R

�

{ }K�

red directa

red recíproca

Caso de una red directa cúbica:

π211 naK x =π222 naK y =π233 naK z =

Cada punto de una red recíproca representa unaonda plana con la misma periodicidad que la red directa.

Si una onda plana tiene la misma periodicidad que la red directa, está representada por algún punto de la red recíproca.

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Red Red recrecííprocaproca (monodimensional)(monodimensional)

7

11 =aKi xe π211 naK x = �,2,1,01 ±±=n

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−

celda unidad primitiva

1ª zona de Brillouin

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


PeriodicidadPeriodicidad de de laslas ondasondas planasplanas((monodimensionalesmonodimensionales))

8

xa

i

e 1

2π

1

2a

k==

πλ

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−


onda planaperiodicidad en la dirección de propagación

tiene la periodicidad

de la red directa

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



9

xa

i

e 1

4π

2

2 1a

k==

πλ

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−




de la red directa

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



10

xa

i

e 1

8.0 π

15.22

ak

==π

λ

=x

red directa

0 1a 12a 13a1a−12a−13a−

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−



NO tiene la

periodicidad de la

red directa

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ResumenResumen

11

Onda plana

kr��

=propag

rkie��

kπλ 2=

��kp =

Describe un electrón que se propaga por el espacio real

en la dirección:

con un momento lineal:

Plana; onda de longitud de onda

Red recíproca

Conjunto de vectores de onda cuyas ondas planas tienen la

misma periodicidad que la red de Bravais directa

{ }K� rKie

��

1=RKie��

{ }R�

{ }K�

Los puntos de la red recíproca cumplen

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Red Red recrecííprocaproca ((bidimensionalbidimensional))

12

)0,( 11 aa =�

red recíproca

),0( 22 aa =�

)0,2( 11 aK π=�

)2,0( 22 aK π=�

2211 alalR��

+=

),( 2211 alal=

2211 KmKmK��

+=

)2,2( 2211 amam ππ=

ππ 22)( 2211 nmlmlRK =+=��

red directa

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


PeriodicidadPeriodicidad de de laslas ondasondas planasplanas ((bidimensionalesbidimensionales))

13

)0,( 11 aa =�

red directa

red recíproca

),0( 22 aa =�

)0,2( 11 aK π=�

)2,0( 22 aK π=�

+ y

ax

ai

21

222exp

ππ

p.ej. en el caso21 2aa =

2

2 2a

k==

πλ

onda plana

periodicidad en la direcciónde propagación


de la red directa

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Red Red recrecííprocaproca ((bidimensionalbidimensional))

14

aa )0,1(1 =�

red directa

red recíproca

aa )23,21(2 =�

aK 34)1,0(1 π=�

aK 34)21,23(2 π=�

2211 alalR��

+=

alll )23,2( 221 +=

2211 KmKmK��

+=

ammm 34)2,23( 212 π+=

ππ 22)( 122221 nmlmlmlRK =++=��

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


CeldaCelda primitivaprimitiva de de WignerWigner--SeitzSeitz

15

Celda de Wigner-Seitz en torno a un punto de una red de Bravais:Región del espacio que está más próxima a dicho punto que a cualquierotro de esa red de BravaisConstrucción práctica: Trazar líneas desde ese punto hasta sus primeros vecinos de la red de Bravais; trazar planos bisectrices de las mismas; tomar el poliedrolimitado por dichos planos que contiene el punto de la red de Bravais de referencia.

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


PrimeraPrimera zonazona de Brillouinde Brillouin

16

Primera zona de Brillouin:La celda de Wigner-Seitz en torno a un punto de la red recíproca

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−

1ª zona de Brillouin 11 aka x ππ ≤≤−

Del mismo modo que una celda primitiva unidadcontiene toda la información sobre la estructura de un cristal, la primera zona de Brillouin contiene toda la información sobre lasondas planas que se propaguen en ese cristal.

113 aka x ππ −≤≤−11 3 aka x ππ ≤≤


U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : TeoremaTeorema de Blochde Bloch

17

=x red directa

0 1a 12a1a−12a− 2/L2/L−

~ 1 Å ~ 106 Å

)()( 1axVxV +=

Teorema de Bloch:

)()()(ˆ2

22

xxxVm xxx knnkkn ψεψ =

+∇−�

)()( 1axVxV +=

⇒)()( xUex

x

x

x kn

xki

kn =ψ

con )()( 1axUxUxx knkn +=

Las funciones propias de la ec. de Schrödinger con un potencial periódico son ondas planasmultiplicadas por una función periódica (con la misma periodicidad que el potencial)

1aNL =

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


TeoremaTeorema de Bloch. Dos de Bloch. Dos enunciadosenunciados equivalentesequivalentes..

18

)()( xUexx

x

x kn

xki

kn =ψ

con )()( 1axUxUxx knkn +=

- ondas planas multiplicadas por una función periódica (con la misma periodicidad que el potencial)

( ))()( 11

1 axUeaxx

x

x kn

axki

kn +=+ +ψ

)()( 1

1 xUeeaxx

xx

x kn

xkiaki

kn =+ψ

)()( 1

1 xeaxx

x

x kn

aki

kn ψψ =+

- tales que una traslación en la red real da lugar a si mismas multiplicadas por una fase[tales que su cuadrado complejo es invariante ante traslaciones de la red real]

Las funciones propias de la ec. de Schrödinger con un potencial periódico son:

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


TeoremaTeorema de Bloch. de Bloch. DemostraciDemostracióónn..

19

Hamiltoniano periódico: )(ˆ)(ˆ axHxH +=

Traslación en la red real: )()(ˆ axfxfTa += ;)()(ˆ xfaxfT a =+− )()(ˆˆ xfxfTT aa =−

aa THHT ˆˆˆˆ =

)()(ˆ)()(ˆˆ axfaxHxfxHTa ++= )()(ˆ axfxH +=

)(ˆ)(ˆ xfTxH A=

{ } |ψ∃

)(xf∀

ψεψ =H

ψψ )(ˆ atTa =ψψψ =−=− )()(ˆˆ atatTT aa

1)()( =− atat akieat =)(

)()( xeaxaki ψψ =+

)()( xeax k

aki

k ψψ =+Teorema de Bloch

Las funciones propias de la ec. de Schrödinger de un hamiltoniano periódico son tales que unatraslación en la red real da lugar a si mismas multiplicadas por una fase [su cuadradocomplejo es invariante ante traslaciones de la red real]

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : TeoremaTeorema de Blochde Bloch

20

)()( 1

1 xeaxx

x

x kn

aki

kn ψψ =+o, alternativamente:

)()( xUexx

x

x kn

xki

kn =ψ con )()( 1axUxUxx knkn +=

)()( rUerkn

rki

kn

��

��

� =ψ con )()( RrUrUknkn

�� +=

)()( reRrkn

Rki

kn

��

��

� ψψ =+En tres dimensiones:

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : EstadosEstados permitidospermitidos

21

Periodicidad microscópica, natural en el cristal

Condiciones de Bloch⇓

Periodicidad a escala macroscópica, impuesta arbitrariamente

Condiciones de Born-von Karman⇓

)()( 1

1 xeaxx

x

x kn

aki

kn ψψ =+

)()( 1 xNaxxx knkn ψψ =+

)()( xLxxx knkn ψψ =+

)()( 1

1 xeNaxx

x

x kn

aNki

kn ψψ =+

11 =aNki xe

;21 πxx mNak = ;2

1

xx mNa

kπ

= ( )�,2,1,0 ±±=xm

En el eje (del que algunos de sus puntos constituyen la red recíproca) hay un estado permitido por cada segmento de longitud

xk

12 Naπ

Los estados permitidos de un electrón en un potencial periódico tienen losmismos valores de que los estados permitidos del Gas de Electrones Libres!xk

Lπ2=

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : EstadosEstados permitidospermitidos

22

Estados permitidos: )(xxknψ ;

2

1

xx mNa

kπ

= ( )�,2,1,0 ±±=xm

=xk

red recíproca

01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π−

1

2

Na

π

1

4

Na

π

1

6

Na

π1

2

Na

π−

1ª zona Brillouin

En una celda primitiva de la red recíproca, el número de estados permitidos es:

12 Naπ12 aπ unidades long. eje k / celda primitiva rr

unidades long. eje k / estado permitidoN=

estados permitidos

celda primitiva rr

El número de estados permitidos en la primera zona de Brillouin es igual al número de celdas primitivas del cristal (cc B-vK).

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas

23

– Una función con condiciones de contorno Born-von Karman puede expresarse comocombinación lineal de todas las ondas planas que satisfagan dichas condiciones de contorno

– Un potencial periódico puede expresarse como combinaciónlineal de todas las ondas planas que tengan la misma periodicidad (la del cristal)

xqi

q

q

x

x

x

eCx ∑∈

=GEL

)(ψ

;xqi xe ;

22

1

xxx mNa

mL

qππ

== ( )�,2,1,0 ±±=xm

;xKi xe ;

21

1

na

K x

π= ( )�,2,1,01 ±±=n

[porque son todos los estados permitidos de un gas de electrones libres con cc B-vK]

[que son los elementos de la red recíproca]

xKi

K

RRK

x

x

x

eaxV ∑∈

=)(

)()( 1axVxV +=

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



24

1. Cálculo de la matriz del Hamiltoniano, , en la base de ondas planas del gas de electrones libres

Método variacional lineal

xqi xeVT +ˆ

2. Diagonalización de la matriz del Hamiltoniano

CCáálculolculo de de loslos coeficientescoeficientes de de laslas funcionesfunciones de de ondaonda

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



25

1. Cálculo de la matriz del Hamiltoniano, , en la base de ondas planas del gas de electrones libres

Método variacional linealxqC

xqi xeVT +ˆ

22

GEL2

)(ˆ qm

qeNTeN qqqq

xqi

q

xqi

q

�′′

′′ == δεδ

a. La matriz de energía cinética es diagonal [es el caso de GEL]

xqi

q

xKixqi

qK

RRK

xqi

q

xqi

q eNeeNaeNxVeN x

x

x

′′

∈

′′ ∑=)(

b. Las interacciones entre ondas planas sólo proceden del potencial periódico

xKqi

q

xqi

qK

RRK

eNeNa)( +′

′

∈

∑=

[omitimos lossubíndices x]

xqi

q

xqi

qKqqK

RRK

eNeNa +′

∈

∑= ,δ KqqK

RRK

a +′

∈

∑= ,δ

Sólo se acoplan (se mezclan) ondas planas cuyos vectores de onda difieren exactamente en algún vector de la red recíproca Kqq +′=

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



26

Conviene escribir kKq q += ∈kde modo que 1ª zona de Brillouin

siendoqK un vector de la red recíproca

p.ej.

=xk 01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

qqKk

1ª zona Brillouin

entonces, da lugar aKqq +′=

;KqkKq +′=+ ( ) kKkKKq qq +=+−=′ ′

Las ondas planas que se acoplan por el potencial periódico se correspondena un mismo desplazamiento de dos puntos distintos de la red recíprocak

kKq q +=kKq q +=′ ′

⇓Los estados electrónicos en un potencial periódico se pueden caracterizarcon un vector de onda de la 1ª zona de Brilloink

)(xkψ

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



27

=xk 01

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

k

1ª zona Brillouin

Lista de ondas planas que contribuyen a la función de onda

ka

+1

2πk

a+

1

4πk

a+

1

6πk

a+−

1

2π��

)(xkψ

xkKi

kK

K

k eCx )(

RR

)( ++

∈

∑=ψ ∈k 1ª zona de Brillouin

2. Diagonalización de la matriz del HamiltonianokKC +⇒

Resultan tantos estados como ondas planas contribuyentes )(xnkψ⇒

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



28

k

ka +− 12π

ka +12π

ka +− 14π

ka +14π

�

k′

ka ′+− 12π

ka ′+12π

ka ′+− 14π

ka ′+14π

�

H

0

0 0

0

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

�

�

�

�

�

�

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

x

x

x

x

x

�

�

�

�

�

�

�

x

x

�

x

x

�

x

x

�

x

x

�

x

x

�

�

�

�00

k ′′

ka ′′+− 12π

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


NivelesNiveles del gas de del gas de electronoselectronos libreslibres monodimensional monodimensional en en representacirepresentacióónn de de zonazona reducidareducida

29

2

1

2

2 am

πε�

k

kka +⋅− 121 π

ka +⋅+ 121 πka +⋅− 122 π

ka +⋅+ 122 π

ka +⋅− 123 π

ka +⋅+ 123 π

1

2

a

π

1

4

a

π

1

2

a

π−

1

4

a

π− k0

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



30

Modelo simplificado:Interacción entre (dos) estados del gas de electrones libres de energía parecida

xki

keNxkKi

kK eN )( ++

)(GEL kε

)(GEL kK +ε

kKkV +,

kKkV +,

11H 12H

12H 22H

( )( ) 02

122211 =−−− HHH εε ( ) 02211

2

122211

2 =+−+− HHHHH εε

( ) 2

12

2

22112211

22

1H

HHHH +

−±+=ε

( ) 2

,

2

GELGELGELGEL

2

)()()()(

2

1kKkk V

kKkkKk ++

+−±++≈

εεεεε kk 21 , εε

�

Punto Kk2

1= (plano de Bragg) Kk Vk ±= )(GELεε

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : FormaciFormacióónn de de bandasbandas

31

=xk 01

2

a

π

1

2

a

π−

1

98.0a

π

1

02.1a

π−

Interacción kKk +�

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



32


01

2

a

π

1

2

a

π−

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



33


01

2

a

π

1

2

a

π−

N/2 estadosdel GEL

N/2 estadosdel GEL

N/2 estadosdel GEL

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



34


01

2

a

π

1

2

a

π−

N/2 estadosdel GEL

N/2 estadosdel GEL

N/2 estadosdel GEL

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



35

KV2

01

2

a

π

1

2

a

π−

banda de N estados

banda de N estados

espaciado entre bandas (band gap)

Esquema de zona extendida

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



36

01

2

a

π

1

2

a

π−

1a

π

KV2banda de N estados

banda de N estados

espaciado entre bandas (band gap)

Esquema de zona reducida

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



37

1a

π0

=N

N e electrones/celda primitiva unidad

2< banda (de valencia) incompleta⇒[conductores]

2= banda (de valencia) llena⇒[aislantes y semiconductoresintrínsecos]

Energía de Fermi (nivel de Fermi) si

1=NN e

2=NN e

3=NN e

4=NN e

4;2 <> banda (de valencia) incompleta⇒[conductores]

4= banda (de valencia) llena⇒[aislantes y semiconductoresintrínsecos]

�

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


BandasBandas bidimensionalesbidimensionalesa lo largo del a lo largo del ejeeje (k(kxx,0) de la 1,0) de la 1ªªZBZB

38

espacio recíproco y red recíproca(de una red de Bravais bidimensional cuadrada)

xk

yk

representación de zona reducida

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



39


a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk0

22

2 am

πε�

( )0,2 akx π−( )0,xk

( )0,2 akx π+

( )0,4 akx π−

ZBkx ª1∈

1×

1×

1×

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



40


a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk0

22

2 am

πε�

( )0,2 akx π−( )0,xk

( )0,2 akx π+

( )0,4 akx π−

ZBkx ª1∈

( )aakx ππ 2,2 ±−( )akx π2,±

( )aakx ππ 2,2 ±+

( )aakx ππ 2,4 ±−

1×

1×

1×

2×

2×

2×

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



41


a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk0

22

2 am

πε�

ZBkx ª1∈

( )0,2 akx π−( )0,xk

( )0,2 akx π+

( )0,4 akx π−

( )aakx ππ 2,2 ±−( )akx π2,±

( )aakx ππ 2,2 ±+

( )aakx ππ 2,4 ±−

( )aakx ππ 4,2 ±−( )akx π4,±

1×

1×

1×

2×

2×

2×

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



42


a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk0

22

2 am

πε�

1×

1×

1×

2×

2×

2×

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



43


a

π

a

π2

a

π−

a

π2− xk0

22

2 am

πε�

1×

1×

1×

2×

2×

2×

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


BandasBandas tridimensionalestridimensionales

Superficie de Fermi 1=XF εεy Primera zona de Brillouin

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



45

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



46

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



47

Diagrama de bandas del KI

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



48

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d


Electrones en un potencial periElectrones en un potencial perióódico: dico: Densidad de estadosDensidad de estados

49

1a

π0

εNúmero de estados en un interalo diferencial de energía en torno a :

εε dDdNestados )(=

Densidad de estados en torno a la energía :ε

)(εD

)(εD

ε

modelo linealEnergía de Fermi (nivel de Fermi) si

1=NN e

2=NN e

3=NN e

4=NN e

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



50

)(εD

εFε

Gas de electrones libres tridimensional

)(εD

εFε

Conductor metálico tridimensional

)(εD

εFε

Aislante tridimensional

gapε∆ )(εD

εFε

Semiconductor intrínseco tridimensional

gapε∆

Densidades de ocupación a T=0

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t

U n

i v

e r

s i d

a d

A

u t óó

n o

m a

d

e M

a d

r i d

n o

m a

d

e M

a d

r i d



51

)(εD

εFε

Gas de electrones libres tridimensional

)(εD

εFε

Conductor metálico tridimensional

)(εD

εFε

Aislante tridimensional

gapε∆ )(εD

εFε

Semiconductor intrínseco tridimensional

gapε∆

Densidades de ocupación a T>0

Química Física del Estado Sólido: Teoría de Bandas

Education

Transcript of Química Física del Estado Sólido: Teoría de Bandas