R E S U M E N - Repositorio Digital de la Universidad...

UNIVERSIDAD DE CUENCA

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ 1

R E S U M E N

El presente trabajo de graduación es una propuesta didáctica para el abordaje teórico y práctico de la Física en el primer año del Bachillerato común, con una metodología constructivista basada en el aprendizaje por destrezas y criterios de desempeño. Los contenidos están estructurados de acuerdo a la propuesta de malla curricular para el nuevo bachillerato unificado, que se centra en el co-nocimiento fenomenológico de la naturaleza y sus leyes, elevando a nivel de categorías científicas los fenómenos más relevantes. La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve des-cripción de la teoría de métodos, relacionando aquellos usados por los maes-tros y los nuevos. Luego se dan una serie de propuestas y recomendaciones metodológicas para el estudio guiado de cada unidad y subunidad estructural. En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) y MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS (CINEMÁTICA). Cada una de ellas contiene subunidades con los temas más relevantes para un estudio ordenado y sistematizado por parte del usuario. En cada tema de estudio se expone una breve reseña teórica acompañado de una serie de demostraciones, ejercicios guía, preguntas y ejercicios de comprensión y de razonamiento, además de una plantilla donde el estudiante deberá registrar un informe investigativo de una situación problémi-ca real de aplicación práctica, la cual puede ser planteada luego del abordaje de cada tema, como parte de su formación científica.

PALABRAS CLAVE Metodología Estática Magnitud Unidades Vectores Fuerza Torque Equilibrio



Í N D I C E Certificado……………..…………………………………………………………... Dedicatoria……………..………………………………………………………….. Agradecimiento……………………………………………………………………. 1. Introducción…….……………………………….…………………………...... 2. Objetivos generales…………………………………………….…………...... 3. Esquema resumen de contenidos: Estructura de la Guía...…...………….. 4. CAPÍTULO I Metodologías a seguirse para la correcta utilización de la Guía....................... 4.1 Teoría de métodos……………………………………………………............. 4.2 Lista de métodos recomendados…..…..…………………………............... 4.3 Recomendaciones y sugerencias metodológicas….............……............... 5 CAPÍTULO II Equilibrio de los cuerpos. Estática………………………………........................ 5.1 Primera subunidad Magnitudes físicas....……………………………………………......................... 5.1.1 Medidas instrumentos y errores…….….………..................................... 5.1.2 Sistema internacional de Unidades..........……………………................. 5.1.2.1 Reseña histórica...............................................….................................. 5.1.2.2 Magnitudes fundamentales…………………………………………….... 5.1.2.3 Magnitudes derivadas……………………….……………………………. 5.1.2.4 Prefijos SI…………………………………………………………………... 5.1.2.5 Normas para el manejo del SI……………………………………………. 5.1.2.6 Reducciones y conversiones SI………………………………………….. 5.2 Segunda subunidad Elementos de Algebra Vectorial ….…..…………………………........................ 5.2.1 Expresión trigonométrica de vectores….............………………………... 5.2.2 Suma trigonométrica de vectores en el plano…………………………… 5.2.3 Resta trigonométrica de dos vectores en el plano...……………………. 5.2.4 Vectores unitarios…….….………............................................................ 5.2.5 Expresión analítica de vectores..........……………………....................... 5.2.6 Suma y resta analítica de vectores...............................................…....... 5.2.7 Producto de un escalar por un vector…………………………………..... 5.2.8 Producto escalar de vectores……………………….……........................ 5.2.9 Producto vectorial de vectores……………………………………........... 5.3 Tercera Subunidad: Estática Traslacional………………………………………………….……........... 5.3.1 Fuerzas……………………………………………………………………... 5.3.2 Composición de fuerzas aplicadas sobre una partícula…..…..………….. 5.3.3 Equilibrio traslacional de una partícula….............………………..…..........

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5.4 Cuarta Subunidad: Estática Rotacional……………………………….....................………….............. 5.4.1 Torque de una fuerza.……………………………………………................ 5.4.2 Torque de un sistema de fuerzas…….….………...................................... 5.4.3 El sólido rígido.……………………………………………............................ 5.4.4 Centros de masa...............................................…..................................... 5.4.5 Equilibrio del sólido rígido…………………………………………….……... 5.5 Quinta Subunidad Los fluidos en reposo. Hidrostática….............………………………..…............... 5.5.1 Introducción……………………….………………………………………...... 5.5.2 Ecuación fundamental de la hidrostática…………………………………… 5.5.3 Principio de Pascal ………………………………………………….……...... 5.5.4 Principio de Arquímedes……………………………………………………… 5.5.5 Flotación…..…..…………………………...................................................... 5.5.6 Tensión superficial….............………………………..................................... 5.5.7 Capilaridad……………………………….....................………….................. 5.6 Sexta Subunidad Las máquinas simples...…………………………………………….......................... 5.6.1 Palancas…….….………............................................................................... 5.6.2 Poleas..........…………………….................................................................... 5.6.3 Plano inclinado............................................................................................. 6 CAPÍTULO III El movimiento de los cuerpos: Cinemática............................................................. 6.1 Primera Subunidad. Los sistemas de referencia………………………………. 6.1.1 Sistema cartesiano tridimensional……………………….…………………… 6.1.2 Sistema cartesiano bidimensional……………………………………………. 6.1.3 Sistema cartesiano unidimensional....……………………………………...... 6.2 Segunda subunidad El movimiento rectilíneo….…..………………………….......................................... 6.2.1 Conceptos fundamentales de Cinemática Lineal......………………………. 6.2.2 Movimiento rectilíneo uniforme. ….............………………………................ 6.2.3 Movimiento rectilíneo uniformemente variado. ….............………………… 6.2.4 Caída libre. ….............………………………..….............…………………… 6.3 Tercera subunidad: Los movimientos en el plano. ….............………………………..….............…........ 6.3.1 Movimiento de un proyectil. ….............………………………..…................. 6.3.2 Conceptos fundamentales de Cinemática Angular....................................... 6.3.3 Movimiento circular uniforme. .............………………………..…................. 6.3.4 Movimiento circular uniformemente variado. .............………………........... 6.3.5 Relaciones entre movimientos rectilíneo y circular. .............………............ 6.3.6 Movimiento relativo. .............………………………..…................................. 6.4 Cuarta subunidad:

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HIDRODINÁMICA….............………………………..….............………………….... 6.4.1 Movimiento de un fluido. Continuidad. ….............………………………..…. 6.4.2 Teorema de Bernoulli. ….............………………………..….............….......... 6.4.3 Aplicaciones del teorema de Bernoulli. ….............………………………..… 6.4.4 Viscosidad y rozamiento viscoso.….............………………………..…......... CONCLUSIONES….............………………………..….............…………………… RECOMENDACIONES. ….............………………………..….............………….... BIBLIOGRAFÍA. ….............………………………..….............……………………..

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UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

“GUÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA FÍSICA EN EL PRIMER AÑO DE BACHILLERATO COMÚN”

Tesina previa a la obtención del título de Licenciado en Ciencias de la Educación en la especialidad de Matemáticas y Física

DIRECTOR: Dr. ALBERTO SANTIAGO AVECILLAS JARA AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

CUENCA-ECUADOR

2011



CERTIFICADO Yo, Jorge Patricio Mogrovejo Hernández, certifico que todo el contenido del presente trabajo es de exclusiva responsabilidad del autor. …………………………………..



DEDICATORIA A Dios, fuente inagotable de toda sabiduría y proveedor de vida. A mi familia, sostén y apoyo moral durante mi carrera, brazo leal y cálido que lleva el peso de los problemas y la satisfacción por los logros alcan-zados. A mis maestros de la carrera, por su incansable afán de enseñanza, por su paciencia y sus consejos. Gracias a la preocupación y amor de todos ellos, hoy este proyecto es una realidad.



AGRADECIMIENTO Al Todopoderoso encomiendo mi más grande gratitud por permitirme es-tar en este mundo y hacer realidad este anhelo A mis familiares que me apoyaron económica y psicológicamente con un espíritu de prosperidad y deseo de triunfos. Como olvidar a mis queridos maestros que moldearon mi personalidad con la enseñanza de conocimientos y valores, que servirán de base fun-damental para orientar a la juventud por el sendero del aprendizaje acorde a las exigencias de la Educación del tercer milenio. Finalmente quiero expresar un sentimiento de cordialidad y estima a mis queridos compañeros y nuevos colegas, ya que de ustedes aprendí mu-chas cosas útiles para mi vida profesional futura.



INTRODUCCIÓN Esta guía didáctica ha sido, mentalizada, proyectada y elaborada para ser uti-lizada como material de apoyo en el aprendizaje o auto aprendizaje de la Física en el primer año del nuevo bachillerato ecuatoriano, en los centros de ense-ñanza media del país. El presente trabajo pretende ajustarse a las innovaciones de carácter pedagó-gico que se están impulsando últimamente en al país, de ahí que los métodos utilizados están enfocados al desarrollo de destrezas, más que a los conteni-dos cognitivos, dando importancia al aprendizaje por criterios de desempeño. Por ello, los contenidos están estructurados de acuerdo a la nueva malla curri-cular para el bachillerato unificado, la que se centra en el conocimiento feno-menológico de la naturaleza y sus leyes, de tal manera que los fenómenos más relevantes sean elevados al nivel de categorías científicas, las cuales de-berán ser aprendidas conservando su unidad científica. La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve descripción de la teoría general de métodos, haciendo una especie de compa-ración con los usados por los maestros y los nuevos. Luego se dan una serie de metodologías alternativas que serán empleadas en cada unidad didáctica, culminando con recomendaciones y sugerencias metodológicas que los desti-natarios de la obra podrán seguir para su correcta utilización. En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) Y MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS (DINÁMICA). Cada una de ellas comprende las subunidades correspondientes más relevantes para un estudio progresivo, ordenado y sis-tematizado por parte del alumno. Las subunidades se encuentran divididas a su vez en secciones o temas de es-tudio. Cada tema empezará con el desarrollo de una base teórica mínima la cual servirá de sustento para el planteo y resolución de situaciones problémi-cas o retos que el maestro pueda proponer y de esta manera alcanzar los ob-jetivos indicados al principio del tema. En todos los temas se incluyen ejemplos ilustrativos, y un grupo de ejercicios propuestos que revisten una cierta dificultad, justamente para ayudar al estu-diante en el razonamiento. El repaso constituye un estudio dirigido, donde los estudiantes deben procurar responder a las preguntas luego de estudiar el capítulo.



La guía requerirá de la orientación del maestro, el cual pondrá en juego su creatividad y experiencia docente para plantear según el caso, la situación problémica y relacionarla con el tema, con unidades anteriores y otras ramas de la Física, así como con otras ciencias. Dado que la carga horaria de la asignatura es limitada (4 horas semanales), es conveniente que el alumno profundice por su cuenta los contenidos concep-tuales expuestos en cada subunidad, para lo cual se ha diseñado una serie de actividades de refuerzo y de retroalimentación, las cuales van como activi-dades de fin de tema. Esta Guía Didáctica pretende ser un instrumento de ayuda pedagógica que centre el interés de los estudiantes en los temas básicos del curso, orientándo-les en el estudio sobre los aspectos fundamentales que garantizarán el éxito. Se recomienda, pues, que la primera labor del estudiante sea leer con deteni-miento esta Guía. Esperemos que esta obra contribuya a mejorar en algo los deficientes métodos de enseñanza de la Física e incentivar en los alumnos la capacidad de investi-gación, tan venida a menos en nuestros días.

OBJETIVOS GENERALES 1. Aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas de la vida cotidiana, relacionando los contenidos de la Física con los de otras disci-plinas científicas, como forma de entender y poder abordar los temas plantea-dos. 2. Comprender los principales conceptos de la Física, su organización en leyes, teorías y modelos matemáticos, usados para abordar la solución de de-terminadas interrogantes y problemas. 3. Desarrollar en los estudiantes la capacidad de investigación crítica. 4. Proporcionar al estudiante nuevas alternativas metodológicas que lo in-duzca adaptar nuevos hábitos de aprendizaje. 5. Potenciar en el alumno sus habilidades innatas y específicas, para que él mismo se convierta en el objeto de su propio aprendizaje.



6. Generar interés en los alumnos el manejo correcto de los principios físi-cos y sus expresiones matemáticas. 7. Adquirir autonomía suficiente para utilizar en distintos contextos, con sentido crítico y creativo, los aprendizajes adquiridos. 8. Apreciar la importancia de la participación activa y la interacción en los equipos de trabajo.



ESQUEMA RESUMEN DE CONTENIDOS

FÍSICA I

ESTÁTICA

EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS

MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

MAGNITUDES FÍSICAS

HIDROSTÁTICA

EQUILIBRIO ROTACIONAL

ELEMENTOS DE ALGEBRA VECTORIAL

MÁQUINAS SIMPLES

EQUILIBRIO TRASLACIONAL

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

SISTEMAS DE REFERENCIA

CINEMÁTICA

HIDRODINÁMICA

MOVIMIENTOS EN EL PLANO



METODOLOGÍAS A UTILIZARSE PARA LA CORRECTA UTILIZACIÓN DE LA GUÍA

1.1. Teoría de métodos. 1.2. Lista de métodos recomendados. 1.3. Sugerencias y recomendaciones metodoló-gicas.

1.1. Teoría de métodos

En los tratados didácticos, se distingue con frecuencia, distintos tipos de méto-dos o enfoques de enseñanza, según los diferentes patrones de comunicación que se manifiesten dentro del trabajo en el aula. Para Belt (1971), los modelos educacionales son lo que nosotros conocemos como estilos o métodos de en-señanza, es decir esquemas mediadores entre la teoría escrita en libros, folle-tos o guías y la práctica de aprehender y comprender tal teoría. Dado que el método es un camino recorrido para llegar a un fin, su aplicación persigue una finalidad determinada. En el contexto educativo, la finalidad es la formación a más de intelectual, integral del educando. Por lo tanto es de vital importancia la fijación de propósitos antes de formular un determinado método, de forma que exista una conexión lógica entre las fina-lidades que se persigue con la aplicación del método formulado y la práctica educativa. En otras palabras, “la acción didáctica o metodología debe ser co-herente con los propósitos planteados, es decir debe responder a intenciones



educativas explícitas”. (Piaget, 1998). La acción didáctica debe ajustarse al contexto real o entorno del alumno, a sus capacidades, intereses, necesidades y aptitudes, partiendo de un enfoque indi-vidualista que promueva el desarrollo cognitivo en base al aprendizaje significa-tivo del alumno. El método se manifiesta en la dinámica del proceso de educación-comunicación, ya que la razón de ser de la educación es la comunicación. Por esto, es de vital importancia la comunicación biunívoca entre profesores y alumnos, para “discernir las estrategias que adoptan profesores y alumnos en el proceso de interacción educativa” (Sara Delamont, 1985). Las estrategias que regulan el proceso educativo son múltiples y complementa-rias, debido a la diversidad de aspectos o variables que se presentan dentro del trabajo en el aula tales como: la edad de los educandos, la homogeneidad o heterogeneidad del grupo- clase, el grado de formación básica, el bagaje de conocimientos anteriores, el grado de motivación y sobre todo, la experiencia y la capacitación del maestro y los recursos didácticos disponibles. La existencia de variadas formas de enfocar el proceso de enseñanza-aprendizaje obliga al maestro a no centrarse en un único método, el escogita-miento de estrategias metodológicas debe ir de la mano con la finalidad a se-guir, con quien y en qué circunstancias. En todo caso es aconsejable un enfoque metodológico integrador, que propicie la utilización de unos métodos u otros en función de las necesidades de los di-ferentes momentos de la etapa o nivel, de las distintas tareas o situaciones, de la diversidad del alumnado, etc. Al respecto se va a desarrollar algunos métodos y técnicas que se van a utilizar en el desarrollo de la guía de manera que el maestro pueda llevarlos a la práctica para el desarrollo del proceso didáctico dentro o fuera del aula. 1.2. Lista de métodos recomendados. 1.2.1. MÉTODO DEL APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO. Dichas propuestas se centran en un trabajo experimental y autónomo de los alumnos, dando preferencia a los "procesos de la ciencia" sobre los contenidos. Este método propone la combinación de la explicación teórica con la labor ex-perimental, con el fin de que los alumnos a partir de la abstracción vayan en-contrando por sí mismos nuevas formas de relacionar la teoría con la práctica en el laboratorio. 1.2.2. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Gran parte de los ejercicios y problemas de la guía pueden llevarse a discu-sión y resolución por este método, el cual debe partir de la traducción del pro-blema a la vida real, de tal manera que se use la imaginación para trasladar la situación concreta al campo matemático y luego volver a la idea inicial expre-



sada por los resultados. 1.2.3. MÉTODO DE PROYECTOS. Método activo en el que se utiliza material del medio para la búsqueda de in-formación y auto elaboración de los conocimientos, bajo la guía del maestro. Va acompañado de un problema a resolver o una aplicación técnica o tecnoló-gica de un determinado tema. Se debe organizar un trabajo por equipos con un cronograma establecido y rígido, de tal manera que los objetivos se cumplan en un tiempo determinado por el maestro. 1.2.4. MÉTODO EXPERIMENTAL. Tiene como finalidad reproducir un fenómeno natural en forma artificial para que los alumnos en base a sus propias experiencias puedan formular hipótesis que permitan a través del proceso didáctico, hacer comparaciones con otros fenómenos, las cuales dan lugar a generalizaciones científicas, las cuales per-miten una relación entre conceptos, entre ramas de la Física y una relación de la Física con otras ramas. Como la metodología del nuevo bachillerato es el estudio de los contenidos en bloques temáticos, desde el punto de vista fenomenológico, este método tiene una gran riqueza didáctica l, sobre todo si se quiere aplicar criterios de desem-peño, tal como señala la Reforma Curricular. Este método tiene varios pasos, los cuales se detallan a continuación.

Observación libre: donde el estudiante a través de montajes experimen-tales obtiene impresiones visuales del fenómeno objeto de estudio, se puede complementar con descripciones y análisis de las observaciones o aspectos comunes.

Generación de hipótesis o preguntas problema: que van acompañadas de su posible solución. El maestro tiene la función de guiar al alumno a la re-flexión del problema a fin de formular la situación problémica.

Comparación: la cual establece una relación entre la situación problémi-ca y el resultado experimental, se puede extender el análisis a situaciones simi-lares.

Generalización: que son las conclusiones a las que se llega luego de la labor experimental. Aquí se puede relacionar teorías, campos y ciencia. 1.3. Sugerencias y recomendaciones metodológicas para el manejo de la guía. Las sugerencias dadas a continuación no pretenden cambiar la enseñanza de la Física, pero sí ofrecer unas metodologías alternativas a lo que llamaríamos el sistema tradicional. Para la enseñanza-aprendizaje de la Física teórica no hay demasiadas alterna-tivas, puesto las leyes físicas son irreemplazables, es decir, si comparamos dis-



tintos libros de texto veremos que en todos se exponen dichas leyes, en algu-nos habrá más ilustraciones, mejor o peor presentación, etc. En cuanto a la realización de ejercicios habitualmente al final de cada capítulo hay una lista relacionada con el tema. Se puede elegir esta metodología alternativa basada en una especie de algo-ritmo con algunas etapas, las cuales enumero a continuación: 1) Análisis del enunciado para ver que información ha sido proporcionada y que es lo que el problema pide que calcule. 2) Estudio de las interacciones que van a tener lugar entre partículas, sis-temas de partículas o cuerpos, utilizando para ello gráficas y/o diagramas de cuerpo libre. 3) Elección de un sistema de coordenadas de acuerdo a las necesidades del ejercicio. 4) Representación gráfica de todas las relaciones que están explicitadas en el enunciado del problema, las cuales deberán contener los datos y las incóg-nitas. 5) Expresión matemática de la ecuación o del sistema de ecuaciones ma-temáticas y/o trigonométricas de cada componente. 6) Resolución de las expresiones, interpretación física y comprobación. A la vista de todo lo expuesto me gustaría resaltar que existe una concepción de la física por parte del estudiante que asocia cada ejercicio con una ecuación o expresión matemática resultante de la ley o teoría física demostrada en la te-oría, y que habría que intentar eliminar. Por ese motivo se intenta con esta me-todología sustituir el tópico de que la física son un conjunto de expresiones físi-co-matemáticas, por el hecho de que la física es un conjunto de conceptos y que los ejercicios hay que realizarlos con una metodología. Otra propuesta sugerida en esta guía se basa en la comprensión y profundi-zación que el estudiante realice al estudiar cada tema, para ello he introducido al final de cada tema preguntas de comprensión y profundización además de talleres que van desde simples experimentos hasta demostraciones y profun-dizaciones acerca de una determinada temática relacionada con el tema de es-tudio. Estas preguntas se pueden utilizar como instrumentos de evaluación continua y están sujetas a cambios a criterio del maestro. Se debe usar números significativos para abordar los contenidos teóricos, los cuales pueden ser obtenidos de mediciones de valores significativos, de la vida real. Partir siempre de una relación entre un contenido con el anterior, para luego re-lacionar una rama con otra y finalizar con una relación de la Física con otras ciencias. En la formulación de ejemplos y problemas físicos, utilizar la realidad del en-torno (situaciones, vivencias, necesidades, actividades, problemas). Complementar el estudio con un asiduo manejo de animaciones informáticas y



software, para reforzar el manejo de las magnitudes cinemáticas descriptoras de los movimientos. Las prácticas de laboratorio deben desarrollarse conjuntamente con el avance teórico y deben servir de base para el planteamiento de situaciones problémicas, estas prácticas pueden ser realizadas fuera del aula, con materiales del medio, todo dependerá del ingenio y la creatividad del maestro. El maestro debe poseer un sustento teórico amplio, de manera que pueda responder y profundizar en las preguntas y aplicaciones problémicas que los estudiantes planteen, las cuales deben tener un asidero real y ser concebidas luego de exponer los contenidos conceptuales. Una última sugerencia al maestro es que adiestre al alumno a afrontar los conceptos que este erróneamente se forja, invitarlo a que los corrija mediante la experimentación, pues la Física es una ciencia cuyos conceptos deben ser correctamente formulados y enunciados, pues en el aula “suele ser útil crear una situación donde los estudiantes deban pensar como el matemático que ideó el algoritmo e intenten desarrollar por su cuenta una fórmula adecuada” (Gardner; 2 000). Finalmente, es el maestro el que debe escoger el método de enseñanza que más se adapte a la realidad del aula y al avance académico de sus educandos, ya que este documento está abierto a cualquier modificación, siempre que se crea conveniente.



Primera Unidad

ESTÁTICA

Subunidades: 1. MAGNITUDES FÍSICAS 2. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL 3. EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN 4. EQUILIBRIO DE ROTACIÓN 5. LOS FLUIDOS EN REPOSO : HIDROSTÁTICA 6. MÁQUINAS SIMPLES Objetivos específicos: 1. Entregar al estudiante los conceptos físicos referidos a fenómenos de está-

tica para que sus integre a su acervo cognitivo anterior.

2. Desarrollar en el alumno la capacidad para interpretar fenómenos físicos y llevarlos a la práctica cotidiana.

PRIMERA UNIDAD

EL EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS

ESTÁTICA



3. Introducir al estudiante en la investigación entendiéndola como un proceso

fundamentado en la exploración y en el desarrollo de la capacidad para el pensamiento científico, crítico y reflexivo.

4. Habilitar al estudiante en la comunicación oral y escrita para que pueda des-envolverse en sus tareas académicas. En esta primera unidad se desarrollan seis subunidades básicas o bloques temáticos. En la primera se aborda la introducción a la física, las magnitudes físicas, así como las unidades de medida y los patrones de medición de los fenómenos físicos. En la segunda se abordan los contenidos de álgebra vecto-rial como una especie de nivelación matemática para estudiar el equilibrio tras-lacional y rotacional de partículas y cuerpos rígidos, los cuales serán analiza-dos en la tercera y cuarta subunidad. La quinta es una aplicación de los principios de equilibrio a los fluidos y la sexta es un estudio de algunas aplica-ciones de le estática, como es el caso de las palancas, poleas y más máquinas simples.



Primera Subunidad

MAGNITUDES FÍSICAS

MAGNITUDES FÍSICAS

MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y ERRORES

MAGNITUDES FUNDA‐MENTALES

MAGNITUDES DERIVADAS

PREFIJOS SI

NORMAS PARA EL MANEJO DEL SI

MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

REDUCCIONES Y CON‐VERSIONES SI

INTRODUCCIÓN



Primera Subunidad

MAGNITUDES FÍSICAS

La Física es una ciencia experimental que tiene por objeto el estudio y descrip-ción del comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el me-nor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lengua-je matemático, por lo que la Física se relaciona íntimamente con las matemáti-cas; por otra parte, las leyes físicas tienen su aplicación en otras ciencias, lo que establece relaciones entre la Física y la Biología, la Química, la Anatomía, etc. 9.1.1. MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y ERRORES OBJETIVOS DEL TEMA. Identificar correctamente los conceptos básicos y aplicarlos al planteamiento, resolución e interpretación de la situación problémica propuesta. Despertar el interés por esta metodología. La física es una ciencia experimental. Estudia los procesos del mundo físico y establece un cierto número limitado de leyes con las cuales se puede explicar la mayor variedad posible de los fenómenos observados y predecir el resultado de experiencias nuevas. Que sea ciencia experimental significa que los fenómenos en análisis deben observarse y medirse. Decimos que una magnitud es una realidad física capaz de ser medida. La medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. Las magnitudes o cantidades físicas se subdividen en magnitudes escalares y vectoriales. Una medición escalar se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. El número expresa cuantas veces el patrón está contenido en la medición. Algunas de las cantidades escalares son: masa, tiempo, longitud, temperatura, etc. Las cantidades vectoriales requieren para su completa determinación tres da-



tos, la magnitud, la dirección y el sentido: la magnitud es el tamaño de la canti-dad medida (número +unidad), la dirección es una línea imaginaria sobre la cual actúa la fuerza y el sentido hacia dónde actúa la cantidad estudiada. Ejemplos de estas magnitudes son: desplazamiento lineal, velocidad lineal, aceleración lineal, fuerza, torque, campo eléctrico, etc. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indire-cta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud llamada patrón o unidad de medida. El proceso de medición es un proceso físico, una operación física experimental, en la que intervienen necesariamente tres sistemas:

El sistema objeto al cual queremos medir. El sistema de medición o aparato de medición. El sistema de comparación, que definimos como unidad, y que suele

venir unido o estar incluido en el aparato o instrumento de medición. Por ejemplo: en el llamado “medición de longitud” interviene:

El objeto cuya medición queremos medir: ejemplo, una viga. El instrumento, por ejemplo, una regla. La unidad (cierta escala marcada en la misma regla, o en cierta barra

patrón). Medir temperaturas significa: tomar un instrumento llamado termómetro, poner-lo en contacto térmico con el sistema que queremos medir, esperar que se es-tablezca el equilibrio térmico, medir la longitud de la columna de mercurio, etc. Medir la masa de un cuerpo significa: tomar el cuerpo, ponerlo sobre el platillo de un instrumento llamado balanza, colocar masas unidad en el otro platillo hasta equilibrar la balanza, leer el número de masas unidad. La medición exige instrumentos los cuales han ido surgiendo como resultado de inven-to de algunos genios físicos importantes. La fig. 1 nos muestra instrumentos conocidos: la balanza mida masas y el calibrador, longi-tudes. Al realizar medidas se comenten multitud de errores, tanto por falta de sensibi-lidad del aparato como por deficiencias del observador. Por ello el número que resulta de una medición nunca es el valor exacto o verdadero, sino un valor aproximado.

Fig.-1 Algunos instrumentos de medición.



Lee, razona y resuelve: Organízate en grupos de estudio: Con la base teórica propuesta, intenta realizar mediciones de objetos que se encuentran en el aula. Cada vez que midas un objeto, indica en voz alta el con-cepto y luego el valor de la medición. ¡Profundiza en tus conocimientos: Consulta bibliografía y páginas de In-ternet! ¡No te olvides de preguntar en clase! 9.1.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. 9.1.2.1. RESEÑA HISTÓRICA. OBJETIVOS DEL TEMA. Dotar al alumno de una base teórica mínima para ser utili-zada por éste en la resolución e interpretación de aplicaciones propuestas. Despertar el interés por la investigación dentro y fuera del aula. Con objeto de tener constancia de la cuantía de todas y cada una de las uni-dades, estas se materializaron mediante objetos, que recibieron el nombre de unidades patrón, siendo fijadas mediante convenios internacionales. El metro patrón fue definido en 1790 por la revolución Francesa, de la manera siguiente:” El metro es la cuarenta millonésima parte del meridiano terrestre”. Mas tarde, con la utilización de mejores instrumentos se redefinió al metro va-rias veces hasta la actualidad. En 1875, se conforma, la convención del metro, conformada por veinte países, decidiendo acoger el metro y el kilogramo como unidades de medida. Se con-formó la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas con sede en París, Francia. Posteriormente se incluyó al segundo como unidad de tiempo, al am-perio como unidad de intensidad de corriente eléctrica, al kelvinio como uni-dad de temperatura, al mol, como unidad de cantidad de sustancia y a la can-dela como unidad de intensidad luminosa. Con estas seis unidades básicas el nuevo sistema de unidades así formado tomó el nombre de SISTEMA INTER-NACIONAL DE UNIDADES, SI. Recién en 1971 se incluye al mol dentro del SI como nueva unidad básica. En Ecuador, se crea el Instituto Nacional de Nor-malización, en 1973-74, como un organismo encargado de implantar e incenti-var el uso del SI en el país. Actualmente el SI se usa en casi todos los países del mundo.



9.1.2.2. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Las leyes físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecá-nica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física. Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en Mecánica, son las que se dan en la tabla 1.1.2.1. Este se conoce también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y se-gundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centímetro, gramo y segundo. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias.

Magnitud Física Unidad de medida Símbolo Longitud Metro m Tiempo Segundo s Masa Kilogramo kg

Tabla 1.1.2.1. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en mecánica.

La definición operacional actual de las magnitudes físicas fundamentales se da a continuación. Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero se han abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longi-tud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío duran-te un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s. Tiempo: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192631 770 periodos de la radiación de átomos de cesio 133. Con un reloj atómico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiación con una preci-sión de una parte en 10E12, lo que equivale a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años. Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se define como la masa de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de París, Fran-cia. Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que con las anteriores su-man siete en total, están indicadas en la tabla 1.1.2.2.



MAGNITUDES NOMBRE SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica amperio A

Temperatura termodinámica kelvinio K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Ángulo plano radián

Ángulo sólido estereorradián Tabla 1.1.2.2. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales.

9.1.2.3. MAGNITUDES DERIVADAS En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magni-tudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas funda-mentales. Algunas de las magnitudes derivadas tienen unidades que han sido “bautiza-das” con nombres especiales, de acuerdo a convenios internacionales. Algunas de estas unidades se muestran a continuación: UNIDADES SI DERIVADAS CON NOMBRES ESPECIALES

Magnitud Nombre Símbolo Equivalencia

Frecuencia hertzio Hz s-1

Fuerza newton N kg·m/s2

Presión pascal Pa N/ m2

Energía, trabajo, cantidad de calor

julio J N/ m

Potencia vatio W J/s

Flujo eléctrico carga eléctrica

culombio C A·s

Potencial eléctrico voltio V W/A



Diferencia de poten-cial

Resistencia eléctrica ohm W V/A

Capacitancia eléctri-ca

faradio F C/V

Flujo magnético weber Wb V·s

Densidad de flujo magnético

tesla T Wb/ m2

Inductancia henrio H Wb/A

Otras unidades derivadas se toman el nombre de la magnitud asociada con el fenómeno físico al cual describen, algunas de las cuales van a continuación: UNIDADES SI DERIVADAS SIN NOMBRES ESPECIALES

Magnitud Unidad SI Símbolo

Velocidad lineal metro por segundo m /s

aceleración metro por segundo cuadrado m/ s2

velocidad angular radián por segundo rad/s

aceleración angular radián por segundo cuadrado rad·s-2

área metro cuadrado m2

volumen metro cúbico m3

torque newton-metro N.m

momento lineal kilogramo. metro por segundo kg m s-1

Viscosidad dinámica pascal-segundo Pa·s

momentum angular, impulso angular

julio-segundo J. s

densidad volumétrica de masa kilogramo por metro cúbico kg /m3

campo eléctrico voltio por metro V/ m

entropía julio por kelvinio J /K



Algunas magnitudes han adoptado unidades de otros sistemas, tales como del CGS o del sistema inglés, los cuales por costumbre circulan actualmente. Algunas de éstas están en la siguiente tabla:

Magnitud Unidad SI Símbolo Equivalencia

masa tonelada libra

t lb

1000 kg 0,454 kg

tiempo minuto hora día

min h d

60 s 3600 s 86 400 s

temperatura grado Celsius °C 1K

ángulo plano grado sexagesimal ° rad

volumen litro l 0,001

9.1.2.4. PREFIJOS QUE FORMAN LOS MÚLTIPLOS, SUBMÚLTIPLOS DEL SI Teniendo en cuenta que la física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes, los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de E, que es la notación científica. Si el exponente de la potencia de E es positivo (o negativo) el valor de la mag-nitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de E y se usan los prefi-jos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de E. Los prefijos se muestran a continuación en la siguiente tabla:



PREFIJOS SI

NOMBRE SÍMBOLO FACTOR

Yotta Y 1E24

Zetta Z 1E21

Exa E 1E18

Peta P 1E15

Tera T 1E12

Giga G 1E9

Mega M 1E6

kilo K 1E3

hecto h 1E2

deca da 1E1

UNIDAD - 1E0

deci d 1E-1

centi c 1E-2

mili m 1E-3

micro 1E-6

nano n 1E-9

pico p 1E-12

femto f 1E-15

atto a 1E-18

zepto z 1E-21

yocto y 1E-24

Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9.45 1E15 m, o el Angstrom que es igual a 1E-10 m. Orden de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de E más cercana al valor verdadero de una magnitud física conocida cuyo valor numérico se conoce. Cuando se com-



para entre magnitudes físicas similares, se dice que una magnitud física difiere de la otra en un orden de magnitud, cuando es mayor o menor en un factor de E. La forma de determinar el orden de magnitud de una medición o cantidad es la siguiente: Se expresa la medición en forma de notación decimal, recordando que el coefi-ciente te de E debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10. Si el exponente es mayor a 5,5, se incrementa en una unidad el exponente de E, caso contrario, se mantiene. Esta potencia de E es el orden de magnitud de la cantidad o me-dición analizada. Ejemplo 1. El orden de magnitud de 1 es 1E0, el orden de magnitud de 10 es 1E1, el orden de magnitud de 100 es 1E2. Ejemplo 2. a) Determinar el orden de magnitud de la masa de la Tierra, cuyo valor es aproximadamente 6E 24 kg. b) Si la masa del Sol es , ¿en cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Solución: a) Considerando que su orden de magnitud es 1E1, por lo tanto el or-den de magnitud de la masa de la Tierra es b) Si la masa del Sol es 1E30 kg, ¿en cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Masa de la Tierra= Masa del Sol = Por lo tanto la masa del Sol es 6 órdenes de magnitud mayor (un millón de ve-ces más grande) que la masa de la Tierra. 9.1.2.5. REGLAS PARA EL USO DEL SI 1.-Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (Ω), se escriben usando las letras del abecedario, en general, con minús-culas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de amperio, J de ju-lio, etc. 2.-Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs. 3.-Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la uni-dad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km2 significa (km)2, área de un



cuadrado que tiene un km de lado, o sea 10E6 metros cuadrados y nunca k (m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados. 4.-El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc. 5.-El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con prefe-rencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se puede escribir N.m. 6.-Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador:

7.-No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a me-nos que se añadan paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas: m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/ (kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3. 8.-Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos emi-nentes deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pe-ro con minúscula inicial. No obstante, serán igualmente aceptables sus deno-minaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, vatio, hertzio. 9.-En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera del decimal. Para facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se se-paran por puntos ni comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año. 9.1.2.6. REDUCCIONES Y CONVERSIONES SI. Para convertir una cantidad dada en un prefijo SI en otra expresada en otro prefijo SI, se dividirá la cantidad con el prefijo dado para la cantidad cuyo prefijo se desea obtener; este resultado se multiplica por la cantidad dada. Esto lo demostramos a través de los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Reduzca 23 a



El prefijo dado es Y, cuyo factor es 1E24, el prefijo pedido es M, cuyo factor es 1E 6 Entonces:

=1E4 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 23 y obtenemos 1E4.23 = 23E4 = 2.3E2 kHz = 230 kHz. Ejemplo 2. Reduzca El prefijo dado es P, cuyo factor es 1E15, el prefijo pedido es m, cuyo factor es 1E-3 Entonces:

=1E18 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 6,5E-8 y obtenemos 1E18.6, 5E-8 = 6.5E10 = 65E9 = 65 GW. Ejemplo 3. Reduzca El prefijo dado es a, cuyo factor es 1E-18, el prefijo pedido es P, cuyo factor es 1E15 Entonces:

=1E-33 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 354E-30 y obtene-mos 1E-33.354E30 = 3.54E-3 = 3,54 mN. Lee, razona y resuelve: Escribe usando prefijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud de la línea ecuatorial, radios del núcleo y átomo, segundos de un milenio, edad de la Tierra, volumen de una pulga, masa del Sol, distancia de la estrella más cerca-na a la Tierra (después del Sol). La Tierra tiene una edad de 4600 millones de años y el ser humano ha estado sobre ella desde hace unos 150 mil años. Si la edad la Tierra la hacemos equi-valente a un día, ¿cuántos segundos tiene el ser humano sobre la Tierra? Transforma a



Transforma a Transforma a

Investiga y demuestra como transformar a Taller 5.1.2 Crea tu propio sistema de unidades: Para ello utiliza unidades o patrones de medida creados por ti mismo, así: para la longitud utiliza el largo de alguna par-te de tu cuerpo, para el tiempo, el que tardas en dar una vuelta a la cancha, etc. Luego arma tu propia tabla de magnitudes fundamentales y compáralos con el SI. Utiliza tu sistema de Unidades para realizar mediciones de algunos objetos de tu aula. Al final obtén las equivalencias correspondientes. Registra tu informe en tu cuaderno de ejercicios usando la siguiente plantilla: INVESTIGACIÓN 5.1.2.- APLICACIÓN DEL SI A MEDICIONES COMPARA-TIVAS REALES. Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:



Resolución: Respuesta e interpretación física: ______________________________________________________________________________________________________________________________ Proyecto Haz un agujerito en un cartón y sostenlo a los rayos del sol. Observa la imagen del sol que se forma abajo. Para convencerte de que la mancha redonda de luz es una imagen del Sol redondo, prueba con agujeros de distintas formas. Un agujero cuadrado y uno rectangular producirá una imagen redonda si la distan-cia a la imagen es grande en comparación con el tamaño del agujero. Cuando los rayos del Sol forman un ángulo con la superficie de la imagen, ésa imagen es un circulo estirado, es decir una elipse. Deja que la imagen del sol caiga co-bre una moneda. Coloca el cartón de modo que la imagen apenas cubra la mo-neda. Es una forma cómoda de medir el diámetro de la imagen; es del mismo diámetro de la moneda, que se puede medir con facilidad. A continuación mide la distancia entre el cartón y la moneda, utiliza unidad creada por ti mismo: puede ser la longitud de un dedo, una oreja, etc., La relación del tamaño de la imagen entre la distancia a la imagen debe ser de más o menos 1/110.Es la relación del diámetro del Sol entre la distancia del Sol a la Tierra. Con el dato de que el Sol está a 150 000 o 1,5E8 km de la Tierra, calcula el diámetro del Sol y exprésalo en tus unidades y en unidades



AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE MIDE TUS CONOCIMIENTOS

Integra tus conocimientos: a) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario. → Física → Relación entre la física y las ciencias. → Magnitud → Sistemas de Unidades → Orden de Magnitud b) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales temas tratados en esta unidad. Resuelve las siguientes situaciones: Transforma a Transforma a

Transforma a



Segunda Subunidad

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL

EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA

DE VECTORES

RESTA TRIGONOMÉTRICA

DE VECTORESSUMA Y RESTA

ANALÍTICA DE VECTORES

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

SUMA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES

INTERCAMBIOS EN LA EXPRESIÓN DE

UN VECTOR

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES

VECTORES UNITARIOS

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL



Segunda Subunidad

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL El Álgebra vectorial es una rama de la matemática, en la que las cantidades no son aritméticas o algebraicas, sino otros entes matemáticos llamados “vecto-res”, los cuales son utilizados para simbolizar representar las magnitudes vec-toriales. El álgebra vectorial es una de las más importantes ramas de las ma-temáticas utilizadas para el estudio de la Física, lo cual hace que sea estudiada previamente al abordaje de la Física propiamente dicha. 5.2.1 EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer y aplicar la expresión trigonométrica de un vector.

Valorar e incrementar el interés por esta nueva metodología. Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas pre-cisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Un vector es la expresión geométrica que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Los elementos de un vector son los siguientes (figura 5.2.1.1.): • Un origen o punto de aplicación: A. • Un extremo: B. • Una dirección: Una recta imaginaria que contiene al vector. • Un sentido: indicado por la punta de flecha en el extremo B. • Un módulo, expresado por la longitud del segmento AB.

Fig.5.2.1.1. Elementos de un vector.

Para nombrar un vector se utiliza una letra o símbolo cualquiera con una flechi-

ta en su parte superior, por ejemplo ,… Hay varias maneras de expresar la magnitud de un vector: utilizaremos dos; en

la primera el nombre del vector va encerrado entre barras, por ejemplo:



y la segunda, en la que nombre del vector va sin la flechita, por ejem-plo . Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección, como muestra la figura 5.2.1.2.

Fig. 5.2.1.2. Igualdad de vectores.

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vec-tor libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Los vectores se pueden expresar de varias formas, de estas estudiaremos dos: la forma trigonométrica y la forma analítica. Un vector queda expresado trigonométricamente mediante su magnitud o valor numérico, su dirección y sentido está determinado por dos ángulos llamados ángulos directores. Los ángulos directores de un vector son los ángulos planos formados entre el vector y cada uno de los ejes positivos del plano o sistema de referencia utili-zado. En el plano bidimensional, los vectores tienen dos ángulos directores de-signados con las letras griegas .En el plano tridimensional (espacio) los vectores tienen tres ángulos directores . La expresión trigonométrica de dos vectores está determinado por:

Ejercicio Resuelto 1 Se tiene un vector de módulo 25 y de ángulos directores Ex-presa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica. El vector expresado en la forma trigonométrica es:



El vector expresado en la forma gráfica es:

Para el vector de módulo 25 y de ángulos directores Expresa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica. El vector expresado en la forma trigonométrica es:

El vector expresado en la forma gráfica es:

Evalúa tu comprensión: Un vector es un………………………….. que representa………………… En la forma trigonométrica los vectores se expresan mediante………. y sus………………………………….. Lee, razona y resuelve: ¿Por qué a la longitud se le considera cantidad escalar y a la velocidad se le considera cantidad vectorial? Representa los siguientes vectores en el sistema de referencia mostrado:



Taller 5. 2.1

Usa tu aula como referencia. Construye vectores que indiquen la posición de las lámparas, de los marcos superiores de puertas y ventanas, de los extremos del pizarrón y de tu pupitre con respecto a un punto arbitrario. Registra los da-tos en la siguiente tabla:

VECTORES MAGNITUD ÁNGULOS DIRECTO-RES.

Usa esta plantilla para registrar tu informe y disértalo a tus compañeros: INVESTIGACIÓN 5.2.1.- APLICACIÓN DE VECTORES A SITUACIONES REALES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales:



Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.2 SUMA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES EN EL PLANO OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la suma trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a esta operación con vectores. Los vectores, al igual que los números, son entidades matemáticas sobre las cuales se efectúan algunas operaciones. En esta guía se desarrollarán algu-nas de estas operaciones, las más elementales y necesarias para el estudio de la Física. Empezaremos con la suma de dos vectores expresados en forma trigonomé-trica, la cual se puede realizar mediante dos métodos:

Método del triángulo. Este método combina la labor gráfica con conocimientos de trigonometría y geometría, por lo que se recomienda refrescarlos antes de abordar este tema. El método del triángulo tiene algunos pasos los cuales vamos a detallar con la ayuda de un ejemplo: Sumar los siguientes vectores:



1. Se dibujan los vectores en el plano cartesiano.

2. Se determina el ángulo entre ellos, para ello se suma o se resta los ángulos directores de los vectores. Del gráfico se observa que:

3. Se traslada el vector cuyo ángulo director es mayor al extremo del otro vector; este vector debe quedar a continuación del otro.

4. Se junta el origen del primer vector con el extremo del otro mediante un tercer vector que será el vector suma o vector resultante. De esta manera se forma un triángulo de vectores.



5. Se aplica la ley de cosenos al triángulo de vectores OPQ para obtener la magnitud del vector resultante. Aquí hay que percatarse bien en el valor del

ángulo entre y , en este caso es el suplementario de Del gráfico se tiene que:

Con los datos:

Y el vector resultante es:

6. Se aplica la ley de senos al triángulo de vectores para obtener el ángulo entre el vector resultante y el de vector no trasladado. Del gráfico se tiene que:

Es decir:

Resolviendo se tiene que:

Con lo que:

7. Con el ángulo así obtenido, se obtienen los ángulos directores. Aquí hay que proceder con sumo cuidado para elegir correctamente los ángulos, en el ejemplo, hay que sumar para obtener el ángulo director y restar

para obtener :

El vector resultante queda expresado en la forma trigonométrica y gráfica de la



siguiente manera:

Método de superposición. Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo

vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, luego un segundo, un tercero, etc., siguiendo la misma lógica. La suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del pri-mer vector hasta el extremo del último, de la siguiente manera:

Sumar los siguientes vectores utilizando el método de superposición. Sumar los siguientes vectores:



Primero dibujamos un sistema de referencia con el primer vector en el origen. Como la suma es una operación conmutativa, se puede colocar a los vectores en el orden que queramos sin que se altere el resultado.

Es necesario establecer una escala adecuada y dibujar con la mayor exactitud posible, recuérdese que es un método puramente gráfico, el resultado depende de la calidad del gráfico. Luego se va dibujando los vectores tomando como centro de referencia la pun-ta de la flecha del vector precedente, con esto, se logra lo siguiente:

Al final se mide el tamaño del vector resultante y sus ángulos. En el ejemplo, se tiene que:

Evalúa tu comprensión: El vector resultante de sumar dos vectores está dado por la ecua-ción…………………cuya magnitud se obtiene median-te…………………………………………….. Los ángulos directores del vector resultante se obtienen a partir del……….. Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:



Calcular por los dos métodos:

a)

b)

c) Dibujar los vectores y los resultados.

Taller 5.2.2 Suma los vectores del taller anterior en la forma trigonométrica. Trata de obtener la suma trigonométrica de dos vectores que puedes encontrar en tu establecimiento. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.2.- APLICACIÓN REAL DE SUMA DE VECTORES EN LA FORMA TRIGONOMÉTRICA 2 Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.3 RESTA TRIGONOMÉTRICA DE DOS VECTORES EN EL PLANO OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la resta trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a esta operación con vectores. Se conocen dos métodos: por reducción a suma y por diferencia de vectores.

Por reducción a suma: Se gira al vector sustraendo. Para ello se resta a cada uno de los ángulos directores y se toma su valor absoluto. Se escribe el nuevo vector sus-traendo y se le suma el minuendo con el método de la suma trigonométrica. Para ello seguiremos el siguiente ejemplo Ilustrativo



Para los siguientes vectores:

Halla

1. Se halla -

2. Se dibuja los vectores y se procede como en la suma:

Del gráfico se obtiene el ángulo entre los vectores:

Por la ley de los cosenos:

Por la ley de los cosenos se obtiene el ángulo :

Con lo que:

Luego:

El vector resultante queda expresado de la siguiente manera:



Por diferencia de vectores: Se sigue el siguiente algoritmo: 1. Se dibujan los dos vectores en el plano y se determina el ángulo entre ellos. 2. Se traza un nuevo vector, el cual va desde el extremo del sustraendo hasta el extremo del vector minuendo. De esta forma obtenemos un triángulo de vectores. 3. Se traslada el vector resultante al origen. 4. Se resuelve el triángulo de vectores: mediante la ley de cosenos se halla el módulo del vector resultante y con la ley de los senos el ángulo entre el vec-tor minuendo y el resultante. 5. Los ángulos directores se determinan mediante un análisis cuidadoso del triángulo de vectores. Para ello seguiremos ejemplo Ilustrativo anterior:

Halla

Del triángulo de vectores OMN obtenemos la magnitud y ángulos directores del vector resultante:

Por la ley de los cosenos:

Trasladamos el vector resultante al origen del sistema coordenado. Por ley de cosenos obtenemos el ángulo N:

Calculamos los ángulos directores:

Con o que el vector resultante queda expresado de la siguiente manera:



Evalúa tu comprensión: Compara los algoritmos para la suma y resta trigonométrica de los vectores en el plano. Extrae algunas conclusiones importantes. Investiga y responde: ¿cuándo la magnitud de la suma o resta de dos vectores de reduce a la suma o resta de sus magnitudes? Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:

Calcular por los dos métodos

a)

b)

c) Dibujar los vectores y los resultados.

Taller 5.2.3 Con la ayuda de cuerdas, sal al patio y realiza una práctica de resta de vecto-res. Dibuja un sistema de referencia y mide el vector resultante. Luego haz los cálculos y obtén el valor de dicho vector. Compáralo con el medido y saca el error de medición. Usa la siguiente ecuación:

En donde: valor medido y valor calculado ¡Multiplica por cien y has obtenido el error porcentual!



INVESTIGACIÓN 5.2.3.- APLICACIÓN REAL DE RESTA DE VECTORES EN LA FORMA TRIGONOMÉTRICA. Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.4 VECTORES UNITARIOS OBJETIVOS DEL TEMA: Aprehender, relacionar y aplicar correctamente los concep-tos dados. Resaltar la importancia de la interrelación asertiva en el equipo de trabajo.



Se denomina vector unitario a un vector, cuyo punto de partida es el origen del sistema de referencia, su módulo es 1 y su dirección y sentido siempre apuntan al lado positivo del sistema. Los vectores unitarios en el plano XY suelen representarse respectivamente

por como se muestra en la figura.

Los vectores unitarios en el espacio XYZ suelen representarse respectivamen-

te por

También es posible especificar vectores unitarios en cualquier dirección o en direcciones de cualquier otro vector. Por ejemplo, el vector unitario en la direc-ción de un vector dado es:

Ejercicio Guía Calcula y grafica el vector unitario correspondiente a la dirección de los siguien-tes vectores.



Como la dirección del vector es arbitraria, tenemos que:

Para :

Para :

Para :

Evalúa tu comprensión: Se llaman vectores unitarios…………………………………………………………... Expresa todos los vectores unitarios del plano a la forma trigonométrica. Expresa todos los vectores unitarios del espacio a la forma trigonométrica. Lee, razona y resuelve: Grafica el vector unitario correspondiente a los siguientes vectores. Obtén su magnitud:

.



Taller 5.2.4

Investiga una situación real donde se apliquen los contenidos de este tema. Pide ayuda a tu profesor. Luego comparte con tus compañeros el informe co-rrespondiente. INVESTIGACIÓN 5.2.4.- APLICACIÓN REAL DE VECTORES UNITARIOS Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.2.5 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir los conceptos y aplicarlos en los ejercicios y acti-vidades propuestas. Plantear situaciones reales de aplicación. Despertar el espíritu de colaboración en el grupo de trabajo. A un vector podemos proyectarlo en la dirección de uno de los ejes coordena-dos. Este vector puede ser considerado como resultado de la suma de las tres proyecciones, las cuales son perpendiculares entre sí. De este modo:

Los escalares o coeficientes, y se denominan componentes del vector.

Para un vector dado, es la proyección de sobre el eje ; es la pro-

yección de sobre el eje . Esto para el plano. En el espacio se tienen,

además de las dos anteriores, la componente es la proyección de sobre el eje . También puede representarse de la siguiente forma:

Los vectores proyección , y se obtienen a través de relaciones trigonométri-cas en la figura 5.2.5.1:

Los coeficientes son:

; ; De donde y son los ángulos directores del vector. , y son los cosenos directores del vector, los cuales son expresados de la siguien-te manera:

; ;

fig. 5.2.5.1. Componentes rec-tangulares de un vector



La expresión analítica de vectores es la representación de un vector como la suma de sus componentes rectangulares. En el espacio, un vector en la forma analítica se expresa de la siguiente forma:

En el plano, la expresión es la siguiente:

La magnitud está dada por: y la dirección está determinada por los ángulos directores, obtenidos de los cosenos directores:

; Reemplazando datos se llega a la conclusión de que el ángulo director es obtu-so si el coseno director es negativo. Con las herramientas anteriores podemos cambiar la expresión de un vector de la forma trigonométrica a la analítica. Para ello calculamos las componentes rectangulares del vector dado y lo expresamos como la suma analítica de sus componentes. Para cambiar de la forma analítica a la trigonométrica se calcula la magnitud y los ángulos directores del vector dado y se expresa el vector en forma trigo-nométrica: magnitud y ángulos directores. Ejercicio Guía Hallar los ángulos directores de un vector cuyas componentes en los ejes X, Y

y Z sean 4, 6, 8, respectivamente, y cuyo módulo sea Del enunciado tenemos que:

Con lo que el vector queda expresado de la siguiente manera:



Por otro lado:

, entonces: , por lo que: 68,2°

, entonces: por lo que: 56,15°

, entonces: , por lo que: 42,03° Evalúa tu comprensión: Las componentes rectangulares de un plano son:………………………………… ……………………………………………………………………………………………. Se llaman cosenos directores a:……………………………………………………… …………………………………. y cuyas ecuaciones son:………………………….. Un vector se expresa analíticamente en el espacio por medio de la ecuación: ………………………….. Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:

Determinar: → Las componentes rectangulares y sus magnitudes. → Los cosenos directores. → Los ángulos directores.

Taller 5.2.5 Con la ayuda de cuerdas construye algunos vectores en el patio. No olvides establecer primero un sistema de referencia. Luego, con la ayuda de un flexó-metro y un graduador de costurera, mide la magnitud y ángulos directores de cada vector construido. En base a estos datos, obtén las componentes rectan-gulares de los vectores construidos.



INVESTIGACIÓN 5.2.5.- APLICACIÓN REAL DE COMPONENTES REC-TANGULARES DE UN VECTOR Y EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:

¡No te olvides de participar en clase! 5.2.6 SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir la manera de relacionar vectores en la forma analí-tica. Aplicarlo correctamente al desarrollo de las aplicaciones prácticas propuestas.



Despertar el interés por el trabajo en equipo.

Si tenemos varios vectores y queremos compararlos (sumarlos o restarlos):

Primero vemos si todos se encuentran en la forma analítica. Vemos que el últi-mo vector no lo está. Lo expresamos, pues, dicha forma:

Luego los encolumnamos de tal manera que las componentes queden en una misma columna.

Luego se comparan (suman o restan) entre sí las componentes para obtener la expresión analítica del vector resultante.

Ejercicio Guía Calcula la suma de los siguientes vectores:

Primero expresamos el último vector en la forma analítica:

Luego los encolumnamos y sumamos:



El vector resultante viene dado por:

Evalúa tu comprensión: Compara la suma vectorial con la suma aritmética ¿Qué conclusiones obtie-nes? Investiga otros métodos para sumar vectores. Compártelos con tus compañe-ros. Lee, razona y resuelve: ¿La magnitud de la suma de dos vectores dados siempre será menor que el módulo de la diferencia de esos vectores? Un vector de 5 unidades apunta en la dirección positiva del eje X y otro de 3 unidades se orienta formando un ángulo de 44º con ese mismo eje. Determine la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente.

Un vector se extiende desde el origen hasta un punto que tiene por coorde-

nadas otro se extiende desde el origen hasta el punto, y

otro se extiende desde el origen hasta el punto .Grafique los vecto-res y determine su suma y resta, analíticamente.

Taller 5.2.6 Arma un equipo de investigación y pide asesoría a tu profesor para encontrar una situación relacionada con el tema. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.6.- APLICACIÓN REAL DE SUMA Y RESTA ANALÍTI-CA DE VECTORES Tema: Situación Problémica:



Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.7 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR OBJETIVOS DEL TEMA: Aprender e interpretar correctamente este concepto. Rela-cionarlo con los conceptos previos. Motivar al trabajo individual.

El resultado de multiplicar un escalar por un vector es otro vector expre-

sado por con las siguientes características:

1. Tiene la misma dirección que .

2. Si es positivo, tiene el mismo sentido que ; si es negativo, tiene

sentido contrario a .

3. El módulo de es veces mayor que

Para un vector expresado en forma trigonométrica, el vector queda definido mediante:



si

si Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las compo-nentes del vector. El producto de un escalar por un vector cumple con las siguientes propiedades:

1.-Conmutativa:

2.-Distributiva: Ejercicio Guía

Dado el vector: multiplíquelo por

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. Evalúa tu comprensión:

El resultado de multiplicar un escalar por un vector es otro vector expre-sado por ……………..con las siguientes características:…………………... ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve:

Dado el escalar: y , hallar





Taller 5.2.7

Demuestra que si a un vector orientado en la diagonal de un cubo de lado l se le multiplica por un escalar cualquiera k, el lado del cubo que contiene al vec-tor aumenta en k. Puedes construir el modelo en cartulina y exponerlo a tus compañeros. INVESTIGACIÓN 5.2.7.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO DE UN ESCA-LAR POR UN VECTOR Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 5.2.8 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir y conocer correctamente los conceptos. Deducir aplicaciones. Colaborar con el trabajo en equipo. El producto escalar de dos vectores, conocido como producto interno o produc-to punto, es una operación cuyo resultado es un escalar. Esta operación está expresado como . En forma gráfica, el producto escalar de dos vectores está dada por:

En donde es el ángulo formado por los dos vectores (ver figura)

En forma analítica el producto escalar de vectores se obtiene de la suma de los productos de los coeficientes de las componentes de uno y otro vector. Es de-cir, dados dos vectores y , expresados en un mismo sistema de coordena-das:

Teniendo en cuenta el producto escalar de los vectores unitarios:

El resultado de multiplicar escalarmente por es:



El producto punto de vectores cumple con las siguientes propiedades: Conmutativa: Distributiva con respecto a la suma: Asociativa: siendo escalar.

Si, y sólo sí Si = 0, es perpendicular a . Ejercicio Guía

Calcular el producto escalar de los vectores y

. Hallar el ángulo que forman. Primero hallamos el producto escalar de los vectores:

Ahora calculamos el ángulo que forman: Sabemos que:

Como ya calculamos , nos queda que hallar el producto de sus módulos para poder realizar el cociente:

22,17 Entonces:

y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º. Evalúa tu comprensión: el producto escalar de dos vectores en el plano es……………………. y está expresado por ……………..con las siguientes propiedades :…………………... ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve:

Para: y calcula el producto escalar y el ángulo que for-man los dos vectores. Dibuja todos los vectores



Para: y calcula el ángulo que forman los dos vectores. Dibuja los vectores.

Demuestra que: y son perpendicula-res. Argumenta tu respuesta.

Taller 5.2.8 Realiza la demostración del producto escalar de los vectores unitarios. ¿Qué ángulo formarán dos vectores; el uno orientado desde el marco inferior izquierdo de la puerta hacia el marco inferior derecho del pizarrón y el otro orientado desde el marco inferior izquierdo de la puerta hacia el marco supe-rior izquierdo del pizarrón? Puedes tomar el marco inferior izquierdo de la puerta como referente. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.8.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:



Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.9 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Comprender de manera cabal los conceptos y ecuaciones involucradas. Utilizarlos para la resolución de ejercicios y problemas de aplicación. Captar la metodología de trabajo.

Sean y dos vectores. Entonces definimos el vector que es el producto

vectorial de y por:

De la ecuación podemos afirmar que el producto vectorial, externo o cruz de dos vectores una operación cuyo resultado es otro vector. Decimos que es producto cruz, porque el operador es la cruz de San Andrés

Ahora bien, si y están expresados en la forma trigonométrica, el producto

vectorial, está expresado por:

Donde es el ángulo más pequeño entre los vectores y es un vector

perpendicular al plano engendrado por los vectores .

El vector es el que da la dirección al vector . El sentido del vector es el que se obtiene usando la regla de la mano derecha. Se extienden los dedos en sen-tido del primer vector, se los empuña en el sentido del segundo vector, se ex-tiende el pulgar, el cual señala el sentido del vector resultante. Una característica del producto cruz es que no es conmutativo, más bien, al cambiar el orden del producto se invierte el sentido del vector resultante.

El producto cruz es distributivo respecto a la suma vectorial:



Si analizamos el producto vectorial entre los vectores unitarios cartesianos, tendríamos que:

De esto se desprende la siguiente propiedad: El producto vectorial de un vector por sí mismo es igual a cero:

Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores expresados en forma analítica:

Sean dos vectores:

Entonces se tiene que:

+ Resolviendo se obtiene:

Considere un paralelogramo cuyos lados son los vectores tal como



muestra la figura:

El área de tal paralelogramo viene dado por la magnitud del producto vectorial

de ; es decir:

Ejercicio Guía

Sean y dos vectores unitarios en el plano XY, que forman ángulos con el eje X, respectivamente (ver figura). Evalué el producto cruz de estos vectores de dos maneras: usando la definición y usando la ex-presión en términos de las coordenadas cartesianas, y de esta manera encuentre una expresión para

El ángulo entre los vectores es luego:

Por otra parte:

= Igualando las dos expresiones anteriores concluimos que:

Evalúa tu comprensión: El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores es otro vector expre-sado por ……………..con las siguientes características:…………………...



……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve:

Para: y calcula el producto escalar y el ángulo que forman los dos vectores. Dibuja todos los vectores.

Para: y calcula el ángulo que for-man los dos vectores. Dibuja los vectores. Demuestra que la magnitud del área del paralelogramo cuyos lados son los

vectores y corresponde al producto vectorial de los mismos. Argumenta tu respuesta.

Taller 5.2.9 Demuestra en clase que el producto vectorial de dos vectores es un vector per-pendicular a los anteriores. Utiliza materiales del medio. Pide asesoría a tu pro-fesor. INVESTIGACIÓN 5.2.9.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:


Integra tus conocimientos: c) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario. → Vector → Vector Unitario. → Componentes rectangulares de un vector. → Producto escalar de vectores. → Producto vectorial de vectores. d) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad.



Resuelve las siguientes situaciones:

Un vector de coordenadas (1; 2; 3). Otro vector de módulo tiene por

componente de X el valor 1. Encuentre de tal manera que sea perpendicular

a Dado los vectores:

a) Encuentre el ángulo entre

b) para el vector encuentre los ángulos directores que forma el vector con los ejes X, Y Z, respectivamente. Un triángulo tiene por coordenadas (1; -1), (5; 4), (-1; 8). Usando vectores, cal-cula la magnitud de sus lados, sus ángulos y su área.

Un arquitecto desea conocer el área de un terreno en forma de un paralelo-gramo. Con un GPS determina las coordenadas del terreno: A (-6; -4), B (-2; 2), C (6; --6), D (2; 4).Ayúdalo a calcular dicha área.



Tercera Subunidad

ESTÁTICA TRASLACIONAL

COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE UNA PARTÍCULA

FUERZAS

EQUILIBRIO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA

ESTÁTICA TRASLACIONAL



Tercera Subunidad

ESTÁTICA TRASLACIONAL La Estática es la parte de la Física que establece las condiciones que deben cumplir las fuerzas que se aplican a una partícula o sistema de partículas (cuerpo) para que éstas se hallen en equilibrio. La Estática traslacional hace referencia a la primera Ley de Newton para la traslación, la cual establece el equilibrio de partículas debidas a agentes exter-nos o internos que originan traslación. Estos agentes son llamadas “fuerzas”, y son las causantes del movimiento de la mayoría de los cuerpos y sistemas físicos que existen en el universo. 5.3.1. FUERZAS. OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr una correcta aprehensión y comprensión de los con-ceptos expuestos. Relacionarlos y aplicarlos a situaciones del quehacer cotidiano. Despertar el interés por la comunicación e interacción entre equipos de trabajo. Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, o de producir una deformación en el mismo. Las fuerzas se clasifican en: Fuerzas de contacto.-son ciertos tipos de fuerzas que se presentan en los obje-tos que interactúan y que están físicamente en contacto (Por ejemplo: la fuerza con que se empuja un objeto, la fuerza de fricción, etc.) Fuerzas de acción a distancia.-Este tipo de fuerzas se caracterizan por presen-tarse en los objetos no se encuentran físicamente en contacto (Ejemplos típicos de este tipo de fuerzas son la fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza magnética, etc.) Por su disposición geométrica, las fuerzas se clasifican en: concurrentes, para-lelas, perpendiculares, coplanares, etc. Los elementos de una fuerza son: magnitud, dirección, sentido y punto de apli-cación. El punto de aplicación de una fuerza es primordial, ya que va a determinar el movimiento que causa dicha fuerza. La unidad de la fuerza en el SI es el Newton.



Para representar gráficamente una fuerza se emplean vectores. El módulo del vector (medida del segmento OB) es la magnitud de la fuerza; la dirección, es la recta imaginaria (recta directriz) por la que pasa el vector el sentido la cabe-za de la flecha y el punto de aplicación O corresponden a los de la fuerza.

Muchas veces tenemos distintas fuerzas aplicadas a un cuerpo y en distintas direcciones. Para conocer su comportamiento lo que hacemos es calcular la fuerza resultante, equivalente a la suma vectorial de todas las fuerzas aplica-das. Pero no siempre tenemos las coordenadas cartesianas de los vectores de las fuerzas aplicadas, sino que en la mayoría de los casos las encontramos como un módulo y un ángulo, lo que suele llamarse coordenadas polares. Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es descomponer a las fuerzas proyectándolas sobre los ejes por medio de relaciones trigonométri-cas simples, tales como seno, coseno y tangente. Una vez que tenemos cada componente proyectada, hacemos las sumas y restas sobre cada eje para lue-go volver a componer todo en una resultante. Las principales ecuaciones son: Componentes rectangulares de una fuerza:

Ángulos directores de una fuerza:

; Ecuación vectorial de las fuerzas:

La fuerza de rozamiento es un tipo particular de fuerza que se opone al movi-miento de los cuerpos, es decir, su valor no puede incrementar NUNCA la fuer-za que es aplicada, por lo que no cambia el sentido del movimiento del cuerpo,

solo lo frena. Ejercicio Guía



Un automóvil está tomando una curva, la cual tiene un ángulo de inclinación con respecto a la horizontal. Hallar la resultante de las fuerzas que actúan so-bre el automóvil al momento de tomar dicha curva.

Vemos que las fuerzas que actúan sobre el automóvil son: el peso y la fuer-za normal . La resultante de estas dos fuerzas es

.

De tal manera que: .

Ordenando tenemos que: .

Evalúa tu comprensión: Cuando empujas los dedos contra un muro, se doblan, porque están sometidos a una fuerza. Identifica esa fuerza. Un boxeador puede golpear con gran fuerza un saco de arena. ¿Por qué no puede golpear un trozo de papel en el aire, con la misma fuerza? Compara la fuerza que experimenta un camión para subir una cuesta y la que experimentas cuando levantas este libro. Pon por escrito las semejanzas y dife-rencias. Lee, razona y resuelve: Dos alumnos ubicados en los bordes opuestos de un camino recto tiran a un carro por el camino, con fuerzas de 160 N y 200 N, que forman un ángulo de 30º y 60º respectivamente, con la dirección del camino. a) Calcular la magnitud de la fuerza resultante y la dirección en la que se moverá el carro. b) Calcular la fuerza necesaria para que el carro se mueva en la dirección del camino. El asta de la bandera de tu colegio se mantiene fija mediante una cuerda fija al asta, a 8 m de altura y clavado en el suelo a una distancia de 6 m de la base del poste. Si la fuerza (tensión) que soporta la cuerda es 2 560 N, halle magni-



tud de las componentes de la tensión que la cuerda ejerce sobre el asta.

Taller 5.3.1

Investiga acerca de los diferentes tipos de fuerzas que existen en el Universo. Luego haz una exposición sobre el tema. INVESTIGACIÓN 5.3.1.- APLICACIÓN REAL DE FUERZAS Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 5.3.2. COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE UNA PARTÍCU-LA. OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer y manejar correctamente los conceptos. Generali-zarlos y relacionarlos con situaciones parecidas.. Despertar el interés por la organiza-ción y la participación. Si al pesar de un cuerpo colocamos en el platillo las siguientes pesas: 500 g, 250 g, 200 g, 50 g, en ese platillo concurren varias fuerzas (sistema de fuer-zas), pero sí por el contrario, colocamos una sola pesa de 1 000 g se aplicarás una fuerza con el mismo resultado. Es decir, varias fuerzas aplicadas a un mismo cuerpo pueden ser reemplazadas por una sola, que es la resultante de la composición de las anteriores. Composición de fuerzas significa suma vectorial de las mismas. Composición de fuerzas concurrentes.-Se denominan fuerzas concurrentes a aquellas fuerzas cuyas rectas directrices se cortan en un punto del plano o del espacio llamado punto de concurrencia C Siempre el origen del sistema de referencia es el punto C. La composición de fuerzas concurrentes (figu-ra 5.3.2.1) es otra fuerza llamada fuerza resul-tante y está determinada por la siguiente ecuación:

Composición de fuerzas paralelas.-Se denominan fuerzas paralelas a aquellas fuerzas que, dentro de un plano de referencia, tienen la misma dirección. La fuerza resultante o composición de fuerzas paralelas (figura 5.3.2.2) está dada por la suma vectorial de las fuerzas parciales:

Fig.5.2.1.1. Fuerzas concurrentes



Composición de fuerzas perpendiculares.-Son fuerzas cuyas directrices se cru-zan formando un ángulo recto. La fuerza resultante o composición de fuerzas perpendiculares se obtiene apli-cando el teorema de Pitágoras al triángulo de fuerzas, es decir:

Composición de fuerzas coplanares.- Se denominan fuerzas coplanares a aquellas fuerzas cuyas directrices están en un mismo plano de referencia (figu-ra 5.3.2.3). Para nosotros, el plano de referencia es el plano cartesiano bidi-mensional o plano XY. La fuerza resultante o composición de fuer-zas coplanares está dada por la suma vec-torial de las fuerzas parciales:

Ejercicio Guía Un grupo de obreros intenta desplazar una caja aplicando varias fuerzas:

Indica la resultante de las fuerzas.

Fig.5.3.2.2. Fuerzas paralelas

Fig. 5.3.2.3. Fuerzas coplanares



La resultante viene dada por la suma vectorial de todas las fuerzas, es decir:

Evalúa tu comprensión: Fuerzas concurrentes son:…………………………………………………………….………………………… La composición de fuerzas coplanares, paralelas y concurrentes está dado por la ecuación:…………………………………………………………………………… Lee, razona y resuelve: Sobre un plano inclinado liso de 5 m de largo y 6 m de altura se encuentra un bloque de 5 680 N en reposo atrancado por un tope. Calcule las fuerzas que el bloque ejerce sobre el plano inclinado y sobre el tope. Dos obreros conducen una carga de 60 kg con una barra de 2,50 m de largo de masa despreciable.. La carga pende a 1,50 m de uno extremo. Calcula la fuerza que debe hacer cada obrero si conducen la barra sostenida por uno de sus extremos. Cuatro fuerzas coplanares actúan sobre una lámina de latón. La primera, de 240 N actúa hacia la derecha, la segunda, de 549 N forma un ángulo de 24º con respecto a la primera, la tercera, de 876 N forma un ángulo de 30º con res-pecto a la segunda y la cuarta, de 1200 N forma un ángulo de 45º con la terce-ra. Halle la fuerza resultante y el ángulo que forma con la segunda fuerza. Analiza el rectángulo de la figura. Calcula la resultante.



Taller 5.3.2

Responde experimentalmente la siguiente pregunta: ¿Porque puedes ejercer mayor fuerza en los pedales de una bicicleta si te aferras al manubrio? INVESTIGACIÓN 5.3.1.- APLICACIÓN REAL DE COMPOSICIÓN DE FUER-ZAS APLICADAS SOBRE UNA PARTÍCULA Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 5.3.3. EQUILIBRIO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA. OBJETIVOS DEL TEMA: Aplicar los conceptos propuestos a situaciones del quehacer cotidiano. Incitar la motivación al trabajo grupal. Supongamos una partícula P sujeta a la acción de varias fuerzas, como se muestra en la figura:

Como P es tan pequeña, distinguimos solamente el movimiento de traslación, pues el de rotación en torno a su propio eje, es imperceptible. La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en equilibrio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero. Matemáticamente, esta ecuación se expresa así:

Generalizando tenemos:

Descomponiendo tenemos:

Naturalmente con esta condición la partícula está en reposo o se mueve sobre



una trayectoria rectilínea con velocidad constante. Si ahora observamos un sistema de partículas sujeta a la acción de varias fuerzas, como se muestra en la figura: Para que un sistema de partículas permanezca en equilibrio, cada una de sus partículas debe perma-necer en equilibrio. Ahora las fuerzas que actúan sobre cada partícula son, en parte de interacción

con las otras partículas del sistema y en parte

proveniente del exterior . Un sistema de partículas está en equilibrio si la suma de las fuerzas que actúan sobre cada partícula es cero, es decir:

Generalizando:

Diagrama de cuerpo libre: Un diagrama de cuerpo libre muestra a un cuerpo aislado con todas las fuerzas en forma de vectores que actúan sobre él (incluidas, si las hay, el peso, la normal, el rozamiento, la tensión, etc.).



Ejercicio Guía El sistema de la figura se encuentra en equilibrio. Los cables forman ángulos de 30º y 60º con la horizontal y la partícula pesa 250 N. Calcular la tensión en los cables. Se aplica la condición de equilibrio:

Del DCL del bloque y en el nudo se obtienen las ecuaciones: Bloque:

Nudo:

De la ecuación (3) se obtiene: De la ecuación 1 :

Reemplazando en las ecuación (2):



Simplificando y despejando:

Finalmente:

Evalúa tu comprensión: ¿Qué significa decir que algo está en equilibrio mecánico? Una bola de boliche en reposo está en equilibrio ¿Está también en equilibrio cuando se mueve con rapidez constante sobre una trayectoria rectilínea? Lee, razona y resuelve: Un disco de amoladora de 750 N se mantiene en equili-brio por medio de la cuerda AB de 2,8 m de largo, y una fuerza horizontal F como muestra en la figura. Si la dis-tancia entre la pared y la piedra es 1,4 m. Calcule la magnitud de F y la tensión de la cuerda Una piedra de 1 000 N es sostenida por dos cuerdas, co-mo indica la figura. Halla las tensiones de dichas cuerdas sabiendo que = 45º.

Taller 5.3.3 Investiga y responde: ¿Qué mantiene a la Tierra moviéndose alrededor del Sol? INVESTIGACIÓN 5.3.3.- APLICACIÓN REAL DE EQUILIBRIO TRASLACIO-NAL DE UNA PARTÍCULA Tema: Situación Problémica:



Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física:


Integra tus conocimientos: e) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario. → Fuerza. → Relación entre fuerza y entorno. → Componentes rectangulares de una fuerza. → Composición de fuerzas. → Equilibrio de traslación de una partícula. f) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad.



Ejercicio 4.2 Una barra de masa M y de largo L se equilibra como se indica en la figura. No hay roce. Determine:

Las fuerzas que intervienen. El ángulo que hace la barra con la horizontal cuando hay equilibrio.



Cuarta Subunidad

ESTÁTICA ROTACIONAL


TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS

CENTROS DE MASA

TORQUE DE UNA FUERZA

EQUILIBRIO DE ROTACIÓN

EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO

SÓLIDO RÍGIDO



Cuarta Subunidad


La Estática rotacional estudia las condiciones de equilibrio de rotación de los cuerpos. En esta subunidad veremos la causa de la rotación de una partícula o sistema de partículas, así como las condiciones de equilibrio de rotación de una partícula y de un cuerpo rígido. 5.4.1. TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA. OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr un conocimiento y comprensión correcta de los con-ceptos. Generalizarlos y caracterizarlos a situaciones cotidianas. Despertar la motiva-ción por la investigación. El torque o momento de una fuerza con respecto a un eje O es una medida de la efectividad de la fuerza para producir una rotación alrededor de dicho eje. Matemáticamente, es un vector resultante del producto vectorial del vector po-sición por el vector fuerza, es decir:

Donde r es el “vector posición”, es decir, es un vector que parte del origen del sistema de referencia o de un punto o eje cualquiera y llega al punto P de aplicación de la fuerza F, ver figura 5.4.1.1. El torque es la magnitud responsable de hacer girar a los objetos, por lo tanto el torque es en el movimiento de rotación lo que la fuerza es en el de traslación. Si el torque es un producto vectorial, en-tonces su dirección es perpendicular a

y a en el sentido dado por la regla de la mano derecha (si los dedos empu-ñados indican el sentido de la rotación en-tonces el pulgar extendido apunta a lo largo del eje de giro).Su magnitud está dada por , en donde es el ángulo formado por los vectores

y .

Fig. 5.4.1.1 Torque de una fuerza

Z

Y

X



Note que el torque que ejerce una fuerza depende de la posición del punto Q donde ésta se aplica y del punto P respecto al cual estamos evaluando el tor-que. Por convención se considera el torque positivo si la rotación que produciría la fuerza es en sentido antihorario y negativo si es horario, esto se ilustra en la figura. La unidad de medida del torque en el SI es el N.m

Ejercicio Guía Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza

, que se aplica a un objeto en la posición m. Por definición de torque:

Particularizando:

Operando:

Y:

Finalmente:

N.m Evalúa tu comprensión: El torque es una cantidad……………….. definida por……………………… Explica porque la puerta se abre con más facilidad si la tiramos del extremo opuesto de las bisagras que si la tiramos del centro.



Lee, razona y resuelve: Un mecánico aplica una fuerza de 32 N a una llave de 14 cm de largo, para apretar un perno. Si el ángulo entre la llave y la mano del mecánico es 32º. Halla el torque.

Halla el torque producido por la fuerza aplicada en el punto con respecto a) al punto b) al punto

Taller 5.4.1

Cuando pedaleas una bicicleta, el torque máximo se produce cuando los peda-les están en posición horizontal y es nulo cuando los pedales están en posición vertical. Explica por qué. INVESTIGACIÓN 5.3.3.- APLICACIÓN REAL DE TORQUE DE UNA FUERZA Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:



Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.4.2. TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS OBJETIVOS DEL TEMA: Ampliar el conocimiento anterior con el actual .Compararlo y establecer analogías y diferencias. Desarrollar el espíritu de investigación y análisis. Supongamos ahora que tenemos un sistema de varias fuerzas. Cada una de ellas tendrá un punto de aplicación. Ahora bien, si las rectas directrices de di-chas fuerzas se cortan en un punto común C (son concurrentes), la fuerza re-sultante es la suma vectorial de todas ellas, es decir:

Cada fuerza generará un torque con respecto a un eje o punto O. El torque re-sultante es la suma vectorial de los torques parciales correspondientes a las fuerzas parciales:

Como las fuerzas son concurrentes, se las puede desplazar para que todas actúen en un punto de concurrencia C. Luego se puede hallar el vector resul-tante y el vector posición que va del punto de concurrencia C al punto o eje O con respecto al cual se evalúa el torque. Hallado estos dos elementos se puede hallar el torque total:

Si tenemos dos fuerzas cuyas directrices o líneas de acción son paralelas, del mismo módulo y sentido contrario, estas reciben el nombre de par. Un par apli-cado a un cuerpo solo puede hacerle rotar. El módulo del torque de un par de fuerzas es igual al producto de una de ellas por la distancia entre sus líneas de acción (brazo del par) Ejercicio Guía Una barra AC de un metro de longitud está sometida a la acción de tres fuerzas verticales como indica la figura. Suponiendo que el peso de dicha barra es despreciable, calcula: La suma algebraica de las fuer-zas aplicadas. El torque resultante del sistema. Primero obtenemos la fuerza resultante:



Calculamos los torques parciales, para ello elegimos como eje al punto A:

De este modo calculamos el torque resultante:

Evalúa tu comprensión: El torque resultante de varias fuerzas con respecto a un punto O es la…………………………………………………………………………………………………………….cuya ecuación es ……………………………………………. Lee, razona y resuelve: Demuestra que el torque total ejercido por las dos fuerzas que actúan sobre la barra de la fi-gura, en torno al punto O, es nulo. Para las siguientes fuerzas:

Que actúa en el punto

Que actúa en el punto

Que actúa en el punto Calcula el torque resultante con respecto: → Al punto → Al punto



Taller 5.4.2

Demuestra por que cuando un automóvil cae por un acantilado, gira hacia ade-lante al caer. Ten en cuenta el torque ejercido por el auto al dejar el acantilado. INVESTIGACIÓN 5.4.2.- APLICACIÓN REAL DE TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.4.3. EL CUERPO RÍGIDO OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr una comprensión y aplicación correcta del concepto. Generalizarlo a situaciones del quehacer cotidiano. Despertar el interés por el trabajo en diadas o parejas. Un sólido rígido es un cuerpo extenso constituido por partículas cuyas posi-ciones relativas son fijas y que no experimenta deformación. En realidad no existen sólidos completamente rígidos, pero hay muchos en la práctica y para fuerzas no muy grandes, se comportan como tales. Tomemos como ejemplo el sólido rígido de la figura 5.4.3.1. Si sobre el cuerpo actúan varias fuerzas en di-ferentes puntos de aplicación, podemos obtener la fuerza resultante expresada como la suma de las fuerzas parciales, esto es:

Si se toma un punto arbitrario O y aplicamos cada una de las fuerzas parcia-les de manera que se produzca un torque con respecto a O, el torque resultan-te es expresado como la suma de los torques parciales, esto es:

Ejercicio Guía Halla la fuerza y el momento resultante con respecto a los extremos de la ba-rra sometida al sistema de fuerzas indicado en la figura:

Fig. 5.4.3.1. Cuerpo rígido.



Calculamos la fuerza resultante:

Calculamos el torque resultante con respecto a los puntos O y A:

Los torques resultantes son:

Evalúa tu comprensión: El vector resultante de sumar dos vectores está dado por la ecua-ción…………………cuya magnitud se obtiene median-te…………………………………………….. Los ángulos directores del vector resultante se obtienen a partir del……….. Lee, razona y resuelve: La figura muestra las fuerzas , , aplica-das a un cuerpo rígido que puede girar en torno de un eje que pasa por O. Cal-cular el torque resultante.

Dos fuerzas actúan a lo largo de los lados de un triángulo equilátero de



lado a, como se muestra en la figura. Encuentre una tercera fuerza que apli-cada en el vértice a lo largo del lado produzca un torque neto en torno a O igual a cero.

Taller 5.4.3 Con la ayuda de cuerdas trata de arrastrar un bloque de concreto o alguna piedra localizada cerca al colegio. Con un dinamómetro mide las fuerzas apli-cadas. Con estos datos, calcula la fuerza resultante. INVESTIGACIÓN 5.4.3.- APLICACIÓN REAL DE SÓLIDO RÍGIDO Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:



5.4.4. CENTROS DE MASA OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender correctamente los conceptos. Caracterizarlos y aplicarlos para plantear y resolver situaciones problémicas Animar al alumno al estu-dio guiado. Si tenemos dos masas, unidas por una barra de masa despreciable, tal como se muestra en la figura 5.4.4.1 Este sistema tendrá un punto P, externo o in-terno, tal que si sostenemos al sistema en ese punto, no existan fuerzas ni torques que lo obliguen a desplazarse o a girar. Este punto P de equilibrio es denominado centro de masa de un cuerpo rígido o defor-mable; en este punto se supone que se concentra toda la masa del sistema. El centro de masa es de vital importancia para ana-lizar el movimiento de cuerpos cuya geometría no facilita definir una trayectoria, esta es definida desde el centro de masa, reduciendo el análisis al movimiento del centro de masa. Si ahora obtenemos el vector posición que va desde P a cada una de las masas:

Si multiplicamos el segundo miembro de la ecuación por: tendríamos, para una masa:

Para varias masas:

Si los sistemas son láminas planas, las consideraremos asentadas en el plano XY; el vector centro de masa queda definido de la siguiente manera:

S analizamos experimentalmente algunas figuras geométricas planas y algu-nos sólidos macizos, podemos compararlos con los centros de masa indicados

Fig. 5.4.4.1



en la siguiente tabla: Centros de masa de algunos cuerpos FIGURA PLANA O SÓLIDO POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA Cuadrado, rombo, rectángulo, parale-logramo

Centro de diagonales planas

Círculo, polígonos regulares. Centro geométrico de la figura

Triángulos Centro de las medianas, sobre una mediana a un tercio de la base

Cubo, prisma, paralelepípedo Centro geométrico del sólido Conos, pirámides Sobre la altura a un cuarto de la base Ejercicio Guía Demostrar que el CM de un sistema de dos partículas materiales está más cerca de la partícula de mayor masa. Nos guiamos de la siguiente figura:

Consideramos el origen de distancia en m. La posición del CM vendrá dada por:

La distancia del CM a la partícula pequeña será:

Como entonces Como el centro de masa del sistema se encuentra cerca de la partí-cula con mayor masa, que es lo que queríamos demostrar. Evalúa tu comprensión: En el centro de masa de un sistema de partículas parece:……………………… …………………………………………………………………………………………… Lee, razona y resuelve:



En cinco de los seis vértices de un hexágono regular hay una masa . En-cuentre la posición del centro de masas del hexágono. Calcula las coordenadas del centro de masa de esta guía. Luego encuentra el vector centro de masa con respecto a un punto de tu pupitre. Taller 5.4.4 Pide a un amigo que se para de cara a una pared. Con los dedos de los pies contra la pared, pídele que se pare de puntas sin carece. No lo podrá hacer. Explícale exactamente porque no lo puede hacer INVESTIGACIÓN 5.4.4.- APLICACIÓN REAL DE CENTROS DE MASA Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 5.4.5. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO. OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr un dominio de la base teórica y del método emplea-do para la resolución de ejercicios .Generalizarlo y relacionarlo con situaciones de la vida diaria. Despertar el interés por el descubrimiento en base a la investigación Consideremos un cuerpo rígido formado por algunas masas situadas en una posición respecto a un origen O y unidas por barras rígidas de masa des-

preciable (ver figura 5.4.4.1). Sea la fuerza externa que actúa sobre cada una de las masas. A continuación, usando la figura 5.4.4.1 demostrare-mos dos resultados importantes: Un cuerpo o sólido rígido que en cierto instante está en reposo, seguirá en tal estado si la fuerza resultan-te o fuerza neta que actúa sobre él es nula. La condición bajo la cual un cuerpo rígido permanece en equilibrio de rotación es que el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario es nulo. La ecuación:

Garantiza el equilibrio de traslación, en este caso, el sólido permanece en re-poso o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme (primera ley del equili-brio). La ecuación:

Garantiza el equilibrio de rotación; el sólido permanece en reposo o se mueve con movimiento circular uniforme. (Segunda ley del equilibrio). Cuando un cuerpo es trasladado sobre una superficie cualquiera, después de cierto tiempo se detiene, porque experimenta una resistencia a su movimiento

Fig. 5.4.4.1



debido a la interacción del cuerpo con la superficie sobre la que se desliza Esa resistencia cambia el estado de movimiento del cuerpo, por lo tanto se tra-ta de una fuerza, más exactamente, de una fuerza de roce o de fricción. Es una fuerza paralela al desplazamiento pero de sentido contrario. Es proporcional a las fuerzas normales entre las superficies de contacto. No depende del área de la superficie de contacto, pero sí de la naturaleza de las sustancias. Es mayor al iniciarse el movimiento que cuando se encuentra en movimiento. Son muy importantes en la vida cotidiana, ya que por ejemplo nos permiten caminar y son necesarias para que se realice el movimiento de vehículos. La fuerza de roce estático, es la fuerza que se presenta entre cuerpos en equi-librio, dicha fuerza es paralela a la superficie en el punto de contacto y su di-rección es opuesta a la fuerza aplicada, nunca ayudan al movimiento. En la fi-gura 5.3.3.1 se ilustra lo que acontece cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo el sistema de fuerzas indicado. Si aplicamos la condición de equilibrio:

Es decir:

La fuerza de rozamiento estático es igual a la fuerza aplicada. Pero la fuerza de rozamiento puede aumentar hasta un límite, el cual depende de la naturale-za de las superficies en contacto a través de un valor denominado” coeficiente de fricción estático” y del valor de la fuerza normal, es decir:

Por lo tanto, se denomina coeficiente de fricción estático al cociente entre la fuerza de rozamiento apreciada en el momento de iniciar el movimiento y la fuerza normal a la superficie de contacto, es decir:

Fig. 5.3.3.1



Si la relación: se cumple, el cuerpo está en equilibrio o a punto de moverse. La siguiente tabla muestra algunos coeficientes de rozamiento estático:

MATERIALES sμ Acero sobre acero 0,74 Teflón sobre acero 0,04 Teflón sobre teflón 0,04 Caucho sobre asfalto 0,95 Esquí sobre nieve 0,10 Madera sobre madera 0,45

Algunos valores de los Coeficientes de rozamiento estático

A continuación se sugiere un método general para resolver ejercicios de Estáti-ca del cuerpo rígido:

EL MÉTODO GENERAL DE LA ESTÁTICA 1) Representar gráficamente el diagrama de sólido libre. 2) Plantear las ecuaciones de la estática. 3) Resolver las ecuaciones de la estática.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Consiste en dibujar sobre el contorno del sólido el conjunto de las fuerzas y pa-res que actúan sobre él. Es conveniente proceder con orden, representando gráficamente: a) el peso b) las fuerzas y pares directamente aplicados c) las fuerzas y pares de reacción En el diagrama de cuerpo libre no deben dibujarse los otros sistemas que cons-tituyen las ligaduras indicadas. Su efecto sobre el sólido queda representado por las reacciones que experimentan y se conocen como reacciones en los apoyos. REACCIONES EN LOS APOYOS



Es conveniente analizar en forma más o menos sistemática las fuerzas que causadas por ciertos tipos de soportes, cuerdas, resortes, empotraduras, arti-culaciones y otros, donde en las figuras que siguen se ilustran las componentes de fuerzas y pares que ellos causan. No hay que olvidarse los signos de los torques, positivos los antihorarios y ne-gativos los horarios. Cuerda o cable:

Contacto con rodillo:

Soporte de pasador:

Contacto con superficie lisa



Contacto con superficie rugosa:

Soporte empotrado:

Nótese que, debido a que la empotradura ejerce un par de fuerzas sobre la pa-red, se ejerce un torque de par. Ejercicio Guía La barra de la figura de longitud L y peso está articulada en O, apoyada en A, sostiene un bloque de peso W desde a hasta b. Determine las reacciones en O y en A. Particulariza para L=2 m, =3 kg y W= 28 kg, a=0,60 m, b=1,8 m



El correspondiente diagrama de cuerpo libre es:

Planteamos las ecuaciones de equilibrio:

(1) Los torques con respecto al punto O:

(2) De (1) despejamos S y sustituimos en (2), hacemos esto en forma escalar:

De donde obtenemos la expresión para la reacción en O:



Y para la reacción en A:

Reemplazando los datos numéricos, obtenemos:

La barra de la figura de masa m y largo 2a está en equilibrio apoyada sobre una pared vertical lisa y sostenida por un extremo mediante una piola de largo b. Determine los posibles ángulos θ de equili-brio. Dibujamos el diagrama de cuerpo libre: A la normal la podemos desplazar de modo que esté en el eje X

Planteamos las ecuaciones de equilibrio:

(1)

(2)



Los torques con respecto al punto O:

(3) Además de una relación geométrica:

De la segunda y la tercera:

Concluimos que: Y

,… Evalúa tu comprensión: La condición de equilibrio está dada por la ecuación:……………………………… Sobre un paracaidista que desciende en el aire actúan dos fuerzas: su peso y la resistencia del aire. Si desciende con rapidez uniforme ¿Cómo comparas las magnitudes del peso y de la resistencia del aire? Lee, razona y resuelve: Una escalera de masa m y largo L se encuentra apoyada contra una pared lisa ( ), formando un ángulo con ella. Una persona de masa M se en-cuentra sobre la escalera. ¿Cuál es el mínimo coefi-ciente de rozamiento estático que debe existir entre



el suelo y la escalera para que la escalera no resbale, independientemente de la altura a la que se encuentra la persona? La figura muestra un letrero luminoso de masa m que cuelga de una barra (de masa despreciable) que se mantiene horizontal con la ayuda de una cuerda. Calcule la tensión de la cuerda y la fuerza ejercida por la barra contra la pared. En el puente del Vado están tres vehículos cuyos pesos son

. Si el puente mide y pesa ¿Cuáles son las reacciones en las columnas laterales del puente si los vehículos se encuentran a 10, 20 y 35 m respectivamente?

Taller 5.4.5 Intenta formar una torre con ladrillos sueltos, uno encima de otro (ver figura),de manera que el ladrillo de más arriba esté desplazado en más de una unidad con respecto al de más abajo, sin que la torre se desplome. Intenta dar una ex-plicación físico- matemática a este modelo.

INVESTIGACIÓN 5.4.5.- APLICACIÓN REAL DE EQUILIBRIO DE UN SÓLI-DO RÍGIDO Tema: Situación Problémica:



Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJEMIDE TUS CONOCIMIENTOS

Subraya lo correcto: El torque de una fuerza es: a) Un escalar que resulta de multiplicar vectorialmente el vector posición por la fuerza. b) Un vector que resulta de multiplicar vectorialmente el vector posición y la fuerza. c) Un vector que resulta de multiplicar vectorialmente la fuerza y el vector posición. d) El causante de la traslación de un cuerpo. e) Todas las anteriores f) Ninguna de las anteriores. Las condiciones bajo las cuales un cuerpo rígido permanece en equilibrio son: a) que la fuerza externa resultante y el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario sean nulas b) que la fuerza interna resultante sea nula y el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario sea cualquier valor arbitrario. c) que la fuerza externa resultante y el torque externo resultante respecto a un origen no arbitrario sean nulas. d) Al menos una de las anteriores. e) Todas las anteriores menos una. f) Ninguna de las anteriores. Las expresiones para el cálculo de las coordenadas del centro de masa de una lámina plana homogénea son: ………………………;………………………………………;……...…………………… Tres cuerpos de masa se encuentran en repo-so como muestra la figura, de tal forma que cualquier pequeña perturbación haría que el cuerpo A subiera por el plano. Las cuerdas que unen los cuerpos son inextensibles y de masa despreciable. Se pide a) El diagrama de fuerzas que actúan sobre b) El coeficiente de roce estático entre y la superficie.



c) Las tensiones en las cuerdas.

Se tiene un sistema formado por una barra uniforme de 6 m de longitud, de masa 100 kg articulada en el punto A a un mástil vertical. En el extremo B de la barra cuelga un cuerpo de masa 400 kg. La barra está sostenida por un cable inextensible atado a los puntos C sobre la barra a dis-tancia 1,5 m del extremo B y D sobre el mástil, de tal modo que el triángulo ACD es equilátero. Determine a) La magnitud de la tensión del cable CD. b) Las componentes de la fuerza que hace el pivote en A sobre la barra. c) El torque ejercido por la tensión del cable sobre el mástil, respecto al punto A.



Quinta Subunidad

HIDROSTÁTICA

HIDROSTÁTICA

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE EQUILIBRIO

PRINCIPIO DE PASCAL

INTRODUCCIÓN

PARADOJA HIDROSTÁTICA

FLOTACIÓN

PRINCIPIODE ARQUÍMEDES

TENSIÓN SUPERFICIAL

CAPILARIDAD

DENSIDAD PRESIÓN

PESO ESPECÍFICO



Quinta Subunidad

HIDROSTÁTICA La estática de fluidos estudia el equilibrio de gases y líquidos. A partir de los conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden consi-derarse consecuencias. El hecho de que los gases, a diferencia de los líquidos, puedan comprimirse hace que el estudio de ambos tipos de fluidos tenga algu-nas características diferentes. En la atmósfera se dan los fenómenos de pre-sión y de empuje que pueden ser estudiados de acuerdo con los principios de la estática de gases. El estudio de los fluidos en equilibrio constituye el objeto de la estática de fluidos, una parte de la física que comprende la hidrostática o estudio de los líquidos en equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en equilibrio y en particular del aire. 5.5.1 INTRODUCCIÓN. OBJETIVOS DEL TEMA Dotar al alumno de un cimiento teórico desde el punto de vis-ta fenomenológico. Motivar al alumno para su adaptación a esta nueva metodología. Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuer-pos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene. La materia fluida puede ser trasvasada de un recipiente a otro. Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante. Se dice por ello que son fluidos incompresibles (no pueden ser comprimidos). Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles (pueden ser com-primidos). Densidad. Los cuerpos difieren por lo general en su masa y en su volumen. No obstante, existe algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo en cues-tión y que explica el porqué dos cuerpos de sustancias diferentes que ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa. La masa de una sustancia es directamente proporcional al volumen que ocupa, es decir:



Es precisamente la constante de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por densidad y se representa por la letra griega ro ( )

Es decir:

Despejando ρ de la anterior ecuación resulta:

La densidad de una sustancia es la masa que corresponde a un volumen unidad de dicha sustancia. Su unidad en el SI, es el kg/m ³. La densidad depende solamente del tipo de material de que está constituida una sustancia y no de su forma ni tamaño. En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero en los líquidos, y particularmente en los ga-ses, varía con las condiciones de medida. La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre su densidad y la de otra sustancia diferente que se toma como referencia o patrón:

Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua cuya

densidad a 4 °C es igual a 1000 ; la densidad relativa carece de unidades físicas.

Sustancia Densidad (g/cm3) Sustancia Densidad (g/cm3)

Acero 7.7-7.9 Oro 19.31

Aluminio 2.7 Plata 10.5

Cinc 7.15 Platino 21.46

Cobre 8.93 Plomo 11.35

Cromo 7.15 Silicio 2.3

Estaño 7.29 Sodio 0.975

Hierro 7.88 Titanio 4.5

Magnesio 1,76 Vanadio 6.02

Níquel 8.9 Volframio 19.34

Aceite 0.8-0.9 Bromo 3.12



Acido sulfúrico 1.83 Gasolina 0.68-0.72

Agua 1.0 Glicerina 1.26

Agua de mar 1.01-1.03 Mercurio 13.55

Alcohol etílico 0.79 Tolueno 0.866 Tabla 5.5.1. densidades de algunos líquidos y gases a 20°C

Peso específico. El peso por unidad de volumen o peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a la unidad de volumen de una sustancia y se define como el cociente entre el peso de un cuerpo y su volumen:

La relación entre peso específico y densidad es la misma que la existente entre peso y masa. En efecto:

La unidad del peso específico en el SI es el N/m ³. Presión. Se define presión como el cociente entre la componente normal de la fuerza sobre un área y el valor de dicha área, es decir:

Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendicula-res a cada porción de superficie del recipien-te, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es pre-cisamente la presión, resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar. En el SI la unidad de presión es el pascal, se representa por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad ac-tuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m ². Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sistema de unidades en particular han sido aceptadas por el uso y se siguen

Fig. 5.5.1.1. Presión.



usando en la actualidad junto con el Pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera(at) y los milímetros de mercurio (mmHg) La atmósfera se define como la presión que a 0 °C ejercería el peso de una co-lumna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm ² de sección sobre su base.

Se llama presión barométrica o presión absoluta p en un punto cualquiera de un fluido a toda presión que aparece como consecuencia de presiones su-perficiales o hidrostáticas. Se mide con el barómetro, el cual consta de un tubo cerrado en uno de sus ex-tremos, con vacío entre este y una columna de mer-curio que sirve de referencia (Fig. 5.5.1.2.). La pre-sión absoluta que se desea medir se pone en contacto con la boca abierta del barómetro. Se llama presión manométrica a la diferencia entre la presión absoluta o barométrica p en un punto cualquiera del fluido y la presión superficial o at-mosférica en el lugar, es decir:

Esta presión se mide con el manómetro (Fig. 5.5.1.2), el cual consta de un tubo con los dos extremos abier-tos, uno de ellos en contacto con la superficie y el otro con el punto cuya presión manométrica se desea medir. Ejercicio Guía Una estrella de neutrones tiene un radio de 10 Km y una masa de 2E30 Kg. ¿Cuánto pesaría un volumen de de esa estrella, bajo la influencia de la atracción gravitacional en la superficie de la Tierra?

El peso debe calcularse multiplicando la masa por la aceleración de gravedad. En consecuencia debemos calcular la masa primero. Eso puede hacerse a través del

. Fig. 5.5.1.2. Barómetro

Fig. 5.5.1.3. manómetro



concepto de densidad, con una regla de tres simple, puesto que:

2E30 1E-6 x Es decir, cada cm3 de la estrella tendrá una masa de 4,7E11 kg, por lo tanto en la su-perficie de la tierra pesará:

=4,67E12 kg Evalúa tu comprensión: ¿Qué sucede con el volumen de un pan cuando se comprime? ¿Con la masa? ¿Con la densidad? ¿Que tiene mayor densidad, una barra de oro puro o un anillo de oro puro? De-fiende tu respuesta. Cuenta cuantas llantas tiene un tráiler que está descargando mercancías en el supermercado más cercano. ¿Por qué tantas ruedas? Justifica científicamente tu respuesta Analiza la utilidad práctica de usar un barómetro de agua. Lee, razona y resuelve: María se encapricho por tener un par de aros de oro esféricos, grandes y sóli-dos de 1.25 cm de radio y le pidió a su novio que se los comprara. ¿Cuántos gramos de oro tendrán que soportar sus orejas por caprichosa? Cuál es la presión que experimentan los pies de una persona de 1,80 m si las tres cuartas partes de su cuerpo están sumergidas en una piscina de 5 m de profundidad El tubo vertical abierto de la figura contiene dos fluidos de densi-dades , que no se mezclan. Demuestre que la presión en el fondo del tubo está dada por la expresión



Taller 5.5.1

Investiga cual es la causa de la presión atmosférica. Pide asesoría a tu profe-sor. Socializa tu informe. INVESTIGACIÓN 5.5.1.- APLICACIÓN REAL DE PRESIÓN, DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.5.2 LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA. OBJETIVOS DEL TEMA: Dotar al alumno de un cimiento teórico básico para que pueda interpretarlo y aplicarlo correctamente. Motivar al alumno en su labor de aprendizaje. Cuando un líquido está contenido en un recipiente, las capas superiores opri-men a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la co-lumna de líquido que tenga por encima de él. Considérese un punto P cualquie-ra del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido. El peso de la columna cilíndrica de líquido de base S situada sobre P puede expresarse en la forma:

La presión debida al peso vendrá dada por:

Que es una presión manométrica. Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión exterior adicional , como la atmosférica por ejemplo, la presión total p en el punto de altura h sería:

Que es una presión barométrica. Esta ecuación puede generalizarse al caso de que se trate de calcular la dife-rencia de presiones entre dos puntos cualesquiera del interior del líquido si-tuado a diferentes alturas, resultando:

Es decir:

Que constituye la llamada ecuación fundamental de la hidrostática. Esta ecua-ción indica que para un líquido dado y para una presión exterior constante la presión en el interior depende únicamente de la altura. Por tanto, todos los pun-tos del líquido que se encuentren al mismo nivel soportan igual presión. Ello



implica que ni la forma de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido. Esto es lo que se conoce como paradoja hidrostática, cuya explicación se de-duce a modo de consecuencia de la ecuación fundamental. Si se tienen dos recipientes comunicados (Fig. 5.5.3.)y se vierte un líquido en uno de ellos, éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independiente-mente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Este es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una con-secuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus pre-siones hidrostáticas han de ser las mis-mas, es decir:

Luego, si necesariamente las alturas y de las respectivas superfi-cies libres han de ser idénticas, es decir . Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si , se tendrá:

De donde: Esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida. Ejercicio Guía Un submarinista se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m. Determinar la presión a la que está sometido y calcular en cuántas veces supera a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del agua del mar es de 1,025 kg/m ³.

Fig. 5.5.3. Sistema de vasos comunicantes



De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática:

Considerando que la presión en el exterior es de una atmósfera (1 atmósfe-ra = 101325 Pa), al sustituir los datos en la anterior ecuación resulta: p = 101325 + 1,025.9,8.100= 110580 Pa El número de veces que p es superior a la presión exterior pose obtiene hallan-do el cociente entre ambas:

= = 10,5 veces Evalúa tu comprensión: La ecuación fundamental de la hidrostática está dada por: ……………………………………………... Explica con tus propias palabras el concepto de paradoja hidrostática. Lee, razona y resuelve: Suponiendo la atmósfera y el océano homogéneos, esto es de densidad cons-tante, calcula la presión en diferentes niveles de altura en la atmósfera hasta un km de altura y en el océano hasta 100 m de profundidad. Elabora un gráfico que relacione la altura con la presión.

Taller 5.5.2

Demuestra: ¿Porqué las ventanillas de un avión son más pequeñas que las de un autobús y no se pueden abrir mientras el avión esté volando? INVESTIGACIÓN 5.5.2.- APLICACIÓN REAL DE ECUACIÓN FUNDAMEN-TAL DE LA HIDROSTÁTICA Tema: Situación Problémica:



5.5.3. EL PRINCIPIO DE PASCAL Y SUS APLICACIONES. OBJETIVOS DEL TEMA Entregar el estudiante una base teórica mínima para que lo pueda utilizar en la demostración las expresiones físico-matemáticas .Aplicar la técnica del descubrimiento en la resolución de problemas. La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a todos y a cada uno de los puntos del líquido y sobre toda el área del recipiente que lo contiene. Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blai-se Pascal (1623-1662), se conoce como principio de Pascal. El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pas-cal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consis-te, en esencia, en columnas, generalmente cilíndricas de diferente área trans-versal comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada una de las dos columnas, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección se ejerce una fuerza ,la presión que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será igual a la presión que ejerce el líquido sobre el émbo-lo de mayor sección , es decir:

En consecuencia:

De este modo:

Y:



Fig. 5.5.3. Principio de Pascal Si la sección es veinte veces mayor que la la fuerza aplicada sobre el émbolo pequeño es veinte veces mayor en el émbolo grande, es decir . La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquí-medes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fun-damento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráuli-cos de maquinaria industrial. Ejercicio Guía El elevador hidráulico de un garaje funciona mediante una prensa hidráulica conectada a una toma de agua de la red urbana que llega a la máquina con una presión de 5E5 N/m ². Si el radio del émbolo es de 20 cm, determinar cuál es el valor de la carga que como máximo puede levantar el elevador. De acuerdo con el principio de Pas-cal:

Que para una prensa hidráulica se transforma en:

Y Dado que: =

De este modo:

El valor efectivo de la carga máxima expresado en newton será:



Evalúa tu comprensión: El principio de Pascal expresa que:………………………………………………… …………………………………………………………………………………………. La prensa hidráulica es……………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….. Lee, razona y resuelve: En un elevador de carga el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un peque-ño émbolo de área circular de 5 cm de radio, que se transmite por agua a otro émbolo de 20 cm de radio. Calcular la fuerza que se debe ejercer al aire com-primido para levantar un auto de 10000 N y la presión que ejercería esa fuerza. Dos émbolos cuyas áreas transversales son circulares de diámetros 6 cm y 8 cm se usan en una prensa hidráulica para aplicar una fuerza f y F respectiva-mente. ¿Qué fuerza deberá hacer el operador para suspender un auto de 25000 N

Taller 5.5.3

Haz una maqueta de una prensa hidráulica. Luego explica el fundamento científico de ella a tus compañeros. INVESTIGACIÓN 5.5.3.- APLICACIÓN REAL DE PRINCIPIO DE PASCAL Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



5.5.4. EMPUJE HIDROSTÁTICO: PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES. OBJETIVOS DEL TEMA Caracterizar y relacionar los conceptos a situaciones medio-ambientales. Valorar la importancia del razonamiento en la resolución de conflictos. El segundo principio importante de la estática de fluidos fue descubierto por el griego Arquímedes (287-212 a. de C.) y afirma que, cuando un cuerpo está to-tal o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, el fluido ejerce una pre-sión sobre todas las partes de la superficie del cuerpo que están en contacto con el fluido. La presión es mayor sobre las partes sumergidas a mayor profun-didad. La resultante es una fuerza dirigida hacia arriba y llamada empuje so-bre el cuerpo sumergido. Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba con una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo (Fig. 5.5.3.1.). Para su demostración partimos de la ecua-ción fundamental de la hidrostática: Tene-mos la ecuación para el peso del objeto sumergido, el cual ejercerá una presión hacia abajo:

Siendo la superficie de la cara superior y su altura respecto de la superfi-cie libre del líquido. La presión del líquido estará dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitud será dada por:

La resultante de ambas representará la fuerza de empuje hidrostático E.

Pero, dado que , resulta:



Que es precisamente el valor del empuje predicho por Arquímedes en su prin-cipio, ya que m.g es el peso de un volumen de líquido igual al del cuerpo su-mergido. Esto explica por qué flota un barco muy cargado; su peso total es exactamente igual al peso del agua que desplaza, y el agua desplazada ejerce la fuerza hacia arriba que mantiene el barco a flote. El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas que producen el efecto de flotación se llama centro de flotación, y corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado. El centro de flotación de un cuerpo que flota está situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuanto mayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo. De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso P han de ser igua-les en magnitudes, es decir E=P y, además, han de aplicarse en el mismo pun-to. En tal caso la fuerza y el torque son nulos, con lo cual se dan las dos condi-ciones de equilibrio. La condición E = P equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente. Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la fuerza de

empuje. Ello significa que las fuerzas generarán un torque que hará girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas. Si un cuerpo sumergido flota es porque el empuje es mayor que el peso (E>P). En equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alinea-das; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo. Si el empuje es menor que el peso (E<P) el cuerpo se hunde. Ejercicio Guía Un globo de goma tiene de masa cuando está vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas liviano. Sabiendo que la densidad del aire es de

y la del gas liviano determinar el volumen que, como mínimo, ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse. Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha de ser superior a la del peso:



En virtud del principio de Arquímedes: Ya que en este caso el fluido desalojado es el aire. Por otra parte, el peso P será la suma del peso del globo más el peso del gas liviano que corresponde al volumen V, es decir:

Por tanto:

Para que el globo se eleve, se tiene que cumplir que:

Es decir:

El volumen mínimo será, por tanto, de 10,5 litros. Evalúa tu comprensión: El principio de Arquímedes expresa que…………………………………………… ……………………………………………………………………………………………. ¿Porque cuando te metes a la piscina y no sabes nadar, te vas al fondo y un balón flota en la superficie? Comprende, razona y resuelve: Calcular la fracción del volumen de un cubo de hielo que sobresale del nivel de agua, cuando flota en un vaso con agua. Una pelota esférica de plástico flota en el agua con 50% de su volumen sumer-gido. Esta misma pelota flota en aceite con 40% de su volumen sumergido. De-termine las densidades del aceite y de la pelota. Calcular el área de una tabla de fibra de vidrio de espesor H y densidad ρ, cuando flota en el mar con un nadador de masa M sobre la tabla.



Taller 5.5.4

Consulta sobre la historia de Arquímedes y el tirano de Siracusa. Luego haz un guión y dramatízalo delante de tus compañeros. Usa disfraces si es necesario. INVESTIGACIÓN 5.5.4.- APLICACIÓN REAL DEL PRINCIPIO DE ARQUÍ-MEDES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.5.5. FLOTACIÓN. OBJETIVOS DEL TEMA Entregar el estudiante una base teórica mínima para que lo pueda utilizar en la demostración las expresiones físico-matemáticas .Aplicar la técnica del descubrimiento en la resolución de problemas. La flotación, es la pérdida aparente de peso que tienen los objetos sumergidos en un líquido, lo cual hace que la magnitud de la fuerza requerida para levantar un cuerpo sumergido en agua sea menor que la requerida para levantar el mismo objeto, si está sumergido en aire. Esto se debe a que cuando el objeto está sumergido, el fluido ejerce una fuerza hacia arriba; dicha fuerza se la llama fuerza de flotación y es una consecuencia del aumento de la presión con la pro-fundidad. Cuando un cuerpo desplaza un peso de agua igual a su propio peso, flota. A esto se le llama principio de flotabilidad. Un objeto flotante desplaza fluido con peso igual a su propio peso. Esto es el principio que rige la actividad náutica y aérea, pues un barco o un avión son diseñados para desplazar un peso de fluido igual a su propio peso. Para el mismo volumen de agua desplazada, los fluidos más densos ejercen mayor fuerza de flotación que los menos densos. En consecuencia, un barco flota más en agua dulce que en agua salada porque esta última es más densa. De igual modo un pedazo de hierro flota en mercurio, pero se hunde en agua. Ejercicio Guía Un recipiente contiene una capa de agua ( ), sobre la que flota

una capa de aceite, de densidad . Un objeto cilíndrico de den-

sidad desconocida cuya área en la base es A y cuya altura es h, se deja caer al recipien-te, quedando a flote finalmente cortando la superficie de separación entre el aceite y el agua, sumergido en esta última hasta la pro-fundidad de como se indica en la figura. Determinar la densidad del objeto.

El cuerpo está parcialmente sumergido enaceite y parcialmente sumergido en agua. Está siendo sujeto de la acción de tres fuerzas: El peso, el empuje del volumen de aceite desplazado por el cuerpo y el empuje del volu-



men de agua desplazado por el cuerpo. Está en equilibrio por lo que las fuerzas se anulan, es decir:

Con:

Reemplazando los datos:

Evalúa tu comprensión: La flotación o no de un cuerpo colocado en un recipiente con un líquido depen-de de:…………………………………………………………………………….. Para un mismo volumen de agua ,los fluidos más densos………………………… …………………………………………………………………que los menos densos. Describe las diferencias entre un cuerpo sumergido y un cuerpo en inmersión. Generaliza el principio de flotación a los cuerpos sumergidos en aire y respon-de: ¿Ejerce el aire fuerza de flotación en todos los objetos que haya en el o solo a objetos como los globos, que son muy ligeros en relación con su tamaño? ¿Porque el aire sostiene cosas cuya densidad es muy baja? Comprende, razona y resuelve: ¿Qué fracción del volumen total de un iceberg queda fuera del agua? La den-

sidad del hielo es y la del agua del mar es Calcular la densidad de una boya de plástico de radio R, si flota en agua de mar, con 2/3 de su volumen sobre el agua ¿Qué peso de agua desplaza un barco de 100 toneladas?¿ Cuál es la fuerza de flotación que actúa sobre un barco de 100 toneladas? Taller 5.5.5 Investiga y explica porque cuando una persona muere ahogada, a los pocos días su cadáver flota. Para ello profundiza los conceptos de flotación y peso aparente.



INVESTIGACIÓN 5.5.5.- APLICACIÓN REAL DE FLOTACIÓN Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.5.6. TENSIÓN SUPERFICIAL. OBJETIVOS DEL TEMA Utilizar los contenidos teóricos para predecir respuestas científicas a fenómenos naturales relacionados con el tema. Incitar al trabajo coopera-tivo. Tensión superficial es la fuerza por unidad de longitud que presenta la capa superficial de un líquido sobre cualquier cuerpo que esté en contacto con él. Matemáticamente se expresa como:

Siendo l la longitud total de la membrana líquida que se adhiere al cuerpo su-

mergido. Su unidad SI es el . La tensión superficial se debe a las atracciones intermoleculares que ejercen fuerzas en todas las direcciones. Estas atracciones tienden a tirar la molécula hacia el interior del líquido y esta tendencia es la que minimiza el área de la superficie. La superficie se comporta como si estuviese asegurada a una pelí-cula elástica. La tensión superficial explica la forma esférica de las gotas de los líquidos. Las gotas de lluvia, de aceite y de un metal fundido son esféricas porque sus superficies tienden a contraerse y a hacer que cada gota adopte la forma que tenga la mínima superficie. Esta figura es la esfera, la figura geométrica que tiene la superficie mínima para determinado volumen. La tensión superficial es la causa de que la presión en el interior de un líquido o de una burbuja llena de gas sea mayor que la presión exterior. En una gota esférica:

En una burbuja esférica llena de gas:



Siendo la diferencia de presiones exterior- interior y r el radio de la burbuja.

A continuación se expone una tabla con valores de tensión superficial para va-rias sustancias.

TENSIONES SUPERFICIALES

Sustancia

agua a 0°C 0,075 6agua a 20°C 0,072 8agua a 100°C 0,058 9benceno a 20°C 0,027 6glicerina a 20°C 0,063 1Alcohol etílico a 20°C 0,022 3Aceite de oliva a 20°C 0,032 0Solución jabonosa a 20°C 0,025 0

Ejercicio Guía En un aceite se coloca horizontalmente un arco de alambre de 8 cm de diáme-tro. La fuerza debida a la tensión superficial necesaria para separar el anillo del líquido es de 400 dinas. Calcular la tensión superficial del aceite en cues-tión. Al separar el aro de alambre del líquido se forman dos películas cilíndricas unidas al aro una en su superficie interior y otra en su superficie exterior. Las líneas de contacto de ambas superficies con el aro son circunferencias concéntricas de aproximadamente el mismo diámetro e igual al correspondiente del aro.

De este modo se cumple que:

Es decir:



Evalúa tu comprensión: La tensión superficial se debe a………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Explica porque las gotas de los líquidos tienen forma esférica ¿Qué forma geométrica tiene la mínima superficie para determinado volumen? Comprende, razona y resuelve: Calcula la fuerza que ejerce una membrana de alcohol etílico sobre una arma-dura esférica de alambre de 15 cm de radio. Un niño genera una pompa de agua de 2 cm de diámetro. Halla la fuerza que experimenta la pompa contra el aparato que los genera.

Taller 5.5.6 En un recipiente con diferentes tipos de sustancias coloca objetos pequeños, por ejemplo una hoja de afeitar, una cáscara, un pedazo de cartón, etc. Intenta sacarlos sin que el nivel del líquido se eleve. Explica porque es imposible tal cosa. Explica porque los insectos pequeños como las moscas, “caminan” sobre el agua INVESTIGACIÓN 5.5.6.- APLICACIÓN REAL DE TENSIÓN SUPERFICIAL Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



5.5.7. CAPILARIDAD. OBJETIVOS DEL TEMA: Captar correctamente la base teórica propuesta. Compren-der la importancia del fenómeno en algunos campos de la ciencia. Valorar la importan-cia de la interacción asertiva en los procesos de aprendizaje Es la elevación o depresión de la superficie de un líquido en la zona de contac-to con un sólido, por ejemplo, en las paredes de un tubo. Este fenómeno es una excepción a la ley hidrostática de los vasos comunicantes, según la cual una masa de líquido tiene el mismo nivel en todos los puntos; el efecto se pro-duce de forma más marcada en tubos capilares, es decir, tubos de diámetro muy pequeño. La capilaridad depende de las fuerzas creadas por la tensión superficial y por el mojado de las paredes del tubo. Si las fuerzas de adhesión del líquido al sólido (mojado) superan a las fuerzas de cohesión dentro del líquido (tensión superficial), la superficie del líquido será cóncava y el líquido subirá por el tubo, es decir, ascenderá por encima del nivel hidrostático. Este efecto ocurre por ejemplo con agua en tubos de vidrio lim-pios. Si las fuerzas de cohesión superan a las fuerzas de adhesión, la superficie del líquido será convexa y el líquido caerá por debajo del nivel hidrostático. Así su-cede por ejemplo con agua en tubos de vidrio grasientos (donde la adhesión es pequeña) o con mercurio en tubos de vidrio limpios (donde la cohesión es grande). La absorción de agua por una esponja y la ascensión de la cera fundida por el pabilo de una vela son ejemplos familiares de ascensión capilar. El agua sube por la tierra debido en parte a la capilaridad, y algunos instrumentos de escritu-ra como la pluma estilográfica (fuente) o el rotulador (plumón) se basan en este principio. Se denominan meniscos a las distintas formas que adopta la superficie de los líquidos en la zona de contacto con la pared del recipiente. Estas formas de-penden del ángulo de contacto entre líquido-pared, si este es menor que 90°, producen ascenso del líquido (el líquido moja la vasija) y si este es mayor que 90°, producen descenso del líquido (el líquido no moja la vasija). Este ángulo puede ser alterado por sustancias ya sea detergentes (disminuyen el ángulo) o impermeabilizantes (aumentan el ángulo).



El valor de la fuerza de tensión superficial para el ascenso del líquido es la que actúa en la misma dirección del tubo, cuyo valor será:

Esta fuerza es equilibrada por el peso de la columna de líquido dentro del tubo:

Expresión de la que podemos despejar h:

Esta ecuación permite enunciar la lay de Jurín:”La altura alcanzada por un líquido en un capilar es proporcional a la tensión superficial e inversamente proporcional al radio del tubo y a la densidad del líquido”.

En la tabla se presentan algunos ángulos de contacto para algunas parejas líquido- pared:

ÁNGULOS DE CONTACTO

LÍQUIDO‐PARED

Agua-vidrio flint 0

Agua- parafina 107

Mercurio- vidrio 128

Alcohol-vidrio flint 0

Ejercicio Guía

¿Que radio ha de tener un tubo capilar de vidrio flint para que al introducirse en forma vertical en alcohol a 20°C ascienda 18 cm?

Podemos despejar r de la siguiente expresión:

Es decir:



Sustituyendo:

Evalúa tu comprensión: Se llama capilaridad a………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………. La causa de la capilaridad es…………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Se llaman tubos capilares a…………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Describe las fuerzas de adhesión y las fuerzas de cohesión. Explica el fundamento científico del funcionamiento de los tubos capilares en las plantas y en el sistema sanguíneo de los animales. Que es lo que determina la altura que sube el agua dentro de un tubo capilar. Lee, razona y resuelve: Dentro de un tubo de vidrio Flint de 4 mm de diámetro se introduce un cilindro de 2 mm del mismo material. Se sumerge el sistema en agua. Halle el ascenso del agua dentro del sistema.

Un suero de 720 y de 0,46 de tensión superficial asciende 25 cm por un tubo capilar de 4 mm de diámetro. Calcula el ángulo de contacto suero-tubo. Taller 5.5.7 Pon un poco de agua y aceite en una botella y agita fuertemente. Observa y describe qué ocurre tan pronto dejas de agitar la botella. Ahora agrega a la mezcla un poco de detergente. Agita de nuevo la botella y observa que el jabón forma una capa delgada en torno a cada esferita de aceite y que se requiere que más tiempo para que el aceite se separe al dejar de agitar la botella. A partir de esta experiencia explica la forma en que trabaja el detergente en la limpieza. INVESTIGACIÓN 5.5.7.- APLICACIÓN REAL DE CAPILARIDAD Tema:



Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:




Integra tus conocimientos: g) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario. → Hidrostática. → Fluido → Presión. → Densidad → Principio de Arquímedes. → Principio de Pascal. → Tensión superficial → Capilaridad. h) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad. Demostrar que el 11% del volumen de un témpano de hielo sobresale de la su-perficie del mar.



El suministro de agua llega al nivel del suelo por una cañería de 5 cm de diá-metro. Una llave de 2 cm de diámetro ubicada a 15 m de altura llena un envase de 20 lt en un minuto. Calcular: a) la rapidez con la que sale el agua de la llave, b) la presión en la cañería principal. Por una tubería horizontal fluye agua con una rapidez de 5 m/s. Si la presión es de 1, 5E5 Pa en un punto donde la sección transversal del tubo es A, determine en un punto donde el área es A/3:

a) la rapidez. b) la presión de salida del agua.



Sexta Subunidad

MÁQUINAS SIMPLES

MÁQUINAS SIMPLES

POLEAS

PLANOS INCLINADOS

PALANCAS



Sexta Subunidad

MÁQUINAS SIMPLES Se denomina máquina simple a cualquier instrumento capaz de transmitir y/o modificar la magnitud y dirección de una fuerza. Las máquinas simples, por su aplicación se clasifican en palancas, poleas y planos inclinados, las cuñas, los gatos y las roscas. En esta unidad estudiaremos las máquinas desde un punto de vista estático, siendo éstas un instrumento por el cual unas fuerzas cuya magnitud y dirección son conocidas, balancean o equilibran otras fuerzas que pueden ser diferentes por su magnitud o dirección. 5.6.1. PALANCAS. OBJETIVOS DEL TEMA: Aprehender críticamente los conceptos propuestos. Aplicar las tecnologías de la comunicación y de la información en la resolución de problemas prácticos. La palanca es una barra rígida muy resistente que puede rotar en torno a un punto de apoyo y que modifica la magnitud de una fuerza gracias al efecto torque. Los elementos de una palanca son: punto de apoyo A, llamado “fulcro”, una fuerza potente o potencia F, una fuerza resistente, resistencia o carga Q.

q f

Fig. 5.6.1 Elementos de una palanca Si sobre la barra se aplica una fuerza resistente Q (o se coloca una carga), a

una distancia q del fulcro, se genera un torque respecto de A, si se aplica una fuerza potente F, en sentido contrario, esta, genera un torque en

sentido contrario igual a (Fig. 5.6.1.1.) La condición para que una palanca se mantenga en equilibrio es quela suma



de los torques de potencia y de la resistencia sean cero: Es decir:

O sea:

Por definición de producto vectorial: Pero , de modo que De modo que:

Lo cual representa la ley de la palanca. Las palancas se clasifican en 1ª,2ª y 3ª clase, esto se hace según la ubicación del fulcro, de la potencia y de la carga. En la palanca de primer género, el punto de apoyo A se encuentra entre la fuerza potente F y la carga Q. Como se aprecia en la figura 5.6.1.1.

Fig. 5.6.1.2. Palanca de segundo género

Cuando la carga se sitúa entre el apoyo A y la potencia F, tal como se muestra en la figura 5.6.1.2, la palanca es de segundo género. Las distancias q y f se miden siempre a partir del apoyo A. Cuando la potencia F queda ubicada entre el apoyo A y la carga Q, como indi-ca la figura 5.6.1.3, la palanca es de tercer género y es una palanca que, dis-minuye la magnitud de la fuerza; a diferencia de las palancas de primer y se-gundo género que son multiplicadores de la fuerza, .

q f



Fig. 5.6.1.3. Palanca de tercer género

En la naturaleza, existen numerosas palancas de primero, segundo y tercer género, veamos algunos ejemplos: 1. Los alicates, tijeras, pinzas, algunos huesos, tales como la mandíbula, etc., son palancas de primer género en los que el apoyo es el dispositivo de armaje; las fuerzas potentes son dos, al igual que las fuerzas resistentes debi-do a que son dos palancas que rotan en sentido contrario, produciendo el corte o sujeción por acción de los torques efectuados. 2. Podemos ver que el cuerpo humano está lleno de palancas de distintas clases, por ejemplo, la cabeza, donde su peso es contrarrestado por la acción de la musculatura de la nuca tomando la columna vertebral como punto de apoyo, figura 5.6.1.4.

Fig. 5.6.1.4. La cabeza es una palanca de 1º género.

3. Las carretillas, tornos, rompenueces las llaves que se utilizan en mecá-nica automotriz, etc. son palancas de segundo género. Ejercicio Guía

Q

f

Potencia

Punto de apoyo

Resistencia



Una carretilla de masa despreciable que mide 1m, está cargando un libro de física que pesa 2 kg. Determine la distancia que hay entre el punto de apoyo y la carga, si la fuerza aplicada por un estudiante para trasladarla es de 10N.

Como la carretilla es una palanca de segundo género, se cumple que:

Despejando:

Por lo que:

Es decir:

Evalúa tu comprensión: El brazo humano es una palanca de………………………………………………… ya que…………………………………………………………………………………… ¿Porque es más fácil mover una piedra usando una palanca? Indica que tipo de palancas son las piernas de una persona y especifica la ubi-cación de sus elementos. Comprende, razona y resuelve: Un hombre quiere sacar de una cuneta una piedra de 1 280 N de peso utilizan-do un tablón. Si aplica una fuerza de 420 N, ¿a qué distancia deberá aplicar la fuerza si la distancia entre la piedra y el filo de la cuneta es 35 cm? Para levantar un tubo de concreto de 200kg, un obrero usa una barreta de 1.6m de largo, como indica la figura. ¿Dónde debe situarse el punto de apoyo si en un extremo de la barreta el obrero ejerce una fuerza de 600 N?



Taller 5.6.1

Con base en los conocimientos anteriores, intenta dar una ecuación para las palancas, considerando el peso de las mismas. INVESTIGACIÓN 5.6.1.- APLICACIÓN REAL DE PALANCAS Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:




La polea es un tipo de maquina simple

muy utilizado en las industrias.



5.6.2. POLEAS. OBJETIVOS DEL TEMA Entregar el estudiante una base teórica mínima para que lo pueda utilizar en la demostración las expresiones físico-matemáticas .Aplicar las técni-cas de la investigación y descubrimiento en la resolución de problemas. Las poleas son pequeños discos acanalados en su contorno exterior y que están provistos de un eje que pasa por su centro de masa, por lo que pueden rotar en torno a su propio eje. Las poleas desempeñan la función de modifica-dores de la magnitud y/o dirección de una fuerza. Las podemos considerar co-mo sistemas de masa despreciable sin rozamiento en su eje. 1. Poleas que modifican la dirección de una fuerza. Son poleas comúnmente fijas en las que la fuerza transmitida por la cuerda no se altera, solamente varía la dirección de la misma, figura 5.6.2.1.

Fig. 5.6.2.12.1. Poleas fijas

2. Poleas que cambian la magnitud de una fuerza. La fuerza aplicada se ve aumentada o disminuida, se puede utilizar dos o más poleas las cuales tienen los siguientes elementos, figura 5.6.2.2: • Fuerza aplicada al sistema, llamada fuerza potente F • Fuerza resistente o carga a desplazar o equilibrar. • Desplazamiento f del punto de aplicación de la fuerza potente. • Desplazamiento q del punto de aplicación de la fuerza resistente. Para el sistema de poleas (modificadoras de una fuerza) en equilibrio, se cum-ple la ley de las máquinas simples; es decir:

Y:



fig. 5.6.2.2. Poleas multiplicadoras

Un aparejo es la unión de dos o más poleas, fijas y móviles enlazadas entre sí por medio de cuerdas en los que la fuerza resultante que actúa sobre la carga que se desea mover es N veces la fuerza potente en donde N representa el número de cuerdas que llegan al polipasto inferior, de modo que sobre la carga actúa una fuerza . Se define a la ventaja mecánica como la fuerza contraria al peso de la carga que se desea mover, para una polea fija, la ventaja mecánica es igual a N, para los casos de troclas o combinaciones de poleas fijas y móviles, la ventaja mecánica es siendo n el número de poleas móviles. Ejercicio Guía Una carga de 20 kg se coloca a 60 cm de un extremo de un tablón que pesa 10 kg y mide 1.6m. El otro extremo se sujeta por medio de una polea móvil de 3.25 Kg que está unida a una fija. ¿Qué fuerza debe aplicarse en el extremo libre del cordel para mantener el equilibrio? Desarrollo: Como desconocemos el valor de la resistencia (en este caso llamado P), debemos desarrollar primero la palanca física de segundo género, que está su-jeta a la polea. Por lo que anotamos los datos que tenemos:

Es la resistencia de la palanca.

Brazo de la resistencia. fuerza de la palanca hacia la tierra.

la mitad de la palanca. brazo de la Fuerza motora (que la hace la polea móvil).

Fuerza motora. De la siguiente ecuación:

q

f



Despejamos P:

Resolvemos:

Esta fuerza sumada al peso de la polea móvil, vendría siendo la resistencia, por lo tanto:

Y como la fórmula de las poleas móviles es nos queda:

Evalúa tu comprensión: Una polea puede actuar como……………………………………………………y…. ……………………………………………………………………………………………. Un aparejo es………………………………………………………………… Con tus propias palabras, elabora un concepto de ventaja mecánica Comprende, razona y resuelve: Para las siguientes poleas, determina la fuerza potente necesaria para equili-brar la carga



Taller 5.6.2 Consigue una polea. Para diferentes pesos, mide con un dinamómetro la fuerza necesaria para equilibrar la carga. Luego relaciónalos mediante un gráfico y obtén tus propias conclusiones. INVESTIGACIÓN 5.6.2.- APLICACIÓN REAL DE POLEAS Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.6.3. PLANO INCLINADO. OBJETIVOS DEL TEMA Interpretar y aplicar los conceptos y expresiones físico-matemáticas a situaciones comunes. Valorar el sentimiento de respeto y consideración entre grupos de trabajo Un plano inclinado es un declive que forma con la superficie horizontal un ángulo agudo. Ejemplos de plano incli-nado son: una escalera, una rampa, una cuesta, un tablón inclinado, etc. Un cuerpo apoyado en el plano recibe una reacción N del plano perpendicular al mismo y sin embargo se deslizará por él. De este razonamiento se deduce que la carga-peso Q se puede descomponer, en dos componentes rectangulares, figura 5.6.3.1: una perpendicular al plano de apoyo ) y otra paralela a él . ), que es la res-ponsable del deslizamiento del cuerpo. Para alcanzar el equilibrio, se ejerce una fuerza igual y opuesta a Qx. La condición de equilibrio se expresa por la ecuación:

De la figura se tiene que: Pero

Si: = h = altura del plano inclinado y longitud del plano inclinado; Entonces:

Es la ecuación del plano inclinado.

Fig. 5.6.3.1. Plano inclinado.



La unión por sus bases de dos planos inclinados recibe el nombre de cuña, fi-gura 5.6.3.2; que es la encargada de transformar una fuerza vertical en dos oblicuas coincidentes y de sentidos contrarios; el ángulo de dicha cuña de-terminará la proporción entre la fuerza resultante y aplicada. Cuando el ángulo del plano inclinado se torna más pequeño, con una misma fuerza aplicada seremos capaces de levantar más peso, pero el espacio a recorrer será mucho mayor. Ejercicio Guía Un albañil arrastra un saco de cemento de 490 N de peso hacia el interior de un tráiler de 1,6 m de altura sobre un tablón de 3 m de largo. Determina que fuerza emplea para lograr tal propósito.

Empleamos la ecuación del plano inclinado para encontrar el valor de la fuerza apli-cada:

Evalúa tu comprensión: Un plano inclinado es un…………………………………………............................. Explica el fundamento físico de la cuña. Lee, razona y resuelve: Dos obreros emplean un tablón de 1 200 N para subir un tubo de alcantarillado a un tráiler que está a 1,50 m sobre la calle ¿Cual deberá ser el largo del tablón para que los obreros suban el tubo aplicando solamente una fuerza de 400 N? En un subibaja de 3 m de largo están sentados dos niños que pesan 450 N y 500 N, respectivamente. Si el niño de 450 N de peso está sentado en un ex-tremo ¿Donde deberá sentarse el otro para que el sistema se mantenga en

Fig. .5.6.3.2 Cuña



equilibrio?

Taller 5.6.3

Investiga y resuelva: ¿Porque es más fácil dividir rajar leña con una cuña que con un hacha? INVESTIGACIÓN 5.6.3.- APLICACIÓN REAL DE PLANO INCLINADO Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:




Integra tus conocimientos: i) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario. → Palanca. → Polea. → Ventaja mecánica. → Cuña j) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad. Resuelve las siguientes situaciones: Se unen tres poleas móviles a una fija como lo indica la figura. ¿Qué fuerza debe aplicarse para sujetar una piedra de 568 kg, si cada polea con su armadu-ra pesa 20 kg?



En un cementerio se intenta depositar un ataúd en el fondo del hoyo. Si la cadáver pesa 60 Kg. El ataúd, al ser de madera fina pesa 24 Kg. Y las poleas pesan 4 y 2 kg cada una, si la armadura pesa 7 Kg, determine la Fuerza nece-saria para lograr el equilibrio.

Se tiene una piedra de 20 kg (Q), que se encuentra a 20 cm del punto de apo-yo, si se usa una barra de 1m de largo, de 1 kg de peso, como palanca de 2º género, ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza para equilibrar la palanca?



SEGUNDA UNIDAD

MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

CINEMÁTICA.



Segunda Unidad.

CINEMÁTICA.

Subunidades: 1. SISTEMAS DE REFERENCIA 2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 3. MOVIMIENTOS EN EL PLANO 4. HIDRODINÁMICA Objetivos Específicos. 1. Entregar al estudiante los conceptos teóricos para que los integre a su acervo de conocimientos. 2. Aplicar los conocimientos de cinemática de una partícula a problemas cotidianos recurriendo a la experimentación y a la investigación. 3. Generar en los alumnos el interés por la experimentación y el trabajo en equipo. En esta segunda unidad didáctica se iniciará con el estudio de los sistemas de referencia como base para el posterior análisis de los conceptos de la segunda subunidad, que son los referidos a la posición, desplazamiento, velocidad, ra-pidez vistos vectorialmente y requeridos para el estudio del movimiento rectilí-neo con y sin aceleración. En la tercera subunidad se estudiará el movimiento no rectilíneo en el plano, es decir el movimiento parabólico y el circular, con y sin aceleración. La cuarta subunidad es una aplicación de los conceptos vistos en la segunda y tercera a los fluidos, se abordará ecuaciones de continuidad, Bernoulli y Torricelli, así como sus aplicaciones, por último se estudiará el ro-zamiento viscoso en los líquidos



Primera Subunidad



SISTEMA BIDIMENSIONAL

SISTEMA COORDENADO CARTESIANO

SISTEMA UNIDIMENSIONAL

SISTEMA TRIDIMENSIONAL




Primera Subunidad

SISTEMAS DE REFERENCIA Para el estudio de la Física y particularmente de la Cinemática, es imprescin-dible el empleo de sistemas de referencia, los cuales nos facilitan el estudio de las variables relacionadas con el movimiento de los cuerpos. Empezaremos por estudiar algunos aspectos de los sistemas tridimensiona-les, por ser los que se imponen en la naturaleza. Luego, los particularizare-mos a dos dimensiones (sistemas bidimensionales o llamados planos de refe-rencia), imprescindibles para el estudio de la Cinemática. Finalmente abordaremos el sistema unidimensional. SISTEMAS DE REFERENCIA. SISTEMA CARTESIANO DE REFERENCIA Hace siglos, cuando los físicos empezaron e estudiar los fenómenos de movi-miento de los cuerpos, descubrieron que no podían relacionar las variables im-plicadas en el estudio sin considerar sistemas que sirvieran de referencia para ello. Es así como inventaron símbolos los cuales fueron aceptados por conve-nios científicos. Estos símbolos pueden ser: puntos, rectas, curvas y otros. To-dos estos símbolos son muy útiles y precisos, sin embargo varios de ellos son difíciles de manipular, debido a que requieren de un nivel físico-matemático avanzado. Entre estos sistemas tenemos:

sistema cartesiano o de coordenadas rectangulares sistema de coordenadas polares

En el estudio de la Cinemática adoptaremos los sistemas cartesianos de refe-rencia formados por rectas ortogonales y que se conocen como sistemas uni-dimensional, bidimensional y tridimensional. El sistema cartesiano de referencia fue propuesto por René Descartes, filósofo y científico francés quien fue el primero en utilizarlos. En el estudio de la Cinemática adoptaremos los sistemas cartesianos de refe-rencia formados por rectas ortogonales y que se conocen como sistemas uni-dimensional, bidimensional y tridimensional. 6.1.2. SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL



OBJETIVOS DEL TEMA Redescubrir y aplicar correctamente los conocimientos pro-puestos. Interpretarlos a la realidad. Un sistema de coordenadas frecuentemente usado es el sistema de coorde-nadas cartesiano o rectangular, que se muestra en la figura 6.1.2.1, con ejes X saliendo del plano de la figura, eje Y horizontal y eje Z vertical. En este sis-tema un punto P arbitrario se identifica con tres coordenadas identificadas por llamadas abscisas, ordenadas y cotas, respectiva-mente, con los valores positivos de los ejes hacia fuera del plano de la figura, hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente en cada eje, como se indica en la figura. Es el espacio común en el que vivimos, se llama espacio tridi-mensional porque tiene tres di-mensiones, para indicarlo usamos en símbolo 3D. En ocasiones bastan dos o una coordenadas para fijar la posición del objeto, estos se llaman espacio bidi-mensional (2D) o unidimensional (1D), respectivamente. Las dimensiones no son otra cosa que los planos que constituyen el espacio: un plano horizontal o plano XY, un plano frontal, llamado plano YZ y un plano vertical llamado XZ. El espacio tridimensional tiene ocho regiones llamadas octantes. Los puntos se representan mediante proyecciones o sombras sobre cada plano, su construc-ción determina el punto a localizar. La notación se define por:

Para representar un par ordenado en un sistema de ejes coordenados carte-sianos, partimos del eje de coordenadas y contamos tantas unidades en el primer eje, como indique la primera componente y desde allí tantas unidades en el segundo eje como indica la segunda componente, finalmente tantas uni-dades en el tercer eje como indica la tercera componente. Evalúa tu comprensión: ¿Cómo utilizarías un sistema tridimensional? ¿Cómo encuentras un punto en el espacio?



Comprende, razona y resuelve: En el plano tridimensional localiza y dibuja los siguientes puntos: a) A (-3; 2 ; 0) d) D (-3 ; -2 ; 2) g) G(1 ; 2 ; 0) b) , B (-3 ; 0 ; -4) e) E(-2 ; 1 ; -7) h)H(0 ; 3; -1) c) C (-3;-1 ; 6)) f) F(-4 ; 5 ; 7)i) I(-2 ; 0 ; 0) j) J (0 ; 0 ; 1) En qué octante se encuentra cada uno de los siguientes puntos: a) (-1000,8; -23)c) (0,6; 0)e) (-0,0 ; 2) b) (5/3,-2 ; -2)d) (-3,-1 ; -5 ) Taller 6.1.2 Con la ayuda del profesor, encuentra una situación real en donde se aplique los conocimientos anteriores. Socializa tu informe INVESTIGACIÓN 6.1.2.- APLICACIÓN REAL DE SISTEMA TRIDIMENSIO-NAL Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:



Resolución: Respuesta e interpretación física: 6.1.3. SISTEMA CARTESIANO BIDIMENSIONAL OBJETIVOS DEL TEMA: Reconocer el plano cartesiano como sistema de referencia necesario para el estudio de la Cinemática. Elaborar conclusiones de los conceptos planteados. Aplicarlos a la resolución de las actividades planteadas Si al sistema tridimensional le quitamos un eje, obtenemos el sistema bidimen-sional o plano, en consecuencia este sistema es una particularización del sis-tema tridimensional,



El plano cartesiano tiene dos ejes perpendiculares (eje X o eje de las abscisas y eje Y o eje de las ordenadas), los cuales en donde se cortan forman un ángu-lo de , por ser perpendiculares y su punto de intersección se le conoce co-mo origen del plano. Los dos ejes divi-den al plano en cuatro regiones llama-das cuadrantes. En este plano cartesiano, cada punto se representa por medio de una pareja de núme-ros , llamado par ordenado. La notación utilizada es, entonces:

Para representar un par ordenado en un sistema de ejes coordenados cartesianos, partimos del eje de coordenadas y contamos tantas unidades en forma horizontal como indique la primera com-ponente y desde allí tantas unidades en forma vertical como indica la segunda componente. Evalúa tu comprensión: Compara los sistemas tri y bidimensionales. Obtén tus propias conclusiones. ¿Por qué los sistemas bidimensionales se usan para representar fenómenos que suceden en tres dimensiones? Comprende, razona y resuelve: En el plano cartesiano localiza y dibuja los siguientes puntos: d) A (-3; 2) d) D (-3 ; -2) g) G(1 ; 2)j) J(5 ; 0) e) , B (-3 ; 0) e) E(-2 ; 1) h)H(0 ; 3) f) C (-3;-1)) f) F(-4 ; 5)i) I(-2 ; 0) En qué cuadrante se encuentra cada uno de los siguientes puntos: a) (-1000,8)c) (0,6)e) (0,0) b) (5/3,2)d) (-3,1) Taller 6.1.3 En el patio, traza un plano cartesiano bidimensional. Luego, tira en cualquiera de los cuatro cuadrantes, bolas o piedritas. Con la ayuda de un flexómetro, en-cuentra las coordenadas de cada bola o piedrita.



INVESTIGACIÓN 6.1.3.- APLICACIÓN REAL DE SISTEMA BIDIMENSIONAL Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



6.1.4. SISTEMA CARTESIANO UNIDIMENSIONAL. OBJETIVOS DEL TEMA: Particularizar las aplicaciones prácticas a este sistema. Re-conocer el trabajo en equipo como estrategia de comunicación científica. Este sistema es el más básico, pues se trata solo de un eje o recta comparable con la recta numérica, con su origen en el cero (O) y con subdivisiones positi-vas y negativas, como indica la figura 6.1.4.1.

Este sistema es usado comúnmente en Matemáticas, pero en Física es útil es-pecialmente para analizar fenómenos lineales, como la caída de un cuerpo. En este sistema, cada punto se representa por medio de un número ,al que le podemos llamar abscisa. La notación utilizada es, entonces:

Para representar la abscisa en un sistema unidimensional partimos del origen de coordenadas y contamos tantas unidades en forma horizontal como indique el número. Evalúa tu comprensión: Compara los sistemas tri, bi y unidimensionales. Obtén tus propias conclusio-nes. Comprende, razona y resuelve: En el plano unidimensional localiza y dibuja los siguientes puntos: A (-3) B(-2) C(-4 ) D(1)



Taller 6.1.4

Usa una regla como sistema unidimensional. Coloca objetos y anuncia en voz alta su posición. INVESTIGACIÓN 6.1.4.- APLICACIÓN REAL DE SISTEMA UNIDIMENSIO-NAL Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



Segunda Subunidad



MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

CONCEPTOS DE BÁSICOS CI‐NEMÁTICA LINEAL

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

CAÍDA LIBRE



Segunda Subunidad

MOVIMIENTO RECTILÍNEO En este capítulo aprenderemos las reglas del movimiento, que abarcan tres conceptos: rapidez, velocidad y aceleración. Aquí solo estudiaremos la forma más sencilla del movimiento: la que es a lo largo de una trayectoria en línea re-cta: el movimiento rectilíneo. Analizaremos el movimiento rectilíneo horizontal con y sin aceleración y el movimiento vertical o caída libre. 6.2.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA LINEAL OBJETIVOS DEL TEMA Entregar al estudiante los conocimientos básicos necesarios para la aplicación práctica real. Incentivar a la abstracción y a la demostración como base para la significación de los contenidos. Al iniciar el estudio de la Cinemática lineal es necesario definir estos tres con-ceptos que se utilizarán permanentemente.

Posición lineal: Es la o las coordenadas que ubican a una partícula con respecto a un observa-dor o sistema de referencia en un instante cualquiera. En la práctica es más común relacionar las coordenadas con un vector llamado “vector posición” de la partícula, el cual va desde el origen O del sistema de referencia utilizado y lle-ga hasta el punto P en el que se encuentra la partícula. En el sistema unidimensional, fig. 6.2.1.1 para una partícula situada en el punto P(x) su vector posición será:

Fig. 6.2.1.1 sistema unidimensional



En el plano, (fig. 6.2.1.2), para una partícula situada en el punto P(x) su vector posición será:

Fig. 6.2.1.2 Vector posición en el plano

En el espacio, (fig. 6.2.1.3), para una partícula situada en el punto P(x) su vec-tor posición será

Fig. 6.2.1.3 Vector posición en el espacio

La posición lineal es diferente al desplazamiento, si bien ambos utilizan el mis-mo símbolo, pero sus significados físicos son diferentes: el primero ubica a la partícula con respecto a un marco de referencia; el segundo indica cuánto se ha movido la partícula desde una posición inicial hasta una posición final. La magnitud del vector posición es el desplazamiento.



Rapidez lineal.

La rapidez es la medida de que tan rápido se mueve una partícula y se define como la distancia recorrida en la unidad de tiempo, es decir:

Se llama rapidez promedio a la distancia total recorrida dividida por el tiempo total del recorrido, esto es:

Se llama rapidez instantánea a la rapidez en un instante dado, situación que por ahora solo es posible experimentalmente ya que no conocemos una opera-ción matemática ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores.

Velocidad lineal. Es una magnitud vectorial que se refiere al cambio de posición lineal o despla-zamiento lineal que sufre una partícula en movimiento a lo largo del tiempo, ex-presada por el cociente entre el cambio de posición lineal de la partícula y el intervalo de tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de tiempo relativamente grande, tendrá una velocidad lineal media, definida por:

= = En donde = ; La velocidad lineal de una partícula en un instante dado es lo que se denomina velocidad lineal instantánea pero no conocemos una operación matemática ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores.

Aceleración lineal. Es el cambio de velocidad lineal de una partícula a lo largo del tiempo expresa-da por el cociente entre el cambio de velocidad lineal de la partícula y el inter-valo de tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de tiempo relativamente grande, tendrá una aceleración lineal media, definida por:

= =



En donde = ; La aceleración lineal de una partícula en un instante dado es lo que se denomi-na aceleración lineal instantánea pero no conocemos una operación matemáti-ca ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores. Ejercicio Guía 1 Un automóvil viajó 86 km. si la rapidez promedio fue de 8 m/s, ¿cuántas horas se requirieron para el viaje? 1. Datos del problema:

2. Análisis y resolución: Con los datos encontrados, a partir del concepto de posición lineal tenemos que:

Despejando y reemplazando:

Haciendo la conversión a segundos, nos queda que:

3. Respuesta e interpretación: Para el viaje se requirieron 2,9 h. Ejercicio Guía 2 Un camión viaja a 640 km en una ruta de Loja a Quito. El recorrido completo tarda 14 horas, pero el conductor realiza dos paradas de 30 min para comer. ¿Cuál fue la rapidez promedio del viaje? 1. Datos del problema:

2. Análisis y resolución: Recordemos la ecuación para la rapidez lineal:



Sustituyendo datos:

3. Respuesta e interpretación:

El camión se mueve con una rapidez lineal promedio de Ejercicio Guía 3 1. Una flecha abandona el arco 0.5 s después de que se libera de la posición en la que se amartilla. Si alcanza una rapidez de 40 m/s en este tiempo, ¿cuál es la aceleración promedio? 1. Datos del problema:

2. Análisis y resolución: Recordemos la ecuación para la aceleración lineal. Para resolverlo vectorialmente su-ponemos que el movimiento se desarrolla sobre el eje horizontal:

= ; cuyo módulo es: 3. Respuesta e interpretación: La aceleración lineal promedio que alcanza la flecha 0,5 s luego de ser disparada es

. Evalúa tu comprensión: Describe las diferencias entre rapidez lineal y velocidad lineal. ¿Cuál es la rapidez lineal en kilómetros por hora, de un caballo que galopa 25 km en 45 minutos? ¿Cuál es su velocidad? Describe las diferencias entre velocidad lineal y aceleración lineal. Comprende, razona y resuelve: Las multas por exceso de rapidez son, ¿por rapidez media o por rapidez ins-tantánea? Cuál es la velocidad y la rapidez de un auto que se mueve desde el punto

al punto .



Taller 6.2.1 Utiliza un carrito de cuerda, un flexómetro y un cronómetro. Suelta el carrito desde una posición dada en cualquier dirección y luego halla su posición al de-tenerse. Mide también el tiempo transcurrido. Con estos datos calcula la rapi-dez y la velocidad del carrito. INVESTIGACIÓN 6.2.1.- APLICACIÓN REAL DE CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA LINEAL Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 6.2.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME OBJETIVOS DEL TEMA Comprender el significado físico de MRU. Generalizarlo y aplicarlo de manera significativa. Despertar la motivación y la participación. Es el tipo de movimiento más sencillo que ocurre, tanto por sus implicaciones físicas, como por sus ecuaciones matemáticas relacionadas. Decimos que es rectilíneo porque su trayectoria es una línea recta y uniforme porque su vector velocidad lineal permanece constante a lo largo del tiempo, lo que significa que el vector aceleración lineal es cero. Como referencia supondremos que el movimiento ocurre sobre el eje X, por lo tanto utilizaremos un sistema de referencia unidimensional. Los parámetros cinemáticos de este movimiento son: La aceleración lineal:

La velocidad lineal:

= La rapidez es la magnitud del vector velocidad lineal:

El vector desplazamiento lineal:

De la ecuación: = obtengo:

Cuya magnitud es:

Y de allí:

Que es la ecuación escalar que define la posición de la partícula en cierto inter-



valo de tiempo Dentro del MRU, hay tres gráficas aplicadas para el caso de un móvil movién-dose con rapidez en el sentido positivo del eje , tal que en se ubique en la posición hacia la derecha del eje: Gráfica x-t (Gráfica posición-tiempo) Es una recta cuya intersección con el eje X es el valor de su posición inicial (posición lineal para ). La tangente de su ángulo de incli-nación con respecto al eje t es el valor de la rapidez lineal de la partícula. Esto nos indica que el desplazamiento es lineal como indica la figura 6.2.2.1. Gráfica v-t (Gráfica velocidad-tiempo) Es una recta horizontal, como se ve en la figura 6.2.2.2., lo que indica que la rapidez lineal es constante. El área compren-dida entre la recta horizontal y dos verticales correspondientes a dos valores diferentes de tiempo representa el desplazamiento lineal que sufre la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre dichos valores. Gráfica a-t (Gráfica aceleración-tiempo) Como la aceleración es cero, la gráfica es una recta que coincide con el eje t, es decir , como se ve en la figura 6.2.2.3

fig. 6.2.2.1. Gráfica x-t

fig. 6.2.2.2. Gráfica v-t

fig. 6.2.2.2. Gráfica a-t

v= constan-te

Área=



Evalúa tu comprensión: Si un coche se mueve a 90 km/h y toma una curva también a 90 km/h ¿Mantie-ne constante su velocidad? ¿Mantiene constante su rapidez? Defiende tus res-puestas. La luz viaja en línea recta con una rapidez constante de 3E8 m/s ¿Cuál es su aceleración? Lee, razona y resuelve: Cuando Carlos viaja en la autopista de Cuenca a Azogues, pasa por la marca de 26 km. Después sigue moviéndose hasta la marca de 15 km. y luego se de-vuelve hasta la marca 17,5 km. ¿Cuál es su desplazamiento resultante respec-to a la marca de 26 km? Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y su amigo a 95 km/h. ¿Cuánto tiempo tiene que esperarlo su amigo al final del via-je? Dos autos viajan a lo largo de una carretera recta. En el instante h, el au-to A tiene una posición = 48 km y una rapidez constante de 36 km/h. Más tarde en el auto B está en la posición km con una rapidez de 48 km/h. Responda las siguientes preguntas: a), realice una gráfica de posición - tiempo; b) escriba las ecuaciones para las posiciones y .) ¿En qué posición A es alcanzado por B? c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que A estaba en su punto de referencia hasta que B lo alcanza? Taller 6.2.2. Investiga y sustenta porque las ondas como la luz o el sonido, se transmiten a velocidades constantes. INVESTIGACIÓN 6.2.2.- APLICACIÓN REAL DEL MRU Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales:



Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



6.2.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO OBJETIVOS DEL TEMA Conocer e interpretar científicamente los contenidos. Rela-cionarlos con los fenómenos naturales. Valorar la importancia de las técnicas de ra-zonamiento en la resolución de conflictos. Este es un tipo de movimiento en trayectoria rectilínea en el que la velocidad va cambiando uniformemente con el tiempo: a intervalos iguales de tiempo co-rresponden variaciones iguales de velocidad, es decir, la velocidad es directa-mente proporcional al tiempo. Este tipo de movimiento no es muy frecuente en la naturaleza, sin embargo, es de gran utilidad el estudio de los pocos casos que existen. Los parámetros cinemáticos para el MRUV son los siguientes: La aceleración lineal es constante:

Cuya magnitud es:

Si un cuerpo parte del reposo y en un tiempo alcanza una velocidad :

Pues y Por lo tanto Si en la velocidad es distinta de cero, la velocidad en el tiempo

se llama velocidad final:

Si representamos en un sistema coordenado cartesiano la velocidad lineal y el tiempo, sobre x e y, respectivamente, el espacio recorrido es el área del cua-drilátero OABC, como se muestra en la figura 6.2.3.1. El cuadrilátero OABC se puede descomponer en el rectángulo OADC y el trián-gulo ADB.

(1)



Fig. 6.2.3.1. Gráfica espacio- tiempo del MRUV

Si calculamos el área del cuadrilátero OABC, tenemos que:

Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por: tenemos que:

)

Siendo y )

Reemplazando tenemos:

De este modo, el desplazamiento lineal viene dado por:

0

C

D

B



Ahora bien si combinamos las ecuaciones (1) y (2), podemos obtener la tercera ecuación que relaciona los parámetros del MRUV. Hacemos la demostración en forma escalar: Despejamos de la ecuación (1):

Y reemplazamos en (2)

Resolviendo, nos queda:

De donde:

Finalmente:

Que en forma vectorial es:

Ya que en el MRUV la velocidad varía uniformemente con el tiempo, es me-nester el cálculo de la velocidad media para un intervalo de tiempo dado, defi-nida como la media aritmética de las velocidades inicial y final en dicho inter-valo de tiempo, es decir.

(2)



En el MRUV, son importantes las gráfi-cas que relacionan sus parámetros, las siguientes son las más importantes: Gráfica Aplicada para el caso de una partícula que se mueve en sentido positivo del eje

, tal que en un instante dado su posi-ción sea , ) hacia la derecha del eje: Se trata de una curva cuadrática (pará-bola), cuya intersección con el eje marca la posición inicial del móvil ( ). Esto quiere decir que el desplazamiento lineal en el MRUV es una función dependiente del tiempo, como muestra la figura 6.2.3.2. Gráfica Se trata de una recta inclinada cuya intersección con el eje representa la ve-locidad inicial del móvil . La tangente del ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje es el valor de la acele-ración lineal de la partícula, en tanto que el área bajo la recta, entre los valores

, representa el desplazamiento li-neal que experimenta la partícula en el intervalo de tiempo , como muestra la figura 6.2.3.3.

Gráfica Como la aceleración es constante en el tiempo, se trata de una recta horizontal. El área bajo la recta, entre los valores

, representa el desplazamiento li-neal que experimenta la partícula en el intervalo de tiempo , como muestra la figura 6.2.3.4.

Fig. 6.2.3.2. Gráfica x-t

Fig. 6.2.3.3. Gráfica v-t

Área=

Área=

Fig. 6.2.3.4. Gráfica a-t



Ejercicio Guía 1 Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se en-cuentra a 200 m de ella, un perro, situado 40 m más atrás, sale en su persecu-ción, recorriendo 90 metros con la aceleración de 5 m/s2 y continuando luego con velocidad constante. Deduce cinemáticamente si salvará su piel el conejo. Razona matemáticamente que sucedería si la madriguera estuviese 100 me-tros más lejos.

Datos:

a) Análisis del enunciado y resolución: Para el conejo:

Para el perro:

Que es el tiempo empleado por el perro para recorrer los m con MRUV

Que es el tiempo empleado por el perro para recorrer los m con

MRU: El tiempo total, es entonces:

40 m 200 m

20 m/s

240 m



Como el conejo se demoró menos en recorrer los 240 m, el perro no le coge. b) 300 = 20 t 250 = 30 t t = 8.33 s

Como el conejo se demora más, el perro lo cogería. Evalúa tu comprensión. Describe las diferencias entre MRU y MRUV ¿Cuál es mayor, una aceleración de 25 a 30 km/h o una aceleración de 96 a 100 km/h si las dos ocurren al mismo tiempo? Lee, razona y resuelve.

Paco manejando a entra en un túnel de un solo carril. Después observa

una camioneta que se mueve despacio adelante viajando a . Paco

aplica sus frenos pero puede desacelerar sólo a , debido a que el camino está húmedo. ¿Chocará? Si es así, calcular a qué distancia dentro del túnel y en qué tiempo ocurre el choque. Si no choca, calcular la distancia de máximo acercamiento entre el auto de Paco y la camioneta. Un africano que se encuentra a 20 m de un león hambriento arranca con una

rapidez constante de , alejándose en línea recta del león, que está ini-cialmente detenido. El león tarda 2 segundos en reaccionar cuando empieza a

perseguir al africano con una aceleración de , siempre en línea recta hacia el africano, que huye hacia un árbol que se encuentra más adelante en la mis-ma recta: • Hacer un esquema ilustrativo de la situación. • ¿Cuál debe ser la máxima distancia a la que debe estar el árbol para que el africano pueda subirse justo antes que el león lo alcance? • Calcular la rapidez con la que el león llega al árbol.

Taller 6.2.3



Escoge una calle con afluencia vehicular moderada. Párate en una esquina junto a un semáforo y un compañero en la otra esquina. Guíate en el semáfo-ro. En el momento que arranca el vehículo, haz una señal a tu compañero para que eche a andar el cronómetro y lo pare cuando el vehículo haya llegado a la otra esquina. Mide el largo de la calle de esquina a esquina y con el dato del tiempo, calcula la aceleración y la velocidad final del vehículo. Puedes repetirlo unas diez veces. Con los datos elabora gráficos que relacionen los parámetros medidos. INVESTIGACIÓN 6.2.3.- APLICACIÓN REAL DEL MRUV Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 6.2.4. CAÍDA LIBRE OBJETIVOS DEL TEMA: Manejar con precisión los conceptos propuestos. Comparar esos conceptos con los del MRUV. Utilizarlos en la demostración de las expresiones físico-matemáticas. Aplicar la técnica de la investigación en la resolución de proble-mas del contexto cotidiano. Se define a la caída libre como el movimiento en trayectoria vertical que expe-rimenta un cuerpo, en las proximidades de la superficie de un planeta, como resultado de la interacción gravitatoria entre el cuerpo y el planeta. Este movi-miento es uniformemente acelerado si no se considera la resistencia del aire y la trayectoria sea relativamente corta. La aceleración en los movimientos de caída libre es la misma para todos los cuerpos, independientemente de su forma y peso. Se conoce como el vector “aceleración de la gravedad” o simplemente gravedad, cuya magnitud es

, siendo positiva en dirección al centro de la Tierra y negativa hacia arriba. El desplazamiento es vertical (altura). La ley de que los cuerpos caen en el vacío con una misma aceleración fue es-tablecida por Galileo Galilei, el cual realizó un experimento espectacular: Desde lo alto de la torre inclinada de la ciudad de Pisa en Italia, soltó dos balas de di-ferentes masas. Con este experimento preguntó directamente a la naturaleza y esta se encargó de responder que, dentro del margen de error, los cuerpos lle-gan al suelo al mismo tiempo. Las expresiones físico-matemáticas que gobiernan el movimiento de graves o caída libre son las mismas que para el MRUV:

Es decir:



Cuya magnitud es:

El desplazamiento lineal viene dado por:

Y por la ecuación:

La velocidad media:

Ejercicio Guía 1 Desde lo alto de una torre se dejan caer libremente dos pequeñas piedras con un intervalo de 3 s. ¿Se mantendrá constante la distancia entre ellas durante la caída? Para la primera piedra:

Para la segunda piedra:

Sólo interviene posición, velocidad y aceleración. Se trata de caída libre, los cuerpos no recorren siempre el mismo espacio en el mismo intervalo de tiempo, en consecuencia distancia no es constante.

• El espacio del primero en los tres primeros segundos es:

• El espacio del segundo será cero.

Si tomo los seis primeros segundos:



El espacio del segundo en ese tiempo

La diferencia en los tres primeros segundos es de 44,1 m, y la diferencia en los seis primeros segundos es de 176,4 – 44,1 = 132,3 m

No es lo mismo.

Evalúa tu comprensión: Se define a la caída libre como……………............................................................ ……………………………………………………………………………………………. ¿Cuál es el aumento de rapidez, por segundo, de un cuerpo en caída libre? Supón que un cuerpo en caída libre tuviera un velocímetro. ¿Cuanto aumentar-ía su indicador de velocidad en cada segundo de su caída, si parte del reposo. Haz por lo menos cinco cálculos y construye un gráfico que relacione el tiempo con la velocidad. Lee, razona y resuelve: Angélica deja caer una pelota de tenis desde la terraza de un edificio, y un se-gundo después tira verticalmente hacia abajo otra pelota con una rapidez de 20 m/s. Calcular la altura mínima del edificio para que la segunda pelota pueda al-canzar a la primera. Cuando las ranas saltan, típicamente aceleran al alcanzar una altura vertical de unos 10 cm, y pueden alcanzan alturas de hasta 30 cm, medidas desde el sue-lo. Calcular: (a) La velocidad de despegue de la rana, y (b) La aceleración media que ella siente entre que comienza el salto y el mo-mento del despegue. Suponga una aceleración constante. Una llave de agua deja caer gotas a razón de 6 por segundo. Si la llave está a 20 m por encima del suelo ¿Cuándo una gota llega al suelo, a que distancia del suelo estará la siguiente gota? Taller 6.2.4 Párate junto a un muro y haz una marca que indique tu estatura. A continua-ción salta verticalmente y marca lo más alto que puedas. La distancia entre tus dos marcas es la altura de tu salto. Con ella calcula tu tiempo en el aire.



INVESTIGACIÓN 6.2.4.- APLICACIÓN REAL DE CAÍDA LIBRE Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:




Integra tus conocimientos: k) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario. → Trayectoria. → Rapidez lineal → Posición lineal → velocidad lineal. → Aceleración lineal. → MRU. → MRUV → Caída libre. l) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El desplazamiento se define como el número de metros que recorre un móvil en un tiempo determinado. b) Si se dejan caer al mismo tiempo una pluma y una bola de acero desde una misma altura, no llegan al suelo a la vez porque tienen diferente masa. c) La unidad de la velocidad en el Sistema Internacional es el km/h. d) Una velocidad negativa indica que el móvil está frenando.



La siguiente tabla, da la posición en distintos instantes de tiempo, de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo. Determinar si el movimiento es uni-forme.

t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x(m) 1 12 17 22 28 33 38 44 49

En un momento determinado dos coches se encuentran en la misma posición pero moviéndose en sentidos contrarios en una recta de una autopista. Sus velocidades son 72 km/h y 90 km/h y se mantienen constantes. ¿Qué distancia recorre cada uno de ellos en 2 minutos?, ¿qué distancia les separa en ese momento? (2400 m, 3000 m, 5400 m) Desde lo alto de un acantilado se deja caer una piedra. El sonido de la piedra de oye a los 6,5 s de soltarla. Determine desde que altura cae. (Velocidad del sonido en el aire =1224 km/h; g =9,8 m/s2) La distancia de Quito a Loja es de 681 km. Un automóvil hace el recorrido en 12 horas, 20 minutos, ¿Cuál es la velocidad media del recorrido? La velocidad instantánea que el velocímetro marcó en un momento dado fue 80 km/h, ¿En cuánto tiempo hubiera hecho el recorrido si hubiera conservado constante esa velocidad?



Tercera Subunidad



MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

CONCEPTOS BÁSICOS DE CI‐NEMÁTICA ANGULAR

MOVIMIENTO CIRCULAR UNI‐FORMEMENTE VARIADO

RELACIONES ENTRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CIRCULAR

MOVIMIENTO PA‐RABÓLICO

MOVIMIENTO RELATIVO



Tercera Subunidad

MOVIMIENTOS EN EL PLANO En este capítulo veremos el movimiento parabólico como la unión de movimien-tos horizontales (MRU) y verticales (caída libre). Luego aprenderemos las le-yes que rigen el movimiento circular, que abarcan tres conceptos: rapidez, ve-locidad y aceleración angular; los conceptos vistos en la subunidad anterior son indispensables en el estudio de estos fenómenos de la Cinemática Angular. Al final analizaremos la relatividad del movimiento ya que absolutamente todas las formas de movimiento son relativas. 6.3.1. MOVIMIENTO PARABÓLICO OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender y aprehender estos conceptos y ecuaciones básicas para el estudio de esta subunidad. Despertar el interés por el descubrimiento de fenómenos relacionados con movimientos parabólicos. Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición vec-torial de dos movimientos rectilíneos simultáneos: uno de trayectoria horizontal con velocidad constante (MRU) y otro de trayectoria vertical con aceleración constante (caída libre).Por lo tanto su análisis se realiza en el plano de refe-rencia bidimensional.

Movimiento en el eje horizontal.- Este movimiento es rectilíneo uniforme (sin aceleración), con velocidad horizontal constante :

Movimiento en el eje vertical.- Es el de caída libre, con velocidad vertical

variable , y cuyas ecuaciones son:



( MRU Caída libre

La figura 6.3.1.1. expresa el caso particular de un proyectil disparado con una velocidad inicial la cual forma un ángulo con el eje . Como representamos el movimiento en el plano, la velocidad se descompone

en una componente horizontal y una vertical . De acuerdo con el triángulo:

El movimiento está dado por:

(1)

Velocidades.- Eje X.- Como en tal eje no hay aceleración:

Constante. Eje Y:

Fig. 6.3.1.1. Movimiento parabólico (en dos dimensiones)



La velocidad total está dada por:

Cuyo ángulo es igual a:

Aceleraciones: Eje X:

Eje Y:

Además de las velocidades, existen otros parámetros que rigen el movimiento parabólico, algunas de ellos son: Altura máxima h.- Significa la máxima altura a la que puede llegar el proyectil. Como el proyectil se detiene momentáneamente al llegar al punto más alto de su trayectoria, entonces:

De la ecuación:

Obtenemos: Cuando la altura será la mayor posible.



Tiempo de vuelo.- Es el tiempo que el proyectil permanece en el aire:

De la ecuación recordando que en el punto más alto, te-nemos que:

Este es el “tiempo de subida”. El tiempo de vuelo es el doble del de subida, es decir:

Alcance horizontal máximo R.- Es la distancia máxima horizontal que puede cubrir el proyectil. De la ecuación del MRU horizontal:

Pero Así que:

Según la ecuación, cuando el alcance es el mayor posible. Posición del proyectil.- Las coordenadas de posición(x; y) del proyectil en cier-to instante dado están dadas por.

Como las coordenadas de posición dependen del tiempo, la posición es tam-bién dependiente del tiempo.

Luego:



Por otro lado, despejando t de la coordenada x y sustituyendo en la coordena-da y, tenemos que:

Ya que son constantes, esta ecuación es de segundo grado que co-rresponde a una parábola. Por consiguiente, la trayectoria del proyectil es pa-rabólica. Ejercicio Guía Un avión que vuela a 2 000 m de altura con una velocidad de 300 m/s, deja ca-er una bomba. Calcular: El tiempo que tardará la bomba en llegar al suelo. El alcance máximo del disparo. La velocidad de la bomba en el instante de llegar al suelo.

a)

Las componentes de la velocidad son:

b) Por lo tanto:

c)

Con lo que:

x

2000 m



Evalúa tu comprensión. El ángulo de disparo para que el proyectil experimente un mayor alcance posi-ble es:……………………… ¿Porqué? El ángulo de disparo para que el proyectil experimente una mayor altura posible es:……………………… ¿Porqué? Lee, razona y resuelve: Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 50° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo. Calcular: a) La rapidez inicial del balón; b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura máxima que alcanza. En el próximo partido de Ecuador con la selección de Chile, el Toño Valencia deberá patear un tiro libre desde un punto a 25 m del arco cuya altura es 2.5 m. Cuando patea, la pelota sale del césped con una rapidez de 20 m/s en un ángulo de 20º sobre la cancha. Suponiendo que la pelota no sufre ninguna alte-ración de su trayectoria: a) ¿se convierte o no el gol? b) ¿Con qué velocidad cruza por el arco? c) Obtenga la ecuación de la trayectoria de la pelota. Un alumno tira una pelota al aire lo más fuerte que puede y luego corre como una liebre para poder atrapar la pelota. Si lanza la pelota a 20 m/s y su mejor tiempo para recorrer 20 m es 3 s, calcular la altura de la pelota para que pueda tomarla sabiendo que la trayectoria de la misma es parabólica.

Taller 6.3.1

Utilizando dos escuadras, un pedazo de jebe (pallca), una bola pequeña y un pedazo de tabla delgada, intenta recrear en el patio el movimiento parabólico. Con la ayuda de un cronómetro, registra el tiempo que tarda la bola al llegar al suelo y mide su alcance. Haz esto varias veces. Luego, a partir de estos datos, halla las velocidades de lanzamiento para cada caso. Luego lo puedes generalizar para los casos de rebotes usando bolas de tenis o golf y canicas. INVESTIGACIÓN 6.3.1.- APLICACIÓN REAL DE MOVIMIENTO PARABÓLI-CO



Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 6.3.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA ANGULAR OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender y aprehender estos conceptos básicos para el estudio de esta subunidad. Comparar esos conceptos con los conceptos del movi-miento rectilíneo y establecer analogías y diferencias. Despertar el interés por el des-cubrimiento de fenómenos relacionados con movimientos curvilíneos Los parámetros que entran en juego en el movimiento curvilíneo y particular-mente, el circular son: posición, velocidad y aceleración angulares. POSICIÓN ANGULAR: Empezamos analizando el movimiento de un punto P a lo largo de una línea curva, tal como se muestra en la figu-ra 6.3.1.1. Un vector que tiene origen en el cen-tro de la línea curva y su extremo está sobre el punto móvil en dicha línea, recibe el nombre de radio vector. Podemos ubicar al punto en cualquier instante si, establecemos primero un sistema de referencia, ya que no es posible ubicar con coordenadas car-tesianas, vamos a establecer nuevas coordenadas, llamadas coordenadas curvilíneas o más precisamente, co-ordenadas polares. Las coordenadas polares son un par ordenado de valores, el primero es el ra-dio vector, el cual asignamos por R y el segundo es un ángulo que indica el grado de giro de la partícula al describir la trayectoria rectilínea. Con las nuevas coordenadas P queda ubicada en el punto de coordena-das A las coordenadas las llamaremos radial y angular o azimutal, res-pectivamente. El radio vector indica la distancia desde el origen de nuestro sistema de refe-rencia al punto P, por lo tanto, es siempre positivo, en tanto que el ángulo es medido desde el eje X positivo en sentido contrario al de las manecillas del re-loj. La posición angular expresado como vector posición angular, queda determi-nada por la ecuación siguiente:

Fig. 6.3.1.1. Movimiento curvilíneo



En donde la dirección es perpendicular al plano de referencia, por lo tanto el vector posición es perpendicular a dicho plano. Ahora, vamos a establecer las relaciones entre las coordenadas polares y car-tesianas. Para ello analizamos el triángulo rectángulo OPQ de la figura 6.3.1.2: Por funciones trigonométricas:

Por el teorema de Pitágoras:

Con esto se obtiene las siguientes relacio-nes:

RAPIDEZ: La rapidez de una partícula que se mueva describiendo una trayectoria curva o circular se llama rapidez tangencial, porque la dirección del movimiento es tan-gente a la curva. La rapidez tangencial depende de la distancia radial R, mien-tras mayor es R, mayor es la rapidez tangencial y viceversa. La rapidez de rotación o rapidez de giro indica la cantidad de vueltas, rotacio-nes o revoluciones por unidad de tiempo. La rapidez tangencial y la rapidez de rotación se relacionan: se dice que la ra-pidez tangencial es proporcional a la rapidez de rotación para una distancia ra-dial fija.

Fig. 6.3.1.2. Movimiento curvilíneo

O Q



VELOCIDAD ANGULAR: Es una magnitud vectorial que se refiere al cambio de posición angular que sufre una partícula en movimiento a lo largo del tiempo, expresada por el co-ciente entre el cambio de posición angular de la partícula y el intervalo de tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de tiempo rela-tivamente grande, tendrá una velocidad angular media, definida por:

= La velocidad angular de una partícula en un instante dado es lo que se deno-mina velocidad angular instantánea pero no conocemos una operación ma-temática ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores. El vector velocidad angular es perpendicular a la trayectoria, tal como lo muestra la figura 6.3.1.3 ACELERACIÓN ANGULAR: Es el cambio de velocidad angular de una partícula a lo largo del tiempo expre-sada por el cociente entre el cambio de velocidad angular de la partícula y el intervalo de tiempo requerido. Si la partícula se mueve durante un intervalo de tiempo relativamente grande, tendrá una aceleración angular media, definida por:

= En donde: = La aceleración lineal de una partícula en un instante dado es lo que se denomi-na aceleración lineal instantánea pero no conocemos una operación matemáti-ca ideada para esta cuestión, su estudio se realizará en cursos posteriores. Para definir de manera única la posición, velocidad y aceleración angular se uti-liza por convención la regla de la “mano derecha”, se encorvan los dedos en el sentido del incremento respectivo, se extiende el pulgar, el cual marca el sen-tido del vector definido.

Fig. 6.3.1.3 velocidad angular



Evalúa tu comprensión ¿Qué quiere decir rapidez tangencial? Describe la diferencia entre rapidez tangencial y rapidez de rotación. ¿Cuál es la relación entre la rapidez tangencial y la distancia desde el centro del eje de rotación? Describe un ejemplo. Lee, razona y resuelve. ¿Cuál es el vector radial de un cuerpo que se encuentra en el punto de una trayectoria curva? ¿Cuál es su ángulo? Calcule la variación angular que sufre un cuerpo que se mueve siguiendo una trayectoria circular desde la posición hasta la posición Taller 6.3.2 Elabora un torno casero. Puedes utilizar un pedazo circular de cartón o made-ra. Con un cronómetro toma el tiempo que tarda el torno en completar tres vuel-tas. Con los datos recogidos, calcula la rapidez de rotación. Luego hazlo girar en posición horaria y antihoraria. En ambos casos indica la dirección de los vectores posición y velocidad angular. INVESTIGACIÓN 6.3.2.- APLICACIÓN REAL DE CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA ANGULAR Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



6.3.3. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Este movimiento ocurre sobre una trayectoria plana circular con una rapidez constante (el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales) y al ser uniforme su vector velocidad angular permanece constante a lo largo del tiempo, lo que significa que el vector aceleración angular es cero. Como referencia supondremos que el movimiento ocurre sobre el eje X. Los parámetros cinemáticos de este movimiento son: La aceleración angular:

La velocidad angular:

=

La magnitud de la velocidad angular:

El vector desplazamiento angular:

De la ecuación: = obtengo:

Cuya magnitud es:

Y de allí:

Que es la ecuación escalar que define la posición de la partícula en cierto inter-valo de tiempo. La rapidez de rotación o rapidez de giro indica la cantidad de vueltas, rotacio-

OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar las ecuaciones básicas del MCU. Utili-zar los modelos matemáticos para realizar trabajos prácticos con materiales del medio.



nes o revoluciones por unidad de tiempo, es decir:

El valor de la rapidez de giro se conoce como frecuencia:

El tiempo requerido para completar una vuelta es conocido como período:

Es decir:

Como el MCU se repite una y otra vez, en cada vuelta habrá girado un ángulo de radianes, con una velocidad uniforme; de esto se deduce que, para una frecuencia conocida, es posible calcular la magnitud de la velocidad angu-lar por la siguiente ecuación:

Al igual que en el MRU, el movimiento circular puede ser analizado gráficamen-te. Algunas de estas gráficas son las siguientes. Gráfica -t (Gráfica posición angular -tiempo) Es una recta cuya intersección con el eje X es el valor de su posición angular inicial (posición angular para t=0). La tangente de su ángulo de inclinación con respecto al eje t es el valor de la magnitud de la velocidad an-gular de la partícula, como indica la figura 6.2.2.1. Gráfica v-t (Gráfica velocidad angular-tiempo) fig. 6.3.2.1. Gráfica -t



Es una recta horizontal, como se ve en la figura 6.3.2.2., lo que indica que la velocidad angular es constante. El área comprendida el eje horizontal, la recta constante dos valores de tiempo representa el desplazamiento lineal que sufre la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre dichos valores. Gráfica v-t (Gráfica aceleración angular-tiempo) Como la aceleración angular es cero, la gráfica es una recta que coincide con el eje tal como se ve en la figura 6.3.2.3. Evalúa tu comprensión: Compara el MCU con el movimiento de rotación de la Tierra con respecto al Sol. ¿Se trata de un MCU? ¿Cuál es su período? ¿y su frecuencia y velocidad angular? Haz lo mismo con el movimiento en torno a su propio eje. Ejercicio Guía Calcular la rapidez orbital de la traslación terrestre alrededor del Sol si la dis-tancia media entre el Sol y la Tierra es km. La Tierra completa una vuelta en torno al Sol en un año o días. En este caso la rapidez orbital es:

Así que:

La rapidez de giro de la Tierra es

fig. 6.3.2.2. Gráfica -t

Zfig. 6.3.2.2. Gráfica -t

= cons-tante

Área=



Lee, razona y resuelve: Un disco comienza a girar desde el reposo con aceleración angular constante hasta una rapidez angular de 12 rad/s en 3 s. Calcular: a) la aceleración angu-lar del disco, b) el ángulo que describe. Un disco de 8 cm de radio, gira con una rapidez angular constante de 1 200 r.p.m. Calcular: a) la velocidad angular del disco en 2 s. b) La posición final y la distancia total recorrida por un punto del borde en 2 s. Las llantas de un automóvil giran a 1 434 r.p.m. Calcula la velocidad angular y la distancia recorrida por una piedra incrustada en uno de sus bordes, al cabo de 5 s.

Taller 6.3.3

Toma un trompo y hazlo “bailar”. Cuenta el número de vueltas cada diez se-gundos hasta completar un minuto. Con estos datos elabora una gráfica que re-lacione su velocidad angular con el tiempo. INVESTIGACIÓN 6.3.3.- APLICACIÓN REAL DE MCU Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



6.3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar las ecuaciones básicas del MCUV. Utilizar los conocimientos teóricos para realizar demostraciones de las ecuaciones del MCUV. Suponemos que la trayectoria del movimiento es una circunferencia situada sobre el plano cartesiano o plano XY. La velocidad angular varía de manera uniforme; esto implica que la acelera-ción angular es constante a lo largo del tiempo. Los parámetros cinemáticos involucrados en el MCUV son los siguientes: La aceleración angular es constante:

La magnitud de la aceleración angular es:

O lo que es lo mismo:

Si un cuerpo parte del reposo y en un tiempo t alcanza una velocidad angular

:

Pues: y Por lo tanto Si en la velocidad es distinta de cero, la velocidad angular en el tiempo se llama velocidad angular final:

(1)



Si representamos en un sistema coordenado cartesiano el tiempo y la veloci-dad angular, sobre x e y, respectivamente, el gráfico es una recta, la cual corta al eje vertical (o eje en el valor . El área del cuadrilátero OABC formado `por la recta, los dos ejes y una vertical tomada en cierto valor de tiempo re-presenta el desplazamiento angular de la partícula dotada de una aceleración angular en un intervalo de tiempo dado, como se muestra en la figura 6.3.3.1: El cuadrilátero OABC se puede descomponer en el rectángulo OADC y el triángulo ADB. Si calculamos el área del cuadrilátero OABC, tene-mos que:

Si multiplicamos el segundo término de la igualdad por: tenemos que:

)

Siendo y ) Reemplazando tenemos:

De este modo, el desplazamiento angular viene dado por:

Fig. 6.3.3.1. Gráfica velocidad angular- tiempo del MCUV

(2)

0

C

D

B



Ahora bien si combinamos las ecuaciones (1) y (2), podemos obtener la tercera ecuación que relaciona los parámetros del MRUV. Hacemos la demostración en forma escalar: Despejamos de la ecuación (1):

Y reemplazamos en (2)

Resolviendo, nos queda:

De donde:

Finalmente:


Ya que en el MCUV la velocidad angular varía uniformemente con el tiempo, es menester el cálculo de la velocidad angular media para un intervalo de tiempo dado, definida como la media aritmética de las velocidades angulares inicial y final en dicho intervalo de tiempo, es decir:

En el MCUV, son importantes las gráficas que relacionan sus parámetros, refe-ridas a un móvil que describe un MCUV con velocidad angular inicial , su aceleración es :



Gráfica Se trata de una curva cuadrática (pará-bola), cuya intersección con el eje marca su posición angular inicial

. Esto quiere decir que el desplazamiento angular es una función dependiente del tiempo, como muestra la figura 6.3.3.2.

Gráfica Se trata de una recta, cuya intersección con el eje marca su posición inicial

. Esto quiere decir que la tangente del ángulo que la recta forma con el eje es el valor de la aceleración lineal de la partícula, en tanto que el área bajo la recta, entre los valo-res , representa el desplazamiento angular que experimenta la partícula en el intervalo de tiempo , como muestra la figura 6.3.3.3. Gráfica Como la aceleración angular es constante en el tiempo, se trata de una recta horizontal. El área bajo la recta, entre los valores , representa el despla-zamiento angular que experimenta la partícula en el intervalo de tiempo

, como muestra la figura 6.3.3.4.

Fig. 6.3.3.3. Gráfica -t

Área=

Área=

Fig. 6.2.3.4. Gráfica

Fig. 6.3.3.2. Gráfica x-t



Ejercicio Guía Un volante que gira a 3000 rpm logra detenerse mediante la acción de un freno después de dar 50 vueltas.

a) ¿Qué tiempo empleó en el frenado? b) ¿cuánto vale su aceleración?

Si ahora relacionamos la posición final:

Si aplicamos la ecuación:

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento:

Utilizamos este dato para encontrar la aceleración:

Evalúa tu comprensión. Describe la diferencia entre MCU y MCUV. ¿Es correcto decir que en un cuerpo que gira con MCUV aumenta constante-mente su frecuencia y disminuye constantemente su período? Fundamenta tu respuesta. Lee, razona y resuelve Una partícula comienza a girar desde el reposo hasta una rapidez angular de 15 rad/s en 3 segundos. Calcular a) su aceleración angular, b) el número de vueltas en ese tiempo.



Un volante de 2 m de diámetro, comienza a girar desde el reposo con acelera-ción angular constante de 4 rad/s2. En el instante inicial un punto P del borde del volante forma un ángulo de 57.3º con la horizontal. Calcular para el instante 2 s: a) su rapidez angular, b) la rapidez lineal de P, c) la aceleración lineal de P, d) la posición de P. Un disco comienza a girar desde el reposo con aceleración angular constante de 5 rad/s2 por 8 s. Luego el disco se lleva al reposo con una aceleración an-gular constante en 10 revoluciones. Calcular: a) su aceleración angular, b) el tiempo que demora en detenerse.

Taller 6.3.4. Es correcto decir que un disco que gira con MCUV aumenta constantemente su frecuencia y reduce constantemente su período. Argumenta científicamente tu respuesta INVESTIGACIÓN 6.3.4.- APLICACIÓN REAL DE MCUV Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



6.3.5. RELACIONES ENTRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CIRCULAR OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar las relaciones entre los dos tipos de movimientos. Utilizar los conocimientos teóricos para realizar demostraciones de las relaciones existentes. Considere una partícula que gira en con MCU (efectúa una traslación circular) con una velocidad orbital . La partícula se mueve desde una posición inicial

a una posición final en un intervalo de tiempo El ángulo descrito por

el radio vector será (ver figura 6.3.5.1.). Un movimiento circular uniforme es un movimiento acelerado, aún cuando el móvil recorra la trayectoria con rapidez constante. La dirección del vector velo-cidad, que es tangente a la trayectoria, va cambiando a lo largo del movimiento y esta variación que afecta solo a su dirección, da lugar a una aceleración. La rapidez es la longitud del arco de circunferencia (distancia) recorrido en la uni-dad de tiempo.

Si está medido en radianes, la longitud del arco es:

y para el arco recorrido en la unidad de tiempo es:

Generalizando:

Pero: y Reemplazando tenemos:

Como son vectoriales, es preciso expresarlos como tal. Sabiendo que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector, tenemos que:

Fig. 6.3.5.1



Que es la ecuación vectorial que relaciona la velocidad orbital con la velocidad angular de la partícula. Ahora bien, el cambio en la dirección de la velocidad se debe a un tipo de ace-leración que no cambia la magnitud del vector velocidad, sino únicamente su dirección; esta aceleración recibe el nombre de “aceleración normal o centrípe-ta, ”, la cual apunta siempre al centro de la trayectoria. Para su análisis, nos remitimos al triángulo de velocidades que se muestra en la figura 6.3.5.2. Para encontrar la magnitud de usamos la ley de co-senos:

Realizando operaciones algebraicas tenemos que:

Si multiplicamos ambos miembros por :

Pero , con lo cual la ecuación se transforma en:

Haciendo los cálculos pertinentes, tenemos que:


Para una partícula que gira con MCUV, la variación en el módulo de la veloci-dad orbital está asociada a una aceleración llamada “aceleración orbital o tan-gencial” que es tangente a la trayectoria y cuya ecuación es:


Fig. 6.3.5.2.



Como en el MCUV, la velocidad orbital varía en magnitud y dirección, entonces existen simultáneamente las dos aceleraciones lineales: la centrípeta, dirigida al centro de la trayectoria y la tangencial, por lo tanto siempre son perpendicu-lares entre sí, tal como vemos en la figura 6.3.5.3. La aceleración resultante o aceleración li-neal total es:

Cuya magnitud es:

Por último se debe decir que se usa comúnmente como unidad de medida de la variación angular el término revolución, que corresponde a una vuelta comple-ta, ó ó Y para velocidad angular se usan las vueltas o revolu-

ciones por minuto, con unidad de medida . Siempre se debe tener en mente que las vueltas o revoluciones son medidas de ángulo, por lo tanto son un número adimensional. Tomemos el siguiente ejemplo:

Transformar 12 a Para este caso, proponemos el siguiente método: Como y

Ejercicio Guía Un disco de 10 cm de radio que gira a demora un minuto en dete-nerse cuando se lo frena. Calcular: a) su aceleración angular, b) el número de revoluciones hasta detenerse,

Fig. 6.3.5.3.



c) la rapidez tangencial de un punto del borde del disco antes de empezar a frenar, d) la aceleración centrípeta, tangencial y total para un punto del borde del dis-co. Datos:

Primero se transforman las a

a) Usando las ecuaciones de cinemática de rotación: se des-peja , cuando se detiene

b) Se pide calcular , usando la ecuación

Reemplazando los datos, se obtiene:

c) Se puede calcular la rapidez con la ecuación:

d) La aceleración centrípeta, tangencial y total es:

Lee, razona y resuelve: La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es aproximadamente circular, con un radio promedio de . La Luna completa una revolución en torno a la



Tierra y en torno a su eje en 27.3 días. Calcular: a) la rapidez orbital media de la Luna, b) la rapidez angular, c) aceleración centrípeta. Una rueda de bicicleta de 30 cm de radio comienza a girar desde el reposo con una aceleración angular constante de 3 rad/s2. Después de 10 segundos calcu-lar: a) su rapidez angular, b) el desplazamiento angular, c) la rapidez tangencial de un punto del borde, d) su aceleración total para un punto del borde. Taller 6.3.5. Investiga y sustenta la relación de movimiento circular entre el engranaje pe-queño y el grande del sistema de transmisión de la bicicleta, al accionar los pe-dales. INVESTIGACIÓN 6.3.5.- APLICACIÓN REAL DE RELACIONES DE TRANS-MISIBILIDAD DEL MOVIMIENTO Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



6.3.6. MOVIMIENTO RELATIVO. OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender la relatividad de los diferentes tipos de movi-mientos. Utilizar los contenidos teóricos para plantear y solucionar problemáticas que se dan dentro y fuera de clase. Si vamos en un vehículo y dejamos caer un objeto, nosotros lo vemos caer ver-ticalmente, pero un transeúnte parado en la esquina lo ve moverse con movi-miento parabólico. Si midiéramos alguna variable cinemática, obtendríamos resultados distintos, aunque el movimiento es el mismo. Este mismo movimiento, visto por uno o más observadores en sistemas de re-ferencia diferentes, es lo que llamamos movimiento relativo. Suponemos dos sistemas de referencia: uno es el sistema A en reposo y el otro es el sistema B, el cual está en movimiento relativo respecto a A. Una partícula P en movimiento es observada desde los sistemas A y B. Los vectores posi-ción relativos quedan definidos de la siguiente manera:

En el diagrama de vectores se cumple que:

De donde:

= vector de posición de B con relación a A.

= vector de posición de la partícula con relación a A.

A

B

P



= vector de posición de la partícula con relación a B. Es decir, la posición de la partícula respecto al sistema en reposo es igual a la suma vectorial de los vectores posición de la partícula respecto al sistema en movimiento y del sistema en reposo con respecto sistema en movimiento. De esta manera, si los vectores posición cambian en el tiempo, encontramos para las velocidades:

De donde:

= velocidad de B con relación a A.

= velocidad de la partícula con relación a A.

= velocidad de la partícula con relación a B. Ejercicio Guía La rapidez del agua de un río es 5 km/h uniforme hacia el este. Un bote que se dirige hacia el norte cruza el río con una rapidez de 10 km/h respecto al agua. a) Calcular la rapidez del bote respecto a un observador en la orilla del río. b) Calcular la dirección donde debe dirigirse el bote si se quiere llegar justo al frente en la orilla opuesta. c) Calcular ahora su rapidez respecto a la tierra. El sistema de referencia fijo es la tierra, el sistema de referencia móvil el río y la partí-cula es el bote, entonces:

: Rapidez del bote (partícula) respecto al agua (SR móvil) : Rapidez del agua (SR móvil) respecto a tierra (SR fijo)

: Rapidez del bote (partícula) respecto a tierra (SR fijo)



a) Es conveniente hacer el diagrama de vectores de velocidades, que se muestra en la figura:

La magnitud de la velocidad del bote respecto a tierra , que tiene una componente a favor de la corriente, se puede calcular del triángulo rectángulo de vectores de la fi-gura de la izquierda.

Su dirección es:

b) Si quiere llegar justo al frente desde donde sale, como la corriente del río lo arrastra hacia el este, haciendo el diagrama de vectores de la derecha, se ob-serva que debe apuntar en dirección hacia el noroeste, entonces:

c) Ahora, la rapidez es:



Como debe remar con una componente de la velocidad en contra de la corriente, la velocidad resultante del bote en este caso es menor que en la parte a), donde una componente de la velocidad es a favor de la corriente. Evalúa tu comprensión: Si estás parado en un autobús que se mueve con trayectoria horizontal y dejas caer una pelota, observas que su trayectoria es una recta vertical. ¿Cómo verá esa trayectoria un amigo parado en la acera? Mientras lees esta guía ¿Con que rapidez te mueves con relación a la silla en que te sientas? ¿Y con relación al sol? Lee, razona y resuelve. Un cóndor vuela hacia el este con una rapidez de 12 km/h respecto del aire, en presencia de un viento que sopla hacia el noreste (a 45º) con una rapidez de 5 m/s. a) Calcular la rapidez resultante del cóndor. b) ¿Qué distancia se desvía cada minuto respecto a la dirección este?

Taller 6.3.5 Investiga y demuestra porqué los árboles “caminan” en sentido contrario a no-sotros, cuando viajamos en auto. INVESTIGACIÓN 6.3.5.- APLICACIÓN REAL DE MOVIMIENTO RELATIVO Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales:




Integra tus conocimientos:

a) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario.

→ Trayectoria. → Rapidez tangencial. → Posición angular. → velocidad angular. → Aceleración angular. → MCU. → MCUV → Movimiento relativo. b) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad.

c) Resuelve las siguientes situaciones: Los puntos A y B, está sobre la misma vertical, pero A está 512 m más arriba. Desde A se deja caer una bola y 4,3 s más tarde se deja caer otra desde B y ambas llegan al suelo simultáneamente. Determinar: a) a qué altura está B b) el tiempo que dura la caída de A



Desde un acantilado de 60 m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 20 m/s. Calcular:

a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 s después? b) ¿Qué velocidad tienen en ese instante? c) ¿Cuánto tiempo tarde en llegar a la superficie del agua? d) ¿Qué velocidad tiene en ese instante? e) ¿Cuánto vale el alcance máximo? f) ¿En que punto de la trayectoria la velocidad forma un ángulo de 45º con la horizontal?

Dos aviones están situados en la misma vertical. La altura en la que se encuen-tra uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro. Pretenden bombardear un objetivo común. ¿Que relación debe de haber entre las velocidades de ambos aviones?



Cuarta Subunidad

HIDRODINÁMICA

HIDRODINÁMICA

TEOREMA DE BERNOULLI.

MOVIMIENTO DE UN FLUIDO. CONTINUIDAD.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI.

VISCOSIDAD Y ROZA‐MIENTO VISCOSO



Cuarta Subunidad

HIDRODINÁMICA

Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática. Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del ro-zamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños. 6.4.1. MOVIMIENTO DE UN FLUIDO. CONTINUIDAD. OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar correctamente los conceptos relacio-nados con el movimiento de los fluidos. Aplicarlos a la resolución de problemas de aplicación y situaciones cotidianas. Incitar el interés por la investigación. El movimiento de un fluido puede ser descrito en términos de un flujo. Este flujo es conducido según tres regímenes de distinta naturaleza, denominados: Régimen sin rozamiento o de Bernoulli.- Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada pun-to, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. Este régimen no es común en la naturaleza. Régimen turbulento o de Venturi.-Se presenta cuando la velocidad del líquido es muy grande o cuando la conducción presenta cambios bruscos de dirección. Se caracteriza por la presencia de torbellinos y porque las líneas de corriente se cortan entre sí, constituyendo un movimiento totalmente caótico, por lo cual la teoría es tan compleja que no se desarrollará en esta Guía.



Régimen laminar o de Pouseuille.- Un flujo líquido es laminar cuando la veloci-dad con la que fluye es la misma en todos los puntos de su trayectoria. Por lo tanto, podemos idealizar este régimen como un conjunto de láminas o capas líquidas moviéndose cada una con una cierta velocidad y conservando su posi-ción relativa. Lamentablemente este régimen solo se puede lograr en el labora-torio o en canales controlados por el hombre. En la naturaleza los regímenes de flujo son turbulentos debido a ciertos facto-res, como la imperfección de los canales o tubos y a un tipo de rozamiento en-tre el líquido y las paredes del tubo o entre capas contiguas de líquido llamado rozamiento viscoso. Se llama línea de corriente a la trayectoria curva que experimenta una partícula dentro de un flujo laminar estable. Una línea de corriente es paralela a la velo-cidad de las partículas de fluido en cualquier punto. Un número finito de líneas de corriente constituyen una región tubular denomi-nada” tubo de corriente”.

En la figura anterior se ha considerado un tubo de flujo con dos regiones, la re-gión (1) de área transversal y la región (2) de área transversal . Si un fluido de densidad constante atraviesa la regiones (1) y (2) con rapideces

y respectivamente. Luego de un intervalo , un punto cualquiera del fluido se ha desplazado una distancia Como la masa del fluido que cruza por las regiones (1) y (2) será constante, se tiene que:

Es decir:

Con lo que se tiene que:

(1)

(2)



Para toda región de un tubo de flujo continuo se cumple que:

La ecuación anterior se llama ecuación de continuidad la cual expresa la ley de conservación de la masa. La cantidad es denominada caudal, gasto o flujo de volumen y se represen-ta con la letra Q, es decir:

El caudal se mide en En una pared estrecha de una tubería, las líneas de corriente están más próxi-mas entre sí, de modo que su rapidez es mucho mayor que en una pared an-cha donde las líneas de corriente están más separadas. Por otra parte, si hay variación en la rapidez de un punto a otro, este puede ser provocado por una diferencia de presiones entre las secciones del tubo, lo cual provoca una acele-ración a lo largo del tubo. Ejercicio Guía Se desea extraer agua de una manguera de sección circular de diámetro inter-ior de 2,0 cm, por la que fluye agua a razón de 0,25 litros por cada segundo. ¿Cuál es la velocidad del agua en la manguera si el orificio de la llave es de 1,0 cm de diámetro interior? ¿Cuál es la velocidad de salida del agua? Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s, de tal manera que:

Por lo tanto, la velocidad del agua en la manguera está dado por:

De donde:



La ecuación de continuidad permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla. Es decir, se debe cumplir la relación:

De donde se tiene:

O sea:

Evalúa tu comprensión: ¿Que son líneas de flujo? En las zonas donde las líneas de flujo están más cercanas entre sí ¿La presión es mayor o menor? Describe la diferencia entre flujo laminar y flujo turbulento Analiza la utilidad práctica de usar un barómetro de agua. Lee, razona y resuelve: Por un tubo de 10 cm de diámetro circula agua a una velocidad de 8 m/s. Cal-cula la velocidad de agua al atravesar una reducción de 6 cm de diámetro co-nectado al tubo. ¿Cuál es el caudal de entrada? Un jardinero desea regar el pasto con una mariposa de un solo orificio, de 0,6 cm de diámetro, conectado a una manguera de 2,5 cm de diámetro. ¿Con que velocidad saldrá el agua? ¿Cuál será el diámetro del orificio de la mariposa pa-ra que el agua salga con un tercio de esa velocidad?

Taller 6.4.1.

Investiga porque las uniones de las tuberías son más propensas a sufrir daños si se aumenta el caudal de agua, en una cantidad considerable. INVESTIGACIÓN 6.4.1.- APLICACIÓN REAL DE ECUACIÓN DE CONTINUI-DAD Tema: Situación Problémica:



6.4.2. TEOREMA DE BERNOULLI 7.4.2. OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar correctamente los conceptos relacio-nados con el movimiento de los fluidos. Aplicarlos a la resolución de problemas de aplicación y situaciones cotidianas. Incitar el interés por la investigación. Si para un flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, pode-mos evaluar la ley de conservación de la masa a lo largo de una línea de co-rriente.

Fig. 6.4.2.1

Recordar que: De esto se desprende: Sabemos que las líneas de flujo se acercan en regiones más angostas, donde la rapidez de flujo es mayor, por lo tanto, su presión interna disminuye. El científico suizo Daniel Bernoulli estudió el flujo de los fluidos en tubos y llegó a la conclusión de que donde aumenta la rapidez de un fluido, su presión inter-na disminuye. Para la demostración partimos de la ecuación principal de la hidrostática y el análisis del gráfico 6.4.2.1: (6.4.2.1)

Del MRUV tenemos que: Como , variación de presión Con lo que la ecuación 6.4.2.1 toma la forma:



(1) Por otra parte, hace referencia al cambio de presión con la altura, por lo tanto:

(2) Si comparamos (1) con (2) tenemos que:

Reacomodando:

Si sobre el fluido actúan presiones externas:

Para todos los puntos de un fluido sin fricción:

Que es la ecuación de Bernoulli. Ejercicio Guía 1 Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 E3 Kg/m3 es horizontal en m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de . El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es E5 Pa, calcule la presión en la parte superior. Solución: Según lo que predice la ecuación de continuidad, al tener área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto:

En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernoulli a puntos en la parte supe-rior y la parte inferior, se tiene:

De donde:



Ejercicio Guía 2 Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico co-

mo el que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de . Su velocidad en el extremo de entra-

da es , y la presión allí es

de , y el radio de la sección es El extremo de salida está 4,5 m abajo del ex-tremo de entrada y el radio de la sección allí, es . Encon-trar la presión en ese extremo. La presión se puede encontrar mediante la ecuación de Bernoulli; sin embargo, previamente necesitaremos calcular la velocidad con la ecuación de conti-nuidad:

De donde:

Ahora, según Bernoulli:

De donde:

La presión en el extremo derecho d la manguera es



Evalúa tu comprensión: El principio de Bernoulli, ¿se refiere a cambios en la presión interna de un flui-do o a presiones que el fluido puede ejercer sobre objetos, o a ambas cosas? Para un mismo caudal de líquido. ¿Por qué sale el líquido con mayor velocidad por los tubos más angostos que por los más anchos? Lee, razona y resuelve: Se quiere subir agua por una manguera de 3 cm de diámetro al tercer piso de

una casa. Si la velocidad del fluido al entrar en la manguera es 0,008 cal-cule la velocidad al llegar si la altura al tercer piso es 7,5 m y la manguera ter-mina en una llave de 2 cm de diámetro. Un canalón recolector de aguas lluvias colocado en el techo de un edificio de 25 m de altura, tiene un diámetro de 3,6 cm. En un fuerte aguacero, el canalón

recoge 0,000 7 de agua con una velocidad de 11 m/s. Halle la velocidad del agua al caer en un tanque situado a 1,25 m por encima del suelo. Un bombero situado en el techo de una casa de 15 m de altura, bombea agua con una presión inicial de 5 680 Pa. Si el caudal de agua que sale de la tubería

de 5 cm de diámetro es de 0,006 . Calcula cuál será la presión del chorro si el diámetro del mismo es 2,8 cm.

Taller 6.4.2.

Al contestar una pregunta de porque una bandera ondea en el aire, un amigo tuyo dice que ondea por el principio de Bernoulli. No es una explicación muy convincente ¿Verdad? ¿Cómo contestarías tú esa pregunta? INVESTIGACIÓN 6.4.2.- APLICACIÓN REAL DE TEOREMA DE BERNOU-LLI Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales:



6.4.3. APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer e interpretar correctamente los conceptos relacio-nados con el movimiento de los fluidos. Aplicarlos a la resolución de problemas de aplicación y situaciones cotidianas. Incitar el interés por la investigación. El teorema de Bernoulli se puede aplicar a una gran cantidad de fenómenos físicos relacionados con Hidrodinámica. Entre estos constan dispositivos que han sido diseñados para obtener ciertos parámetros en experimentos de labo-ratorio y en la industria, así como también principios que se derivan de este im-portante teorema. Veremos algunos de ellos: 1.- Si consideramos un fluido en reposo, tal como muestra la figura 6.4.3.1 y aplicamos el teorema de Bernoulli a dos puntos diferentes, tenemos que:

Pero , de tal manera que:

Es decir:

De este modo, la Hidrostática viene a ser un caso particular de la hidrodinámica. Efecto Venturi. Se basa en la aplicación del teorema de Bernoulli y la ecuación de continuidad. Sea un tubo (venturímetro) como el que se muestra en la figura 6.4.3.1 por el que circula un líquido de densidad . Si aplicamos el teorema de Bernoulli a dos puntos si-tuados en la misma línea de corriente, tenemos que:

Por otro lado, aplicando la ecuación de continuidad a los mismos puntos:



De acuerdo al gráfico: De esto se desprende que: y Puesto que:

Tenemos que: De manera general: Que es la ecuación para hallar la velocidad del fluido en cualquier punto del venturímetro, relacionándolo con la velocidad en otro punto. Para medir la velocidad de flujo de un fluido, especialmente gaseoso, se suele colocar un manómetro en la tubería de flujo. El manómetro es llenado general-mente de mercurio, para que la entre las ramas del fluido no sea muy gran-de. Este dispositivo es conocido como tubo de Pitot. Y es el que se muestra en la figura 6.4.3.2

Aplicando Bernoulli y continuidad a los dos puntos, los cuales están a una misma altura, tenemos que:

(1)

(2) Despejando de (2) y reemplazando en (1) encontramos:

Despejando se tiene:



Por otro lado, usando el manómetro para determinar la diferencia de presiones,

Como los puntos están a la misma altura:

Vemos que . Entonces: Luego:

De donde:

Teorema de Torricelli Un caso especial, particularmente importante, del Teorema de Bernoulli, se aplica se aplica a la salida de un líquido por un orificio practicado en la pared del recipiente que lo contiene. Si tenemos un tanque como el que se muestra la figura 6.4.3.3 y queremos cal-cular la velocidad de salida del líquido por el mencionado orificio, Podemos aplicar el teorema de Bernoulli

Como los puntos (1) y (2) están localizados en su-perficies libres del líquido, entonces:

Si tomamos el fondo del tanque como nivel de re-ferencia y si en (1) el líquido está en reposo:

De donde, despejando se obtiene:

Debido al rozamiento viscoso, la velocidad sufre alteraciones que deben ser corregidas multiplicando la ecuación por un factor denominado coeficiente de gasto C el cual depende de la viscosidad del líquido y de la disposición geomé-trica del orificio. Se tiene, entonces:



Esta es la ecuación que define el teorema de Torricelli. A partir de ella se pue-de inferir una ecuación para el caudal de salida del líquido:

Evalúa tu comprensión: Enuncia con tus propias palabras el teorema de Torricelli. ¿Cómo se aplica el efecto Venturi a la medición de caudales en sistemas de agua? ¿Cómo afecta la viscosidad de un fluido a su velocidad de salida por un orificio practicado en el recipiente que lo contiene? Lee, razona y resuelve: Un estanque de agua tiene un pequeño agujero en su costado a una altura h debajo del nivel de agua, por donde sale agua con un flujo de Q lt /min. Calcu-lar: a) la rapidez con la que sale el agua por el agujero, b) el diámetro del agu-jero. La figura muestra una tubería de sección transversal circular, la cual sufre un estrangulamiento en la región 2. Si la diferencia de alturas en el manómetro di-ferencial es de 60 cm, determine la velocidad del agua al salir del estrangula-miento.

Un mosquito que chocó con un tanque cúbico de 8 m de lado lleno de agua le



hizo un agujero en un punto a 4.25 m debajo del nivel superior de agua, por el cual se ha medido un flujo de agua de 60 lt/min. Calcular: a) la rapidez de sali-da del agua, b) el radio del agujero. Taller 6.4.3 Investiga y describe como se aplica el teorema de Bernoulli al vuelo de los aviones. INVESTIGACIÓN 6.4.3.- APLICACIÓN REAL DEL TEOREMA DE BERNOU-LLI Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 6.4.4. VISCOSIDAD Y ROZAMIENTO VISCOSO OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer cómo influye la viscosidad en el movimiento de los fluidos. Relacionarla con el movimiento de los sólidos. Incitar el interés por la investi-gación. La viscosidad es la propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad. La viscosidad, que resulta como efecto combinado de la adhesión y la co-hesión, es lo contrario de la fluidez. Son fluidos muy viscosos el aceite, la miel, etc. Si se considera el movimiento de las partículas de un fluido, las que están en contacto con la pared del recipiente tienen menor velocidad que aquellas que están más alejadas de la pared. Se llama caída de velocidad a la relación entre la diferencia de velocidades en-tre dos partículas y la distancia que las separa:

De modo que para desplazar con velocidad constante una partícula situada en la superficie libre de un líquido viscoso contenido en un recipiente se requiere la acción de una fuerza externa, la cual es proporcional a la velocidad y al área e inversamente proporcional a la profundidad de la columna líquida, es decir:

El coeficiente recibe el nombre de coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad y depende del fluido y de la temperatura. En el SI se mide en . A hora bien, la viscosidad provoca una disminución de presión en el flujo de-ntro de un recipiente o tubería, lo cual provoca a su vez, un cambio en la velo-cidad de salida del fluido de acuerdo al teorema de Torricelli. La ecuación pa-ra el caudal de salida de un líquido viscoso por un orificio se transforma en:



siendo donde H es la altura total perdida por roza-miento viscoso a lo largo del tubo.

Fig. 6.4.4.1

Si analizamos un fluido viscoso en reposo, tal como muestra la figura 6.4.4.1, tenemos que la presión hidrostática se reduce a la expresión:

Siendo la altura a la que alcanza el fluido con respecto a la base del tubo. Comparando con la figura, se obtiene la expresión:

Al observar un cuerpo en movimiento dentro de un fluido viscoso, nos damos cuenta que existen varias vistas o frentes, dependiendo de si el cuerpo se acerca o se aleja de nosotros. Existe un factor geométrico que indica estas vis-

tas el cual se expresa mediante: con lo cual la fuerza de rozamiento vis-coso toma la siguiente forma:

Si analizamos el caudal conducido suponiendo que el tubo sea cilíndrico, ve-mos que la ecuación está dada por:

A continuación exponemos una tabla con los coeficientes de viscosidad diná-mica para algunos fluidos:

SUSTANCIA Pa·s



Aceite de ricino a 20°C 0,986 agua a 0°C 1,792 E-3 agua a 20°C 1,005 E-3

agua a 100°C 2,840 E-4 sangre a 37°C 2,084 E-3 Aire a 20°C 1,810 E-5

Mercurio a 20°C 1,560 E-3

Ejercicio Guía El factor K para el perfil que presenta una bala de pistola de 61 g y 2 es 11 m. Si se la deja caer en un balde de aceite de ricino ¿Qué velocidad límite alcanzará? La expresión que relaciona el perfil con la velocidad límite o final que alcanzará la bala al pasar por el medio viscoso es:

Obteniéndose para la velocidad:

Pero por equilibrio sabemos que: ya que la partícula por el rozamiento viscoso tiende a situarse en reposo a una profundidad determinada. En este caso:

De modo que:

Con estos datos obtenemos v:

Evalúa tu comprensión: Explica con tus propias palabras porque fluye más fácilmente agua por un tubo que aceite por ese mismo tubo. ¿Porque el coeficiente de viscosidad depende de la temperatura? Relaciona la viscosidad con el rozamiento. Expone cuáles son sus semejanzas y diferencias.



Lee, razona y resuelve: Que caudal de agua saldrá por un tubo de 8 cm de diámetro proveniente de un tan-que de 25 m de profundidad si la presión es de 105 678 Pa.

Taller 6.4.4 Indica porque las rodaduras (rulimanes) no engrasados se deterioran más rápido que los engrasados. INVESTIGACIÓN 6.3.5.- APLICACIÓN REAL DE VISCOSIDAD Y ROZAMIENTO VISCOSO Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física:


Integra tus conocimientos:

a) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas ve-ces sea necesario.

→ Continuidad. → Caudal. → Teorema de Bernoulli. → Velocidad de salida de un líquido por un orificio. → Viscosidad. b) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principa-les conceptos tratados en esta unidad. Resuelve las siguientes situaciones: Analizar desde el punto de vista de la Física el siguiente comentario de un accidente (sin víctimas, afortunadamente): “El conductor de la furgoneta de la panadería “EL PANADERO FELIZ” declaró a este corresponsal “vi cómo el poste de teléfonos se estaba acercando y cuando manio-braba para salirme de su camino, choqué de frente”. Como efecto del choque, las puertas traseras se abrieron y las barras de pan salieron disparadas hacia atrás, por lo que al tráfico estuvo interrumpido durante varias horas”. Un avión que vuela a 500 m de altura, con velocidad de 180 km/h, desea dejar caer



un paquete de víveres sobre los náufragos de una isla. Si en el instante del lanza-miento la fuerza del viento comunica al paquete una aceleración de 0,5 m/s2. El pilo-to te pide calcular: a) ¿A qué distancia de la isla debe soltar el paquete? b) ¿Con qué velocidad (vector y módulo) se producirá el impacto? c) ¿Dónde se encontrará el avión en el momento que el paquete impacto contra el suelo? Proyecto LA CAÍDA DE UN CUERPO CON ROZAMIENTO Y SIN ROZAMIENTO Formar equipos de 4 a 6 alumnos, dos o tres estarán en el patio y el resto en el aula. Mide la distancia de la ventana del aula al suelo. Calcula la masa de una hoja de pa-pel y prepara una bola de plastilina de 2 gramos. Comprueba que una hoja arrugada, hecha una bola prieta, cae con aceleración pa-recida a una bola de plastilina de dos gramos. Analiza el tiempo de caída. En la caí-da libre todos los cuerpos caen con una aceleración igual a g, aceleración que es in-dependiente de la masa del cuerpo que cae, del material de que está constituido y de su forma. Esto sólo es rigurosamente correcto cuando se supone que la caída se produce en ausencia de aire o, al menos, cuando el rozamiento se puede considerar despreciable. Comprueba que si tiras una hoja que no está arrugada cae más despacio que una arrugada y hecho una bola. Si se tiene en cuenta el rozamiento que ejerce el aire sobre cualquier cuerpo que caiga en su interior, la aceleración de caída será diferente de un cuerpo a otro, y menor que g. Afecta más a unos cuerpos que a otros. Esto no ocurriría en ausencia de aire o, en general, en ausencia de rozamiento. Deja caer una hoja de papel apoyada en un libro desde una altura pequeña. Com-prueba que la hoja no queda retardada o desacelerada en su movimiento sino que llega al suelo junto al libro.



CONCLUSIONES

La Física es una ciencia puramente experimental la teoría debe ser complementada y comprobada mediante el trabajo práctico.

El método de la investigación despierta en al alumno al espíritu científico, lo cual puede ser provechoso si se combina con el trabajo de razonamien-to.

En la actualidad la educación debe estar basada en el constructi-vismo, ya que permite al estudiante ser el actor principal de su propia educación, po-niendo en juego sus experiencias, capacidades y habilidades para construir y des-cubrir los conocimientos y luego utilizarlos en la resolución de problemas.

La Física exige el trabajo en equipo para potenciar entre los alum-nos la labor mancomunada y el espíritu de cooperación, acciones fundamentales del pensamiento científico

El uso de este tipo de documento hace que la comunicación aser-tiva entre profesor-alumno se incremente debido a que se establece un asesora-miento más cercano y continuo.

Los proyectos y retos ayudan al estudiante a buscar nuevas vías de aplicación y relación de la parte conceptual y procedimental y facilita el desarrollo de la creatividad y la inventiva.

Las situaciones problémicas posibilitan el desarrollo de la creativi-dad, el pensamiento, la inteligencia y el razonamiento.



RECOMENDACIONES

El manejo de este documento se puede complementar con mate-rial informático, para ello existen excelentes trabajos de graduación que contienen animaciones en Modellus, que pueden servir como material de apoyo

Es muy importante y necesario que el maestro que adopte este pro-yecto como material de apoyo tenga amplio conocimiento teórico de la asignatura para poder asesorar a sus alumnos.

Es aconsejable que el estudiante por su cuenta, amplíe y profundi-ce los contenidos utilizando para ello material bibliográfico e informático.

Es vital la complementación práctica traducida a situaciones del quehacer cotidiano con materiales del medio, para que el alumno construya su aprendizaje

Es muy importante que el estudiante revise los temas anteriores y evalúe su comprensión, solo así podrá tener un aprendizaje significativo.

Es recomendable que el alumno tenga un cierto dominio de la ter-minología empleada en la guía como base para aprehender los contenidos teóricos.



BIBLIOGRAFÍA

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