Racionals
-
Upload
mdpastorbailen -
Category
Documents
-
view
442 -
download
12
Transcript of Racionals
![Page 1: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/1.jpg)
Escola Mare del Diví Pastor
AUTOR: José Luis Fernández Sánchez
![Page 2: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/2.jpg)
2.INTRODUCCIÓ
3.FRACCIONS EQUIVALENTS
4.PAS DE FRACCIÓ A DECIMAL
5.FRACCIÓ GENERATRIU
6.NOMBRE MIXT
7.ORDENACIÓ A LA RECTA
8.COMPARACIÓ DE FRACCIONS
9.OPERACIONS COMBINADES
10.POTÈNCIES
11.RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
![Page 3: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/3.jpg)
RECORDA: • Una fracció està formada per un numerador (a dalt) i un
denominador (sota) a a = numerador (quantes parts tenim)b b = denominador (del total de parts que dividim)
Hem dividit en 4 parts per tant el denominador és 4• Si agafem el segment blau la fracció resultant seria 1/4• Si agafem el segment blau i el taronja la fracció resultant és 2/4 • Si agafem el blau, el taronja i el violeta en tindríem 3/4 • Si agafem els quatre segments en tindrem 4/4 . Fixa’t que 4/4 = 1.
Per tant 1 representa tot l’objecte
ÍNDEX
![Page 4: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/4.jpg)
Si agafem un segment la fracció seria 1/4
Si agafem dos segments la fracció seria 2/8
Fixa’t que les dues fraccions representen la mateixa quantitat, llavors diem que són fraccions equivalents
Condició d’equivalència de fraccions:
dbdad
c
b
a··
Exemple: 2/-3 és equivalent a -8/12?
sequivalentfraccionsSón2424)8(·312·212
8
3
2
ÍNDEX
![Page 5: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/5.jpg)
ÍNDEX
• Per passar de fracció a decimal només cal dividir el numerador entre el denominador. Fent això trobem tres tipus de fraccions:
1. Fraccions impròpies : Són fraccions que donen més gran que 1
Exemple: 8/3
8 320 2,666... 8/3 = 2,666... (decimal periòdic pur)
2020
2...
Perquè una fracció sigui impròpia, el numerador ha de ser més gran que el denominador
![Page 6: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/6.jpg)
ÍNDEX
2. Fraccions pròpies : Són fraccions que donen més petit que 1
Exemple: 4/5
4 540 0,8 4/5 = 0,8 (decimal exacte)
0Perquè una fracció sigui impròpia, el numerador ha de ser més petit que el denominador
3. Fraccions iguals que 1 : Són fraccions que donen 1
Exemple: 4/4
4 40 1 4/4 = 1
Perquè una fracció sigui igual que 1, el numerador ha de ser igual que el denominador
![Page 7: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/7.jpg)
ÍNDEX
• Per passar de decimal a fracció (és a dir trobar la fracció generatriu) cal diferenciar tres situacions en funció del tipus de decimal que tenim:
1. Decimal exacte :a. Numerador: escrivim el número sense la comab. Denominador: posem un 1 i tants 0 com xifres decimals tenim.c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible
Exemple : troba la fracció generatriu de 2,24
a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 224b. Denominador: posem un 1 i tants 0 com xifres decimals tenim: 100c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:
Comprova-ho amb la calculadora 56/25 = 2,24
![Page 8: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/8.jpg)
ÍNDEX
2. Decimal periòdic pura. Numerador: escrivim el número sense la coma
li restem el que estigui fora del períodeb. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del períodec. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible
a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 3312li restem el que estigui fora del període 3312 – 33 = 3279
a. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període: 99b. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:
Comprova-ho amb la calculadora 1093/33 = 33,121212...
Exemple : troba la fracció generatriu de 33,1212121212... = 33,12
33
1093
99
3279
99
333312
![Page 9: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/9.jpg)
ÍNDEX
3. Decimal periòdic mixta. Numerador: escrivim el número sense la coma
li restem el que estigui fora del períodeb. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període
posem tants 0 com números hi ha entre el període i la coma.c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible
a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 8452li restem el que estigui fora del període 8452 – 845 = 7607
b. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període: 9posem tants 0 com números hi ha entre el període i la coma: 00
c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:
Comprova-ho amb la calculadora 7607/990 = 8,45222...
Exemple : troba la fracció generatriu de 8,45222222.. =
900
7607
900
8458452
245,8
![Page 10: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/10.jpg)
ÍNDEX
• Un nombre mixt està format per una part entera i una fracció impròpia:
c
ba
1. Pas de fracció a mixt
2. Pas de mixt a fracció
3
15
3
16 Fem la divisió 16/3 dóna 5 i residu 1Enter: és el quocient de la divisió: 5Numerador: és el residu de la divisió. 1.Denominador: Deixem el mateix de la fracció inicial: 3
Enter: aNumerador: bDenominador: c
4
35
4
38
Numerador: fem enter x denominador + numerador8 x 4 + 3 = 35
Denominador: Deixem el mateix de la fracció inicial: 4
![Page 11: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/11.jpg)
ÍNDEX
1. Fraccions pròpies
Ordenarem a la recta una fracció positiva 1/3 i una negativa -3/5
1/3 Es troba entre 0 i 1. Cal fer tres divisions i agafar-ne una-3/5 Es troba entre 0 i -1. Cal fer cinc divisions i agafar-ne 3
Dibuixem la recta numèrica:
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
![Page 12: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/12.jpg)
ÍNDEX
1. Fraccions pròpies
1/3 Dibuixem una recta de 3 cm que parteixi del 0 cap a la dreta.-3/5 Dibuixem una recta de 5 cm que parteixi del 0 cap a l’esquerra.
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
![Page 13: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/13.jpg)
ÍNDEX
1. Fraccions pròpies
1/3 Unim l’extrem del segment dibuixat amb l’1 -3/5 Unim l’extrem del segment dibuixat amb el -1Tracem paral·leles que passin per cada segment dibuixat
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3 -3/5 1/3
![Page 14: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/14.jpg)
ÍNDEX
2. Fraccions impròpies
Anem a situar 5/2 i -7/4 sobre la recta.
Dibuixem la recta numèricaExpressem les fraccions com nombres mixts
2
12
2
5
4
31
4
7Dues unitats i entre el dos i el tres dividim en dues parts i agafem una
Una unitat negativa i entre el -1 i el-2 dividim en 4 parts i agafem 3
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
-7/4 5/2
![Page 15: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/15.jpg)
ÍNDEX
Per comparar fraccions cal que tinguin el mateix denominador. Anem a fer un exemple:
Ordena les següents fraccions de més petita a més gran:
4/3 , - 5/8, 5/6, - 4/5, 6/5, -4/7
Comencem per ordenar els negatius
- 5/8, - 4/5, -4/7
mcm (8,5,7) = 8 · 5 · 7 = 280. Calculem els numeradors fent 280 dividit entre el denominador i multiplicat pel numerador:
- 175/280, - 224/280, -160/280 → -224/280 <-175/280 < -160/280
Per tant quedaria:
-4/5 <-5/8 < -4/7
![Page 16: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/16.jpg)
ÍNDEX
Continuem pels positius
4/3 , 5/6, 6/5
mcm (3,6,5) = 2 · 3 · 5 = 30. Calculem els numeradors fent 30 dividit entre el denominador i multiplicat pel numerador:
40/30, 25/30, 36/30 → 25/30 <36/30 < 40/30
Per tant quedaria:
5/6 < 6/5 < 4/3
Havíem d’ordenar: 4/3 , - 5/8, 5/6, - 4/5, 6/5, -4/7
L’exercici resolt tindria com a solució:
-4/5 <-5/8 < -4/7 < 5/6 < 6/5 < 4/3
![Page 17: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/17.jpg)
ÍNDEX
Recorda:
1. Suma i resta amb el mateix denominador:
Suma:Per sumar nombres racionals amb el mateix denominador, es deixa el mateix denominador i se sumen els numeradors:
–5 + 4 = – 1 Suma de numeradors3 3 3 Mateix denominador
Resta:Per restar nombres racionals amb el mateix denominador, es deixa el mateix denominador i es resten els numeradors:
–5 _ 4 = – 9 = – 3 Resta de numeradors3 3 3 Mateix denominador
![Page 18: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/18.jpg)
ÍNDEX
2. Suma i resta amb diferent denominador:
1) Eliminar la presència de dos signes junts:(menys i menys = més)
–5 _ 4 _ – 1 = –5 _ 4 + 1 =
24 8 12 24 8 12
–5 _ 4 _ – 1 =
24 8 12
2) Calcular el denominador comú i els numeradors:mcm (24,8,12) = 24–5 _ 4 + 1 = –5 _ 12 + 2 =
24 8 12 24 24 24
3) Calculem el resultat final i simplifiquem si es pot:–5 _ 12 + 2 = –15 = –524 24 24 24 8
Recorda24 2 8 2 12 2 12 2 4 2 6 26 2 2 2 3 33 3 1 1124 = 23 . 38 = 23
12 = 22 . 3mcm = 23 . 3 = 24
![Page 19: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/19.jpg)
ÍNDEX
Recorda:
3. Multiplicacions i divisions:
DivisionsPer dividir nombres racionals multipliquem en creu.Abans però es millor simplificar si es pot (es simplifiquen els numeradors entre sí i denominadors entre sí)
–2 : 4 = –1 : 2 = – 7 3 7 3 7 6
Multiplicacions:Per multiplicar nombres racionals , multipliquem numerador per numerador i denominador per denominador. Abans però es millor simplificar si es pot (es simplifiquen els numeradors amb els denominadors )
–2 . 5 = –1 . 5 = –53 6 3 3 9
![Page 20: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/20.jpg)
ÍNDEX
4. Operacions combinades1) Resolem les operacions que estiguin dins d’un parèntesi o claudàtor, de
dintre cap a fora2) Ordre de les operacions:a) Primer potències o arrelsb) Simplifiquem fraccions, multiplicacions i divisions abans d’efectuar-lesc) Resolem multiplicacions o divisionsd) Efectuem sumes i restese) Simplifiquem per obtenir la fracció irreductible
3
8:
5
2
4
1·
5
4·2
3
2
9
1·3·
5
3
3
8:
5
2
4
1·
5
4·2
3
2
3
1·3·
5
32
a) Resolem primer la potència :
Exemple:
3
8:
5
2
4
1·
5
4·2
3
2
3
1·3·
5
32
![Page 21: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/21.jpg)
ÍNDEX
b) Simplifiquem fraccions, multiplicacions i divisions abans d’efectuar-les
3
4:
5
1
4
1·
5
4·2
3
2
3
1·
5
3
3
8:
5
2
4
1·
5
4·2
3
2
9
1·3·
5
3
c) Resolem multiplicacions o divisions :
3
4:
5
1
4
1·
5
4·2
3
2
3
1·
5
3
20
3
4
1·
5
8
3
2
3
1·
5
3
d) Efectuem sumes i restes als parèntesis traient si cal denominador comú i calculant els numeradors
20
2·
5
8
3
1·
5
3
20
3
20
5·
5
8
3
2
3
1·
5
3
20
3
4
1·
5
8
3
2
3
1·
5
3
![Page 22: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/22.jpg)
ÍNDEX
25
4
5
1
5
2·
5
2
1
1·
5
1
20
2·
5
8
3
1·
5
3
e) Simplifico les multiplicacions i després les efectuo
25
9
25
4
25
5
25
4
5
1
f) Traiem denominador comú i efectuem la resta:
![Page 23: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/23.jpg)
ÍNDEX
4
32
53
2
3
2
4
1
4
42
1
2
63
2·
1
1
3
2
4
11
2
13
3
10·
5
1
3
2
Resolem la multiplicació (simplificant primer) i traiem denominador comú per calcular les restes:
Anem a resoldre un castell:
4
11
2
13
3
10·
5
1
3
2
![Page 24: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/24.jpg)
ÍNDEX
Transformem les ratlles de divisió en dos punts de divisió anant de sota cap a dalt i efectuem les divisions simplificant prèviament:
3
103
2
3
2
2
3:
1
53
2
3
2
4
3:
2
53
2
3
2
Tornem a expressar la ratlla de fracció en dos punts de divisió, simplifiquem i calculem la divisió. Per últim calculem la resta traient denominador comú:
15
7
15
3
15
10
5
1
3
2
1
5:
1
1
3
2
3
10:
3
2
3
2
3
103
2
3
2
![Page 25: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/25.jpg)
ÍNDEX
1. Cas general
–3 4= (–3) . (–3) . (–3) . (–3) = 81
2 2.2.2.2 16
–3 5= (–3) . (–3) . (–3) . (–3)·(– 3) = – 243
2 2.2.2.2·2 32Fixa’t: base es negativa i l’exponent senar, resultat negatiu
2. Potència d’exponent 0 i 1
Qualsevol potència elevada a 0 val 1:–1 0
= 13
Qualsevol potència elevada a 1 val ella mateixa:
–6 1= –6
5 5
![Page 26: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/26.jpg)
ÍNDEX
4. Divisió de potències amb la mateixa base
Es deixa la mateixa base i es resten els exponents:
–7 3 : –7 2= –7 1
= – 74 4 4 4
3. Multiplicació de potències amb la mateixa base
Es deixa la mateixa base i se sumen els exponents:
–1 2 . –1 3= –1 5
= – 13 3 3 243
5. Potència d’una potència
Es deixa la base i es multipliquen els exponents:
–1 2
3
![Page 27: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/27.jpg)
ÍNDEX
6. Potència d’exponent negatiu
Es fa la inversa de la funció i es deixa l’exponent positiu:
–5 -2= 2 2
= 4 2 – 5 25
7. Potència d’exponent fraccionari
Es transforma en arrel on el denominador de la potència és l’índex i el numerador és l’exponent:
4
34
3
5
2
5
2
Potència d’una suma o resta
Es calcula la suma o resta i després s’aplica la potència:
100
9
10
3
10
1
10
4
10
1
5
2222
![Page 28: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/28.jpg)
ÍNDEX
1. Comparació de fraccions:
L’Alba diu que ha corregut 4/7 de la cursa del Corte Inglés i la Mar 5/9.Quina d’elles va per davant?
DadesAlba : 4/7 de la cursaMar : 5/9 de la cursaQuina va al davant?
EstratègiaComparar les fraccionstraient denominador comúLa fracció més gran harecorregut més cursa i va perdavant
Resolució
9
5
7
4
63
35
63
36
9
5
7
4i
Resposta
L’Alba va lleugerament per davant. Però no et despistis!!!
![Page 29: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/29.jpg)
ÍNDEX
3. Augments o descomptes
Quan comencen les rebaixes, ens fan un 10% de descompte sobre el preuinicial. Quan ja han passat 15 dies, comencen les segones rebaixes i ens fan unaaltra rebaixa d’un 15% sobre el preu ja rebaixat.a) Quin percentatge de descompte ens fan respecte el preu inicial?b) Si el cost de l’objecte eren 60€, quant haurem de pagar?
ResolucióDescompte 1 10/100 per tant pago
Descompte 2
Descompte =
100
90
100
10
100
100
100
5,13
10000
1350
100
90
100
15de
100
5,23
100
5,13
100
10
€9,451,1460€1,1460100
5,23descomptedede
Resposta El descompte total és 23,5% i pagarem 45,9 €
DadesDescompte 1: 10%Descompte 2 : 15% del nou preu.% de descompte?Quant paguem en 60€?
EstratègiaCalcular el segon descompte respecte el totalSumar els dos descomptesCalcular el descompte en 60€. Restar-li al preu el descompte
![Page 30: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/30.jpg)
ÍNDEX
3. Fraccions del total (competències bàsiques 2012)En l’organització d’una festa s’han format tres grups. El primer grup aportala meitat de les despeses, el segon grup hi contribueix amb les 2/5 parts deles despeses i el tercer grup paga la resta.a) Quina fracció de les despeses aporta el tercer grup?b) Si el segon aporta 40€, quants aporta el primer grup?
DadesGrup 1: 1/2 de les despesesGrup 2 : 2/5 (40€)Grup 3 la restaFracció grup 3?Diners del primer grup?
EstratègiaRestar al total (1) la suma del primer i segon grup.2/5 de les despeses són 40€Calcularé les despeses i després faré 1/2 d’elles.
Resolució
10
9
10
4
10
5
5
2
2
1
10
1
10
9
10
10
€100402
5€40
5
2dedespesesdespesesde
€501002
1de
Resposta El tercer grup aporta 1/10 de les despeses i el primer aporta 50€
![Page 31: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/31.jpg)
ÍNDEX
4. Fraccions del que queda.La Carla surt de casa i es gasta 5/8 del que porta en uns pantalons, i més tard 1/3 del que li queda en una samarreta. Si arriba a casa amb 10 euros, amb quants diners va sortir de casa?
EstratègiaCalcular el que gasta i el que li queda al final de cada compra.Trobar la fracció equivalent a 10 eurosAïllar per trobar els diners inicials
DadesGasta 5/8 en pantalons1/3 del que queda en una samarretaArriba amb 10€Amb quants surt?
Resolució pantalons:Gasta 5/8Li queda 8/8 – 5/8 = 3/8samarretaGasta
Li queda
8
1
24
3
8
3
3
1de
4
1
8
2
8
1
8
3
€40101
410
4
1dedinersdinersdels
Resposta La Carla surt amb 40 euros de casa.
![Page 32: Racionals](https://reader030.fdocuments.es/reader030/viewer/2022020123/5595e13c1a28abbd598b4659/html5/thumbnails/32.jpg)
ÍNDEX
FRACCIONS, FRACCIONS EQUIVALENTS I NOMBRES MIXTS
LAS AVENTURAS DE TRONCHO Y PONCHO(SIN COMENTARIOS)