VII Olimpiada Thales

SoluciónSolución MenúMenú

Racionando:

Determina tres puntos racionales X, Y, Z que verifiquen la siguiente condición:

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

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Solución: Estamos ante una ecuación racional con tres incógnitas X, Y, Z.

La ecuación está formada por tres sumandos y el resultado de la operación es cero (0).

¿serías capaz de determinar, sin hacer cálculos, el signo de cada uno de los sumandos? Piensa un poco.

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

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Solución: Los tres sumandos tienen una estructura muy parecida: una expresión elevada al cuadrado y multiplicada por un número positivo.

Al elevar una expresión al cuadrado, su signo es positivo o cero. Y si la multiplicamos por un número positivo, sigue siendo positiva o nula.

Entonces, tenemos tres expresiones positivas o nulas cuya suma es 0. ¿Cómo es posible esta situación?

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

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Solución: La única solución posible es que cada uno de los sumandos sea cero (0).

Vamos, por tanto, a resolver cada una de las subecuaciones que resultan:

2X + 1 = 0

X - Y = 0

X + Y - Z= 0

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

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Solución:

Para calcular el valor de X, despejamos esta incógnita de la primera ecuación; veámoslo:

2X + 1 = 0

X - Y = 0

X + Y - Z= 0

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

2

1X

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Solución:

Para calcular el valor de Y, sustituimos el valor de X en la segunda ecuación ...

2X + 1 = 0

X - Y = 0

X + Y - Z= 0

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

2

1XY

2

1X

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Solución:

Hallemos por último el valor de Z:

2X + 1 = 0

X - Y = 0

X + Y - Z= 0

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

2

1X

2

1XY

12

122

XZ

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Solución: ... Y ya hemos terminado.

3(2X+1)2 + 5(X-Y)2 + 7(X+Y-Z)2 = 0

Los números buscados son X = , Y = , Z = -1.2

1

2

1