UNIDAD VIII: RADIACION TERMICA

Ley de KIRCHOFF. Ley de PLANCK. Transporte de calor por radiacin.

Introduccin

La temperatura de un cuerpo que esta ms caliente que su entorno tiende a decrecer con el

tiempo, lo que equivale a decir que el cuerpo est desprendiendo energa. Esta prdida de

energa por parte del cuerpo se puede producir mediante los mecanismos de conduccin y de

conveccin, en los que la magnitud del intercambio energtico es proporcional a la diferencia

de temperatura entre el cuerpo y el entorno. Adems estas modalidades de transmisin

necesitan de la presencia de algn medio que se encuentre en contacto con el cuerpo que se

considera. No obstante, si aislamos completamente un cuerpo caliente de cualquier medio que

pueda estar en contacto con l (es decir, hacemos el vaco) podemos comprobar que la

temperatura tambin disminuye con el tiempo y que el cuerpo pierde energa. El tipo de

transmisin de energa registrado en estos casos es completamente distinto al de los dos

anteriores y se conoce con el nombre de "radiacin trmica". Para que un cuerpo pierda

energa por radiacin no es necesario que se caliente. La radiacin trmica forma parte de un

fenmeno ms general, conocido con el nombre de energa radiante.

Existen varias teoras para explicar la transmisin de energa por radiacin. Una de ellas

sostiene que el cuerpo emite "paquetes" o "cuantos" de energa y sirve para explicar el efecto

fotoelctrico, la radiacin trmica, etc. Otra afirma que la radiacin puede representarse por un

movimiento electromagntico ondulatorio; con esta base explica los fenmenos de interferencia

y polarizacin de la luz, etc. En la actualidad se acepta una teora hbrida en la que se asignan

a la vez, a la energa radiante, las caractersticas del movimiento ondulatorio y de la emisin

discontinua.

Todos los cuerpos emiten energa y a su vez la absorben de sus inmediaciones. Cuando se

alcanza el equilibrio trmico, la velocidad de emisin y absorcin son iguales. La materia en

estado condensado (slido o lquido) emite un espectro continuo de radiacin. Este espectro

depende sobremanera de la temperatura. A temperaturas ordinarias, los cuerpos se ven por la

luz que reflejan, no por la que emiten. Sin embargo, a temperaturas altas los cuerpos son

autoluminosos y es posible verlos brillar en cuartos oscuros. Si se eleva uniformemente la

temperatura de un cuerpo caliente, se observa: A mayor temperatura, mayor radiacin trmica

emitida.

Entre ms alta la temperatura, ms alta es la frecuencia de la parte del espectro que radia ms

intensamente; los colores cambian de rojo vivo a rojo blanco a azul. As, se puede estimar

la temperatura de cuerpos incandescentes (estrellas, hierro, etc.) a travs del anlisis de su

espectro o del color principal que es visible. La forma detallada del espectro de radiacin

trmica depende de la composicin del cuerpo que la emite.

Cuando el origen de la radiacin es el calor, la energa se emite en funcin solo de la

temperatura y se denomina radiacin trmica., es la zona del espectro radiante comprendida

entre las longitudes de onda de mx 7101 - a mx 4101 -

En primer lugar, definiremos algunos trminos y conceptos que sean caractersticos de los

problemas de emisin de energa radiante. Nos referiremos principalmente a la radiacin

trmica, aunque algunos de los conceptos sean aplicables a todas las formas de la energa

radiante. En efecto, con frecuencia resulta que los cuerpos emiten varias formas de energa

radiante. Dedicamos este captulo exclusivamente al estudio de la energa radiante de tipo

calorfico.

Poderes Absorbente, Reflexivo y Transmisivo

De la radiacin que incide sobre una superficie, una parte puede absorberse por el cuerpo, otra

reflejarse y una tercera transmitirse a travs del mismo.

Definimos como:

Poder absorbente, a , es la fraccin de la radiacin absorbida . Poder reflexivo, r , es la fraccin de la radiacin reflejada. Poder transmisivo, t , es la fraccin de la radiacin transmitida

En consecuencia se tiene que cumplir que 1=++ tra

La mayora de los slidos son opacos a la radiacin trmica, es decir que su poder transmisivo

es igual a cero. El poder transmisivo y el poder absorbente, dependen del espesor del cuerpo.

Para el caso de cuerpos opacos tenemos:

10 =+= rat

Los gases suelen presentar valores muy elevados de t , en consecuencia tienen muy bajos valores de a y r . En el aire tienen unos valores de a y r prcticamente nulos para la radiacin trmica. Otros gases, especialmente el anhdrido carbnico, pueden ser muy

absorbentes para ciertas longitudes de onda de la radiacin trmica, comprendidas en la banda

de infrarrojo, aunque muy reflectantes o transparentes con respecto a otras longitudes de onda

comprendidas en esta misma banda.

Consideramos solamente el caso de que el poder absorbente y el poder reflexivo dependern

exclusivamente de la temperatura del cuerpo y no de la longitud de onda de la radiacin

incidente.

Emitanca .

La cantidad trmica radiada por unidad de superficie de un cuerpo excitado trmicamente por

unidad de tiempo depende exclusivamente de la temperatura absoluta de dicho cuerpo, de la

sustancia de la que est constituido y de la naturaleza de la superficie. La energa emitida que

abandona la superficie por unidad de tiempo y de rea la denominamos emitanca

La emitanca W est constituida especialmente por la emisin original de la superficie y no incluye ninguna energa radiante, que sea resultado de la reflexin de una radiacin incidente

cualquiera.

Radiacin, Irradiacin

Con el trmino radiosidad, que normalmente se representa por J , indicamos la energa total radiante que abandona una superficie por unidad de tiempo y superficie. Esta radiacin

constar de la emitanca, original procedente de la superficie ms la fraccin de cualquier

radiacin que incida sobre sta.

Con el trmino irradiacin denominamos la energa radiante total que incide sobre una

superficie por unidad de tiempo y de superficie. La designaremos con el smbolo G . La irradiacin se define sencillamente como la radiacin que llega a una superficie sin tener para

nada en cuenta lo que luego suceda. Una parte se absorber y otra, al reflejarse, formar parte

de la radiosidad de la superficie.

De las anteriores definiciones de la emitanca, W ; radiosidad, J , e irradiacin, G , vemos que:

rGWJ += Donde r es el poder reflexivo

Para el cuerpo opaco se cumple que 1=+ ra donde, a , es el poder absorbente ser entonces

( )GaWJ -+= 1

Cuerpo negro

No todas las superficies emiten o absorben la misma cantidad de energa radiante cuando se

calientan a la misma temperatura. Un cuerpo que absorba o emita a una temperatura

determinada la mxima cantidad de energa se denomina superficie negra o simplemente

cuerpo negro. Un cuerpo negro perfecto no existe en la realidad, sino que es un ente ideal que

se utiliza como referencia respecto a otros radiadores. No obstante, existen numerosas

superficies que son cuerpos negros casi perfectos, sobre todo para radiaciones de onda larga,

por lo que para casos prcticos son considerados como tales con suficiente exactitud.

El cuerpo negro es entonces, un cuerpo imaginario que se supone con capacidad para

absorber toda la radiacin trmica incidente; es decir, aquel en el que 1=a y 0=r . Este es el cuerpo "absolutamente negro", o, en otras palabras, un absorbente perfecto de la

radiacin. Se llaman "negros" porque las superficies pintadas de negro suelen presentar

poderes absorbentes muy altos. En la prctica nos podemos acercar bastante a las

propiedades de una superficie negra perfecta empleando un cuerpo negro, digamos esfrico,

ennegrecido en su superficie interior con una sustancia que sea muy absorbente para la

radiacin trmica (por ejemplo, negro de humo). Si practicamos un pequeo orificio, la

radiacin que l penetre se absorber en parte y, en parte, se reflejar. La fraccin reflejada

incidir sobre otra zona de la superficie interna y tambin se absorber y reflejar en parte, y

as sucesivamente. Por consiguiente, nada o prcticamente nada, de la radiacin incidente se

escapar por el orificio por el que penetr, por lo que el plano del orifico se comporta como un

cuerpo negro perfecto con respecto a la radiacin que incide sobre l.

Cuerpo gris

Cuando una superficie conserva constantes sus propiedades cromticas en todo el espectro se

denomina superficie gris. Este es un concepto terico, pero que se puede aplicar con

resultados suficientemente exactos para superficies con propiedades relativamente uniformes.

Llamamos "cuerpo gris" o emisor gris a un tipo especial de superficie no negra en el que el

poder emisivo monocromtico es independiente de la longitud de onda de la radiacin emitida,

en el que la emisin del cuerpo gris en funcin de la longitud de onda ( )lW y la emisin del cuerpo negro ( )lWn dan el mismo cuociente para todas las longitudes de onda de las radiaciones emitidas a la misma temperatura. Esta definicin de cuerpo gris no elimina la

posibilidad de que el poder emisivo dependa de la temperatura de la superficie emisora. Las

caractersticas de superficie gris la poseen en grado bastante elevado ciertos materiales, como

la pizarra, etc. Adems, empleando el valor medio del poder emisivo tomado a lo largo de toda

la banda de longitudes de onda es posible representar una superficie no gris como si lo fuera.

Si llamamos poder emisivo de una superficie gris, e considerando que depende slo de la temperatura del emisor, la emitanca de una superficie gris ser:

neWW =

El suponer que el poder es independiente de la longitud de onda de la emisin determina que

la curva de distribucin de la emitanca monocromtica para un cuerpo gris pueda ajustarse a

la de una superficie absolutamente negra a la misma temperatura, sin que se registre un

desplazamiento del mximo de la curva.

Cuerpo real

Los cuerpos reales son los que tienen unos niveles de distribucin de energa complejos,

hallamos habitualmente que la radiacin no est distribuida como la del cuerpo negro, ya sea,

con respecto a la longitud de onda o con la direccin de la emisin. Sin embargo, por razn de

sencillez, empleamos a veces el cuerpo negro como un patrn para representar en relacin con

l, las propiedades generales de un cuerpo. De esta forma podemos asignar al cuerpo una

emisividad global, e , de forma que a la temperatura T , emita una fraccin e de la energa emitida por el cuerpo negro a esa temperatura.

Asignamos a un cuerpo las propiedades de reflexin, r , de poder de absorcin, a , y transmisin, t , en tal forma que si una radiacin de intensidad P incide sobre l, las proporciones en que se refleja la energa ser rP , en que se absorbe aP y transmite tP , Todas las cuales varan entre cero y uno para los cuerpos reales.

Estas propiedades de radiacin, varan mucho segn los cuerpos y, lo que es ms importante,

varan con la longitud de onda de la radiacin para un cuerpo dado. Esta dependencia de la

longitud de onda, es por supuesto debida al carcter del proceso absorcin-emisin. Esto se

puede representar muy bien expresando las propiedades en trminos de la temperatura del

cuerpo (para la temperatura de la fuente de la radiacin incidente, y por lo tanto de su longitud

de onda (para las otras propiedades).

Caractersticas radiantes de los materiales

Los materiales reales intercambian radiacin trmica con su entorno en funcin de las

caractersticas de su superficie entre otros parmetros. En trminos generales hay que

distinguir dos aspectos del fenmeno, ya que la superficie es al mismo tiempo emisora y

receptora de radiacin trmica.

En el primer caso, la energa que emite una superficie depende de la temperatura absoluta T de la superficie y de la emitanca W , podemos definir como el coeficiente de emitanca a la razn entre la energa eQ emitida por la superficie y la energa nQ que emitira un cuerpo negro a la misma temperatura.

n

e

QQ

=e Se denomina flujo de radiacin Q la radiacin total que emite o recibe una

superficie en todas direcciones, y se define como la energa que pasa por un plano imaginario

por unidad de tiempo y de superficie y en todas las direcciones en un lado del plano,

equivalente a la radiacin hemisfrica.

Ley de Kirchhoff

Una propiedad espectral fundamental se deduce de la Ley de Kirchhoff, que determina que si

un cuerpo est en equilibrio termodinmico con su entorno, su absorbancia coincide con su

emitancia:

Ley de Stefan Boltzman

En 1879 , Josef Stefan (1835-1893) propuso la dependencia de la potencia de radiacin o

ritmo de emisin de energa electromagntica con la temperatura elevada a la cuarta

potencia a partir del anlisis de los datos experimentales. Cinco aos ms tarde Ludwig

Boltzmann obtuvo la ley tericamente partiendo de valores experimentales. Sugiri que la

emitancia de una superficie, W , es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. Ms tarde, Boltzman aplic los conceptos del ciclo de Carnot, considerando la

energa radiante como medio operatorio, y obtuvo la misma relacin por va analtica.

Como el cuerpo negro perfecto, ya definido, tiene un comportamiento nico y caracterstico, es

conveniente emplearlo como base para representar la proporcionalidad indicada en las

observaciones de Stefan Boltzman.

Ley de Stefan Boltzman para la radiacin del cuerpo negro es: 4ATeW s= donde e es la emisividad del cuerpo, siempre ser 10 e ,

cuando 1=e , estamos en el caso del cuerpo negro

mKW810*67,5 -=s es la constante de Stefan-Boltzmann

La radiacin que emitira un cuerpo negro puede aproximarse con la precisin deseada por la

radiacin emitida a travs de un agujero pequeo practicado en una cavidad (que est a una

temperatura inferior a la temperatura de fusin del material que forma las paredes de la

cavidad).

En cada una de las reflexiones en su interior se absorbe una parte de la luz, y despus de

las mltiples reflexiones, toda la energa que penetr por el orificio ha sido virtualmente

absorbida, de esta forma, el orificio de la cavidad se comporta como un cuerpo negro ideal.

Por tanto, la luz que sale por el agujero de la cavidad es una radiacin de cuerpo negro.

La emisividad y la potencia irradiada por un cuerpo negro, o por el agujero de la cavidad,

son independientes del material que forma sus paredes interiores

.

La potencia dada por la ley de Stefan Boltzman Ecuacin incluye todas las frecuencias.

Veremos e cmo se distribuye la radiacin emitida por un cuerpo negro en funcin de la

frecuencia. Esta dependencia resulta universal, esto es, igual para todos los cuerpos negros.

Esta caracterstica de la interaccin de la luz con la materia constitua uno de los problemas

irresolubles mediante la fsica clsica y su solucin ayud al desarrollo de la teora cuntica.

Ley de Wien

La ley del desplazamiento de Wien afirma que el mximo de la intensidad de la radiacin

trmica emitida por un cuerpo negro ideal se desplaza, con el aumento de la temperatura,

hacia la regin de longitudes de onda ms corta. La ley de Wien dice: " El producto de la

temperatura absoluta de un cuerpo negro por la longitud de onda para la cual la radiacin

emitida es mxima, es igual a una constante". Tenemos:

KmxT 03max 10898,2-=l

La ley de Wien se utiliza para determinar las temperaturas de las estrellas, a partir de los

anlisis de su radiacin. Se usa tambin en la termografa, que muestra variaciones de

temperaturas en diferentes regiones de la superficie de un objeto, permitiendo detectar, por

ejemplo, cncer, ya que los tejidos cancerosos tienen una temperatura levemente mayor a los

sanos de su alrededor.

Radiacin de una cavidad

La radiacin electromagntica que existe dentro de una cavidad es una mezcla de ondas

estacionarias. Anlogamente a las ondas estacionarias en una dimensin que deben poseer

una longitud de onda proporcional a la longitud de la cuerda que las sustenta, las ondas

estacionarias en tres dimensiones poseen frecuencias, v , que se ajustan a la cavidad. La energa electromagntica se distribuye entre esas ondas estacionarias, de forma que a cada

temperatura, T , la radiacin est en equilibrio trmico con las paredes de la cavidad. Esta distribucin de energa puede determinarse mediante el anlisis de la luz que emerge de un

pequeo orificio o abertura practicado en la pared de la cavidad.

Como este orificio es equivalente a un cuerpo negro, la potencia irradiada a travs del

agujero es 4ATP s= , donde A es el rea de la abertura. La potencia irradiada por

unidad de superficie de la abertura, o sea la irradiancia, APR = .

De igual forma, la irradiancia espectral, vR , es la potencia irradiada por unidad de superficie y frecuencia. Podemos considerar que el producto dvRv es la potencia irradiada por unidad de rea para las frecuencias comprendidas entre v y dvv + .

La irradiancia espectral vR , sumada o integrada a todo el rango de frecuencias posibles, nos da la irradiancia total

dvRR v

=0

El la figura siguiente se muestra la dependencia de la irradiancia con la frecuencia para dos

temperaturas distintas.

Observar las siguientes caractersticas generales:

1. Para una temperatura dada, la irradiancia espectral posee un nico mximo.

2. Si se aumenta la temperatura, la irradiancia espectral aumenta para todas las

frecuencias o longitudes de onda.

3. La longitud de onda a la que se produce la mxima irradiancia espectral, disminuye (la

frecuencia aumenta) al aumentar la temperatura.

Cualquier teora que describa la interaccin de la luz con la materia debe explicar adecuadamente tanto estas caractersticas generales, como la forma detallada de la dependencia de la irradiancia espectral con la frecuencia. Los intentos de explicar la radiacin de una cavidad usando la fsica clsica no tuvieron xito.

Teora clsica de la radiacin

A principios de 1900, Lord Rayleigh (1842-1919) y Sir James Jeans, (1877-1946), presentaron

un modelo clsico de la densidad de energa de la radiacin de cavidad (cuerpo negro). La

teora, iniciada por Lord Rayleigh y modificada posteriormente por Jeans usaba la

equivalencia matemtica entre una onda estacionaria y un oscilador armnico.

Suponga una pieza metlica que contiene una cavidad, calentada uniformemente a

temperatura T . Los electrones de las paredes se agitan trmicamente y emiten radiacin

electromagntica dentro de la cavidad. En la cavidad se establece y se mantiene un equilibrio

trmico mediante la absorcin y re-radiacin de la energa por las paredes.

Rayleigh y Jeans demostraron que la radiacin dentro de cada cavidad de volumen V consta

de ondas estacionarias con nodos en las paredes: calcularon el nmero de ondas

estacionarias para un intervalo de frecuencias

La irradiancia, que es proporcional a la energa por unidad de volumen en la cavidad, debe

ser proporcional al producto del nmero de modos por unidad de volumen y la energa media

por modo.

Este razonamiento nos conduce a la frmula de Rayleigh-Jeans, 222

ckTvRv p= .

La frmula de Rayleigh-Jeans est de acuerdo con la experiencia slo a bajas frecuencias; a

frecuencias altas claramente es errnea porque aumenta (como 2v ) sin alcanzar un

mximo.

El aumento montono con la frecuencia de la frmula de Rayleigh-Jeans se denomin la

catstrofe ultravioleta. Al comparar la ltima ecuacin con los resultados experimentales

queda de manifiesto un error en la teora clsica. Esta ltima predice una energa infinita, lo

que difiere del resultado experimental.

Ley de la radiacin de Planck

En 1900 Max Planck (1858-1947) present una frmula que describa la distribucin en

frecuencias de la radiacin de un cuerpo negro. Para conseguir las bases fsicas de su

frmula, Planck hizo algunas propuestas que en su momento fueron calificadas de

infundadas y extremadamente radicales. Estas propuestas pueden resumirse en los

siguientes puntos:

1. Un oscilador (incluido un modo de vibracin estacionario) de frecuencia v , slo puede cambiar su energa en mltiplos de una cantidad discreta denominada cuanto

de energa, hvE =D donde h es la constante de Planck.

2. La energa de un oscilador est cuantizada, esto es, su energa est restringida a

uno de los valores hvnEn *= donde el nmero cuntico n es un entero. Planck fue capaz de demostrar que aceptando los principios anteriores de cuanti-

zacin, la energa promedio por oscilador de un conjunto de osciladores de

frecuencia v a la temperatura T est dada por:

[ ]

1-=

KThv

e

hvE

La constante h que relaciona la energa y la frecuencia, constante de Planck, est considerada como una constante fundamental de igual forma que lo son la velocidad de la

luz, c o la carga del electrn, e . El valor ms reciente de la constante de Planck es:

segJh *10*626076.6 34-=

Usando la ecuacin anterior para la energa promedio de un modo de vibracin estacionario

de la cavidad e incorporando el nmero de modos de vibracin por unidad de volumen

anterior, obtenemos la ley de la radiacin de Planck para la irradiancia espectral de la

radiacin de un cuerpo negro:

-

=1

22

3

KThvv

ec

hvR

p

Esta expresin explica todas las caractersticas de la radiacin de un cuerpo negro,

incluyendo la ley de Stefan-Boltzmann.

Lo radical en la hiptesis de Planck es que la energa de un oscilador est cuantizada, y que

la energa slo puede poseer valores discretos y no un valor intermedio. Para un oscilador

mecnico o elctrico clsico, la energa es una variable continua. Es decir, si la energa est

cuantizada, la amplitud slo podra tener valores discretos. Nadie haba observado esta

cuantificacin de la amplitud de un oscilador. La energa y la amplitud de los osciladores de

tamao ordinario parecen comportarse como una variable continua. Esto es debido a que los

valores cuantizados son muy prximos unos a otros debido al valor tan pequeo de la

constante de Planck.