GUIA DE RADICALES

Radicación: Es la operación inversa de la potenciación.

Llamamos raíz n-ésima de un número dado “a” al número “b” que elevado a “n” nos da “a”

⇔ nn a = b a = b

Donde:

n: Índice de la raíz.

a: Cantidad sub-radical.

: Radical.

Operaciones con Radicales

Extracción de factores fuera del radical.

Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical

contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical, para ello debemos tomar en

cuenta la siguiente propiedad:m

n mna a= .

Ejemplos:

22 2

2

3 6 123 36 12 3 6 12 2 43 3 3

4 2 2 2

8 2 *3 2 3

8* * 2 * * 2 * * 2* *a b a b a b a b

= = =

= =

= = =

Introducción de factores dentro del radical.

Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical;

se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice

de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical

si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejemplos:

*n nna b a b=

( ) ( )

2

3 3 3 32 2 6 3 4 73 3

5 *5

* * * ( * ) * * * *

a a

b a a b b a a b b a a b a b

=

= = =

Conversión de radicales al mínimo común índice.

Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice.

Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada

cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada

radical.

Ejemplos:

3 62 ; 3 ; 5

1) Los índices son 2, 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.

El m.c.m es 6

2) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.

6/2=3, 6/3=2, 6/6=1

Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los

índices.

6 63 2 62 3 5

3) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.

6 6 68 9 5

Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad

sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.

Ejemplos:

2 7 35, 5, -2 5, 5

3 2 4−

Suma y resta de radicales.

Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego

verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus

coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes

con su propio signo si los hubiera.

Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales

son únicamente semejantes.

Ejemplos:

a) 1 1 1 15

5 3 5 5 5 3 5 8 5 * 52 2 2 2

+ − = + − = − =

b) ( )− = − = − + = + − = −2 245 27 + 20 3 * 5 27 + 2 * 5 3 5 27 2 5 3 2 5 27 5 5 27

c)

− = −

− = −

− = + −

− =

6 2 6 2 6 2 6 2 5 6 2 6 25 5 5 55 5

6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 25 5 5 55 5

6 2 6 2 6 2 6 25 5 55

6 2 6 2 6 2 6 25 55

2 1 2 1x y + 3 32x x y + 3 2 x

5 4 5 4

2 1 2 1x y + 3 32x x y + 3*2 2x

5 4 5 4

2 1 2 1x y + 3 32x 6

5 4 5 4

2 1 123x y + 3 32x

5 4 20

y x y y x y

y x y y x y

y x y x y

y x y x y5

Multiplicación de radicales.

Caso I: Multiplicación de radicales del mismo índice: se multiplican previamente los signos,

luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-

radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se

extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

n n na · b = a·b

Ejemplos:

a) 3 36 3 23 3 364* 27 64 * 27 2 * 3 2 *3 12= = = =

b) 55 10 5 10 25 55 5* * * *x y z x y z x y z= =

Caso II: Multiplicación de radicales compuestos de distinto índice: primeramente se

reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran

radicales del mismo índice.

Ejemplo:

a) 3 2 2 26 4*x y x y m.cm (6,4)=12, por lo tanto:

3 2 3 2 2 6 46 6*2 12( )x y x y x y= = y 3

2 2 2 2 6 64*34 12( )x y x y x y= = multiplicamos ahora las

expresiones halladas:

( ) ( )6 4 6 6 6 4 6 6 10 12 101212 12 1212* *x y x y x y x y x y y x= = =

División de radicales.

Caso I: División de radicales del mismo índice: se dividen previamente los signos,

luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las

cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas

dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Matemáticamente es:

n

n

n

a a =

bb

Ejemplos:

a)2 44 2

2 2 2

525 5

24 2

yy y

xx x= =

b) 33 3 3

39 33 93

4 4 4

27 33

x x x

y yy= =

Caso II: División de radicales de distinto índice: primero se reducen los radicales al

mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.

Ejemplo:

a) 2 24

3 26

x y

x y m.cm (6,4)=12, por lo tanto:

2 2 3 6 6 6 64*3 1221212

6 43 2 2 6 46*2 12

( )

( )

x y x y x yy

x yx y x y= = =

Raíz de una raíz: Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de

ambos. Matemáticamente es:

n m n·ma = a

Ejemplos:

a) 10 20 10 20 25 10x y x y xy= =

b) 12 8 6 12 8 6 12 2 6 2 23 6 6 664 2 2 2x y x y x y y x y y= = =

Racionalización: Consiste en convertir expresiones de denominador irracional en

expresiones equivalentes de denominador racional.

Caso I: cuando el radical es una raíz cuadrada.

Ejemplos:

a)2

3 3 5 3 5 3 5*

55 5 5 ( 5)= = =

b)( )

2 2

2

x x ax x ax x ax ax

ax aax ax ax ax

= = = =

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la

fracción por el factor racionalizador del denominador, en éste caso por sí mismo.

Caso II: cuando el radical tiene índice diferente de dos.

Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el

radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la

cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el

exponente de la cantidad sub-radical.

Ejemplos:

a)8 8 8 85 5 5 5

8 8 8 8 8 83 3 5 5 3 3 5

6 6 6 6 6x x x x

axa x a x x a x x a x x= = = =

b)7 7 7 74 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5

7 7 7 7 73 4 2 3 4 2 4 3 5 4 3 5 3 4 2 7 7 7

x x x a b c x a b c x a b c x a b c

abca b c a b c a b c a b c a b c a b c= = = =

Caso III: Cuando se tiene una suma o resta en el denominador, pudiendo ser esta un

binomio.

Se debe multiplicar por la conjugada el denominador y el denominador, siendo la

conjugada la expresión que esta en el denominador pero cambiando el operador suma o

resta.

Ejemplo: La conjugada de 3+ x es 3- x

Ejemplos:

a)( )2

1 1 4 3 4 3 4 3 4 3

16 3 134 3 4 3 4 3 16 3

+ + + += = = =

−− − + −

b)2

(2 3) 5(2 3)5 5 2 3 2 13 15

4 92 3 2 3 2 3 (2 ) 9

x x xx x x x x

xx x x x

− − −− − − − += = =

−+ + − −

Guía de Ejercicios

1-. Simplificar:

10 1530

12 6 18

6 9 12 2

15 310 15 20 2

4

6 3

9 3

8

12

4 2 4

32 2

64 2

343 7

9 3

4 2

27 3

16 2

3 64 3 2

25 5

x y xy y

m n n mn

a x ax a

m n x nx m x

a b ab

1. R.

2. R.

3. R.

4. R.

5. R.

6. R.

7. R.

8. R.

9. R.

10. R.

11.6 32 4 2

4 88

5 49 5 7

81 3

a b ab

x y y x

R.

12. R.

2-. Multiplicar:

3 33

1 2 14 21 62 7

12 9 3 4

3 6 3 2

5 21 2 3 30 7

5 12 3 75 450

3 6 14 2 35 84 15

×

×

×

×

×

× ×

1. R.

2. R.

3. R.

4. R.

5. R.

6. R.

3-. Simplificar:

80 2 252 3 405 3 500 5 12 7

7 450 4 320 3 80 5 800 5 2 20 5

45 27 20 5 3 3

175 243 63 2 75 2 7 3

1 1 3 1 12 18 48 72 4 32 3 4 6

3 2 1 176 45 320

4 3 8

− + − −

− + − −

− − −

+ − − −

− + +

− +

1. R.

2. R.

3. R.

4. R.

5. R.

6.

( )

2 2

2 2 2 2

2

1275 4 11 5

5

1 1 3 5 1 3 2

3 2 4 6 2

1 5 1 2 700 15 4 56 12 7

45 16 7

25 49 9 2 7

2 9 16 4 2

320 7 5 4 5

ax b ax x a b

m n m n mn mn n m m n

a x a x a b

+ −

− + −

− + −

+ − +

− + − −

− − −

R.

7. R.

8. R.

9. R.

10. R.

11.

4 4 2 4 4 2

3 33 3 3

3 3 3 3 3

33 3 3

4 5

9 9 4 4 5 1 0

2 3 9 27 25 75 4 3

54 24 16 2 2 3

40 1029 625 7 3 3 5

2 250 4 24 6 160 2187

x b x

x x x

a x ya y a x y a x a y a x y

− + − − −

+ − + + + +

− − −

+ − −

− − +

R.

12. R.

13. R.

14. R.

15. R.

16.33

3 3 3 3 3 3

33 3 3 3

3 33 3 3 3

3 33

3 2 2

5 48 3 3645 2 384 4 1715 2 6 5

81 3 375 686 2 648 7 2

1 2 3 1 24 54 375 128 4 3 3 2

2 3 5 4

1 1 2

4 3 27

−

− − + +

− + +

− + − −

+ −

R.

17. R.

18. R.

19. R.

20.3 31 1

2 96 3

+R.

4-. Multiplicar:

3 2 6

4 43 2

62 5 3 23 6

3 4 122 2 3 5 11

62 3 2 10 94 12

3 52 4

2 4

3 2 4 8 24 2

9 81 3 9

2 3 2 27

25 125 5

2 3 4 16

3 4

x x x x

ab a a ab

x y x x x y

a b a b a a b

x y x x y

m m n

×

×

×

×

×

×

1. R.

2. R.

3. R.

4. R.

5. R.

6. R15 7 3

3 2 6

128

1 1 8

2 2

m m n

x xx×

.

7. R.

5-. Dividir:

2 3

3 35 2

4 6 2 3 2 2

1 2 3a 10 3

5

1 3 2 3 3

2 4 3

75 5 3

3 3 16 4 2

2

5 1 10 2 1 3

6 2 3 3 8

a

xy x y

x y xy y x

aa a

÷

÷

÷

÷

÷

÷

1. R.

2. R.

3. R.

4. R.

5. R.

6. R.

6-. Dividir:

6 64 5

3 6

3 62 5

3 643 2 3 2

1 1 1 2 16 32

2 4

1 2 2 32

2

1 9 3 81

8 4 8

x x xx

x x xx

a b a a b

÷

÷

÷

÷

1. R.

2. R.

3. R.

4. R.

3627

23

3425

19

522

532

57

527

52

52

34

325

21

23

4

4

22

22

1

1

−

−

+

−

−

+

+

−

−

+

+

−

−++

−−+

++

−+

−+

++

++

+−

baba

baba

aa

aa

x

x

aa

aa

7-. Racionalizar:

4 3

4

3 23

33 2

3 2

3

2 1 3 1 2 9

2ax 9

5 5 6 2 2 9

2a 55 34

1 1

3 39

aax a

x aa

a xxxa

xxx

7. R. 10. R.

8. R. 11. R.

9. R. 4 2

4 2

x 1 3

327x

x12. R.

8-. Racionaliza el denominador de:

2

2

2 2

2 2 1

4 2 2 4

2 4

2

4 2 5

2 3

2 10 7

3

17 3 35

2

19 7 10

3

95 2 76 3

2

9 6 21

5

a a a

x x

x

a a a

a a b

b

+ − −

+ + +

+ − +

− −

−

+

−

+

−

+

+−

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.5 4

2

1a

a

R. mnm

n

3

5

R.4 25

25

1x

ax

R. 33

1

R. 22

5

R. 520

3 54

3

2

5

3

1

255

1

3

5

8

1

4 3

2

5 4

xa

mn

n

a

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

9-. Efectuar:

1. 3 32 1024 2000− R. 36 2

2. 3 33 189 6 448+ R. 333 7

3. 3 3 32 3 2 5 2+ + R. 3

9 2

4. 3 324 81+ R. 35 3

5. 3 3 32 48 432 384+ − R. 36 2

63 316 250+ R. 3

7 2

7. 3 3648 1029+ R. 313 3

8. 3 3 340 1715 320+ + R. 313 5

9. 3 31 116 250

2 3+ R. 38

23