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Material del docente 1 Identificación de propiedades de triángulos.

Grado 10 Título del objeto de aprendizaje

Matematicas - Unidad 2

La trigonometría, un estudio de la medida del ángulo a través de las funciones.

Identificación de propiedades de triángulos.

Recursos de aprendizaje relacionados (Pre clase)

Grado: 7° UoL_2: Conozcamos otros sistemas de medidas, el sistema internacional y el sistema inglés. LO_4: Interpretación de la medida del área de un figura inmersa en un contexto Recurso:

Grado: 8° UoL_4: El triángulo: un polígono con propiedades especiales. LO_4: Identificación de una propiedad particular de los triángulos rectángulos presente en el teorema de Pitágoras. Recurso:

Grado: 9° UoL_2: Descubriendo medidas a partir de la forma. LO_5: Interpretación de situaciones por medio del teorema de Pitágoras.LO_6: Resolución de problemas relacionados con el teorema de Thales y el teorema de Pitágoras.Recurso:

Útiles necesarios para esta clase:• Regla o escuadra (milimetradas)• Transportador• Calculadora, si se tiene; si no, ponerse de acuerdo con un compañero o

el docente para que se le preste en clase.

Objetivo de aprendizaje • Reconocer propiedades que satisfacen ciertos triángulos rectángulos especiales.

• Identificar las propiedades de los triángulos isósceles.• Reconocer el teorema 30-60-90 y sus relaciones de medida.• Utilizar el teorema de Pitágoras para realizar mediciones.


Habilidad / Conocimiento (H/C)

[SCO] Reconoce el teorema del triángulo isósceles.[H/C] - 1: Identifica triángulos que poseen lados de igual medida.[H/C] - 2: Identifica triángulos que poseen ángulos de igual medida.[H/C] - 3: Encuentra características métricas que poseen los triángulos isósceles rectángulos.[H/C] - 4: Reconoce las hipótesis que plantea el teorema del triángulo isósceles y su recíproco.[H/C]- 5: Soluciona situaciones geométricas utilizando el teorema del triángulo isósceles.[SCO] Identifica el teorema 30-60-90 [H/C] - 6: Reconoce la relación de razón constante entre la hipotenusa y un cateto.[H/C] - 7: Identifica las relaciones de medida entre los ángulos y los catetos del triángulo.[H/C] - 8: Construye triángulos 30-60-90 usando la relación de medidas entre sus lados.[SCO] Reconoce el teorema de Pitágoras [H/C] - 9: Reconoce la hipotenusa como el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo.[H/C] - 10: Interpreta el teorema de Pitágoras en la solución de problemas.[H/C] - 11: Soluciona situaciones de medición que involucran triángulos rectángulos.[H/C] - 12: Argumenta el procedimiento empleado en la solución de problemas.

Fjujo de aprendizaje

1. Introducción: • Triángulos del amor. [H/C 1 - H/C2] 2. Objetivos de aprendizaje.

3. Contenido 3.1 Actividad 1: Isósceles. [H/C 1 - H/C 2 - H/C 4] 3.2 Actividad 2: Caracterizando triángulos isósceles rectángulos. [H/C 1 - H/ C2 - H/C 3] 3.3 Actividad 3: Caracterizando triángulos 30°-60°-90°. [H/C 6 - H/C 7 - H/C 8 - H/C 9] 3.4 Actividad 4: Hipotenusa: el mayor. [H/C 9] 3.5 Actividad 5: Solucionando triángulos. [H/C 5 - H/C 10 - H/C 11 - H/C 12]

4. Resumen: Analizando propiedades de los triángulos.

5. Tarea.

Lineamientosevaluativos

Los estudiantes, a través de la observación y del análisis de las medidas de las magnitudes de los lados y ángulos reconocen las características de los triángulos rectángulos e isósceles; del Teorema de Pitágoras y la resolución de situaciones problema que involucren el uso de este.


Etapa Flujo de aprendizaje

Recursos recomendados

Enseñanza /Actividades de aprendizaje

Video

Triángulos del amor.

[H/C] - 1: Identifica triángulos que poseen lados de igual medida.[H/C] - 2: Identifica triángulos que poseen ángulos de igual medida.

El docente presenta un video en el cual se narra sobre la correspondencia, descripción o caracterización de triángulos en objetos reales en el mundo.

Para cada fotografía presentada, se muestra el bosquejo del triángulo y el tipo de triángulo que describe.

Los tipos de triángulos presentados son:

Por sus lados• Equilátero• Isósceles• Escaleno

Por sus ángulos• Rectángulo• Acutángulo• Obtusángulo

El propósito de esta actividad es que el estudiante recuerde los tipos de triángulos y se familiarice con ellos, para poder así enfrentarse a las propiedades nuevas presentadas en este objeto de aprendizaje.

Después de ver el video, se propone una actividad para realizar en conjunto (estudiantes-profesor) en el material del estudiante. Debe identificarse en el entorno figuras con forma de triángulo. Luego se realizará su respectivo boceto (o fotografía) teniendo en cuenta que en él sea posible establecer congruencia de ángulos y de segmentos. El objetivo es que sea posible seleccionar las “mejores” 7 figuras, de tal forma que haya una por cada tipo de triángulo.

IntroducciónIntroducción





Recurso Interactivo.

Texto.


Objetivos de aprendizaje

El docente, en compañía de los estudiantes, escribe los objetivos a los que creen que se debe llegar. Luego, el profesor presenta los objetivos propuestos para este objeto de aprendizaje. El docente puede explicar los objetivos si lo cree necesario y/o conveniente.

Actividad 1:Isósceles.

[S/K] - 1: Identifica triángulos que poseen lados de igual medida.[S/K] - 2: Identifica triángulos que poseen ángulos de igual medida.[S/K] - 4: Reconoce las hipótesis que plantea el teorema del triángulo isósceles y su recíproco.

El docente presenta un recurso interactivo en el que se puede seleccionar uno de cuatro tipos de triángulos isósceles, ya sea:

1. Isósceles Acutángulo2. Isósceles Rectángulo3. Isósceles Obtusángulo 4. Isósceles Equilátero

Al seleccionar uno de estos, se presenta una fotografía en la cual se encuentra demarcado el triángulo en estudio. Además, se permite desplazar uno de los vértices de los ángulos congruentes hasta el otro vértice del ángulo congruente, validando así la congruencia existente. De esta forma el docente, validará en conjunto con los estudiantes, la hipótesis que plantea el Teorema del triángulo isósceles y su recíproco: “Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados son congruentes.”

El estudiante encontrará en el material del estudiante todas las imágenes presentadas y deberá medir los lados y los ángulos de cada uno de los triángulos isósceles descritos. Luego, deberá completar la siguiente

Objetivos

El docente preparael tema

Objetivos

Contenido



afirmación: “Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados son congruentes.”

Después de analizar la afirmación anterior, se espera que de la misma forma le sea posible al docente confrontarla con su recíproca: “Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a esos ángulos también son congruentes.”

El propósito de esta actividad es que el estudiante, a partir de la observación y la medición de las magnitudes de los lados y los ángulos de triángulos descritos en ilustraciones reales, identifique las características de los triángulos isósceles. De igual forma, valide la hipótesis que plante el Teorema del triángulo isósceles y su recíproco.

Actividad 2: Caracterizando triángulos isósceles rectángulos.

[H/C] - 1: Identifica triángulos que poseen lados de igual medida.[H/C] - 2: Identifica triángulos que poseen ángulos de igual medida.[H/C] - 3: Encuentra características métricas que poseen los triángulos isósceles rectángulos.

El docente presenta un recurso interactivo que permite modificar las dimensiones de un triángulo isósceles rectángulo. Se presenta en pantalla las medidas de los dos catetos y de la hipotenusa, que se modifican al desplazar uno de sus vértices. Los ángulos internos son fijos (45-90-45 grados), es decir, que todos los triángulos posibles son semejantes.

El docente realiza a los estudiantes las siguientes preguntas, con base en la imagen presentada en pantalla.

1. ¿Qué característica identificas en las





medidas de los ángulos internos y de los catetos de los triángulos isósceles rectángulos presentados?

2. Con 10 valores diferentes de l y h (para un mismo triángulo isósceles rectángulo), donde l es la medida en cm de uno de los catetos y h la medida en cm de la hipotenusa, completa la siguiente tabla. Utiliza aproximación por redondeo a centésimas de cm.

3. Con base en la tabla anterior, estima el valor de k.

4. Observando las características existentes entre los catetos y la hipotenusa, ¿qué tipo de relación existe entre los tres lados, para una asignación de un valor “x” real positivo para uno de los catetos?

Luego, el estudiante en el material del estudiante tendrá la imagen de algunos triángulos isósceles rectángulo para los cuales, con ayuda de una regla y un transportador, deberá medir las magnitudes pedidas y escribirlas en las casillas correspondientes a los segmentos y ángulos. Además, deberá realizar los cálculos pedidos con una estimación de 1 cifra decimal.

El propósito de esta actividad es que el estudiante reconozca las características métricas que se describen entre los catetos y la hipotenusa. Además, identificar la lación existente entre los tres lados de un triángulo isósceles rectángulo.


Actividad 3: Caracterizando triángulos 30°-60°-90°.

[H/C] - 6: Reconoce la relación de razón constante entre la hipotenusa y un cateto.[H/C] - 7: Identifica las relaciones de medida entre los ángulos y los catetos del triángulo.[H/C] - 8: Construye triángulos 30-60-90 usando la relación de medidas entre sus lados. [H/C] - 9: Reconoce la hipotenusa como el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo.

El docente presenta un recurso interactivo que permite modificar las dimensiones de un triángulo de ángulos internos de 30-60-90 grados. Se presenta en pantalla las medidas de los dos catetos y de la hipotenusa, que se modifican al desplazar uno de sus vértices. Los ángulos internos son fijos (30-60-90 grados), es decir, que todos los triángulos posibles son semejantes.

El docente realiza a los estudiantes las siguientes preguntas, con base en la imagen presentada en pantalla. El estudiante, en el material del estudiante, escribe las respuestas.

1. ¿Qué característica identificas en las magnitudes de los ángulos internos de los triángulos rectángulos presentados?

2. Con 10 valores diferentes de l, L y h (para un mismo triángulo 30° - 60° - 90°), donde l es la medida en cm del cateto de menor longitud, L es la medida en cm del cateto de mayor longitud y h la medida en cm de la hipotenusa, completa la siguiente tabla. Utiliza aproximación por redondeo a centésimas de cm.






3. Con base en la tabla anterior, estima el valor de k y de m.

4. Observando las características existentes entre el cateto menor, el cateto mayor y la hipotenusa, ¿qué tipo de relación existe entre los tres lados para una asignación de un valor “x” real positivo para el cateto menor?.

Luego, el estudiante en el material del estudiante tendrá la imagen de algunos triángulos 30-60-90 grados para los cuales, con ayuda de una regla y un transportador, deberá medir las magnitudes pedidas y escribirlas en las casillas correspondientes a los segmentos y ángulos. Además, deberá realizar los cálculos pedidos con una estimación de tres cifras decimales.

El propósito de esta actividad es que el estudiante reconozca las características métricas que se describen entre los catetos y la hipotenusa. Además, identificar la relación existente entre los tres lados de un triángulo con ángulos internos de 30°, 60° y 90°.

Actividad 4: Hipotenusa: el mayor.

[H/C] - 9: Reconoce la hipotenusa como el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo.

El docente presenta un recurso interactivo que permite modificar las dimensiones


de los ángulos y de los segmentos que forman un triángulo rectángulo a través del movimiento de los vértices que lo componen. Para los triángulos anteriores se presenta dibujado en cada lado, el mismo tipo de polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado o pentágono). En la siguiente tabla muestra un ejemplo de cada caso.

Si el polígono es triángulo equilátero

Si el polígono es cuadrado

Si el polígono es pentágono

10Material del docente Identificación de funcionesen diferentes contextos





El docente, a partir del ejercicio de observación, debe cuestionar al estudiante sobre cual área sobre los lados formados es mayor y, por consiguiente, cual lado es mayor que los otros dos.

El estudiante, en el material del estudiante, dibujará las áreas correspondientes sobre los lados de los triángulos propuestos y tomará nota de los ángulos, los lados y las áreas correspondientes conclusión en referencia.

El propósito de esta actividad es que el estudiante reconozca siempre a la hipotenusa como el lado mayor de cualquier triángulo rectángulo. Además, se logre dar interpretación al Teorema de Pitágoras a través de las áreas de superficies semejantes.

Actividad 5: Solucionando triángulos.

[H/C] - 5: Soluciona situaciones geométricas utilizando el teorema del triángulo isósceles.[H/C] - 10: Interpreta el teorema de Pitágoras en la solución de problemas.[H/C] - 11: Soluciona situaciones de medición que involucran triángulos rectángulos.[H/C]] - 12: Argumenta el procedimiento empleado en la solución de problemas.

El docente presenta en pantalla diferentes situaciones geométricas que involucren triángulos isósceles y triángulos rectángulos isósceles, para los cuales se deberá calcular los valores de algunas magnitudes incógnitas; esto se realiza con ayuda de las características de los triángulos isósceles rectángulos, triángulos 30°-60°-90° y el Teorema de Pitágoras.

El estudiante encontrará, en el material del estudiante, cada una de las imágenes de los triángulos y realizará los cálculos pertinentes tomando nota de los valores hallados.






Recurso HTML con texto e imagen estática.

El propósito es que el estudiante logre resolver situaciones geométricas y argumentar su proceso de resolución utilizando el Teorema de Pitágoras y/o las razones que caracterizan los diferentes tipos de triángulos isósceles.

Reconociendo.

El docente presenta en pantalla las propiedades de los triángulos isósceles y de los triángulos 30-60-90.

El estudiante, en el material del estudiante, encontrará las imágenes alusivas a las propiedades de los triángulos isósceles y de los triángulos 30-60-90, en ellas cuales será necesario que el estudiante complete las características propuestas en cada situación.

A través de esta actividad, los estudiantes podrán afianzar los conocimientos expuestos, descubiertos y aprehendidos en el estudio de este tipo de triángulos.

1. Con las figuras seleccionadas en la actividad No 1, los estudiantes elaboran una cartelera y la socializan con la comunidad educativa. Es necesario resaltar las características de cada uno de los triángulos.

2. Los estudiantes recolectan imágenes (fotografías o dibujos) de objetos con forma de triángulo rectángulo. Luego, con una sola medición, bien sea de un cateto, o hipotenusa o de un ángulo agudo, verifican cuáles de ellos son isósceles o escalenos 30° - 60° - 90°. Finamente, y sin medir nuevamente, completan las medidas de los tres lados y los tres ángulos.

3. Los estudiantes construyen sobre los lados de un triángulo pitagórico de segmentos 3, 4 y 5 unidades, hexágonos regulares. Luego, calcula el área de cada hexágono y verifica si se cumple la siguiente igualdad: “el área del hexágono

Finalización y cierre

Evaluación (post-clase)

Resumen

Tarea





que se construye sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los hexágonos que se construyen sobre los catetos”.

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