Raíces de Ecuaciones- Métodos Abiertos –

(Sofisticados)

Contenido

• Método de Newton-Raphson• Método de Bailey

Método de Newton-Raphson

• Este método se basa en aproximar 𝒇𝒇(𝒙𝒙) a una expresión lineal de Taylor de una función de una variable.

• Serie de Taylor:

𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 +12𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 +

12𝑓𝑓′′ 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 2 + ⋯

⋯+1𝑛𝑛!𝑓𝑓 𝑛𝑛 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 𝑛𝑛 + 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑥𝑥0)

Lineal

Cuadrática

Método de Newton-Raphson

Método de Newton-Raphson

• Resumen del método de Newton-Raphson0) Definir 𝒇𝒇(𝒙𝒙). Leer:

𝒙𝒙𝟏𝟏 = aproximación inicial de la raíz 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎𝜺𝜺 = término de convergencia 𝐍𝐍 = número máximo de iteraciones

1) Inicialización. 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏; ∆𝟏𝟏= 𝒄𝒄𝟏𝟏2) 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝒊𝒊 −

𝒇𝒇 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒇𝒇′ 𝒙𝒙𝒊𝒊

∆𝒊𝒊+𝟏𝟏= 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊

Método de Newton-Raphson

3)a) Si ∆𝒊𝒊+𝟏𝟏≤ 𝜺𝜺 y 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏) ≤ 𝜺𝜺, ir al paso 4. Si no, ir al paso 3b.b) Si ∆𝒊𝒊+𝟏𝟏> ∆𝒊𝒊, seleccionar una nueva 𝒙𝒙𝒊𝒊 y regresar al paso 1. Si ∆𝒊𝒊+𝟏𝟏≤ ∆𝒊𝒊, ir al

paso 3c.c) Si 𝒊𝒊 ≤ 𝐍𝐍, poner 𝒊𝒊 = 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏 y regresar al paso 2. Si 𝒊𝒊 > 𝑵𝑵, seleccionar un

nuevo 𝒙𝒙𝒊𝒊 y regresar al paso 1.4) Escribir la raíz 𝜶𝜶. 𝜶𝜶 = 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏.

Nota. Si una raíz no ha sido localizada después de haber intentado varios números iniciales 𝒙𝒙𝟏𝟏, el programa deberá detenerse y usar otro programa.

Método de Bailey

• Este método se basa en aproximar 𝒇𝒇(𝒙𝒙) por una expresión de Taylor cuadrática de una función de una variable.

Método de Bailey

Método de Bailey

• Resumen del método de Bailey• Es igual al resumen de Newton-Raphson, cambiando sólo en el paso 2 la

obtención de 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏, por:

𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝒊𝒊 −𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊)

𝒇𝒇′ 𝒙𝒙𝒊𝒊 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒇𝒇′′ 𝒙𝒙𝒊𝒊 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊)

𝒇𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊)

Problemas

1. Encontrar la raíz cúbica de un número real positivo 𝑵𝑵, haciendo uso de los siguientes métodos. Considere como valor inicial 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝑵𝑵.

a) Método de Newton-Raphsonb) Método de Bailey

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