RAIZ CUADRADA

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T em a: 2 L a ra íz c u a d ra d a 1 A r it m o s 2 0 0 1 - M a te m á t ic a s 2 º E S O R e c u e r d a . R a íz c u a d r a d a e x a c ta O b se rv a la fig u ra: T ien e 36 p u n to s c o lo c a d o s e n fo rm a d e c u a d ra d o . E l n ú m e ro 3 6 e s u n c u a d r a d o p e r fe c to : 3 6 = 6 2 y p u e d e a so c ia rse a u n c u a d ra d o c o n 6 p u n to s e n c a d a lad o . D e c im o s q u e la r a íz c u a d r a d a d e 3 6 e s 6 . L a r a íz c u a d r a d a d e u n n ú m e r o e s o tr o n ú m e r o q u e e le v a d o a l c uadrado e s ig u a l a l p rim ero. 6 36 E l sig no se lla m a radical. E l n ú m e ro q u e e stá b a jo e l sig n o ra d ic a l se lla m a radicando. porque 6 2 = 36 6 36 L o e sc rib im o s a sí: 7 49 p u e s 7 2 = 49. 9 81 p u e s 9 2 = 81.

description

El signo se llama radical. El número que está bajo el signo radical se llama radicando. 636 = 636 = porque 6 2 = 36 Lo escribimos así: 2 L a r a íz c u a d r a d a 1 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2º ESO Tem a: Solamente los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta. El número 23 no es un cuadrado perfecto porque 4 2 = 16 y 5 2 = 25. Por tanto, 23 está comprendido entre 4 2 y 5 2 4 2 = 16 2 L a r a íz c u a d r a d a 2 Arit m os 2001 - Mat em át ic as 2º ESO Tem a:

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T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

R e c u e r d a . R a í z c u a d r a d a e x a c t aO b s e r v a l a f i g u r a :

T i e n e 3 6 p u n t o s c o l o c a d o s e n f o r m a d e c u a d r a d o .

E l n ú m e r o 3 6 e s u n c u a d r a d o p e r f e c t o : 3 6 = 6 2

y p u e d e a s o c i a r s e a u n c u a d r a d o c o n 6 p u n t o s e n c a d a l a d o .D e c i m o s q u e l a r a í z c u a d r a d a d e 3 6 e s 6 .

L a r a í z c u a d r a d a d e u n n ú m e r o e s o t r o n ú m e r o q u e e l e v a d o a l c u a d r a d o e s i g u a l a l p r i m e r o .

636

E l s i g n o s e l l a m a r a d i c a l . E l n ú m e r o q u e e s t á b a j o e l s i g n o r a d i c a l s e l l a m a r a d i c a n d o .

p o r q u e 6 2 = 3 6636

L o e s c r i b i m o s a s í :

749 p u e s 7 2 = 4 9 . 981 p u e s 9 2 = 8 1 .

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T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 2 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

R e c u e r d a . R a í z c u a d r a d a e n t e r a

S o l a m e n t e l o s c u a d r a d o s p e r f e c t o s t i e n e n r a í z c u a d r a d a e x a c t a .

4 2 = 1 6

E l n ú m e r o 2 3 n o e s u n c u a d r a d o p e r f e c t o p o r q u e 4 2 = 1 6 y 5 2 = 2 5 .

2 3 5 2 = 2 5

416 23 525 < <

P o r t a n t o , 2 3 e s t á c o m p r e n d i d o e n t r e 4 2 y 5 2

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Tema:

2 La raíz cuadrada 3 Aritmos 2001 - Matemáticas 2º ESO

Tabla de cuadrados perfectosEn la siguiente tabla se muestra el cuadrado de todos los números naturales comprendidos entre 0 y 99.

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Tema:

2 La raíz cuadrada 4 Aritmos 2001 - Matemáticas 2º ESO

Para practicarHalla el valor de los siguientes cuadrados: a) 372; b) 582; c) 662; d) 512

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T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 5 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

E j e r c i c i o r e s u e l t oD a d o s l o s n ú m e r o s 2 0 3 4 , 7 6 3 2 , 8 9 4 , 9 2 1 6 :

Page 6: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 6 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

R a í z c u a d r a d a e n t e r a

6 2 = 3 6

L a r a í z c u a d r a d a e n t e r a d e u n n ú m e r o e s e l m a y o r n ú m e r o e n t e r o c u y o c u a d r a d o e s m e n o r q u e e l p r i m e r o .

E l r e s t o d e l a r a í z e s l a d i f e r e n c i a e n t r e e l r a d i c a n d o y e l c u a d r a d o d e l a r a í z c u a d r a d a e n t e r a .

.641 S e e s c r i b e

E l n ú m e r o 4 1 n o e s u n c u a d r a d o p e r f e c t o . P o r t a n t o , n o r e p r e s e n t a u n c u a d r a d o n i t i e n e r a í z c u a d r a d a e x a c t a .

• E l l a d o d e l m a y o r c u a d r a d o q u e p u e d e r e p r e s e n t a r s e c o n e l n ú m e r o 4 1 .

4 1 7 2 = 4 9< <

E l r e s t o d e l a r a í z e s 4 1 – 6 2 = 5

S i n e m b a r g o p o d e m o s p e n s a r e n :

• E l m a y o r n ú m e r o c u y o c u a d r a d o e s m e n o r q u e 4 1 .

L u e g o e l n ú m e r o b u s c a d o e s 6 . D e c i m o s q u e 6 e s l a r a í z c u a d r a d a e n t e r a d e 4 1 .

,873 p o r q u e 8 2 < 7 3 < 9 2 ,873 r e s t o 7 3 – 8 2 = 9

Page 7: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 7 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

R a í z c u a d r a d a e n t e r a . P a r a p r a c t i c a rD a d o s l o s n ú m e r o s 3 4 3 , 1 0 4 9 , 3 4 5 8 y 9 2 3 :

Page 8: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 8 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

E l m a y o r v a l o r d e l r e s t o

E l r e s t o d e l a r a í z c u a d r a d a e n t e r a d e u n n ú m e r o d e b e s e r m e n o r q u e e l d o b l e d e l a r a í z m á s u n o .

O b s e r v a :

417 R e s t o : 1 7 – 4 2 = 1

418 R e s t o : 1 8 – 4 2 = 2

419 R e s t o : 1 9 – 4 2 = 3

420 R e s t o : 2 0 – 4 2 = 4

L a r a í z e s l a m i s m a y e l r e s t o v a a u m e n t a n d o .¿ H a s t a q u é n ú m e r o p u e d e a u m e n t a r e l r e s t o ?P a r a p a s a r d e u n c u a d r a d o ( p o r e j e m p l o 4 2 ) a l s i g u i e n t e ( 5 2 ) h a y q u e a ñ a d i r :U n a f i l a d e p u n t o s ( 4 )U n a c o l u m n a d e p u n t o s ( 4 )E l p u n t o d e l a e s q u i n a ( 1 )

E n t o t a l : e l d o b l e d e l l a d o d e l p r i m e r c u a d r a d o m á s 1 .

Page 9: RAIZ CUADRADA

D o s c i f r a s D o s g r u p o s T r e s c i f r a s T r e s g r u p o s

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 9 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

A p r o x i m a c i o n e s d e l a r a í z c u a d r a d a e n t e r a ( I )N ú m e r o d e c i f r a s d e l a r a í z

V a m o s a e s t i m a r e l v a l o r d e l a s s i g u i e n t e s r a í c e s : 360972 ,57431 ,975

1 0 2 < 9 7 5 < 1 0 0 2 100.y 10 entre ocomprendid númeroun es 975

F í j a t e e n l a s s i g u i e n t e s d e s i g u a l d a d e s :

975 e s , p o r t a n t o , u n n ú m e r o d e d o s c i f r a s : 975 ? ?=

1 0 0 2 < 5 7 4 3 1 < 1 0 0 0 2 57431 e s u n n ú m e r o d e t r e s c i f r a s : ? ?= 57431 ?

1 0 0 2 < 3 6 0 9 7 2 < 1 0 0 0 2 360972 e s u n n ú m e r o d e t r e s c i f r a s : ? ?= ? 360972

E l n ú m e r o d e c i f r a s d e l a r a í z c u a d r a d a d e u n n ú m e r o c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e g r u p o s d e d o s c i f r a s q u e , e m p e z a n d o p o r l a d e r e c h a , p u e d e n f o r m a r s e c o n e l n ú m e r o i n i c i a l .N o i m p o r t a q u e e l ú l t i m o g r u p o t e n g a s o l a m e n t e u n a c i f r a .

? ?= 8453 ? ?= ? 360972 975 ? ?= ? ?= 57431 ?9 7 5

8 4 5 35 7 3 4 1

3 6 0 9 7 2

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T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 0 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

A p r o x i m a c i o n e s d e l a r a í z c u a d r a d a e n t e r a ( I I )P r i m e r a c i f r a d e l a r a í z c u a d r a d a

V a m o s a e s t i m a r e l v a l o r d e l a s s i g u i e n t e s r a í c e s : 360972 ,57431 ,8453 ,975

3 0 2 < 9 7 5 < 4 0 2 40 97530

F í j a t e e n l a s s i g u i e n t e s d e s i g u a l d a d e s :

975 e s u n n ú m e r o q u e e m p i e z a p o r 3 .

2 0 0 2 < 5 7 4 3 1 < 3 0 0 2 300 57431200

6 0 0 2 < 3 6 0 9 7 2 < 7 0 0 2 700 360972600 e m p i e z a p o r 6 . 360972

L a p r i m e r a c i f r a d e l a r a í z c u a d r a d a d e u n n ú m e r o c o i n c i d e c o n l a r a í z d e l n ú m e r o f o r m a d o p o r e l ú l t i m o g r u p o q u e s e f o r m a c o n s u s c i f r a s .

?= 9 8453 ?= 6 ? 360972 975 ?= 3 ?= 2 57431 ?

9 0 2 < 8 4 5 3 < 1 0 0 2 010 845390 8453 e s u n n ú m e r o q u e e m p i e z a p o r 9 .

e m p i e z a p o r 2 .57431

3 9 9 84 2 5 6 36

P r i m e r a c i f r a d e l a r a í zR a í z d e l ú l t i m o g r u p o

O b s e r v a :

Page 11: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 1 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

C á l c u l o d e l a r a í z c u a d r a d a . E s q u e m aE l a l g o r i t m o u t i l i z a d o p a r a e l c á l c u l o d e l a r a í z c u a d r a d a e n t e r a d e u n n ú m e r o r e q u i e r e u n a o r g a n i z a c i ó n e s p e c í f i c a q u e i n d i c a m o s a c o n t i n u a c i ó n .

P a r a c a l c u l a r l a r a í z d e u n n ú m e r o , p o r e j e m p l o 3452

1 º . S e h a c e n g r u p o s d e d o s c i f r a s e n e l r a d i c a n d o e m p e z a n d o p o r l a d e r e c h a : 52 34

2 º . S e t r a z a n l í n e a s q u e f a c i l i t e n l a a p l i c a c i ó n d e l a r e g l a .

3 º . E s t a r e g l a t i e n e p a s o s p a r e c i d o s a l o s e m p l e a d o s e n l a d i v i s i ó n ; t a m b i é n s e r e s t a r á y s e b a j a r á n c i f r a s , p e r o e n e s t e c a s o p o r g r u p o s d e d o s

4 º . E l ú l t i m o p a s o c o n s i s t i r á e n l a c o m p r o b a c i ó n : e n l a p r u e b a d e l a r a d i c a c i ó n :

L u g a r p a r a l a r a í z

E s p a c i o p a r ap r u e b a s y t a n t e o s

E s p a c i op a r ao p e r a r

r e s t o

3 4 5 2 = ( r a í z ) 2 + r e s t o

52 34

52 34

Page 12: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 2 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

C á l c u l o d e l a r a í z c u a d r a d a

2 . a ) C a l c u l a m o s l a r a í z c u a d r a d a d e l p r i m e r g r u p o d e l a i z q u i e r d a : d e 3 4 .

2 . b ) H a l l a m o s e l c u a d r a d o d e 5 : 5 2 = 2 5 , y l o r e s t a m o s a l p r i m e r g r u p o :

C o m p r o b a c i ó n : 5 8 2 + 8 8 = 3 3 6 4 + 8 8 = 3 4 5 2

3 . a ) B a j a m o s e l s e g u n d o g r u p o d e c i f r a s : 5 2 .

3 . b ) S e e s c r i b e e l d o b l e d e l a r a í z : 5 × 2 = 1 0 .

S e r e s t a 9 5 2 – 8 6 4 = 8 8

4 . b ) S e e s c r i b e 8j u n t o a l a p r i m e r a c i f r a d e l a r a í z : j u n t o a l 5 .

L a s e g u n d a c i f r a d e l a r a í z e s 8 .

L a r a í z e n t e r a d e 3 4 5 2 e s i g u a l a 5 8 y e l r e s t o e s 8 8 .

5– 2 5

99 5 2

81 01 0 8 × 8 = 8 6 4

– 8 6 48 8

C a l c u l e m o s 3452

52 34

534 5 e s l a p r i m e r a c i f r a d e l a r a í z .

1 . H a c e m o s g r u p o s d e d o s c i f r a s . S e t r a z a n l a s l í n e a s a u x i l i a r e s .

4 . a ) S e b u s c a e l m a y o r n ú m e r o d e u n a c i f r a t a l q u e 1 0 × s e p u e d a r e s t a r d e 9 5 2 :

?? ?

1 0 7 × 7 = 7 4 91 0 8 × 8 = 8 6 41 0 9 × 9 = 9 8 1 ( s e p a s a )

L u e g o = 8?

3 4 – 2 5 = 9 .

Page 13: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 3 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

C á l c u l o d e l a r a í z c u a d r a d a . P a r a p r a c t i c a r P a r a p r a c t i c a r h a g a m o s o t r a r a í z :

P r u e b a :

88 15 41

6 4 1 2 + 7 0 7 = 4 1 0 8 8 1 + 7 0 7 = 4 1 1 5 8 8

P o r t a n t o , 707 es resto el ;641411588

6

8 8

– 3 65 1 5

4

1 21 2 81 2 4 · 4 = 4 9 6

– 4 9 61 9

1 2 8 1 · 1 = 1 2 8 1

– 1 2 8 17 0 7

1

1 . º L a r a í z c u a d r a d a d e l p r i m e r g r u p o d e c i f r a s : d e 4 1 . E s 6 .

2 . º E l c u a d r a d o d e 6 e s 3 6 . S e r e s t a a 4 1 .

3 . º S e b a j a e l s e g u n d o g r u p o d e c i f r a s : 1 5

9 . º S e r e s t a : 1 9 8 8 – 1 2 8 1 = 7 0 7

4 . º E l d o b l e d e 6 e s 1 2 . A s u d e r e c h a s e c o l o c a o t r o n ú m e r o ( 1 2 d ) , d e m o d o ( 1 2 d × d ) , d é u n n ú m e r o l o m á s p r ó x i m o a 5 1 5 , s i n s u p e r a r l o7 . º S e b a j a e l t e r c e r

g r u p o d e c i f r a s : 8 8 .

5 . º S e r e s t a : 5 1 5 – 4 9 6 .

E s e n ú m e r o e s 4 : 1 2 4 × 4 = 4 9 6 .6 . º S e c o l o c a 4 a l a d e r e c h a d e l 6 : 6 4

8 . º S e t o m a e l d o b l e d e 6 4 , 1 2 8 . S e p r o c e d e c o m o e n 4 . ºC a b e a 1 : 1 2 8 1 × 1 = 1 2 8 1

1 0 . º L a c i f r a 1 s e c o l o c a a l a d e r e c h a d e 6 4 : 6 4 1

411588

Page 14: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 4 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

R a í z c u a d r a d a d e u n p r o d u c t oC a l c u l a m o s l a r a í z c u a d r a d a d e 2 5 × 9 :

O b s e r v a q u e :

35)35(35925 222

L u e g o :

L a r a í z c u a d r a d a d e u n p r o d u c t o e s i g u a l a l p r o d u c t o d e l a s r a í c e s c u a d r a d a s .

92535925

925925

P a r a p r a c t i c a r

E s c r i b e y c a l c u l a c o m o p r o d u c t o d e r a í c e s : a ) ; b )4981 121169

D e s c o m p o n e m o s e n f a c t o r e s p r i m o s

P o t e n c i a d e u n p r o d u c t o

L a r a í z c u a d r a d a d e u n c u a d r a d o p e r f e c t o e s

i g u a l a l n ú m e r o .

637949814981

143111311131113121169 2222

4981 a)

121169 b)

Page 15: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 5 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

R a í z c u a d r a d a d e u n a p o t e n c i a d e e x p o n e n t e p a rC u a l q u i e r p o t e n c i a d e e x p o n e n t e p a r s e p u e d e e s c r i b i r e n f o r m a d e u n a p o t e n c i a a l c u a d r a d o . E s t a p r o p i e d a d f a c i l i t a l a r a d i c a c i ó n d e p o t e n c i a s d e e x p o n e n t e p a r .

323236 7)7(77

L a r a í z c u a d r a d a d e u n a p o t e n c i a d e e x p o n e n t e p a r e s i g u a l a o t r a p o t e n c i a c o n :

P o t e n c i a d e u n a p o t e n c i a

L a r a í z c u a d r a d a d e u n c u a d r a d o p e r f e c t o e s

i g u a l a l n ú m e r o .

E j e m p l o s :

5252510 3)3(33

P o t e n c i a d e u n a p o t e n c i a

L a r a í z c u a d r a d a d e u n c u a d r a d o p e r f e c t o e s

i g u a l a l n ú m e r o .

• L a m i s m a b a s e .• E l e x p o n e n t e i g u a l a l a m i t a d d e l e x p o n e n t e d e l a p o t e n c i a d e p a r t i d a .

O b s e r v a q u e 3 = 6 : 2

O b s e r v a q u e 5 = 1 0 : 2

Page 16: RAIZ CUADRADA

T e m a :

2 L a r a í z c u a d r a d a 1 6 A r i t m o s 2 0 0 1 - M a t e m á t i c a s 2 º E S O

T é c n i c a s y e s t r a t e g i a s

E l E v e r e s t e s e l m o n t e m á s a l t o d e l m u n d o . L a r a í z c u a d r a d a e n t e r a d e s u a l t u r a , e n m e t r o s , e s i g u a l a 9 4 , y s i m i d i e r a 1 7 7 m e t r o s m á s s e r í a u n c u a d r a d o p e r f e c t o . ¿ C u á l e s l a a l t u r a d e l E v e r e s t ?

S e d e s e a s a b e r s u a l t u r a .S i m i d i e r a 1 7 7 m e t r o s m á s s e r í a u n c u a d r a d o p e r f e c t o . E L I G E U N A E S T R A T E G I A

P R O B L E M A

L E E E L E N U N C I A D O : ¿ Q U É T E D A N Y Q U É T E P I D E N ?

L a r a í z c u a d r a d a d e l a a l t u r a d e l E v e r e s t v a l e 9 4 :

S a b e m o s q u e : a l t u r a = 9 4 2 + r e s t o .

E l r e s t o e s m e n o r q u e 2 × 9 4 + 1 : r e s t o < 1 8 9 . A d e m á s , l a a l t u r a m á s 1 7 7 e s u n c u a d r a d o p e r f e c t o : a l t u r a + 1 7 7 = n 2

r.resto 94,altura

P o r t a n t o , e l n ú m e r o n d e b e s e r e l s i g u i e n t e d e 9 4 . E s t o e s , n = 9 5 .r e s t o < 1 7 7 .

R E S U E L V E E L P R O B L E M A

a l t u r a = 9 4 2 + r e s t o .a l t u r a + 1 7 7 = n 2 ; n = 9 5

9 4 2 + r e s t o + 1 7 7 = 9 5 2

a l t u r a = 9 4 2 + 1 2 = 8 8 4 8 m e t r o s .r e s t o = 1 2

C O M P R O B A C I Ó N

12resto 94,8848 8 8 4 8 + 1 7 7 = 9 0 2 5 = 9 5 2