RANGO DE UNA MATRIZ

En cursos anteriores se ha estudiado la dependencia e independencia lineal de vectores. Recordemos algunas nociones: 1 En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente independientes cuando no son proporcionales, es decir, no existe ningn nmero real que verifique: u = . v. Ejemplo: u = (3 , 5) y v = (9 , 6) son linealmente independientes puesto que no son proporcionales. 2 En R2 dos vectores u = (a , b) y v = (c , d) son linealmente dependientes cuando son proporcionales, es decir, existe un nmero real que verifica: u = . v. Ejemplo: u = (3 , 5) y v = (9 , 15) son linealmente dependientes puesto que son proporcionales: v = 3 . u 3 En R3 tres vectores u = (a , b, c), v = (r , s , t) y w = (x , y , z) son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinacin lineal de los restantes, es decir, no existen nmeros reales y que verifiquen: u = . v + . w. Ejemplo: u = (1 , 2 , 3), v = (3 , 5 , 7) y w = (4 , 6 , 5) son linealmente independientes puesto que no existen nmeros reales y que verifiquen: u = . v + . w. Si existieran tales nmeros se cumplira: (1 , 2 , 3) = . (3 , 5 , 7) + . (4 , 6 , 5), es decir, (1 , 2 , 3) = (3 , 5 , 7) + (4 , 6 , 5), o lo que es lo mismo: 1 = 3 + 4; 2 = 5 + 6; 3 = 7 + 5; pero este sistema de tres ecuaciones con dos incgnitas es incompatible, es decir, no tiene solucin, lo que es equivalente a decir que no existe los nmeros y que verifiquen esa igualdad 4 En R3 tres vectores u = (a , b, c), v = (r , s , t) y w = (x , y , z) son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se puede escribir como combinacin lineal de los restantes, es decir, existen nmeros reales y que verifican: u = . v + . w. Ejemplo: u = (18 , 28 , 29), v = (3 , 5 , 7) y w = (4 , 6 , 5) son linealmente dependientes puesto que existen nmeros reales y que verifican: u = . v + . w. (18 , 28 , 29) = . (3 , 5 , 7) + . (4 , 6 , 5), es decir, (18 , 28 , 29) = (3 , 5 , 7) + (4 , 6 , 5), o lo que es lo mismo: 18 = 3 + 4; 28 = 5 + 6; 29 = 7 + 5; Resolviendo este sistema se obtiene: = 2 y = 3. Por lo tanto: (18 , 28 , 29) = 2 . (3 , 5 , 7) + 3 . (4 , 6 , 5) 5 En general, un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinacin lineal de los restantes y es linealmente dependiente cuando sucede lo contrario, es decir, cuando alguno de ellos se puede escribir como combinacin lineal de los dems. En una matriz se puede considerar que las filas (o las columnas) son vectores. Se llama rango de una matriz A al nmero de filas (o columnas) linealmente independientes. Se representa por rg (A). En cualquier matriz el nmero de filas linealmente independientes coincide con el nmero de columnas linealmente independientes. El valor mximo que puede tener el rango de una matriz es el menor de los nmeros correspondientes al nmero de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensin 3 x 5, el valor mximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es 3 ( pues 3 = mnimo {3 , 5} ). La nica matriz que tiene rango 0 es la matriz nula. Cualquier otra matriz tendr rango mayor o igual que 1.

La matriz A tiene rango 3 puesto que ninguna fila o columna se puede poner como combinacin lineal de las restantes. En cambio, la matriz B tiene rango 2, ya que las dos primeras filas no son proporcionales, pero la tercera fila es igual a la segunda fila menos el doble de la primera fila, por lo que no puede tener rango 3, ya que la tercera fila es combinacin lineal de las otras dos.

8. CLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ CON DETERMINANTES

Sea A una matriz de dimensin m x n, y sea h un nmero natural tal que 1 h mnimo {m , n}. Se llama menor de orden h de la matriz A al determinante de la matriz cuadrada de orden h que se obtiene al suprimir m - h filas y n - h columnas de la matriz A. Por ejemplo, en la siguiente matriz de orden 3 x 4 hay: 12 posibles menores de orden 1 (porque tiene 12 elementos) 18 posibles menores de orden 2 (puesto que se pueden elegir 18 determinantes distintos de orden 2) 4 posibles menores de orden 3 (puesto que se pueden escoger 4 determinantes distintos de orden 3)

El rango de una matriz A es h, cuando A tiene un menor de orden h distinto de cero y todos los menores de orden h + 1 son nulos. El procedimiento para calcular el rango de una matriz A cualquiera, de dimensin m x n, empleando determinantes, es el siguiente: Si algn elemento de la matriz es distinto de cero, entonces su rango es mayor o igual que 1. En caso contrario (matriz nula) el rango sera 0. Se elige, si existe, un menor de orden 2 distinto de cero. En este caso, el rango es mayor o igual que 2. Si no existiera ningn menor de orden 2 distinto de cero, el rango de la matriz sera 1. Al menor de orden 2 distinto de cero, obtenido en el paso anterior, se le aade otra fila y otra columna cualesquiera hasta encontrar, si existe, un menor de orden 3 distinto de cero. De esta forma, el rango de la matriz es mayor o igual que 3. Si todos los menores de orden 3 son nulos, el rango de la matriz sera 2. Al menor de orden 3 distinto de cero, obtenido en la etapa anterior, se le aade otra fila y otra columna cualesquiera hasta encontrar, si existe, un menor de orden 4 distinto de cero. De esta forma, el rango de la matriz es mayor o igual que 4. Si no existiera ningn menor de orden 4 distinto de cero, el rango de la matriz sera 3. Se repite este proceso hasta encontrar algn menor de orden h ( 1 h mnimo {m , n} ) distinto de cero, y que todos los menores de orden h + 1 sean nulos.

El rango de la matriz A es 2 pues las filas no son proporcionales.El rango de la matriz B es 1, ya que las filas son proporcionales. La segunda fila es igual a la primera multiplicada por 3.El rango de la matriz C es 4 , puesto que el menor de orden 4 formado por las cuatro filas y las cuatro primeras columnas vale -4, es decir, es distinto de cero.PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS LI/LD1) Un conjunto de vectores {1,2,,} es LI o LD nunca ambos a la vez. 2) Cualquier conjunto de vectores que contiene el vector nulo es LD EJEMPLO: {(2,5),(3,7),(0,0)} 3) Los conjuntos de vectores formados por un nico vector NO NULO son siempre LI EJEMPLO: {(1,1,1,9)} 4) Si un conjunto M es LD, entonces cualquier conjunto M que contenga a M (MM) es LD EJEMPLO: M={(1,2),(2,4)} M={(1,2),(2,4),(7,1)} 5) Si un conjunto de vectores M es LI, entonces cualquier subconjunto suyo es LI EJEMPLO: {(3,7),(2,1)} es LI