5/10/2018 Rango, Funcion Inyectiva y Lo Demas - slidepdf.com

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 Rango de una función

El conjunto de todos los valores de salida de una función.

Dominio -> función -> Rango

Ejemplo: si a la función f(x) = x2

se le dan los valores x = {1,2,3,...} entonces el rango será {1,4,9,...}

Conjunto imagen

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Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque todos sus valores son imagende alguno del conjunto X. Imágenes particulares de los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 seráB, la de 3 será C y la de 4 será C también.

Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjunto imagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquí Y noes imagen de X, porque no todos sus valores son imagen de algún valor del conjunto de X).Imágenes particulares de los valores: La imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C noes imagen de nadie (no tiene antiimagen).

En matemáticas, la imagen (conocida también como alcance o recorrido o campo de valores o

rango) de una función  es el conjunto formado por los valores que puede llegar a tomar

la función. Se denota por o o bien y está definida por:

Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo

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"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función. 

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los deotro conjunto "B":

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde(pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más deuno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno

a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectivo

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y) , x = y .

Ejemplo: f (x ) = x 2 

del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.

(Pero f (x ) = x 2  no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números

negativos) porque tienes por ejemplo

  f (2 ) = 4 y  f (-2 ) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como sifuera biyectiva.

Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B ) es sobreyectiva si para cada y en B , existe por lo menosun x en A que cumple f (x ) = y , en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B .

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f (x ) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares nonegativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f (x ) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque,

por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.

Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B ) es biyectiva si, para cada y en B , hay exactamente un x en A que cumple que f (x ) = y  

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Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. 

Ejemplo: La función f (x ) = x 2 

del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto esinyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

Función biyectiva

En matemática, una función  es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva ysobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en elconjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento delconjunto de salida.

Formalmente,

Función inyectiva

En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde

un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto X lecorresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que

tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es

inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f (2) y f ( − 2). Pero si el dominio se restringe alos números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtieneuna función inyectiva.

Función sobreyectiva 

Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función  es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva,exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen 

, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de comomínimo un elemento de "X".

Formalmente,