RAZ. MATEMÁTICO

5to AÑO

RAZ.MATEMÁTICO

Raz. Matemático5°Cap. 1 Juegos Lógicos I Pág.5

Cap. 2 Juegos Lógicos II Pág.15

Cap. 3 Algoritmia Sensorial I Pág.25

Cap. 4 Algoritmia Sensorial II Pág.35

Cap. 5 Interpretación de Enunciados I Pág.45

Cap. 6 Interpretación de Enunciados II Pág.55

Cap. 7 Cronometría I Pág.67

Cap. 8 Cronometría II Pág.75

Cap. 9 Operaciones Matemáticas Pág.83

Cap. 10 Leyes de Composición Pág.91

Cap. 11 Sucesiones Pág.101

Cap. 12 Series I Pág.111

Raz. Matemático5°Cap. 1 Juegos Lógicos I Pág.5

Cap. 2 Juegos Lógicos II Pág.15

Cap. 3 Algoritmia Sensorial I Pág.25

Cap. 4 Algoritmia Sensorial II Pág.35

Cap. 5 Interpretación de Enunciados I Pág.45

Cap. 6 Interpretación de Enunciados II Pág.55

Cap. 7 Cronometría I Pág.67

Cap. 8 Cronometría II Pág.75

Cap. 9 Operaciones Matemáticas Pág.83

Cap. 10 Leyes de Composición Pág.91

Cap. 11 Sucesiones Pág.101

Cap. 12 Series I Pág.111

Cap. 19 Geometría Intuitiva Pág.185

Cap. 20 Cálculo de Áreas Pág.197

Cap. 21 Logaritmación Pág.209

Cap. 22 Análisis Combinatorio I Pág.219

Cap. 23 Análisis Combinatorio II Pág.229

Cap. 24 Probabilidades Pág.239

Cap. 13 Series II Pág.121

Cap. 14 Fracciones Pág.133

Cap. 15 Tanto por Ciento I Pág.145

Cap. 16 Tanto por Ciento II Pág.155

Cap. 17 Análisis de Grá�cos y Tablas Pág.165

Cap. 18 Máximos y Mínimos Pág.175

147

Origen e historia de los juegos de palillos y cerillasEn los orígenes, la naturaleza nos da todo tipo de ramitas, briznas de hierba, juncos, paja, que han sido utilizados a lo largo de los años como material de juego. Las cerillas forman parte de nuestro universo cotidiano, apenas tiene un siglo y medio de existencia pero esto ha sido suficiente para dar a conocer una infinidad de juegos de rompecabezas de todo tipo. La principal fascinación de los juegos con palillos y cerillas es su construcción figurativa, siempre hacen referencias a formas fáciles de reproducir, letras del alfabeto, cifras árabes o romanas, figuras geométricas, números y palabras. Los juegos de palillos y de cerillas son fruto de la imaginación y creatividad de personas que nos han precedido, pueden ser, sin duda, algo que nos inspire a crear otros nuevos y quizá más atractivos. Pero la creatividad es una capacidad que reside en todos nosotros solo debemos ser capaces de intuir, imaginar, pensar y con la formación y desarrollo adecuados solo es cuestión de tiempo dejar volar a nuestra mente y sentirnos capaces de hacerla. Tanto las cerillas como los palillos tienen una ventaja considerable, son útiles baratos y al-cance de todos los alumnos y alumnas. Podemos decir que los juegos de palillos y de cerillas dan a conocer el juego y que con ellos se conoce el espíritu. Porque el juego, cualquiera que sea su naturaleza, en modo alguno es materia, Johan Huizinga (1968). Entre los acertijos más populares están los que se realizan con cerillas. En este trabajo se muestran unos poquitos de todos los que hay. Para construir formas solo necesitas una caja de palillos o de cerillas, y algo de plastilina, poco a poco se puede ir construyendo figuras geométricas. La plastilina hace de base donde hincar, cada punta del palillo o de cerilla podrás realizar figuras del tipo: un cubo, un triángulo o un rombo. Los tres cuadrados Aquí tenemos una réplica exacta del laberinto del Minotauro en el que la bella Ariadna debe rescatar a Teseo, vale es al revés, pero como es mi historia el rescatado es Teseo. Mover cuatro cerillas de este laberinto espiral formando tres cuadrados.Solución

Ilustración 1 Ilustración 2

Helicocuriosidades

CAPÍTULO

1Aprendizajes esperados

¾ Valora y reflexiona sobre el proceso seguido en la búsqueda de solu-ciones y no solo resultados.

¾ Elabora estrategias propias de resolución de problemas con cerillos, relación de tiempos y distribuciones numéricas.

JUEGOS LÓGICOS IM

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5.o grado

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CAPÍTULO


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6 5to Año de Secundaria

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ocompendio de ciencias i

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I. Problemas con cerillos

Los problemas con cerillos desarrollan nuestra capa-cidad visual, nuestra imaginación y, por lo general, se trata de agregar, quitar o mover la mínima canti-dad de estos para formar una nueva figura, cambiar de posición o de sentido.

Problema

Quite la menor cantidad de cerillos para obtener solo dos cuadrados.

⇒

∴ Se quitan solo 2 cerillos.

II. Distribuciones numéricas

Se trata de distribuir dígitos o números en gene-ral bajo ciertas condiciones en figuras geométricas (triángulos, cuadrados, pentágonos, etc.).

Problema

Si en los círculos de la figura escribimos los núme-ros naturales del 3 al 11, de manera que los núme-ros en cada lado del triángulo sumen 25, ¿cuál es la suma de los números que se escriben en los círculos etiquetados con x, y y z? (UNMSM 2003)

x

z y

Resolución

Encontremos primero la suma de los números

3 + 4 + 5 + ... + 11 = 63

Luego

25 25

25

x

z y

3(25) – (x + y + z) = 63

∴ x + y + z = 12

III. Relación de tiempos

En este tipo de problemas hacemos una analogía en-tre el tiempo y la recta numérica.

Anteayer Ayer Hoy MañanaPasadomañana

0 1 2

–1–2

Problema

Siendo martes el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana el anteayer de pasado mañana?

Resolución +2 – 1=Martes Hoy=Martes – 1 Hoy=Lunes

+1 – 2+2=1 ∴ El día será martes.

JUEGOS LÓGICOS I

Helicoteoría

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75to Año de Secundaria

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5.o GRado compendio de ciencias i

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Cerillos Distribuciones numéricasRelación de

tiempos

JUEGOS LÓGICOS

¾ Movimientos

¾ Formación de figuras

¾ Figuras diversas

¾ Cuadrados mágicos

¾ Pasado

¾ Presente

¾ Futuro

Helicosíntesis

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1. En la lámpara mostrada, cambie la posición de tres cerillos, de tal forma que resulten cinco triángulos del mismo tamaño.

Resolución

12

3

4

5

2. Si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día es hoy?

Resolución –1+2=Lunes

Hoy=Lunes–1

Hoy=DomingoRpta.: Domingo

3. Ubique los números del 2 al 9 en las casillas de modo que, sin repetir ninguno, la suma en cada aspa del molino sea la misma. Dé como respuesta la suma mínima.

Resolución

a

c

b

d

k

k

k

k

4k=2+3+4+5+...+9+a+b+c+d

4k=44+a+b+c+d

k = 11 + a+b+c+d4

kmín = 11 + (a+b+c+d)mín

4

kmín = 11 + 2+3+4+74

→ kmín = 15

Rpta.: 15

4. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una igualdad?

Resolución

Rpta.: Un palito

5. Si el mañana de mañana de pasado dentro de 15 días fuese lunes, ¿qué día será mañana?

Resolución

+1 + 1 + 2 + 15 = Lunes +19 = Lunes 7

o + 5 = Lunes

Hoy = Lunes – 5 Hoy = Miércoles

Luego: Mañana = JuevesRpta.: Jueves

Problemas resueltos

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1. El arquitecto José María recibe un trabajo por encargo de los dueños de una casa, quienes le presentan la ma-queta de la sala de juegos para los niños, como muestra el gráfico. El cual consiste en reducir el área a los 5/9 del área original de la sala y manteniendo su perímetro original. José María les muestra el resultado de su tra-bajo moviendo la menor cantidad de cerillos. Indique dicho número y grafique la maqueta resultante.

Observación: todos los cerillos tienen el mismo tamaño.

2. ¿Cuántos palitos debes mover como mínimo para que el cangrejo mire hacia abajo?

3. En un cuadrado mágico, calcule la suma de los nú-meros que van en los vértices.

Observación: El cuadrado es de orden 3 y se deben usar los primeros números pares.

4. Coloque los primeros 8 números pares en cada casi-llero de la figura, de modo que números pares conse-cutivos no queden en casilleros contiguos. Dé como respuesta la suma de los números que quedan en los casilleros sombreados.

5. El gráfico muestra tres monederos los cuales contie-nen monedas de S/1; S/2; S/5 una en cada uno. En cada uno de estos monederos hay una inscripción de las cuales solo una es verdadera.

Aquí nohayS/1

I

Aquí nohayS/2

II

AquíhayS/1

III

¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. El monedero II tiene la moneda de S/2.

II. El monedero I tiene la moneda de S/1 y el mo-nedero III la moneda de S/2.

III. La suma de las cantidades de los monederos I y II es S/6.

IV. La suma de las cantidades II y III es S/5.

6. Si el mañana del pasado mañana de anteayer fue lu-nes, ¿qué día será dentro de 15 días?

7. Distribuya los números del 1 al 9 de modo que la suma de los números que se hallan en cada lado del triángulo sea 17. Dé como respuesta el valor de x2+y2+z2.

x

y z

8. En la figura, distribuya los números 5; 7; 11; 13; 17; 19 y 23 tal que la suma en cada fila sea constante e igual a un número primo. Halle el valor de x.

x

Helicopráctica

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Nivel I

1. ¿Cuántos cerillos se deben cambiar de posición como mínimo para que el sentido de orientación de la silla cambie hacia la derecha como indica la fle-cha?

�

Resolución

2. Con 12 cerillos iguales, ¿cuántos cuadrados de igual área se pueden formar como máximo?

Resolución

Nivel II

3. Se construye un cuadrado mágico de orden 3 con los primero nueve números impares. Calcule la suma de los números ubicados en el centro de cada lado.

Resolución

4. El gráfico muestra una figura formada por 12 ce-rillos de igual longitud (2 cm). ¿Cuántos cerillos como mínimo se debe cambiar de posición para que manteniendo el mismo perímetro el área se reduzca en 4 cm?

Resolución

Helicotaller

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5. Distribuya los números 1; 2; 3; 4; 5 y 6 en la figura de modo que la suma en cada lado del triángulo sea 9. Dé como respuesta la suma de números ubicados en los vértices.

Resolución

Nivel III

6. Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana?

Resolución

7. Si el ayer del anteayer de mañana es lunes, ¿qué día será el pasado mañana de mañana?

Resolución

8. Coloque los números 1; 3; 5; 7;...; 15 en la figura de modo que dos impares consecutivos no queden juntos en casilleros contiguos. Dé como respuesta la suma de números que van en los casilleros sombrea-dos.

Resolución

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Helicodesafío

1. Coloque los 8 primeros números pares en cada ca-silla de tal manera que los números ubicados en los vértices de los triángulos pequeños sumen lo mismo. Calcule dicha suma si es la menor posible.

A) 20 B) 22 C) 24

D) 30 E) 40

2. En la siguiente figura, escriba un número de 7 cifras (una cifra en cada casilla) de tal manera que la cifra de la casilla 0 exprese cuántos ceros tiene el número, la cifra de la casilla 1 exprese cuántos unos tiene el número y así sucesivamente hasta la casilla 6 que dirá cuántos seis tiene el número. ¿Cuál es dicho número? Dé como respuesta la suma de cifras del número.

0 1 2 3 4 5 6

A) 7 B) 5 C) 4

D) 6 E) 8

Helicorreto

1. ¿Cuántos cerillos se deben de mover como mínimo para que la jirafa mire hacia atrás?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 1

2. Debe mover a menor cantidad de cerillos posibles para obtener una igualdad perfecta. ¿Cuántos son estos?

A) 4 B) 3 C) 2

D) 1 E) 6

3. Si hoy 28 de mayo es martes, ¿qué día de la semana será dentro de 78 días?

A) Miércoles B) Lunes C) Sábado

D) Jueves E) Martes

4. Si el ayer de pasado mañana del siguiente día del an-teayer de mañana es jueves, ¿qué día será mañana?

A) Martes B) Miércoles C) Jueves

D) Sábado E) Domingo

5. Luis estudia 3 días seguidos y descansa el cuarto día. Si hoy lunes empieza a estudiar, ¿después de cuantos días descansará un domingo?

A) 20 B) 21 C) 24D) 28 E) 32

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Nivel I

1. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una igualdad correcta?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2. ¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que la cereza quede fuera de la copa?

A) Ninguno B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

3. Si el ayer del pasado mañana del anteayer del ma-ñana del pasado mañana al día anterior del ayer del día posterior al ayer del mañana es lunes, ¿qué día es hoy?

A) Sábado B) Domingo C) Jueves

D) Lunes E) Martes

4. En el cuadrado mágico siguiente se deben colocar los números del 1 al 9, uno en cada casilla. Dé como respuesta el valor de A + B + C + D.

B

A C

D

A) 15 B) 18 C) 24

D) 20 E) 24

Nivel II

5. Luis estudia 4 días seguidos y descansa el siguiente. Si empieza a estudiar un lunes, ¿cuántos días deben transcurrir para que le toque descansar un domingo?

A) 30 B) 32 C) 35

D) 40 E) 50

6. Coloque los números del 1 al 10, uno en cada uno de los círculos mostrados de tal manera que la suma de los números en cada línea de 4 círculos sea constan-te. Calcule dicha suma.

A) 12

B) 32

C) 43

D) 31

E) 22

7. Si se sabe que el mañana del anteayer del ayer del pasado mañana de mañana es jueves, ¿qué día de la semana será el día que subsigue al día anterior del pasado mañana del anteayer de hoy?

A) Lunes B) Martes C) Jueves

D) Sábado E) Domingo

8. Por lo menos, ¿cuántos números deben cambiarse de posición para que las sumas de los números uni-dos por una línea recta sean iguales y además sea la máxima suma posible? Calcule dicha suma máxima y dé como respuesta ambos resultados.

A) 2 - 28

B) 3 - 28

C) 4 - 28

6

14

4

8

12

2 10

D) 3 - 30

E) 3 - 24

Nivel III9. ¿Cuántos triángulos equiláteros, no necesariamente

de igual tamaño, se pueden formar como máximo con 6 cerillos?

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

10. ¿Cuántos triángulos equiláteros de igual tamaño se pueden formar como máximo con 6 cerillos de modo que el lado de cada triángulo sea igual a la longitud de un cerillo?

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

Helicotarea

156

Las gemelas

Caminaban juntas dos hermanas gemelas por una concurrida avenida de la ciudad. Eran tan idénticas que un viejo amigo de ambas, al encontrarlas, les pregunta quién es quién, a lo que una de ellas dice: “Yo soy Nena” y la otra comenta: “Si lo que ella dice es cierto, yo soy Nina”.

Yo soy NenaSi lo

que ella dice es cierto, yo soy

Nina.

El problema es que una de ellas siempre miente y la otra nunca lo hace.

¿Podrías decir cuál es el nombre de la hermana sincera?

___________________________________________________________________________

Helicocuriosidades

CAPÍTULO


¾ Afianza la capacidad creativa y analítica.

¾ Resuelve problemas de razonamiento lógico como orden de informa-ción lineal, circular y en tablas de doble entrada.

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I. Problemas sobre parentescos

Son problemas que involucran las relaciones familiares entre algunos componentes de una familia, sobre el nú-mero de sus integrantes o el rol que desempeñan.

Ejemplo

¿Qué parentesco tiene conmigo Rocío si se sabe que su madre fue la única hija de mi padre?

Resolución

Hermanos

Rocío

Tío - sobrina

Yo

Madre de

Rocío

Mi madreÚnica hija

∴ Rocío es mi sobrina.

II. Verdades y mentiras

Involucran problemas en los cuales los actores expre-san situaciones que pueden ser verdaderas o falsas, según las condiciones del problema. Por lo general, se busca contradicciones al poner los valores de verdad a cada aseveración para descartar o aceptar un supuesto.

Ejemplo

Hay un solo anillo y tres cajas cerradas de diferente color, rotuladas con los siguientes enunciados:

¾ Caja ploma: “El anillo no está aquí”.

¾ Caja negra: “El anillo no está en la caja marrón”.

¾ Caja marrón: “El anillo está aquí”.

Si solo uno de los enunciados es verdadero, entonces es cierto que (UNMSM 2002)

Resolución

Según los enunciados sobre las cajas negra y ma-rrón, se observa que uno niega a otro, entonces se deduce que una de las afirmaciones es verdadera y la otra falsa; entonces, la afirmación de la caja ploma es falsa ya que una de las dos anteriores es la única verdadera.

∴ El anillo está en la caja ploma.

III. Orden de información

Ordenamiento lineal

1. Puede ser de izquierda a derecha y viceversa.

Izquierda Derecha

2. Orden de llegada.

1° 2° 3° 4°

3. Ascendente o descendente.

4.o Piso

3.er Piso

2.o Piso

1.er Piso

Ordenamiento circular

El orden en que se acomodan los elementos se reali-za en un círculo cerrado.

A

C

D B ;

B

A C

;

A B

D C

; ...

Ordenamiento por medio de tablas

(llamadas también tablas de doble entrada)

x y z

A

B

C

JUEGOS LÓGICOS II

Helicoteoría

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Problemas sobre parentesco

Número de integrantes

Rol que desempeñan

Orden de informaciónVerdades y mentiras

Búsqueda decontradicciones

Lineal

Circular

Tabla de decisiones

JUEGOS LÓGICOS II

Helicosíntesis

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1. Norma, Helen, Betty y Gaby están casadas con Da-vid, Bruno, Juan y Néstor, pero no necesariamente en el orden mencionado. Los nombres de una de las parejas empiezan con la misma letra. Helen está casada con Juan. La esposa de David no es Norma ni Gaby. ¿Cuál de las siguientes es una pareja de esposos?

Resolución

Piden indicar los nombres de una pareja de esposos.

Planteamos los datos en la siguiente tabla de categorías.

Nombre del esposo

Juan David Néstor Bruno

Nombre de la esposa

Helen

Gaby y Norma

Betty

No es Norma ni Gaby

Además, sabemos que solo los nombres de una pare-ja empiezan con la misma letra.

Luego

Nombre del esposo

Juan David Néstor Bruno

Nombre de la esposa

Helen Betty Norma Gaby

Necesariamente debe ser Norma. Sus nombres empiezan con la

misma letra.

Por lo tanto, una pareja es Gaby y Bruno.

Rpta.: Gaby y Bruno

2. Cinco personas de una misma familia se sientan a almorzar alrededor de una mesa circular. Hay tres platos de arroz con pollo y dos de lomo saltado. Si se sabe que:

¾ Los que comen lomo saltado no se sientan jun-tos.

¾ María no se sienta junto a José, pero ambos comen arroz con pollo.

¾ Ana no come lomo saltado y se sienta junto a María, pero no junto a David.

¾ Josúe es el primero en terminar de almorzar.

I. Ana se sienta junto a José.

II. No es cierto que José no se sienta junto a Da-vid.

III. No es cierto que María no se sienta junto a Josué.

Resolución

Se tiene

Dav

idL

omo

salta

do

Josu

é

Lom

o sa

ltado

María

Arroz con pollo

Ana

Arroz c

on

pollo

JoséArroz con

pollo

José

Arr

oz c

on

pollo

Mar

ía

Arr

oz c

on

pollo

JosuéLomo saltado

Ana

Arroz c

on

pollo

DavidLomo saltado

I) F II) V III) F

Rpta.: I y III

3. El novio de Ana mentía indefectiblemente los días martes, jueves y sábado. Los demás días decía la verdad. Cierto día conversaban

—Ana, salgamos a pasear hoy — le ofreció el novio.

—No — fue la respuesta de ella.

—¿Por qué no, si hoy es sábado?

—No... tal vez mañana.

—Mañana no podremos porque será miércoles y ten-go que estudiar.

¿Qué día fue la conversación?

Resolución

¾ El día de hoy no podrá ser lunes, miércoles, viernes ni domingo porque diría la verdad.

¾ No podrá ser martes ni sábado porque diría la verdad según los datos.

Rpta.: Jueves

Problemas resueltos

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4. Marcelo se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué?

Resolución

Mamá (suegra)

Marcelo Hermana Esposa

Rpta.: Es su mamá.

5. A, B, C, D y E son amigas y se sabe que una de ellas es casada. Al preguntársele quien es la casada, ellas respondieron

¾ A: “B es la casada”.

¾ B: “C es la casada”.

¾ C: “E es la casada”.

¾ D: “Yo no soy casada”.

¾ E: “C mintió cuando dijo que yo soy la casada”.

Si solo es cierta una de las afirmaciones, ¿quién es la casada?

Resolución

C y E se contradicen, es decir, una es V y la otra F.

∴ D (F) D: casada

Rpta.: D

¾ Aquí yace el bisabuelo y la bisabuela ¾ Aquí yacen tres padres y tres madres ¾ Aquí yace el tío y la tía ¾ Aquí yacen tres hijos y tres hijas ¾ Aquí yacen dos suegros y dos suegras ¾ Aquí yacen dos abuelos y dos abuelas ¾ Aquí yacen un nieto y dos nietas ¾ Aquí yace el cuñado y la cuñada ¾ Aquí yace el tío abuelo

¿Cuántas personas como mínimo había en dicha tumba?

5. Cinco amigos, Ana, Cecilia, José, Jorge y Luis, viven en un edificio de 7 pisos; cada uno en piso distinto. Ana vive en el piso más bajo y Cecilia en el inmediato superior al de Ana. Luis vive en el 7.° piso y Jorge entre los pisos de José y Luisa. Si en el primer piso hay tiendas y no vive nadie, y el 4.° piso está deshabilitado, determine las afirmaciones verdaderas.

I. Ana vive en el 2.° piso.II. José vive en el 5.° piso.III. Cecilia vive en el 3.° piso.

1. ¿Qué representa para Carlitos el único nieto del abuelo del padre de Carlitos?

2. ¿Qué parentesco tiene conmigo si su madre fue la única hija de mi madre?

3. Lucho repartió monedas de S/5, S/1, S/2 y S/0,5 entre sus cuatro hijos uno a cada uno. Si se sabe que cada uno dijo

¾ Carlos: “Yo recibí S/5”.

¾ Andrés: “Yo recibí S/1”.

¾ Juan: “Carlos recibió S/0,5”.

¾ Beto: “Yo recibí S/0,5”.

Además solo uno de ellos miente y los demás dicen la verdad. ¿Cuántos suman las cantidades que reci-bieron Carlos y Beto?

4. En una tumba del cementerio El Ángel se encuentra la siguiente inscripción:

Helicopráctica

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6. Seis personas se sientan alrededor de una mesa cir-cular con seis asientos distribuidos simétricamente. De lo anterior, se sabe que lo siguiente:

¾ Eder está al frente de Daniel. ¾ Felipe está junto a la derecha de Arturo. ¾ Benito está a la derecha de Éder, pero no al fren-

te de Arturo.

¿Quién se sienta al frente de la persona que se sienta junto a la derecha de Carlos?

7. Adela, Mirella, Róger y Darwin van a una heladería y piden cada uno un helado de los siguiente sabo-res: fresa, vainilla, lúcuma y chocolate (no necesa-riamente en ese orden). Si Adela no pide chocolate y Róger no pide fresa ni chocolate, además Mirella pide chocolate y Darwin solo pide chocolate o lúcu-ma, ¿quién pide helado de fresa?

8. Un juez estaba convencido que tres de cuatro perso-nas: Aldo, Rey, Pedro y Daniel eran los asesinos de Nora. Cada uno hizo una afirmación, pero solo una es verdadera.

¾ Aldo: “Yo no la maté”. ¾ Rey: “Aldo miente”. ¾ Pedro: “Rey miente”. ¾ David: “Rey la mató”.

¿Quién es el asesino?

Nivel I1. ¿Qué es de mí la única hermana de mi tía?

A) Mi mamá B) Mi hija C) Mi sobrina

D) Mi prima E) Mi nuera

Resolución

2. Un hombre se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué?

A) Porque es su tía. B) Porque es su hermana.C) Porque es su mamá.D) Porque es su cuñada.E) Porque es su abuela.

Resolución

Helicotaller

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Nivel II3. En un grupo familiar se puede observar un padre, una

madre, un hijo, una hija, un tío, una tía, dos hermanos y dos primos. ¿Cuántas personas hay como mínimo?

Resolución

4. Cuatro personas, A, B, C y D, se llaman Manuel, Lalo, Miguel y Juan, aunque no necesariamente en ese orden, además, se sabe que

¾ A, B y Manuel fueron a la playa. ¾ B, C y Juan estudian en una academia. ¾ A, D y Miguel comen uva. ¾ A es casado, en cambio, Juan tiene enamorada. ¾ D, C y Lalo conocen a Betty.

Además de Lalo, ¿quiénes conocen a Betty?

Resolución

5. Una familia consta de dos abuelos, dos abuelas, tres padres, tres madres, tres hijos, tres hijas, dos suegros, dos suegras, un yerno, una nuera, dos hermanos y dos hermanas. ¿Cuántas personas como mínimo hay?

Resolución

Nivel III6. Nilda, Lucía, Miriam, Sonia y Ángela son amigas y

se sabe que solo una de ellas es casada. Al pregun-társele quién es la casada, ellas respondieron

¾ Nilda: “Lucía es la casada”. ¾ Lucía: “Miriam es la casada”. ¾ Miriam: “Ángela es la casada”. ¾ Sonia: “Yo no soy casada”. ¾ Ángela: “Miriam mintió cuando dijo que yo soy

la casada”.

Si solamente es cierta una de las afirmaciones, ¿quién es la casada?

Resolución

7. Tres parejas de esposos se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidores simé-tricamente. Se se lo siguiente:

¾ Álex está junto y a la izquierda de Manuel.

¾ Elena está al frente de la esposa de Gustavo.

¾ Gustavo se sienta junto y a la derecha de la es-posa de Álex.

¾ María, que está sentada a la derecha de Doris, está al frente de su propio esposo.

¿Quién es el esposo de Elena?

Resolución

8. Ernesto dice la verdad los días lunes, miércoles y viernes, pero miente los demás días de la semana. Un día Ernesto dijo: “Mañana yo diré la verdad”. ¿Qué día era cuando dijo esto?

Resolución

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Helicorreto

Helicodesafío

11. Javier, Jesús, Jorge y Julio participaron en una com-petencia de natación. “¿Quién ganó”?, les preguntó alguien.

¾ Javier dijo: “Jorge fue el primero y Jesús fue el segundo”.

¾ Jesús dijo: “Jorge fue el segundo y Julio fue el tercero”.

¾ Jorge dijo: “Julio fue el último y Javier fue el segundo”.

Si de las dos afirmaciones que dio cada uno, una es verdadera y la otra es falsa, ¿cuál fue el orden de llegada?

A) Jorge, Javier, Julio y Jesús

B) Jorge, Javier, Jesús y Julio

C) Jorge, Jesús, Javier y Julio

D) Javier, Jesús, Jorge y Julio

E) Julio, Jorge, Javier y Jesús

12. Alejandra, María, Gladys, Verónica, Silvia y Eli-zabeth son psicólogas, que han estudiado en distin-tas universidades: UNAC, PUCP, UCH, UNFV, UNMSM y USMP. Ellas tienen las siguientes espe-cialidades: clínica, social, comunitaria, educacional y organizacional. Se sabe lo siguiente:

¾ La que estudió en la UNAC no es psicóloga clínica. ¾ María no ha estudiado en la UCH y no es psicó-

loga educacional. ¾ Quién ha estudiado en la UCH es psicóloga social. ¾ Silvia ha estudiado en la UNMSM y es psicóloga

organizacional. ¾ Gladys no estudió en la UNAC ni en la UCH. ¾ Alejandra y quien egresó de la UNFV son psi-

cólogas clínicas. ¾ Elizabeth no estudió en la UNAC ni en la UCH. ¾ Cada psicóloga tiene una especialidad.

¿Qué especialidad tiene María?

A) Organizacional B) Clínica

C) Educacional D) Comunitaria

E) Social

1. La persona que más quiero es precisamente la madre de la suegra de la mujer de mi hermano. ¿Quién es esta persona?

A) Mi madre B) Mi abuela C) Mi tía

D) Mi hermana E) Mi cuñada

2. ¿Quién es aquella persona que es hermano de mi hermana pero no es hermano mío?

A) Mi primo B) Mi cuñado C) Mi tío

D) Yo mismo E) Ninguno

3. Yo tengo 6 hijos y cada uno tiene una hermana. ¿Cuántos hijos tengo?

A) 12 B) 10 C) 9

D) 8 E) 7

4. Eduardo miente los miércoles, jueves y viernes y dice la verdad el resto de la semana. Andrés miente los domingos, lunes y martes, y dice la verdad el resto de la semana. Si ambos dicen: “Mañana es un día en que yo miento”, ¿qué día de la semana será mañana?

A) Lunes B) Martes

C) Miércoles D) Jueves

E) Sábado

5. Cuatro sospechosos de cometer un delito son arresta-dos por la PNP y al interrogarlos formulan la siguien-tes declaraciones:

¾ Andrés: “Eduardo es culpable”.

¾ Eduardo: “Jesús es culpable”.

¾ Jesús: “Eduardo miente al decir que yo soy cul-pable”.

¾ Rafael: “Yo no soy culpable”.

Conociendo que solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién es culpable?

A) Andrés B) EduardoC) Jesús D) RafaelE) Carlos

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Helicotarea

Nivel I

1. Una familia está conformada por un abuelo, una abue-la, dos padres, cinco hijos, tres nietos, un suegro, una suegra, una nuera, dos madres, un tío, tres sobrinos, cinco hermanos, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas conforman dicha familia como mínimo?

A) 13 B) 12 C) 11

D) 5 E) 8

2. Pedro se extravió en el desierto y encontró dos per-sonas que, al igual que él, estaban perdidas y escu-chó la siguiente conversación:

¾ Lino: “Hoy es domingo”. ¾ Dina: “Ayer fue domingo”. ¾ Lino: “Estamos en verano”.

Lino miente los días lunes, miércoles y viernes, y dice la verdad los demás días. Dina miente martes, jueves y sábado y los demás días dice la verdad; entonces podemos afirmar que es un

A) domingo de verano. B) lunes de verano.

C) lunes no veraniego. D) domingo no veraniego.

E) jueves de verano.

3. Cuatro sospechosas en un atropello a un manso ani-mal hicieron las siguientes afirmaciones ante el inte-rrogatorio por tan horrible crimen:

¾ Mariana: “Fue Lucha”.

¾ Lucha: “Fue Leudovica”.

¾ Irma: “Yo no fui”.

¾ Leudovica: “Lucha miente”.

Si solo una de ellas miente, ¿quién atropelló al inde-fenso animal?

A) Mariana B) Lucha C) Irma

D) Leudovica E) F. D.

4. David, Gustavo y Félix tienen un dado cada uno. Estos tres dados son idénticos en tamaño y color. Cada una de las caras de los dados tiene un color diferente. Al lanzar cada uno su dado sobre la mesa, ellos señalan los colores de las tres caras que ven en su respectivo dado

¾ David: “Azul, blanco, amarillo”.

¾ Gustavo: “Anaranjado, azul, rojo”.

¾ Félix: “Verde, anaranjado, blanco”.

¿Cuál es el color de la cara opuesta a la de color blanco?

A) Azul

B) Amarillo

C) Verde

D) Anaranjado

E) Rojo

Nivel II

5. Janeth, su hermano, su hija y su hijo, todos ellos jugadores de tenis, están a punto de empezar un par-tido de dobles.

I. El hermano de Janeth se enfrenta directamente, al otro lado de la red, con la hija de esta.

II. El hijo de Janeth está situado diagonalmente, al otro lado de la red, con respecto al peor jugador de una de las parejas de hermanos.

III. El mejor jugador y el peor jugador ocupan el mismo lado de la red.

IV. El tío no ha podido vencer a sus sobrinos.

¿Quién es el mejor jugador?

A) El hermano de Janeth

B) El sobrino mayor

C) El hijo de Janeth

D) La hija de Janeth

E) Janeth

6. Cada uno de estos tres hombres, Mario, Ramón y Homero, tienen dos ocupaciones, las cuales son de-tective, piloto, cantante, jockey, cajero y tenista. Se sabe que el cajero llevó a la fiesta a la novia del piloto; tanto el piloto como al cantante les agrada jugar cartas con Homero; el jockey desayuna a me-nudo con el cajero; Mario es más alto que Ramón y el jockey; Ramón le debe 100 soles al cantante y el piloto es más alto que el tenista.

¿Qué ocupaciones tiene Ramón?

A) Detective - piloto

B) Cantante - cajero

C) Detective - jockey

D) Piloto - jockey

E) Cajero - detective

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7. Cinco amigos, Marco, Julio, Andrés, Luis y Miguel, se van a comprar un auto cada uno. El vendedor les muestra autos de color rojo, blan-co, verde, negro y azul que son de las marcas Daewoo, Volvo, Ford, Toyota y VW en dife-rente orden. Se sabe que cada uno de ellos com-prará una marca y un color diferente; además, Marco prefiere el auto verde y será o Toyota o Daewoo. Luis se decide por el color negro, pero duda si será Daewoo o Ford. A Julio no le gusta ni Toyota ni Daewoo, mientras que Miguel opta por el blanco, Ford o VW. Andrés quiere el Volvo. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

A) Luis eligió el auto Ford.

B) El auto verde es de la marca Daewoo.

C) El Ford elegido es rojo o azul o blanco.

D) Andrés eligió un auto rojo ni azul.

E) El VW fue elegido por Luis o Andrés.

Nivel III

8. En una cancha de fútbol, cuatro jugadores miran desde cada ángulo al centro. El jugador peruano se encuentra al noreste de la cancha y frente al jugador boliviano, quien a la vez está a la izquierda del juga-dor chileno.

Determine dónde se encuentra el jugador argenti-no.

A) A la derecha del jugador peruano

B) A la izquierda del jugador chileno

C) Al sur del jugador boliviano

D) A la derecha del jugador boliviano

E) Frente al jugador peruano

9. Seis esferas de billar de diferentes color han sido colocadas sobre una mesa, formando una fila, una esfera a continuación de otra. Se observa lo siguiente:

¾ La esfera negra está a la izquierda de la esfera blanca. ¾ La esfera roja no está junto a la esfera amarilla. ¾ Hay exactamente dos esferas entre la esfera ver-

de o la esfera roja. ¾ La esfera blanca está junto y a la derecha de la

esfera verde. ¾ La esfera marrón se encuentra a la izquierda de

todas las otras esferas.

De derecha a la izquierda, ¿qué posición ocupa la esfera negra?

A) Quinta B) Segunda C) Primera

D) Tercera E) Cuarta

10. Susana, Natalia, Vania, Yesenia y Romina son ar-tistas, y cada una hace solo una de las siguientes actividades: cantar, tocar el piano, tocar la guitarra, bailar y tocar la batería, además se sabe que:

¾ Por estos días, Susana quiso grabar un disco con la guitarra, pero le informan que esta había sali-do de gira con la pianista.

¾ Natalia es muy amiga de la cantante y ha graba-do todas sus presentaciones.

¾ Romina ha cancelado sus presentaciones pues está afónica, pero asistirá a la primera presen-tación de Vania.

¾ Yesenia nunca ha trabajado sola, pero, en cambio, la pianista ya se ha presentado sola varias veces.

¾ A Vania le gustaría tocar el instrumento que toca Susana.

¿Quién toca la batería?

A) Susana B) Natalia C) Vania

D) Yesenia E) Romina

166

Leyenda hindú

Refiere una antigua leyenda hindú que, en la ciudad de Benarés en la cúpula del templo principal en el lugar donde se encuentra el centro de la Tierra, el dios Brahama colocó sobre una placa de bronce tres varillas de diamante en posición vertical; cada una de ellas tiene un codo de largo y el grosor del cuerpo de una abeja. Durante la creación del Mundo, en una de estas varillas fueron colocados 64 discos de oro para cada uno con un agujero en el centro, formando una especie de cono truncado, dado que los diámetros de los discos van en orden creciente comenzando desde arriba. Los sacerdotes del templo trabajaban día y noche sin cesar, cambiándose unos a otros, con el afán de traspasar esta columna de discos, de la primera varilla a la tercera, utilizando para ello la segunda como auxiliar y obligados a seguir las siguientes condiciones: (1) Traspasar un solo disco por vez. (2) Colocar el disco quitado en una varilla libres en dicho instante, o sobre un disco de menor diámetro.

Cuando los sacerdotes consigan traspasar los 64 discos de la primera varilla a la tercera, comenzará el fin del mundo.

64 discos

1.º 2.º 3.º

Si calculamos el número de traspasos necesarios para una cantidad de discos, tenemos:

N.º de discos

1234

64

n

N.º de traspasos

1 =21–1 3 =22–1 7 =23–1 15=24–1

=264–1

=2n–1

Ahora si calculamos 264 – 1 tenemos: 18 446 744 073 709 551 615. Más aún si asumiéramos que cada traspaso dura solo un segundo, entonces el tiempo necesario sería para traspasar los 64 discos: 5 849 424 174 siglos.

Helicocuriosidades

CAPÍTULO


¾ Utiliza herramientas matemáticas y de razonamiento sistemático en la resolución de problemas.

¾ Aplica los tipos de razonamiento como el inductivo y deductivo.

ALGORITMIA SENSORIAL IM

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5.o grado

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CAPÍTULO


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RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Es el método mediante el cual la inferencia lógica nos permite analizar pequeñas experiencias (casos particu-lares) para poder llegar a una conclusión (caso general) válida para todos los casos que se presenten.

Caso particular

Caso general

Ejemplos de aplicación

1. En la siguiente figura, determine el valor de la fila N, fila par, si se sabe que el 52 % de los círculos están sombreados. (UNI 2010-II)

............... 1 .............. 2 ............ 3

N

Resolución

Vemos la forma del problema y procedemos a apli-car el razo+-namiento inductivo. (N es par)

1 →2 →

1 →2 →

3 →4 →

1 →2 →

3 →4 →

5 →6 →

Sombreados no sombreados2 = 1 ×2 1 = 12

+2

6 = 2 ×3 4 = 22

+2

12 = 3 ×4 9 = 32

+2

Para la fila N 2N N N1

2 2 2 +

+2

52% 48%

→ 2

N N1

52%2 248%N

2

+ =

∴ N = 24

2. Calcule la suma de cifras de E.

E = (333...333)2

80 cifras

Resolución

32 =9 → 9 = 1 × 9

332 =1089 → 18 = 2 × 9 Suma de cifras

3332 =110889 → 27 = 3 × 9

3332 =11108889 → 36 = 4 × 9

80 ×9

720

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Es un modo mediante el cual se debe recordar las princi-pales conclusiones básicas llamadas casos generales para verificar y llegar a casos particulares.

Ejemplo de aplicación

Si a + b = 13 y c + d = 17, además

abcd + badc + cdba + dcab = pqst

calcule (p+q+s+t)2.

Resolución

a b c d + b a d c c d b a d c a b p q q s t

↓↓↓↓↓ 3 3 3 3 0

Luego

(p+q+s+t)2 = (3+3+3+0)2 = 81

ALGORITMIA SENSORIAL I

Helicoteoría

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ALGORITMIASENSORIAL I

Método inductivo

Conteo y cálculo

Esquemas gráficos Esquemas numéricos

Helicosíntesis

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1. Calcule la suma de cifras del resultado de

B = (666...666)2

100 cifras

Resolución

Inducción

62 = 36 → 9 = 9 · 1

662 = 4356 → 18 = 9 · 2 Suma de cifras

6662 = 443 556 → 27 = 9 · 3 (666...666)2

100 cifras

= ? → ? = 9 · 100

Rpta.: 900

2. Halle el total de palitos.

1 2 3 14 15 16

Resolución Inducción

1 1 22 3 1 2 3 4

2 = 1 · 2 6 = 2 · 3 12 = 3 · 4

Luego: Número total de palitos en la figura

15×16 = 240 Rpta.: 240

3. Si abc·a = 135

abc·b = 405

abc·c = 675

calcule (abc)2.

Resolución a b c × a b c 6 7 5 4 0 5 1 3 5 1 8 2 2 5 Rpta.: 18 225

4. Halle el total de palabras MARCELO en M A A R R R C C C C E E E E E L L L L L LO O O O O O O

Resolución

M

Inducción

...M

A A

MA A

R R R1 = 20 2 = 21 4 = 22

1 letra2 letras

3 letras

Luego: Número de palabras 26 = 64

Rpta.: 64

5. Dada la siguiente sucesión de figuras

; ; ... fig. 1 fig.2 fig.3

si en la figura 20 hay x triángulos más que el total de triángulos de las 3 primeras figuras, determine el valor de x. (UNI 2008-II)

Resolución Inducción: Número de palabras

número total 1.er de triángulos caso +2

8 = 2 ×4 fig. 1 +1

2.do caso +2

15 = 3 ×5 fig. 2 +1

3.er caso +2

24 = 4 ×6 fig. 3 +1 entonces +2

21 ×23 = 483 fig. 20 +1

De acuerdo al dato del problema, tenemos lo siguiente:

N.° de triángulos

de la figura 20 – cantidad total de

triángulos en las 3primeras figuras

= x

483 – (8+15+24) = x → ∴ x = 436Rpta.: 436

Problemas resueltos

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(333...333)2

60 cifras

2. Halle el número de palitos.

. . .

...

......

. . .

1 2 3 29 30

3. Halle el total de palabras CUADERNO.

CU

AD

ER

NO

UA

DE

RN

O

DE

RN

O

ER

NO

RN

ON

O O

AD

ER

NO

4. La sala de la señora Teresa tiene la forma de un cua-drado, se cubre con mosaicos cuadrados de colores claros y oscuros. Su hija Edith elabora la siguiente tabla para calcule el número de mosaicos

→ Cuadrado

Cantidad de mosaicos claros 0 4 16 36

Cantidad de mosaicos oscuros 1 5 9 13

Si Edith contó 197 mosaicos oscuros, ¿cuántos mo-saicos claros entraron en dicha sala?

5. Calcule la suma de los elementos.

1

2

3

4

...

...

...

...

20

2

3

4

5

3

4

5

6

4

5

6

7

...

.........................

....

....

....

....

....

.

...

...

...

...

20

6. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra ORO?

O O O

R R

O

R R

O O O

7. En el siguiente arreglo triangular de discos, calcule la suma de las cifras del número que representa la cantidad total de discos blancos.

1 2 3 4 45 46 47 89 90 91

8. La figura muestra pasajes de números en forma de una L invertida. ¿Cuánto suman los números del pa-saje 20?

1.° 1

1

1

1

4

5

6

9

11 16

13

10

7

7

53

2.°

3.°

4.°

20.°

Helicopráctica

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Nivel I1. Calcule la suma de cifras del resultado de

(333...333)2

100 cifras

Resolución

2. Halle el número de palitos en la torre.

1 2 3 18 19 20

Resolución

Nivel II

3. Halle el número de palabras PENSAREMOS.

P

NN

AA

E

O

E

O

E

OO

N

A A

E

O

E

O

E

O O

A

E

O

E

SS

R

M

S

R

M

S

R

M

S

M

SS

E

S S

R

M

S

R

M

S

R

M

S

M

S S

Resolución

4. Rita para entretenerse, construye con 3 palitos un

triángulo: ; con 5 palitos forma 2 triángulos:

; con 7 palitos 3 triángulos . Si po-

see 81 palitos todos del mismo tamaño, ¿cuántos

triángulos logrará formar?

Resolución

Helicotaller

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5. Calcule la suma de los elementos.

1 2 3 102 3 4 113 4 5 12

10 11 12 19

Resolución

Nivel III

6. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra PAPA?

P A P A

A P A

P A

A

Resolución

7. En el siguiente arreglo:

1f1f2f3f4

125

512

64

343

216

729 1000

8 27

calcule la raíz cúbica del último término de f20.

Resolución

8. En el siguiente triángulo, ¿cuántas bolitas sombrea-das hay?

1 2 3 98 99 100

Resolución

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Helicorreto

Helicodesafío

1. ¿Cuántos puntos de contacto se contarán en F20?

; ; ; ...

F1 F2 F3

A) 500 B) 510 C) 600

D) 630 E) 700

2. Calcule la suma de términos en la fila 30.

f1f2f3f4

1

6

8

3

4

9

12 16

2 4

A) 13 000 B) 11 500 C) 13 950

D) 10 950 E) 12 500


(111...11)2

8 cifras

A) 25 B) 36 C) 64

D) 81 E) 100


(666...66)2

200 cifras

A) 1800 B) 3600 C) 9000

D) 5000 E) 6000

3. Determine el número de palitos.

1 2 3 18 19 20

A) 400 B) 410 C) 420

D) 500 E) 700

4. Determine el número de puntos de corte en F10.

F1 F2 F3

...

...

A) 20 B) 30 C) 40

D) 45 E) 55

5. Determine el total de palabras CARLOS.

C

A A

R R R

L L L L

O O O O O

S S S S S S

A) 32 B) 64 C) 70D) 120 E) 20

RAZ.

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Helicotarea

Nivel I1. Calcule la suma de cifras del resultado de

(111...111)2

9 cifras

A) 19 B) 16 C) 81D) 64 E) 36


1 2 3 99 100 101

A) 13 200 B) 15 000 C) 10 100

D) 30 000 E) 15 600


(666...666)2

100 cifras

A) 100 B) 300 C) 900D) 1000 E) 360


1 2 3 18 19 20

A) 300 B) 360 C) 390

D) 399 E) 400

5. Halle el número de bolitas.

1 2 3 18 19 20

A) 210 B) 300 C) 330

D) 350 E) 500

Nivel II

6. En el siguiente arreglo, calcule la suma de todos los términos.

40

246

42

468

46 ...

8 ...10 ...12 ...

44

6810

48 78

10 4012 4214 44

A) 1500 B) 1600 C) 20 000D) 25 000 E) 36 000

7. Halle el número de palabras GANAR.G

NA

R

NA

R

NA

RA

R R

A A

A) 8 B) 16 C) 32

D) 64 E) 128

8. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra ALA?

A

L L

A A A

L L

A

A) 12 B) 6 C) 24

D) 30 E) 36

Nivel III9. Halle el número de bolitas.

201918321

A) 100 B) 200 C) 400

D) 900 E) 930

10. Simplifique

1111111088888889B

123456787654322 1=

−A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RAZ.

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175

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Capítulo 1

¾ MADACHY, Joseph S. Las esferas doradas. Zugarto Ediciones S. A. España, 1994. Tomo I.

¾ http://www.elconfidencial.com/alme-corazon-vida/2014-08-17/los-diez-mejores-acertijos-de-pensamien-to-lateral-para-divertirse-pensando17638/

Capítulos 1 y 3

¾ WREN, Lassiter; MCKAY, Randle. El detective es usted. Zugarto Ediciones S. A. España, 2004.

¾ http://www.prof-alexz.blogspot.pe/2011/03/razonamiento-logico-matematico.html

Capítulo 2

¾ PERELMAN, Yakov. Álgebra recreativa. Editorial Mir. Moscú, 1975.

¾ http://www.definicion.de/razonamiento-logico/

Capítulos 2 y 3

¾ GARDNER, Martin. Nuevos pasatiempos matemáticos. Alianza Editorial. Madrid, 1992.

¾ http://www.youtube/RbY3RB3yLKc

Bibliografía y cibergrafía

153

Los bomberos

El diagrama indica la ubicación de los 35 barrios de una ciudad. Los círculos son barrios y las líneas carreteras. La distancia entre barrios es 5 km. El intendente decide que ningún barrio debe estar a más de 5 km de un cuar-tel de bomberos.

¿Cuál es la mínima cantidad de cuarteles necesarios?

Indique sus ubicaciones.

Solución

Los cuarteles deben estar ubicados según el gráfico si-guiente:

Helicocuriosidades

CAPÍTULO


¾ Aplica técnicas de conteo para obtener resultados numéricos.

¾ Realiza procesos deductivos para la resolución de problemas.

ALGORITMIA SENSORIAL IIM

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TICA

5.o grado

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Z. M

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ÁT

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CAPÍTULO


RAZ.

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5.o Grador

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ocompendio de ciencias ii

154

matem

ática

Razonamiento inductivo

Método por el cual, mediante la inferencia lógica, nos permite realizar experiencias (casos particulares) para po-der llegar a una conclusión (caso general) válida para los casos que se presenten.

Ejemplo 1

¿Cuántos triángulos del mismo tamaño como máximo, se podrán formar al unir los centros de los círculos en la figura 20?

...Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Resolución

...

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

N.° de 1=12 4=22 9=32 triángulos

Fig. 20: 202=400

Ejemplo 2

Si a+b+c=0, calcule la suma de las cifras de

T = (XXX...XXX)2

101 cifras

sabiendo además que

2 2 2X=

a b cbc ac ab

+ +

Resolución

3 3 3 3X= 3

a b c abcabc abc+ + = =

RecuerdaSi a+b+c=0 → a3+b3+c3=3abc

T = (333...333)2

101 cifras

Método inductivo Suma de cifras

1 cif. 32 = 9 → 9 = 9 × 1

2 cif. 332 = 1089 → 18 = 9 × 2

3 cif. 3332 = 110 889 → 27 = 9 × 3

101 cif. 333...332 = → 9 × 101 = 909

El razonamiento deductivo es probablemente el proceso más usado en matemáticas. Cada vez que trabajamos con una ecuación o expresión matemática para llegar a una conclusión o respuesta, estamos usando el razonamiento deductivo siguiendo los principios generales de las mate-máticas para encontrar una solución específica que debe ser verdadera.

Ejemplo 3

Terry hace lo siguiente para factorizar la expresión

3x3+6x2+3x

Resolución

¾ Primero factoriza 3x usando la propiedad distributiva

3x3+6x2+3x = 3x(x2+2x+1)

¾ Luego reconoce que el segundo factor está en la forma de a2+2ab+b2, y recuerda que

a2+2ab+b2 = (a+b)2

¾ Finalmente, reescribe el segundo factor como el cuadrado de un binomio

3x(x2+2x+1) = 3x(x+1)2

¿Es esto razonamiento inductivo o deductivo?

Terry usó la propiedad distributiva y otros hechos co-nocidos para crear una serie de hechos nuevos sobre la expresión 3x2+6x2+3x. Esto es razonamiento de-ductivo.

MÉTODOS DE RAZONAMIENTO

Helicoteoría

RAZ.

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5.o GRado compendio de ciencias ii

155

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Helicosíntesis

¾ Suma de cifras de resultados

¾ Conteo de figuras

¾ Cálculo de cifras

¾ Cifras terminales

ALGORITMIA SENSORIAL

TÉCNICAS DE CONTEO

Método inductivo Método deductivo

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5.o Grador

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156

matem

ática

1. Efectúe

N = R×2000+R×1999+27R+3

si R=(99 – 1)(98 – 2)(97–3)...(1 – 99 ).

Resolución

R=98×96×95×94×...×0×...×(–98)

R=0

N = 0×2000+0×1999+270+3 = 3

Rpta.: 3

2. Halle el valor de x.

factores

27 29 31 33 ... ...mnp

pqr

x× × × × =

Resolución

(...5)mnp = ...x

...5 = ...x

x = 5

Rpta.: 5

3. Halle el valor de la última cifra de

K=9[(...ab)2–1] –1

si b es 8.

Resolución

K=9(...3)–1

K=...8

Rpta.: 8

4. Halle el valor de M en

M = (19 001)2 – (19 000)2

Resolución

Recuerde: a2 – b2 = (a + b)(a – b)

M = (19 001 + 19 000)(19 001 – 19 000)

M = (38 001)(1)Rpta.: 38 001

5. Si 2x–3x–x+1 = 39 366, halle el valor de

21M 1

x

x = +

Resolución

Transformando la expresión

x–3x–x+1 = 19 683

(x–3x)x–x+1

= 19 683 →

– ·31xx x

x

= 19683

1

·31

xx

x

x

=19 683→1

31

xx

x

x

= 19683

31

1

x

x x

x

=19 683 = 273

131 1

27 3 3

xx x

xx x

= = → =

M =

21 x

x+3 = 32+1 = 10

Rpta.: 10

Problemas resueltos

RAZ.

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mat

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ica

1. Calcule la suma de las cifras del resultado de A.

A = (999...9995)2

101 cifras

2. Si M × 375 = ...875

M × 427 = ...351

calcule el producto de las tres últimas cifras del re-sultado de 156 × M.

3. ¿Cuántos puntos de corte hay en total?

...

...

1 2 3 30

4. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas maneras distin-tas se puede leer la palabra OYETUN, a igual dis-tancia mínima, de una letra a otra en cada lectura?

O O

Y Y Y

E E E E

T T T T T

U U U U U U

N N N N N N N

5. En la multiplicación mostrada cada asterisco repre-senta un dígito. Calcule la suma de cifras del pro-ducto total.

3 * * × 7 * * 6 * * * * * * 6 * 4 4

6. Si abc – mn4 = cba, además a+b+c = 20, calculec

a – b.

7. Si abcd × 9 999 999 = ...2468, calcule

a + b + c + d

8. En una reunión se contaron en total 780 apretones de mano. Si solo asistieron varones, ¿cuántas personas estuvieron reunidas?

Helicopráctica

Nivel I


(999...996)2

50 cifras

Resolución

2. Calcule las tres últimas cifras de N × 42. Dé como respuesta la suma de dichas cifras.

N × 23 = ...927

N × 25 = ...225

Resolución

Helicotaller

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matem

ática

Nivel II

3. En la figura mostrada, halle el máximo número de triángulos.

...

1 2 3 4 ... 199 200

Resolución

4. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra PAPA?

P P A P P A

Resolución

5. Reconstruya la división mostrada y dé como res-puesta la suma de cifras del dividendo. (Cada * re-presenta un dígito).

* * 4 * * * *2 * * * * 2 3 * * * * * 1 5 * 1 * 0 – – –

Resolución

Nivel III

6. Si ADCV(99999999)= ...3518, calcule A+D+C+V.

Resolución

RAZ.

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7. Si a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161, efectúe

M = a+aa+aaa+aaaa+...

a sumandos

Resolución

8. En un campeonato de fulbito participan 30 equipos. Si todos juegan una vez con cada uno de los otros equipos, ¿cuántos partidos se jugarán en total?

Resolución

Helicodesafío

1. Qué dígito debe escribirse en los tres cuadraditos de la siguiente operación:

× = 176

para que la igualdad sea correcta.

A) 6 B) 4 C) 7

D) 8 E) 9

2. Si abcd + a + b + c + d = 1799, halle el valor de (a + b)(c + d).

A) 80 B) 112 C) 102

D) 32 E) 72

RAZ.

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matem

ática

Nivel I

1. Halle el valor de M y dé como respuesta la suma de cifras.

M=(666666666666)2

A) 112 B) 148 C) 108

D) 110 E) 121

2. Calcule la suma de las cifras del resultado de A.

A = 999...998×999...999

100 cifras 100 cifras

A) 1016 B) 1000 C) 1002

D) 900 E) 890

3. Calcule M y dé como respuesta la suma de las cifras.

M = (999...96)2

6n cifras

A) 18n B) 27n C) 36n

D) 45n E) 54n

4. Calcule la suma de las cifras del resultado de

T = (111...111)2

9 cifras

A) 81 B) 100 C) 64

D) 49 E) 121

Helicorreto

1. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la pala-bra LÁPIZ?

LL A L

L A P A LL A P I P A L

L A P I Z I P A L

A) 63 B) 31 C) 256

D) 128 E) 64

2. ¿Cuántas palabras ÁLGEBRA se pueden leer en total?

AL L

G G GE E E E

B B B B BR R R R R R

A A A A A A A

A) 63 B) 64 C) 128

D) 127 E) 255

3. ¿Cuántos triángulos hay en total en la figura 20?

...

F1 F2 F3 ...

A) 20 B) 80 C) 81

D) 243 E) 27

4. ¿En qué cifra termina el desarrollo de A?

n cifras

n cifras

n cifras

A = 111...1888...8+555...5666...6+666...699...99

n cifras n cifras n cifras

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

5. Halle el valor de A.

n sumandos

A = (1×3+3×5+5×7+...)+n

12+22+32+...

n sumandos

A) 4 B) 5 C) 7

D) 8 E) 10

Helicotarea

RAZ.

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161

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Nivel II


E = 10 305 050 301 + 2 040 604 020

A) 10 B) 9 C) 12

D) 6 E) 8

6. Calcule la suma de los números de la figura 10.

1 3 5

1

7 9 11

3 5

1

...

F1 F2 F3 ...

A) 2500 B) 3025 C) 2025

D) 5000 E) 100

7. ¿Cuántos cuadraditos sombreados presenta la figura 25?

...

F1 F2 F3 ...

A) 20 B) 80 C) 90D) 100 E) 120

8. ¿De cuántas formas distintas se lee ESPERANZA uniendo círculos consecutivos en el siguiente arreglo?

E

S

P

E

R

S

P

E

R

P

E

R

E

R R

A

Z

N

A A A A

N N

Z

A) 10 B) 20 C) 40D) 60 E) 70

Nivel III

9. Si a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161, efectúe

M = a+aa+aaa+aaaa+...

a sumandos

A) 4936 B) 4856 C) 4836D) 4938 E) 4746

10. ¿Cuántas bolitas se contarán en la figura F20?

...

F1 F2 F3 ...

A) 1200 B) 960 C) 800D) 1160 E) 820

162

Descripción de la competencia

La competencia matemática consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones bá-sicas, los símbolos y las formas de expresión y razo-namiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el co-nocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral. Forman parte de la competencia matemática los siguientes aspectos:

¾ La habilidad para interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y argumentaciones, lo que aumenta la posibilidad real de seguir aprendiendo a lo largo de la vida.

¾ El conocimiento y manejo de los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o si-muladas de la vida cotidiana.

¾ La puesta en práctica de procesos de razonamiento que llevan a la solución de los pro-blemas o a la obtención de diversas informaciones.

¾ La disposición favorable y de progresiva seguridad y confianza hacia la información y las situaciones que contienen elementos o soportes matemáticos, así como hacia su uti-lización cuando la situación lo aconseja, basadas en el respeto y el gusto por la certeza y en su búsqueda a través del razonamiento. Esta competencia cobra realidad y sentido cuando los elementos y razonamientos matemáticos son utilizados para enfrentarse a aquellas situaciones cotidianas que los precisan. Por ello, su desarrollo en la educación obligatoria se alcanzará en la medida en que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia variedad de situaciones, provenientes de otros cam-pos de conocimiento y de la vida cotidiana. El desarrollo de la competencia matemática, implica utilizar —en los ámbitos personal y social— los elementos y razonamientos matemáticos para interpretar y producir información, para resolver problemas prove-nientes de situaciones cotidianas y para tomar decisiones.

En definitiva, supone aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemática-mente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lengua-je matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas, e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar una mejor respuesta a las situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad.

Helicocuriosidades

CAPÍTULO


¾ Interpreta y traduce enunciados literales al lenguaje matemático.

¾ Desarrolla la capacidad de abstracción identificando la incógnita pre-sente en un enunciado.

INTERPRETACIÓN DE ENUNCIADOS IM

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5.o grado

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CAPÍTULO


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El arte de plantear una ecuación se remonta a tiempos muy antiguos, desarrollándose cada vez más, de acuerdo como se fueron desarrollando las matemáticas, convirtiéndose hoy en día en un procedimiento necesario para resolver muchos problemas de las matemáticas aplicadas a casos reales.

Plantear una ecuación es una habilidad sumamente importante para la resolución de problemas y consiste en traducir un lenguaje literario vernacular (escrito o hablado) a un lenguaje universal que es el matemático (simbólico).

A continuación presentamos a modo de ejercicio la traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simbólica matemática.

Enunciado Representación matemática

1. La suma de tres números consecutivos es 51.

2. El exceso de A sobre B es C.

3. A es tanto como B.

4. A es una vez más que B.

5. A es dos veces más que B.

6. El triple de un número aumentado en 5.

7. El triple, de un número aumentado en 5.

8. Yo tengo tanto como la mitad de lo que tienes.

9. La suma de cubos de dos números.

10. El cubo de la suma de dos números.

(x–1)+ x+(x+1)=51

A – B=C

A=B

A=B+B → A=2B

A=B+2B → A=3B

3x+5, donde x es el número

3(x+5), donde x es el número

Tú tienes: 2x / yo: tengo x

x3+y3

(x+y)3

Ejemplo 1

Halle el mayor de tres números consecutivos tal que al multiplicarlos entre sí se obtiene 63 veces el valor del que es mayor que el menor pero menor que el mayor.

Resolución

Sean los números x, x+1, x +2

x(x + 1)(x + 2) = 63(x + 1) x(x + 2) = 7 × 9

x = 7

∴ El mayor es 9.

Ejemplo 2

Un caminante ha recorrido 1000 metros, unas veces avan-zando, otras retrocediendo. Si se encuentra a 350 metros del punto de partida, ¿cuántos metros recorrió retrocediendo?

Resolución

A: metros que avanzó

R: metros que retrocedió

A+R=1000A – R= 350

2A=1350

A= 675

R= 325

∴ El caminante retrocedió 325.

INTERPRETACIÓN DE ENUNCIADOS I

Ejemplo 3

A un alambre de 38k metros se le ha hecho dos cortes de tal manera que la longitud de cada trozo sea igual al anterior aumentado de su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo menor?

Resolución

8k 12k 18k

32

32

38k

1.er corte 2.o corte

∴ La longitud del menor trozo es 8k.

Helicoteoría

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Ecuaciones lineales Ecuaciones cuadráticas o cúbicas

INTERPRETACIÓN DE ENUNCIADOS I

Traducción de enunciados

Helicosíntesis

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1. Dos chicas y tres chicos comen en total 16 carame-los. Cada chico come el doble de caramelos que cada chica. ¿Cuántos caramelos se comerán tres chicas y dos chicos con la misma pasión por lo caramelos?

Resolución

Chicos

2x 2x 2x x x =16+ + + +

Chicas

8x=16

x=2

Luego, cada chica come 2 caramelos y cada chico 4

∴ 3 chicas y 2 chicos

3(2)+2(4)=14

Rpta.: 14

2. Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. Él ha observado que si coloca tres conejos en cada cone-jera le sobra un conejo, pero si coloca cinco conejos en cada conejera le sobran tres conejeras. ¿Cuántos conejos tiene Sebastián?

Resolución

N.° de conejeras

N.° de conejos por conejeras

Total de conejos

n 3 3n+1

n–3 5 5(n–3)Iguales

→ 3n+1=5(n – 3)

16=2n

n=8

∴ N.° de conejos: 3(8)+1=25

Rpta.: 25

3. Juan reparte 24 000 soles en partes iguales a un gru-po de personas. Si hubiera incluido dos personas más, la cantidad de soles que hubiera recibido cada una de ellas hubiera disminuido en 20 soles. ¿En-tre cuántas personas repartió Juan los 24 000 soles? (UNAC 2004)

Total a repartir: S/24 000

N.° de personas

N.° de soles que recibe cada uno

x

x+2

24 000x

24 000x+2

S/20 menos

24 000

x –

24 000x + 2

= 20

12001x –

1x + 2

= 1

12002

x(x + 2) = 1

1200 · 2 = x(x + 2)

(48)(50) = x(x + 2)

∴ x = 48

Rpta.: 48

4. La suma de tres números pares consecutivos es 120. Halle el mayor de dichos números.

Resolución

(x – 2) + x + (x +2) = 120

3x = 120

x = 40

∴ El mayor será: x + 2 = 42

Rpta.: 42

5. Un número excede a 30 tanto como dicho número es excedido por 70. Halle dicho número.

Resolución

x – 30 = 70 – x 2x = 100 ∴ x = 50

Rpta.: 50

Problemas resueltos

RAZ.

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matem

ática

Nivel I1. Un número excede a 15 tanto como dicho número es

excedido por 31. Halle el número.

Resolución

1. Un número excede a 13 tanto como dicho número es excedido por 17. Halle el número aumentado en su tercera parte.

2. Compré 25 cuadernos. Si cada uno me hubiera cos-tado S/10 menos hubiera comprado 50 cuadernos más. ¿Cuánto me costó cada cuaderno?

3. A ser preguntado David por el número de caramelos que compró respondió: “Compré 2 más que la raíz cuadrada del triple de las que compré disminuido en 2”. ¿Cuántos compró?

4. Raúl no sabe si comprar 56 tajadores o por el mismo costó 8 lápices y 8 lapiceros. Si decidió comprar el mismo número de artículos de cada tipo, ¿cuántos compró en total?

5. Si a cada uno de mis hijos les doy S/3 me sobrarían S/19, pero si a cada uno le doy S/5 me sobrarían S/5. ¿Cuánto dinero tengo?

6. Elena paga por 2 pollos y 5 pavos un total de S/495. Si cada pavo cuesta S/15 más que un pollo, ¿cuántos cuestan un pollo y un pavo juntos?

7. A una fiesta entró un total de 350 personas entre niños y niñas. Se recaudaron S/1550 debido a que cada niño pagó S/5 y cada niña S/4. ¿Cuál es la diferencia entre el número de niñas y el número de niños?

8. En una hacienda hay vacas, caballos, y cerdos. Sin contar las vacas hay 24 animales; sin contar los caballos, 36 animales; y sin contar los cerdos, 28 animales. ¿Cuál es el número de caballos de dicha hacienda?

Helicopráctica

Helicotaller

2. Compré 40 cuadernos. Si cada uno me hubiera cos-tado S/3 menos, hubiera comprado 60 cuadernos. ¿Cuál es el costo de cada cuaderno?

Resolución

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Nivel II3. Al ser preguntado José María por el número de cho-

colates que compró, él respondió: “Compré cuatro más que la raíz cúbica de 22 veces el número que compré disminuido en 4”. ¿Cuántos chocolates com-pró?

Resolución

4. Una fábrica contrata un obrero con la siguiente con-dición: por cada día que trabaje le pagarán S/15 y por cada día que no trabaje le descontarán S/20. Si luego de 30 días, el obrero solo recibió S/170, ¿cuántos días trabajó?

Resolución

5. Si reparto tantos caramelos a cada niño como niñas tengo, me haría falta 2 caramelos; pero si doy 2 ca-ramelos a cada niño, me sobrarían 61 caramelos. ¿Cuántos niños tengo?

Resolución

Nivel III6. Con un número se hacen las siguientes operaciones:

primero se le multiplica por 5, luego se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada, luego se eleva al cubo el resultado, para finalmente restarle 16. Si luego de realizar las operaciones se obtiene 11, ¿cuál es el número?

Resolución

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Helicodesafío

1. Se distribuye tres grupos de igual número de cartas. Si el primero localiza 37 puntos; el segundo 35; el tercero 24 y en total hay cuatro cartas de 11 puntos, cuatro de 12 puntos y cuatro ases, entonces el último grupo tiene

A) tres cartas del mismo valor.

B) solamente ases.

C) dos ases.

D) una carta de 12 puntos.

E) solamente una carta de 11 puntos.

2. De cuatro números pares consecutivos se sabe que el producto de los dos menores resulta tanto como cuatro veces la suma de los dos mayores. Calcule la suma de cifras del mayor de los cuatro números.

A) 9 B) 7 C) 8

D) 6 E) 5

7. Con 60 monedas en total, unas de S/5 y otras de S/2 se quiere pagar una deuda de S/204. ¿Cuántas monedas de cada clase se tiene?

Resolución

8. Heraldo comenta acerca de sus mascotas: “Todos son loritos menos 14. Todos son perritos menos 13. Todos son canarios menos 11”. ¿Cuántos perritos tiene Heraldo?

Resolución

RAZ.

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Helicorreto

1. Con motivo del primer aniversario de Ana y Beto se realiza una fiesta. Si los invitados se sentaran 8 en cada mesa se quedarían de pie 16 de estos, pero si se sentaran 6 en cada mesa se quedarían de pie 40 invitados. ¿Cuántas personas hay en la fiesta?

A) 56 B) 98 C) 104

D) 112 E) 114

2. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entrada de S/8 le faltarían S/12 y si adquiere entradas de S/5 le sobraría S/15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?

A) 5 B) 6 C) 7

D) 9 E) 10

3. Luis tiene S/932 y José tiene S/338. Después que Luis gasta el doble de lo que gasta José, a Luis le queda el cuádruple de lo que le queda a José. ¿Cuán-to gastó Luis?

A) S/210 B) S/420 C) S/200

D) S/400 E) S/320

4. Un batallón de soldados puede ubicarse en filas de 11 cada una, pero si se ponen dos soldados menos en cada fila hay que poner dos filas más. ¿Cuántos soldados hay?

A) 66 B) 77 C) 44

D) 99 E) 110

5. Alan entregó 50 kg de arroz y S/90 en efectivo por una bicicleta, pero si hubiera entregado 30 kg más de arroz del mismo precio que el anterior, ya no habría sido necesario el dinero para adquirir la bici-cleta. ¿Cuánto cuesta la bicicleta?

A) S/100 B) S/200 C) S/240

D) S/300 E) S/360

Helicotarea

Nivel I1. Divida 3600 en tres partes de modo que la segunda

sea el triple de la primera y la tercera sea la mitad de la suma de las dos primeras partes. Dé como res-puesta la parte mayor. (USMP 2004)

A) 1000 B) 1500 C) 1600

D) 1800 E) 1200

2. La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede al de las unidades en 3 y la diferencia entre los cuadrados de estas cifras es 15. ¿Cuál es el nú-mero?

A) 41 B) 42 C) 63

D) 74 E) 85

3. El número 70 excede a otro número tanto como este otro número excede a su propia tercera parte. Indi-que el triple del número.

A) 126 B) 129 C) 108

D) 120 E) 117

4. Ocho personas realizan un viaje cuyos gastos con-vienen en pagar por partes iguales al término del mismo. Tres de ellos no pudieron hacerlo y entonces cada uno de los restantes tuvo que pagar S/180 más. ¿Cuánto costó el viaje?

A) S/1800 B) S/1200 C) S/2400

D) S/4800 E) S/3600

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Nivel II5. Martín trabaja en una empresa en la cual por día

trabajado recibe S/300 y por día que falta a sus labores le descuentan S/100. ¿Cuántos días habrá trabajado si al final de 40 días el adeuda a la empre-sa S/2000?

A) 5 B) 35 C) 25

D) 15 E) 10

6. Aldo cuenta sus pollos y dice: “Si al número de po-llos que tengo lo elevo al cuadrado y luego le sumo tres veces la cantidad de pollos que tengo, siempre me resulta mayor que 54”. ¿Cuántos pollos como mínimo tiene Aldo?

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

7. Si compro dos revistas gastaría 2 soles más que si comprara 3 periódicos, pero si comprara 5 periódi-cos gastaría 2 soles más que si comprara 2 revistas. ¿Cuánto cuesta cada periódico?

A) S/4 B) S/3 C) S/5

D) S/1,5 E) S/2

8. El largo de un terreno rectangular es el doble del ancho. Si el largo se aumentara en 40 m y el ancho en 6 m, el área se duplicaría. Calcule la diferencia de las dimensiones del terreno.

A) 15 m B) 30 m C) 20 m

D) 40 m E) 24 m

Nivel III9. En un zoológico, por cada mono hay tres tigres y por

cada tigre hay 4 leones. Si en total se han contado 320 extremidades de animales, ¿cuántos monos hay?

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 6

10. Dos decenas de libros cuestan tantos soles como li-bros dan por S/.2880. ¿Cuánto cuestan 4 libros?

A) S/40 B) S/36 C) S/41

D) S/48 E) S/39

171

¿Quién fue Diofanto?

Luego del gran florecimiento de la ciencia y de la matemática alejandrina del siglo III

a. C., hubo un periodo de estancamiento hasta el siglo conocido como la Edad de Plata

(250 a 350 d. C.), cuando aparecen las grandes figuras de Diofanto y Pappus de Alejan-

dría. No se sabe con exactitud cuándo vivió el primero de estos matemáticos, pero se

asume que alrededor del 250 d. C. La principal obra es su Arithmetica, en trece libros,

de los cuales sobrevivieron solo los seis primeros. La Arithmetica no es una exposi-

ción sistemática de operaciones o funciones algebraicas o de la solución de ecuaciones

algebraicas, sino una colección de 150 problemas concebidos en términos de ejemplos

numéricos específicos (no es un texto de álgebra, sino una colección de problemas de ál-

gebra aplicada). Se aleja de la tradición euclidiana del álgebra geométrica y se aproxima

más al álgebra babilónica numérica, aunque se diferencia de esta última (a) por buscar

soluciones exactas, positivas y racionales a ecuaciones determinadas e indeterminadas,

(b) por ser sus números totalmente abstractos y no referirse a medidas concretas, como

dimensiones de campos o unidades monetarias, lo cual era característico de la tradición

matemática del Cercano Oriente.

Helicocuriosidades

CAPÍTULO


¾ Intepreta enunciados con más de una incógnita.

¾ Resuelve ecuaciones diofánticas y lineales.

INTERPRETACIÓN DE ENUNCIADOS IIM

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CAPÍTULO


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Una de las contribuciones importantes de Diofanto corresponde al campo de la notación. Los historiadores de la

matemática distinguen tradicionalmente tres etapas en el desarrollo del álgebra: la etapa de las palabras, la etapa

intermedia o sincopada, en la cual se utilizan algunas abreviaturas y la etapa final o simbólica. El álgebra de Diofan-

to se ubica de plano en la segunda de estas categorías. Los signos utilizados en la Arithmetica no son, en realidad,

símbolos algebraicos, como los concebimos actualmente, sino abreviaturas (por ejemplo, para cada potencia de la

incógnita existía un signo especial). Un epigrama griego que nos relata la corta historia de su vida.

¿Cuánto tiempo vivió Diofanto? Solución a la famosa ecuación

Para saber años vivió Diofanto es preciso considerar el curioso epitafio en la tumba de este famoso matemático grie-

go, donde podremos encontrar diversas expresiones algebraicas ocultas en algunos enunciados.

Lo único que se conoce del tiempo de vida de Diofanto de Alejandría es que nació alrededor del 200-214 d. C. y

falleció alrededor de 284-298 d. C. Pero gracias al epitafio mencionado tenemos una clave para descifrar la cantidad

exacta de años que esta singular persona vivió.

El epitafio ha sido traducido a una gran cantidad de idiomas y en el español ha tomado diversas adaptaciones pero en

su naturaleza siempre se pueden identificar ecuaciones de primer grado para resolver un problema.

Epitafio de la tumba de Diofanto (en una de sus varias versiones):

“Esta tumba contiene a Diofanto. !Oh gran maravilla! Y la tumba dice con arte, la medida de su vida. Dios hizo que

fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el

fuego nupcial después del séptimo, y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero. iAy! niño tardío

y desgraciado, en la mitad de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en

cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida”

Vamos que las expresiones algebraicas quedarían de la siguiente manera:

¡Caminante! En esta tumba yacen los restos de Diofanto, al terminar de leer este texto podrás saber la duración de su vida.

Su infancia ocupó la sexta parta de su vida.

Después transcurrió una doceava parte de su vida hasta que su mejilla se cubrió de vello.

A partir de ahí, pasó la séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio.

Pasó un quinquenio y le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito.

Su hijo murió al alcanzar la mitad de los años que su padre llegó a vivir.

Tras cuatro años de profunda pena por la muerte de su hijo, Diofanto murió.

Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto.

x

x6x6

+x12

x6

+x12

+x7

x6

+x12

+x7

+5

x6

+x12

+x7

+5+x2

x6

+x12

+x7

+5+x2

+4

x6

+x12

+x7

+5+x2

+4 = x

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Recordando lo visto en cursos de matemáticas de bachillerato podemos decir que para la resolución de ecuaciones

de primer grado es conveniente seguir cuatro pasos:

1. Entender el enunciado.

2. Plantear el problema como una ecuación.

3. Resolver la ecuación.

4. Comprobar que la solución cumple las condiciones del problema.

Los dos primeros pasos ya fueron tomados en cuenta en la imagen anterior. Se procede a resolver la ecuación ha-

ciendo uso de simples sumas de fracciones y reglas de álgebra:

Tomando en cuenta la última ecuación en la imagen:

x6

+x12

+x7

+5+x2

+4 = x

+ + ++ =

14 7 12 429

84x x x x

x

= −75

984

xx

75x = 84(x – 9)

75x = 84x – 756

756 = 84x – 75x

756 = 9x

x = 7569

x = 84

Diofanto vivió 84 años según podemos comprobar en esta solución paso a paso. Como pueden ver, esto es álgebra

pura y una forma genial de encontrar el tiempo de vida de este matemático, después de todo Diofanto es considerado

el padre del álgebra.

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Ecuación diofántica

Se llama ecuación diofántica a aquella ecuación algebrai-

ca, generalmente de varias variables, planteada sobre el

conjunto de números enteros o en los números naturales,

es decir, se trata de ecuaciones cuya soluciones son nú-

meros enteros.

Ejemplo

Un ejemplo de ecuación diofántica es x+y=5.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números

reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones

que aparecen en los problemas que tienen restricciones

que nos ayudan a resolverlos. Por ejemplo en nuestra

ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a

los enteros positivos, tenemos cuatro soluciones para (x; y):

(1; 4), (2; 3), (3; 2) y (4; 1).

Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica lineal ax+by=c tiene solución en

los números enteros si y solo si d=MCD(a, b) es un divi-

sor de c. Para resolver una ecuación diofántica se utilizan

diversos criterios, desde un simple tanteo hasta criterios

de multiplicidad.

Multiplicidad

1. Si N es múltiplo de n

Si N=n° → N=nk, k ∈

n°: se lee múltiplo de n

Ejemplo: N=°3

N=3k={...; –3; 0; 3; 6; 9;...}

2. Si N no es múltiplo de n

Si N=n° +rd o N=n° – re

Donde: rd+ re = n

rd: residuo por defecto

re: residuo por exceso

Ejemplo

20 no es múltiplo de 6, luego podemos expresarlo

como 20=6×3+2 o 20=6×4 – 4 donde 2 + 4 = 6.

Principio de multiplicidad

1. n°+n°+n°+...+n°=n°

Ejemplo: °3 + °3 + °3 = °3

2. n° – n°=n°

Ejemplo: °7 – °7 = °7

3. k n°=n°, k ∈

Ejemplo: 2 (°7)=°7

Principio de Arquímedes

Sea A×B = n°

Si A ≠ n° → B = n°

Si B ≠ n° → A = n°

Ejemplo: 4a=°5

4≠°5 → a=°5

Ejemplo aplicativo

Al comprar peras y manzanas a 4 y 7 soles, respectiva-mente, nuestro gasto fue de 125 soles en total. Determine el número de frutas que se compró si el producto del número de peras con el número de manzanas es el mayor posible.

Resolución

Sean N.° de peras N.° de manzanas

a

c/u S/4

b

c/u S/7

Como el gasto fue de 125 soles: 4a+7b = 125

INTERPRETACIÓN DE ENUNCIADOS II

Helicoteoría

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Trabajemos con múltiplos para encontrar una solución.

4a+(4a+3b)=°4+1

°4 + °4+ 3b=°4+1

3b=°4+1

°4+1b=3

8+1b= =3

3

1251

431

Entonces 4a

26

19

12

5

7a

3

7

11

15

125=+

–7 +4

+4

+4

–7

–7

Como se quiere que el producto del número de peras con el número de manzanas sea el mayor posible, eso ocurre cuando: a=19 y b=7.

∴ Número de frutas = 19 + 7 = 26

Rpta.: A

ObservaciónEn las soluciones de una ecuación diofántica de dos varia-bles, los valores de estas forman progresiones aritméticas cuyas razones son los coeficientes contrarios.

Helicosíntesis

INTERPRETACIÓN DE LOS ENUNCIADOS II

Ecuaciones diofánticas Problemas sobre edades

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1. Se desea comprar caramelos gastando exactamente S/264; los precios por unidad son S/7 y S/5. Si se compra al menos uno de cada precio, ¿cuántos cara-melos se puede comprar? Dé el número de posibili-dades.

Resolución

7a 5b 264

27121722273237

50433629221581

=+

Rpta.: 8

2. En una reunión se observa que 7 veces el número de mujeres más 4 veces el número de varones es 234. ¿Cuál es el número de soluciones del total de asistentes a la reunión?

Resolución

7M 4V 23426101418222630

554841342720136

=+

Rpta.: 8

3. La edad de mi tío es el triple de la mía, pero hace 8 años la suma de nuestras edades era igual a la edad actual de mi tío ¿Cuál es la edad de mi tío?

Resolución

Pasado Presente

Yo x – 8 x

Tío 3x – 8 3x

3x – 8 + x – 8 = 3x

x = 16

∴ La edad de mi tío es 48 años.Rpta.: 48

4. Si la edad de A y la de B suman 88 años, y hace 12 años A tenía el triple de la edad que tenía B, halle la edad de B.

Resolución

A →B →

88 – x – 12x – 12

= 31

76 – x = 3x – 36

112 = 4x

∴ x = 28

Rpta.: 28

5. La diferencia de los cuadrados de las edades de dos personas es 37. ¿Hace cuántos años la edad del ma-yor fue el doble de la del menor?

Resolución

a2 – b2 = 37

(a – b)(a + b) = 37 × 1

a + b = 37 a = 19

a – b = 1 b = 18

Hace x años

19 – x18 – x

= 21

19 – x = 36 – 2x

∴ x = 17

Rpta.: 17

Problemas resueltos

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1. Halle el máximo valor de x en 3x + 5y = 70 si x, y∈.

2. Una persona compró pelotas a S/21 la unidad, me-dias a S/15 la unidad y gorros a S/35 la unidad. Si gastó S/219, ¿cuántos artículos compró?

3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pagar una deuda de S/200 con billetes de S/10 y S/20 única-mente?

4. Si en 1974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su madre, y en 1984 la mitad, ¿qué edad tendrá cada una de ellas en 1994?

5. Se desea comprar el máximo número de aves con S/169, entre palomas y canarios de S/9 y S/4 cada una, respectivamente. ¿Cuántas aves se compraron?

6. Estando reunidos Ángel, Bruno y Carlos, se escucha la siguiente conversación:

¾ Bruno: “Mi edad es la misma que tuvo Ángel cuando Carlos nació”.

¾ Ángel: “Así es, y en ese entonces nuestras eda-des sumaban 30 años”.

¾ Carlos: “Mi edad actual es la misma que tuvo Bruno cuando yo nací”.

¿Cuál será la edad que tendrá Ángel cuando Carlos tenga la edad que tiene Bruno?

7. Se quiere transportar 178 personas en vehículos de dos tipos: unos tienen capacidad para 17 personas sentadas y otros para 5. ¿Cuál es el menor número de vehículos que se deban utilizar si se desea que ni-guna persona vaya de pie y que ningún asiento quede vacío?

8. Dentro de unos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años y mi hija será dentro de tres años veces mayor que era hace tres años. ¿Quién es mayor, el niño o la niña?

Helicopráctica

Helicotaller

Nivel I1. Si x, y ∈, ¿cuántas soluciones tendría la ecuación

mostrada?

2x+3y = 17

Resolución

2. Se dispone de S/999 para ser gastados en artículos de S/37 y S/21 cada uno. ¿Cuántos artículos se ad-quirieron si el dinero alcanzó exactamente?

Resolución

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Nivel II3. ¿De cuántas maneras se puede pagar una deuda de

S/44 con monedas de S/2 y S/5?

Resolución

4. El 27 de octubre de 1981, sucedió que la suma de las edades más los años de nacimiento de Antonio, Bruno y César fue 5941. Si Antonio nació en Abril y Bruno en noviembre, ¿en qué mes nació César si nació el 31 de dicho mes?

Resolución

5. Hace muchos años se podía comprar pavos a S/10, patos a S/5, pollos a S/0,50. Si se compraron 100 animales en total por S/100, ¿cuántos pollos se com-praron?

Resolución

Nivel III6. La suma de las edades de Álex, Milagros, Mary y

Lisset es 80 años. Álex es mayor que todas y Lisset es la menor de todos. Cuando Mary nació, Álex te-nía 8 años; y cuando Lisset nació, Milagros tenía la octava de la edad que tiene Lisset. Si Álex piensa en casarse a los 30 años, ¿cuántos años le falta para que ello ocurra?

Resolución

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7. Se dispone de S/147 para ser gastados en artículos de S/7 y S/11 cada uno. ¿Cuántos artículos se adqui-rieron si el dinero alcanzó exactamente? (Se compró como mínimo uno de cada precio).

Resolución

8. El tiene tres veces más la edad que yo, cuando él tenía la edad que tú tendrás cuando las edades de los tres sumen 85 años; además, en ese año, el tendrá 38 años y tú tendrás 3 años menos que mi edad actual. ¿Cuántos años tenía él cuando tú naciste?

Resolución

Helicodesafío

1. El cura: “He encontrado en el pueblo tres personas cuyo producto de edades es 2450. La suma de sus edades es igual al doble de la de usted. ¿Cuáles son esas edades?”.

El sacristán: “Solamente con esos datos no puede responder a su pregunta”.

El cura: “Bueno, una esas tres personas es mayor que yo”.

¿Cuál será la edad del cura?

A) 50 años B) 60 años C) 55 años

D) 40 años E) 45 años

2. Tres hermanas fueron a vender pollos vivos al mer-cado. Una llevó 11 pollos, otra 12 y la tercera 10. Hasta el mediodía, temiendo no vender todos los po-llos, bajaron en S/2 el precio de cada pollo. Entrada a noche las tres regresaron con S/52 cada una. ¿Cuál era el precio de cada pollo hasta el mediodía?

A) S/4 B) S/5 C) S/3 D) S/6 E) S/7

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Nivel I1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pagar

exactamente una deuda de S/33 con monedas de S/2 y S/5?

A) 6 B) 3 C) 4

D) 7 E) 5

2. Se pagó una deuda de 305 soles con monedas de 5 soles y billetes de 10 soles. ¿Cuántos billetes de 10 soles como máximo se utilizarán?

A) 15 B) 20 C) 25

D) 30 E) 17

3. Se quiere comprar juguetes de dos precios diferentes (5 soles y 6 soles cada uno), pero debía comprarse la mayor cantidad posible de juguetes. ¿Cuántos ju-guetes se compraron si se debía gastar exactamente 107 soles?

A) 19 B) 20 C) 21

D) 23 E) 25

4. Sara tiene x años de edad y José tiene x2 años. Den-tro de 10 años, la edad de José será igual al doble de la edad que tendrá Sara disminuida en 7. Determine la edad de José.

A) 3 años B) 1 año C) 9 años


Helicorreto

Helicotarea

1. Halle el menor valor de y en

5x+7y = 93; y ∈

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

2. Halle el máximo valor de x en

3x+4y = 67; x ∈

A) 1 B) 21 C) 23

D) 33 E) 18

3. Sabiendo que x e y pertenecen a los números natura-les, halle el número de soluciones de 5x+3y = 23.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

4. Paola le dice a Carlos: “Mi edad es 4 años menos que la edad que tú tienes. Cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 60 años. ¿Qué edad tengo?”.



5. Antonio le dice a Jorge: “La suma de nuestras eda-des es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací”. Entonces, Jorge tiene actualmente

A) 20. B) 21. C) 22.

D) 24. E) 28.

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Nivel II5. A le dice a B: “Cuando yo tenía tu edad, C tenía 10

años”; B contesta: “Cuando yo tenga tu edad, C ten-drá 26 años”; C interviene: “Si sumamos los años que ustedes me llevan de ventaja resultaría el doble de mi edad”. ¿Cuál es la edad del menor?



6. Hace 5 años la edad que un padre fue 4 veces la del hijo y dentro de 5 años será solamente el doble de la edad de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre cuando su hijo tenga los dos años que tuvo el padre cuando nació el hijo?



7. Ángel y Bruno trabajan para el municipio plantan-do árboles. Ángel planta 17 árboles diariamente y Bruno 20 árboles diariamente. Si el último mes plantaron en total 1545 árboles, ¿cuántos días como mínimo trabajó Bruno?

A) 5 B) 4 C) 7 D) 9 E) 10

8. Juan cobra en un banco un cheque por S/2700 y le pide al cajero que le entregue cierta cantidad en bi-lletes de S/10, veinte veces dicha cantidad en billetes de S/20 y el resto en billetes de S/50. ¿Cuántos bille-tes en total recibió Juan?

A) 100 B) 110 C) 114D) 118 E) 125

Nivel III9. Se dispone de S/150 para comprar 60 artículos de

S/2, S/5 y S/9 por unidad, comprándose por lo me-nos uno de cada precio. ¿Cuántos artículos de S/2 se compraron?

A) 30 B) 36 C) 48 D) 52 E) 54

10. Rosa compró anillos de oro y plata; cada anillo a S/40 y S/35, respectivamente. Si en total gastó S/1285, ¿cuántos anillos compró como máximo?

A) 36 B) 31 C) 25D) 15 E) 5

Capítulos 4, 5 y 6

¾ ALEM, Jean-Pierre. Nuevos juegos de entretenimiento matemático. Editorial Gedisa. Barcelona, 1997. Quinta Edición.

¾ PERELMAN, Y. Álgebra recreativa. Editorial Mir. Moscú, 1969.

¾ IGNÁTIEV, E. I. En el reino del ingenio. Ediciones Mir. Moscú, 1967.

¾ NORTHROP, Eugene P. Paradojas matemáticas. Editorial Limusa S. A. México, 1991. Segunda Edición.

¾ MADACHY, Joseph S. Las esferas doradas. Zugarto Ediciones. Tomo I.

¾ PERELMAN, Y. Álgebra recreativa. Editorial Mir. Moscú, 1969.

¾ www.elconfidencial.com/alma-corazón-vida/2014-08-17/los-diez-mejores-acetijos-de-pensamiento-late-ral-para-divertirse-pensando_176368/

¾ www.es.wikipedia.org/wiki/Pensamiento_lateral

¾ www.youtube.be/RbY3RB3yLKc

¾ www.pekegifs.com/acertijos/acertijos.htm

¾ www.acertijos.net/lateral.htm

Bibliografía y cibergrafía

RAZ. MATEMÁTICO

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