1

2

CAPACIDAD:

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓNTAREA 01VALOR - ACTITUD

RESPONSABILIDAD - PUNTUALIDADDESTREZASCONTENIDOS MÉTODOSMICROACTITUDES

ANALISIS COMBINATORIO

El análisis combinatorio estudia los arreglos o grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto.

Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar la definición de un factorial de un número natural y algunas de sus propiedades

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURALFactorial de un número “n” es el producto de los “n” primeros números naturales.Notación:completa tu…………………..Definición por convención         0! = 1Propiedades de los Factoriales:1. El factorial de un número entero negativo no existe.2. Factorial de un número entero positivo es igual al producto del número con el factorial   del número que le antecede. Es decir:    n!   =   n (n – 1)!    n!   =   n (n – 1) (n – 2) (n – 3)!Ejemplos:

a) Pedro desea viajar de Trujillo a Lima y tiene a su disposición tres líneas aéreas y 7 líneas terrestres ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje Pedro?   Por el Principio de Adición, tenemos:              3 + 7 = 10 maneras distintas.

3

Una idea comúnmente percibida de la distinción entre estas rutas de acceso a los conocimientos lógico es que la inducción es la formación de una generalización derivada de examen de un conjunto de datos, mientras que la deducción es la identificación de un particular, desconocido, en representación de su parecido con una serie de conocidos los hechos.Por ejemplo, si examinamos lo suficientemente gatos salvajes podemos generalizar que los gatos son una rica fuente de las pulgas (inducción).

Si, como Robinson Crusoe, nos encontramos huellas en la playa de una isla desierta, podemos concluir a partir de nuestro conocimiento de la huella humana que la de otra persona esté o haya estado en la isla (deducción).

De hecho, sin embargo, ambos términos pueden tener significados más sutiles. Empecemos con un vistazo a su etimología y definiciones.

2

cifras 101

)333...334(

1 × 4 + 1

P rod ucto d el m eno r con e l m ayor

2 × 5 + 1

Prod ucto d el m eno r con e l m ayor

3 × 6 + 1

Prod ucto d el m eno r con e l m ayor

97 × 100 + 1 = 9700 + 1 = 9701

Producto del m enor con el m ayor

Distribuciones numéricas y gráficas

Día a día nos enfrentamos a situaciones en las cuales debemos razonar inductivamente para poder resolverlos, ahora para razonar inductivamente se requiere de observación e imaginación. Las ventajas obtenidas de potenciar esta clase de razonamiento compensará con creces el tiempo que le dediquemos.

Objetivos:

1. Desarrollar la capacidad de análisis para enfrentar situaciones de índole diversa.

2. Dotar al estudiante de herramientas metodológicas adecuadas para la resolución de problemas que exigen el uso de pensamiento creativo.

3. Ejercitar la capacidad de observación para establecer relaciones que permitan llegar a la solución de un problema empleando el razonamiento inductivo.

¿Qué es Inducción?

La palabra inducción proviene del latín Inductio (“in”: en y “ducere”: conducir), que es la acción y efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión general; así, la inducción desempeña un gran papel en las ciencias experimentales.

1. Calcular el valor de “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras.

E =

Solución:Elevar el número al cuadrado resulta muy operativo y tedioso pero nos damos cuenta también que la base tiene cierta formación (la cifra 3 se repite constantemente); entonces recurrimos a la

inducción, analizando los casos simples, análogos al de la expresión “E”.

(34)2 = 1156

→Suma de cifras = 13 → 6(2) + 1

(334)2 = 111556

→ Suma de cifras = 19 → 6(3) + 1

(3334)2 = 11115556

→ Suma de cifras = 25 → 6(4) + 1

...

(333...3334)2 = 111...1155...556

→ Suma de cifras = 6(101) + 1 = 607

→ Suma de cifras = 607

2. Calcular el valor de:

E = 1100999897

Solución:Observando detenidamente el problema nos damos cuenta que tiene una particularidad (producto de cuatro números consecutivos), entonces aplicamos la inducción, analizando los casos más simples sin que se pierda la forma original del problema.

1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 25

= 5 =

2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 121

= 11 =

3 × 4 × 5 × 6 + 1 = 361

= 19 =

E = 97 × 98 × 99 × 100 + 1

=

4

(2)# de rectas trazadas + 1

(3)# de rectas trazadas + 1

(4)# de rectas trazadas + 1

(51) = 153# de rectas trazadas + 1

La respuesta es 9701.

3. Si a la siguiente figura le trazas 50 rectas paralelas a , ¿cuántos triángulos se contarán en total?

M N

Solución:

Aplicando lógica inductiva, iremos trazando rectas uno por uno y analizando cada caso:

M N

1

# triángulos = 6 = 3

M N

1

2

# triángulos = 9 = 3

M N

12

3

# triángulos = 12 = 3

...

M N

12

50

. . .

# triángulos = 3

La respuesta es 153 triángulos.

INDUCCIÒN CON NÙMEROS

1. Observa los resultados de las sumas iniciales, sacar una conclusión y luego hallar el resultado de la suma final.

Cantidad de n úm eros im pares consecu tivos S um a Resultad o

O tra fo rm a d e expresar el resultad o

1234...8

11+ 3

1+ 3 + 51+ 3 + 5+ 7

.

.

.1+ 3 + 5+ 7 + 9+ 11 + 13+ 15

149

16...

2. Observa los resultados de las operaciones iniciales, sacar una conclusión y luego hallar lo que se pide:

1234

36

187

1 + 2 - 32 + 3 - 43 + 4 - 54 + 5 - 6

0123

?

?

N ú m ero in icial Resultad oO peraciones

5

3. Si se observa que:

1

= 22 - 3 × 1

2 = 32 + 4 × 2

3 = 42 - 5 × 3

4 = 52 + 6 × 4...

Hallar . 15

4. Si se observa que:

1= 2

2 = 2

3= 2

4 = 2...

Hallar: 50

+ 6 0

5. Si:

12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321...

Hallar: 11111112; y además dar la suma de las cifras del resultado.

6. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente suma?

34252 + 74362

a) 5 b) 6 c) 1d) 3 e) 8

7. Completar el siguiente arreglo numérico hasta la fila 10. Hallar “A + B”.

Fila 1 1Fila 2 2 3Fila 3 4 7 5Fila 4 8 7 7 7... .. .. .. .. ..Fila 10 A .. .. .. .. .. .. B

8. Hallar la suma de las cifras del resultado en la fila 20.

Fila 1 32 = 9

Fila 2 332 = 1089

Fila 3 3332 = 110889

Fila 4 33332 = 11108889... ...Fila 20 ...

6

9. ¿En qué cifra termina el resultado 453?

a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 0

INDUCCIÒN CON FIGURAS

1. ¿Cuántas esferas habrá en la figura 20?

F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3 F ig. 4 ...

a) 20 b) 39 c) 41d) 44 e) 42

2. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 8?

F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3 ...3. ¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para

formar la figura 20?

F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3 ...

4. ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3 ...

5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

7

A B C D E F G

H

6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 17?

F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3 ...

7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

1. En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.

F ig. 1 F ig. 2 F ig. 3 ...

a) 201 b) 131 c) 151d) 181 e) 231

2. Hallar el número total de palitos:

...

...

1 2 3 4 5 ...... 46 47 48 49 50

8

factores 2002

00222

...)1753(1

a) 250 b) 2 450 c) 1 324d) 5 050 e) 1 275

3. Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión:

3

cifras 2002

)999......999(

Indicar la última cifra de dicha suma.

a) 6 b) 8 c) 4d) 0 e) 1

4. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 32d) 2 002 e) 2 003

5. Calcular el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se indica en la figura.

1 2 3 51 52 53...

a) 1 250 b) 1 225 c) 1 500d) 1 600 e) 1 275

6. En la siguiente gráfica, ¿cuántas bolitas sombreadas hay?

. .. . ..1 2 3 98 99 100

a) 1 500 b) 1 550 c) 2 501d) 1 000 e) 5 050

7. Cuántas cajitas de la forma se han utilizado en la construcción de la siguiente torre.

9

. .. . ..1 2 3 37 38 39

1

23

a) 280 b) 380 c) 410d) 401 e) 400

8. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?

1 2 3 4 8 5 04 9

a) 3 775 b) 2 105 c) 5 050d) 2 500 e) 1 275

9. ¿Cuántas cerillas se utilizan para formar desde la figura 1 hasta la figura 20?

21

34

56

78

4950

...

a) 6 160 b) 6 140 c) 6 110d) 6 170 e) 6 180

Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de

informaciones, casos o criterios generales, se

obtiene una conclusión particular.

Así:

10

01.- La suma de los “n” primeros números impares

es 900, por lo tanto, ¿cuál es el valor de “n”?

a) 25 b) 30 c) 32 d) 40 e) 15

02.- Completar las cifras que faltan en la siguiente

multiplicación, sabiendo que cada asterisco

representa un dígito cualquiera.

03.- Calcular (m)(n)(p) ; sabiendo que m n p y

además:

a) 123 b) 231 c) 500 d) 504 e) 600

04.- Hallar: , sabiendo

que:

11

a) 12240 b) 14250 c) 12590 d) 12300 e) 1000

05.- Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas

paralelas a MN, ¿cuántos triángulos se contarán en

total?

a) 150 b) 145 c) 153 d) 135 e) 200

06.- Calcular la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

a) 5000b) 4000c) 5020d) 5050e) 1200

07.- Hallar la suma de todos los elementos de la

siguiente matriz

a) 2000 b) 1000 c) 4000 d) 3500 e) NA

08.- Calcular “n” y dar como respuesta la suma de

sus cifras:

S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ………… = 625

“n” términos

a) 25 b) 4 c) 7 d) 8 e) 10

12

09.- Calcular E y dar como respuesta la suma de sus

cifras.

E = ( 33333……333333 )2

200 cifras

a) 900 b) 1800 c) 1500 d) 1300 e) NA

10.- ¿Cuantos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias?

a) 3 675b) 1 305 c) 1 457d) 1 345e) 3 865

11.- Hallar la suma de cifras del producto siguiente:

E = (7777......7777) x (999......99999)

50 cifras 50 cifras

a) 250 b) 450 c) 830 d) 260 e) 270

12.- A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100

cuadraditos por lado, se le traza una diagonal

principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán

contarse en total?

a) 10000 b) 12000 c) 10100 d) 11000 e)

20000

13.- Hallar la suma de cifras del resultado de A:

E = (7777.......7777 + 2222......2225)2

“n” cifras “n-1” cifras

a) 10 b) 11 c) 12 d) 19 e) NA

14.- Calcular la suma de cifras del resultado de:

a) 600 b) 120 c) 610 d) 340 e)

NA

13

15.- En la figura, calcular el número total de “hojitas” de

la forma indicada:

a) 2600b) 2350c) 2340d) 2652e) 2800

16.- Calcular la suma de los términos de las veinte

primeras filas en el triángulo numérico siguiente:

a) 44000b) 45000c) 54000d) 44100e) 35000

17.- Dado el esquema:

¿Cuántas bolitas habrá en S12 ?

a) 5000 b) 4095 c) 3500 d) 5600 e) 6700

18.- Según el esquema mostrado, ¿de cuantas

maneras diferentes se puede leer la palabra

“INDUCCIÓN”?

a) 250b) 400c) 300d) 200e) 256

14

19.- ¿De cuantas maneras distintas se puede leer la

palabra “ROMA” en el siguiente arreglo triangular?

a) 10b) 15 c) 16d) 17e) 18

20.- Sabiendo que:

Calcular A20

a) 1600 b) 1650 c) 1651 d) 1300 e) 1700

21.- Si:

Hallar: S21 - S20

a) 1 b) 125 c) 160 d) 0 e) -1

22.- Hallar:

Si:

a) 2050 b) 2048 c) 2100 d) 3400 e) NA

23.- Si:

Calcular:

a) 12 b) 13 c) 18 d) 19 e) 20

24.- Reconstruir la siguiente operación de división e

indicar la suma de cifras del dividendo, si cada *

representa un dígito cualquiera.

15

a) 16b) 17c) 18 d) 12e) 2025.- En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros se formarán en total al unirse los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas. Obs: De la forma indicada.

a) 20b) 210c) 21d) 400e) NA

26.- Cuantas cerillas conforman el castillo mostrado?

a) 20 b) 21c) 210d) 200e) 420

27.- Calcular el número total de triángulos en la siguiente figura:

a) 441b) 225c) 324d) 400e) 300

28.- ¿Cuantos triángulos se pueden contar como máximo en la siguiente figura?

a) 5 500b) 5 000c) 5 050d) 5 253e) 5 250

29.- ¿Cuántos palitos se empelaron para construir el siguiente arreglo?

a) 3 600b) 3 675c) 2 550d) 4 725e) 2 625

30.- Calcular el número de palitos en:

a) 450b) 720c) 625d) 420e) 610

5. De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra RAZONANDO, uniendo círculos consecutivos.

RA A

ZZ ZO O OO

NNN N N

OD D

NN NA A AA

a) 25 b) 21 c) 75d) 70 e) 81

16

Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta cierto número dado.

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n; n ZZ+

Ejm.:

- 2! = 1 × 2 = 2- 3! = 1 × 2 × 3 = 6- 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

- 5! = ....................................... =

- 6! = .................................................. =

Además: 0! = 1; 1! = 1

Ejercicios:

1. Hallar:

Solución:

* Observación:

12! = 1 × 2 × 3 × ... × 12

13! = × 13

Entonces 13! = 12! × 13

De la observación anterior:

n! =   × n ; n! = (n - 1)!

× n

2. Efectuar:

+

Solución:

3. Simplificar:

Solución:

Análisis combinatorio

Es parte de la matemática que estudia las diferentes maneras de seleccionar a los elementos de un conjunto.

Definiciones básicas

Permutaciones

El número de maneras en que se pueden ordenar a los "n" elementos de un conjunto, tomando a todos a la vez, es:

Pn = n!

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se pueden ordenar a todos los elementos del conjunto:{a; b; c}?

Solución: P3 = 3! = 6 maneras

17

Ejercicio:

Hallar: P6 =

Variaciones

El número de maneras de ordenar a "n" elementos de un conjunto, tomados de "r" en "r" es:

=

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se pueden ordenar a dos elementos del conjunto:{a; b; c; d}?

Solución:

= = 12 maneras

Ejercicio:

Hallar: =

Combinaciones

El número de maneras que se puede agrupar los "n" elementos de un conjunto tomados de "r" en "r" es:

=

Ejemplo:

¿Cuántos grupos de tres letras se pueden determinar con las letras: "a", "b", "c" y "d"?

Solución:

= = 4

Ejercicio:

Hallar: =

Problema 1:

Con las frutas: piña, papaya, melón, manzana y fresas, ¿cuántos jugos surtidos de tres frutas diferentes se pueden preparar?

Solución:

Problema 2:

Con las telas de colores: rojo, verde, azul, amarillo y blanco, ¿cuántas banderas de tres franjas verticales de color diferente se pueden confeccionar?

Solución:

1. Simplificar:

!45

!5

!35!36

)!136(

)!!4(

!24

]!)!!0[(

]!)!!1[(

a) 32 b) 16 c) 37d) 48 e) 120

2. Simplificar:

18

1!42

89 - !5

!47-!48

!47!48 2

a) 12/7 b) 13/9 c) 5/5d) 20 e) 12

3. Hallar: - 5!

a) 810 b) 1210 c) 1320d) 120 e) 1200

4. Hallar “n”, = 28

a) 8 b) 6 c) 7d) 9 e) 4

5. ¿De cuántas maneras se pueden disponer cinco niños en una fila?

a) 24 b) 36 c) 30d) 25 e) 120

6. En una bodega se venden: fideos, arroz, azúcar, frijoles y lentejas. ¿De cuántas maneras una persona podrá llevarse tres de estos artículos?

a) 10 b) 24 c) 12d) 30 e) 36

7. Con las cifras: 1; 2; 3; 5; 7 y 9, ¿cuántos números pares de cuatro cifras diferentes se puede formar?

a) 120 b) 180 c) 30d) 90 e) 60

8. ¿Cuántas señales se pueden hacer con cinco banderolas de colores diferentes, usando tres de ellas en cada señal?

a) 120 b) 40 c) 60d) 10 e) 20

9. Mónica tiene 9 amigas en la academia y quiere invitarlas a su casa para escuchar música, pero su mamá le ha dicho que sólo invite a 5 de ellas. ¿De cuántas maneras podrá invitar a las 5 amigas, si de todas maneras debe invitar a Rosa que es su mejor amiga?

19

a) 70 b) 35 c) 140d) 135 e) 170

10.¿De cuántos modos pueden disponerse en una fila, un sargento y 6 soldados, si el sargento siempre es el primero?

a) 120 b) 720 c) 14d) 180 e) N.A.

11.¿De cuántas maneras se pueden ordenar las vocales en una fila?

a) 120 b) 36 c) 25d) 50 e) 100

12.¿De cuántas maneras se pueden disponer los jugadores de fulbito en la cancha?

a) 120 b) 720 c) 600d) 12 e) 36

13.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con: 1; 5; 4; 3; 8 y 9?

a) 120 b) 60 c) 136d) 142 e) 63

14.¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra TREINTA, sin importar su significado?

a) 120 b) 360 c) 480d) 320 e) 210

15.¿De cuántas maneras se puede formar una comisión de 4 alumnos, de un salón que tiene 20 alumnos?

20

a) 4548 b) 4845 c) 3616d) 3610 e) 116280

16.En un campeonato nacional de ciclismo, quedaron como finalistas un representante por cada departamento costero. En la gran final, ¿de cuántas maneras podrán ser ocupados los primeros tres puestos?

a) 720 b) 120 c) 360d) 540 e) 900

17.Una melodía musical debe estar formada por cinco notas diferentes. ¿Cuántas melodías se pueden componer?

a) 120 b) 720 c) 2520d) 1400 e) 2600

18.Un comensal se sirve en cada comida cuatro platos de los nueve que son de su agrado. ¿Cuántas comidas diferentes puede hacer la persona?

a) 3024 b) 5! c) 24d) 126 e) 36

19.Mariela descansa dos días cualesquiera por semana. ¿Cuántas semanas podrán transcurrir para que no repita dos días de descanso?

a) 24 b) 21 c) 42d) 36 e) N.A.

20.Con seis pesas de: 1; 2; 5; 10; 20 y 50 kg, ¿cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse, tomando aquellas de tres en tres?

a) 720 b) 120 c) 20d) 60 e) N.A.

21.¿Cuántas combinaciones pueden hacerse con las letras: a; b; c; d y e, tomadas de tres en tres, entrando "b" en todas ellas?

a) 12 b) 6 c) 8d) 4 e) N.A.

22.En un campeonato de fútbol entran 14 equipos. Un periódico deportivo da un premio al que acierte la clasificación final de los 5 primeros equipos. Un suscriptor del periódico quiere enviar cuántas soluciones hagan falta para asegurar el premio. ¿Cuántas soluciones debe enviar?

a) 240240 b) 180120c) 280540 d) 196500e) Ninguna

21

23.En una reunión de diplomáticos se hablan 5 idiomas distintos. ¿Cuántos traductores como mínimo se necesitan?

a) 12 b) 60 c) 10d) 15 e) 45

24.Un colegio dispone de 16 estudiantes que siempre están en los primeros puestos en matemática, ¿cuántos grupos de 3 estudiantes se pueden escoger para representar al colegio en una Olimpiada de matemática?

a) 480 b) 360 c) 450d) 610 e) 560

25.¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 7 que hay en un edificio?

a) 7 b) 9 c) 21 d) 35 e) 14

EVALUANDO MIS CONOCIMIENTOS

1. Simplificar:

!52!53

!52!53!54

a) 54! b) 54 c) 27!d) 27 e) 53!

2. ¿Cuántas de las proposiciones son ciertas?

I. El factorial sólo se aplica a números naturales.II. -4! = -24III.3! + 5! = 8!IV. (-a)! no existe

V. no existe

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Dado que:

A B C

¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir y volver de “A” a “C”, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?

a) 11 b) 24 c) 23d) 144 e) 132

4. Lucho invita al cine a su novia y a los tres hermanos de ella. Al encontrar una fila de 5 asientos, ¿de cuántas maneras podrán elegir sus asientos?

a) 25 b) 24 c) 5d) 10 e) 120

5. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras si los novios siempre se sientan juntos?

22

a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 120

Recordar:

- Pn = n!

Ejemplo:P6 = 6! = 720

- =

Ejemplo:

72!7

98!7

)!2-9(

!9V9

2

- =

Ejemplo:

120!7!3

1098!7

!7)!.7-10(

!10C10

7

Otras definiciones

Permutaciones circulares

El número de maneras en que se pueden ordenar a “n” elementos de un conjunto alrededor de una circunferencia es:

= (n - 1)!

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se pueden ordenar a los elementos del conjunto:{a; b; c; d; e; f}alrededor de una circunferencia?

Solución:

= (5 - 1)! = 4! = 24

Ejercicio:

Hallar: =

Permutaciones con repetición

El número de maneras en que se pueden ordenar a “n” elementos, repitiéndose uno de ellos “a” veces, otro “b” veces, otro “c” veces, etc es:

=

Ejemplo:

¿Cuántos ordenamientos se pueden hacer con las 8 letras siguientes:

a; a; a; b; b; c; c; dinterviniendo las 8 letras en cada ordenamiento?

Solución:

= = 1680

Ejercicio:

Hallar: =

Principio multiplicativo

Si un suceso se puede efectuar de “m” maneras y a continuación otro suceso se puede efectuar de “n” maneras, entonces los dos sucesos se pueden efectuar de “m x n” maneras.

Este principio se puede ampliar a más de 2 sucesos, en efecto, si el número de maneras en que pueden ocurrir varios sucesos es:

m; n; p; q; ....entonces el número de maneras en que pueden ocurrir todos ellos juntos es:

m × n × p × q × .....

Ejemplo:

¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una pareja de baile con 4 hombres y 5 mujeres?

Solución:

Una pareja de baile estará formada por un hombre, que se puede escoger de 4 y una mujer, que se puede escoger de 5. Entonces habrán:

4 x 5 = 20 parejas de baile

Ejercicio:

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Carmen tiene 5 blusas, 3 pantalones y 4 pares de zapatillas. Si todas las prendas son de diferente color, ¿de cuántas maneras se podrá vestir Carmen?

Solución:

Principio aditivo

Si un suceso se puede efectuar de “m” maneras y otro suceso se puede efectuar de “n” maneras, entonces el primer suceso o el segundo suceso pero no ambos a la vez, se podrán efectuar de “m + n” maneras. Este principio se puede ampliar a más de 2 sucesos.

Ejemplo:

Jorge quiere hacerle un obsequio a Susana pero no sabe si regalarle flores o chocolates. Si escoge regalarle flores tiene que escoger 5 tipos de flores y si quiere regalar chocolates tiene que escoger 6 tipos de ellos. ¿De cuántas maneras podrá escoger un regalo?

Solución:

Flores : 5 manerasChocolates : 6 maneras

Luego: flores o chocolates:5 + 6 = 11 maneras

Ejercicio:

Para viajar de Lima a Trujillo hay 8 líneas de transporte terrestre y 3 líneas de transporte aéreo. ¿De cuántas maneras una persona escogerá una línea de transporte?

Solución:

1. El “Día de la Bandera” deben disponerse a 8 cadetes alrededor del asta. ¿De cuántas maneras se podrá hacer ese ordenamiento?

a) 40320 b) 5040 c) 720d) 2720 e) 5400

2. ¿Cuántas palabras se pueden determinar, empleando todas las letras de la palabra COCODRILO?

a) 24630 b) 18720 c) 24700d) 60166 e) 30240

24

3. Para cierto número de baile se necesitan 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, si se disponen de 6 bailarines y 8 bailarinas?

a) 630 b) 900 c) 720d) 840 e) 360

4. Con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5; 7 y 9, ¿cuántos números pares, de cuatro cifras diferentes se pueden determinar?

a) 180 b) 120 c) 360d) 240 e) 320

5. ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 ingenieros y 5 médicos, de manera que en cada grupo debe haber por lo menos 4 médicos?

a) 150 b) 260 c) 230d) 120 e) 115

6. Kiomara tiene 6 pantalones y 5 camisas, todos de distintos colores. ¿De cuántas maneras se podrá vestir, si el pantalón negro se lo debe poner siempre con la camisa crema?

a) 25 b) 26 c) 27d) 28 e) 24

7. ¿De cuántas maneras se podrá escoger una vocal y una consonante de la palabra “MURCIÉLAGO” de tal manera que el par de letras escogidos tengan sonidos distintos?

a) 25 b) 50 c) 100d) 35 e) 30

8. ¿Cuántos boletos de rifa de tres dígitos puede venderse como máximo?

a) 990 b) 999 c) 900d) 1000 e) 996

9. Un club tiene 24 miembros de los cuales 10 son hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: presidente, secretario y tesorero, pueden formarse si el presidente debe ser un hombre y el secretario una mujer?

a) 3160 b) 2980 c) 3080d) 3000 e) 3120

10.Juan acostumbra almorzar comida criolla y comida oriental, pero no ambas el mismo día. Si cada vez

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pide dos platos distintos y tiene para elegir entre 4 de comida criolla y 6 de comida oriental, ¿cuántas posibilidades de elecciones satisfacerán su exquisito gusto?

a) 10 b) 21 c) 24d) 90 e) 45

11.¿De cuántas maneras diferentes podría viajar una persona de “A” a “D” sin retroceder?

A B C D

a) 20 b) 18 c) 24d) 21 e) 23

12.Para ir de una ciudad “A” a una ciudad “B” hay “n” caminos y para ir de “B” a “C” hay “m” caminos. ¿Por cuántos caminos diferentes se pueden ir de “A” hacia “C” de ida y vuelta, si el camino de regreso tiene que ser distinto al de ida?

a) (m . n)2 - m.n b) (m . n)2

c) (m . n)2 - m d) m . n

e) (m . n)2 - 113.Rubén acostumbra llevar a su novia primero al cine

y luego a cenar o a bailar, y luego a pasear por algún lugar romántico. Si observa que en esta ciudad hay 4 cines, 3 muy buenos restaurantes, 5 discotecas y 6 lugares de paseo, ¿cuántas posibilidades de elección tiene?

a) 21 b) 30 c) 15d) 18 e) 42

14.Un equipo de trabajo puede estar formado por 4 mujeres o por 2 hombres o por 2 mujeres y 1 hombre. Si hay 6 mujeres y 5 hombres capaces de desempeñarse brillantemente en dicha labor, ¿cuántas posibilidades de elección se presentan?

a) 25 b) 50 c) 120d) 80 e) 100

15.Toribio quiere comprarse un pantalón y una camisa o en su defecto, un par de zapatos y una correa. Si tiene que elegir entre 4 pantalones, 5 camisas, 3 pares de zapatos y 7 correas, ¿de cuántas formas puede realizar su compra?

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a) 420 b) 19 c) 38d) 82 e) 41

16.¿De cuántas maneras pueden arreglarse en una alacena 4 libros de matemáticas, 3 libros de historia, 3 libros de química y 2 libros de sociología, de tal manera que todos los libros sobre el mismo tema estén juntos?

a) 72126 b) 28916 c) 12140d) 41472 e) 20604

17.5 amigos salen de paseo en un automóvil en el cual pueden sentarse 2 en la parte delantera y 3 en la parte posterior. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse teniendo en cuenta que 2 de ellos no saben manejar?

a) 24 b) 48 c) 72d) 120 e) 60

18.¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 niños en una fila, de manera que cuatro niños en particular, queden juntos?

a) 6!.3! b) 1!.6! c) 3!.8!d) 9!.4! e) 2!.5!

19.Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos, pero en la foto solo pueden aparecer 5 alumnos sentados en línea recta. ¿De cuántas maneras diferentes se puede tomar dicha foto?

a) 6750 b) 7820 c) 6720d) 2450 e) 2730

20.En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, ¿de cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?

a) 100 b) 500 c) 300d) 400 e) 200

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