POR EL TÉRMINO GENERAL:Cuando los términos de la sucesión se for-man mediante una ley de correspondencia.Ejemplo:TÉRMINO ENÉSIMO SUCESIÓNSn = 5n + 2 7; 12; 17; 22; . . .Sn = n + 8 9; 10; 11; 12; . . .Sn = n2 + 1 2; 5; 10; 17; . . .

Sn = nn-2 1; 1; 3; 16; . . .POR LA LEY DE RECURRENCIA:

Cuando se establece el primer término como punto de partida y los demás se enlazan con los que le preceden mediante una regla de recurrencia. Ejemplo: t1 tn + 1 t2 t3 t43 2tn

2t1= 2(3) = 6 2t2 =2(6) = 12 2t3=12(12)=24

2 n3tn0,5t1= 0,5(2)= 1 23(1) = 8 33(8) = 216

POR UNA CARACTERÍSTICA:Cuando los términos de la suce-sión tienen una característica comúm.Ejemplo:1. La sucesión conformada por los números impares. Sn = {1; 3; 5; 7; 9;. . . }2. La sucesión conformada por los números cuadrados perfectos. Sn = {1; 4; 9, 16; 25; . . }

LÍMITE DE UNA SUCESIÓNLa sucesión {Sn} tiene por límite al núme-ro real R,cuando n tiende al infinito y simul-táneamente Sn tiende a R. Simbólicamente:

Se lee:“El límite de la sucesión cuando n tien-de a más infinito es igual a un número real R, si y sólo si ,el límite de la sucesión es igual al número real R

{ }lim limn n

Sn R Sn R→∞ →∞

= ⇔ =

NOCIÓN DE SUCESIÓNEs una función con dominio en los números enteros positivos (Z+), los elementos del rango pertene-cen a los números reales y son los términos de la sucesión:

Ejemplo: Sea la sucesión F definida por F(n) = {2n - 2} ; sus términos serán: Sn= {0; 2;4;6;8...}. Gráficamente: N Sn 1. .0 2. .2 3. .4 4. .6 n. .2n-1

NOTACIÓN: Se denota mediante una le-tra mayúscula con subíndice y entre llaves. Ejemplo: A = {Sn}

→→

→→→

F→

CAPACIDADES:

Interpretar, conjeturar, formular, demostrar, abstraer, resolver y generalizar.

APRENDIZAJE ESPERADO:

-Se pretende que los estudiantes interpreten, formulen y resuelvan ejercicios y problemas con sucesiones y series.

-Incorporar y aplicar sucesiones y series no sólo en la clase de matemáticas, sino en la vida cotidiana

DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN

POR

EL T

ÉRM

INO

GEN

ERA

L

POR

LA L

EY D

E R

ECU

RREN

CIA

POR

UN

A C

ARA

CTE

RÍSC

A

TIPOS DE SUCESIONES

A)SUCESIONES CONVERGENTES: Son las sucesiones que tienen límite. Ejem-

plo:1nSn

n+

= Asignando valores a “n”

n 1nSnn+

=

1 22 3/2 = 1.53 4/3 = 1,3333. . .10 11/10 = 1,111. . .

A medida que crece el valor de “n”; Sn se acerca al límite que es 1, es decir, converge a la unidad.B)SUCESIONES DIVERGENTES: Son las sucesiones que no tienen límite. Ejemplo: Sn={n2 + 2 } Asignando valores a “n”

n Sn={n2 + 2 } 1 32 63 11

10 102 A medida que crece el valor de “n”; Sn se hace mas grande, tiende al infinito.C)SUCESIONES OSCILANTES:Son las sucesiones cuyos términos tienen signos alternados. Ejemplo: Sn={3(-1)n n }Asignando valores a “n”

n Sn={3(-1)n n }1 -32 63 -94 12

Los términos de la sucesión tienen signos alternados.D)SUCESIONES CRECIENTES:Cuando un término cualquiera, a partir del segundo, es mayor que el anterior.Ejemplo: 3; 5; 7; 9; 11; . . .E)SUCESIONES DECRECIENTES:Cuando un término cualquiera, a partir del segundo, es menor que el anterior.Ejemplo: 30; 25; 20; 15; 10; . . .

1. Escribe los primeros cinco primeros térmi-nos de las sucesiones siguientes:a) { 5n - 3 } b) { 2n +4} c) { n2 - 3 }

d)4 3

2n

n−

+ e) { 5n - 10 } f)

4 3n

n −

Solución: a) { 5n - 3 } asignamos valores naturales a “n”

n { 5n - 3 }1 5(1)-3= 22 5(2)-3 = 73 5(3) - 3 = 124 5(4) - 3 = 175 5(5) - 3 = 22

{ 5n - 3 } = 2; 7; 12; 17; 22; . . .

f) 4 3n

n − asignamos valores naturales

a “n”n 4 3n

n −

1 (41 - 3)/ 1 = 12 (42 - 3)/ 2 = 13/23 (43 - 3)/ 3 = 61/34 (44 - 3)/ 4 = 253/45 (45 - 3)/ 5 = 1021/5

4 3n

n −

= 1; 13/2; 61/3; 253/4; 1921/5; . . . Importante:El alumno escribirá los 5 prime-ros términos de las sucesiones b, c , d y e

2.Escribe el término general o enésimo de las siguientes sucesiones:a) 5; 8; 11; 14; 17; . . . d) 2; 4; 8; 16; 32: . . .

b)3 5 7 9 11; ; ; ; ;...5 6 7 8 9 e) 1; 3; 6; 10;15; . . .

c)1 6 25 62 123; ; ; ; ;...

1 2 3 4 5−

f) 4; 18; 40; 70; 108;. .

RAZONANDO CON LAS

SUCESIONES I

Solución: a) 5; 8; 11; 14; 17; . . . 3 3 3 3 Observamos que los términos de la sucesión se llevan de 3 en 3; entonces el término ené-simo de la sucesión será de la forma 3n + kEl valor de K hallamos reemplazando para n=1 e igualando al valor del primer término que es 5. Asi: 3n + k = 5; 3(1) + k = 5k= 5 - 3 = 2; finalmente la fórmula del térmi-no general o enésimo será : {3n + 2 }Solución: f) 4; 18; 40; 70; 108;. . .

14 22Observamos que los dos primeros términos de la sucesión se diferencian por 14 uni-dades y que no es la misma diferencia con el tercer término. Hallamos la fórmula para los dos primeros términos que es 14n - 10 y para los demás términos agregamos un término que se anule para n=1 y para n=2 y funcione para el resto de los términos. Este será de la forma: k(n-1)(n-2), es decir si n=1 ó n=2, este se anula. Luego la ley de forma-ción del término enésimo será: 14n-10 + k(n-1)(n-2); hallamos el valor de k en el tercer término que es igual a 40,Asi: para n=3 reemplazando en 14n-10 + k(n-1)(n-2), obtenemos 14(1) - 10 +k(3-1)(3-2) = 40; resolviendo resulta32+2k=40, de donde k=4. Finalmente la fórmula del término enésimo de la sucesión dada queda como {14n-10 +4(n-1)(n-2)}Importante: El alumno hallará el tér-mino enésimo de las sucesiones: b, c, d y e.3.Hallar el límite y determina la convergen-cia o divergencia de las siguientes sucesio-nes:a) d)

b) e)

c) f)

2

23n

2

52

2n

n

+ +

2

3

2nn

+

22 104

nn

− +

{ }2 7n +

IMPORTANTE: Recuerda que para determinar la convergencia o divergencia de las sucesiones de-bes conocer algunas propiedades de límites.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LÍMITES

Si ;k r∈ ∈� �

Nº PROPIEDAD EJEMPLOS1

{ }lim r

nKn

→∞± = ±∞

{ }2lim 6n

n→∞

= ∞

3lim4n

n→∞

− = −∞

2lim 0rn

kn→∞

± =

2

12lim 0n n→∞

− =

3 { }limn

k k→∞

± = ± { }lim 7 7n→∞

− = −

4 { }lim

lim limn nn

n nn n

a b

a b→∞

→∞ →∞

±

= ±

{ }lim 4 8

lim 4 lim8n

n n

n

n→∞

→∞ →∞

+

= +

5

3. Solución: a) Hallamos el límite de la sucesión:Aplicamos la propiedad Nº 4

2lim lim 7 7x x

n→∞ →∞

+ = ∞ + = ∞

La sucesión es divergentef)Hallamos el límite de la sucesión:Aplicamos las propiedades 4 y 5 Ahora aplicamos las propiedades 1: 2 y 3

la respuesta es indeterminada

Levantamos la indeterminada dividiendo al numerador y el denominador entre n3 (varia-ble con mayor exponente)

La sucesión es divergente porque tiende al infinito. El alumno hallará los límites de las sucesiones: b, c, d y e.

{ }2lim 7n

n→∞

+

3

2

7 45

nn

+ −

3

2

7 45

nn

+ −

33

2 2

lim 7 lim 47 4lim5 lim lim5

n n

nn n

nnn n

→∞ →∞

→∞→∞ →∞

+ += − −

45

∞+ ∞= =∞− ∞

3

3 3 3

2

33 3

7 4 47 7 0lim lim 1 55 0 0n n

nn n nn

n nn n→∞ →∞

+ + + = = = ∞ − −−

24lim5 2n

nn→∞

+ −

2lim 4

lim 5 2n

n

n

n→∞

→∞

+=

−

limlim

limnn n

nn nn

aab b

→∞

→∞→∞

=

SUCESIONES LITERALESEstá conformado por unconjunto ordenado de sólo se letras que obedecen a usan 27 un criterio establecido. letras del Ejemplo:En la sucesión alfabetoliteral : A, D, I, O,. . que letra sigue:Solución:A B C D E F G H I J K L M N Ñ O 2 4 6P Q R S T U V W X Y Z. Respuesta: x 8 Como se observa la sucesión tiene una razón de 2 (aumenta de 2 en 2), no se han usado las letras CH y LL SUCESIONES POLINOMIALES

DE PRIMER ORDEN Son aquellas sucesiones de primer grado o lineales cuyo término enésimo tiene la forma de:

Tn = r.n + bDonde, Tn : término enésimo r: razón a1= primer término b: a1 - r Ejemplo: Escribir el término enésimo de la sucesión: 5; 8; 11; 14; 17; . . .Solución: 5; 8; 11; 14; 17; .

3 3 3 3Observando:a1 = 5; r= 3; b= 5 - 3 = 2Entonces el término enésimo es:Tn = 3n + 2. Comprobamos hallando el térmi-no que sigue, en este caso es el sexto térmi-no (n=6)Reemplazamos en la fórmula del término enésimo. Tn = 3n + 2T6 = 3(6)+ 2 = 20

SUCESIONES POLINOMIALES DE SEGUNDO ORDEN

Son aquellas sucesiones de segundo grado o cuadráticas cuyo término enésimo tiene la forma de:

Tn = an2+ bn + c

Donde, Tn : término enésimo

3x∈ ≥�

1 1 1 11 0 1 1 1 2 1 3 ... 2n n n n

nT a C b C c C d C n− − − −= + + + + ∀ ≥

a=r/2; b=b0-a y c= a0 . Ejemplo:Hallar el término enésimo de la sucesión cuadrádica: 7; 9; 17; 31; 51; . . . SOLUCIÓN a0 a1 a2 a3 a4 a5 c=a0=11 11 7; 9; 17; 31 51 b0 b1 b2 b3 b4 b=b0-a=-7 -4 2 8 14 20 r r r ra=r/2=3 6 6 6 6Luego el término enésimo será:

Tn =3n2 - 7n + 11SUCESIONES POLINOMIALES

DE ORDEN SUPERIORSon aquellas sucesiones mayores de segundo grado cuyo término enésimo tiene la forma de :

Tn= anx + bnx-1 + cnx-2 + dnx-3+. . . + zn+© .Donde a,b,c,d,z y © son cons-tantes; Importante:Para hallar el término enésimo de una sucesión de orden superior se usa el teorema de Gregory que tiene la forma de:

Términos de la Suces. a1 a2 a3 a4 a5 a6 . . .

Diferencias de 1º Orden b1 b2 b3 b4 b5

Diferencias de 2º Orden c1 c2 c3 c4

Diferencias de 3º Orden d1 d2 d3Ejemplo: Hallar el término enésimo de la sucesión: 2 7 18 37 66 107. . .SOLUCIÓN: 2 7 18 37 66 107 a1 = 2 b1 = 5 5 11 19 29 41 c1 = 6 6 8 10 12

d1 = 2 2 2 2

Resolviendo:

Comprobamos hallando el sexto término que es 107

1 1 1 10 1 2 32 5 6 2n n n nTn C C C C− − − −= + + +

5( 1) 6( 1)( 2) 2( 1)( 2)( 3)20! 1! 2! 3!

n n n n n nnT − − − − − −= + + +

3 23 33

n n nTn + − +=

3 2(6) 3(6) 7 36 3 107T + − += =

SUCESIONES HIPERGEOMÉTRICAS

Son aquellas sucesiones{Tn }que tienen la for-ma de:

Ejemplo:Dado la sucesión: 15; 105; 315; 693. . . ;comprobar si es hipergeométrica y luego hallarSolución:La sucesión se puede expresar como: 1x3x5; 3x5x7; 5x7x9; 7x9x11; . . .

tn=(2n-1)(2n+1)(2n+3); tn+1=(2n+1)(2n+3)(2n+5)

Luego:

RAZONANDO CON LAS

SUCESIONES II

BATERÍA DE PROBLEMAS RESUELTOS Nº 2

1.¿Cuántos términos tiene la sucesión: 5; 8; 11; 14; . . . ; 242Solución: 5; 8; 11; 14; . . . ; 242 r 3 3 3Observamos que la sucesión es polinomial de primer orden de razón 3 , su forma esTn = r.n + b Tn = 3.n + bHallamos el valor de “b”, para n=1; t1 = 55 = 3.1 + b b = 2; entonces el término enésimo es: Tn = 3.n + 2Ahora hallamos el número de términos para Tn=242; 242 = 3.n + 2 n=80La sucesión tiene 80 términos

n+1

n

nn

tt

α βα θ

+

+=

, ,α β θ

(2 1)(2 3)(2 5) (2 5)1(2 1)(2 1)(2 3) (2 1)

n n n nnn n n n

n

tt

+ + + ++− + + −= =

2; 5; 1α β θ= = = −

2.Dado la sucesión: 700; 690; 680; 670; . . a) ¿Qué lugar ocupa el térmi-no negativo y cuál es ese número?b) ¿Qué término ocupa el lugar 2000?

Solución: 700; 690; 680; 670; . . .

-10 -10 -10Observamos que la sucesión es polinomial de primer orden de razón -10 , su forma esTn = r.n + b Tn = -10.n + b

Hallamos el valor de “b”, para n=1; t1 = 700700 = -10.1+b; b = 710; entonces el término enésimo es: Tn = -10.n+ 710

a) Hallamos qué lugar ocupa el tér-mino negativo y cuál es ese númeroTn<0; -10.n+ 710<0Resolviendo n>71Entonces el primer término negativo ocupa el lugar 72 y es: T72 = -10.72+ 710 = -10

b)Hallamos el término que ocupa el lugar 2000. T2000 = -10.2000+ 710 = -19290

3.Hallar el término que ocupa el lugar 30 en la sucesión:9; 15; 23; 33; 45; . . . Solución: c=a0=5 5 9; 15; 23; 33; 45;. . a0b=b0-a=3 4 6 8 10 12 b0a=r/2=1 r 2 2 2 2Observamos que la sucesión es poli-nomial de segundo orden su forma esTn = an2+bn+c Tn= n2+3n+5Ahora hallamos el término de lugar 30T30=(30)2+3(30)+5 = 9954.Dado las sucesiones:an = -42;-38; -34; -30; . . .;110 bn = -69; -62; -55; -48; . . .; 113.Hallar:Solución: Primero hallamos el tér-mino enésimo de ambas sucesiones:an=4n-46 y bn = 7n - 76; luego halla-mos el término donde coinciden ambos valores igualando las sucesiones: an = bn4n - 16 = 7n - 76 n= 10 ; coinciden en el término 10 donde ambos valen -6.

n na b∩

TÉRMINOS VALORESan=4n-46 bn = 7n - 6

a10 a10 -6a17 b14 22a24 b18 50a31 b22 78a38 b26 106a45 b30

134(incorrecto)

Sus términos varían de 7 en 7

Sus términos varían de 4 en 4

Los valores varían de 28 en 28 que es el

mcm de (4 y 7)

Finalmente n na b∩ ={-6; 22; 50; 78; 106; }5.hallar el 30º término de la sucesión:6; 10; 21; 42; 76....Solución: 6; 10; 21; 42; 76....

4 11 21 34

7 10 13

3 3 Observamos que la sucesión es polino-mial de orden superior su forma es:

Ahora hallamos t30

6.hallar el 20º término de la sucesión cuadrática: 20(x); 31(x); 46(x); 101(x); 130(x)....Solución: Los números están escritos en base distinto al decimal, donde x>6; puede ser 7; 8 ; 9;...; los términos de la sucesión expresada en base 7 son:14; 22; 34; 50;70;..que viene a ser una sucesión de 20 Orden. 14; 22; 34; 50; 70

8 12 16 20

4 4 4 El término enésimo es: Tn = 2n2 + 2n + 10 El 20º término es: T20=2(20)2 +2(20)+10=8507.hallar el 10º término de la sucesión:2; 1; 1; 8/7; 4/3Solución: La sucesión se puede expresar

6 4( 1) 7( 1)( 2) 3( 1)( 2)( 3)0! 1! 2! 3!

n n n n n n− − − − − −+ + +

3 2 2 12nt n n n= + − +

3 230 30 30 2(30) 12 27852t = + − + =

Asi: 2/1; 3/3; 5/5; 8/7; 12/9; . . .Analizamos el numerador: 2; 3; 5; 8; 12; Es una sucesión cuadrática 1 2 3 4 Su 10º término es: 1 1 1

Analizamos el denominador: 1; 3; 5; 7; 9; . .Son los números impares Tn = 2n - 1Su 10º término es: 2(10) - 1= 19Luego; el 10º termino de la sucesión es:

8.Hallar por cuatro métodos diferentes el décimo término de la sucesión cuadrática:32; 96; 192; 320; 480; . . . Solución: A)Primer método (por la fórmula del término enésimo de una ecuación de segundo orden ,Tn=an2 + bn + c) 0 32; 96; 192; 320; 480; a0 32 64 96 128 160 b0 32 32 32 32 r a= r/2 = 32/2 = 16; b=b0-a=16 c=a0=0 Tn=16n2 + 16n + 0; remplazando valores para n=10 T10=16(10)2 + 16(10) + 0 = 1760

B)Segundo método (de combinación, teorema de Gregory)Tn = 32 +64(n-1)+16(n-1) (n-2) =32 + 64(9) + 16(9)(8)=1760

D)Tercer método (de ecuación)an Ecuación

a1 = 32 A(1)2+ B(1)+(C)=32 A+B+C=32a2 = 96 A(2)2+ B(2)+(C)=32 4A+2B+C=96

a3 = 192 A(3)2+ B(3)+(C)=32 9A+3B+C=192Resolviendo el sistema de ecuaciones:A=16; B= 16 y C = 0 Tn=16n2 + 16n + 0T10=16(10)2 + 16(10) + 0 = 1760E)Cuarto método (hipergeométrico)La sucesión se puede expresar como 32; 96; 192; 320; 480; . . .

4x8; 8x12; 12x16; 16x20; 20x24; . . .y su término enésimo es:Tn = [4(n)] [ 4(n+1)]Remplazando valores T10 = [4(10)] [ 4(10+1)]T10 = [40] [ 44] = 1760

2

22 2nn nT = − +

2(10) 10 2 472 2nT = − + =

4719

32 64( 1) 32( 1)( 2)0! 1! 2!n

n n nT − − −= + +

SUCESIONES ESPECIALES

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Son aquellas sucesiones de primer orden donde un término cualquiera es igual al an-terior incrementado en una misma cantidad llamada razón.Su término enésimo es:an = a1 + (n-1) r Donde:an= término de lugar “n”a1= primer término de la progresiónr = razón o diferencia de la progresiónn = número de elementos de la progresiónEjemplo: Hallar el vigésimo término de la progresión:2; 5; 8; 11; 14; . . .Observamos que: an = a1 + (n-1) ra1 = 2; r =3; n= 20; a20 = 2 + (20-1) 3 Luego el vigésimo término es: 2+19(3) = 59

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Son aquellas sucesiones donde un término cualquiera es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad llamada razón.

Su término enésimo es: an = a1 . rn-1 Donde:an= término de lugar “n”a1= primer término de la progresiónr = razón de la progresiónn = número de elementos de la progresiónEjemplo: Hallar el décimo término de la progresión:2; 4; 8; 16; 32; . . .

Observamos que: an = a1 . rn-1

a1 = 2; r =2; n= 10; a10 = 2 . 210-1 Luego el décimo término es: 210 = 1024

PROGRESIONESARMÓNICAS

Son aquellas sucesiones donde sus térmi-nos son las inversas de las progresiones aritméticas. Ejemplo: Su término enésimo se halla con la fór-mula de la progresión aritmética, luego al resultado se invierte.

PRÁCTICA Nº 1

SUCESIONES

AHORA TE

TOCA A TI CEREBRITO

1.En la sucesión : 12; 48; 9; 36; 6; 24; a; b ; . . . Hallar a + b a) 12 b) 13 c) 15 d) 18 e) 20

2. Qué término sigue en lasucesión 1; 10; Z; Q; 2; 9; Y; a) P b) Q c) R d) S e) T

3. Que letra sigue:G; L; O; R; . . . a) I b) S c) T d) U e) V 4. La siguiente sucesión:

a)es divergente b) converge a 0 c)converge a 3 d) es indefinida e) N.A. 5. ¿Cuántos términos tiene la sucesión? 3; 10; 17; 24;. . . 696a) 100 b) 102 c) 104 d) 106 6) 108

6.Hallar el término que ocupa el lugar 2010 en la sucesión: 1; 3; 5; 7; . . .a)1011 b) 2013 c) 3015 d) 4019 e) 4021

1 1 1 1; ; ; : ..3 7 11 15

{ }4

33 2

1n nn

S ++

=

7. Halla el término que sigue en la sucesión :

a) 6 b) c) 8 d) e)

8.En el siguiente arreglo triangular hallar an si tiene 20 filas. 1 3 4 5 8 12 7 12 20 32 9 16 28 48 80 a20 - - - - - - - - - - - - ana)5.217 b) 5.218 c) 5.219 d) 5.220 e) 5.221

9.Halla el 21º término de:2; 9; 28; 65; 126; . .a)9520 b)9262 c)9530 d)10340 e)10540

10. Halle el 20º término de la sucesión en el sistema decimal: 157; 267; 467; 757;. . .a) 1190 b) 1192 c) 1194 d) 1196 e9 1198

11. ¿En qué número termina la fila que comienza con el número 100?

24 66 9 128 12 16 2010 15 20 25 30

a) 2000 b) 2200 c) 2300 d)2450 e) 2550

12.Hallar el primer término negativo de la sucesión: 512; 509; 506; 503; . . . a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5

13. Hallar el término de lugar 31 en la sucesión: 22; 42; 74; 121; 186; 272; . . . a)18000 b)18010 c)18020 d)18220 e)18022

14. ¿Cuántos términos de la sucesión:10; 22; 34; 46; 58; 70; . . . son núme-ros de tres cifras terminados en 0?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

15.¿Cuántos términos de la sucesión:15; 22; 29; 36; 43;. . . ; tienen cuatro cifras en el sistema de base 6 ?a) 154 b) 155 c) 156 d) 157 e) 158

16. Halla a + b + c ,en la sucesión: 1534; 1836; 2138; 2440; 2742; . . . a(2b)cabc

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

2;2; 8;4;...

14 18 32

17.Si la sucesión: 10; 18; x; 56; 94; y: . . es polinomial y de tercer orden, halle su décimo término.a) 620 b) 624 c) 630 d) 634 e) 640

18. Hallar el término de lugar 20 en la suce-sión polinomial de primer orden cuyos térmi-nos son múltiplos de 5: _ __ _____ _____ _____a; ba; (b+1)a; (b+2)a: (b+3)a; . . .a) 175 b) 185 c) 195 d) 205 e)215

19. En el mes de febrero del 2008 Franz tuvo un record de visitantes en su blog; el primer día le visitaron 8 personas, el segundo día 13, el tercer día 20, el cuarto día 29, el quinto día 40 y asi sucesivamente.¿Cuántas personas le habrían visitado el último día de febrero? a) 845 b) 850 c) 875 d) 904 e)905

20.En la sucesión literal: L; M, M; J; .....que letra sigue?a) K b) N c) O d) R e) V

21. En la progresión aritmética decrecien-te: 69; 65; 61; 57; . . . Halla la suma del pri-mer y último término negativo de 2 cifras.a) -110 b) -111 c) - 113 d) - 114 e) - 115

22. El tercer término de una progresión aritmética es 22 y un término no conse-cutivo posterior a él es 31. Halle el térmi-no de lugar 100 si la razón es mayor que 1.a) 312 b) 314 c) 316 d) 318 e) 320

23. Si la progresión aritmética: xy; xp; xq; yx; . . . tiene como razón “y” . Halle x + y + p + qa) 18 b) 19 c) 19 d) 20 e) 21

24. Halle el 20º término de la pro-gresión armónica: 1/5; 1/8; 1/11; . . . a) 1/58 b) 1/59 c) 1/60 d) 1/61 e) 1/62

25. En una progresión geométrica de 10 términos y de razón igual a 3; el décimo témino es 273. Hallar el primer término.a) 34 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30

26. En la progresión geométrica: 26x-4; 22x-1; 2x/2; . . . Hallar “x”a) 0,8 b) 0,7 c) 0,6 d) 0,5 e) 0,4

SERIES Son adiciones

indicadas de sucesiones, el

valor de la serie está

expresado por la suma

Ejemplo: Dado la sucesión: Sn ={a1; a2; a3; a4;. . .an}.La serie será: Sn = a1 +a2+ a3+ a4+ . . .+an

PRINCIPALES SERIES

1. SERIE DE PRIMER GRADO O ARITMÉTICASus términos forman una progresión aritméti-ca. Para hallar esta serie se utiliza la fórmula: a1 = primer término an = último término n = número total de términos Sn = Suma de términos de la sucesión aritmética.Ejemplo: Hallar el valor de: 3 + 5 + 7 + . . . + 135 Solución: a1 = 3; an =135 . n =Necesitamos hallar “n” para aplicar la fórmula Hallamos “n” con la fórmula del término ené-simo de la sucesión lineal. Tn = 2n + 1 135 = 2n + 1 134 = 2n n= 67

2. SERIE GEOMÉTRICA: Sus términos forman una progresión geomé-trica. Para hallar esta serie se utiliza la fórmula:

Ejemplo: Hallar el valor de: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 219 Solución: a1 = 1; an =219 . n =20

Reemplazando en la fórmula:

1

2na a

Sn n+ =

3 135 67 46232

Sn + = =

1 ( 1)1

na rSnr

−=

−

201(2 1) 10485752 1

Sn −= =

−

3. SERIE INFINITA DECRECIENTE E ILIMITADA (SUMA LÍMITE):

Representa la suma límite de una progre-sión geométrica decreciente e ilimitada. Se calcula con la fórmula:

Ejemplo: Hallar. S = 9 + 3 + 1 + 1/3 + . . .Solución: a1 = 9 , r = 1/3Reemplazando en la fórmula:

4. SERIE CUADRÁTICA: Es la suma de una sucesión de segundo orden o cuadrática. Se calcula con la fórmula:

Ejemplo:Hallar.S = 2+5 +10 +17 +26+. . + tn 20 términosSolución: a1 2 5 10 17 26

b1 3 5 7 9

c1 2 2 2 Reemplazando en la fórmula:

Resolviendo S= 40 + 570 + 2280 = 28905. SERIE DE GRADO SUPERIOR:

Sus términos forman una sucesión de gra-do superior. La serie se halla con la fórmula:

Ejemplo: hallar S= 1+3+19+61+141+...+tn 10 términosSolución: a1 1 3 19 61 141 b1 2 16 42 80

c1 14 26 38

d1 12 12 Reemplazando en la fórmula:

1

1a

Sr

∞ =−

9 13,5113

S∞ = =−

1 1 1( ) ( )( 1) ( )( 1)( 2)1! 2! 3!

a n b n n c n n nSn

− − −= + +

1 1 1 1a (n) b (n)(n-1) c (n)(n-1)(n-2) d (n)(n-1)(n-2)(n-3)Sn= + + + +.....

1! 2! 3! 4!

1(10) 2(10)(9) 14(10)(9)(8) 12(10)(9)(8)(7)Sn= + + + =43001! 2! 3! 4!

2(20 3(20)(19) 2(20)(19)(18)1! 2! 3!

+ +

1( )nt n tSn

α β θα β θ

+ −=

+ −

1n

n

t nt n

α βα θ

+ +=

+

; yα β θ

θ

6. SERIE HIPERGEOMÉTRICA:Tiene la forma de:

La serie hipergeométrica se halla con la fórmula:

Donde: son diferentes de 0tn= término enésimon= número de términost1= primer términoα = Coeficiente de nβ = Término independiente en el numerador

=Término independiente en el denominadorEjemplo: Hallar S=1x3x5+3x5x7+5x7x9+. . . 20 términosSolución: Le damos forma se sucesión hipergeométrica. tn = (2n-1)(2n+1)(2n+3)tn+1=(2n+1)(2n+3)(2n+5)

donde: = 2 = 5 = -1

SERIES NOTABLES

1.Suma de los elementos neutros multiplicativos:

S = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . . S = n n términos

2.Suma de los “n” números naturales:

S = 1 +2+ 3+ 4+ 5+. . . .+ n

n términos

α β θ

1 (2 1)(2 3)(2 5) (2 5)(2 1)(2 1)(2 3) (2 1)

n

n

t n n n nt n n n n+ + + + += =

− + + −

1( )nt n tSn

α β θα β θ

+ −=

+ −(2 1)(2 1)(2 3)(2 5) 15( 1)n n n nSn

α β θ− + + + − −

=+ −

(2(20) 1)(2(20) 1)(2(20) 3)(2(20) 5) 15( 1) 3867602 5 ( 1)

Sn − + + + − −= =

+ − −

( 1)2

n nS +=

3.Suma de los “n” primeros números naturales pares:

S= 2+ 4+ 6+ 8+ . . . S= n (n+ 1)

4.Suma de los “n” primeros números naturales impares:

S = 1+ 3+ 5+ 7+ . . . S = n2

5.Suma de los cuadrados de los “n” primeros números naturales:

S = 12+ 22+ 32+. . . +n2

6.Suma de los cubos de los “n” primeros números naturales:

S = 13+23+33+. . . n3

7.Suma de las cuartas potencias de los “n” primeros números naturales:

S = 14+ 24+ 34+ . . . n4

8.Suma de las quintas potencias de los “n” primeros números naturales:

S =15+25+35+ . . . n5

9.Suma de los productos binarios de los “n” primeros números naturales:

S = 1x2 + 2x3+ 3x4+ . . . n(n+1)

10.Suma de los productos ternarios de los “n” primeros números

naturales: S = 1x2x3+ 2x3x4+ 3x4x5+ . . . +n(n+1)(n+2)

11.Suma de las “n” potencias de igual base:

S = k1+ k2+ k3+ k4+. . . +kn

( 1)(2 1)6

n n nS + +=

2( 1)2

n nS + =

2( 1)(2 1)(3 3 1)30

n n n n nS + + + −=

2 2 2( 1) (2 1)(2 2 1)12

n n n n nS + + + −=

( 1)( 2)3

n n nS + +=

( 1)( 2)( 34

n n n nS + + +=

( 1)1

nk kSk

−=

−

12.Suma de las inversas de productos de igual razón:

r r r r

13.Suma de números enteros consecutivos:

S=m+(m+1)+(m+2)+ . . . +n

14.Serie geométrica de “n” términos positivos:

S= 1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +. . . + xn-1

15.Serie geométrica de infinitos términos:

S= 1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +. . . + ∞ (condición de convergencia)

16.Serie geométrica de “n” términos con signos alternados(+) y (-):

S= 1 -x1 + x2 - x3 + x4 - x5. . . ± xn-1

(+), si n es par (-), si n es impar

17.Serie geométrica de coeficientes crecientes naturales de infinitos

términos:

S=1 + 2x +3x2 + 4x3 + . . . + ∞

(condición de convergencia)

1 2 2 3 3 4 1

1 1 1 1...n na xa a xa a xa a xa−

+ + + +

1

1 1 1

n

Sa a r

= −

( )( 1)2

n m n mS + − +=

11

nxSx−

=−

11

Sx

=−

11

nxSx±

=+

0 1x≤ <

2

1(1 )

Sx

=−

0 1x≤ <

RAZONANDO CON LAS SERIES BATERÍA DE PROBLEMAS RESUELTOS Nº 31. Halla la suma de las cifras de la suma de los 10 primeros términos comunes de las sucesiones: An = {10; 15; 20; 25; . . . }Bx= { 7; 10; 13; 16, . . .}a) 19 b)20 c) 21 d)22 e) 23Solución:Los términos enésimos de las sucesiones son: An = 5n ; Bx = 3x + 4; por condición del problema: 5(2) = 3(2) + 4 5(5) = 3(7) + 4 5(8) = 3(12) + 4 5(11) =3(17) + 4 5(14) =3(22) + 4Los términos que coinciden son:10; 25; 40; 55; 70;. . . ,forman una progresión aritmé-tica cuyo término enésimo es: tn= 15n - 5donde t10= 15(10) - 5 = 145 y la sumade los 10 primeros términos es:

Respuesta: a 2. Halla S

a)24/73 b) 24/146 c) 12/73 d) 12/146 e) N.ASolución: Factorizando

Aplicando la fórmula 12

1

1 1 1

n

Sa a r

= −

Respuesta: c

1 1010

10 14510 10 7752 2

t tS

+ + = = =

1 1 1 1 1...3.3 9.5 15.7 21.9 213.73

S = + + + +

1 1 1 1 1 1...3 1.3 3.5 5.7 7.9 71.73

S = + + + +

1 1 1 1 123 1 73 2 73 − =

3.¿Cuántos términos hay que considerar en las 2 series para que la suma de ambas sea la misma?S1 = 2; 4; 6; 8; . . . n términosS2= 50; 48; 46; 44, . . .n términosa) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25Solución: Sabemos que:S1 = (n+1), suma de números pares y S2= ,

suma de términos de una progresión aritmética. Reemplazando valores en la fórmulaS2= (51-n)n Según la condición del problemaS1 = S2 n(n+1) = (51-n)n2n = 50, de donde n= 25Respuesta e

4.Calcular: 20 cifras

S= 3 + 33 + 333 + 3333 + . . . + 33... 333a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66Solución:Multiplicamos por 3 20 cifras 3S= 9 + 99 + 999 + 9999 + . . . + 99...9993S=[101-1 + 102-1 + 103-1 + . . .+ 1020-1]3S=[101 + 102 + 103 + . . .+ 1020 - 20(-1)]

( Suma de la “n” potencias de igual base) 20 cifras

3S=[ 10(1020 -1) - 20] =10[( 99...999)/9 - 20] 20 cifras 3S = 10[( 11...111] - 20 21 cifras

3S = 11...11090 ; S= 3703. . . 370307 veces 3 + 6veces 7 = 7x3 + 6x7 = 21 +42Respuesta b 100 sumandos

5.Hallar S=5+6+8+9+11+12+14+15+17+18...

a) 7600 b) 7700 c) 7800 d) 7900 e) 8050

Solución:Ordenando: S1 = 5+8+11+14+17. . . t50= 3(50) + 2 =152S2 = 6+9+12+15+18 . . . t50= 3(50)+3 = 153S1 =[(5+152)/2]50 = 3925S2 = [(6+153)/2]50 = 3975Finalmente S = S1 + S2 = 3925+3975 = 7900Respuesta d

6. Halla la suma de cifras del resultado de sumar:12 + 22 + 32 + 42 + . . . . . . . . . . . + 202 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . . . . + 202

32 + 42 + 52 + 62 + . . . . . + 202

42 + 52 + 62 + 72 +. . . . .+202

. . . . .

. . . .

. . 202

a) 9 b)10 c)11 d)12 e) 13Solución: Si observamos cuidadosamenteTenemos 1.12+2.22+3.32+4.42+. . . +20.202

13+23+33+43. . . 203 (Suma de los cubos de los 20 primeros números naturales)S= [(20.21)/2]2 =44100. Donde la suma de las cifras es 4+4+1+0+0 =9Respuesta a

7. Si M = 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + . . .+ S = Hallar S.Va)108 b) 37 c) 216 d) 36 e) 206Solución: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + . . .+ S =

(suma de los S primeros números naturales)Resolviendo: S(S+1) = 2(100v + 10V +V)S(S+1) = 2(101V) S(S+1) = 2(37.3V)S(S+1) = 37. 6V 36.(36+1) =37.6VDe donde S=36 y V = 6 SV = 216Respuesta c8.Hallar la suma de cifras del resultado de S:S=23 + 43 + 63 + 83 + . . . . 203

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14Solución: FactorizandoS=23(13 + 23 + 33 + 43 + . . . . 103)

S= 8 [ (10.11)/2]2 S = 8.552 24200Luego la suma de cifras de S es= 2+4+2= 8Respuesta b

1

2na a

Sn n+ =

( 1)2

S S VVV+=

VVV

PRÁCTICA Nº 2 SERIES

AHORA TE

TOCA A TI CEREBRITO

NIVEL I

1.Hallar RR=1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 2n-1 50 sumandosa)1500 b) 2000 c) 2500 d)3000 e) 3500

2. ¿ Cuántos sumandos hay en la serie ?2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = 992a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

3. En la serie: 1 + 2 +3 +4 + . . . n = 378 hallar na)25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

4. Calcular S= 22+42+62+82+. . . +1002

a)17070 b)17170 c)170070 d) 171700 e) N.A.

5.Hallar SS= 1+1+1+4+8+3+9+27+5+16+64+7. . .

60 sumandosa) 44100 b) 46970 c) 47010 d)47370 e) N.A.

6.Hallar S (x, número par menor que 3) ___S = 1 + 2 + 3 + 4 +. . .+ xxxa)24753 b)24754 c)24756 d) 24853 e) N.A.

7.Calcular:

a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5 d/ 5/4 e) 3/5 8. Hallar SS= 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + . . .

12 sumandosa)1365 b) -1365 c) 2730 d) - 2730 e) N.A.

1 1 11 ...5 25 125

S = + + + +

9. Hallar Z7326 = 123 + 122 + 121 + 120 + . . . + za) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

10. Halla la sumatoria de todos los ele-mentos del siguiente arreglo triangular: Fila 1 2 Fila 2 4 4 Fila 3 6 6 6 Fila 4 8 8 8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fila 15 . . . . . a) 2380 b) 2480 c) 3280 d) 3480 e) 4320

NIVEL II

1. El siguiente triángulo numérico está forma-do por el - 1 y todos los números impares po-sitivos en forma correlativa. Calcula la suma de todos los números ubicados en la fila 20 (Problema 5 , ONEM 2005 -II Fase Nivel 2)

Fila 1 -1 Fila 2 1 3 Fila 3 5 7 9 Fila 4 11 13 15 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fila 20 . . . . . a) 3960 b) 4960 c) 5960 d)6960 e) 7960

2.Calcular S= 1+ 11+ 111 + 1111 + . . .11...111(UNI 97 II ) n cifras

3. Halla la suma de cifras del resultado de FF = 7+97+997+ 9997 + . . . 99.....997 10 cifrasa)14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

1 1

1 1

1 10 10 1 10 10) [ ] ) [ ]9 9 9 91 10 10 1 10 10) [ ] ) [ ] ) .9 9 9 9

n n

n n

a n b n

c n d n e N A

+ −

+ +

− −+ +

− +− +

4. Halla la suma de todos los términos de la sucesión finita. ( San Marcos 2003)4 + 7 + 12 + 19 + 28 + . . . 292a) 1836 b) 1785 c) 1863 d) 1896 e) 1752

5. Si la suma de los 20 números natura-les consecutivos es N, la suma de los 20 siguientes será: (Villareal 2001)a) N b) N + 20 c) N + 400 d) N + 120 e) N.A.

6.Hallar la suma de las cifras del resultado de: MM=1+3+5+11+33+55+111+333+555+ . . .

60 sumandosa) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

7. Halla la sumatoria de todos los elementos del siguiente arreglo triangular: Fila 1 5 Fila 2 6 6 Fila 3 7 1 7 Fila 4 8 2 3 8 Fila 5 9 4 5 6 9 . . . . . . . . . . . . .Fila 20 . . . . . . a)15281 b)16721 c) 17684 d) 15106 e) N.A.

8. Calcular PP= 1 + 2 + 6+ 12 + 20 + . . . . + 420a) 2270 b) 2280 c) 3080 d) 3081 e) 4320

9. Sumar:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24 . . . . . . . . . . . . 23 + 24 + 24 a)4800 b) 4900 c) 5000 d) 5800 d) 5900

10. Hallar S S = 6 + 24 + 60 + 120 + . . . . 9240a)53103 b) 53010 c) 53303 d) 53130 e) N.A.

NIVEL III

1. Hallar S, si está en progresión aritmética. S= 23(x) + 30(x) + 35(x) + . . . 155(x)a)1214 b) 1314 c) 1215 d)1216 e) 1218

2. Hallar S + V + P _____Si 5 + 7 + 9 + 11 + . . . = SVSV P sumandosa) 113 b) 114 c) 115 d) 116 e) 117

3.Hallar P = 21S + 22S + 23S + 24S + . . .

10 sumandosV = 1 + 1.2 + 2. 3 + 3.4 + . . .

11 sumandosa)1/5 b) 3/7 c) 2/ 7 d) 1/ 7 e) 1/21

4. Halla f + r + a + n + z, si los sumandos forman una progresión geométrica: _____ f + 10(n) + 30(n) + 90(n) + . . . = arnzf

r sumandosa) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

5.Halla S = 1 + 1/8 + 3/32 + 7/128 + . . . .a) 4/3 b) 5/3 c) 7/2 d) 3/5 e) 7/56. Una pelota se suelta desde una altura de 42 metros, si en cada rebote alcanza una altura igual a los 3/5 de la altura anterior. Calcula la distancia total que recorre hasta que se detenga a)160 b) 162 c) 168 d) 170 e) 1727. Hallar s+m en: 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 + . . . + s.m = 11315a)56 b) 58 c) 60 d) 62 e) 648. Hallar R en: R= -2+0 + 0+ 0+ 2 + 8 +20 + . . . + 6552a) 47 502 b) 47450 c)47500 d) 45600 e) N.A.9.Un jardinero tiene que regar sus 10 plantas de naranjos situados en línea recta.Si su pri-mera planta se encuentra a 3 metros del pozo de agua y las plantas se encuentran separa-das entre si entre 3 y 5 metros alternadamen-te, sabiendo que en cada viaje que realiza solo puede regar una planta. ¿Cuál es el recorri-do total que hará para regar todas las plantas?a) 390 b) 395 c) 400 d ) 485 e) 49010. Sea N = 9 + 99 + 999 + 9999 + . . . + 99...999 2009 veces¿Cuántas veces aparecerá el dígito 1 en el número N(ONEM 2010-Segunda Fase- Nivel II)a) 2007 b) 2008 c) 2009 d) 2010 e) 2011

.682 1S V =

CAPACIDADES: Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y aplicar.

APRENDIZAJE ESPERADO:

- Interpreta y comprende problemas con ecuaciones.

- Plantea y resuelve ecuaciones.

- Formula problemas con ecuaciones.

- Aplica las ecuaciones en la solución de problemas de la vida cotidiana.

Dos velas del mismo tamaño se prenden simultáneamente.Después de cierto tiempo una de las velas es “V” veces el otro, si se sabe que uno se agota en “S” horas y el otro en “V” horas (S>V).El tiempo es: T=[S(V-1)] / S-1

NOCIÓN DE ECUACIÓN

Es la relación de igualdad entre expresiones algebraicas, contiene variables(incógnitas )y números.

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (C. S.)

Son los números, valores o elementos que verifican el valor de verdad de una ecuación, tambien se conoce como raíces de la ecua-ción.Ejemplos de ecuaciones1. 3x + 2 = 26El valor de la incógnita que verifica la ecua-ción es x = 8 C.S. = {8}2. x(x - 3) = 10Los valores de x que hacen verdadera la ecua-ción son x= -2 y x= 5; llamados tambien raí-ces de la ecuación C.S. = { -2; 5 }

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIÓNES

I)POR EL TIPO DE SOLUCIONES:

1. Ecuaciones compatibles.-Cuando admiten por lo menos una solución, éstas pueden ser:

a)Determinadas.- Admiten un número limitado de soluciones.Ejemplo: (x2 - 1 ) ( x + 2 ) = 0C.S. = { -2; -1; 1 }, admite tres soluciones.

b) Indeterminadas: Cuando admiten ilimi-tadas soluciones.Ejemplo:4x + 2( x + 4 ) - 5 = - 7 + 5(x + 2 ) + x4x + 2x + 8 - 5 = -7 + 5x + 10 + x6x + 3 = 6x + 3. se verifica para cualquier valor de x.

c: No admiten solución alguna por eso se llaman ecuaciones absurdas.Ejemplo:2 ( 2x + 5 ) = 3 ( x + 4 ) + x4x + 10 = 3x + 12 + x10 = 12 (absurdo). C.S. = { }

II)POR EL GRADO DE SU VARIABLE:

1. Ecuaciones lineales.-Cuando son de primer grado.Ejemplo:3x + 7 = 9 + 2x

2. Ecuaciones cuadráticas.- Cuando son de segundo grado.Ejemplo:x2 + 5x + 6 = 0

3. Ecuaciones de tercer grado.- Cuan-do el grado de la ecuación es 3Ejemplo:x3 - 3x2 - 10 = 13x - x2. ; etc.

III)POR LA CANTIDAD DE VARIABLES

1. Con una variable.Ejemplo:2x - 9 = x + 6

1. Con dos variables.Ejemplo:x + y = 42x - y = 53. Con tres variables.Ejemplo:x + y + z = 202x + 3y - z = 165x - y + 2z = 34 , etc.

IV) POR SU NATURALEZA:

1. Ecuaciones racionales.-Cuando sus incógnitas tienen exponentes enteros y no estan afectados de radicales.

a) Ecuación racional entera:Cuando sus incógnitas sólo están afectadasde exponentes enteros positivos, no tienen incógnita en el denominador. Ejemplo:3x2 + 2x - 5 = 2x2 - 6x + 16

b) Ecuación racional fraccionaria:Cuando sus incógnitas tienen exponentes ne-gativos o tienen incógnita en el denominadorEjemplo:

2. Ecuaciones irracionales.-Cuando sus incógnitas tienen exponentes fraccionarios, decimales o están dentro de un radical.Ejemplo:

PLANTEO DE ECUACIONESPlantear una ecuación es traducir un enunciado verbal y expresar con sím-bolos matemáticos en una expresión algebraica.

ENUNCIADOVERBAL TRADUCCIÓN SÍMBOLOS MATEMÁTICOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA

La comprensión delectura es muy importante en latraducción de enunciados verbales

23 195 xx x

−+ = +

1 5 2 6x x+ + = − +

PASOS PARA PLANTEAR ECUACIONES

COMPRENDA EL PROBLEMA

DISEÑE UN PLAN DE SOLUCIÓN EJECUTE EL PLAN DE SOLUCIÓN

EXAMINE LA SOLUCIÓN OBTENIDA

COMPRENDA EL PROBLEMA Reconociendo las incógnitas, los datos y las condiciones.

DISEÑE UN PLAN DE SOLUCIÓN planteando el problema traduciendo el enunciado verbal y expresándolo con signos matemáticos.

EJECUTE EL PLAN DE SOLUCIÓN

resolviendo la ecuación usando los métodos de solución aprendidos en clase.

EXAMINE LA SOLUCIÓN OBTENIDA

Verificando sus resultados en las operaciones y procedimientos aplicados en otros problemas.

ALGUNOS EJEMPLOS DE T RADUCCIÓN DE ENUNCIADOS

VERBALES A FORMAS SIMBÓLICASNº ENUNCIADO VERBAL FORMA SIMBÓLICA1 El triple de un número aumentado en 8 3x + 82 La suma de dos números consecutivos x + (x + 1 )3 Un número par disminuido en siete 2n - 74 Un número par aumentado en su mitad (2x - 1) + (2x-1) / 25 Mi edad dentro de cinco años x + 56 Tu edad hace ocho años x - 87 El doble de mi edad aumentado en 40 es igual a 80 años 2x + 40 = 808 Un número aumentado en su inverso es igual a treinta x + 1/x = 309 Tres números se encuentran en relación a dos; tres y cinco 2x, 3x ; 5x10 El cuadrado de la suma de dos números ( a + b )2

11 La suma de los cuadrados de dos números a2 + b2

12 Las edades de Pedro y Juan suman 90 años Edad de Pedro: x; edad de Juan 90 - x x + (90 - x) = 90

13 Faltan transcurrir dos tercios de las horas transcurridas horas transcurridas:x; faltan transcurrir: 24-x24 - x = (2/3)x

14 Un número de cuatro cifras abcd15 Un número capicúa de cinco cifras abcba16 Gasto los cinco séptimos de lo que no gasto gasto: x; no gasto: y

x = (5/7)y17 El cociente de dos números es igual a la cuarta parte del

número mayora: número mayor; b: número menor

(a/b) = ( a/4)18 Mi edad es excedido por tu edad en quince años Mi edead: x ; tu edad: x + 1519 La semisuma de dos números (x + y) / 220 La suma de las cifras de un número de tres dígitos es múl-

tiplo de 9El número de tres dígitos es abca + b + c = 9k , k pertenece a N

21 Hoy tengo el cuádruple de lo que tuve ayer y ayer tuve la séptima parte de lo que tendré mañana

hoy tengo: 4x ; ayer tuve: xmañana tendré : 7x

22 El triple, de lo que tengo disminuído en cinco 3 (x - 5)23 El triple de lo que tengo , disminuído en cinco 3 x - 524 M es dos veces más que N M=N + 2N ; M = 3N25 Dos números están en la relación de dos a tres A/B = 2 / 326 Si me das S/. 10 entonces tendremos igual cantidad Yo tengo x; tu tienes x + 2027 El exceso de P sobre Q es treinta P - Q = 3028 Sesenta se divide en cuatro partes, tal que cada uno es el

doble de su anteriorx + 2x + 4x + 8x = 60

29 Un número es 40 veces más que que otro y su suma es 200 x + x + 40 = 20030 En un salón de un colegio mixto se conformas igual

cantidad de equipos de vóley y básket con las alumnas y los alumnos respectivamente, sabiendo que hay cinco

alumnas más que alumnos. ¿ Cuántos estudiantes hay en el salón de clase?

Alumnas: 6xAlumnos: 5x

Ecuación: 6x = 5x + 5De donde x = 5

hay 6(5) = 30 alumnas y 5(5)=25 alumnos

ALGUNAS FRASES COMUNES Y

RECOMENDACIONES PARA PLANTEAR ECUACIONES

FRASES COMUNES EQUIVALENTES EJEMPLOSADICIÓN ( + ) Sumar, agregar, aumentar, más,

ganancia, incremento, exceso, suma, dentro de x años, etc.

El incremento de un número A sobre otro número B excede a un terer número C en 20 unidades: C = A + B + 20

SUSTRACCIÓN ( - ) Restar, disminuir, quitar, diferen-cia, deuda, bajo cero, descontar, perder, hace x años, etc.

La diferencia de dos números disminuído en su semidiferencia es 40(a-b) - [(a- b) / 2] = 40

MULTIPLICACIÓN( X )

Producto, de, del, de los , de las, n veces, etc.

El doble de los tres quintos de la cuarta parte de 0cho: 2 [(3/5) (1/4)(8)]

DIVISIÓN Entre, cociente, dividido, sobre, estan en la relación de, son entre si como, son proporcionales a, etc.

El cociente de las edades de a y b entre la edad de c es igual a dos:

IGUALDAD Igual, equivale, es, son, como, vale, es similar, etc.

La edad de x es igual a la edad de yx = y

NÚMERO PAR 2n Dos números pares consecutivos se diferen-cian en tres: (2n+2) - 2n = 3

NÚMERO IMPAR 2n - 1 la suma de un número impar con otro par equivale a veinticuatro: (2n-1) + 2n = 24

DOBLE, TRIPLE, CUÁDRUPLE, ...

2x, 3x, 4x, ... La diferencia entre el triple y el doble de un número: 3x - 2x

MITAD, TERCERA PARTE, CUARTA PARTE, . . . .

x/2; x/3; x/4; . . . La suma de la mitad y la cuarta parte de un número: x/2 + x/4

ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA PLANTEAR ECUACIONES

1. En dos o más números,edades, cantidades, etc.; se recomienda representar al menor con la varia-ble “x” y al que le sigue debe expresarse como una suma o diferencia de la cantidad total.Ejemplo: La suma de las edades de un padre y de su hijo es cincuenta añosEdad del hijo: x Edad del padre: 50 - x

2. Antes de plantear una ecuación es importante tener presente: - Leer atentamente el enunciado o problema - Para visualizar un problema es mejor graficar o dibujar el problema. - Relacionar las cantidades desconocidas unas con otras. - Es preferible utilizar una sola variable para representar cantidades desconocidas. - En algunos casos se usa dos o más variables tratando que se relacionen en un solo sistema. - Los enunciados o problemas se representan con símbolos matemáticos respetando las comas y los demás signos de puntuación. - Generalmente los puntos nos indican que ha terminado la parte de una ecuación y a partir de el ella se debe plantear otra igualdad o ecuación. - La solución de una ecuación no necesariamente es la respuesta del problema, pero si de ella depende la solución. - Verifique los datos resueltos en una ecuación luego de haber relacionado datos e incógnitas

(÷)

2a cb÷ =

PRÁCTICA Nº 3 PLANTEO DE ECUACIONES

AHORA TE TOCA PENSAR A TI CEREBRITO, DEMUESTRA TU HABILIDAD USANDO TU IMAGINACIÓN Y DOMINIO DE COMPRENSIÓN LECTORA.

Nº ENUNCIADO VERBAL FORMA SIMBÓLICA1 El triple de un número disminuído en cinco 3x - 52 x/2 + 83 Dos números son entre si como cinco es a siete4 x2 + 205 El doble de un número disminuído en su tercera parte6 El producto de dos números consecutivos7 5 - 3x = 28 ( x - y ) / 29 La semisuma de dos números consecutivos10

11 Lo que sobra a “x” para ser “y” es cincuenta12 y - x = 5013 La suma de las cifras de las unidades con las decenas14 (x) ( x + 2 ) ( x + 4 )15 x3 - y3 = 1916 El exceso de treinta sobre el doble de un número17 Un número excede a dos en veintiocho18 (1 / x) + 2x = 10019 Tres números consecutivos20 La edad de mi padre excede a mi edad en 30 años Edad de mi padre: x + 30

mi edad: x21 José tiene cuatro veces más que Luis José tiene: . . . . . . . .Luis tiene: . . . . . . . .22 Adolfo tiene el doble de la edad de Pedro Edad de Adolfo: . . . .Edad de Pedro: . . . .23 Tres números estan relacionados de modo que el segundo

es dos unidades mayor que el primero y el tercero es cuatro unidades mayor que el segundo.

Número mayor: . . . . . . . . . . . . . . . . . Número intermedio: . . . . . . . . . . . . .Número menor . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 Las edades de Franz Bryan y Jayaira están en proporción a tres, cinco y siete

25 Gasté los 3/4 de lo que no gasté

26 La diferencia de dos números es catorce y el duplo del me-nor de los números es 5 unidades menor que el mayor de los

números27 La mitad de un número , aumentado en su triple28 La mitad, de un número aumentado en su triple (x + 3x) / 229 En un corral hay gallinas y conejos, el número de

cabezas es 18 y el de patas es 52

35

xy=

RAZONANDO OBSERVA Y CON LAS VERIFICA

ECUACIONES LAS

BATERÍA DE ECUACIONES

PROBLEMAS RESUELTAS

RESUELTOS Nº 41. Un galgo persigue a una liebre que lleva 90 saltos de adelanto sabiendo que el galgo da 7 saltos mientras que la liebre da 6 saltos y que 4 saltos de liebre equivale a 3 de galgo ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre?a) 160 b) 169 c) 180 d) 189 e) 190

SOLUCIÓN ( Graficando); d= distancia 90 saltos de liebre = (90/4)d

Galgo da 7 saltos Liebre da 6 saltos

Avanza 1/3 de d Avanza 1/4 de dEn un mismo lapso de tiempoEl galgo avanza (7/3)dLa liebre avanza (6/4)dEn cada 7 saltos el galgo se aproxima a la liebre en: (7/3)d - (6/4) d = (5/6)dEn 7 saltos el galgo se aproxima (5/6) dEn x saltos el galgo se aproxima (90/4) d Resolviendo. X =( 90/4) 7 ( 6/5 ) = 189Respuesta: d

2. Dos velas de la misma altura se encien-den simultáneamente, el primero se consume en 4 horas y el otro en 3 hoiras, suponiendo que cada uno se consume en una cantidad constante. ¿Cuántas horas después del en-cendido, la altura del primero es el doble del segundo?a) 2h 24m b) 2h 30m c) 2h 45 d) 3h e) 4hSOLUCIÓN: Graficando 1º 2º (1/4)H.m

(1/3)H.m

2h H h

Observando detenidamente el gráfico “H” es la altura de las velasEl primero en una hora se consume (1/4) HEl segundo en una hora se consume (1/3) HEn un determinado tiempo de “m” horas la altura del 1º será el doble del 2ºEl primero se consume (1/4) H. mEl segundo se consume (1/3) H. m2h = H - (1/4)H.m (1) h = H - (1/4)H.m (2) Reemplazando (2) en (1)2[H-(1/3)Hm = H - (1/4)HmResolviendom= (12/5) horas Respuesta: a3.Se ha comprado cierto número de som-breros por S/.300. si el precio por unidad hu-biese sido cinco soles menos se tendrían 10 sombreros más por el mismo precio. ¿Cuán-tos sombreros se compró?a) 5 b) 10 c) 15 d) 25 e) 20SOLUCIÓN: Datos

Nº de sombreros comprados

Precio de cada

sombreroPrimero x 300/xLuego x + 10 (300/x) - 5

Ecuación:

Resolviendo la ecuación300x = 300x + 300 - 5x2 - 50x5x2 + 50x - 3000 = 0( x + 30 ) ( x - 20 ) = 0De donde x = 20 Respuesta: e

4.En una sección de “S” alumnos del colegio parroquial “San Vicente de Paúl “ de Tarma un profesor formó “V” grupos de 5 alumnos cada grupo, con la finalidad de que el nú-mero de alumnos sea par, formó dos grupos más, disminuyendo un alumno por cada grupo. Hallar “S.V”. a) 310 b) 320 c) 340 d) 350 e) 355 SOLUCIÓN: Nº de alumnos: S; Nº de grupos : VEcuación: 5V= 4(V + 2), resolviendo V = 8S = 5(8) =40 Finalmente S.V = 40. 8 = 320Respuesta: b

300 10300 5

x

x

= +−

5.Los profesores de primaria juegan contra los profesores de secundaria, del Colegio Parroquial “San Vicente de Paúl “ de Tarma, acuerdan que el que pierda dará al ganador 50 soles, si después de 16 partidos conse-cutivos los profesores del nivel secundario han ganado S/. 100. ¿Cuántos partidos han ganado los profesores del nivel primario?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9SOLUCIÓN:Datos:PG = partidos ganadosPP = partidos perdidos Se sabe que los profesores de secundaria han ganado S/.100 después de 16 partidos; además reciben S/. 50 por partido ganado y pagan S/. 50 cuando pierden. Entonces la ecuación será: PG + PP = 1650PG - 50PP = 100Resolviendo el sistema de ecuacio-nes con dos variables:PG = 9 y PP = 7, significa que los profesores de primaria han ganado 7 partidos.Respuesta: c

6.Una obra se puede realizar con 30 obreros en 55 días. Si 12 de ellos aumentan su efi-ciencia en 1/4. ¿ En cuántos días harían toda la obra? ( Evaluación de talento PUC- 2010 )

a) 15 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50SOLUCIÓN:Datos:En 1 día 18 obreros harán “x” parte de la obra x =18(1/30)(1/55) En 1 día 12 obreros harán “y” parte de la obra y = 12(1/30) (1/55) (5/4) En un día los 30 obreros harán (sumando) x + y = ( 3/275) + ( 1/110) = 1/50 . Finalmente toda la obra lo realizarán en 50 díasRespuesta: e

7.Cada vez que Sonita se encuentra con Panchito,éste último duplica el dinero que lle-va Sonita . Sonita en retribución le entrega 20 soles. Si se han encontrado tres veces luego de los cuales Sonita tiene 260 soles y Panchi-to se queda sin dinero en el bolsillo. ¿Cuánto tenía Panchito inicialmente?

a)200 b) 205 c) 210 d) 215 e) 220

SOLUCIÓN:Datos:

Encuen tros

Personas

Te-nía

Queda

S/. 1ºencuen-

tro

2º encuentro

3º encuentro

Sonita S 2s - 20 2(2s-20)-20 2(4s-60)-20Panchito P P - S + 20 P - 3S + 60 P - 7S + 140

Analizando el cuadroSonita en el tercer encuentro con Panchito se queda con S/.260, entonces la ecuación será:2(4s-60)-20 = 260 (Ecuación 1)Resolviendo: 8S - 120 - 20 = 2608S = 400; S = 50Panchito en el tercer encuentro con Sonita se queda con S/.0; entonces la ecuación será:P - 7S + 140 = 0 (Ecuación 2)Reemplazando S = 50 y resolviendoP - 7(50) + 140 = 0P = 210Respuesta: c

8.Para ir al segundo piso en el colegio “San Vicente” hay “ n “ gradas. Si Tomás sube de 4 gradas en 4 gradas y da un paso más que José que sube de 5 gradas en 5 gradas. ¿Cuántas gradas hay en total?a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22SOLUCIÓN:Datos:Personas Pasos que da

para ir al 2º pisoNº total de gradas

Tomás x + 1 4 ( x + 1 )José x 5 x

Analizando el cuadroComo el Nº total de gradas es igual en ambos casos. La ecuación será:4 ( x + 1 ) = 5xResolviendo: 4x + 4 = 5x x = 4El Nº total de gradas es 5 ( 4 ) = 20Respuesta: d9. A un curso asistieron 3 ingenieros por cada 4 profesores y 3 profesores por cada 2 médicos. Si en total asistieron entre inge-nieros, profesores y médicos 290 personas. Hallar el número de profesores ingenieros y médicos que asistieron al cursoa) 180, 90 y 120 b) 120, 60 y 80c) 120, 90 y 80 c) 80, 60 y 120 e) N.A.

SOLUCIÓN:Datos: Representando los asistentes en fun-ción de una constante kIngenieros: 3k, profesores: 4k, médicos:(8/3)k La relación de médicos hallamos mediante la proporción: Si por 3 profesores hay 2 médicos por 4 profesores habrá x médicosAhora sumamos los asistentes e igualamos a 290 personas: 3k + 4k + (8/3)k = 290Resolviendo la ecuación: k = 30

Luego hay: 3(30) ingenieros = 90 4(30) profesores = 120

(8/3)(30) médicos = 80Respuesta: c10. Las mascotas de Daniel son todos cone-jitos menos 8, todos gatitos menos 6 y todos iguanas menos 4. ¿Cuántas mascotas tiene?a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13SOLUCIÓN:Datos: C= conejitos, G= Gatitos, I= IguanasG + I = 8 (ecuación 1)C + I = 6 (ecuación 2)C + G = 4 (ecuación 3)Sumando: 2C + 2G + 2I = 18 Simplificando C + G + I = 9 Respuesta: b

11. Virgilio tiene 80 billetes de 10 soles y máximo tiene 56 billetes de 50 soles. Halle el número de billetes que deben intercambiar Virgilio y Máximo( el mismo número) para que ambos tengan igual dinero.a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30SOLUCIÓN: Sea “x” el número de billetes a intercambiar. Según la tabla adjuntaPERSONAS TENÍA (S/.) DA (S/.) RECIBE(S/.)Virgilio 800 10x 50xMáximo 2800 50x 10xEcuación 800 - 10x + 50x = 2800 - 50x + 10x

resolviendo la ecuación. x = 25Respuesta: d12. Alexandra cada vez que va al comedor gasta la tercera parte de lo que tiene más cua-tro soles, al salir por tercera vez se queda sin dinero. ¿Cuánto tenía al comienzo?a) 28,5 b) 17,5 c) 14,5 d) 15,6 e) N.A.SOLUCIÓN: JUEGOS TENÍA GASTA QUEDA1º x (x/3) + 4 (2x-12)/32º (2x-12)/3 [(2x-12)/9]+4 (4x-60)/93º (4x-60)/9 [(4x-60)/27]+4 (8x-228)/27

Ecuación. [(8x-228)/27] = 0 Resolviendo 8x - 228 = 08x = 228x = 28,5Respuesta: a

13.En un laboratorio nacieron ratones fenó-menos con 4 cabezas y 12 patas, ademàs ra-tones normales. Si en total hay 32 cabezas y 100 patas ¿Cuántos ratones anormales hay?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7SOLUCIÓN:Planteamos la ecuación con dos incógnitasSea x: ratones normales. y: ratones anormalesSegún el cuadro adjunto tenemos:Ratón Nº de cabezas Nº de patasNormal 1 4Anormal 4 12Total 32 100

Planteando la ecuación: x + 4y = 324x + 12y = 100Resolviendo el sistemax = 4, y= 7Respuesta: e14. José Luis ha resuelto 150 ejercicios de física en 4 días, si cada día resolvió la mi-tad del día anterior. ¿Cuántos ejercicios ha resuelto el tercer día?a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

SOLUCIÓN:Día Ejercicios

resueltosEcuación

1º x x + x/2 + x/4 + x/8 = 15015x = 1200x = 80El tercer día resolvió: 80/4 = 20

2º x/23º x/44º x/8

Respuesta: c15. En una fiesta Bruno le dice a Mirella:somos el doble o el triple de ustedes. Mirella le responde: Mira allí vienen mis 5 amigas con los cuales nadie quedará sin pareja . ¿Cuántas personas había en la fiesta?a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30Nº de mujeres: x; Nº de varones: 2x ó 3xSi llega 5 mujeres. x + 5 = 2x ó x + 5 = 3xCumple solo en el primero x= 5; Total perso-nas: x + 2x = 5 + 10 = 15. Respuesta: b

PRÁCTICA Nº 4

NIVEL I1.La suma de tres números consecuti-vos es 90 . ¿Cuál es el número mayor?a)32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28

2. El exceso de cinco veces un número sobre cuarenta equivale al exceso de cuarenta sobre dos veces más el número.¿Cuál es el número?a)8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15

3. Bryan compra un libro, una calcula-dora y una maleta por S/. 200. Si la cal-culadora cuesta el doble del precio del li-bro y la maleta cuesta S/.25 más que la calculadora. ¿Cuánto cuesta la calculadora?a)50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

4. En un corral de chanchos y pavos, el nú-mero de ojos es 24 menos que el núme-ro de patas. Hallar el número de hocicos. a)6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

5. En una granja por cada gallo hay 3 gallinas y por cada gallina hay 4 pavos. Si en total se han contado 160 patas. ¿Cuántos pavos hay?a)8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

6. Al retirarse 30 alumnos del Colegio “San Vicente de Paúl”, se observa que éste que-dó disminuído es sus 1/33 parte. ¿Cuántos alumnos se matricularon en ese colegio?a)800 b) 860 c) 900 d) 950 e) 990

7. Lorena y Magaly tienen S/.1200, si Lorena le diera S/. 200 a Magaly, am-bos tendrían la misma cantidad. ¿Cuán-to más tiene Lorena que Magaly?a)800 b) 600 c) 400 d) 200 e) 100

8. Si Luli vende cada cuaderno a S/.15, gana S/.20, pero si vende a S/.12 cada cuaderno pierde la mitad de su ganancia.

¿De cuántos cuadernos dispone para la venta?a)8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

9. Un depósito contiene 72 galones de pe-tróleo si éste debe ser envasado en 30 envases ;unos de un galón de capaci-dad y otros de 4 galones. ¿Cuántos en-vases de éste último se va necesitar?a)12 b) 14 c) 10 d) 18 e) 16

10. En una fiesta la relación de hombres a la de mujeres es de tres a cinco; en un momento dado se retiran ocho damas y llegan tres caballeros con lo que la relación es ahora de tres a cua-tro. ¿Cuántas personas ahora hay en la fiesta?a)91 b) 81 c) 71 d) 61 e) 52

NIVEL I I

1. Un carnicero obtuvo por la venta de sus animales S/.9600. Si vendió 3 carneros más que vacas y en ambas ventas obtuvo lo mis-mo. ¿Cuántos animales vendió si los carne-ros cuestan 360 soles menos que las vacas?a)13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

2. En una reunión hay 45 personas( entre damas y caballeros) si se retiran 5 parejas, la diferencia entre el número de hombres y de mujeress es 5 ¿Cuántas damas quedan?a)13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20

3. Tengo tres números los sumo 2 a 2 y ob-tengo 13, 17 y 24. Hallar la semisuma de los dos mayores.a)20 b) 18 c) 12 d) 10 e) 8

4. En una tienda donde se venden conejos palomas y gatos, son todos conejos menos 6, son todos gatos menos 3 y son todos palomas menos 7. ¿Cuántos animales hay en la tienda?a)4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

5. En un eámen de 60 preguntas Franz acertó tanto como falló; y no contestó tanto como puntaje sacó. Si las preguntas se cla-sifican así: Correcta 5 puntos; incorrecta - 2puntos; no contestada 0 puntos.¿ Qué puntaje sacó?a)26 b) 28 c) 30 d) 34 e) 36

6. Un grupo de amigos deciden alquilar un lo-cal para hacer una fiesta. Si el alquiler cuesta S/.120, pero desisten participar dos de ellos, entonces cada uno de los restantes pagan S/.10 más. ¿Cuántos alquilan el local?a)8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 7. Un anciano reparte cierta cantidad de sus ahorros entre sus hijos. Primero desea darle S/. 30 mil a cada uno de ellos; antes que se efectúe el reparto , uno de ellos se va y la suma que le correspondía se reparten equitativamen-te entre los demás recibiendo ahora cada uno S/. 36 mil . ¿Qué cantidad repartió el anciano?a)150 mil b) 160 mil c) 170 mil d) 180 mil e) 190 mil

8. Subiendo las escaleras de 3 en 3, José da seis pasos más que subiendo de 5 en 5. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera?a)35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55

9. En el cine hay 126 personas, si el número de hombres supera en 24 al número de mujeres y el número de hombres y mujeres supera en 66 al número de niños. ¿Cuántos niños hay en la sala?a)20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45

10. Una llave puede llenar un reservorio de agua en 3 horas, otra llave puede llenarlo en 6 horas y un desagüe puede vaciarlo en 18 horas, estando lleno. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito, estando vació y abierto el desagüe, si se abren a la vez las dos llaves que la surten?a)2h15m b) 2h18m c) 2h20m d) 3h e) 3h10m

NIVEL I I I

1. Walter dice: yo tengo tantas hermanas como hermanos, pero mi hermana tiene la mitad de hermanas que de hermanos. ¿cuántos somos?a)7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 8

2. Dos helados de igual calidad y diámetro se diferencian en 10 cm, de longitud. Se empie-zan a derretir al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado la longitud de uno de ellos es el triple del otro y quince minutos después se termina el más pequeño, si el mayor se derritió en dos horas. ¿Cuál era la longitud del helado más pequeño?a)20 b) 30 c) 32 d) 35 e) 40

3. Del dinero que tengo, gasto el doble de lo que no gasto, de lo que no gasto pierdo la mi-tad de lo que no pierdo, de lo que no pierdo re-galo la tercera parte de lo que no regalo. Si la suma de lo que gasto más de lo que regalo es 26 soles. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?a)20 b) 30 c) 36 d) 40 e) 50

4. Si a un número de tres cifras que empieza en 9, se le suprime esta cifra queda 1/21 del número. Dar como respuesta la suma de las cifras de la s decenas y unidades del número. a)6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

5. Tengo un negocio de venta de plátanos; por cada 100 que compro, 10 se me malogran y por cada 100 que vendo doy 10 de regalo. Si vendo 1800 plátanos. ¿Cuántos compré?a)2020 b) 2030 c) 2036 d)2100 e) 2200.

6. Dos cilindros contienen un total de 688 ga-lones de petróleo. Si se vende 1/4 del conte-nido del primero y 2/5 del segundo, queda 30 galones más en el primero que en el segun-do. ¿Cuántos galones hay en cada cilindro?a)330 y 358 b) 360 y 390 c) 360 y 330 d) 328 y 358 e) 328 y 360

7. Gasté 4/5 de lo que tenía , perdí 3/5 de lo que me quedó, si luego volvi a perder 40 soles quedándome sin nada. ¿Cuánto tenía al principio.a)300 b) 350 c) 400 d)500 e) 550

8. Entre mis primos y tíos son 32. Y que casualidad que cada uno de mis tíos tie-ne la misma cantidad de hijos Si cuadrupli-co el número de tíos que tengo, el resulta-do excede a la cantidad de primos en 8. ¿Cuántos hijos tiene cada uno de mis tíos?a)5 b) 4 c) 3 d)2 e) 1

9. Hay “n” niños y una caja con “m” carame-los. El primer niño coge un caramelo más 1/10 de los restantes, el segundo niño coge 2 caramelos más 1/10 de los restantes, y asi sucesivamente hasta que el n-ésimo niño coge n caramelos. Si todos los niños cogie-ron la misma cantidad de caramelos, Halla m + n. (ONEM 2010 -segunda fase.- nivel 3)a)81 b) 90 c) 91 d)92 e) 98

CAPACIDADES: Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y aplicar.

APRENDIZAJE ESPERADO:

- Interpreta y comprende problemas sobre edades- Plantea y resuelve problemas con edades-Utiliza de manera adecuada las tablas de doble entrada en la solución de pro-blemas con edades- Formula problemas con ecuaciones.- Aplica métodos prácticos para el planteo y resolución de problema con edades-de la vida cotidiana.

En las ecuaciones con edades inter-vienen personas, edades y tiempos, para su resolución es necesario te-ner un cocimiento básico del planteo de ecuaciones.

Cuando se trata de ecuaciones donde inter-vienen las edades se presentan varios casos de planteamientos. A continuación abordare-mos los casos más usuales:1. Cuando interviene la edad de una sola persona

Se establece determinadas relaciones de la persona con su edad a través del tiempo ( pasado, presente y futuro) mediante una tabla simple de doble entrada.Ejemplo:1. Hace cinco años Jayaira tenía 2/5 de los años que tendrá dentro de 10 años. ¿Cuán-tos años tendrá dentro de 20 años?Solución: Según la tabla

TIEMPO

PERSONA

PASADO PRESEN-TE

FUTURO

Hace 5 años

Actual-mente

dentro de10

años20

añosEdad de-

Jayairax -5 x x+10 x+20

Ecuación x - 5 = (2/5)(x + 10)Resolviendo: 5x - 25 = 2x + 20x= 15 . Dentro de 20 años tentrá 35

2. Cuando intervienen las edades de dos o más personas.

Se dan dos casos:a) Cuando se dan tiempos concretos y específicos.b) Cuando los tiempos no se especifican

a)Cuando los tiempos son concretos y específicos:

En estos casos se usa un cuadro de doble entrada que contiene nombre de las per-sonas personas, sua respectivas edades a través del tiempo.Ejemplo: 11, Hace siete años la edad de Bryan era seis veces la edad de Franz. Dentro de cinco años tendrá veinticinco veces la edad que Franz tenía cuando el tenía la edad que Franz tendrá dentro de once años. ¿Qué edad tiene Bryan? Solución: Mediante la tabla

EDADESTiem- po

Personas

Hace 2 años

Actuasl-mente

Dentro de 5 años

Dentro de 11 años

Bryan 6x 6x +2 6x+7 6x+13

Franz x x+2 x+7 x+13Según la tablaBryan tiene 6x + 2 años y hace “a” años tenía x + 13 añosHallamos “a” 6x + 2 - a = x + 13, entonces a = 5x - 11; hace “a” años Franz tenía x + 2 - (5x- 11) 0 -4x + 13Finalmente la ecuación planteada será:6x + 7 = 25 (- 4x + 13 )Resolviendo: 6x + 7 = - 100x + 35x = 3; reemplazando en la edad actual de Bryan 6x + 2 = 6(3) + 2 = 20. Respuesta: Bryan tiene actualmente 20 añosEjemplo: 22. Hace 5 años la edad de un hijo se dife-renciaba en el doble de su edad con la edad de su padre, y se diferenciaba en la mi-tad de su edad con la de su hermano me-nor. Si dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. Calcula la edad que tuvo el padre cuando nació su primer hijo. Solución: Mediante la tabla

PERSO-NAS

EDADESHace 5 años Actual Dentro de 7

añosPadre 3x 3x + 5 3x + 12

hijo mayor x x + 5 x + 12Hijo menor x/2 x/2 + 5 x/2 + 12Ecuación x/2 + 12 = x + 5, resolviendo x=14

Edad del padre: 47; edad del hijo mayor:19Diferencia de edades 28

b)Cuando los tiempos no se especifican.

Esto ocurre cuando no se especifican exac-tamente el tiempo y las edades de las perso-nas que intervienen en el problema.En estos casos es bueno utilizar algunas pro-piedades como:•La diferencia de edades de 2 personas es constante en cualquier tiempo.• Las sumas de edades de 2 personas en diferentes tiempos , ubicadas en aspa son iguales.Ejemplo (en la tabla)

EDADES TIEMPOPERSONAS

Hace 6 años

Actual Dentro de 8 años

Fulano 12 18 26Sultano 20 26 34

•Diferencia de edades:0 - 12 = 26 - 18 = 34 - 26 = 8•Suma en aspas12 + 26 = 20 + 18 = 3818 + 34 = 26 + 26 = 52Ejemplo: 1Coco le dice a Fico. “Yo tengo 3 veces la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tu tienes y cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 35 años. Hallar ambas edades.Solución: Haciendo uso de la tabla y apli-cando las propiedades mencionadas:

PERSO-NAS

EDADES

TIEMPOPERSONAS

PASADO PRESEN-TE

FUTURO

Coco x 3y 35 - 3yFico y x 3y

Aplicando la primera propiedad:x - y = 3y - x, entonces 2x = 4y x = 2y35 - 3y - 3y = 3y - x y = 5 x = 10 Respuesta: Las edades son 15 y 10 años.Ejemplo: 2Jayaira le dice a Bryan yo tengo 5 años más de la edad que tu tenías, cuando yo tenía tres años menos de la edad que tienes y cuando tu tengas el doble de la edad que yo tengo, nuestras edades sumaran 49 años. ¿Que edad tienen Jayaira y Bryan?

Solución: Graficando en la tablaPERSO-NAS

PASADO PRESEN-TE

FUTURO

JAYAIRA y - 3 x + 5 49 - 2(x + 5)BRYAN x y 2( x + 5)

Aplicando la propiedad de las sumas en as-pas son iguales:y - 3 + y = x + x + 5 2y - 2x = 8 y - x = 4( ecuación 1)x + 5 + 2( x + 5) = y + 49 - 2 (x + 5)5x - y = 24 ( ecuación 2 )Resolviendo (1) y (2)y - x = 4 y - x = 4-y + 5x = 24 y - 7 = 4 4x = 28 y = 11 x = 7Respuesta: Jayaira tiene 12 años y Bryan tiene 11 años. Ejemplo: 2Sonia tiene “x “ años y Mary “y” años. ¿Den-tro de cuántos años ambas edades estarán en relación de 2 a 1?a) x + y b) x - y c) x + 2y d) x - 2y e) N.A.Solución:Personas Edad actual Dentro de n

añosSonia x x + nMary y y + n

Según el enunciado planteamos la ecuación Resolviendo: x + n = 2y + 2n x - 2y = nRespuesta: d

3.Relaciones entre del año de naci-miento, la edad actual y el año actual.Propiedades:1. Si una persona ya cumplió añosAÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

2. Si una persona aún no cumplió añosAÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1Ejemplo : El año en que nació Danielito representa el cuadrado de su edad en 1980. Calcular su edad en el año 2010.Solución: Sea x su año de nacimiento y E: edadAÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

X + E = 1980E = 1980 - xEcuación: x = ( 1980 - x )2

x2 -3961 + 3920400 = 0 , de donde x = 1936O sea en 1980 tenía años. En el 2010 tiene 44 + 30 = 74 años.

PROBLEMAS DE

EDADES

BATERÍA DE PROBLEMAS RESUELTOS Nº 5

1. A los 80 años murió Fulano y nació en el año 19ba y en el año 19ab tenía (2a + b) años. ¿Cuándo murió Fulano si aún no cum-plía años? ( a > b)Solución:AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 119ba + (2a + b) = 19ab - 1 (2a + b) + 1= 19ab - 19ba2a + b + 1 = 1900 + 10a + b - 1900 - 10b - a1 = 7a - 10b. Por tanteo a= 3 y b = 2Entonces Fulano nació en el año de 1923 y murió después de 80 años; es decir en el año: 1923 + 80 = 2003

2. Mi gato “Chalaco” pasó 1/3 de su vida durmiendo; 1/12 comiendo; 1/4 lavándose la carita; 1/6 matando sus pulguitas y el resto de su vida que son 3/2 peleando en el techo con otros gatos machos. ¿Cuándo nació si murió envenenado en el mes de julio del 2010?Solución:Sea “x” la edad que tenía antes de morirPlanteamos la ecuación:x - [ (1/3)x+ (1/12)x + (1/4)x + (1/6)x +3/2 ] = 0Resolviendo la ecuación: x = 9Entonces nació en el año 2010 - 9 = 2001

3.Mi tía Rosalía tenía en el año 1972 , tantos años como el doble del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimien-to. ¿Cuántos años tendrá mi octogenaria tía en el año 2012?Solución:AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

19 2 1972ab ab+ = Resolviendo:

1900 + 10a + b + 20a + 2b = 197230a + 3b = 72, simplificando 10a + b = 24Por tanteo a= 2 y b = 4, luego nació en 1924y el 2012 tendrá: 2012 - 1924 = 88 años

4. Cuando tenga “a” años tendré “v” veces la edad que tenía hace “ n” años. ¿Cuántos años tendré dentro de “n” años ?Solución:

PASADO PRESENTE FUTUROEdad hace “n”

añosEdad actual Dentro de “n”

añosa - n a a + n

Ecuación planteada: a = v (a - n) (Ec. 1)Dentro de “n años tendré: a + n = v (a - n) + nResolviendo (Ec. 1)a =va - vn a ( v - 1 ) = vn a = [(vn)/(v-1)]Luego: a + n = [(vn)/(v-1)] + n a + n =[ n( 2v - 1)] (v - 1 )

5. En el mes de marzo Jacinto sumó a los años que tiene la mitad de los meses que ha vivido obteniendo como resultado 324. ¿En qué mes nació Jacinto?Solución:Años que tiene Jacinto: xmeses que ha vivido 12xEcuación: x + 6x = 324 7x = 324324 7 Jacinto tiene 46 años y 2 meses 44 46 en el mes de marzo; entonces 2 hace 2 meses nació; o sea en el mes de Enero.

6. La edad de Renato al fallecer era 1/31 del año de su nacimiento ¿Que edad tenía en el año de 1980?Solución: Sea “m” el año en que murió y x” el año de su nacimientoRenato nació antes de 1980 y murió después de 1980AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUALx + E = Año en que murió E =(1/31)x x + (1/31)x = m 31x + x = 31 m 32x = 31m x = (31m)/32 Analizando: x< 1925 , además x es múltiplo de 31 y 32 y tiene 4 cifras.Luego x = 1922 (año de nacimiento) y m = 1984( año en que murió).Renato murió a los 62 años de edad. En 1980 tenía 1980 - 1922 = 58 años

7. Mi edad es mayor en 4 que el cuadrado de tu edad y menor en 5 que el cuadrado de tu edad del próximo año. ¿En qué relación estan nuestras edades?Solución: Sea “x” mi edad; “y” tu edadEl próximo año tu edad será y + 1.Ecuaciónes: x = y2 + 4; x = (y + 1 )2 - 5Resolviendo: x = 20; y = 4. La relación es de 5 a 1

21

x ny n+

=+

1936 44=

8. Le preguntaron a Poly por su edad y contestó: Mi edad más el doble de Saly, más el triple de Saly y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad suman en total 1090 ¿Cuál es la edad de Saly, si es-tán en relación de 1 a 2?Solución:Edad de Poly = x; Edad de Saly = 2xSegún el enunciado del problema tenemos:x + 2(2x) + 3 (2x) + 4(2x) + . . . + x (2x) =1090 x + 2x(2 + 3 + 4 + . . .x) = 1090x + x [ x (x+1) - 2 ] = 1090x + x3 + x2 - 2x = 1090Resolviendo la ecuación: x = 10Edad de Poly = 10; Edad de Saly = 20

9. Cocoliso nació en el año y en el año 1990 tenía (a + b ) años. ¿En que año tendrá 2a + 8b años?Solución:AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL + x = 1990 1900 + + a + b = 1990Resolviendo: 10a + b + a + b = 9011a + 2b = 90. Tanteando a = 8 y b = 1Tendrá 2a + 8b años ( 24 años) en:1981 + 24 = 2005

10. Coquito en el mes de agosto resta los años que tiene de los meses que ha vivido y obtiene 221 meses. Si es mayor en 194 meses que su hermano, Pachón. ¿ En qué mes nació Pachón?Solución: Años vividos de Coquito: xMeses vividos de Coquito: 12xEcuación: 12x - x = 221 11x = 221221 11 1 20 En el mes de agosto Coquito te-nía 20 años 1 mes ; es decir nació en Julio.Además, es mayor que Pachón por 194 meses(16 años + 2 meses) ; O sea Pachón cumplirá años dentro de 2 meses , es decir en Septiembre.

11. Un abuelo dice a su nieto. Nuestras eda-des terminan en 6, su producto termina en 36, su suma está comprendida entre 100 y 150. Si yo tuviese 8 años menos, mi edad sería el triple de tu edad. Hallar la suma de las edades del nieto y del abuelo.

Solución:Edad del abuelo: Edad del nieto: 6b - 8 = 3 6a 10b + b - 8 = 30a + 1810b - 30a = 20; por tanteo a = 2 y b = 8 Luego el nieto tendrá 26 años y el abuelo ten-drá 86 años, siendo la suma de las edades 112.

12. La tercera parte de la edad de Tico más la cuarta parte de la edad Toco es igual a 16 años. Si a Tico se le disminuye-ra 4 años y a Toco se le aumentara 4 años; entonces la quinta parte de la edad de Tico más la sexta parte de la edad de Toco sería 10 años. ¿Que edad tiene cada uno?Solución: Edad de Tico: x; Edad de Toco: y(x/3) + (x/4) = 16[(x- 4) / 5] + [(y+ 4) / 6 = 10Resolviendo: x = 24; y= 32

13. Rosita dice: No nací en mayo, lue-go multiplica la fecha de su nacimien-to por 18 y el número del mes por 30, para finalmente sumar esos productos y obtener 204. ¿Cuándo nació Rosita? Solución: Mes en que nació Rosita: xFecha en que nació Rosita: yEcuación: 30x + 18y = 204Por tanteo: 30(2) + 18(8) = 204Rosita nació el 8 de Febrero

14. Si al año de mi nacimiento le sumo la cuarta parte de mi edad actual obtengo 1990. Si actualmente estamos en el año 2003 y aún no cumplo años. ¿En qué año nací?Solución: AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1 19ab + x = 2003 - 1 x - 2002 = - Ecuación: 19ab + x/4 = 1990 x/4 - 1990 = - 19ab

Igualando: x - 2002 = x/4 - 1990 Resolviendo: x = 16(años de edad)Nací en el año: 2002 - 16 = 198615. Macario en 1993 tenía una edad igual a la suma de las cifras del año de su nacimien-to. ¿En qué año nació ?AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL + x = 19931900 + 10a + b + 10 + a + b = 199311a + 2b = 83. Por tanteo : 11(7) + 2(3) = 83Nació en el año: 1973

19ab

19ab

ab

6b 6a

19ab

19ab

PRÁCTICANº 5

ECUACIONES CON EDADES NIVEL I

1. Si actualmente la suma de las edades de dos hermanos es 72. ¿ Hace cuántos años la suma de sus edades era 50?a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2. Dentro de 20 años tendré el doble de la edad que tuve hace 10 años ¿Cuántos años tengo?a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

3. Pedro comentaba: “La suma de mi edad de hace 9 años con la edad que tendré dentro de 9 años es igual a 36 años”¿Cuántos años tiene actualmente si estamos en el 2010?a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

4. Nicole fue madre por primera vez a los 20 años, por segunda vez a los 25 años y por última vez a los 30 años. Si a fines del 2010 las edades de Nicole y sus tres hijos suma-ban 65 años. ¿En qué año nació Nicole?a) 1969 b) 1970 c) 1973 d) 1975 e) 1976

5. En el año 2010 la edad de Ana coincidía con la cantidad que expresa las dos últimas cifras de su año de nacimiento. ¿En qué año nació Ana?a) 1949 b) 1955 c) 1960 d) 1965 e) 1970

6. Hace 9 años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de nueve años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tengo actualmente?a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

7. Emilio multiplica los años que tiene por los meses que ha vivido. Obteniendo 10800. Hallar la suma de las cifras de la edad que tiene Emilio.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8. Actualmente las edades de un tío y su sobrino suman 56 años, sabiendo que hace 4 años la edad del tío era el doble de su sobri-no. ¿Hace cuántos años la edad del tío era el triple de su sobrino?a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

9.Ana le dice a Ruth, actualmente tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía tu edad, y cuando tu tengas mi edad, entre ambos sumaremos 119 años. ¿Cuántos años tiene Ruth?a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36

10. Mi abuelo nació 6 años antes que mi abuela y en 1950 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1965. Si estamos en el año 2010 y mi abuelo está celebrando su onomástico. ¿Cuántos años está cumpliendo?a) 68 b) 69 c) 70 d) 71 e) 72

NIVEL I I

1. Si Antonieta tuviese 9 años menos, el tiempo que hubiese permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubie-se permanecido despierto si es que tuviese 9 años más. Si en el transcurso de su vida duerme 8 horas diarias. ¿ Cuántos años tiene antonieta?

a) 12 b) 14 c) 17 d) 19 e) 21

2. Si a la edad que tengo en el año 2010, primero le quito la mitad más 1, de lo que queda, nuevamente le vuelvo a quitar la mitad más 1, y asi sucesivamente repito la misma operación por 5 veces consecutivas hasta quedarme con cero años. ¿En qué año nací?

a) 1948 b) 1949 c) 1950 d) 1951 e) 1952

3. En una reunión hay 8 personas, si se suman sus edades más los años de sus na-cimientos dará 16075. Si la suma se hizo en el 2010. ¿cuántas personas de la reunión ya cumplieron años?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. En el año 2010 Panchito decía:“El producto de las cantidades querepresenta las 2 últimas cifras del año de mi nacimiento con los 3/11 de la suma de mi edad y dichas cantidades, es igual al año actual. ¿cuándo nació Panchito?

a) 1956 b) 1957 c) 1958 d) 1959 e) 1960

5. La edad de Sonia en el año de 1974 era igual a la raíz cuadrada de la décima parte del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tendrá Sonia en el 2015?

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

6. La edad de Elsner al fallecer era 1/90 de su nacimiento. ¿Qué edad tenía el año 2000?

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

7. En el mes de Marzo Lucía sumó a los años que tiene, la mitad de los me-ses que ha vivido obteniendo como resultado 324. ¿ En qué mes nació Lucía?

a) diciembre b) enero c) febrero d) abril e) mayo

8. En navidad del 2010, Francisco divide el cuadrado de los meses que ha vivido con el sextuplo de los años que tiene obteniendo 1281. ¿En qué mes y año nació Francisco?

a) marzo 1957 b) mayo 1957 c) junio 1958 d) febrero 1959 e) marzo 1960

9. Las edades de Chayer y Chimeco se muestran en tiempos diferentes en la tabla adjunta. Hallar la suma de sus edades actuales

TiempoPersonas

Pasado Presente Futuro

Chayer a 2b 72 - 2bChimeco b a 2b

a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59

10. Thalia nació en la segunda mitad del siglo XX en el año n2 tenía “n” años. ¿Qué edad tiene actualmente?

a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

NIVEL I I I

1. En el año 2010 le preguntaron por su edad a Francisco y el contestó: “Mi edad es igual a 1/19 del año de mi nacimiento, me-nos 50 . ¿Cuántos años cumplirá Francisco en el año 2020?

a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64

2. Sonia dice: “Si al año de mi nacimiento lo multiplico por 10 y luego le extraigo la raíz cuadrada obtengo 140” ¿Qué edad tiene el hijo Franz de Sonia que nació cuando ella tenía 31 años?

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

3. Un abuelo dice: “Tengo 2 hijos y 4 nietos(2 nietos por cada hijo); las edades de mis nietos por parte de cada uno de mis hijos son números primos y se diferencian en 16; mis nietos menores se llevan por 4 años , lo mismo pasa con mis nietos mayo-res; La edad de mi hijo primogénito es igual al producto de las edades de sus sobrinos y la edad de mi otro hijo es igual a la suma de edades de sus sobrinos” Hallar la suma de edades de los hijos y nietos del abuelo(6 personas).

a) 139 b) 132 c) 138 d) 140 e) 136

4.Aynor nació en el año de y su hijo en el año ; en el año de 1992 las edades de Aynor y su hijo estaban el la relación de 4 a 1. Determinar la edad actual de Aynor si estamos en el año 2011 y aún no cumple años.

a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46

5.Un niño resta a los meses que ha vivido los años que tiene, obteniendo un cuadra-do perfecto que tiene raíz cúbica exacta.Si estamos actualmente en el mes de agosto del 2011. ¿En qué mes y año nació el niño?

a) noviembre del 2003 b) diciembre del 2004c) enero del 2005 d) noviembre del 2006 e) diciembre del 2007

19ab19ba

6.El año del nacimiento de Franz es igual a un número capicúa cuya suma de sus dí-gitos es igual a 20, si actualmente estamos en el año 2011. ¿¿Cuntos años tiene Franz?

a)19 b)20 c) 21 d) 22 e) 23

7. Sonia sumó un año, más 2 años, más 3 años y asi sucesivamente hasta la edad actual que tiene, dando como resultado un número de tres cifras iguales. ¿ Cúantos años tiene Sonia

a)32 b)33 c) 34 d) 35 e) 36

8. Cuando yo tenga 5 veces la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tendrás cuando yo tenga lo que ya te dije, habrán transcurrido 5 años a partir de ahora. ¿Qué edad tienes , si es la mitad de lo que tengo?

a)8 b)10 c) 12 d) 19 e) 6

9. Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que yo tenía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad que yo tuviese, si tendría 10 años más de los que yo tendré, pero si yo tuviese 10 años más de lo que tendré y tú los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo?

a)50 b)65 c) 55 d) 56 e) 54

10. Romeo y Julieta tienen varios hijos,. Si la suma de sus edades y la de sus hijos están en la relación de 2 a 1; si hace 2 años dicha rela-ción era de 7 a 3 y dentro de 4 años será de 8 a 5 ¿Cuántos hijos tienen Romeo y Julieta?

a)2 b)3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Mi abuelo nació 6 años antes que mi abuela y en 1950 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1965. Si estamos en el año 2011 y mi abuelo está celebrando su onomástico. ¿Cuántos años está cumpliendo?

a)65 b)66 c) 67 d) 68 e) 69

12. Milagritos dice mi edad es igual a (a+b) ; además 333a + 333b = 444. ¿Cuántos años tiene Milagritos?a)14 b)15 c) 16 d) 17 e) 18

13. Lucía Antonieta nació en el año y en el tenía ( a + b ) años. En que año tendrá a3 + b años.

a)2011 b)2012 c) 2013 d) 2014 e) 2015

19ab

19ba

CAPACIDADES:

Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y aplicar.

APRENDIZAJE ESPERADO:

- Interpreta y comprende problemas sobre relojes- Plantea y resuelve problemas con campanadas-Utiliza de manera adecuada las tablas de doble entrada en la solución de proble-mas con tiempos transcurridos- Formula problemas con ecuaciones de relojes malogrados.- Aplica métodos prácticos para el planteo y resolución de problemas con relojes en la vida cotidiana.

ECUACIONES CON RELOJES

Se denomina reloj a un instrumento que permite medir el tiempo. Exis-ten diversos tipos, que se adecuan según el propósito:

Conocer la hora actual (reloj de pulsera automático o de cuerda, reloj de bolsillo, reloj de salón o pared, cronómetro)Medir la duración de un suceso (cronó-grafo, reloj de arena)Señalar las horas por sonidos parecidos a campanadas o pitidos (reloj de péndulo, reloj de pulso con bip a cada hora)Activar una alarma en cierta hora espe-cífica (reloj despertador).En este capítulo estudiaremos al reloj con manecillas. FIGURA 1

ESPACIO MANECILLASEspacios re-corridos en una vuelta

HORA-RIO

MINUTE-RO

SEGUN-DERO

x 12x 720xEspacio en

grados(hora) 300 3600 7200

Espacio en grados (mi-

nuto)

(1/2)0 600 3600

Tiempo que demora en avanzar 300

1 hora 5 minutos 5 segun-dos

Observando detenidamente la figura 1 pode-mos afirmar:-El avance del horario es (1/12) del minutero.-El avance del horario es (1/720) del segun-dero.-El segundero avanza 60 veces un minutero.

ÁNGULO QUE FORMAN EL HORARIO Y EL MINUTERO A CIERTA HORA( )

I. CUANDO EL HORARIO ESTÁ DELANTE DEL MINUTERO

=30H - 11 M/2

II. CUANDO EL MINUTERO ESTÁ DELAN-TE DEL HORARIO

α = 11 M/2 - 30H

FUSIONANDO LAS DOS FÓRMULAS

(11 / 2) 30( )M Hα = ± ±

α = ángulo buscado H= horas; M = minutosSi 30H > 11M/2 30H es (+) y 11M/2 es (-)Si 30H < 11M/2 30H es (-) y 11M/2 es (+)

EJEMPLOS APLICATIVOS1 ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 7h 30 min?Solución: Graficando Mi=Posición inicial del minutero Mf=Posición final del O minutero Hi=Posición inicial del horario Hf=Posición final del horario Según el gráfico debemos calculat el ángulo Hf O Mf Avance del minutero es igual a 1800

α Avance del horario es 1/12 de 1800 = 150

� Hf O Mf =α + � Hi O Mf � Hf O Mf = 150 + 300 = 450

α

α

�

Segundo método: Con la fórmula(El horario adelanta al minutero)M= 30 α =30H - 11 M/2

H= 7 α =30(7)- 11 (30)/2 α =210 - 65 = 450

2. ¿A qué hora entre las 10 y las 11 el minu-tero está exactamente a 6 minutos del hora-rio? Solución: Primer método (Graficando)

Mf O Hf = = 6’ de separación

Mf O Hi = 6’ - x de separación

Planteando la ecuación:12x + 6’ - x = 50’x = 4’ 6’ - x = 2’Hora final: 10 h 48 minutos.Segundo método (Con la fórmula)

α = 6’ = 36º = 30H - (11M) /2Reemplazando valores en la fórmulaH= 10 M = x36º = 30(10) - (11x) /2x= 528/11 x = 48 Rpta: 10h 48 minutos.

3. ¿Qué hora marca el reloj mostrado en la figura?

�

α�

Solución: (Observando detenidamente el gráfico)Avance del horario: 30º -

Avance del minutero: 180º - Ecuación planteada:30º - = (180º - ) / 12

= 18º = 3’ ( porque 1’ = 6º )El minutero de su posición a la posición final avanzó 30’ - = 30’ - 6’ = 24’Rpta: Marca las 2h 24 minutos.

4. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 un reloj tiene sus agujas formando un ángulo recto? Solución: Se da dos casos a) Por primera vez: Primer método (Graficando)

Ecuación planteada: 12x + 90º = 25’ + x 12x + 15’ = 25’ + x 11x = 10’ x = 10/11Luego el avance del minutero será: 12x 12(10/11)Rpta: Por primera vez forman un ángulo recto a las

a) Por segunda vez: Primer método (Graficando)

Ecuación: 12x =25’ + 15’ + x 11x = 40’ x = 40/11 Luego: 12x = 12(40)/11 480/11

Rpta: Forman un ángulo recto a las

α

2α

α 2α

α

2α

74311

75 43 min11

horas

105 10 min11

horas

Segundo método (Con la fórmula )a) Por primera vez:

I. CUANDO EL HORARIO ESTÁ DELANTE DEL MINUTERO

90º = 30(5) - 11/2(M)M = 120/11

Rpta: 105 10 min11

horas

a) Por segunda vez:

I. CUANDO EL MINUTERO ESTÁ DELAN-TE DEL HORARIO

= 11 M/2 - 30 H 90º = 11 M/2 - 30 (5) [ 2(240º) ]/11= MRpta:

=30H - 11 M/2α

α

75 43 min11

horas

CLAVE DE RESPUESTASPRÁCTICA DE SUCESIONES Nº 1

1.C 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.E8.E 9.B 10.A 11.E 12.A 13.E 14.C15.A 16.B 17.D 18.C 19.A 20.B 21.A22.C 23.D 24.D 25.E 26.APRÁCTICA Nº 2 - SERIESNIVEL I NIVEL II NIVEL iii1. C 6. A 1.E 6. D 1. D 6. C2. A 7. D 2. C 7. A 2. A 7. E3.C 8. B 3. B 8. D 3. D 8. C4. D 9. E 4. A 9. B 4. A 9. A5. D 10. B 5. C 10. D 5. B 10. A

PRÁCTICA Nº 4 - PLANTEO DE ECUACIONES

NIVEL I NIVEL II NIVEL III1. A 6. E 1. A 6. E 1. A 6. E2. B 7. D 2. B 7. D 2. B 7. D3. C 8. C 3. C 8. C 3. C 8. C4. D 9. B 4. D 9. B 4. D 9. B5. E 10. A 5. E 10. A 5. E

PRÁCTICA Nº 5 - PLANTEO DE ECUACIONES CON EDADES

NIVEL I NIVEL II NIVEL III1. D 6. A 1. E 6. C 1. D 6. B 11. E2. C 7. B 2. A 7. B 2. A 7. E 12. C3. A 8. A 3. B 8. A 3.A 8. B 13. D4. D 9. C 4. B 0. B 4. A 9. C5. B 10. A 5. D 10. D 5.D 10. C