RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN

PROPORCION

DIRECTA INVERSA COMPUESTA

PORCENTAJE

Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen

¿Qué son las razones y

proporciones?

Por ejemplo

La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar

Kg 1 2 3 4 7

euros 4 8 12 16 28

RAZÓN

Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas

Se puede escribir como

a : b

Se lee “a es a b”kb

aó

Antecedente

Consecuenteb

a

APLICACIONES

En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala.

Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa?

Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.

Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de

1000

13

Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés.

APLICACIONES

La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.

Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados.

Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de

habitantes por kilómetro cuadrado

¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!

APLICACIONES

3,91,30718

285255

PROPORCIONES

Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones

d

c

b

a

Se escribe

o a : b = c : d Se lee “a es a b como c es a d”

En toda proporción:

d

c

b

a

Extremos

Medios

OBSERVACIÓN

El producto de los medios es igual a los extremos.

d

c

b

a

Dada la proporción:

Se cumple:

cbda

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante.

Kg 1 2 3 4 7

euros 4 8 12 16 28

47

28

4

16

3

12

2

8

1

4 4 es la constante de

proporcionalidad

Observación

Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta.

Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye.

Ejemplo:

Más kg de pescado más euros

Menos kg de pescado menos euros

EJEMPLO

En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas?

20

123x

Se tiene:

Huevos Personas

3 12

x 20

Formando la proporción

También: calculando la K de proporcionalidad (o reduciendo a la unidad) tendremos 12 : 3 = 4 personas/huevo, luego 20 personas : 4 pers/huevo = 5 huevos

x 12203

huevosx 5

Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas

Resolviendo para x, se tiene que:

Actividad

Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?

Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Ejemplo: Número de pintores y tiempo en realizar un trabajo

Pintores 1 2 4 8 16

Días 48 24 12 6 3

1x48 = 2x24 = 4x12 = 8x6 = 16x3 = 48,, 48 es la K de proporcionalidad inversa

El número de obreros y el tiempo para realizar una obra

Observación

Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.

Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.

Ejemplo:

Más obreros menos tiempo

Menos obreros más tiempo

EJEMPLO

En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

x

20

400

300

Se tiene:

Gallinas Días

300 20

400 x

Formando la proporción

x 40020300

díasx 15

Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos

Resolviendo para x, se tiene que:

Se invierte la segunda razón

20400

300 x

300x20 = K = 6000400 · X = 6000 X = 15

Actividad

Un depósito de agua se llena en 2 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?

Actividad: Tipo de Proporcionalidad

1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción...

2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es...

3. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es...

4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es...

5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...

6. El número de kilos de manzana y el precio a pagar es …

PORCENTAJE

Introducción

Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.

Ejemplo

Si se dice que el 10% de los alumnos de este curso son niñas, se está diciendo que de cada 100 alumnos 10 son niñas.

El 25% supondría que de cada 100 alumnos 25 son niñas.

CÁLCULO DE PORCENTAJE

  Para trabajar con tantos por cientos, se procede de igual manera que en las proporciones directas

Ejemplo

Calcular el 32 % de 459.

La proporción que se debe formar es:

También como 32/100 = 0,32El 32% de 459 seríaO,32 x 459 = 146,88

100x = 32 · 459 = 14.688X= 14.688/100 = 146,88

Ejemplo ¿Qué porcentaje es 142 de 568?

Solución:

La proporción que se debe formar es:

Ejemplo De qué cantidad es 96 el 12%?

Solución:

La proporción que se debe formar es: