rcv_2016_g_01

7/25/2019 rcv_2016_g_01

1/30

UNIUNIRepasoRepaso

Aptitud Acadmica

Matemtica

Ciencias Naturales

Humanidades

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2/30

Geometra

2

Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra.Derechos reservados D. LEG N. 822

NIVEL BSICO

1. En un tringulo ABC , m ABC =60, m ACB=40,en la prolongacin de AB y BA se ubican lospuntos M y N , respectivamente, tal que BM=BC

y AN=AC . Calcule m MCN .

A) 90 B) 95 C) 100D) 105 E) 110

2. En un tringulo ABC , se traza la ceviana interior BD, tal que el tringulo BDC es issceles de base BC . Si AD=BC y m BAC =30, halle m CBD.

A) 10 B) 15 C) 20D) 30 E) 45

3. En un tringulo issceles ABC de base AC , seubica un punto D en la regin exterior a AC , talque m ACD=24; m CAD=12 y m BAD=18.Calcule m DBC .

A) 24 B) 30 C) 18D) 20 E) 42

4. En un tringulo ABC , se traza la ceviana interior BD,de modo que m ABD=37. Si BC =2( BD)=10 y

AB=16; calcule AD

DC .

A) 1/2B) 1C) 3/2D) 3/5E) 5/8

Figuras planas

5. En la regin exterior relativa al lado AC de

un tringulo rectngulo ABC

recto en B

, seubica T . Luego se traza TI perpendicular a AC (I AC ), tal que CI =3( AI ). Si AB=AT y BA AT ,halle m ACB.

A) 10 B) 15 C) 30D) 53 E) 75

6. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, en AC se ubica D, tal que m ABD=3(m BAD). Si BD+CD=k , halle AC .

A) 4 k B) 3 k C)4

3

k

D) 2 k E)3

2

k

7. En un tringulo ABC , m BAC =2(m ACB) y la distancia de C a la bisectriz del ngulo BAC es la mitad de la longitud de BC . Hallem ACB(m ABC > 90).

A) 15 B) 30 C) 45

D)37

2

E)

45

2

8. En un tringulo ABC recto en B, se traza laceviana exterior BD relativa a AC , tal quem

m BAC

BDC = 45

4 . Si AC=m y CD=n ,

halle BD.

A) m n+

2 B) m n

2 C)2

2 m n+

D) m n+ 2

2 E) m n

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3/30

Geometra

3

rohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra.Derechos reservados D. LEG N. 822

9. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, seubica T en BC , tal que m CAT =2(m BAT )=36;

BT=m y AT=n . Halle AC .

A) n+m

B) 2 n+mC) 2 m+nD) 2( m+n )

E) m n2 2+

10. En la prolongacin de AC de un tringulo rectn-gulo ABC recto en B, se ubica D, tal que AC =10 yCD=1. Si m BDC =2(m BAC ), calcule m BAC .

A) 30 B) 37 C) 45

D) 372

E) 532

NIVEL INTERMEDIO

11. En un tringulo ABC , la mediatriz de AC intersecaa BC en P , tal que AB=PC y BP =2( PH ). Calculem CPH ( H es punto medio de AC ).

A)37

2

B)53

2

C) 30

D) 45 E) 60

12. En un cuadriltero ABCD, las prolongacionesde los lados BA y CD se intersecan en M ( A BM ) y las prolongaciones de los lados AD

y BC se intersecan en N (C BN ). Si los ngulos BAD y BCD miden 70 y 80, respectivamente,determine el ngulo que forman las bisectricesinteriores de los ngulos AMC y ANC .

A) 150 B) 135 C) 115D) 105 E) 120

UNI 2010 - I

13. En un paralelogramo ABCD, M es punto mediode BC y se traza DH perpendicular a AM ( H

pertenece a AM ), tal que DH HM AH

= +

2.

Calcule m BAM .

A) 16 B) 30 C)37

2

D) 45 E)53

2

14.En un trapezoide ABCD, BC=CD =5 y AD=8. Sila mediatriz de AB contiene el vrtice D, hallem ABC m BAD.

A) 90 B) 76 C) 74D) 53 E) 37

15. En el trapecio de la figura, los ngulos y

son tales que, + = 3

2. Determine la medida

del segmento EF que une los puntos medios

de las bases.

A B

C D

F

E

A)CD

2

B) AB

2

C) AD BC +

2

D) AB CD+

2

E) AB CD

2UNI 2008 - II

16. En un trapecio issceles ABCD ( AD // BC ), seubica E en AD, tal que AC BE= { N }. Si BE=ED

y m ANE> 90, halle el mximo valor enterodel CAD.

A) 1 B) 29 C) 31D) 44 E) 46

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Geometra

4


17. En el grfico, A y B son puntos de tangencia.Calcule x.

A

B

x

130 160

A) 50 B) 65 C) 55D) 40 E) 75

18. En una semicircunferencia de dimetro AB y de centro O , se ubican los puntos M y P ( M en AP

), desde P se traza PH AB ( H en AB).

Si PH MB= { N } y m m BP AM

= ( ) =2 80 ,calcule m PON .

A) 15 B) 20 C) 24D) 28 E) 30

19. Sim BD

= 100 y D es punto de tangencia, calcule a .

B

D

A) 15 B) 20 C) 40D) 16 E) 21

20. En el grfico mostrado, T es punto de tangencia, AB=5 y AC =8. Halle q.

3

A

B

C

T

A) 30 B) 37 C) 38

D) 39 E)127

4

NIVEL AVANZADO

21. En un tringulo rectngulo ABC , recto en B, la cir-cunferencia inscrita es tangente en M y N con BC

y AC , respectivamente. Si m AMB=m NMC ,calcule AC / BM .

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

22. En el grfico, se tienen un pentgono regular y un hexgono regular. Calcule la medida delngulo entre AB y TI

.

A B

I

T

A) 60 B) 76 C) 96D) 108 E) 94

23. Halle la cantidad de polgonos regulares enque se cumpla la siguiente relacin.

b a Donde a y b representan las medidas angula-

res interior y exterior, respectivamente, del po-lgono regular.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) infinitos

24. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O . En estese traza exteriormente una semicircunferenciade dimetro BC , en la cual se ubica M . Si OM interseca a BC en L, tal que ML=LO , calculem MAB.

A) 45 B) 53 C) 37

D)53

2

E)

37

2

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5/30

Geometra

5


25. En el grfico mostrado, O es el centro del cua-drado ABCD y OMN es un tringulo equiltero.

CalculeOE

MO.

A

B C

D

M

N

O

A) 3 B) 2 C)

6

2

D)2 3

3 E)

6

3

26. En una circunferencia se trazan las cuerdassecantes AB y CD que se cortan en E . Sim AEC =53, AC =4 y BD=5; halle el radio dedicha circunferencia.

A)20

3

B)15

4

C)65

3

D)5 65

8

E)5 65

16

27. Se tiene un hexgono regular ABCDEF cuyolado mide 2. Calcule la longitud del radio dela circunferencia circunscrita al cuadriltero

MBCN si M y N son los puntos medios de AB y CD.

A) 2 B) 3 C)7

2

D)14

3 E)

21

3

28. En un tringulo ABC , de excentro E relativo a BC , se traza la altura BH y CP BE ( P BE ), demodo que m BAC =2(m BCA)=2 x y EP=BH .Calcule x.

A) 54 B) 36 C) 30D) 24 E) 18

29. Calcule la distancia entre el baricentro de unaregin equiltera y el centro del cuadrado ins-crito en dicha regin triangular. Considere queun lado del cuadrado mide 3 1+ , adems estacontenido en un lado del tringulo equiltero.

A) 1/2 B) 1/3 C) 1D) 3 E) 2

30. Si G e I son el baricentro e incentro del tringu-lo rectngulo AET , recto en E , tal que AI EG

yse intersecan en V . Si EV =3( GV ), halle m ATE .

A) 37 B) 15 C) 30

D)37

2

E) 45

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6/30

Geometra

6


NIVEL BSICO

1. Halle PQ si BC =5 BQ , AM=MC y PC =10.

A

B

C M

PQ

A) 1 B) 3/2 C) 2D) 4/3 E) 3

2. En un tringulo ABC , se tiene quem BAC m ABC =90. Si la altura relativaal lado AB es CH , calcule CH si AH =6 m

y HB=24 m.

A) 4 m B) 8 m C) 12 mD) 16 m E) 18 m

3. Segn el grfico, AR=2( RT ). Calcule x .

x

R

A

T

A) 53B) 45C) 37D) 30E) 60

Razn geomtrica de segmentos y Relaciones mtricas I4. Halle PR RQ si RM =3 y MH =4.

A B

M

H

P R Q

A) 12 B) 21 C) 48D) 60 E) 63

5. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a y MNPQ un cuadrado de lado b . Calcule h .

A

B C

D

M

N P

Q h

A)ab

a b+ B)

ab

a b C)

a

a b

2

+

D)a

a b

2

E)

b

a b

2

6. En un tringulo rectngulo ABC recto en B,se trazan las cevianas interiores AD y AE , talque BD=DE=EC y m DAE =m BCA. Hallem BCA.

A) 16 B)37

2

C)

53

2

D)45

2

E) 30

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7/30

Geometra

7


7. En una semicircunferencia de dimetro AB,se prolonga a este y se ubica M , tal que MT estangente ( T es punto de tangencia). Luego setraza TH perpendicular al dimetro ( H AB). Si

AH =9 y HB=2, halle BM .

A) 11/3B) 11/2C) 11/9D) 22/3E) 22/7

8. En un rectngulo ABCD, se ubica P en AD. Lue-go se traza la circunferencia inscrita en ABP y

BCDP de radios r y R, respectivamente. Halle BC AP

.

A) r

R B)

R

r C)

R r

R

+

D) Rr E) R r 2 2

9. En un octgono regular ABCDEFGH , DF y EH se

intersecan en M . Halle DM

MF .

A)1

2 B) 2

2 C) 1

D) 2 E) 2

NIVEL INTERMEDIO

10. En el grfico, T es punto de tangencia y

m AB CD

= . Halle ET .

A B C

D

E

a b

T

A) a b B) ab C)a b+

2

D)ab

a b+ E) 2

ab

a b+

11. En un tringulo ABC , AB=c , BC=a y AC=b . Lamediatriz de AC interseca a la circunferenciacircunscrita en M . Si BM AC= { N }, halle CN(considere c > a ).

A)ac

b c+ B)

a

b c

2

+ C)

ab

b c+

D)ab

a c+ E)

bc

a b+

12. En un tringulo ABC recto en B, se trazan lascevianas interiores AE y AD ( E pertenece a

BD). Adems, m BAE =m DAC , AC =2( AD) y BD=4. Calcule la distancia de C a AE .

A) 2 B) 6 C) 8

D)10

3 E) 2 2

13. Del grfico, M y N son puntos de tangencia,

AB=3( BC ). Calcule AM

AN .

A

M

C

B

N

A) 1/2

B) 3/2

C) 2/3

D)3

2

E) 22

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8/30

Geometra

8


14. En el grfico, T es punto de tangencia AB=6 y AC =8. Halle CT .

A

B

C

T

A) 5 B) 8 3 C) 2 14D) 2 7 E) 7

15. Si C y T son puntos de tangencia y1 1 1

4 BT AT = ,

halle CD.

A B

C

DT

A) 1 B) 1/2 C) 2D) 2 2 E) 4

16. En un tringulo rectngulo ABC recto en B,m ACB=37, G es baricentro y E es el excen-tro relativo a BC . Si GE interseca a BC en N ,

halleGN

NE .

A) 1 B) 1/2 C)2

2D) 1/3 E) 3/4

17. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, AB=2 y BC =3. Por el incentro I , se traza unarecta secante al tringulo perpendicular a AC ,la cual corta a BC y AC en M y N , respectiva-

mente, halle MI

IN .

A)13

2 B)

13

3 C)

2

3

D)3

2 E)

5

2

18.En el grfico, C y T son puntos de tangencia, EI=a y ER=b . Halle RV .

C

T

E

I

V

R

A) ab B) 2ab

a b+ C) a b2 2

D)a b

a

2 2

E)a b

b

2 2

19. En un hexgono regular ABCDEF , cuyo ladomide 2, M es punto medio de AB yCM intersecaa la circunferencia circunscrita al hexgono en

I . Calcule IM .

A) 77

B)2 7

7 C)

3 7

7

D)21

3 E)

21

7

NIVEL AVANZADO

20. En el grfico, AB=a y BO=b . Halle MN .

A) ab

A

M

N

B

O

B) 2ab

C) a a b+( )2

D) 2 2a a b+( )

E) 2 2a a b+( )

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Geometra

9


21. Los lados de un tringulo ABC miden a =9 cm, b =8 cm y c=5 cm. La circunferencia inscritadetermina en los lados AB y BC los puntos detangencia M y N , respectivamente. La circunfe-rencia exinscrita relativa al lado AC determinalos puntos de tangencia P y Q con las prolonga-ciones de BA y BC , respectivamente. Calcule larazn entre las longitudes del MN y PQ .

A) 3/11 B) 5/9 C) 3/8D) 5/11 E) 8/11

22. Se tiene un tringulo ABC recto en B, se ubi-can V y E sobre AC y BC , respectivamen-te, tal que AV =3( VC )=9, m AEV =90 ym BAE =m ACB. Halle AB.

A) 6 B) 2 3 C) 3D) 3 E) 2 6

23. En un cuadriltero ABCD,m ABD=m ACD=90, AC BD= { E },CE =2( BE )=4 y AE =3. Halle AD.

A) 21 B) 2 6 C) 39

D) 59 E) 69

24. En el grfico mostrado, AB=a y BT=b . Hallela longitud de la tangente trazada desde T a lacircunferencia de centro O . ( M y T son puntosde tangencia).

A

B M

O

T

A) a b2 2+ B) ab C)a b+

2

D)ab

a b+ E) b a2 2

25. Del grfico, se sabe que P , Q y T son puntos detangencia. Calcule AB.

A

B

P

Q

T

2

A) 7 2 B) 7 3 2 C) 7 4 2

D) 2 7 2 E) 2 7 4 2

26. En la prolongacin del lado AD de un cuadrado ABCD, se ubica E , tal que DEF es equiltero. Si AF , BE y CD son concurrentes en H ( H pertene-ce a CD) y DE =2. Halle AB.

A) 2 3 1+( )B) 2 3 1+

C) 3 2+

D) 3 3 1

E) 2 6 2( )

27. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, M es punto medio de AC . Adems, se ubica T en

BC , tal que m BAC +m MTC =180, AB=a y BT=b . Halle TC .

A) b a

B) ab

C) b a2 2

D)ab

a b+

E)a b+

2

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Geometra

10


28. En el grfico mostrado, AB=2 y BC es la sec-cin urea de AB. Halle R.

A B C

R

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 5

29. En la regin interior de un tringulo rec-tngulo ABC recto en B, se ubica E , tal quem AEB=3(m ACB) y m EAC =m BCE .

Halle BE

EC .

A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 1/3

30. En un pentgono regular ABCDE , CB EA

y seintersecan en V . Halle la razn de radios entreel crculo inscrito en el T AVB y el que contieneal punto D y tangente a BC y AE .

A) 1 B) 1/2 C) 1/3D) 1/4 E) 1/9

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11/30

Geometra

11


NIVEL BSICO

1. Si T es punto de tangencia, AT =15 y BC =8.Halle AB.

A

B

C

T

A) 7 B)23

2 C)

7

2

D) 17 E) 2 23

2. En un tringulo, cuyas longitudes de sus ladosson proporcionales a 4; 5 y 6; la longitud de lamenor bisectriz es 10 u. Halle la longitud delmenor lado.

A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 14

3. En una circunferencia, se ubican los puntos A, B, C y D, tal que m m AD DC

= = 60 ; AB=4 y BC =6. Calcule BD.

A)2 10

3 B) 3 3 C)

10 3

3

D) 3 E) 5 3

4. Halle la razn de las longitudes de los radiosde las circunferencias inscrita y circunscrita aun pentgono regular.

A)5 1

2

+ B)

5 1

2

C)

5 1

4

+

D)5 1

4

E) 2

Relaciones mtricas II y reas de regiones planas I5. En una circunferencia, se trazan las cuer-

das PA, PB y PC , tal que PA=1; PC =3 ym APB=m BPC =37. Calcule la longitud

del segmento que une los puntos medios de AC y PB .

A) 1 B) 2 C) 3

D) 3 E)5

2

6. En el grfico, BT =8; m AB

= 60 ; adems, T y E son puntos de tangencia. Calcule el rea de laregin triangular ABC .

A

BC E

T

A) 2 3 B)3

2 C) 4 3

D) 8 3 E) 3

7. En el grfico mostrado, se sabe que A, B, C y D son puntos de tangencia; adems, R=2 y AB // ID. Halle el rea de la regin sombreada.

A B

C

D I

R

A) 2 2 B) 3 2 C) 4 2

D)4 2

3 E)

8 2

3

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12/30

Geometra

12


8. El rea de una regin paralelogrmica ABCD es 60. Luego se ubican M y N , puntos mediosde AB y AD, respectivamente. Si MD intersecaa AC en L y a NC en T , calcule el rea de laregin ALTN .

A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 12

9. Del grfico, calcule el rea de la regin ABCDsi el rea de la regin sombreada es 13 u 2 y M ,

N , P , Q son puntos medios de AB, BC , CD y AD,respectivamente.

A

B

M P

C

D

N

Q

A) 13 u 2 B) 26 u 2 C) 36 u 2

D) 132

2u E) 13 2u

10. En un cuadrante AOC de centro O , se ubica B en AC

, las prolongaciones de AB y OC se inter-secan en D. Si ( AB)( BD)=16 u 2, calcule el reade la regin OBC .

A) 4 u 2 B) 2 2u C) 8 u 2

D) 8 2 2u E) 16 u 2

NIVEL INTERMEDIO

11. En un tringulo ABC , se traza la mediana BM ; y en el tringulo BMC se traza la altura MH . Si AB=5; BC =7 y AC =8, calcule HC .

A) 22/7 B) 11/6 C) 11/5D) 22/9 E) 44/7

12. Se ubica el punto P en la regin interior deun tringulo ABC y se trazan PQ , PR y PS, perpendiculares a AB, BC y AC , respecti-

vamente. Si BQ=a ; RC=b y AS=c , calcule( AQ)2+( BR)2+( SC )2.

A) ab+bc+ca

B)abc

a b c+ +

C) a 2+ b 2+ c2

D) (a+b+c )2

E) a 2+ b 2 c2

13. Sea G baricentro de la regin triangular ABC . Si( AB)2 ( AG)2= a y ( BC )2 (GC )2= b , calcule BG.

B

A C

G

A) ab

B)a

b

2

C)a b+

2

D)a b

a b

+( )

2

E)

a b

a

2 2+

14. En un tringulo ABC , BC AB=8. Si el segmentoque une el incentro con el baricentro de dichotringulo es paralelo a AC , calcule la longitudde la proyeccin de la mediana relativa a AC sobre dicho lado.

A) 4 B) 8 C) 6D) 9 E) 12

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13/30

Geometra

13


15. En un tringulo ABC , AB=13; AC =14 y BC =15.Se traza la altura BH y MN paralela a AC y tan-gente a la circunferencia inscrita en el BHC .Calcule la longitud del inradio del T MBN ( M y

N pertenecen a AB y BC ).

A) 1 B) 3/2 C) 2D) 4/3 E) 3

16. Desde un punto P exterior a una circunferenciade radio R, se trazan las tangentes PA y PB . SiQ es un punto del menor arco AB y se trazanQM y QN perpendiculares a AP y BP en M y N ,respectivamente, calcule

QA QBQM QN ( )

+

( )+

2 2

se sabe que A y B son puntos de tangencia.

A) R /2B) 2 RC) 3 RD) 4 RE) 2

17. Los lados de un cuadriltero inscrito miden 14;30; 40 y 48; respectivamente. Calcule la longi-tud del segmento que une los puntos mediosde diagonales.

A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

18. En la regin exterior y relativa a BC de un

tringulo rectngulo ABC recto en B, se ubica elpunto D, tal que m DAB=m DCB=m DBC .Si AB=4 y BC =5, calcule la distancia de D alpunto medio de AB.

A)33

2 B)

66

2 C)

55

2

D)5

36 E)

3 6

2

19. En un tringulo ABC , se traza la bisectriz inte-rior BD. Sobre BC , se ubica el punto E , tal quem BAC =m BDE . Si ( BA)( BE )=16 y DE =3,

calcule AD

AB.

A) 3 B)1

2 C)

3

4

D) 6 E)2

3

20. Segn el grfico, la distancia de B a AC es 4. Siel rea de la regin sombreada es 8 y AC =8;calcule GI .

A

B

C

E

G I

N

A) 4 B) 5 C) 6

D) 9/2 E) 11/2

NIVEL AVANZADO

21. Calcule el rea de la regin equiltera BCV si AB=1 u y CD=2 u.

A B C D

V

A) 2 u 2 B) 3 u 2 C) 4 u 2

D) 3 3 2u E) 4 3 2u

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Geometra

14


22. Si ABCD es un romboide, halle la relacinentre A , B y C .

A

BC

D

BB

CC

A A

A) A = B = C B) A + B = C C) A B C=

D) A C=

E) A

B C=

+

2

23. En un tringulo ABC de circunradio R y deinradio r , calcule la distancia del incentro alexcentro relativo a BC , si el exradio relativo a

BC es igual a r a .

A) R r r a 3

B) 2 R r r a +( )

C) 2 R r r a ( )D) 2 R r r a +( )

E) 2 R r r a ( )

24. La circunferencia de centro O , inscrita en untringulo ABC , es tangente a los lados AB, BC

y AC ( AB > AC ) en los puntos M , F y N , respec-tivamente; tal que AF interseca a dicha circun-ferencia en el punto L, luego se traza OE MN

en E ; si m OFL=10, calcule la m LEN .

A) 60 B) 50 C) 70D) 80 E) 75

25. La mediatriz del lado AB de un paralelogramo ABCD interseca a AC y CD en los puntos P yQ, respectivamente; tal que BQ AC= { M }. Sim ABM =2(m BAP); AP=a y el circunradiodel tringulo BCQ es b , calcule BM .

A)ab b ab

a b

2 2+( )+

B)ab a ab

a b

2 2+( )+

C)a b ab

a b

2 2+( )+

D) b b ab

a b

2 2+( )+

E)ab ab a

a b

+( )+

2

26. En la regin interior de un rectngulo ABCD, seubica el punto P , tal que BC =10; BP =8; AP=20

y PD = 2 93 . Calcule la distancia de P a BC .

A) 3,4 B) 3,8 C) 4,8D) 5,2 E) 6,5

27. Se tiene el tringulo ABC inscrito en una circun-ferencia en la que se ubica el punto D exteriorrelativo a AC , tal que DC es tangente a dichacircunferencia. Si m BAC =60 y m ACD=15,

entonces AB AC es para dicha circunferencia lalongitud del lado del polgono regular de

A) 6 lados B) 3 lados C) 4 ladosD) 5 lados E) 8 lados

28. Halle la razn de reas de las regiones som-breadas si el lado MN del tringulo equiltero

MNI contiene al centro del cuadrado ABCD.

A

B C

D I M

N

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 2/3

7/25/2019 rcv_2016_g_01

15/30

Geometra

15


29. En el grfico, ABCD es un cuadrado. M , N y Q son puntos medios de AB, BC y AD, respectiva-mente; adems, el rea de la regin cuadrada

ABCD es 120. Calcule el rea de la regin som-breada.

A

B C

D

M

N

Q

A) 10 B) 11 C) 12D) 14 E) 15

30. Del grfico, se sabe que T y P son puntos detangencia. Si R=6, calcule el rea de la regincuadrangular ABTP . Considere que LB=2( TB).

A

B

L

P

R

T

A) 6 6B) 2 6

C) 3 6D) 6 2E) 6 3

7/25/2019 rcv_2016_g_01

16/30

Geometra

16


NIVEL BSICO

1. Si el rea de la regin equiltera inscrita en uncrculo es S , halle el rea de dicho crculo.

A)3

2

S B) 3S C)

4

3

S

D)4 3

3

S E)

4 3

9

S

2. Del grfico, calcule el rea de la regin som-breada.

R R

A) p R2 B) R2

2 C)

R 2

3

D)2

3

2

R E)

R2

6

3. Segn el grfico, A y B son puntos de tangen-cia, PB =50 y MQ=24. Calcule el rea de la re-gin sombreada.

4545

A

B

M

P

Q

A)4000

9

B)

381

3

C)

3820

9

D)3830

7

E)

3280

9

reas de regiones planas II y Geometra del espacio4. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F). I. El ngulo es un conjunto convexo.

II. El rayo es un conjunto convexo. III. De la interseccin de dos conjuntos convexos

siempre resulta otro conjunto convexo.

A) VVV B) VFV C) FVV D) FFV E) VFF

5. Indique la secuencia correcta de verdad (V) ofalsedad (F).

I. Un punto y una recta determinan un plano. II. Si dos planos no son paralelos, entonces

son secantes. III. Si una recta es perpendicular a la intersec-

cin de dos planos, entonces, es perpendi-cular a uno de los planos.

A) VVV

B) VFV C) FVV D) FVFE) FFF


I. Si dos rectas no se intersecan, entonces sonparalelas.

II. Si una recta es paralela a un plano, entonces

no presenta interseccin con dicho plano. III. Si una recta est contenida en un plano,entonces cualquier recta perpendicular aella ser secante al plano.

A) FFFB) VVV C) FVFD) VFV E) FFV

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17/30

Geometra

17


7. Si ABC y ABMN son un equiltero y un cuadra-do, respectivamente, ubicados en planos per-pendiculares y CN = 2 2; calcule el rea de laregin CMN .

A

B

C

M

N

A) 2 B) 7 C) 3D) 4 E) 14

8. Se tiene una semicircunferencia de dimetro AL y un tringulo equiltero ADL ubicados enplanos perpendiculares; adems, se ubica M en la semicircunferencia, tal que m AM ML

= .Calcule la medida del ngulo entre MD

y elplano que contiene al ADL.

A) 30 B) 53/2 C) 37D) 45 E) 60

9. Se tiene dos semicircunferencias de dimetrocomn AB ubicados en planos perpendiculares.Si en una de ellas se ubica P y en la otra M y N , talque, m AP

= 90 , m MN

= 90 , calcule m MPN .

A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

NIVEL INTERMEDIO

10. En un triedro V - ABC , la cara a mide 90 y lascaras b y c miden 60. Si en VA se ubica el punto

M cuya distancia hacia VC es 12 3 u , calcule ladistancia de la proyeccin de M sobre la cara

BVC hacia la cara AVC .

A) 2 3 u B) 3 u C) 4 2 u

D) 4 6 u E) 2 6 u

11. Si I es el incentro del ABC , BI = 2 y AB=3,halle el rea de la regin sombreada.

A

B

C

I I

A) 3435

B) 3635

C) 3536

D)37

36

E)

53

36

12. Si ABCD es un cuadrado de lado a , adems, M , N , P y Q son puntos de tangencia, calcule elrea de la regin sombreada.

A

B N C

D

M P

Q

A) a 2

B) a2

2

C) a2

3

D) a2

4

E) a2

5

7/25/2019 rcv_2016_g_01

18/30

Geometra

18


13. Segn el grfico, calcule el rea de la reginsombreada si ABCD es un cuadrado, AM=MD y DT = 6 3 u . Considere T punto de tangencia.

A

B C

D M

T

A)53

10

72

5

B)

37

5

C)53

5

D)37

5

36

5

E)

53

10

14. Halle la razn de reas entre el crculo circuns-crito a un hexgono regular y el crculo inscritoal tringulo, cuyos vrtices son los puntos me-dios de tres lados no consecutivos de dichohexgono.

A) 8/3 B) 4 C) 9/4D) 9/2 E) 16/3


I. Una regin triangular rectilnea es un conjunto convexo.

II. Toda regin cuadrangular es un conjuntoconvexo.

III. Un polgono es un conjunto no convexo.

A) VFV B) FVV C) VVFD) VVV E) FFF

16. Si AB es perpendicular al plano del cuadrado BCMN ; AB=3 y MN = 2 5 ; calcule el rea de laregin APN . ( M , N y P son puntos de tangencia).

B

A C M

N

P

A) 4B) 6C) 8D) 10E) 12

17. En un triedro birectngulo O - ABC ,m BOC =60, se ubican M , N y P en AO OB OC

, y , respectivamente; tal quem NPO =m MOP , m MNO=2630' y ON =2.Halle el rea de la regin MNP .

A)3

2 B) 2 C)

6

2

D) 2 3 E) 6

18. Se muestra un rectngulo ABCD, en que ( AP)2+( PC )2= K . Halle el rea de la regin

sombreada.

B

A

C

D

P

A) p K B) K 2

C) K 4

D) K 8

E) K 16

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19/30

Geometra

19


19. Se traza PB perpendicular al plano quecontiene al hexgono regular ABCDEF . Si

AB=2 y BP = 6, halle m APD .

A) 90 B) 63 C)127

2

D) 120 E)143

2

20. Un tringulo issceles ABT de base AB y una semi-circunferencia de dimetro AB se encuentran enplanos perpendiculares. Si en el arco AB se ubi-can los puntos C y D, tal que CD // AB, m CD

= 60 y7 4 4 AB BT AT ( ) = ( ) = ( ), calcule la medida del

ngulo diedro formado por la regin triangularCDT y el plano de la semicircunferencia.

A) 30 B) 37 C) 53D) 45 E) 60

NIVEL AVANZADO

21. Si ABCD es un cuadrado de centro O , cuyolado mide 8 m y AN =2 m, calcule el rea de laregin sombreada.

A

B C

D N

O

A)16

9

2 m B)

37

18

2 m C)

53

92

m

D)37

9

2 m E)

53

182

m

22. En el grfico mostrado, I es el incentro del ABC , m IE

= 2 y CI=m . Calcule la suma dereas de las regiones sombreadas.

B

A C

E

I

R

A) Rm

2

B) Rm 2

2

sen

C) Rm sen

2

D) Rm sen( )135

2+

E) Rm sen 135

4+

23. Si G es el baricentro de una regin triangularequiltera ABC , AB=18, halle el rea del crcu-lo tangente a BC y AC que contiene a G.

A) 2pB) 3pC) 6pD) 9pE) 12p


I. El plano es un conjunto convexo. II. Si omitimos el baricentro de una regin

triangular, el conjunto resultante es con-

vexo. III. Si omitimos un punto de la frontera de unsegmento circular, el conjunto resultantepuede ser no convexo.

A) VVV B) VFV C) VFFD) FVV E) FFV

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20/30

Geometra

20



I. Si las proyecciones ortogonales de dos rec-tas sobre un plano son secantes, entoncesdichas rectas son secantes.

II. Si dos rectas paralelas son paralelas a unplano, entonces el plano determinado porellas ser paralelo al plano inicial.

III. Si dos rectas secantes a un plano determi-nan ngulos de igual medida con un plano

y, adems, determinan un plano, entoncesdichas rectas son paralelas.

A) VVV B) FFF C) FFV D) FVV E) VVF

26. Se traza PA perpendicular al plano de un trin-gulo equiltero ABC en que AP = 6 y AB=4.Halle la medida del ngulo entre AB PM

y ( M es punto medio de BC ).

A) 30 B) 45 C) 60D) 90 E) 37

27. En el grfico, AP=PB , R=5 y CD=8. Calcule ladistancia entre BD y FC .

B

A

C

D

F

P

R R

A) 2 3 B) 1 8 3, C) 1 6 3,D) 1 6 5, E) 1 8 5,

28. Calcule la medida del ngulo que forman AB y HE si L1 y L2 son dos rectas alabeadas queforman un ngulo de 45.

B

A E

H

26,5 L

1

L2

A) 30 B) 45 C) 17D) 60 E) 53

29. En un triedro equiltero, las medidas de suscaras son q. Halle la medida de uno de sus

diedros.

A) arccostan

tan

2

( )

B) arccos sen

cos

2

C)arcsen

tan

tan

( )

2

D) arccos tan

tan

2

E) q

30. Dado un triedro issceles O - ABC , en la aristacomn OB a las caras iguales se ubica el punto

P y en las otras dos, los puntos E y F , tal queOP =2( OE )=2( OF ) y m AOC =90. Calcule lamedida del diedro formado por la regin trian-gular EPF y la cara AOC si la arista OB , con lacara opuesta, forman un ngulo que mide 45.

A) 45 B) 37 C) 53D) 6330' E) 7130'

7/25/2019 rcv_2016_g_01

21/30

Geometra

21


NIVEL BSICO

1. Un poliedro est limitado por una regin trian-gular, una regin pentagonal y 5 regiones cua-drangulares. Calcule el nmero de vrtices.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

2. Halle la cantidad de diagonales del poliedroque tiene por vrtices los puntos medios detodas las aristas de un cubo.

A) 30 B) 32 C) 34D) 36 E) 40

3. En un tetraedro regular cuyo volumen es V ,calcule el volumen del slido que se forma alunir los puntos medios de las aristas.

A) V 2

B) V 3

C) V 4

D) V

6 E) V

12

4. En la figura, ABCD - EFGH es un hexaedro regu-lar, P HC y el rea de la regin triangular EBPes 8 2 2m . Calcule el volumen del hexaedroregular.

B

A

C

D

E

F G

H

P

A) 32 B) 48 C) 64D) 86 E) 16

Slidos geomtricos I5. En un octaedro regular P-ABCD-Q , cuyo centro

es O y cuya arista mide 6 m, M y N son puntosmedios de AP y AQ, respectivamente. Calcule

el rea de la regin triangular MON .

A) 1,5 m 2 B) 2,5 m 2 C) 3,5 m 2

D) 4,5 m 2 E) 5,5 m 2

6. En el dodecaedro regular mostrado, calcule lamedida del ngulo entre AB CD

y .

B

A A

C

D

A) 30 B) 72 C) 60D) 90 E) 45

7. En un dodecaedro regular, halle T si M , I y V son la cantidad de diedros, triedros y vrtices,respectivamente, de dicho poliedro.

T

M

I V =

+

A) 1 B) 2 C) 2/3D) 3/4 E) 5/4

8. Si un prisma posee 30 aristas, halle la cantidadde sus diagonales.

A) 30B) 45C) 60D) 70E) 90

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22/30

Geometra

22


9. En un tronco de prisma triangular oblicuo, lasaristas laterales miden 2 u, 6 u, 10 u, y su sec-cin recta es regular, cuya rea es igual a 3 2u .Halle

I. rea de superficie lateral II. volumen

A) 36 6 32 3u u;B) 36 4 32 3u u;C) 36 12 32 3u u;D) 36 18 32 3u u;E) 36 3 32 3u u;

NIVEL INTERMEDIO

10. En un cilindro circular recto, se inscribe unoctaedro regular en que dos vrtices opuestosson los centros de las bases del cilindro. Hallela razn de sus volmenes.

A) p B)

2 C)

3

2

D) 2p E)2

3

11. Si la distancia entre dos aristas de un tetraedroregular es 2; halle el volumen de dicho poliedro.

A)2

3 B) 2

2 C)

8

3

D)9

2 E)

16

3

12. Si la longitud de la arista de un octaedro regulares igual a 6; halle la distancia entre dos carasopuestas de dicho poliedro.

A) 3 B) 2 3 C) 6D) 2 6 E) 6

13. Dado un cubo ABCD - EFGH , en AE se ubicael punto medio M , en AB y HG se ubican lospuntos P y Q, respectivamente. Si AB=4 y O es centro de la cara EFGH , calcule la distanciaentre OM y PQ .

A) 1 B) 2 C) 3D) 2 E) 1/2

14. Indique la secuencia correcta de verdad (V) ofalsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Todo prisma recto siempre es un conjuntoconvexo. II. Dos primas de igual volumen y misma can-

tidad de aristas son congruentes. III. El desarrollo de la superficie lateral de un

prisma oblicuo es un conjunto convexo.

A) VVV B) FFFC) VFFD) FFV

E) VVF 15. Se muestra un tronco de prisma cuadrangular

regular inscrito en un tronco de cilindro derevolucin, halle la razn de sus volmenes.

B

A

C

D

A)1

4 B)

1

2 C) 1

D) 2

E) 4

16. En un cilindro equiltero, halle la medida delngulo entre los segmentos cuyos extremosson los extremos de dos generatrices diame-tralmente opuestas.

A) 37B) 45C) 53D) 90E) 127

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23/30

Geometra

23


17. En una pirmide cuadrangular regular V - ABCD,O es el centro de la base ABCD. Si la medidadel ngulo entre VB y AC es 60, AV =4, halle ladistancia de O hacia una de las caras laterales.

A)7

3 B)21

3 C)21

7

D)2 21

7 E)

3 21

7

18. Se tiene un hexaedro regular ABCD - EFGH , cuyo volumen es V . Si M y N son los centrosde las caras ABFE y ABCD, halle el volumen delslido MEF - NDC .

A) v

2 B)

v

3 C)

2

3

v

D)5

24

v E)

5

12

v

19. En un cono equiltero cuyo volumen es3 3 u , se inscribe un crculo en el desarrollo

de su superficie lateral. Calcule el rea delcrculo si esta es mxima.

A) p u2 B)

2

2u C)

4

3u

D)4

9

2 u E)9

4

2 u

20. La base de una pirmide es un polgonocircunscrito a una circunferencia de radio r ypermetro 2 P , y las caras laterales con el planode la base forman un ngulo diedro que mide a .Calcule el volumen de la pirmide.

A) Pr

3

tg B) Pr tga C) Pr sen a

D) Pr cos a E) Pr 2

3tg

NIVEL AVANZADO

21. En un tetraedro regular ABCD, se ubican M y N en BC , tal que BM=MN=NC . Halle la medidadel ngulo entre AM y DN .

A) arcsen 1

8

B) rccos 2

7

C) arccos 1

8

D) arcsen 2

7

E) 60

22. En un hexaedro regular ABCD-EFGH , I es puntomedio de AE . Calcule la medida del diedroentre BID y FCH .

A) arcsen 1

3

B) arcsen 2

3

C) arcsen 2

3

D)37

2

E)45

2

23. Se tiene un cubo ABCD-EFGH , en el cual seencuentra inscrito un cilindro de revolucin.Halle el rea de la regin determinada por lainterseccin del cilindro y el plano ABMN si

AB=a . ( M y N son los puntos medios de CG y DH ).

A) a 2

2 B)

a 2 58

C)2

3

2 a

D) 2

3

2a E) 2

2

2a

24. Se muestra un tronco de cilindro oblicuo deseccin circular cuyo permetro es 4 p cm;adems, ABCD es un trapecio issceles cuyabase mayor es el triple de la base menor. Halleel volumen del tronco.

A) 4p cm 3 B

A A

C

D D127/2127/2

B) 6p cm 3

C) 8p cm 3

D) 12p cm 3

E) 16p cm 3

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24/30

Geometra

24


25. En una pirmide cuadrangular regular, calculela razn de volmenes de los slidos, determi-nados por un plano secante que pasa por unaarista bsica y por el punto medio de una aristalateral.

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4D) 3/5 E) 4/5

26. En un pirmide cuadrangular V - ABCD, el se-miplano bisector del diedro AB interseca en M

y N a VC y VD, respectivamente; de modo quela razn entre las reas de las regiones VMN yCMND es 9/16. Calcule la razn de los volme-nes de los slidos parciales, determinados en

dicha pirmide.

A) 10/11 B) 11/12 C) 12/13D) 13/14 E) 14/15

27. Se tiene un tronco de pirmide irregular de ba-ses paralelas y de base triangular, en el cualtodas sus caras son circunscriptibles a circun-ferencias, la suma de las longitudes de lasaristas laterales es 12 m, las reas de las basesmiden 4 y 16 m 2. Halle el permetro de la basede mayor rea.

A) 16 m B) 18 m C) 30 mD) 36 m E) 40 m

28. En el grfico se tiene un cono de revolucin. SiVA = 4 2 y el menor recorrido para ir del puntoB, a travs de la superficie lateral, hasta llegar

al mismo punto tiene por longitud 8, calcule el volumen del cono.

B A

M

V

A)4

35 B)

2

310 C)

2

330

D)5

36 E)

7

32

29. Se tiene un tronco de cono de revolucin enque la generatriz, cuya longitud es g , determinacon una de las bases un ngulo cuya medidaes 60. Si la generatriz y el dimetro de una delas bases tienen igual longitud, calcule el reade la superficie lateral del tronco.

A)1

2

2 g B)3

4

2 g C) g2p

D)

5

4

2

g

E)

3

2

2

g

30. Halle la relacin de volmenes entre un troncode cono circular recto y un cono de revolucin,si tienen las mismas alturas y generatrices.

Adems, el radio de la base mayor del troncode cono es dos veces ms que el radio de labase del cono.

A) 1/2 B) 1/10 C) 1/16D) 1/17 E) 1/19

7/25/2019 rcv_2016_g_01

25/30

Geometra

25


NIVEL BSICO

1. Del grfico, calcule el volumen del slido genera-do por la regin equiltera ABC al girar 360 entorno a L si AB=6.

15 L

B

A C

A) 54 2 B) 56 2 C) 60 2 D) 24 6 E) 36 6

2. El rea de un casquete esfrico es la quintaparte del rea de la superficie esfrica corres-pondiente. Si la altura del casquete esfrico es2, calcule el volumen del segmento esfricocorrespondiente al casquete.

A)85

2

B)

72

7

C)

52

3

D) 27p E)67

4

3. Halle la razn de volmenes de un cilindrode revolucin y una esfera si el cilindro estinscrito en una esfera y su seccin axial es unaregin cuadrada.

A)2

4 B)

2

6 C)

3

7

D)3

5 E)

3 2

8

Slidos geomtricos II y Geometra analtica4. Si el rea del crculo mximo de una esfera es

S , halle el volumen de dicha esfera.

A) 4S S B) 4S

S

C)4

3

SS

D)4

3

SS

E)

S S

3

5. Del grfico, calcule el rea de la superficiegenerada por el segmento AB al girar 360alrededor de la recta L .

1

3

5

L B

A

A)120

29

B)

60

29

C)

80

29

D)100

29

E)

90

29

6. Calcule el volumen del slido, generado por laregin sombreada al girar 360 alrededor de larecta L ; adems, AC=a y AH 2+ HC 2=6.

B

A

C

L

A) 0,8 a p B) 1,5 a p C) 3 a pD) 2 a p E) a p

7/25/2019 rcv_2016_g_01

26/30

Geometra

26


7. En un cuadrado ABCD de centro O , se ubican M y N en BC y CD, respectivamente. O pertene-ce a la altura MH del tringulo MNA. Si BM =2

y MC =3, calcule el volumen del slido, gene-rado por la regin triangular AMN al girar 360

alrededor de CD .

A)165

3

B)

164

3

C)

184

3

D)185

3

E)

188

3

8. Los vrtices de un tringulo son A( 3; 1), B( 1; 5) y C (7; 1). Se traza la ceviana AM , detal manera que el rea de la regin triangular

ABM es 3 veces el de la regin AMC . Halle laecuacin de la recta que contiene a AM .

A) 8 y 3 x=1B) 6 y 4 x=1C) 5 y 3 x=1D) 8 x 3 y=1E) 5 x 3 y=1

9. Halle la ecuacin de la recta que sea perpendi-cular a la recta L1: 2 x+y 12=0 y que contenga alpunto medio de AB, donde A=(5; 9) y B=(9; 3)

A) x+2 y+5=0B) 2 x+y 20=0C) 2 x y 8=0D) x 2 y+5=0E) x 2 y 5=0

10. Calcule la longitud de la circunferencia quepasa por los puntos (3; 0); (1; 0) y (0; 1).

A) 2 3 B) 5 C) 3 5 D) 2 5 E) 5 5

NIVEL INTERMEDIO

11. La proyeccin de un segmento esfrico sobreun plano, perpendicular a su base, es un seg-

mento circular cuyo arco mide 120. Calculeel volumen del segmento esfrico si la proyec-cin pertenece a un crculo de radio R.

A)36

353

R B) p R3 C)3

7

3 R

D) 1,5p R3 E)5

243

R

12. En un semicrculo de dimetro AB, se ubican P y Q en AB

y AB, respectivamente; adems, AQ=3 y QB=1. Si PQ es la media geomtricade AQ y QB , calcule la suma de los volmenesde los slidos, generados por los segmentoscirculares determinados por AP y PB al girar360 alrededor de AB .

A)10

3

B)

14

3

C)

16

3

D)20

3

E)

22

3

13. En el grfico, B, P y C son puntos de tangencia.Si m BAP=30, calcule la razn de reas delas superficies generadas por los arcos BP y PC al girar 360 alrededor de L .

L

B

P A

C

r

R

A) 2/3B) 1/3C) 3/4D) 1/4E) 4/5

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Geometra

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14. En el grfico, ABCD es un cuadrado. Si el reade la regin ADQ es B , calcule el rea de la su-perficie generada por LQ

al girar 360 respectode L .

L

B

Q

A

C

D

45

L

A) 2 2B B) 2 3B C)

2

2B

D) p2B E) 2 5B

15. En el grfico se muestra una semiesfera. Si ladistancia entre AB y CD

es 1 y la m AC

= 30 ,calcule el rea de la superficie de dicha se-miesfera.

B A

C

D

A) 15pB) 10pC) 8pD) 9pE) 16p

16. Halle el volumen del slido, generado por laregin sombreada al girar 360 alrededor de larecta MN en funcin del radio R .

B

A

C

D M N O

R

A) 1,5 p R3

B) 5p R3

C) 2,5 p R3

D) 2p R3

E) 3p R3

17. Una esfera y un cono equiltero son equivalen-

tes. Calcule la razn de las reas de sus super-ficies totales.

A)2

93 B) 2

2

93 C)

3

163

D) 2 3

163 E)

1

33

18. Calcule el radio de la esfera inscrita en unoctaedro regular si el volumen del octaedro esnumricamente igual a 2 veces el rea de susuperficie total.

A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 12

19. En el trapecio rectangular circunscrito a la cir-cunferencia de radio R, el ngulo determinadopor el lado lateral y la base mide 53. Calcule elrea del slido generado al girar dicho trapecioalrededor del menor de sus lados no paralelos.

A) 45p R2

B) 90p R2

C)45

42

R

D)45

2

2 R

E) 9p R2

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Geometra

28


20. La distancia del vrtice de un cono circularrecto circunscrito a una esfera hacia el centrode esta es igual a 4. Calcule el radio de la esferasi la cuarta parte de la superficie esfrica esigual a la superficie lateral del cono, cuyabase es el crculo determinado por la lnea detangencia en el cono inicial y la esfera.

A) 2 2 5+ B) 3 5+ C) 5+D) 2 5 2 E) 3 6+

NIVEL AVANZADO

21. Las bases de un segmento esfrico de unabase y un cilindro circular recto coinciden.

Si el volumen del segmento esfrico es iguala 468 p, calcule la altura del cilindro si esta esigual a la altura del casquete esfrico y el radiode la base del cilindro es 2 veces la altura.

A) 5 B) 6 C) 8D) 9 E) 11

22. Una esfera es tangente a una cara de un cubode arista 2 y los vrtices de la cara opuestaest en la superficie esfrica. Calcule el reade dicha superficie.

A) 9 p /2 B) 18 p C) 2pD) 3p E) 4p

23. Las alturas de un tetraedro miden 1, 2, 3 y4 cm. Calcule el radio de la esfera inscrita endicho tetraedro.

A) 1/7 B) 7/13 C) 3/25D) 2/9 E) 12/25

24. En una semiesfera, se inscriben dos conos derevolucin cuyos ejes son perpendicularesal crculo mximo. Si los permetros de susbases estn en la razn de 1 a 2 y la suma desus volmenes es 5 8 2 3+( ) u , calcule el

volumen de dicha semiesfera.

A) 48 u 3 B) 50 u 3 C) 52 u 3

D) 54 u 3 E) 56 u 3

25. Halle la relacin de volmenes entre el cilindrorecto y la esfera inscrita.

A)27

20 B)

28

27 C)

9

10

D)27

32 E)1

3

26. Calcule el volumen de un tronco de cilindrocircular recto, circunscrito a una esfera de ra-dio R; adems, los planos de sus bases formanun diedro de 45.

A) 2 1 3+( ) RB) 3 1 3+( ) RC) 2 2 3+( ) RD) 6 2 3+( ) RE) 6 3 3+( ) R

27. Se tiene una esfera inscrita a un cubo ABCD - EFGH cuya arista mide 4 u. Calcule elrea de la superficie total del slido, limitadopor la superficie cnica con vrtice en C tan-gente a la esfera y la superficie esfrica corres-pondiente.

A) 16p u2

B) 8p u2

C) 6p u2

D)8

33 3 2

+( ) u

E) 4 3 2 2 ( ) u

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Geometra

29


28. En el grfico que se muestra, MN es paraleloa AC . Calcule h 1 / h 2 para que los slidosgenerados al girar la regin MBN y regin

AMNC alrededor de MN

sean equivalentes.

B

A C

h1

h1

h2

h2

M N

A) 1 B) 2 C) 3D) 2/3 E) 3/2

29. En el grfico, ABCD es un cuadrado de centroO . Si a + b=90, halle la ecuacin de la recta L .

L

B

A

D

O

Y

A) y x= +2

1

B) y=2 x+1

C) y x=3

2

D) y=x

E) y x= 3

41

30. Del grfico, L : 12 x+16 y 192=0. Calcule lascoordenadas del ortocentro del tringulo ABC .

L

B

A

C

Y

X

A) (9; 8)B) (9; 12)C) (1; 12)D) (12; 9)E) (8; 12)

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FIGURAS PLANAS

RELACIONES MTRICAS II Y REAS DE REGIONES PLANAS I

REAS DE REGIONES PLANAS II Y G EOMETRA DEL ESPACIO

SLIDOS GEOMTRICOS I

SLIDOS GEOMTRICOS II Y G EOMETRA ANALTICA

RAZN GEOMTRICA DE SEGMENTOS Y RELACIONES MTRICAS I

Repaso UNI

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