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Área de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas EJERCICIOS RESUELTOS DE REFUERZO

TEMA 10 ESTADÍSTICA

Profesor Raúl García Santos 3º ESO

Ejercicio nº @.- En un grupo de 20 personas, hemos preguntado por el número de individuos que viven en su hogar. Las respuestas has sido las siguientes: 4 5 3 4 1 4 2 3 5 43 4 4 5 3 3 5 3 2 4

a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a)

xi fi

1

2

3

4

5

1

2

6

7

4

20

b)




Ejercicio nº @.- Las notas obtenidas en un examen de matemáticas realizado en una clase de 4º ESO han sido las siguientes: 4 5 7 5 8 3 9 6 4 57 5 8 4 3 10 6 6 3 3

a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a)

xi fi

3

4

5

6

7 8

9

10

4

3

4

3

2 2

1

1

20

b)




Ejercicio nº @.- En un grupo de personas hemos preguntado por el número medio de días que practican deporte a la semana. Las respuestas han sido las siguientes: 4 2 3 1 3 7 1 0 3 26 2 3 3 4 6 3 4 3 6

a) Haz una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a)

xi fi

0

1

2

3

4 6

7

1

2

3

7

3 3

1

20

b)




Ejercicio nº @.- Al preguntar a 20 individuos sobre el número de libros que han leído en el último mes, hemos obtenido las siguientes respuestas: 3 2 3 2 1 3 4 2 4 34 3 1 3 2 2 5 2 3 3

a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a)

xi fi

1

2

3

4

5

2

6

8

3

1

20

b)




Ejercicio nº @.- En una clase de 4º ESO se ha realizado un examen final de tipo test que constaba de 30 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase han sido: 15 10 30 5 25 30 25 10 15 2020 25 5 25 30 20 10 5 15 30

a) Resume estos datos mediante una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente esta distribución. Solución: a)

xi fi

5

10

15

20

25 30

3

3

3

3

4 4

20

b)




Ejercicio nº @.- En un grupo de 30 personas hemos medido la estatura, en centímetros, de cada una de ellas, obteniendo los siguientes resultados: 160 163 165 164 162 168 175 167 159 160161 164 167 168 154 163 164 167 164 165166 168 165 167 169 164 150 166 147 170

a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que

creas más conveniente. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando es continua (la estatura). Además, entre

los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 147 y el mayor es 175; su diferencia es 175 − 147 = 28. Así, podemos tomar 6 intervalos de longitud 5, empezando por 146,5:

INTERVALO FRECUENCIA

146,5 − 151,5

151,5 − 156,5

156,5 − 161,5

161,5 − 166,5

166,5 − 171,5

171,5 − 176,5

2

1

4

13

9

1

30

b)




Ejercicio nº @.- Hemos ido apuntando la edad de cada uno de los componentes de un grupo de 30 personas, obteniendo estos datos: 24 3 29 6 5 17 25 24 36 4230 16 14 12 8 4 8 37 32 4037 26 28 15 17 41 20 18 27 42

a) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que

creas más conveniente. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando (la edad) es continua. Además, entre los

datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 3 y el mayor es 42; su diferencia es 42 − 3 = 39. Así, podemos tomar 9 intervalos de longitud 5, empezando en 0:


[0, 5)

[5, 10)

[10, 15)

[15, 20)

[20, 25)

[25, 30)

[30, 35)

[35, 40)

[40, 45)

2

4

2

5

3

5

2

3

4

30

b)




Ejercicio nº @.- En una clase de 4º ESO hemos preguntado a las alumnas y a los alumnos por las horas de estudio que dedican a la semana. Estas han sido las respuestas: 16 11 17 12 10 5 1 8 10 1415 20 3 2 5 12 7 6 3 910 8 10 6 16 16 10 3 4 12

a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en intervalos de la forma

que creas más conveniente. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando (horas de estudio) es continua. Además,

entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 1 y el mayor es 20; su diferencia es 20 − 1 = 19. Por tanto, podemos tomar 7 intervalos de longitud 3, empezando en 0:


[0, 3)

[3, 6)

[6, 9)

[9, 12)

[12, 15)

[15, 18)

[18, 21)

2

6

5

7

4

5

1

30

b)




Ejercicio nº @.- En una clase de Educación Física de 4º ESO se ha cronometrado el tiempo, en segundos, que tarda cada alumno/a en recorrer cierta distancia fija. Los datos obtenidos han sido los siguientes:

, , , , ,, , , , , , , ,

, , , , ,

10 5 9 2 8 8 6 9 15 12 12 5 9 2 108 2 8 1 9 3 9 4 10 10 2 9 1 8 2 8 1 88 8 4 9 2 14 11 6 10 9 8 6 12 8 3

a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que

creas más conveniente. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando (tiempo) es continua. Además, entre los

datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 8 y el mayor es 15; su diferencia es 15 − 8 = 7. Por tanto, podemos tomar 7 intervalos de longitud 1, empezando en 8:


[8, 9)

[9, 10)

[10, 11)

[11, 12)

[12, 13)

[13, 14)

[14, 15)

11

8

5

1

3

0

2

30

b)




Ejercicio nº @.- En un grupo de 30 niños, se ha medido el peso, en kilogramos, de cada uno de ellos, obteniendo los siguientes resultados: 30 31 28 25 33 34 31 32 26 3932 35 37 29 32 40 35 38 31 3634 35 30 28 27 32 33 29 30 31

a) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que

creas más conveniente. b) Representa gráficamente la distribución. Solución: a) Por una parte, la variable que estamos estudiando (el peso) es continua. Además, entre los

datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 25 y el mayor es 40; su diferencia es 40 − 25 = 15. Así, podemos tomar 6 intervalos de longitud 3, empezando en 24,5:


24,5 − 27,5

27,5 − 30,5

30,5 − 33,5

33,5 − 36,5

36,5 − 39,5

39,5 − 42,5

3

7

10

6

3

1

30

b)




Ejercicio nº @.- Se han realizado 50 lanzamientos con un dado, obteniendo los siguientes resultados:

RESULTADO 1 2 3 4 5 6

Nº DE VECES 6 10 5 7 10 12

a) Calcula la media y la desviación típica.

( )b) ¿Qué porcentaje de resultados hay en el intervalo ?x x,−σ +σ Solución: a)

xi fi fi xi

2f xi i

1

2

3

4

5

6

6

10

5

7

10

12

6

20

15

28

20

72

6

40

45

112

250

432

50 191 885

Media:

191 3,8250

i if xxn

∑= = =

Desviación típica:

22 2885 3,82 3,1076 1,76

50i if x xn

∑σ = − = − = ≈

Hemos obtenido una puntuación media de 3,82, con una desviación típica de 1,76 puntos.

b) 2,065,58

xx− σ = ⎫

⎬+ σ = ⎭

En el intervalo (2,06; 5,58) hay 22 resultados, que representan un 44% del total.




Ejercicio nº @.- Hemos preguntado las edades a un grupo de 50 personas. Los resultados obtenidos se reflejan en la tabla siguiente:

EDAD [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)

Nº DE PERSONAS 4 8 10 9 17 2

Halla la media y la desviación típica. Solución: Hallamos la marca de clase, x i, de cada intervalo y hacemos la tabla de frecuencias:

INTERVALO xi fi fi xi 2f xi i

[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

4

8

10

9

17

2

10

60

125

157,5

382,5

55

25

450

1 562,5

2 756,25

8 606,25

1 512,5

50 790 14 912,5

Media:

790 15,850

i if xx

n∑

= = =


22 214912,5 15,8 48,61 6,97

50i if x

xn

∑σ = − = − = ≈

La edad media del grupo es 15,8 años, con una desviación típica de 6,97 años.




Ejercicio nº @.- Las notas obtenidas en un examen de matemáticas por las alumnas y los alumnos de una clase de 4º ESO vienen reflejadas en esta tabla:

NOTA 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº ALUMNOS/AS 1 2 3 5 4 6 4 3 2


( )b) ¿Qué porcentaje de alumnos/as hay en el intervalo σ, σ ?x x− + Solución: a)

xi fi fi xi 2f xi i

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

5

4

6

4

3

2

2

6

12

25

24

42

32

27

20

4

18

48

125

144

294

256

243

200

30 190 1 332

Media:

190 6,3330

i if xx

n∑

= = ≈


22 21332 6,33 4,33 2,08

30i if x

xn

∑σ = − = − = ≈

La nota media de la clase es 6,33, con una desviación típica de 2,08.

b) 4,258,41

xx− σ = ⎫

⎬+ σ = ⎭

En el intervalo (4,25; 8,41) hay 19 alumnos, que representan un 63,33% del total.




Ejercicio nº @.- Se ha preguntado a las alumnas y a los alumnos de una clase de 4O ESO por el tiempo que tardan en llegar desde su casa hasta el instituto. Las respuestas se recogen en esta tabla:

TIEMPO (MINUTOS) [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25)

Nº ALUMNOS/AS 10 6 9 3 2

Calcula la media y la desviación típica de esta distribución. Solución: Hallamos la marca de clase, xi , de cada intervalo y hacemos la tabla de frecuencias:

INTERVALO xi fi fi xi 2f xi i

[0, 5)

[5, 10)

[10, 15)

[15, 20)

[20, 25)

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

10

6

9

3

2

25

45

112,5

52,5

45

62,5

337,5

1 406,25

918,75

1 012,5

30 280 3 737,5

Media:

280 9,3330

i if xx

n∑

= = ≈


22 23737,5 9,33 37,53 6,13

30i if x xn

∑σ = − = − = ≈

Los alumnos y las alumnas tardan, por término medio, 9,33 minutos, con una desviación típica de 6,13 minutos.




Ejercicio nº @.- Se ha preguntado a 50 familias por el número de personas que forman su hogar familiar. Resumimos la información obtenida en la siguiente tabla:

Nº DE PERSONAS 1 2 3 4 5 6

Nº DE FAMILIAS 2 10 24 8 4 2


( )b) ¿Qué porcentaje de familias hay en el intervalo σ, σ ?x x− + Solución: a)

xi fi fi xi 2f xi i

1

2

3

4

5 6

2

10

24

8

4 2

2

20

72

32

20 12

2

40

216

128

100 72

50 158 558

Media:

158 3,1650

i if xx

n∑

= = =


22 2558 3,16 1,1744 1,08

50i if x xn

∑σ = − = − = ≈

El número medio de personas que forman el hogar familiar es 3,16, con una desviación típica de 1,08 personas.

b) 2,084,24

xx− σ = ⎫

⎬+ σ = ⎭

En el intervalo (2,08; 4,24) hay 32 familias, que representan un 64% del total.




Ejercicio nº @.- En un grupo, A, de personas, la media de edad es 16,4 años con una desviación típica de 2,1. En otro grupo, B, la media de edad es 4,3 años, y la desviación típica, 1,8. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos. Solución:

2,1C.V. 0,128 12,8%16,41,8C.V. 0,419 41,9%4,3

AA

A

BB

B

x

x

σ ⎫= = = → ⎪

⎪⎬

σ ⎪= = = →⎪⎭

La dispersión es mayor en el grupo B. Ejercicio nº @.- En un grupo, A, de personas, la estatura media es 165 cm, con una desviación típica de 10,5 cm. En otro grupo, B, la estatura media es 140 cm y su desviación típica, 8,4 cm. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos. Solución:

10,5 0636 6,36C.V. 0, %1658,4C.V. 0,06 6%140

AA

A

BB

B

x

x

σ ⎫→= = = ⎪

⎪⎬

σ ⎪= = = →⎪⎭

La dispersión es algo mayor en el grupo A. Ejercicio nº @.- En un grupo, A, de animales de una misma especie, el peso medio es 20,4 kg, con una desviación típica de 3,2 kg. En otro grupo, B, de animales de una segunda especie, el peso medio es 96 kg y la desviación típica es de 12 kg. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di en cuál de los dos grupos la variación relativa es mayor. Solución:

3,2 157 15,7C.V. 0, %20,412C.V. 0,125 12,5%96

AA

A

BB

B

x

x

σ ⎫→= = = ⎪

⎪⎬

σ ⎪= = = →⎪⎭

La variación relativa es mayor en el grupo A.




Ejercicio nº @.- En una empresa, A, el sueldo medio de los trabajadores es 950 € al mes, con una desviación típica de 150 €. En otra empresa, B, el sueldo medio es de 1 200 € al mes, con una desviación típica de 200 €. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di cuál de las dos empresas tiene mayor variación relativa en los sueldos. Solución:

150 158 15,8C.V. 0, %950200C.V. 0,167 16,7%

1200

AA

A

BB

B

x

x

σ ⎫→= = = ⎪

⎪⎬

σ ⎪= = = →⎪⎭

La variación relativa es mayor en la empresa B. Ejercicio nº @.- En un examen de matemáticas realizado en 4º A de ESO, la nota media ha sido 5,2, con una desviación típica de 2,3. En la clase de 4º B, con el mismo examen, se ha obtenido una nota media de 7,4 y una desviación típica de 3. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos. Solución:

2,3 442 44,2C.V. 0, %5,23C.V. 0,405 40,5%

7,4

AA

A

BB

B

x

x

σ ⎫→= = = ⎪

⎪⎬

σ ⎪= = = →⎪⎭

La dispersión es mayor en el grupo A.




Ejercicio nº @.- En la siguiente tabla hemos resumido los resultados obtenidos al lanzar un dado 120 veces:

Nº OBTENIDO 1 2 3 4 5 6

Nº DE VECES 18 30 21 25 17 9

Calcula Me, Q1, Q3 y p20. Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:

xi fi Fi en %

1 18 18 15

2 30 48 40

3 21 69 57,5

4 25 94 78,3

5 17 111 92,5

6 9 120 100

Me = p50 = 3 porque para xi = 3, la Fi supera el 50%. Q1 = p25 = 2 porque para xi = 2, la Fi supera el 25%. Q3 = p75 = 4 porque para xi = 4, la Fi supera el 75%. p20 = 2 porque para xi = 2, la Fi supera el 20%.




Ejercicio nº @.- Tiramos sucesivamente una moneda y anotamos el número de lanzamientos que necesitamos hasta obtener por primera vez cara. Realizamos el experimento 100 veces, con los siguientes resultados:

LANZAMIENTO EN EL QUE SALE CARA 1 2 3 4 5 6

Nº DE VECES QUE HA OCURRIDO 48 25 16 4 5 2


xi fi Fi en %

1 48 48 48

2 25 73 73

3 16 89 89

4 4 93 93

5 5 98 98

6 2 100 100





Ejercicio nº @.- Un grupo de atletas ha obtenido las siguientes puntuaciones en una prueba deportiva que se valoraba de 0 a 5 puntos:

PUNTUACIÓN 1 2 3 4 5

Nº DE ATLETAS 4 4 12 18 12

Calcula Me, Q1 y Q3. Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:

xi fi Fi en %

1 4 4 8

2 4 8 16

3 12 20 40

4 18 38 78

5 12 50 100

Me = p50 = 4 porque para xi = 4, la Fi supera el 50%. Q1 = p25 = 3 porque para xi = 3, la Fi supera el 25%. Q3 = p75 = 4 porque para xi = 4, la Fi supera el 75%.




Ejercicio nº @.- En una librería han anotado el número de libros que ha comprado cada persona que ha entrado en la tienda. La siguiente tabla resume la información:

Nº DE LIBROS 0 1 2 3 4 5 6

Nº DE PERSONAS 3 22 18 7 2 1 1


xi fi Fi en %

0 3 3 5,56

1 22 25 46,30

2 18 43 79,63

3 7 50 92,59

4 2 52 96,30

5 1 53 98,15

6 1 54 100





Ejercicio nº @.- En la siguiente distribución, halla Me, Q1, Q3 y p90.

xi 1 2 3 4 5 6 7

fi 5 12 32 19 27 15 10

Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:

xi fi Fi en %

1 5 5 4,17

2 12 17 14,17

3 32 49 40,83

4 19 68 56,67

5 27 95 79,17

6 15 110 91,67

7 10 120 100


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