REACTIVOS CALCULO

8/16/2019 REACTIVOS CALCULO

http://slidepdf.com/reader/full/reactivos-calculo 1/25

Banco de reactivos de Cálculo Diferencial

Recopilación: Ochoa Cruz Rita

Julio de 2006

1 Funciones

1. ¿Cuál o cuales de las siguientes a…rmaciones son siempre VERDADERAS?

i. Una función nunca es una relación.

ii. Una función es siempre una relación.

iii. Todas las relaciones son funciones.

a) Sólo i b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i y ii

2. ¿Cuál de las siguientes a…rmaciones NO describe una función?

i. Asignarle a cada triángulo su área.

ii. Asignarle a cada libro su número de páginas.

iii. Asignarle a cada hora del día la temperatura correspondiente a esa hora.

iv. Asignarle a cada día su fecha.

a) Sólo iv b) Sólo i y ii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i, ii, iii y iv

3. ¿Cúal de las siguientes grá…cas representa una función?

i) ii) iii)

a) Sólo i b) Sólo i y ii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i,y iii

1



4. ¿Cúal de las siguientes grá…cas representa una función?

i)

52. 50-2. 5-5

10

5

0

-5

-10

-15

-20

x

y

x

y

ii)

52. 50-2. 5-5

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

iii)

52. 50- 2. 5- 5

5

2. 5

0

- 2. 5

- 5

x

y

x

y

a) Sólo i b) Sólo i y ii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i,y iii

5. De las siguientes expresiones:

(a) 2xy + x 3y 4 = 0;

(b) 5x + 7y 2 = 0;

(c) 2x2

5x + 4y

3 = 0;

(d) 3y2 2x 5y + 7 = 0;

Las que representan una función de x son:

a) a y d b) b y d c) a;b y c d) a, b, c, d

6. ¿Cúal de los siguientes conjuntos representa una función?

a)

(x; y) : y = x3

b) f(x; y) : x = jyjg c) f(x; y) : y = p xg d) f(x; y) : y > xg

7. El largo de un paralelepípedo rectangular es tres veces el ancho y su altura es un medio dellargo. El área total del paralelepípedo en función de su volumen es

a)At = 3

q 92V

2b) At = 3

q 2V 9

2c) At = 2 3

q 2V 9

2d) At = 18 3

q 2V 9

28. Sea f una función, entonces la grá…ca de f (x 3) + 5 con respecto a la de f se desplaza:

(a) 3 unidades a la derecha y 5 hacia arriba.

(b) 3 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba.

(c) 5 unidades a la derecha y 3 hacia abajo.

(d) 5 unidades a la izquierda y 3 hacia abajo.

2



9. Una función de uso común en el estudio de circuitos eléctricos es la función de Heaviside H,

la cual está de…nida como H (t) =

0 si t < 0

1 si t 2 . ¿Qué grá…ca representa g (t) = tH (t)?

a) . b)

c) . d) .

10. La grá…ca de la función f (x) = cos x para x en el intervalo [0; 2] es creciente en

a)

0; 2

b)2 ;

c) [; 2] d) [0; ]

11. Cierto tipo de células se reproduce por le fenómeno denominado bipartición (división en dos),cada 5 horas. En este momento se empieza a observar una de ellas. ¿Cuántas células existirán2004 horas después?

a) 4012 b) 2 (401) c) 2 (401) + 1 d) 2401

12. Sea f una función tal que f (z) = az + b. ¿Cuál es el valor de f (b)f (a)ba

(b 6= a)?

a) z b) b c) az d) a

13. Sea f una función tal que f (x) = 3x 95 . ¿Cuál es el valor de f (a)f (b)

ab (a 6= b)?

a) 3 b) 3 c) 1 d) 1

14. Si f (x) = 3x2 + kx 2 y f (2) = 2, entonces k es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

15. Si f (x) = 1x

+ x + 1x

+ x , marca la opción que sea verdadera.

a) f (x) = f 1x b) f (x) = f (x) c) f (x) = x d) f (x) = 1

f (x)

16. El dominio de la función f (x) = x4x2+9 es:

a) R b) R= f3g c) R= f3; 3g d) R= f2g

3



17. El dominio de la función f (x) =p

3 x2 es:

a)hp

3; 1

b)1;

p 3i

c)

p 3;

p 3

d)h

p 3;

p 3i

18. El dominio de la función f (x) = p x2 9 es

a) x 6= 3 b) (1; 3) [ (3; 1) c) [3; 3] d) (1; 3] [ [3; 1)

19. El dominio de f (x) =p x+1

2x+1 es:

a) (1; 1) b) (1; 1] c) [1; 1) d)1; 1

2

[ 12 ; 1

20. El dominio de la función f (x) =p x1

2x5 es:

a)

1; 5

2

b) [1; 1) c)

52

; 1

d)

1; 5

2

[52

; 1

21. El dominio de la función f (x) = 3x2p 4x2

es:

a) R b) (1; 2) [ (2; 1) c) (2; 2) d) [2; 2]

22. El dominio de la función f (x) = 3x2p x24

es:

a) (1; 2] [ [2; 1) b) (1; 2) [ (2; 1) c) (2; 2) d) [2; 2]

23. El dominio de la función f (x)=q

x2+1x21 es:

a) (1; 1] b) (1; 1) c) (1; 1] [ (1; 1) d) (1; 1) [ (1; 1)

24. El dominio de la función f (x) =q

5xx29 es:

a) (1; 3) [ (3; 5) b) (1; 3) [ (3; 5] c) (1; 3) [ [3; 5] d) (1; 3] [ [3; 5]

25. El dominio de la función f (x) = ln(2 x) es:

a) [2; 1) b) (1; 2] c) (1; 2) d) (2; 1)

26. La imagen, el rango o recorrido de la función f (x) =p

2x 4 es:

a) (1; 1) b) (1; 0) [ (0; 1) c) f1; 1g d) f1; 0; 1g

27. La imagen, el rango o recorrido de la función g (x) =p

9 x2 es:

a) (1; 1) b) [0; 1) c) [3; 3] d) [0; 3]

4



28. La imagen, rango o recorrido de la función y = (x 2)2 3 es:

a) (3; 1) b) [3; 1) c) y 3 d) (1; 3)

29. El rango de la función de…nida g(t) =8<: 1 si t 0

t + 1 si 0 < t < 2t2 1 si t 2

es:

a) a) (1; +1) b) [0; +1) c) [1; +1) d) (1; 1]

30. Encuentra el dominio y contradominio de f (x) =q

x3x+1

a) Domf = [1; 3] y Rf = R n f1g b) Domf = (1; 1] [ [3; 1) y Rf = R n f1gc) .Domf = (1; 1) [ (3; 1) y Rf = R n f1g. d) .Domf = (1; 3) y Rf = R n f1g

31. Dadas las funciones f (x) = 2x + 3 y g(x) = ln x; la función resultante de la composición f g

es:a) 2 (ln x + 3) b) 2 ln x + 3 c) ln(2x + 3) d) 2 l n (x + 3)

32. Dadas las funciones f (x) = ln x y g (x) = x2 3x + 2. La operación (g f ) (x) esta dada por:

a) a)ln2 x 3 ln x + 2. b) ln x2 3 ln x + 2 c) ln

x2 3x + 2

d) ln x2 3 ln x + ln 2

33. Si f (p

x) = x y g

1

x

= x2, entonces la función composición (f g) (1) es:

a) 2 b) 1 c) No existe. d) 1

34. Si f

g (x) =

p 9x2

16, f (x) = 3x

4, ¿cuál expresión es la de la función g(x)?

a) a) g(x) =p

3x 4 b) g (x) =p

3x 4 c)p 9x216

3 + 4 d)p 9x216+4

3

35. La función composición f g donde f (x) = 1x+2 y g (x) = x2 2 es igual a:

a) x2 b) 2

x2 c)

1

x2 d) x2 + 2

36. Si f (x) = 3x2 + x y g (x) =p

x + 1 entonces (f g) (x) es igual a

a) 3p

x + 12

+ x b) 3p

x + 12

+p

x + 1 c)p

3x2 + x + 1 d)p

3x2 + 1 + x

37. Encuentra g f si f (x) = x2

+ 15 y g (x) = p 5x 15.

a) (g f ) (x) =p

5x2 + 60 b) (g f ) (x) =p

5x2 + 30

c) (g f ) (x) =p

5x2 60. d) (g f ) (x) =p

5x2 + 90.

5



38. Si f (x) = 2x 1 y g (x) = x2 2 entonces (f g) (x) es igual a

a) (2x 1)2 b) 4x2 4x 1 c) 4x 3 d) 2x2 5

39. Sea f una función tal que f (x) = x3

2x, entonces f (3t) =

a) t3 2t b) 3t c) 3t3 6t d) 27t3 6t

40. Si f (x) = 2x, g (x) = 12x , ¿Cuál debe ser el valor de x para que f (g(x)) = 6?

a) 4 b) 6 c) 12 d) 3

41. Si f (x) = x + 1 y g (x) = x2 1, ¿para qué valores de x se cumple que g(f (x)) = 0?

a) Sólo el 0 b) Sólo 0 y –2 c) Sólo – 2 d) Sólo 1 y –1

42. Si f (x) = 3x+1x

y f (2b) = 2f (b), entonces b es:

a) fb 2 R; b 6= 0g b) Sólo el 12 c) Ningún número real d) Sólo el 0 y el .1

2

43. La función inversa de f (x) = 3x 2 es

a) g (x) = 1

3x 2 b) g (x) =

1

3x +

2

3 c) g (x) = x +

2

3 d) g (x) = 1

3x +

2

3

44. Sea f una función tal que f (x) = 3x + 2 ¿cuál es la inversa de f ?

a) 3x 2 b) 3x 2 c) 1

3x 2

3 d)

1

3x +

2

3

45. Sea una función tal que f (x) = e

x

y sea g la inversa de f . Marca la opción que contenga lainversa de f.

a) g (x) = ex b) g (x) = ex c) g (x) = ln x d) g (x) = ln ex

46. La función inversa de f (x) = x2x1 es

a) g (x) = x

2x 1 b) g (x) =

2x 1

x c) g (x) =

x

2x + 1 d) g (x) =

x + 1

2x

47. La siguiente …gura muestra la grá…ca de la función f .

6



¿Cuál de las opciones contiene la grá…ca de la inversa de f ?

a) . b) .

c) . d) Ninguna de las anteriores.

48. ¿Cuál de las siguientes funciones NO tiene inversa?

a) y =p

x b) y = x3 c) y = x + 3 d) y = x2

2 Limites y Continuidad

En los siguientes ejercicios marca la opción verdadera

1. El límite es:

a) una función b) un número d) un punto e) una operación

2. El limx!a

f (x) existe si el valor de sus límites unilaterales:

a) son iguales b) tienen el mismo signo c) son diferentes d) Ninguna de las anteriores

3. Si el limx!a

f (x) existe entonces es

a) negativo b) único c) positivo d) Ninguna de las anteriores

4. Si el limx!a

f (x) existe entonces:

i. el limx!a

f (x) es único.

ii. limx!a

f (x) = f (a).

iii. limx!a

f (x) = limx!a+

f (x).

a) Sólo i. b) Sólo i y ii. c) Sólo i y iii. d) Sólo i, ii y iii.

5. La función f es continua en x0 si:

i. f (x0) existe.

7



ii. el limx!x0

f (x) existe.

iii. Si limx!x0

f (x) = f (x0).

a) Sólo i. b) Sólo i y ii. c) Sólo i y iii. d) Sólo i, ii y iii.

6. Si n 2 R entonces el limx!a

1(xa)n

a) es a b) es 0 c) no existe d) Ninguna de las anteriores

7. Supongase que x2 x4

3 f (x) x2entonces el limx!0f (x)x2

=

a) es 1 b) es 0 c) no existe d) Ninguna de las anteriores

8. Supongase que limx!a

f (x) = 4 y limx!a

g (x) = 2 entonces el limx!a

[f (x)]24[g(x)]2

f (x)2g(x) =

a) es 0 b) es 4 c) no existe d) Ninguna de las anteriores

9. Para que el limx!a

f (x) existe se requiere que:

(a) f (a) este de…nida.

(b) limx!a

f (x) exista.

(c) limx!a

f (x) exista.

(d) limx!a

f (x) = limx!a

f (x).

a) Sólo d b) Sólo a y c c) Sólo a d) Sólo a, b y c

10. Si se tiene que el limx!af (x) y el limx!ag (x) existe, siempre es cierto que:

(a) el límite de f (x) + g (x) es la suma de los límites..

(b) el límite de f (x) g (x) es el producto de los límites.

(c) el límite de f (x) =g (x) es el cociente de los límites.

a) Sólo a y b. b) Sólo a c) Sólo a y c d) Sólo a, b y c

11. El (o los) valor(es) de x en los que f (x) = xjxj4 es discontinua es (o son):

a) 4 b) 4 y 0 c)4 y 4 d) 4, 0, 4

12. Se sabe que una función f (x) es continua en x0 entonces necesariamente:

a) Existe la derivada de la función en x0. b) No existe limx!x0 f (x)c) f (x) no esta de…nida en x0 d) limx!x0 f (x) 6= f (x0)

8



13. Sea la función f : < ! < f (x) =

x3 k si x < 1

3kx + 5 si x 1 : El valor de k que hace a f (x)

continua es:a) 2 b)1 c) 0 d) 1

14. Para la función cuya grá…ca se muestra en la …gura siguiente:

a) limx!3+ f (x) = 4. b) limx!3+ f (x) = 3. c) limx!3+ f (x) = 2. d) limx!3+ f (x) no exis

15. Sea f una función tal que: limx!2

f (x) NO EXISTA. ¿Quién podría ser f ?

i. x2 4

x + 2

ii. x + 2

x 2

iii. x

x + 2

a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo III d) I, II y III

16. Sea f una función cuya grá…ca se muestra abajo

Marca la opción que sea FALSA:

a) limx!3

f (x) = 1 b) limx!2

f (x) = 0 c) limx!1

f (x) = 1 d) f (3) = 2

9



17. Sea f una función cuya grá…ca se muestra abajo.

Marca la opción que sea FALSA:

a) limx!2

f (x) = 1 b) limx!1+

f (x) = 0 c) limx!0

f (x) = 1 d) limx!0

f (x) = 0

18. Sea f una función tal que f (x) =8<: p 1 x si x < 12 si x = 1p

x + 1 si x > 1. Marca la opción que sea FALSA:

a) limx!1

f (x) = 0 b) limx!1+

f (x) =p

2 c) limx!1

f (x) = 2 d) limx!0

f (x) = 1

19. Sea f una función tal que f (x) = jxj

x ¿Cuál o cuáles de las siguientes opciones son FALSAS?

i. limx!0

f (x) = 0

ii. limx!0

f (x) = 1

iii. limx!

0f (x) no existe.

a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo III

20. Sea f una función tal que: f (x) = sin(x)

x ¿Cuál o cuáles de las siguientes a…rmaciones son

FALSAS?

i. limx!0

f (x) = 1

ii. limx!0

f (x) = 0

iii. limx!0

f (x)no existe.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III

21. Sea f una función tal que: f (x) = x2 sin

1

x

. ¿Cuál o cuáles de las siguientes a…rmaciones

son VERDADERAS?

10



i. limx!0

f (x) = 1

ii. limx!0

f (x) = 0

iii. limx!

0f (x) no existe


22. Sean P y Q dos polinomios. Para que limx!1

P

Q exista, se requiere:

i. Que el grado de P sea mayor al de Q

ii. Que el grado de Q sea mayor al de P

iii. Que P y Q tengan el mismo grado.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y IIII

23. Sea f una función tal que f (x) =(

1x2 si x 6= 0

1 si x = 0Marca la opción que sea FALSA.

a) limx!0

f (x) no existe b) limx!1

f (x) = 1 c) f (0) = 1 d) limx!0

f (x) = 1

24. El valor de limx!

es:

a) b) c)p

d)

p

25. El valor del límite limx!1

(x1)3

x31 es:

a) 0 b) 1 c) 0 d) 13

26. El valor del limx!3

x2+x12x3 es igual a:

a) 7. b) 1. c) 0. d) 1.

27. ¿Qué valor tiene el limx!3

2x317x3x423x12?

a) 00

b) 1223

c) 3785

d) 1

28. Encuentra el valor del límite si es que existe de limh

!2

h24h2+4h+4 :

a) 1 b) 4 c) no existe d) 0.

11



29. El valor de limz!2

z 4

z2 2z 8 es:

a) 0 b) no existe c) 1

z + 2 d)

1

4

30. El valor de limh!2

h3 8

h2 4 es:

a) 1 b) 0 c) no existe d) 3

31. El valor de limx!2

x2 4

x3 + 8 es:

a) 1

3 b)

1

3 c) 3 d) 3

32. El valor del limh!0

(x + h)3 x2

h

es:

a) x2 b) no existe c) 2x d) 0

33. Calcula el valor de limh!0

(2+h)323

h :

a) 0 b) 316 c) 3

32 d) 932

34. Calcula el valor de limy!0

1y

1p 1+y

1

:

a) 12 b)1 c)0 d) no está determinado

35. Si f (x) = x2 5, encuentra el limh!0

f (x+h)

f (x)h :

a) 2x b) 0 c) no existe d) 2x

36. Si f (x) = 5x

, encuentra el limx!10

f (x)f (10)x10

a) 14 b) 1

4 c) no existe. d) 18

37. Si f (x) = p

x, encuentra el limx!4

f (x)f (4)x4

a) 14 b) 1

4 c) no existe d) 18


p x+52x+1 es igual a

a) 0. b) 1: c) 14

. d) 14

.

12



39. Al calcular el límite limx!64

3p x4p x8

obtenemos:

a) 3 b) 13 c) 3 d) 1

3


1x2

+6x3

4+3x2x3 es igual a

a) 3. b) 3. c) 0. d) 14 .


2 + 2

x

es igual a:

a) 4. b) 2. c) 1. d) 2 + 1.


x2+x3x

es igual a:

a) 13 . b) 2. c) 3. d) 1.

43. Encuentra el valor del límite, si es que existe, de limx!1

x4x225x3x610x+25 :

a) 13

b) 13

c) no existe d) 0

44. Sea f una función discontinua en x = a: ¿Cuál de las siguientes a…rmaciones es FALSA?

i. limx!a

f (x) = f (a)

ii. f (a) no existe.

iii. limx!a

f (x) no existe.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II

45. Sea f una función tal que f (x) =

8<:

p 2 x si x < 2x 2 si 2 x 5p

x 5 si x > 5. ¿Cuál de las siguientes

opciones es verdadera?

i. f (x) es discontinua en 2.

ii. f (x) es discontinua en 5.

iii. f (5) = 3a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III

46. Sea f una función tal que: f (x) = cx2 3 si x < 2

cx + 2 si x

2

El valor que debe tener c para que

f sea continua en todo su dominio es:

a) 2

5 b)

5

2 c) 5

2 d)

2

5

13



47. Si f y g son dos funciones continuas en a y c es una constante, entonces cada una de lassiguientes funciones también son continuas, excepto:

a) f g b) f g c) cf d) f g

48. Sean f y g dos funciones continuas en a. Para que f g sea continua en a se requiere ademásque:

i. g sea continua en f (a).

ii. f sea continua en g(a)

iii. g(a) = f (a)


49. La función f cuya regla de correspondencia es: f (x) = x2 2x + 1

(x2 1) (x + 3) tiene:

a) Solo una asíntota vertical. b) Sólo dos asíntotas verticales.c) Tres asíntotas verticales. d) Ninguna asíntota vertical.

50. Sea f una función tal que: f (x) = x2 + 4

(x + 2) (x 5) Marca la opción que contenga las ecuaciones

de sus asíntotas verticales.

a) Sólo x = 5 b) x = 2 y x = 5 c) x = 2 y x = 5 d) Sólo x = 5

51. Sea f (a) = a6a29a+18

averigüe si hay discontinuidad y en caso de existir clasi…quela (s):.

(a) Existe un discontinuidad en a = 6 y a = 3. En a = 6 la discontinuidad es in…nita oinevitable. En a = 3 la discontinuidad es evitable.

(b) La función es continua en todos los reales.

(c) Existe un discontinuidad en a = 6 y a = 3. En a = 3 la discontinuidad es in…nita oinevitable. En a = 6 la discontinuidad es evitable.

(d) Existe un discontinuidad en a = 3. En a = 3 la discontinuidad es inevitable.

3 Derivadas

1. La derivada de una función f en un número a es:

a) limh!a

f (a+h)f (a)h

b) limh!a

f (a+h)+f (a)xa

c) limh!0

f (a+h)f (a)h

d) limh!0

f (ah)+f (a)0

2. ¿Cúal de las siguientes a…rmaciones es verdadera.?

i. Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.

ii. Si f es continua en a, entonces f es diferenciable en a.

14



iii. Si f (a) existe, entonces f es continua en a.

a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo i y ii d) Sólo i, ii y ii

3. La derivada de una función no existe en un número a porque:

a) la función es discontinua en x = a.

b) la grá…ca tiene una punta o un pico en (a; f (a)).

c) en el punto (a; f (a)) la tangente a la grá…ca es vertical.

a) Sólo a y b. b) Sólo a c) Sólo a y c d) Sólo a, b y c

4. Considere una función f y x0 un elemento de su dominio. Se sabe que existe la derivadaf 0 (x0). Entonces necesariamente en x0

a)f es continua en x0 b) Existe f 00 c) f > 0 d) f < 0

5. Considere una función f (x) y x0 elemento de su dominio. Se sabe que f 0(x0) = f 00(x0) = 0.

Entonces necesariamente en x0:a) f tiene un punto de in‡exión c) f vale cerob) f tiene un valor extremo d) f es continua

6. Sea f una función diferenciable en a y sea f 0(a) = 0, entonces siempre es cierto que:

i. en a hay un máximo.

ii. en a hay un mínimo.

iii. en a hay una recta tangente a f horizontal.

a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i, ii y ii

7. Sea f una función c un número real. Para que c sea valor crítico de f se requiere que:

i. c esté en el dominio de f .

ii. f 0(c) = 0

iii. f 0(c) no exista.

a) Sólo i. b) Sólo ii ó iii c) Sólo i, ii y iii d) Sólo i, ii ó ii

8. La grá…ca muestra la velocidad con que se llena de agua un recipiente. Marca la opción quecontenga al recipiente representado en la grá…ca:

15



a) b) c) d)

9. La grá…ca muestra la velocidad con que se llena de agua un recipiente. Marca la opción quecontenga al recipiente representado en la grá…ca.

a) b) c) d)

10. La grá…ca muestra la velocidad con que se llena de agua un recipiente. Marca la opción quecontenga al recipiente representado en la grá…ca:

a) b) c) d)

11. La derivada de una función f en a está dada como: limh!0

p 1+h1h

¿Cuál de las siguientes

opciones contiene a la función f y el valor de a?

a) f (x) =p

1 + x, a = 1 b) f (x) = p

x, a = 1 c) f (x) = p

x, a = 1 d) f (x) = p x, a

12. La derivada de una función f en a está dada como: limx!1

x9+1x+1 ¿Cuál de las siguientes opciones

contiene a la función f y el valor de a?

a) f (x) = x9 y a = 1 b) f (x) = x9 y a = 1 c) f (x) = x9 y a = 1 d) f (x) = x9 y a =

13. Encuentra la derivada de h (z) = 3z

8

4

5p

z7

5

z12

a) h0 (z) = 24z7 285

5p

z2 + 60z13

. b) h0 (z) = 24z7 28

5 5p z2

+ 60z13

.

c) h0 (z) = 24z7 285

5p

z2 60z13

. d) h0 (z) = 24z7 285

5p

z2 + 60z11

.

16



14. Encuentra la derivada de h (x) = 5

q (x2 6x + 3)15

a) h0 (x) =

x2 6x + 3

2

(6x 18). b) h0 (x) =

3x2 18x + 9

2

(6x 18).

c) h0

(x) = 3x2

18x + 92 (2x

6). d) h

0(x) = x2

6x + 32 (6x

18).

15. La derivada de la función f (x) =

3 + 4x x2 12

a) 12

(4x 2x)12 b) 4+2x

2p 4xx2+3

c) 42xp 4xx2+3

d) 42x2p 4xx2+3

16. La derivada de f (x) =q

1x21+x2

es:

a) 2x(1+x2)

p 1x4

b) x

(1+x2)p 1x4

c) x

(1+x2)p 1x4

d) 2x(1+x2)

p 1x4

17. La derivada de la función f (x2) = sin2p

x2 + 1 + cos2p

x2 + 1, es:

a) p 5x b 5) c) 5 d) 0

18. La derivada de y = 1+sin x1sinx

es:

a) cosx2

b) 2 cosx(1senx)2

c) cos 2x2

d) 2sec x

19. La derivada de y = sinx1+cos x es:

a) cosx+cos2 xsin2 x(1+cos x)2

b) sin2 xcosxcos2 x(1+cos x)2

c) 11+cos x d) 1

1+cos x

20. La derivada de f (x) = ln(sin x):

a) cot x b) tan x c) 1sinx d)

1cosx

21. La derivada de f (x) = ln(sin x + cos x)

a) 1 b) 1 c) cosxsinxsinx+cosx d) 1

sinx+cosx

22. Sea f (x) = sin x2. Entonces f 0 (x) es

a) 2 sin x cos x b) 2x sin x2 cos x2 c) 2sin x2 cos x2 d) cos x2

23. Sea f (x) = sin 2x, entonces f 0(x) es:

a) sin2x b) sin x cos x c) 2 cos x d) sin 2x cos2x

24. La derivada de y = tan2 x3 es:

a) tan2 x3 sec2 x3 b) 3x2 sec2 x3 c) 2tan x3 sec2 x3 d) 6x2 tan x3 sec2 x3

17



25. Encuentra la derivada de f () = sin

2 + 3

:

a) (2 + 3) cos

2 + 3

. c) (2 + 3) cos

2 + 3

.b) cos 2 + 3. d) 2 + 3 cos 2 + 3.

26. Encuentra la derivada de h (a) = ln

3a2 2a + 5

:

a) 6a23a22a+5 b)3a22a+5

6a2 c) ln(3a22a+5)

6a2 d) (6a + 2)ln

3a2 2a + 5

.

27. La derivada de f (x) = esinx es:

a) cos xesinx b) sin xesinx1 c) sin xecosx d) cos xesinx.

28. La derivada de f (x) = sin

sin

x2 x

es:

a) cos

sin

x2 + x

. c)cos

sin

x2 + x

cos

x2 + x

b) cos sin x2 + x cos x2 + x d) cos sin x2 + x cos x2 + x (2x + 1)

29. Sea f (x) = sin

x2

Encuentre f 00 (x)

a) 4x2 sin x2 + 2 cos x2. b) 2x2 sin x2 4cos x2.c) 4x2 sin x2 2cos x2. d) 4x2 sin x2 + 2 cos x2.

30. La derivada de orden quinto de la función y (t) = 1t

es:

a) 120t5

b) 120t6

c) 120t6

d) 120t5

31. Sea f (x) = sin x, entonces la vigésima derivada de f es:

a) sin nx b) sin x c) 20sin x d) 20cos x

32. Sea f (x) = xex, entonces la nésima derivada de f es:

a) nxex b) nex + nxex c) nex + xex d) ex + nxex

33. La ecuación de la tangente a la función cuya regla es f (x) = x3 2x2 + 4 en x = 1 es:

a) y = x 2 b) y = x + 2 c) y = x 4 d) y = x + 4

34. La ecuación de la recta normal a la grá…ca de f (x) = x3 2x2 + 4 en x = 1 es:

a) y = x 2 b) y = x + 2 c) y = x 4 d) y = x + 4

35. Encuentra la ecuación de la recta normal en x0 = 2 de f (x) =

x2 32

(2x 3)4

a) y = x 3 b) y = x + 3 c) y = x + 7 d) y = x 3

18



36. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la grá…ca de la función f (x) = (x2 3)3(2x 3)4

en x = 2?a) 20x + y 41 = 0 c) y 1 = ( 1

20)(x 2)b) x 20y + 18 = 0 d) 20x y 39 = 0

37. Las abscisas de los puntos máximos y mínimos de la curva f (x) = xp x + 3 son:

a) mínimo: 2 c) mínimo: 0, máximo: 3b) máximo: 2 d) mínimo: 3, máximo: 0

38. Las abscisas de los puntos de in‡exión de la curva f (x) = xp

x + 3 son:

a) no tiene puntos de in‡exión b) 4 c)4 y 3 d) 0 y 3

39. Los puntos máximos y mínimos relativos de f (x) = 2x3 + x2 4x + 4, son respectivamente:

a) (1; 3) y 13

; 7727 b) (2; 16) y

12

; 52 c)(2; 0) y

23

; 17627 d) (1; 7) y

23

; 6427

40. Usando el criterio de la primera derivada, encuentre los valores máximos y mínimos, así comolos intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x) = 2 8x x2

a) Max: f (4) = 18; Crece (1; 4); decrece (4; +1)b) Max: f (5) = 20; Crece (1; 5); decrece (5; +1)

c) Max: f (5) = 18; Crece (1; 5); decrece (5; +1)d) Max: f (4) = 9; Crece (1; 4); decrece (4; +1)

41. La función f (x) = x1x2+2x3 es creciente o decreciente en los intervalos:

a) decreciente: (1; 1) c) creciente: (1; 3) [ (1; 1)b) creciente: (

1;

3)[

(

3; 1)[

(1;1

) d) decreciente: (1

;

3)[

(

3; 1)[

(1;1

)

42. La funcion f (x) = x3 5x2 + 3x + 1 es estrictamente creciente en

a)

1

3; 3

b)

1;

1

3

[ (3; 1) c)

1

3; 3

d)

1;

1

3

[ [3; 1)

43. Sea f (x) = 3x4 4x3 12x2 + 5, marca la opción que sea falsa:

a) f es creciente en (2; +1) c) f es creciente en (1; 2)b) f es decreciente en (0; 2) d) f es decreciente en (1; 1)

44. Sea f una función tal que f (x) = x23 (6

x)

13 , marca la opción que sea falsa:

a) f es creciente en (0; 4) c) f es creciente en (1; 0)b) f es decreciente en (4; 6) d) f es decreciente en (6; +1)

19



45. Los ángulos que forman las curvas y2 = x y y = x2 cuando se intersectan son

a) 90 y 66:86 b) 90 y 60 c) 90 y 36:86 d) 90 y 30

46. Una partícula se mueve sobre una recta horizontal, de acuerdo con la ley de movimientos (t) = 1

3t3 t. Los intervalos de tiempo en los que la partícula está reduciendo su marcha

son:

a) (1; 1) y (1; 0) b) (1; 1) y (0; 1) c) (1; 0) y (0; 1) d) (0; 1) y (1; 1)

47. Una partícula se mueve según la ley del movimiento s = f (t) = t3 6t2 + 9t + 1; t 0; dondet se mide en segundos y s en metros. La aceleración cuando la velocidad es 0, es:

a) 18 y 30 b) 6 y 6 c) 1 y 3 d) 0 y 36

48. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 160 ft=s. Sualtura en pies esta dada por la función s(t) = 16t2 +160t. La altura máxima que alcanza elproyectil es:

a) 1200 m b) 400 m c) 300 m d) 500 m

49. Un ranchero tiene 200m. de alambre con puas con los que quiere construir 2 corrales adya-centes, rectangulares y de las mismas dimensiones. ¿Cuáles deben ser los valores del ancho ydel largo para que el área de los corrales sea máxima?

a) Ancho 30m, largo 20:3m c) Ancho 35m, largo 30:3mb) Ancho 20:5m, largo 10:5m d) Ancho 25m, largo 33:3m

50. Encuentra la altura del trapecio isósceles de mayor área que está inscrito en la semicircunfer-encia y =

p 9 x2 :

a) 1p 2

b)p

2 c) 2 d) 2p

2

51. Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un preciode $6:00 c/u. El costo de producir x artículos a la semana se obtiene mediante la funciónC (x) = 1000 + 6x 0:003x3 + 106x3 ¿qué valor de x debemos seleccionar con objeto demaximizar las utilidades?

a0) b) 1000 c) 2000 d)20000

52. Un punto mínimo de la función f (x) = 2x3 3x2 12x + 3 es:

a) P (2; 17) b)P (1; 10) c)P (1; 10) d) P (2; 1)

53. La derivada de la función f (x) = 20061+x2

vale cero en:

a)x = 2006 b) x = 0 c) x = 1 d) x = 2006

54. La derivada de y = eex

es:

a) y = exeex1 b) y = ee

x

c) y = eex+x d) y = ee

xx

20



55. Sea f una función tal que f (x) = x 1x

, entonces f :

a) Siempre crece. b) Siempre decrece.c) Primero crece y luego decrece. d) Primero decrece y luego crece..

56. Sea f una función tal que f (x) = 1x3

y x 2 10; 110

, entonces la función:

a) Siempre crece. b) Siempre decrece.c) Primero crece y luego decrece. d) Primero decrece y luego crece..

57. La función f (x) = x4 tiene el siguiente número de puntos de in‡exión:

a) 6 b) 4 c) 2 d) 0

58. La función f cuya regla es f (x) = x4 4x3

i. un máximo relativo

ii. un mínimo relativo.

iii. dos mínimos relativos.

a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i y ii

59. La función f (x) = (x2 1)3 tiene:

i. un mínimo absoluto

ii. dos puntos de in‡exión.

iii. tres puntos de in‡exión.

a) Sólo i. b) Sólo ii c) Sólo iii d) Sólo i y ii

60. La suma de dos números positivos es 20. Si el producto del cuadrado de uno y el cubo delotro es un máximo, ¿cuáles son los números?

a) 9; 11 b) 10; 10 c) 8; 12 d) 18; 2

4 Problemas

1. Un rectángulo tiene un perímetro de 100 metros. Si x representa la longitud de la base:

(a) Exprese el área del rectángulo como función de x.

(b) ¿Cuál es el dominio de la función?

2. Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de piezas de cartónrectangulares de 10 pulgs por 17 pulgs cortando cuadrados iguales en las cuatro esqunas ydoblando hacia arriba los lados.

21



(a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una funciónde la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán.

(b) ¿Cuál es el dominio de la función obtenida en el inciso anterior?

(c) ¿Cuál es el volumen máximo?

3. Una ventana normada tiene el contorno de una semicircunferencia en la parte posterior de unrectángulo. El perimetro de la ventana es de 8 + unidades, expresa el área en términos delradio r de la semicircunferencia.

4. Una página ha de contener 30 cm2 de texto. El margen superior es 34 partes del margen

inferior y los laterales miden cada uno la mitad del margen inferior. Encuentre el perimetrode la página en función de uno de sus lados.

5. Dibuje la gra…ca de una función f que satisface las siguientes condiciones:

(a) Su dominio es [2; 2]

(b) f (

2) = f (

1) = f (1) = f (2) = 1

(c) Es discontinua en 1 y 1:

(d) Es continua por la derecha en 1 y continua por la izquierda en 1:

6. En cierto país el impuesto sobre ingresos se evalúa como se indica enseguida:

(a) No se paga impuesto sobre ingresos de hasta 10 000 dólares

(b) Cualquier ingreso superior a 10 000 y hasta 20 000 dólares paga un impuesto del 10%del ingreso.

(c) Cualquier ingreso superior a 20 000 dólares paga impuesto de 15% del ingreso en cuestión.

(d) Traza la grá…ca del impuesto a pagar en función del ingreso.

7. Encuentra todos los valores de a tales que f (x) sea continua en todos los reales f (x) = x + 1 si x a

x2 si x > a y haz la grá…ca.

8. Sea f (x) =

8<:

c ; si x = 39x2

4p x2+7 ; si jxj < 3

k ; si x = 3

Determine el valor de c y k, donde c, k 2 R, para los

que f sea continua en [3; 3] :

9. Determine el valor de las constantes a y b de modo que la función siguiente sea contínua en

toda la recta real. f (x) =

8<

:

x2 + 2x 1;six < 0ax + b;si0 x < 1

2;six 1

10. Sea f (x) =

x3 c si x < 13cx + 5 si x 1

donce c es una constante real. Obtenga el valor de c

que haga que la grá…ca sea continua en todos los reales.

22



11. Determine los valores de a;b;c; y d que permiten que la curva cuya ecuación es f (x) =ax3 + bx2 + cx + d sea tangente al eje X en (2; 0) y que tenga un punto de in‡exión en (0; 4)

12. Dada la función f (x) = x3 + bx2 + cx + d;hallar:

(a) El valor de b; c y d, para que tenga un máxino en x = 4, un mínimo en x = 0, y tomeel valor de 1 para x = 1.

(b) Puntos de in‡exión.

(c) Intervalos de crecimiento, decrecimiento y de concavidad.

(d) Traza la grá…ca de la función..

13. Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y los otros dos en la parábola y = 12 x2, cony 0: ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?

14. Se forma un triángulo rectángulo en el primer cuadrante por medio de los ejes x y y, y unarecta que pasa por el punto (1,2) (vease la …gura) Encuentre los vértices del triángulo tal quesu área sea mínima.

43210

4

3

2

1

0

x

y

x

y

15. Escribir el volumen de un cilindro en función de su radio si sabemos que está inscrito en unaesfera de radio igual a 10.

16. Con un alambre de 10 metros se hacen un cuadrado y un triángulo equilátero. Hallar lasdimensiones de ambos para que el área total sea mínima.

17. ¿Qué puntos de la grá…ca y = 4 x2 están más cercanos al punto (0; 2)?

18. Se elabora una lata cilíndrica sin tapa. Si el volumen de esta lata debe ser V , encuentra lasdimensiones que minimizarán el costo del metal usado para su construcción.

19. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 in2 de material. ¿Quedimensiones produciran una caja de volumen máximo?

20. Se requiere construir una caja de base rectángular sin tapa. Para esto se cuenta con una hojade 20x30 cm. Se te pide encontrar el volumen máximo.

21. Una ventana gótica consta de un semicírculo montado en un rectángulo. Si el perímetro de laventana gótica debe ser de 32 f t, determine cual debe ser el radio del semicículo y la alturadel rectángulo para que pase la mayor cantidad de luz por la ventana.

22. Un trozo de alambre de 10 m de largo se usa para formar un cuadrado y un triánguloequilátero. ¿Cómo debe emplearse el alambre de modo que el área total encerrada sea máxima?

23



23. Un automóvil viaja durante la noche por una carretera en forma de parábola vertical, con suvértice en el origen. El auto parte de un punto 100 m al Oeste y 100 m al Norte del origen yviaja en dirección Este. Hay una estatua ubicada 100 m al Este y 50 m al Norte del origen.¿en cuál punto de la carretera los faros del automóvil la iluminarán?

24. Se dobla la esquina superior de un trozo de papel de 8 in de ancho por 12 in de largo parallevarla hasta el borde de la derecha, como en la …gura. ¿Cómo la doblaría de modo que se

minimice la longitud del doblez? es decir, ¿cómo eligiría x para minimizar y?

25. Se tiene una Iglesia con una cupula con forma parábolica. Se necesita pintar la cupula y se

coloca una escalera que esta apoyada sobre la cupula como se muestra en la …gura. Encuentrael ángulo entre la escalera y la cúpula.

26. Encuentra la altura del trapecio isosceles de mayor área que esta inscrito en la semicircunfer-encia de radio igual a 3:

27. El interior de una pista de carreras de 400 m consta de un rectángulo con dos semicirculos enlados opuestos. Encuentre las dimensiones para los cuales el área del rectángulo es máxima.

24



28. Una escalera de 13 metros de largo está apoyada contra una pared. El pie de la escalera seaparta de la pared con velocidad uniforme, a razón de 0:5 metros por segundo. Encuentra lavelocidad a la que se mueve la parte superior de la escalera cuando el pie está a 12 metros dela pared.

29. Si dos pasillos perpendiculares entre si miden c metros y k metros, donde c, k 2 R, respec-tivamente. ¿Cuál es la longitud de la viga de acero más larga que pueda transportarsehorizontalmente de modo que pueda doblar la esquina? No considere la anchura de la viga.

30. La posición de una partícula se puede expresar en base a su ecuación de movimiento comof (t) = 1

1+t , donde t se mide en segundos y x en metros, encuentre la rapidez de la partícula

en el momento que t = 3 segundos

31. Una partícula se mueve según la ley del movimiento s = f (t) = t3 6t2 + 9t + 1; t 0; dondet se mide en segundos y s en metros. La aceleración cuando la velocidad es 0, es:

32. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal a la grá…ca de la función f (x) = (x2 3)3(2x 3)4

en x = 2?

33. Analizar la función f (x) = x4

x 1 obteniendo sus valores críticos, puntos críticos, máximos,

mínimos y puntos de in‡exión. Construya la grá…ca respectiva.

34. Analiza la función f (x) = x + 1x

obteniendo sus máximos, mínimos, concavidades e intervalosde crecimiento y decrecimiento. Construya la grá…ca respectiva.

35. Grá…ca y analiza (dominio, rango, limites unilaterales, continuidad, derivada, máximos ymínimos) la siguiente función.

f (x) =

8<

:

4 x 2x2 2 < x < 22x 3 x 2

Bibliografía:Stewart, James. Cálculo. Thompson editores.

Edwards y Penny. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice HallZill, Dennis G.. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica.

Swokowski, Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica.

Material seleccionado por los docentes:

Ochoa Cruz Rita

Nieves Medrano Jaime

Rivera Ramírez Francisco

25

REACTIVOS CALCULO

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