Realimentación del estado

Dr. Raúl Santiesteban Cos

Culiacán, Sinaloa.

Departamento de Mecatrónica

Instituto Tecnológico de Culiacán

• Controlabilidad y observabilidad.

• Asignación de polos

• Observadores del estado

• Esquema controlador-observador

Introducción

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron

introducidos por Kalman en 1960.

Son de gran importancia en el diseños de sistemas de control

en espacio de estado.

Las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan

si existe una solución viable y completa al diseño de control.

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

Sea el sistema lineal

descrito por las matrices (A,B,C), se dice que es controlable si

es posible construir una señal de control no restringida tal

que pueda transferir cualquier condición inicial de estado .

a cualquier otra condición en un intervalo de tiempo finito.

)(tu)0(x

)(tx

(1)

Controlabilidad

Un sistema lineal (A,B,C) es controlable si la matriz

( C matriz de controlabilidad)

es de rango (r) pleno r=n, en otras palabras, el determinante de

la matriz C es diferente de cero.

BAABB 1-nC

Nota: n es la dimensión del sistema (# de variables de estado),

mientras que el rango (r) de C es el número de vectores linealmente

independientes en C

Ejemplo 1:

Determine si el siguiente sistema es controlable

ux

x

x

x

1

0

45

55

2

1

2

1

Solución:

El sistema es de segundo orden ( ) y2n

41

50ABB C

tiene rango de 2, nr

por lo tanto el sistema es totalmente controlable

o, 0)det( C

Ejemplo 2:

Determine si el siguiente sistema es controlable

ux

x

x

x

1

0

45

05

2

1

2

1

Solución:

El sistema es de segundo orden ( ) y2n

41

00ABB C

tiene rango de 1, nr

por lo tanto el sistema es no es totalmente controlable

o, 0)det( C

Una forma alterna de verificar si un sistema es controlable, es

dibujando el diagrama de flujo de los estados y determinar si

existen caminos desde la señal de control hasta todas las

variables de estado. Si se cumple, el sistema es controlable:

Diagramas de flujo del estado de los ejemplos 1 y 2

4 5

+

-5

5 + 1x2xu 1x

2x

b) Ejemplo 2

ux

x

x

x

1

0

45

05

2

1

2

1

4 5

+

-5

1x2xu 1x2x

a) Ejemplo 1

ux

x

x

x

1

0

45

55

2

1

2

1

Existe un camino desde u hacia todas las variables de estado.

No existe un camino desde u hasta la variable .1x

Fig.1 Diagrama a bloques ejemplo 1.

Fig.2 Diagrama a bloques ejemplo 2.

• Existe un camino desde u hasta y .

• El sistema es controlable.

1x 2x

• No existe un camino desde u hasta . Pero si hacia .

• El sistema es parcialmente controlable.

• No se tiene acceso a modificar la dinámica de .

• Si la dinámica de es inestable, entonces el sistema lo es.

• Si la dinámica de fuera estable y como es posible asignar

a la dinámica deseada. El sistema se dice estabilizable.

1x

1x

1x

1x

2x

2x

En el ejemplo 1

En el ejemplo 2

descrito por las matrices (A, B,C).

• La observabilidad es la capacidad que existe en un sistema

para poder estimar sus variables de estado.

Observabilidad

Sea el sistema lineal

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

(1)

dBuexetx

i

ii

t

tAAt

i )()0()(0

)(

it

La definición anterior no es restrictiva ya que si se desea

conocer el valor del estado para algún tiempo , estará dado

por

0t

)0(tx

)(tu )(ty

• Un sistema lineal (A,B,C) es Observable en el tiempo

si es posible determinar el estado inicial a partir del

conocimiento de y en un intervalo de tiempo finito.

El sistema (A,B,C) es observable si y solo si la matriz

1nCA

CA

C

O

es de rango pleno , es decir, es no singular, o su

determinante es diferente de cero.

( matriz de observabilidad)O

)( nr

Si el sistema no es totalmente observable significa que algunas

variables de estado quedan ocultas a las mediciones de .)(ty

O

Ejemplo 3:

Determine si el siguiente sistema es observable

Solución:

El sistema es de segundo orden ( ) y2n

tiene rango dos, nr

por lo tanto, el sistema es totalmente observable

2

1

2

1

2

1

11

1

0

45

05

x

xy

ux

x

x

x

40

11

CA

CO

o, 0)det( O

Ejemplo 4:

Determine si el siguiente sistema es observable

Solución:

El sistema es de segundo orden ( ) y2n

tiene rango uno, nr

por lo tanto, el sistema es no es observable (totalmente)

2

1

2

1

2

1

01

1

0

45

05

x

xy

ux

x

x

x

05

01

CA

CO

o, 0)det( O

Determine controlabilidad y observabilidad en el sistema:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

2

0

0

527

463

621

x

x

xy

u

x

x

x

x

x

x

BAABB 2C

2CA

CA

C

O

91222

143849

1626472A

Solución:

Ejemplo 5:

18102

2880

32120

C

162647

621

001

O 0)(Odet el sistema es observable

det 0)(C el sistema es controlable

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

Sea el sistema

Su polinomio característico es

nnnn asasasAsIsa 2

21

1)det()(

que representa cierto comportamiento dinámico.

Ahora se busca modificar el comportamiento del sistema (1)

(A,B,C) por medio de la realimentación del estado:

(1)

Realimentación del estado

)()()( tvtKxtu

][ 21 nkkkK donde es un vector fila y es una nueva entrada,

a fin de obtener un sistema de lazo cerrado con el polinomio

característico deseado.

)(tv

nnnn ssss 2

21

1)(

(2)

Esto es equivalente a modificar los polos del sistema en el

análisis por Laplace. Sustituyendo (2) en (1) se obtiene:

(3)

A

-K

B+ C+ )(tv )(tu )(tx )(tx )(ty

Fig. 3 Representación del

sistema

modificado por

realimentación del estado.

)()()()( tBvtxBKAtx

)()( tCxty

cuyo polinomio característico es

)det()( BKAsIsak (4)

La meta es que por medio del control (2)

)()()( tvtKxtu

el polinomio característico modificado (4) se iguale al polinomio

característico deseado (3):

)()( ssak

Fórmula de Ackermann

)()()( tvtKxtu nkkkK 21

El problema de realimentación del estado se reduce a la

obtención del vector de realimentación K

en sistemas lineales de una entrada y una salida. La fórmula

de Ackermann es muy útil para diseñar el vector K

(2)

1]1000[ Cmientras que es la última fila de la matriz

de controlabilidad.

por lo que:

IAAAA nnnn 2

21

1)(

)(]1000[ 1 AK C

donde es el polinomio característico deseado )(s

Fórmula de Ackermann

nnnn ssss 2

21

1)(

Diseñe un controlador por realimentación del estado que asigne

los valores propios y , al sistema.131 j 132 j

ux

x

x

x

1

0

23

11

2

1

2

1

2

101x

xy

Ejemplo 6:

Solución:

Una de las formas más sencillas de encontrar el vector de

realimentación es igualar la ecuación característica del sistema

original con realimentación del estado con la ecuación

característica de los valores propios deseados:

Hay una raíz con parte real negativa, el sistema es inestable.

Paso 0. Verificar estabilidad ( no indispensable )

0)7913.2)(7913.1(523

11

0

0det 2

Paso 1. Verificar controlabilidad

21

10ABB C

Es de rango pleno por lo tanto es

totalmente controlable

El diseño del controlador puede llevarse a cabo.

Paso 2. Obtención del vector K

Se iguala:

)()( ak

)13)(13())(det( jjBKAI

1061

0

23

11

0

0det 2

21

kk

10623

11det 2

21

kk

1065)1( 2

212

2 kkk

se igualan los coeficientes del mismo orden

612 k 10521 kk

y se obtiene el vector de realimentación ]78[K

El sistema realimentado queda:

,1

078

1

0

23

11

2

1

2

1

2

1v

x

x

x

x

x

x

2

101x

xy

donde es una referencia asignada (escalar).v

Utilizando la fórmula de ackermann, diseñe un controlador por

realimentación del estado que asigne los valores propios

, y al sistema.141 j 63

u

x

x

x

x

x

x

2

10

312

254

221

3

2

1

3

2

1

.121

3

2

1

x

x

x

y

Ejemplo 7:

Solución:

142 j

Paso 0. Verificar estabilidad ( no indispensable )

5299

312

254

221

00

00

00

det 23

los tres valores propios tienen parte real positiva, por lo tanto

el sistema es inestable.

1825.0,8202.24087.4,8202.24087.4 321 jj

Paso 1. Verificar controlabilidad

,

1052

6391

6202

BAABB C 0310)det( C

por lo tanto el sistema es totalmente controlable.

Paso 2. Obtención del vector K, utilizando la fórmula de

Ackerman

)(]1000[ 1 AK C

la inversa de la matriz de controlabilidad es

155

1

155

2

310

13155

3

155

6

155

5831

18

31

5

62

45

1C

el último renglón de 1C es

155

1

155

2

310

13]1000[ 1C

por otra parte, el polinomio característico deseado es

1026514)6)(14)(14()( 23 jj

entoncesIAAAA 1026514)( 23

468312164

624632788

16439474

)(A

)(]1000[ 1 AK C

por último, el vector K, queda:

468312164

624632788

16439474

155

1

155

2

310

13K

8452.16903.260065.6 K

Observador de estado

- De orden completo

- De orden reducido

- De orden mínimo

n estados

menos de n estados

el mínimo de estados

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

Sea el sistema

(1)

)~()()(~)(~ xCyKtButxAtx e

Suponga que el estado se aproximará mediante el

estado x del modelo dinámico

(2)

x

Fig. 1 Representación del sistema modificado usando un

observador de estado de orden completo.

A

B C+

)(tu )(tx )(tx )(ty

A

Ke

B C+

)(~ tx )(~ ty

+

-

+

la ecuación de error del observador está dada por

)~()(~)(~ xCCxKtxAAxtxx e

)~)(( xxCKA e

(3)

(4)

Se define la variable de error como

)~( xxe

Donde la dinámica de error esta dada por

eCKAe e )(

(5)

(6)

El problema de diseñar un observador de orden completo

se convierte en determinar la matriz de ganancias del

observador Ke, tal que la dinámica de error definida

mediante la ecuación (6) sea asintóticamente estable con

una velocidad de respuesta suficiente.

Por tanto, aquí el problema se convierte en el mismo que

en el caso de ubicación de polos analizado anteriormente.

Problema Dual

Cxty

BuAxtx

)(

)(

zBt

uCzAtz

*

**

)(

)(

La meta es utilizar un control del tipo

Kzv

La matriz de ganancias de realimentación del estado K se

determina de tal modo que la matriz produzca un

conjunto de los valores característicos deseados.

*** KCA

(8)

(7)

)(]1000[ 1 AK CFórmula de Ackermann para

el problema de retroalimentación

Fórmula de Ackermann

)(]1000[ *1 AKe OFórmula de Ackermann para

el problema observación

(9)

(10)

])(|||[ *1****1 CACAC n O

1

0

0

0

)(

1

0

0

0

)(

1

1

2

1

2

**

n

n

n

n

e

CA

CA

CA

C

A

CA

CA

CA

C

AKK

1]1000[ Cmientras que es la última fila de la matriz

de controlabilidad.

donde es el polinomio característico deseado )(s

nnnn ssss 2

21

1)(

Diseñe un observador de estado de orden completo que asigne

los valores propios y , al sistema.131 j 132 j

ux

x

x

x

1

0

23

11

2

1

2

1

2

101x

xy

Ejemplo 8:

Solución:

Una de las formas más sencillas de encontrar el vector de

observación es igualar la ecuación característica del sistema

original con el observador de estado con la ecuación

característica de los valores propios deseados:

Paso 1. Verificar observabilidad

11

01

AC

C O ¿rango pleno?...por lo tanto es…

El diseño del observador puede llevarse a cabo.

Paso 2. Obtención del vector Ke

Se iguala:

)()( eak

)13)(13())(det( jjCKAI e

1060123

11

0

0det 2

2

1

e

e

K

K

10623

11det 2

2

1

e

e

k

k

106)52()1( 2

121

2 eee kkk

se igualan los coeficientes del mismo orden

611 ek 1052 21 ee kk

y se obtiene el vector de realimentación

29

7eK

La ecuación para el observador de orden completo

yux

x

x

x

29

7

1

0~

~

23

11

~

~

2

1

2

1

Utilizando la fórmula de Ackermann, diseñe un observador de

estado que asigne los valores propios ,

y al sistema.

141 j

63

u

x

x

x

x

x

x

2

10

312

254

221

3

2

1

3

2

1

.121

3

2

1

x

x

x

y

Ejemplo 7:

142 j

Paso 1. Verificar observabilidad

0250)det( O

por lo tanto el sistema es …

Solución:

412849

397

121

2CA

AC

C

O

Paso 2. Obtención del vector K, utilizando la fórmula de

Ackerman

1

0

0

)(

1

CA

AC

C

1-n

AKe

la matriz inversa de observabilidad es

50

1

25

7

50

4925

1

25

9

25

1450

3

25

11

50

57

1O

50

1

25

1

50

3

1

0

01O

por otra parte, el polinomio característico deseado es

)6)(14)(14()( jj

1026514 23

entonces

IAAAA 1026514)( 23

468312164

624632788

16439474

)(A

por último, el vector K, queda:

50

1

25

1

50

3

468312164

624632788

16439474

K

25

324

25

238

25

423

K

1

0

0

)(

1

CA

AC

C

1-n

AKe