Realización óptica de sistemas cuánticos y evaluación de ... · Consideremos la co-propagación...

IF-UNAM 30 de mayo de 2008

Realización óptica de sistemas cuánticos y

evaluación de series divergentes

Héctor M. Moya Cessa

http://speckle.inaoep.mx/ICSSUR/hector_moya.htm


Resumen:

• Realización óptica de un invariante cuántico• Realización óptica de un divisor de haz

“cuántico”• La función de Wigner como herramienta

para evaluar series divergentes.


Gente involucrada

• M. Fernández Guasti (UAM-I)• S. Chávez Cerda• V. Arrizon, • R. Mar Sarao (e. doc.) • Roberto de Jesús León (e. lic. BUAP)• E. Martí Panameño (BUAP)


221 ( ) ,

2qI q qρ ρρ

• • = + −

2 ( ) 0q t q••

+ Ω =

2 3( ) 1/tρ ρ ρ••

+ Ω =

Oscilador armónico dependiente de t, clásico

Invariante de Ermakov-Lewis

Ecuación de Ermakov

Lewis, PRL (1967).

Realización óptica de un invariante cuántico


2^^ ^ ^

21 ( )2

qI p qρ ρρ

• = + −

Compresión y desplazamiento

^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( ) 22i qi q p pq

S e D eρρρ

•

−+= =

Caso cuántico

^ ^ ^| | |S D Tψ ϕ ϕ>= >≡ >

H. Moya-Cessa and M. Fernández GuastiPHYSICS LETTERS A 311, 1 (2003).

^ ^2 2^

2 ( )2 2p qH t= + Ω

G es un invariante si su derivada es cero.


| |i Ht

ψ ψ∂ > = >∂

2 2^ ^^

0 0 2

^ ^

| 1 1| , ( ) ( )( ) 2 2

2

p qi H H t nt t

q i pa

ϕ ϕ ϖρ

∂ > += > = ≡ +∂

+=

Se ha factorizado la dependencia temporal

^ ^ ^| | |S D Tψ ϕ ϕ>= >≡ >


^ ^ 1| ( ) exp ( ) ( ) | (0)2

t T i dt t nψ ϖ ψ >= − + > ∫

Si ρ(0)=1 y su derivada evaluada en cero es cero

^ 1| exp ( ) ( ) | (0)2

i dt t nϕ ϖ ϕ >= − + > ∫

^

^

| (0) (0) | (0)

| (0) (0) | (0) | (0)

T

T

ψ ϕ

ϕ ψ ψ+

>= >

>= >= >


cos[ ( , ) ]A B A B tA B A B

ρ ω≅ ++ +

^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( ) 22i qi q p pq

S e D eρρρ

•

−+= =


Ecuación de onda paraxial

Suponemos ahora dos medios GRIN pegados

GRaded INdex referring to an optical material with refractive index in the form of a parabolic curve, decreasing from the center towards the cladding.


2 2 2 2 2 2 21 1 1 1( , ) ( , ) ( ),k x y k x y x y z Lβ ν µ= = − + <

2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( , ) ( , ) ( ),k x y k x y x y z Lβ ν µ= = − + >


2 2 22 2 2 ( )( ) ( )2 2

yx p z yp z xEi g z Ez

µν + +∂ = − − + ∂

,x yd dp i p idx dy

= − = −

22 1 0

22 0

22 1 0

22 0

21 022 0

( )

( )

( )

z zz

z z

z zz

z z

z zg z

z z

νν

ν

µµµ

ββ

<= > <

= > <

= >

Tomamos unidades tal que =1


2 2 22 2 2 ( )( )2 2

yx p z yp z xiz

µνε ε + +∂ = − − ∂

( )i g z dzE e ε− ∫=

w w wT S D=

2ln ( ) 22 , ,ww

w ww

i wi wp p w

w wS e D e w x yρρρ

•

−+= = =

22 3

2 ( ) 1/xx x

d zdz

ρ ν ρ ρ+ =2

2 32 ( ) 1/y

y y

dz

dzρ

µ ρ ρ+ =


x yTTε ξ=

1 2( 0) ( ) ( )z G x G yε = =

1 22 2

1 1( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( )( ) 2 ( ) 2

x y

x x y ydz dzz T i N G x T i N G y

z zε

ρ ρ

= − + − + ∫ ∫


2

21( ) ( ) , ( ) ( )2 !

x

n n x n nnu x H x e Nu x nu x

n

−= =

222

10

( )( ) exp ( )2 !

n

nn

xG x e u xn

αα α∞−

=

−= − =

∑

Arfken, capítulo de Hermite, problemas


Realización óptica de un divisor de haz (cuántico)


Dividiendo estados en un divisor de haz 50/50


Ecuación paraxial nuevamente

Consideremos la co-propagación de dos haces, uno de prueba y otro, señal, en un medio Kerr. El haz de prueba produce un índice de refracción

Si el haz de prueba, tiene un perfil gaussiano, es astigmático, y ligeramente inclinado, produce un términoxy


1 1 2 0 0 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x u y u x u y u x u y→ +


0

1( ) ( 1) , | | ,n

nW n nα α ρ α

π

∞

=

= − < >∑

Función de Wigner para evaluar series divergentes


Abel: "Divergent series are on the whole devil's work, and it is a shame that one dares to found any proof on them. One can get out of them what one wants if one uses them, and it is they which have made so much unhappiness and so many paradoxes. Can one think of anything more appalling than to say that

where m is a positive number. Here's something to laugh at, friends."


Conclusiones

• Se mostró la realización óptica de sistemas cuánticos, tales como el oscilador cuántico dependiente del tiempo y el divisor de haz cuántico.

• Se usó la función de Wigner como una nueva forma de evaluar series divergentes.

• Apéndice sigue …


Interacción de muchos campos

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