Recapitulare: spatii a neoanacon/depozit/Recapitulare... · 2014. 11. 17. · De nitii echivalente...

De�nitii echivalente ale spatiului a�n. Exemple.Repere a�ne. Coordonate baricentrice.

Subspatii a�neMor�sme a�ne

Recapitulare: spatii a�ne

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Recapitulare: spatii a�ne



Table of Contents

1 De�nitii echivalente ale spatiului a�n. Exemple.

2 Repere a�ne. Coordonate baricentrice.

3 Subspatii a�ne

4 Mor�sme a�ne


De�nitie

De�nition

Un spatiu a�n peste corpul comutativ K este un tripletA =

(X ,−→X ,Φ

)format dintr-o multime nevida X , un spatiu

vectorial−→X peste K si o functie Φ : X × X →

−→X cu proprietatile:

(1) ∃O ∈ X a.i. functia ΦO : X →−→X ,

ΦO(A) = Φ(O,A), ∀A ∈ X , este bijectiva;(2) Φ(A,B) + Φ(B,C ) = Φ(A,C ), ∀A,B,C ∈ X .Elementele lui X se numesc puncte, ale lui

−→X vectori, iar functia Φ

se numeste structura a�na. Numim−→X spatiul liniar director al

spatiului a�n A. Dimensiunea spatiului a�n A este egala, prinde�nitie, cu dimensiunea spatiului sau liniar director.

Se poate demonstra ca daca are loc (1), atunci pentru orice

O ∈ X , functia ΦO : X →−→X este bijectiva.

Exemple

Cel mai simplu exemplu este dat de spatiul a�n geometric.Consider S multimea punctelor spatiului geometric, V spatiul liniarreal al vectorilor liberi si

Φ : S × S → V,

Φ(A,B) =−→AB.

Evident Φ are proprietatile (1) si (2) din de�nitia anterioara.Datorita acestui exemplu notam in general, pentru un spatiu a�n

arbitrar, Φ(A,B) =−→AB.

Observam pentru orice ū ∈ V, Φ−1A

(u) este punctul B unic

determinat de conditia−→AB = u.

Exemple

De asemenea, orice K-spatiu liniar V este spatiu a�n cu spatiulliniar director V si structura a�na data de

Φ : V × V → V ,

Φ(x , y) = y − x , ∀x , y ∈ V .

In particular Kn este K-spatiu a�n.Observatie Va amintiti ca orice doua spatii a�ne de aceeasidimensiune �nita sunt izomorfe, adica exista un mor�sm a�nbijectiv intre spatiile lor de puncte. De aceea spatiul a�n geometriceste izomorf cu R3.

Spatiul liniar tangent TPX

Fie P ∈ X �xat arbitrar.De�nim + : X × X → X si · : K× X → X prin

A + B = Φ−1P

(−→PA +

−→PB), ∀A,B ∈ X ,

αA = Φ−1P

(α−→PA), ∀α ∈ K, ∀A ∈ X .

Theorem

Multimea X impreuna cu legile de compozitie de�nite anterior are o

structura de spatiu liniar peste K si ΦP : X →−→X este izomor�sm

de spatii liniare.

Structura de spatiu liniar a lui X depinde de alegerea lui P , deaceea notam spatiul liniar obtinut cu TPX si il numimvectorializatul lui X in P sau spatiul liniar tangent la X in P .

Spatiul liniar tangent TPXIn caz spatiului geometric observam ca

A + B = C , unde C e unic determinat de−→PA +

−→PB =

−→PC ,

αA = D, unde D e unic determinat de α−→PA =

−→PD.

Adunarea punctelor cu vectori

De�nition

Dat spatiul a�n A =(X ,−→X ,Φ

), de�nim o operatie de adunare a

punctelor cu vectori prin

+ : X ×−→X → X

P + ū = Φ−1P

(ū).

Theorem

Operatia de�nita anterioar are urmatoarele proprietati:

(1) A + (u + v) = (A + u) + v , ∀A ∈ X , u, v ∈−→X ;

(2) A + 0 = A ∀A ∈ X ;(3) ∀A,B ∈ X ∃!v ∈

−→X a.i . B = A + v .

Observam ca putem de�ni un spatiu a�n ca un triplet

A =(X ,−→X ,+

), cu + : X ×

−→X → X o lege de compozitie ce are

proprietatile (1),(2),(3) din teorema anterioara.

Atunci, consideram Φ : X × X →−→X , de�nita prin Φ(A,B) = ū

unic determinat de conditia A + ū = B .Se veri�ca faptul ca Φ este o structura a�na pe X .

Actiuni de grupuri

Fie G un grup si X o multime nevida.Numim substitutie a lui X o functie bijectiva f : X → X . Multimeasubstitutiilor lui X are structura de grup in raport cu compunereafunctiilor si se noteaza cu S(X ).

De�nition

Spunem ca grupul G actioneaza asupra multimii X daca exista unmor�sm de grupuri

ϕ : G → S(X ).

Mor�smul ϕ se numeste G -actiune pe X si notamϕ(g)(x) := gx , ∀x ∈ X , ∀g ∈ G .

Notam (G ,X , ϕ) elementele ce determina actiunea unui grup G pemultimea X .



Exemple

(1) Fie V un spatiu liniar real de dimensiune �nita siG = Gl(V ) = {f : V → V | f − izomor�sm liniar} grupul liniar allui V . Atunci Gl(V ) actioneaza asupra lui V prin

ϕ : Gl(V )→ S(V ), ϕ(f ) = f , ∀f ∈ Gl(V ).

(2) Daca V este un spatiu liniar euclidian de dimensiune �nita, potconsidera grupul endomor�smelor ortogonale ale lui V ,O(V ) = {f : V → V | f − endomor�sm ortogonal}.Amintim ca f : V → V este aplicatie liniara ortogonala daca< f (x̄), f (ȳ) >=< x̄ , ȳ > ∀x̄ , ȳ ∈ V ⇔‖ f (x̄) ‖=‖ x̄ ‖ ∀x̄ ∈ V .Actiunea lui O(V ) asupra lui V este

ϕ : O(V )→ S(V ), ϕ(f ) = f , ∀f ∈ O(V ).


Actiuni de grupuri

De�nition

O actiune (G ,X , ϕ) este �dela daca ϕ este monomor�sm de grupuri⇔ Kerϕ = {e}, unde e este elementul neutru al lui G .

Observam ca ambele exemple anterioare reprezinta actiuni �dele degrupuri.

De�nition

O actiune (G ,X , ϕ) este tranzitiva daca ∀x , y ∈ X ∃g ∈ G astfel incaty = gx . Daca g cu aceasta proprietate este unic, spunem ca actiuneaeste simplu tranzitiva.

Theorem

Daca grupul G este abelian, atunci orice actiune �dela si tranzitiva este

simplu tranzitiva.

Pentru V -spatiu liniar euclidian �nit dimensional, consider actiuneagrupului O(V ) pe multimea X a bazelor ortonormate ale lui V . Deoarecedate doua baze ortonormate exista o singura aplicatie ortogonala cetransforma o baza in cealalta, actiunea este simplu tranzitiva.

De�nitie echivalenta a spatiului a�n

Fie A =(X ,−→X ,Φ

)un K - spatiu a�n. Putem de�ni actiunea

grupului aditiv(−→X ,+

)pe X prin

ϕ :−→X → S(X ), ϕ(ū)(P) = ΦP(ū), ∀ū ∈

−→X , ∀P ∈ X .

In plus aceasta actiune este �dela si simplu tranzitiva.Reciproc, daca se da V un spatiu liniar peste K, o multime nevidaX si (V ,X , ϕ) o actiune �dela si tranzitiva a grupului (V ,+) pe X ,atunci putem de�ni pe X o structura de spatiu a�n avand pe V caspatiu liniar director:

+ : X × V → X , P + ū = ϕ(ū)(P), ∀P ∈ X ∀ū ∈ V .

Combinatie a�na de puncte

Presupunem ca A =(X ,−→X ,Φ

)este un spatiu a�n peste K.

Se numeste combinatie a�na de puncte o expresie de tipul

α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn, cu

n∑i=1

αi = 1, αi ∈ K, ∀i ∈ 1, n.

Conditia∑

n

i=1 αi = 1 este esentiala pentru ca expresia

α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn sa nu depinda de spatiul liniar TPS in

care s-a de�nit.Punctul A = α1A1 + α

2A2 + · · ·+ αnAn se numeste baricentrulsistemului de puncte {A1,A2, · · · ,An} cu ponderile α1, α2, · · · , αn.Daca ponderile sunt egale vorbim de echibaricentru.Fie multimea nevida M ⊂ X .Infasuratoarea (acoperirea/inchiderea) a�na a lui M este multimeatuturor combinatiilor a�ne �nite de puncte din M:

< M >af =

{m∑i=1

αiPi | Pi ∈ M, αi ∈ K,m∑i=1

αi = 1, m ∈ N

}

Puncte a�n (in)dependente

De�nitions

(1) Un sistem de puncte {P1,P2, · · · ,Pn} se numeste a�ndependent daca ∃i ∈ 1, n astfel incat Pi sa �e baricentrul cuanumite ponderi ale celorlalte puncte din sistem.(2) Un sistem �nit de puncte se numeste a�n independent dacacontine un singur punct sau daca nu este a�n dependent .(3) O multime in�nita de puncte S ⊂ X se numeste a�nindependenta daca orice sistem �nit de puncte ale sale este a�nindependent.

Theorem

Sistemul de puncte {P1, · · · ,Pn} este a�n dependent (respectiva�n independent) daca si numai daca sistemul de vectori{−−−→P1P2, · · · ,

−−−→P1Pn

}este liniar dependent (liniar independent).

In acest caz sistemul de puncte{−−→PiP1, · · · ,

−−−−→PiPi−1,

−−−−→PiPi+1, · · · ,

−−→PiPn

}este liniar dependent (liniar

independent), ∀i ∈ 1, n.

Observatii(1) Orice doua puncte a�n independente sunt distincte. Numimsegment un sistem de doua puncte a�n independente.(2) Trei puncte sunt a�n independente daca si numai daca suntnecoliniare. Un sistem de trei puncte a�n independente se numestetriunghi. De asemenea patru puncte sunt a�n independente daca sinumai daca sunt necoplanare. Ele formeaza un tetraedru.

Repere a�ne

De�nition

Presupunem ca dimA = n. Un reper a�n este un sistem de n + 1puncte a�n independente Ra = {A0,A1, · · · ,An} ⊂ X .

Theorem

Daca Ra = {A0,A1, · · · ,An} este un reper a�n in An, atuncioricarui punct P ∈ X i se asociaza in mod unic scalarii αi ∈ K,i ∈ 0, n, cu

∑n

i=1 αi = 1, astfel incat

P = α0A0 + α1A1 + · · ·+ αnAn.

De�nition

Numerele α1, i ∈ 0, n se numesc coordonatele baricentrice ale lui Pin raport cu reperul a�n Ra.

Coordonate a�ne versus coordonate carteziene

Observam ca dat un reper a�n Ra = {A0,A1, · · · ,An} ⊂ X , iiputem asocia un reper cartezian de�nit prin Rc = {A0; ē1, · · · , ēn}cu ēi =

−−−→A0Ai , i ∈ 1, n, adica o multime formata dintr-un punct

�xat A0 numit origine si o baza {ē1, · · · , ēn} in−→X .

Presupunem ca P = α0A0 + α1A1 + · · ·+ αnAn. Vectorializand

aceasta relatie in A0 obtinem

−−→A0P =

n∑i=1

αi−−→A0Ai =

n∑i=1

αi ēi ,

deci P are coordonatele carteziene α1, · · · , αn.

Coordonate a�ne versus coordonate carteziene

Reciproc, presupunem ca se da un reper cartezianRc =

{O; f̄1, · · · , f̄n

}in An si �e punctul P de coordonate

carteziene β1, · · · , βn in raport cu Rc :−→OP =

∑n

i=1 βi f̄i .

De�nim un reper a�n astfel. Consider punctele

Qi = O + f̄i ⇔ f̄i =−−→OQi , i ∈ 1, n.

Atunci Ra = {O,Q1, · · · ,Qn} esre un reper a�n al lui A.Observam ca−→OP =

(1−

∑n

i=1 βi)−→OO +

∑n

i=1 βi−−→OQi ⇔

P =(1−

∑n

i=1 βi)O + β1Q1 + · · ·βnQn.

Deci P are coordonatele baricentrice 1−∑

n

i=1 βi , β1, · · · , βn.

Subspatii a�ne

De�nition


)un spatiu a�n peste K. O submultime Y ⊂ X

se numeste subspatiu a�n al lui X daca Y = ∅ sau daca Y 6= ∅ siexista un subspatiu liniar V al lui

−→X astfel incat Φ(V × V ) ⊂ Y si

(Y ,V ,Φ/V×V ) este un spatiu a�n.

Theorem

(a) Daca Y este subspatiu a�n nevid al lui X atunci pentru orice

punct O ∈ Y multimea{−→OP | P ∈ Y

}este subspatiu liniar al lui

−→X si coincide cu

−→Y . In plus

∀O ∈ Y : Y = O +−→Y =

{O + ū | ū ∈

−→Y}.

(b) Daca ∅ 6= Y ⊂ X si exista O ∈ Y astfel incat{−→OP | P ∈ Y

}este subspatiu liniar al lui

−→X , atunci Y este subspatiu a�n al lui X

si−→Y =

{−→OP | P ∈ Y

}. In plus Y = O +

−→Y .

Teorema de caracterizare a subspatiilor a�ne

Theorem

Fie ∅ 6= Y ⊂ X .(1) Daca CarK 6= 2, Y este subspatiu a�n al lui X daca si numaidaca ∀P,Q ∈ Y , ∀α ∈ K⇒ αP + (1− α)Q ∈ Y .(2) Daca CarK = 2, Y este subspatiu a�n al lui X daca si numaidaca ∀P,Q,R ∈ Y ⇒ 1

3P + 1

3Q + 1

3R ∈ Y .

Corollary

Fie ∅ 6= Y ⊂ X. Atunci Y este subspatiu a�n al lui X daca sinumai daca Y isi contine toate baricentrele cu orice ponderi

⇔ Y =< Y >af .

Din rezultatul anterior rezulta ca infasuratoarea a�na a uneimultimi este un subspatiu a�n.

Dreapta a�na

O dreapta a�na este un subspatiu a�n de dimensiune 1.Fie doua puncte distincte A,B ∈ X . Atunci infasuratoarea a�na amultimii formate din cele doua puncte este e o dreapta a�na.

< AB >:=< A,B >af = {αA + (1− α)B | α ∈ K} = A + [−→AB].

Evident {A,B} este un reper a�n pe dreapta < AB >, iar{A;−→AB}

un reper cartezian.

Dreapta a�na poate � data si printr-un punct al ei si un vectornenul din spatiul sau liniar director

d = A +−→d = A + [a],

unde am notat cu [a] subspatiul liniar generat de vectorul director

a ∈−→d .

Planul a�n

Un plan a�n este un subspatiu a�n de dimensiune 2.Fie A,B,C trei puncte a�n independente.Atunci < ABC >:=< A,B,C >af ={αA + βB + (1− α− β)C | α, β ∈ R} este un plan a�n.{A,B,C} este un reper a�n in planul considerat si

{A;−→AB,−→AC}

este un reper cartezian.Un plan a�n π este unic determinat si de un punct A ∈ π arbitrar�xat si a, b ∈ −→π doi vectori necoliniari.

π = A +−→π = A + [a, b].

Operatii cu subspatii a�ne

Theorem

O intersectie arbitrara de subspatii a�ne este subspatiu a�n. Daca

intersectia este nevida, atunci spatiul sau liniar director este

intersectia spatiilor liniare directoare ale subspatiilor a�ne

considerate.

Fie P un punct arbitrar din intersectia subspatiilor a�neYi ⊂

s.aX , i ∈ I 6= ∅. Atunci

∩i∈I

Yi = P + ∩i∈I

−→Y i .

Se poate demonstra ca infasuratoarea a�na a unei multimi nevideS ⊂ X coincide cu intersectia tuturor subspatiilor a�ne ale lui X cecontin pe S , de aceea utilizam pentru < S >af si denumirea desubspatiu a�n generat de S .

Operatii cu subspatii a�ne

In general, reuniunea a doua spatii a�ne nu este un spatiu a�n.De exemplu, Y1 =

{(x1, x2) ∈ R2 | x1 + x2 = 1

}si

Y2 ={

(x1, x2) ∈ R2 | x1 − x2 = 1}sunt subspatii a�ne ale lui R2.

Fie P = (1, 0) si Q = (2, 1). Observam ca1

2P + 1

2Q = (3

2, 1) /∈ Y1 ∪ Y2, deci Y1 ∪ Y2 nu este subspatiu a�n.

De�nition

Suma a doua subspatii a�ne Y1,Y2 ⊂ X este subspatiul a�ngenerat de reuniunea lor:

Y1 + Y2 =< Y1 ∪ Y2 >af .

Deci Y1 + Y2 este cel mai mic subspatiu a�n (in sensul incluziunii)care contine pe Y1 ∪ Y2.

Teorema dimensiunii

Theorem

Fie Y1,Y2 subspatii a�ne ale lui X , avand spatiile liniare directoare−→Y1 si

−→Y2. Atunci spatiul liniar director al spatiului a�n suma

Y1 + Y2 este

−−−−−→Y1 + Y2 =

{−→Y1 +

−→Y2, Y1 ∩ Y2 6= ∅,−→

Y1 +−→Y2 + [

−−−→O1O2], Y1 ∩ Y2 = ∅,

unde O1 ∈ Y1 si O2 ∈ Y2 sunt doua puncte arbitrar alese.

Observatie. Evidentiem proprietatea urmatoare, utila indemonstrarea a numeroase rezultate.Fie Y1,Y2 subspatii a�ne ale lui X si O1 ∈ Y1, O2 ∈ Y2 douapuncte �xate arbitrar. Atunci

Y1 ∩ Y2 6= ∅ ⇔−−−→O1O2 ∈

−→Y1 +

−→Y2.

Teorema dimensiunii

Theorem

Fie Y1,Y2 subspatii a�ne ale lui X , avand spatiile liniare directoare−→Y1 si

−→Y2. Atunci

dim (Y1 + Y2) =

{dimY1 + dimY2 − dim (Y1 ∩ Y2) , Y1 ∩ Y2 6= ∅,dimY1 + dimY2 − dim

(−→Y1 ∩

−→Y2

)+ 1, Y1 ∩ Y2 = ∅.

Consecinte:

data o dreapta a�na d si un punct A exterior acesteia, spatiul a�nsuma d + {A} este un plan a�n ; generalizare: dat un subspatiu a�nY de dimensiune k

Paralelism a�n

De�nitions

(a) Subspatiile a�ne Y1 si Y2 sunt paralele daca−→Y1 =

−→Y2. Notam

Y1 ‖ Y2.(b) Subspatiile a�ne Y1 si Y2 sunt paralele in sens larg daca

−→Y1 ⊆−→

Y2 sau−→Y2 ⊆

−→Y1. Notam Y1 C Y2.

Observatie:

Relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pe multimeasubspatiilor a�ne ale unui spatiu a�n dat.

Relatia de paralelism in sens larg este o relatie de ordinepartiala pe multimea subspatiilor a�ne ale unui spatiu a�n dat.

Dat Y ⊂s.a

X , Y 6= ∅ si un punct A ∈ X , exista un singursubspatiu a�n al lui X care trece prin A si este paralel cu Y , sianume A + Y .

Pozitiile relative a doua spatii a�ne paralele

Theorem

(1) Daca Y1 ‖ Y2 atunci Y1 = Y2 sau Y1 ∩ Y2 = ∅.(2) Daca Y1 C Y2 atunci Y1 ⊆ Y2 sau Y2 ⊆ Y1 sau Y1 ∩ Y2 = ∅.

Reciproca nu este adevarata, adica exista subspatii a�ne disjunctecare nu sunt paralele, nici paralele in sens larg.In schimb in cazul particular urmator avem o reciproca adevarata.

Theorem

Intr-un spatiu a�n de dimensiune �nita, un subspatiu a�n si un

hiperplan care nu se intersecteaza sunt paralele in sens larg.

Ecuatiile subspatiilor a�ne

Consideram spatiul a�n real A =(X ,−→X ,Φ

)de dimensiune �nita.

Putem scrie ecuatiile unui subspatiu a�n Y = A+−→Y al lui X atunci

cand cunoastem un punct al lui Y si o baza in spatiul liniar director.Exempli�cam metoda doar pe cazurile particulare ale spatiilor a�ne3 si 4 dimensionale.Intr-un spatiu a�n de dimensiune trei, �xam un reper cartezianR = {O, ē1, ē2, ē3}.Consideram d = A +

−→d o dreapta a�na. Presupunem ca A are in

raport cu R vectorul de pozitie r̄0 =−→OA = x1

0ē1 + x

2

0ē2 + x

3

0ē3 si

ā = a1ē1 + a2ē2 + a

3ē3 6= 0̄, ā ∈−→d este un vector director al

dreptei.Fie un punct arbitrar P(r̄) ∈ X de vector de pozitier̄ =−→OP = x1ē1 + x

2ē2 + x3ē3.

Ecuatiile dreptei a�ne in A3

Punctul P apartine dreptei d daca si numai daca vectorul sau depozitie, respectiv coordonatele sale in raport cu R veri�ca unul dinseturile de ecuatii echivalente:

ecuatia vectoriala: r̄ = r̄0 + tā, t ∈ R;

ecuatiile parametrice:

x1 = x1

0+ ta1,

x2 = x20

+ ta2,

x3 = x30

+ ta3, t ∈ R;

ecuatiile canonice:x1−x10a1

=x2−x20a2

=x3−x30a3

;

ecuatiile dreptei ca intersectie de (hiper)plane:{a2x1 − a1x2 + (a1x2

0− a2x1

0) = 0,

a3x2 − a2x3 + (a2x30− a3x2

0) = 0.

Fie dreapta d = A + [ā], cu A(r̄0), r̄0 = 2ē1 − 3ē2 + 5ē3,ā = −4ē1 + 7ē2 − ē3.

Ecuatiile parametrice:

x1 = 2− 4t,x2 = −3 + 7t,x3 = 5− t, t ∈ R;

Ecuatiile canonice:

x1 − 2−4

=x2 + 3

7=

x3 − 5−1

;

Ecuatiile dreptei ca intersectie de plane:{7x1 + 4x2 − 2 = 0,x2 + 7x3 − 32 = 0.

Ecuatiile planului a�n in A3

Fie planul a�n π = A +−→π ce trece prin A(r̄0), cu spatiul liniardirector −→π = [ā1, ā2], ā1, ā2 �ind vectorii unei baze in −→π .In raport cu reperul cartezian R, presupunem car̄0 = x

1

0ē1 + x

2

0ē2 + x

3

0ē3, ā1 = a

1

1ē1 + a

2

1ē2 + a

3

1ē3 6= 0̄,

ā2 = a1

2ē1 + a

2

2ē2 + a

3

2ē3 6= 0̄. Atunci un punct oarecare P ∈ X , ce

are in raport cu R vectorul de pozitie r̄ = x1ē1 + x2ē2 + x3ē3,apartine planului π daca si numai daca vectorul sau de pozitie,respectiv coordonatele sale in raport cu R veri�ca unul din seturilede ecuatii echivalente:

ecuatia vectoriala: r̄ = r̄0 + t1ā1 + t

2ā2, t1, t2 ∈ R;


x1 = x1

0+ t1a1

1+ t2a1

2,

x2 = x20

+ t1a21

+ t2a22,

x3 = x30

+ t1a31

+ t2a32, t1, t2 ∈ R;

ecuatia planului sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣x1 − x1

0a11

a12

x2 − x20

a21

a22

x3 − x30

a31

a32

∣∣∣∣∣∣ = 0;ecuatia generala a planului, obtinuta din dezvoltareadeterminantului anterior dupa prima coloana:

ax1 + bx2 + cx3 + d = 0, a2 + b2 + c2 > 0.

De exemplu, ecuatiile planului π ce trece prin A(1, 2, 3), avandspatiul liniar director −→π = [ā1, ā2], ā1(3,−2, 5), ā2(1,−4, 2) sunt:


x1 = 1 + 3t1 + t2,

x2 = 2− 2t1 − 4t2,x3 = 3 + 5t1 + 2t2, t1, t2 ∈ R;

ecuatia sub forma de determinant:

∣∣∣∣∣∣x1 − 1 3 1x2 − 2 −2 −4x3 − 3 5 2

∣∣∣∣∣∣ = 0;ecuatia generala: 16x1 − x2 − 10x3 + 16 = 0.

Ecuatiile subspatiilor a�ne in A4Sa ne reamintim ecuatiile subspatiilor a�ne intr-un spatiu a�n dedimensiune patru. Consideram reperul cartezianR = {O, ē1, ē2, ē3, ē4}.Fie dreapta d = A + [ā], cu A(2,−1,−3, 5), ā(3,−7, 4,−2).

ecuatia vectoriala: r̄ = r̄0 + tā, t ∈ R;


x1 = 2 + 3t,

x2 = −1− 7t,x3 = −3 + 4t,x4 = 5− 2t, t ∈ R;

ecuatiile canonice: x1−23

= x2+1−7 =

x3+34

= x4−5−2 ;

ecuatiile dreptei ca intersectie de hiperplane:7x1 + 3x2 − 11 = 0,4x2 + 7x3 + 25 = 0,

2x3 + 4x4 − 14 = 0.Observam ca o dreapta intr-un spatiu a�n de dimensiune neste intersectia a n − 1 hiperplane.

Fie 2-planul α = A + [ā1, ā2], cu A(2,−1, 3, 5), ā1(1, 2,−2, 4),ā2(5,−2,−3, 6).

Ecuatia vectoriala: r̄ = r̄A + t1ā1 + t

2ā2, t1, t2 ∈ R;


x1 = 2 + t1 + 5t2,

x2 = −1 + 2t1 − 2t2,x3 = 3− 2t1 − 3t2,x4 = 5 + 4t1 + 6t2;

Ecuatia 2-planului ca intersectie de hiperplane:{2x3 + x4 − 11 = 0,10x1 + 7x2 + 12x3 − 49 = 0.

Observam ca ultimele ecuatii se obtin din cele parametrice prineliminarea parametrilor t1 si t2. In general, un subspatiu dedimensiune p al unui spatiu a�n de dimensiune n esteintersectia a n − p hiperplane.

In sfarsit, consideram un hiperplan −→π = A + [ā1, ā2, ā3], cuA(1, 2, 3, 4), ā1(2,−4, 6,−8), ā2(3,−3, 1,−3), ā3(−1, 2,−3, 5).

Ecuatia vectoriala: r̄ = r̄0 + t1ā1 + t

2ā2 + t3ā3, t

1, t2, t3 ∈ R;


x1 = 1 + 2t1 + 3t2 − t3,x2 = 2− 4t1 − 3t2 + 2t3,x3 = 3 + 6t1 + t2 − 3t3,x4 = 4− 8t1 − 3t2 + 5t3;

Ecuatia sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − 1 2 3 −1x2 − 2 −4 −3 2x3 − 3 6 1 −3x4 − 4 −8 −3 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0;Ecuatia generala: 7x1 + 8x2 + 3x3 − 18x4 + 30 = 0.

Mor�sme a�ne

Fie A1 =(X ,−→X ,Φ1

)si A2 =

(Y ,−→Y ,Φ2

)doua spatii a�ne peste

acelasi corp comutativ K.Data o functie f : X → Y , ii putem asocia intotdeauna o functie−→f :−→X →

−→Y , numita urma lui f , in modul urmator.

Fixam un punct O ∈ X arbitrar.Pentru orice ū ∈

−→X ⇒ ∃!A ∈ X a.i. ū =

−→OA. De�nim−→

f (ū) =−−−−−−→f (O)f (A) ∈

−→Y . Aceasta de�nitie depinde de alegerea lui

O.

De�nition

Aplicatia f : X → Y este aplicatie a�na (mor�sm a�n) daca∃O ∈ X a.i. urma lui f sa �e aplicatie liniara.

Pentru orice aplicatie a�na f , urma sa−→f :−→X →

−→Y mai este numita si

aplicatia liniara asociata lui f .Observam ca pentru o aplicatie a�na, de�nitia urmei este independentade alegerea lui O. Fie O ′ 6= O. Atunci, daca−→f (−−→O ′B) =

−→f (−→OB −

−−→OO ′) =

−→f (−→OB)−

−→f (−−→OO ′) =

−−−−−−→f (O)f (B)−

−−−−−−−→f (O)f (O ′) =

−−−−−−−→f (O ′)f (B), pentru orice B ∈ X .

Exemple de mor�sme a�ne

Deci pentru f : X → Y mor�sm a�n, exista−→f :−→X →

−→Y

aplicatie liniara a.i.

−→f (−→AB) =

−−−−−−→f (A)f (B), ∀A,B ∈ X ⇔ f (A+ū) = f (A)+

−→f (ū), ∀A ∈ X , ∀ū ∈

−→X .

Nu exista o corespondenta biunivoca intre multimea aplicatiilora�ne si multimea aplicatiilor liniare, deoarece exista mor�sme a�nediferite cu aceeasi urma.Ca exemplu putem concidera doua aplicatii constante diferite:

f1, f2 : X → X , f1(A) = P, f2(A) = Q, ∀A ∈ X ,

unde P,Q sunt doua puncte distincte �xate in X .

Se deduce imediat ca−→f1 ,−→f2 :−→X →

−→X sunt ambele aplicatii nule:−→

f1 (ū) =−→f2 (ū) = 0̄, ∀ū ∈

−→X .

Am gasit astfel si un prim exemplu de mor�sm a�n, aplicatiaconstanta. Demonstrati ca daca un mor�sm a�n f are urma egalacu aplicatia nula, atunci f este o plicatie constanta.

Theorem

O aplicatie a�na este unic determinata de urma sa si de o pereche

de puncte corespondente.

Data aplicatia liniara−→f :−→X →

−→Y si punctele O ∈ X , O ′ ∈ Y ,

atunci exista o unica aplicatie a�na f : X → Y astfel incat urmalui f este

−→f si f (O) = O ′.

Existenta: de�nim f : X → Y prin f (A) = O ′ +−→f (−→OA), ∀A ∈ X .

Rezulta ca urma lui f este−→f , iar cum aceasta este liniara rezulta

ca f este mor�sm a�n. Mai mult f (O) = O ′.Unicitatea lui f cu proprietatea din enuntul teoremei sedemonstreaza prin reducere la absurd.

Teorema de caracterizare a mor�smelor a�ne

Theorem

Fie A1 =(X1,−→X1,Φ1

)si A2 =

(X2,−→X2,Φ2

)doua K-spatii a�ne.

O conditie necesara si su�cienta ca aplicatia f : X1 → X2 sa �emor�sm a�n este:

(1) daca CarK 6= 2 : f (αA + (1− α)B) =αf (A) + (1− α)f (B), ∀A,B ∈ X1, ∀α ∈ K;(2) daca

CarK = 2: f (A + B + C ) = f (A) + f (B) + f (C ), ∀A,B,C ∈ X1.

Consecinta:

Orice mor�sm a�n transforma puncte coliniare in punctecoliniare si pastreaza raportul simplu a trei puncte coliniare.

Legatura mor�sme a�ne - subspatii a�ne

Orice mor�sm a�n transforma subspatii a�ne in subspatiia�ne. Mai exact, daca f : X → Z este mor�sm a�n si Y ⊂ Xeste un subspatiu a�n, atunci

−−−→f (Y ) =

−→f (−→Y ). In particular

Imf este subspatiu a�n.

Contraimaginea oricarui subspatiu a�n printr-un mor�sm a�neste un subspatiu a�n. In particular Kerf este subspatiu a�n.Mai exact, daca f : X → Z este mor�sm a�n si Y ⊂ Z esteun subspatiu a�n, atunci

−−−−→f −1(Y ) =

(−→f)−1

(−→Y ), daca

f −1(Y ) 6= ∅.Orice mor�sm a�n transforma subspatii a�ne paralele insubspatii a�ne paralele.

Doua spatii a�ne �nit dimensionale sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.

Translatii

De�nition


)un K-spatiu a�n si ū ∈

−→X . Translatia de

vector ū este aplicatia de�nita prin

tū : X → X , tū(P) = P + ū, ∀u ∈ X

tū(P) = Q ⇔−→PQ = ū.

Translatii

Theorem

Orice translatie a spatiului a�n A =(X ,−→X ,Φ

)este un mor�sm

a�n cu urma egala cu aplicatia identica pe−→X .

Reciproc, orice mor�sm a�n cu urma egala cu aplicatia identica pe−→X este o translatie.

O proprietate des folosita in aplicatiile legate de translatii esteurmatoarea:

−−−−→Ptū(P) = ū, ∀P ∈ X ⇔

−−−−−−−→tū(P)tū(Q) =

−→PQ, ∀P,Q ∈ X .

Observam ca t0̄este IdX .

Omotetii

De�nition

Fie spatiul a�n A =(X ,−→X ,Φ

), punctul O ∈ X si λ ∈ K∗. Omotetia de

centru O si raport λ este aplicatia de�nita prin

hO,λ : X → X , hO,λ(A) = O + λ−→OA, ∀A ∈ X ,

−−−−−−→OhO,λ(A) = λ

−→OA, ∀A ∈ X ,

hO,λ(A) = (1− λ)O + λA, ∀A ∈ X .

Observam ca omotetia de centru O si raport 1 coincide cu aplicatiaidentitate pe X .Se poate demonstra ca orice omotetie proprie (diferita de IdX ) are ununic punct �x, si anume centrul omotetiei.

Omotetii

Omotetii

Theorem

Omotetia de centru O si raport λ este un mor�sm a�n cu urma

egala cu omotetia vectoriala hλ :−→X →

−→X , hλ(ū) = λū, ∀ū ∈

−→X .

Reciproc, orice mor�sm a�n f cu urma egala cu omotetia vectoriala

hλ, λ 6= 0, λ 6= 1, este o omotetie de raport λ. In plus centrulomotetiei este unic determinat.

−−−−−−−−−−−→hO,λ(A)hO,λ(B) = λ

−→AB, ∀A,B ∈ X

hO,λ(A + ū) = hO,λ(A) + λū, ∀A ∈ X , ∀ū ∈−→X .

Proiectii a�ne


)peste K si Y 6= ∅ un subspatiu a�n

al lui A. Fie V ⊂−→X astfel incat

−→X =

−→Y ⊕ V . Atunci, pentru

�ecare A ∈ X exista un singur subspatiu a�n al lui X ce trece prinA si are spatiul liniar director V : YA = A + V . Se stie caintersectia dintre Y si YA este formata dintr-un singur punct.Aceste consideratii ne permit de�nirea urmatoarei aplicatii.

De�nition

Proiectia a�na a spatiului a�n X pe subspatiul a�n Y , paralela cuV , este aplicatia de�nita prin

p : X → Y ⊂ X , p(A) = punctul dat de Y ∩ YA, ∀A ∈ X .

Proiectii a�ne

Proiectii a�ne

Theorem

Proiectie a�na p : X → X a lui X pe Y , paralela cu V , este unmor�sm a�n idempotent (p2 = p ◦ p = IdX ), urma acestuia �indproiectia vectoriala a spatiului liniar

−→X pe

−→Y , paralela cu V .

Orice mor�sm a�n idempotent f : X → X este proiectia a�na a luiX pe Imf , paralela cu Ker

−→f .

Simetrii a�ne


)peste K si Y 6= ∅ un subspatiu a�n

al lui A. Fie V ⊂−→X astfel incat

−→X =

−→Y ⊕ V . Pentru �ecare

A ∈ X , consideram p(A) ∈ Y proiectia a�na a lui A pe Y , paralelacu V . Deoarece

−−−→Ap(A) ∈ V si A ∈ YA = A + V , rezulta ca exista

un unic punct notat s(A) ∈ YA astfel incat−−−→Ap(A) =

−−−−−−→p(A)s(A).

De�nition

Simetria spatiului a�n X fata de subspatiul a�n Y , paralela cu Veste aplicatia s : X → X care asociaza �ecarui punct A ∈ Xpunctul s(A) unic determinat ca mai sus.

Observam ca s = 2p − IdX .

Simetrii a�ne

Simetrii a�ne

Theorem

Simetria a�na a lui X fata de Y , paralela cu V este un mor�sm

a�n involutiv, avand urma egala cu simetria vectoriala a lui−→X fata

de−→Y , paralela cu V .

Reciproc, orice mor�sm a�n involutiv f : X → X este simetriaa�na a lui X fata de subspatiul a�n format din toate punctele �xe

ale lui f , paralela cu Ker(−→f + Id−→

X).

Grupul a�n

Theorem

Multimea automor�smelor a�ne (mor�sme a�ne bijective) ale unui

spatiu a�n X are structura de grup in raport cu compunerea

functiilor, numit grupul a�n al lui X si notat cu GA(X ). Grupulautomor�smelor a�ne ale lui X care au un punct �x este izomorf cu

grupul Gl(−→X ) al izomor�smelor liniare ale lui

−→X . Izomor�smul este

aplicatia ce asociaza �ecarui mor�sm a�n urma sa.

Acest rezultat rezulta din:

compunerea a doua mor�sme a�ne f : X → Y si g : Y → Z esteun mor�sm a�n g ◦ f : X → Z cu urma egala cu compunereaurmelor celor doua mor�sme a�ne:

−−→g ◦ f = −→g ◦

−→f ;

un mor�sm a�n este injectiv (respectiv surjectiv/bijectiv) daca sinumai daca urma sa este injectiva (respectiv surjectiva/bijectiva);

daca f : X → Y este izomor�sm a�n atunci f −1 : Y → X estemor�sm a�n cu urma

(−→f)−1

.

Subgrupuri importante ale grupului a�n

Theorem

Multimea translatiilor T (X ) ale unui spatiu a�n X are structura degrup abelian in raport cu compunerea functiilor, grup izomorf cu(−→X ,+

). Mai mult T (X ) este divizor normal al lui GA(X ).

tū ◦ tw̄ = tw̄+ū, ∀ū, v̄ ∈−→X .

t0̄

= Id−→X, (tū)

−1 = t−ū, ∀ū ∈−→X .

Theorem

Multimea HO(X ) a omotetiilor de acelasi centru O ale spatiuluia�n X are structura de grup abelian in raport cu compunerea

functiilor, grup izomorf cu (K∗, ·).

hO,α ◦ hO,β = hO,βα, ∀α, β ∈ K∗.

hO,1 = IdX , h−1O,α = hO,α−1 , ∀α ∈ K

∗.

Dilatari

De�nition

Se numeste dilatare a unui spatiu a�n un mor�sm a�n care este �etranslatie �e omotetie.

Theorem

Multimea dilatarilor unui spatiu a�n Dil(X ) este subgrup algrupului a�n.

Compunerea dintre doua omotetii de centre diferite este o omotetie(cand produsul rapoartelor omotetiilor este diferit de 1) sau otranslatie (cand produsul rapoartelor omotetiilor este egal cu 1).

Compunerea dintre o omotetie si o translatie este o omotetie.

Theorem

Fie X un K-spatiu a�n de dimensiune ≥ 2 si f : X → X o bijectie.Atunci f este dilatare a lui X daca si numai daca f transforma orice

dreapta a�na δ a lui X intr-o dreapta a�na paralela cu δ.



Ecuatiile unui mor�sm a�n

Theorem

Fie X n,Ym doua K-spatii a�ne �nit dimensionale. Aplicatiaf : X → Y este mor�sm a�n daca si numai daca exista reperelecarteziene R1 = {O;B} si R2 = {O ′;B′} in X , respectiv Y astfelincat ecuatiile lui f in raport cu cele doua repere sa �e de forma

Y = AX + B, A ∈Mm,n(K), B ∈Mm,1(K),

unde X e matricea coloana a coordonatelor unui punct arbitrar

P ∈ X in raport cu reperul R1 iar Y este matricea coloana acoordonatelor punctului f (P) in raport cu reperul R2.




Ecuatiile unui mor�sm a�n

In particular, �e R = {O; ē1, · · · , ēn} un reper in X n, punctulΩ(x1

0, · · · , xn

0) si vectorul ū = u1ē1 + · · ·+ unēn.

Ecuatiile translatiei de vector ū in raport cu R sunty1 = x1 + u1,

y2 = x2 + u2,

· · · · · ·yn = xn + un.

Ecuatiile omotetiei de centru Ω si raport λ sunty1 = λx1 + (1− λ)x1

0,

y2 = λx2 + (1− λ)x20,

· · · · · ·yn = λxn + (1− λ)xn

0.


Definitii echivalente ale spatiului afin. Exemple.Repere afine. Coordonate baricentrice.Subspatii afineMorfisme afine

Recapitulare: spatii a neoanacon/depozit/Recapitulare... · 2014. 11. 17. · De nitii echivalente...

Documents

Transcript of Recapitulare: spatii a neoanacon/depozit/Recapitulare... · 2014. 11. 17. · De nitii echivalente...