Reconstrucción del precio interno diario del café Colombiano a...

Reconstrucción del precio interno diario del café Colombiano apartir de un sistema de funciones iteradas sintonizado por un

algoritmo de evolución diferencial

Dayana Katherine Torres Hende

Universidad Distrital Francisco José de CaldasFacultad de Ingeniería

Proyecto Curricular de Ingeniería Electrónica

Bogotá D.C.

2019

Reconstrucción del precio interno diario del café Colombiano apartir de un sistema de funciones iteradas sintonizado por un

algoritmo de evolución diferencial

Dayana Katherine Torres Hende

Trabajo de grado para optar al título de:Ingeniero Electrónico en la modalidad de monografía

Director:Dr.Ing.Miguel Melgarejo

Grupo de Investigación:Laboratorio de Automática e Inteligencia Computacional

Universidad Distrital Francisco José de CaldasFacultad de Ingeniería

Proyecto Curricular de Ingeniería ElectrónicaBogotá D.C.

2019

“No desesperes, ni siquiera por el hecho de queno desesperas. Cuando todo parece terminado,surgen nuevas fuerzas. Esto significa que vives”

Franz Kafka

Agradecimientos

A mi familia gracias, por ser mi motivación, mi razón de sonreir cada día, su amor y com-prensión me han llenado de valentía, son el motor de mi vida.

Al profesor Miguel gracias, por la oportunidad brindada, el tiempo dedicado, además porser una gran inspiración para el desarrollo de este trabajo, gracias a usted he logrado másconfianza en mi misma.

A Karen y Angie, por el apoyo que me han dado durante todos estos años, por su entusiasmoque no me dejó caer, espero que esta experiencia también sea muy enriquecedora para ustedes.

A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y a los amigos que hice en ella, graciaspor esta experiencia, en la cual he ampliado mi percepción de la vida, por todos los momentosvividos que han forjado parte de mí, por ser mi segundo hogar.

A todos gracias.

Contenido

1. Generalidades 101.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Solución Propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Contenido del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Marco referencial 142.1. Trabajo previo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Herramientas para el análisis lineal y no lineal de señales . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1.1. Espectro de densidad de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Información mutua promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3. Diagrama de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4. Falsos vecinos cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.5. Coeficiente de Lyapunov: Método de Rosenstein . . . . . . . . . . . . 172.2.6. Exponente de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.7. Exponentes de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Sistemas de funciones iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1. Interpolación Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Análisis de señal 233.1. Descripción de la base de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Análisis lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1. Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2. Autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3. Espectro de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Análisis no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.1. Información Mutua Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2. Dimensión de empotramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 CONTENIDO

3.3.3. Estimación del máximo exponente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . 283.4. Estadísticos adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4.1. Exponente de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2. Exponentes locales de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Mecanismo de reconstrucción de la serie de tiempo 324.1. Sistema de funciones iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. Estimación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Algoritmo de búsqueda 375.1. Algoritmo de evolución diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Función objetivo seleccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1. Primera función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2. Segunda función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6. Resultados Obtenidos 426.1. Primer juego de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2. Segundo juego de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3. Tercer juego de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4. Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. Conclusiones 61

A. Ensemble Forecasting 63A.1. Diagrama de cajas y bigotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.2. Variación de la condición inicial y con los parámetros del SFI fijos . . . . . . 65A.3. Variación de los parámetros del SFI con la condición inicial fija . . . . . . . . 65

Índice de figuras

1-1. Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2-1. Serie de tiempo para el precio del café . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142-2. Resultado obtenido después de evaluar el sistema con el 100 % de la base de

datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152-3. Transformaciones elementales en el plano euclidiano (a)Traslación (b) Rota-

ción (c) Simetría (d) Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212-4. Gráfica de una función de interpolación lineal f(x). Tomado de [1] . . . . . . 22

3-1. Serie de tiempo correspondiente al precio interno diario del café Colombiano 233-2. Señal del precio del café en diferentes ventanas de tiempo . . . . . . . . . . . 243-3. Histograma correspondiente al precio interno diario del café Colombiano . . . 253-4. Autocorrelación de la señal correspondiente al precio del café Colombiano . . 253-5. Espectro de potencia y su regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263-6. Información mutua promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273-7. Cálculo de la dimensión a partir del algoritmo de los falsos vecinos más cercanos 283-8. Diagrama de fase en 2 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283-9. Exponentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293-10.Coeficiente de Hurst a partir del análisis de rango reescalado . . . . . . . . . 293-11.Exponentes locales de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4-1. Programa para generar una función de interpolación fractal . . . . . . . . . 344-2. Selección puntos para el Sistema de Funciones Iteradas . . . . . . . . . . . . 354-3. Coordenadas x,y para la construcción del Sistema de Funciones Iteradas . . . 354-4. Señal obtenida a partir de diferentes factores de escala . . . . . . . . . . . . 36

5-1. Construcción vector mutado −→ui =−→zr1 + F (−→zr2 −−→zr3) . . . . . . . . . . . . . 38

6-1. Primer cruce por cero autocorrelación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446-2. Espectro de potencia y su regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446-3. Exponentes de Hölder para la serie de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8 ÍNDICE DE FIGURAS

6-4. (a) Error vs Número de generaciones (b) Histograma del error de cada expe-rimento en la última generación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6-5. Señales obtenidas del juego de experimentos comparadas con la serie del preciodel café Colombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6-6. (a) Fobj vs Número de generaciones (b) Histograma de Fobj . . . . . . . . . . 506-7. Señales obtenidas del juego de experimentos comparadas con la serie del precio

del café Colombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516-8. (a) Fobj vs Número de generaciones (b) Histograma de Fobj . . . . . . . . . . 546-9. Señales obtenidas del juego de experimentos comparadas con la serie del precio

del café Colombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556-10.Mejor solución de toda la etapa de experimentación . . . . . . . . . . . . . . 586-11.Exponentes de Hölder para la serie de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 596-12.Comparación de la serie de tiempo con las soluciones 1, 2 y 3 . . . . . . . . . 60

A-1. Ensemble Forecast. Tomado de [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A-2. Diagrama de cajas y bigotes. Tomado de [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A-3. Ensemble forecasting para las 40 mejores soluciones. Año 2018 . . . . . . . . 64A-4. Diagrama de cajas para las 40 mejores soluciones (Año 2018) (a)Confición

inicial variable y parámetros fijos (b) Condición inicial fija y parámetros variables 66

Índice de tablas

5-1. Parámetros algoritmo ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6-1. Parámetros definidos para el primer juego de experimentos . . . . . . . . . . 466-2. Función objetivo descompuesta para las cinco mejores soluciones . . . . . . . 486-3. Estadísticos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496-4. Estadísticos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496-5. Análisis fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496-6. Parámetros definidos para el segundo juego de experimentos . . . . . . . . . 506-7. Función objetivo descompuesta para las cinco mejores soluciones . . . . . . . 526-8. Estadísticos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536-9. Estadísticos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536-10.Análisis fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536-11.Parámetros del Algoritmo ED definidos para el tercer juego de experimentos 546-12.Función objetivo descompuesta para las cinco mejores soluciones . . . . . . . 566-13.Estadísticos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576-14.Estadísticos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576-15.Análisis fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576-16.Valores en los vectores x,y para la construcción de la mejor solución obtenida 586-17.Parámetros x,y de la mejor solución obtenida en los tres juegos de experimentos 60

Capítulo 1

Generalidades

1.1. Planteamiento del problemaEl café ha sido considerado como el producto bandera de Colombia desde el sigo XIX[4]. De-bido a las condiciones climáticas del país, Colombia es capaz de ofrecer café al mercado demanera permanente [5].El precio del café se ha caracterizado por presentar fluctuaciones conel paso del tiempo, las cuales han sido asociadas a diferentes factores como las condicionesclimáticas del país, cambios en el mercado y acuerdos internacionales[6].Se han desarrolladodiferentes modelos con el fin de describir su comportamiento[7],[4],[6].

En la literatura se ha propuesto analizar la serie de tiempo del precio del café, con el finde obtener herramientas para el manejo de la política cafetera.En [7] se realiza el siguientecuestionamiento:

¿Puede explicarse el precio del café como un modelo econométrico no lineal?

Esta discusión es justificada a partir de la volatilidad que presenta la serie de tiempo delprecio del café.Sin embargo, se menciona que identificar la fuente de sus fluctuaciones es unproceso complicado.

El precio del café también ha sido modelado a partir de redes neuronales [4],[6], en lascuales gracias a sus características permiten la predicción de la serie de tiempo mencionada,y a diferencia de los modelos econométricos tradicionales que buscan ajustar los datos a unmodelo,las redes neuronales fabrican un modelo que se ajusta a los datos[6].

No obstante, los modelos que se han obtenido previamente no permiten una visión másallá que explique el comportamiento del precio del café, aunque esta pueda ser representadacomo la correlación de diferentes entradas exógenas, no puede asegurarse del todo que seanestas las verdaderas causantes de dicho comportamiento.

1.2 Objetivos 11

El comportamiento de la señal del precio del café Colombiano podría observarse como elde una señal caótica[8].Aunque en trabajos previos se ha mencionado la percepción de estaseñal a partir de la teoría del caos [7], no se ha observado una profundización de ello.

Además, la autora del presente trabajo junto a las dos coautoras desarrollaron un mode-lo a partir de sistemas de inferencia difusos para modelar el precio del café Colombiano, conel cual observan que se puede obtener un resultado más cercano al esperado si se posee unabase de datos mayor, y aunque el número de reglas utilizado sea bajo, estas pueden no serinterpretables.[9]

Existen diferentes métodos para la descripción del comportamiento de las señales caóticas[8,10] .Este trabajo pretende abordar los sistemas de funciones iteradas y fractales[10]. Inicial-mente se cuestionaría la relación entre los fractales y el caos,pero debe tenerse en cuenta quemuchos fenómenos caóticos exhiben estructuras fractales, un claro ejemplo de esto son losatractores extraños.[11]

Los sistemas de funciones iteradas han sido utilizados para simular variedad de registrosgeofísicos [10], y se ha mencionado que la ventaja de este enfoque recae en la capacidad paracodificar conjuntos de datos complejos.

Por lo tanto,surge un interrogante el cual se busca avanzar en su solución a partir de es-te trabajo :

¿Cómo sería un modelo que describa la dinámica diaria del precio del café Colombiano apartir de sistemas de funciones iteradas?

El análisis de la señal del café a partir de la temática mencionada anteriormente permi-tiría abarcar con mayor detalle su comportamiento, con el fin de obtener un modelo que nosolo se ajuste a los datos sino que pueda generar una herramienta que ayude en la mejorade las políticas cafeteras, además de incentivar al estudio del café.

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo general

Diseñar un sistema de funciones iteradas sintonizado por medio de un algoritmo deevolución diferencial el cual recree el comportamiento del precio diario del café Colombiano.

12 1 Generalidades

1.2.2. Objetivos específicos

Realizar el procesamiento y el análisis de la serie de tiempo correspondiente al preciodiario del café Colombiano y determinar los estadísticos a utilizar.

Implementar un sistema de funciones iteradas como mecanismo de recreación de laserie de tiempo del precio del café Colombiano.

Ajustar los parámetros del mecanismo de recreación a partir de un algoritmo de evo-lución diferencial con el fin de representar la dinámica del precio del café Colombiano.

Realizar la validación del mecanismo obtenido a partir de simulaciones.

1.3. Solución Propuesta

El trabajo pretende construir un modelo que sea capaz de recrear la dinámica del preciodel café Colombiano a una escala diaria y además sea posible explicar el porqué de estecomportamiento y a que parámetros se le atribuye.

En la figura 1-1 se muestra el diagrama de bloques que describe el proceso para la re-construcción de la señal del precio del café Colombiano:

Figura 1-1: Diagrama de bloques

Inicialmente se realiza el procesamiento de los datos, a partir de su análisis lineal y no lineal,estos datos ingresan al algoritmo de evolución diferencial, el cual sintoniza los parámetrospara el mecanismo elegido (Sistema de funciones iteradas) y reconstruye la señal del preciointerno diario del café Colombiano la cual se compara con la base de datos.A partir de dichacomparación se aplica la función objetivo construida. Como puede observarse este procesoes descrito como un sistema de control.

1.4 Contenido del libro 13

1.4. Contenido del libroEn el capítulo dos se encuentran los conceptos necesarios para el entendimiento del proyecto,como los sistemas de funciones iteradas y los algoritmos de evolución diferencial.En el tercer capítulo se describe el procesamiento y análisis de los datos. Para esto se presentala serie de tiempo correspondiente y los resultados obtenidos en el análisis lineal y no lineal.

En el capítulo cuatro se presenta el mecanismo de reconstrucción de la serie de tiempo,correspondiente al Sistema de Funciones Iteradas, en el cual se describen los parámetrosque construyen el sistema y como se estiman dichos parámetros. Estos parámetros son sin-tonizados a partir de un algoritmo evolutivo, el seleccionado es el algoritmo de evolucióndiferencial el cual se muestra en el capítulo cinco, explicando en que consiste, el algoritmopara su ejecución y la función objetivo para este.

En el capítulo seis se encuentra el protocolo de experimentación junto a sus resultados, laconfrontación de estos frente a la serie de tiempo y la selección de la mejor solución. En elcapítulo siete se dan las conclusiones de todo el trabajo y se dejan interrogantes para trabajofuturo.

Capítulo 2

Marco referencial

En este capítulo se mencionan los conceptos utilizados para abordar el interrogante que sepretende resolver en este trabajo, dando ejemplos de cada uno de estos. Se presenta el trabajoprevio con el cual se indaga sobre la serie de tiempo a partir de sistemas de inferencia difusos,luego se trata sobre el mecanismo de reconstrucción de la señal, el algoritmo que calibrarálos parámetros de dicho mecanismo y las herramientas para el análisis de la señal.

2.1. Trabajo previo

La base de datos correspondiente al precio mensual del café Colombiano proviene del Centrode estudios Latinoamericanos (CESLA) de la Universidad Autónoma de Madrid, la cualcomprende los precios desde enero de 1995 hasta diciembre de 2016 expresados en USD, lacual se observa en la figura 2.1.

Figura 2-1: Serie de tiempo para el precio del café

2.2 Herramientas para el análisis lineal y no lineal de señales 15

En este trabajo se presentaron cuatro métodos para diseñar los sistemas de inferencia di-fusos(conocimiento empírico del problema, algoritmo genético, coevolutivo y el algoritmoestocástico Hill climbing). El mejor sistema se obtuvo del cuarto método, el cual se caracte-riza por tener el menor número de reglas, y un valor de MSE y RMSE bajos. En la figura2-2 se presenta el resultado al evaluar el sistema con el 100 % de la base de datos:

Figura 2-2: Resultado obtenido después de evaluar el sistema con el 100 % de la base dedatos

2.2. Herramientas para el análisis lineal y no lineal deseñales

2.2.1. AutocorrelaciónLa función de autocorrelación o correlación cruzada de una señal consigo misma es unaherramienta estadística utilizada frecuentemente para encontrar patrones repetitivos dentrode una señal, de esta forma, se puede saber si la señal presenta periodicidad o memoria lineal.

Esta función mide la correlación entre yn y yn+k, donde yn representa un proceso estocástico. De acuerdo con [12] la autocorrelación para un retraso k es el que se muestra en la ecuación2-1.[13]

rk =ckc0

(2-1)

ck =1

N

N−k∑n=1

(yt − y)(yn+k − y) (2-2)

Dónde:

16 2 Marco referencial

y es el valor esperado de y.

N es el número de muestras de la serie.

c0 es la varianza muestral de la señal.

2.2.1.1. Espectro de densidad de potencia

El espectro de densidad de potencia de una señal es una función matemática que indicacómo está distribuida la potencia o la energía de dicha señal sobre las distintas frecuenciasde las que está formada, también puede dar indicios sobre si se está tratando con una señalque posee características de algún tipo de ruido.

En este trabajo se hace uso de la aplicación del algoritmo para realizar la transformadarápida de Fourier con el fin de estimar el espectro de densidad de potencia de una señal.Para una señal X con longitud n, la transformada de Fourier está definida en la ecuación2-3.

X(f) =n∑

j=1

X(j)W (j−1)(k−1)n (2-3)

dónde:

Wn = e−2πi

n (2-4)

y representa una de las n raíces de la unidad.

2.2.2. Información mutua promedioPara encontrar el retardo de tiempo para empotrar una serie de tiempo unidimensional,Fraser y Swinney(1986) desarrollaron un método para encontrar coordenadas de retardo detiempo tan independientes entre sí como sea posible, cuantificaron esta dependencia comola información mutua entre la serie de tiempo original y la serie de tiempo desplazada porτ I(x(t), x(t + τ)), a esta información mutua se le denomina como la información mutuapromedio[14] y puede considerarse como una generalización no lineal de la autocorrelacióny está dada por la siguiente expresión:

I(x(t), x(t+ τ)) =∑i,j

Pij(τ)log

(Pij(τ)

PiPj

)(2-5)

Donde Pi es la probabilidad de que x(t) esté en el compartimiento i del histograma cons-truido a partir de los puntos de datos en x, Pi,j(τ) es la probabilidad de que x(t) esté en elcompartimiento i y x(t+ τ) esté en el compartimiento j.


Para obtener coordenadas para la inserción del espacio de fase retardado en el tiempo lo másindependiente posible, se propone utilizar la posición del primer mínimo de I(x(t), x(t+ τ))

como el valor óptimo de τ . El uso de este valor indica que la primera coordenada de laseñal integrada en el espacio de fase y1(t) = x(t) será lo más independiente posible de lacoordenada siguiente y2(t) = x(t+ τ) y así sucesivamente.

2.2.3. Diagrama de FaseEl diagrama de fase constituye el espacio en el que se observa la estructura de la dinámicadel sistema, este espacio está formado por vectores con dimensión mayor a uno y se veproyectado en el eje de las variables observadas [15]. A partir del diagrama de fase se puedendeterminar características cualitativas del sistema, los puntos de equilibrio y se puede analizarla estabilidad del sistema a largo plazo. La representación del sistema a través del diagrama defase permite determinar el tipo de equilibrio que posee el sistema, por medio de trayectorias[x (t), y (t)] en torno al punto de equilibrio, reflejando de esta manera los comportamientoscualitativos de cada punto de equilibrio[16]

Se puede hacer una reconstrucción de un espacio fase equivalente al original con la ayuda delteorema de Takens, usando copias retrasadas en el tiempo de la variable real observada.Parala reconstrucción del diagrama de fase de un sistema, se hace necesario calcular la dimensiónde empotramiento, valor relacionado con la cantidad de vectores necesaria para hacer lareconstrucción y el delay que es el tiempo que se debe retardar la señal para obtener cadauno de esos vectores[15].

2.2.4. Falsos vecinos cercanosKennel(1992) propuso la estimación de la dimensión de empotramiento a partir de los falsosvecinos cercanos (FNN) a partir de la siguiente idea:

Suponiendo que dos puntos de datos en las series de tiempo unidimensionales están muyjuntos, por lo tanto se consideran como vecinos, la diferencia de magnitud indica la distanciaentre ellos. Si se empotra la serie de tiempo una vez (en dos dimensiones) a partir de unretardo de tiempo , pueden usarse las coordenadas de esos puntos para determinar si ladistancia entre ellos ha cambiado de manera significativa. Si es así, se denominan comofalsos vecinos, lo que indica que los datos deben empotrarse aún más. Entonces se aumentaconsecutivamente las dimensiones de empotramiento y se tomará el valor de la dimensión enla que el número de FNN cae a cero.[14]

2.2.5. Coeficiente de Lyapunov: Método de RosensteinLos exponentes de Lyapunov permiten cuantificar la sensibilidad de un sistema dinámico alas condiciones iniciales, además de ser una característica invariante del sistema dinámico que


nos brinda información acerca del comportamiento de las orbitas del atractor que produceel sistema a medida que evoluciona en el tiempo. Al ser una característica invariante delsistema esta no depende de los cambios de las condiciones iniciales del sistema, tampocode la evolución del mismo y son independientes de del sistema de coordenadas en el que seobserve el atractor [15]

El máximo exponente de Lyapunov es la tasa a la que las trayectorias de una atractordivergen entre sí, debido a pequeñas perturbaciones cuando el sistema es caótico. En el casode series temporales producidas por sistemas dinámicos, un exponente característico positivoindicaría caos [17].

El método de Rosenstein sirve para hallar el máximo exponente de Lyapunov a partir deseries temporales experimentales, este método es fácil de implementar, rápido, confiable paracantidades de datos reducidas, es robusto a los cambios en la dimensión de empotramientoy al ruido.[17]

Para calcular el máximo exponente de Lyapunov primero se reconstruye la dinámica delatractor a partir de la serie de tiempo, la dimensión de empotramiento y el retardo. Latrayectoria X del atractor consiste en una matriz construida a partir del método de retardos,en donde cada una de las filas corresponde a un vector del espacio de fase. Posteriormentese localiza el vecino más cercano para cada punto en la trayectoria, esto se logra buscando elpunto que minimiza la distancia al punto de referencia, sin embargo, los puntos vecinos máscercanos deben tener una separación espacial mayor que el período medio de las series detiempo, esto con el fin de que cada par de vecinos correspondan a condiciones iniciales muycercanas pero de diferentes trayectorias. Por último se estima el máximo exponente como latasa media de separación de los vecinos más cercanos. [17]

2.2.6. Exponente de HurstPropuesto por H.E.Hurst para su uso en el análisis fractal, el cual proporciona una medidapara la memoria a largo plazo y la fractalidad que presenta una serie de tiempo[18]. Elexponente de Hurst se encuentra en un rango entre 0 y 1, la serie de tiempo puede clasificarseen tres categorías según el valor de este exponente:

H = 0.5 indica una serie aleatoria

0 < H < 0.5 indica una serie anti-persistente

0.5 < H < 1 indica una serie persistente

Cuando la serie es persistente se indica que esta refuerza la tendencia, la dirección sea arribao abajo en comparación al último valor, es decir, es más probable que el siguiente valor tenga


la misma dirección que el valor actual.

A continuación se presentan los pasos para la estimación del exponente de Hurst[11]:

1. Dada una serie de tiempo, se obtienen las diferencias en escala logarítmica natural decada valor con el anterior.

2. La serie de tiempo obtenida se divide en submuestras de igual tamaño.

3. Se calcula la media de la serie de tiempo para cada submuestra

4. Se halla la diferencia acumulada respecto a la media del índice

5. Se obtiene el rango estandarizado de cada submuestra, a partir de la diferencia delmáximo y el mínimo de estas.

6. Se calcula la desviación estándar.

7. Se obtiene el rango estandarizado de cada submuestra dividiendo los valores de estapor su desviación estándar.

8. Se obtiene la media de los rangos estandarizados para cada una de las particiones, apartir de la siguiente ecuación:

R

S n= C(nH) (2-6)

Donde C es la constante de proporcionalidad, R es el rango obtenido a partir de ladiferencia entre el valor máximo y mínimo de cada partición, S es la desviación típicade los elementos de la partición, n el número de datos por intervalo y H es el coeficientede Hurst. Se aplica una aproximación logarítmica en la ecuación:

ln

(R

S n

)= ln(C ∗ nH)

2.2.7. Exponentes de HölderExisten diferentes maneras para medir la irregularidad de una función alrededor de un deter-minado punto. Un exponente de Hölder da una medida de la regularidad de una señal y esusado para detectar si hay discontinuidades en una señal y en que momento se presentan.[19]


La regularidad de una señal está definida por el número de derivadas continuas que dichaseñal posee. A partir de la transformada Wavelet se obtiene el origen del tiempo de variacióndel exponente de Hölder, ya que los puntos discontinuos no presentan derivadas continuas,se identifican puntos en el tiempo donde el valor de exponente de Hölder cae repentinamente.Se desarrolla un indicador para cuantificar los cambios significativos en el valor de esteexponente. Para determinar el exponente Local de Hölder se define:

f(x) pertenece a la clase de funciones de Hölder del orden de α si se cumple que:

|f(t+ h)− f(t)| < consts ∗ h; t, h, ; 0 ≤ α ≤ 1 (2-7)

Una función de Hölder es aquella que asocia a cada punto un exponente de Hölder, en elcaso de que α dependa de t, es decir α → (a(t)), entonces (a(t)) tiene un exponente localde Hölder. Cuando α = 1 se coincide con la clase diferenciable de funciones, cuando α = 0

coincide con la clase de funciones discontinuas, por lo tanto el exponente de Hölder se utilizacomo medida de irregularidad en una función [19].

Para la obtención de los exponentes locales se parte de información expresada en una dimen-sión:

Sea Y(t) una serie de tiempo, el precio de un activo por ejemplo[20]:

X(t,∆t) = (lnY (t+∆t)− lnY (t))2 (2-8)

Se divide el intervalo de tiempo [0,T] entre N intervalos del tamaño de t y se define la sumade la muestra:

τ(r) = lim∆t→0lnZr(T,∆t)

ln∆t(2-9)

Se define el espectro de la dimensión fractal de los retornos logarítmicos cuadrados

Dr =τ(r)

r − 1(2-10)

Para la obtención del exponente de Hölder se diferencia τ(r):

α =dτ(r)

dr(2-11)

2.3. Sistemas de funciones iteradasUna iteración es un proceso o conjunto de reglas, aplicadas de forma repetitiva a un estado oconjunto inicial, estas reglas que producen un nuevo conjunto se les conoce como aplicacionescontractivas. Las aplicaciones contractivas son una composición de isometrías (traslaciones,

2.3 Sistemas de funciones iteradas 21

giros, reflexiones) y de una homotecia [21]. En la figura 2-3 se muestran las transformacioneselementales en el plano euclidiano, a partir de la combinación de estas transformacionespueden obtenerse otro tipo de giros, simetrías u homotecias.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2-3: Transformaciones elementales en el plano euclidiano (a)Traslación (b) Rotación(c) Simetría (d) Homotecia

Se denomina un sistema de funciones iteradas (SFI) en Rn a cualquier familia finita fiNi=1 de

aplicaciones contractivas donde 1 ≤ i ≤ N . El SFI es representado por:

{f1, f2, ..., fN}

También se define la razón de contractividad del SFI como:

r = max{r1, r2, ..., rN}

Donde ri es la razón de contractividad de r1 y 0 ≤ r < 1 correspondiente a la homotecia.

Puente en 1992 introdujo un enfoque geométrico para capturar la complejidad en patro-nes hidrológicos, el enfoque es denominado Fractal-Multifractal[10]. Para obtener un patrónfractal-multifractal se realiza la transformación de una medida multifractal simple a travésde una interpolación fractal. El gráfico G = (x, f(x))|x ϵ[0, 1] de tal función f : xy que pasapor los puntos ordenados N+1 a lo largo de x, (xn, yn)|x0 < ... < xN , n = 0, 1, ...N , se definecomo el único atractor de N mapas afines simples contractivos:

wn

(x

y

)=

(an 0

cn dn

)(x

y

)+

(enfn

), n = 1, ..., N, (2-12)


Donde las escalas verticales satisfacen |dn| < 1, y los parámetros an, cn , en y fn se obtienena partir de los siguientes conjuntos de condiciones iniciales:

wn

(x0

y0

)=

(xn−1

yn−1

)(2-13)

wn

(xN

yN

)=

(xN

yN

)(2-14)

2.3.1. Interpolación FractalUn conjunto de datos es un conjunto de puntos de la forma {(xi, Fi) ϵ R

2 : i = 0, 1, 2...N},donde:

x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xN (2-15)

Una función de interpolación correspondiente a este conjunto de datos es una función conti-nua f : [x0, xN ] → R tal que:

f(x1) = F1 para i = 0, 1, 2, ...N. (2-16)

Los puntos (xi, Fi) ϵ R2 son llamados los puntos de interpolación[1], la función f interpolaestos datos. En la figura 2-4 se presenta el ejemplo de una función de interpolación linealque atraviesa los puntos de interpolación {(Fi, xi) : i = 0, 1, 2, 3, 4}, esta gráfica es el atractorde un Sistema de funciones Iteradas de la forma {R2;Wn, n = 1, 2, 3, 4}:

Figura 2-4: Gráfica de una función de interpolación lineal f(x). Tomado de [1]

Capítulo 3

Análisis de señal

En este capítulo se presenta el análisis de la señal correspondiente al precio del caféColombiano. Se realizará una inspección visual de la señal, luego se realizará el análisislineal y no lineal de esta con el fin de acercarse a la comprensión de su dinámica.

3.1. Descripción de la base de datosLa base de datos presentada en la figura 3-1 corresponde al precio interno diario del caféColombiano dado en pesos por carga de 125 Kg, en un período comprendido entre el 2003-2017 ( en total 5478 días). Esta base de datos es proporcionada por la federación nacionalde cafeteros. [22]

Inicialmente se realiza una inspección visual de la señal en la cual se observa un comporta-miento similar (auto-semejanza) a diferentes escalas (Figura 3-2), lo cual podría indicar quese trata de un comportamiento fractal. Para validar dicha hipótesis se considera el análisisno lineal a partir del cálculo de los exponentes de Lyapunov, el exponente de Hurst y losexponentes de Hölder.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo(días)

2

4

6

8

10

12

Pre

cio

($/1

25

kg)

105 Precio interno diario del café Colombiano (2003-2017)

Figura 3-1: Serie de tiempo correspondiente al precio interno diario del café Colombiano

24 3 Análisis de señal

2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000

Tiempo (días)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Pre

cio

($

/12

5kg

)

105 Precio Interno Diario del cafe Colombiano (Enero 2 de 2003 - Febrero 28 de 2011)

Serie de tiempo

Linea de ajuste

(a)

2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950 3000

Tiempo (días)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Pre

cio

($

/12

5kg

)

105 Precio Interno Diario del cafe Colombiano (Noviembre 5 de 2009 - Febrero 28 de 2011)

Serie de tiempo

Linea de ajuste

(b)

0 200 400 600 800 1000 1200

Tiempo (días)

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Pre

cio

($

/12

5kg

)

105 Precio Interno Diario del cafe Colombiano (Febrero 28 de 2011 - Julio 01 de 2014)

Serie de tiempo

Linea de ajuste

(c)

200 250 300 350 400 450 500 550 600

Tiempo (días)

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

Pre

cio

($

/12

5kg

)

105 Precio Interno Diario del cafe Colombiano (Octubre 05 de 2011 - Noviembre 08 de 2012)

Serie de tiempo

Linea de ajuste

(d)

Figura 3-2: Señal del precio del café en diferentes ventanas de tiempo

En la figura 3-2 se representa la señal en diferentes ventanas de tiempo con el fin de observarlos patrones que se repiten en estas. En (a) y (b) se observa que habrían posibles crecimientosexponenciales de la señal, donde f = a ∗ ebx + c ∗ edx con a = 3.142 ∗ 105, b = 0.0002712,c = 0.027 y d = 0.005466 corresponde a la ecuación que se ajusta a la ventana comprendidaentre el día 1 y el día 3000, esta ecuación posee un r2 = 0.8715. en (c) y (d) se presentancambios abruptos ya que la señal decae rápidamente. La ecuación ajustada para esta ventanacorresponde a f = a ∗ ebx + c ∗ edx con a = 2.933 ∗ 107, b = −0.00109, c = 2.871 ∗ 10−6

y d = 0.005684 con un r2 = 0.9587. Se puede observar que en las ventanas de tiempotanto crecientes como decrecientes se presentan comportamientos similares, lo que puedeindicar que hay auto-semejanza de la señal, pues en una escala diaria se ven patrones decomportamiento vistos en escalas semanales, mensuales y anuales, esta auto-semejanza seperdería debido a que la señal posee una cantidad finita de datos. El análisis de esta señalrepresenta un reto ya que su comportamiento no puede ser controlado.

3.2 Análisis lineal 25

3.2. Análisis linealEn el análisis lineal se observará el comportamiento de la señal a partir de índices estadísticoslineales, autocorrelación lineal, y en términos de su espectro de frecuencias.

3.2.1. HistogramaSe presenta el histograma (Figura 3-3) con el fin de mostrar las frecuencias de los precios dela serie de tiempo. Se observa que la distribución presentada podría ser multimodal, y por lotanto el utilizar índices como la mediana, la media, la varianza y la moda no son de ayudapara el análisis del comportamiento de la señal .

Figura 3-3: Histograma correspondiente al precio interno diario del café Colombiano

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Auto

corr

ela

ció

n

Autocorrelación del precio del café Colombiano (2003-2017)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Delay(días)

Figura 3-4: Autocorrelación de la señal correspondiente al precio del café Colombiano


0 1 2 3 4 5 6 7 8

Frecuencia en escala logarítmica (log(f))

8

10

12

14

16

18

20

22

Am

plit

ud e

n e

scala

logarí

tmic

a (

log(A

))

Espectro de Potencia

Espectro de potencia de la señal

Regresión lineal

Figura 3-5: Espectro de potencia y su regresión lineal

3.2.2. AutocorrelaciónEn 3-4 se observa que se presentan valores de autocorrelación positivos y negativos, lasbandas de confianza se encuentran en un 2%, donde se evidencia que la mayoría de datos dela señal están por fuera de los valores de estas bandas, los datos que se encuentran dentrode estas son valores poco significativos, además se observa que la señal presentaría memorialineal, lo cual indica una dependencia entre los datos.

3.2.3. Espectro de frecuenciasSe realizó un análisis en el dominio de la frecuencia, a partir de su transformada de Fouriery con esta obtener su espectro de frecuencias (Figura 3-5 ). En el espectro de frecuencias seevidenció que este posee un comportamiento similar al del ruido 1/f debido a sus propiedadesde invarianza a la escala y la densidad espectral inversamente proporcional a la frecuencia[23].Además puede notarse que la potencia no está distribuida solo en un rango de frecuencias,sino que está distribuida sobre todo el espectro.

3.3 Análisis no lineal 27

3.3. Análisis no lineal

3.3.1. Información Mutua Promedio

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Delay

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8In

form

ació

n m

utu

a p

rom

edio

(A

MI)

AMI para el precio del café Colombiano

Figura 3-6: Información mutua promedio

Mediante el cálculo de la información mutua promedio (AMI) se observa la dependenciamutua entre los datos de la señal [15], ya que al realizar la autocorrelación lineal no se estáteniendo en cuenta el efecto de una posible memoria no-lineal en la serie de tiempo. En lafigura 3-6 se observa la información mutua promedio para la serie de tiempo del precio delcafé Colombiano.

Se evidencia que se presenta una dependencia mutua alta al inicio y que esta va disminuyendo,indicando que la señal tiene una mayor dependencia de sus valores pasados hasta el día 10,a partir del AMI se obtendrá el retardo adecuado para hacer adecuadamente el diagramade fase, para esto se observa el punto donde la información mutua promedio empieza aestabilizarse, este retardo se encuentra en el día 20 de la serie.

3.3.2. Dimensión de empotramientoPara obtener el número de dimensiones del sistema se utiliza el algoritmo de los falsosvecinos más cercanos, en el cual se examina como cambia el número de vecinos en funciónde la dimensión.[24] En la figura 3-7 se observa que en la dimensión 6 ya no hay presenciade falsos vecinos cercanos, por lo cual se emplea como el número de dimensiones necesariaspara la realización del diagrama de fase del sistema. Teniendo en cuenta la dimensión y elretardo (6 y 20 respectivamente), se construye el diagrama de fase. Para poder visualizar


el diagrama de fase, se obtienen las vistas en dos dimensiones, tal como se muestra en lafigura 3-8, se observan características como porosidad en el extremo superior del atractor,la mayoría de puntos se encuentran en el centro de dicho atractor.

1 2 3 4 5 6 7 8

Dimensión

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5F

als

os v

ecin

os m

ás c

erc

anos (

%)

Cálculo de la dimensión para la serie de tiempo

Figura 3-7: Cálculo de la dimensión a partir del algoritmo de los falsos vecinos más cercanos

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(t) 105

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f(t+

T)

105 Diagrama de fase

(a) Primer y Segundo vector

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(t) 105

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

f(t+

2T

)

105 Diagrama de fase

(b) Primer y tercer vector

Figura 3-8: Diagrama de fase en 2 dimensiones

3.3.3. Estimación del máximo exponente de LyapunovSe estima el máximo exponente de Lyapunov a partir del método de Rosenstein[17] (Figura3-9), con el fin de determinar si la serie de tiempo presenta caos:

3.4 Estadísticos adicionales 29

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Tiempo (Días)

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

Div

erg

encia

Exponentes de Lyapunov

(a) Divergencia

0 50 100 150 200 250 300

Tiempo (Dias)

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

Div

erg

encia

Máximo exponente de Lyapunov (Rosenstein)

(b) Cálculo del máximo exponente de Lyapunov

Figura 3-9: Exponentes de Lyapunov

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8

Log(n)

35

35.05

35.1

35.15

35.2

35.25

35.3

35.35

35.4

Ln

(R/S

)

Coeficiente de Hurst

Figura 3-10: Coeficiente de Hurst a partir del análisis de rango reescalado

En la figura 3-9 se evidencia que hay divergencia, a partir de esto puede decirse que la seriede tiempo presenta sensibilidad a las condiciones iniciales y comportamiento caótico.[17]Se tendrá en cuenta hasta el día 300, ya que después la divergencia disminuye. En (b) seobserva una recta con la cual se determinará el máximo exponente, obteniendo el valor dela pendiente de la recta, el cual es de 0.0051.

3.4. Estadísticos adicionales

3.4.1. Exponente de HurstSe determina el exponente de Hurst con el fin de medir la dependencia de la serie de tiempoy determinar su comportamiento fractal, para ello se emplea la técnica de análisis de rangoreescalado. El exponente obtenido es de 0.9596, cuando este exponente tiene valor entre 0.5


y 1 indica persistencia en la serie, por lo cual la tendencia de esta se refuerza, es decir quelo más probable es que el comportamiento del período anterior se visualice de nuevo en elperíodo siguiente.[25]

En la figura 3-10 se observa que los puntos son muy cercanos a la recta de la regresión lineal,lo que indica que la serie de tiempo en estas escalas tiene un comportamiento muy similaral de un fractal puro.

3.4.2. Exponentes locales de HölderSe obtienen los exponentes locales de Hölder (Figura 3-11):

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Tiempo (Dias)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Expone

nte

Exponentes locales de Hölder

(a) Exponentes de Hölder para la señal del precio del café

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo(días)

2

4

6

8

10

12

Pre

cio

($/1

25kg)

105 Precio interno diario del café Colombiano (2003-2017)

(b) Señal del precio diario del café Colombiano

Figura 3-11: Exponentes locales de Hölder

Los exponentes de Hölder son utilizados para cuantificar la rugosidad de una función, esdecir, mide la regularidad de la señal, la cual está definida por el número de derivadas queesta tiene. Cuando el exponente de Hölder tiende a cero indica que hay alta irregularidad enla función en ese punto[19].

Al obtenerse exponentes locales que superan el valor de 1 podrían interpretarse como indi-cadores de crisis, dichas crisis pueden determinarse a partir de periodos de alta regularidadseguidos de periodos prolongados de irregularidad

3.4 Estadísticos adicionales 31

En el día 303 correspondiente al año 2003 se presenta una discontinuidad hasta el año 2004,debe tenerse en cuenta que la çrisis cafetera mundial"fue reestablecida en este año, en elcual se presenta el primer exponente de Hölder mayor a 1[26]. Otro exponente con un valormayor a 1 se presenta en el día 1812 (correspondiente al año 2007), en el cual se evidencia unatendencia a la baja a inicios de ese año, además de una disminución de las exportaciones enel último trimestre del año, en donde se observa el disparo de este exponente de Hölder[27].

Para el periodo 2008 - 2009 se presentan exponentes muy cercanos a cero, el cual coincidecon una crisis financiera de dicho periodo[28].

Capítulo 4

Mecanismo de reconstrucción de laserie de tiempo

En este capítulo se presenta la descripción de la implementación del mecanismo utilizadopara la representación de la serie de tiempo del precio interno diario del café Colombiano,el cual corresponde a un sistema de funciones iteradas. Para su implementación se observancuáles son los cambios más representativos en la señal con el fin de establecer la cantidad yel rango de los parámetros.

4.1. Sistema de funciones iteradas

El sistema de funciones iteradas (Iterated Function System) cuenta con cuatro entradas:x, y, xp, s. Las entradas (x, y) corresponden al los puntos de los ejes (x, y) de la señal aconstruir, por lo tanto es primordial definir de manera adecuada estos valores y que seencuentren dentro del rango de la señal, estas entradas son vectores de longitud n, donde n

es la cantidad de mapas afines utilizados para la representación de la señal (ecuación 4-1)[10], xp corresponde al número de puntos de la señal y s corresponde al factor de escala elcual debe satisfacer |s| < 1.

wn

(x

y

)=

(an 0

cn sn

)(x

y

)+

(enfn

), n = 1, ..., N, (4-1)

En el algoritmo se implementan las siguientes ecuaciones para la construcción de los valores(a, b, c, d), correspondientes a vectores de longitud (i) donde a(1) = b(1) = c(1) = d(1) = 0.

a(i) =(x(i)− x(i− 1))

dx(4-2)

e(i) =(x(n) ∗ x(i− 1)− x(1) ∗ x(i))

dx(4-3)

4.1 Sistema de funciones iteradas 33

c(i) =(y(i)− y(i− 1)− s(i) ∗ (y(n)− y(1)))

dx(4-4)

f(i) =(x(n) ∗ y(i− 1)− x(1) ∗ y(i)− s(i) ∗ (x(n) ∗ y(1)− x(1) ∗ y(n)))

dx(4-5)

Con dx = x(n)− x(1)

A xp se le asignará el valor de 5478, ya que este corresponde al tamaño de la serie de tiempo.Al obtener los vectores de a, e, c, f se construyen los 5478 puntos a partir de las siguientesecuaciones:

x′(n) = a(m) ∗ x+ b(m); (4-6)

y′(n) = c(m) ∗ x+ s(m) ∗ y + d(m); (4-7)

Donde m está definido por:

m = (2 + (n− 1) ∗ rand[0, 1]) (4-8)

Las salidas corresponden a xi, yi, las cuales son vectores de longitud xp y son actualizadasdurante cada ciclo.

Debe resaltarse que el Sistema de Funciones Iteradas corresponde a un modelo de dinámicalineal, se busca que con este pueda representarse la serie de tiempo que corresponde a unfenómeno no lineal. En la figura 4-1 se presenta un ejemplo propuesto por Barnsley [1]para construir una función de interpolación fractal a partir de un conjunto de puntos deinterpolación y factores de escala. Con n = 3 el conjunto de datos es el siguiente:

{(0, 0), (30, 50), (60, 40), (100, 10)}

34 4 Mecanismo de reconstrucción de la serie de tiempo

Figura 4-1: Programa para generar una función de interpolación fractal

4.2. Estimación de parámetrosLos parámetros de x pueden ser estimados a partir de los puntos más característicos en el ejex de la serie de tiempo del precio del café Colombiano. Para la selección de los parámetrosen x se buscan puntos en los cuales se presenten cambios en la dinámica, se toma un vectorde longitud seis en el cual la posición uno y seis corresponde a los limites de la señal (0y 5478 respectivamente), los otros puntos de x corresponden a x = [800 2400 3500 3800],en la figura 4-2 se observa que en estos puntos se presentan cambios de la dinámica en laseñal, además que alrededor del día 800 se presenta un decaimiento del exponente de Höldermuy cercano a cero el cual hasta el día 1000, para 2400 3500 y 3800 el exponente de Hölderalrededor de esos días incrementa después de haber sufrido una caída, lo cual podría indicarirregularidad en esos cambios de tendencia.

Para estimar los parámetros en y se visualiza que tan alto es el valor del precio del caféen los puntos seleccionados para el vector x, obteniendo y = [1.2 2.5 2.1 5.2 1.2 1.6]. Parala selección del factor de escala se realizan varias pruebas, para esto se obtienen señales apartir de los parámetros establecidos y se varia s satisfaciendo |s| < 1. Se deja abierta laposibilidad de aumentar o disminuir la longitud de los vectores x y con el fin de observar si laseñal captura más atributos de la serie de tiempo. En la figura 4-3 se muestran los vectoresx y como coordenadas en el plano, entre cada pareja existe una transformación afín.

4.2 Estimación de parámetros 35

Figura 4-2: Selección puntos para el Sistema de Funciones Iteradas

Figura 4-3: Coordenadas x,y para la construcción del Sistema de Funciones Iteradas

El conjunto de datos es el siguiente:

{(0, 1.2), (800, 2.5), (2400, 2.1), (3500, 5.2), (3800, 1.2), (5478, 1.6)}

Estas corresponden a las coordenadas ilustradas en la figura 4-3, son los parámetros estima-dos, su selección es basada en los exponentes de Hölder y en la inspección visual de la seriede tiempo.

36 4 Mecanismo de reconstrucción de la serie de tiempo

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (dias)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Yi

Señal obtenida del IFS con s = 0.2

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (dias)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Yi


(b)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (dias)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Yi


(c)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (dias)

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Yi

Señal obtenida del IFS con s = - 0.5

(d)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (dias)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Yi


(e)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (dias)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Yi


(f)

Figura 4-4: Señal obtenida a partir de diferentes factores de escala

En la figura 4-4 se observan las señales obtenidas a partir de la variación del factor de escala s,en (a), (b) y (c) se presentan tres factores de escala positivas (0.2 0.5 y 0.7) respectivamente,se observa que para s = 0.7 la señal parece tener ruido, lo cual no se presenta en (a) ni en(b). En (d), (e) y (f) los factores de escala son negativos (−0.5 −0.6 y −0.7), en los cualesllegan a presentarse valores negativos de la señal y por lo tanto se descarta utilizar factoresde escala negativos. El rango seleccionado para el factor de escala es de 0.2 a 0.5 ya que seobservan texturas similares a las de la serie de tiempo.

Capítulo 5

Algoritmo de búsqueda

En este capítulo se presenta la implementación del algoritmo de evolución diferencial parael ajuste de los parámetros del sistema de funciones iteradas. Se realiza la descripción delalgoritmo y cuales son los parámetros definidos para este, se describe las funciones objetivoa utilizar y los estadísticos que la componen.

El algoritmo de evolución diferencial ha sido utilizado para la sintonización de sistemas defunciones iteradas[29]. En esta sección se observa el algoritmo de forma conceptual y comoeste se lleva a cabo para su acople con el Sistema de Funciones Iteradas.

5.1. Algoritmo de evolución diferencialLos algoritmos evolutivos son diseñados para la solución de problemas basándose en prin-cipios de la teoría evolutiva. Dentro de estos se han desarrollado diversos algoritmos bajoconceptos poblaciones como la selección, que corresponde a la parte del algoritmo en la cualse eligen los individuos de una población, la recombinación en la cual se reproducen losindividuos, y la mutación con la cual se pretende modelar los efectos producidos por estecomportamiento en los genes de los individuos[30].

La evolución diferencial surgió a partir de los intentos de Kenneth Price de resolver el pro-blema del ajuste del polinomio de Chebychev que había sido planteado por Rainer Storn,a Kenneth le surgió la idea de utilizar las diferencias vectoriales con el fin de perturbar elvector de la población. A partir de esta idea se ha obtenido lo que hoy en día se conoce comola evolución diferencial[31]. El algoritmo de Evolución diferencial es un método de búsquedadirecta que utiliza NP vectores de parámetros D-dimensionales como población para cadageneración G (Ecuación 5-1).

zi,G, i = 1, 2, ..., NP (5-1)

El algoritmo emplea tres operadores: mutación, recombinación y selección.

38 5 Algoritmo de búsqueda

Mutación

Consiste en la construcción de NP vectores aleatorios −→vi , los cuales son creados a partir de :

−→ui =−→zr1 + F (−→zr2 −−→zr3) (5-2)

Donde r1, r2, r3 ∈ [1, ..., NP ], verificando que se satisfaga las condiciones r1 = r2 = r3 = i. Fcontrola la tasa de mutación y es un parámetro que está en el rango [0, 2]. En la figura 5-1se ilustra la construcción de este vector:

Figura 5-1: Construcción vector mutado −→ui =−→zr1 + F (−→zr2 −−→zr3)

Cruce

El cruce consiste en combinar el vector −→ui = [ui1, ui2, ...Vid], mutado previamente con otrodenominado vector blanco −→zi = [zi1, zi2, ...zid] el cual es considerado como un individuopadre de la generación anterior, y se genera un vector descendiente −→ui = [u1, u2, ...ud]. Elcruce binomial se implementa a partir de la ecuación (5-3) :

uij =

{Uij si (rand(j) CR) o j = rnbr(i)Uij si (rand(j) CR) y j = rnbr(i)

z0z1 (5-3)

Donde j = 1, 2, ...d i = 1, 2, ...NP y rnbr(i) ∈ [1, ..., d] es un índice generado de formaaleatoria. CR corresponde a la probabilidad de cruce y se encuentra en el rango [0, 1].[32]

Selección

La selección se realiza comparando el valor de la función de costo f(−→ui ) del vector blanco−→ui contra el correspondiente valor de la función objetivo f(−→ui ) del vector de prueba −→ui , elvector que tenga el menor valor de la función de costo pasa a ser miembro de la poblaciónde la siguiente generación[32].

5.1 Algoritmo de evolución diferencial 39

Estrategias de la evolución diferencial

La nomenclatura utilizada para identificar las estrategias de la evolución diferencial corres-ponde a ”ED/a/b/C” donde ’ED’ es ’Evolución diferencial’, ’a’ se refiere al criterio deselección de uno de los individuos a usar en el vector de mutación para esto puede elegirseun individuo de manera aleatoria o puede elegirse al mejor vector de cada generación, ’b’indica el número de diferencias calculadas en el vector de mutación y ’c’ indica el tipo derecombinación a utilizar[33].

En el algoritmo de evolución diferencial las variables son números reales, a diferencia delalgoritmo genético no utiliza codificación binaria ni utiliza una densidad de probabilidadpara el ajuste de sus parámetros. La población inicial es generada de manera aleatoria, seutiliza un operador de recombinación para generar una combinación lineal entre individuoscon el fin de producir uno nuevo (hijo), al tener este individuo, se selecciona el mejor entre estey su padre, el seleccionado continua en la siguiente población. En la tabla 5-1 se presentanlos parámetros que usa el algoritmo de evolución diferencial:

Número de población Corresponde a los individuos en cada generaciónNúmero de generaciones Ciclos utilizados con el fin de mejorar la población inicialFactor de mutación Utilizado para la construcción de padres de manera aleatoriaFactor de cruce Utilizado para controlar la tasa de recombinación

Tabla 5-1: Parámetros algoritmo ED

La población inicial(primera generación) es generada de manera aleatoria, cada variable deesta población tiene un valor máximo y mínimo, en la ecuación 5-4 se muestra la inicializaciónde cada variable considerando estos rangos:

z1p,m = zminm + rand(0, 1) ∗ (zmax

m − zminm ) (5-4)

Con p = 1...NP donde NP es el número de l población, m = 1...n donde n es el número devariables.

Se genera una señal por cada individuo y se evalúa mediante la función objetivo seleccionadaguardando la que presente un mejor valor. Se evalúa el número de generaciones, mientras sellega al límite establecido de generaciones, se mutan los parámetros a partir de tres individuoselegidos al azar, con los cuales se genera un vector v, la variante utilizada en el algoritmo es”DE/rand/1/bin” (ecuación 5-2) la cual indica que el criterio de selección de los individuoses aleatorio, con el fin de dar más chance de búsqueda, la recombinación a utilizar es labinomial.

Se evalúa el vector v a partir de la función objetivo y se compara con la mejor soluciónobtenida hasta el momento, si esta es mejor que la anterior, continúa en la siguiente población,en caso contrario, se descarta el vector generado v y se continúa con la anterior.[34]

40 5 Algoritmo de búsqueda

5.2. Función objetivo seleccionada

5.2.1. Primera función objetivoUno de los estadísticos utilizados es el coeficiente de eficiencia de Natch-Sutcliffe, consideradocomo una medida de rendimiento el cual mide cuanto de la variabilidad de las observacioneses explicada por la simulación, si NSE = 1 indica que los datos simulados corresponden alos datos reales, en la ecuación 5-5 se muestra como hallar el NSE:

NSE = 1−∑

k=1(dk − dk)2∑

k=1(dk − dk)2(5-5)

Donde dk a los datos simulados y dk a los datos reales. El NSE se utiliza en este caso conel propósito de captar la variabilidad entre la señal obtenida y la serie de tiempo tanto enaltas como en bajas escalas.

El MAE (error absoluto medio) corresponde a la diferencia entre los datos simulados (dk) yla serie original (dk), su rango va de −∞ a 0 donde 0 es el valor óptimo.

MAE =1

N

N∑k=1

∣∣∣∣∣dk − dkdk

∣∣∣∣∣ (5-6)

El POCID (Predicción de cambio en la dirección) es un índice no lineal, el cual indica si losdatos simulados ( ˆdk−1) siguen los mismos cambios de dirección de la serie original (dk), paraesto se comprueban las variaciones de signo del modelo:

POCID =

∑Nk=1 Bk

N(5-7)

Donde,

Bk =

{1 Si (dk − dk−1)(dk − ˆdk−1) ≤ 0

0 En otro caso

Esta función objetivo1 es seleccionada debido a que los estadísticos utilizados tienen el obje-tivo de capturar los cambios en la tendencia de la señal, de detectar picos y las variacionesque estos conllevan. Ya que el objetivo es minimizar el valor de esta función objetivo, el MAEactúa como multiplicador de la función ya que su valor óptimo es de 0, entre más cercanosea a 1 el valor del NSE más se minimizará esta función, el POCID es el cociente ya que suvalor óptimo es alto. La función objetivo puede observarse en la ecuación (5-8) :

1La función objetivo fue tomada a partir del trabajo "Forecasting time series from clustering by a memeticdifferential fuzzy approach: An application to crime prediction"[35]

5.2 Función objetivo seleccionada 41

FOBJ =(1−NSE) ∗MAE

POCID(5-8)

5.2.2. Segunda función objetivoEsta función objetivo se desarrolla después de la primera etapa de experimentación, en dondese observa que hay picos donde las soluciones no siguen la tendencia de la serie de tiempo,por lo tanto se considera el error cuadrático medio (MSE) con el fin de penalizar los erroresmás grandes[36] vistos en las soluciones obtenidas, por lo cual se propone implementarlo enla función objetivo. En la ecuación 5-10 se observa esta segunda función objetivo, el MSE seadiciona al resultado del numerador de la función objetivo 1.

MSE =1

N

N∑k=1

(dk − dk)2 (5-9)

Donde dk corresponden a los datos reales y dk a los datos simulados. La ecuación 5-10corresponde a la segunda función objetivo,

FOBJ =((1−NSE) ∗MAE) +MSE

POCID(5-10)

Capítulo 6

Resultados Obtenidos

En este capítulo se observan todos los resultados obtenidos a partir de los experimentosrealizados, los cuales se comparan con la serie de tiempo del precio del café Colombiano apartir de algunos estadísticos en términos de la función objetivo, del análisis lineal, no linealy fractal vistos en el capítulo 3.

Para cada corrida se obtienen los parámetros de la mejor solución por generación (valor de lafunción objetivo por generación, parámetros del Sistema de Funciones Iteradas) . Se realizala inspección visual de las cinco mejores soluciones comparadas con la serie de tiempo delprecio del café Colombiano, estas cinco mejores soluciones se descomponen en términos dela función objetivo, luego se analizan en términos de análisis lineal, no lineal y fractal. Elcriterio para seleccionar la mejor solución de todo el juego de experimentos es a partir delos estadísticos, la mejor solución será la que prime sobre las demás en términos de estos, yaque corresponde a la señal que más atributos captura de la serie de tiempo. Para compararestos atributos se hace uso del error relativo:

Error(%) =Vreal − Vobtenido

Vreal

(6-1)

Se realizan tres juegos de experimentos 1, en los cuales se realizan variaciones en el númerode generaciones, la cantidad de corridas, la población, el número de parámetros del Sistemade Funciones Iteradas y la función objetivo. Se obtiene la mejor solución de cada juego y deestas se selecciona la mejor de toda la etapa de experimentación con el fin de validar si estapermite la reconstrucción de la serie de tiempo. A continuación se presentan los pasos paraesta etapa de experimentación:

1El algoritmo de evolución diferencial con el Sistema de Funciones Iteradas fue implementado en laplataforma MATLAB en un computador de escritorio con 8 GB de RAM.

43

Se establecen los parámetros del algoritmo ED (Número de parámetros del SFI, nú-mero de generaciones, número de corridas, número de la población, Función objetivoempleada).

Se guardan los resultados obtenidos (Parámetros del SFI, valor de la función objetivoen cada generación).

Se seleccionan las cinco mejores soluciones del juego de experimentos, para esto seobserva cuales son las cinco funciones que presentan un menor valor de función objetivo.

Se realiza la inspección visual de cada una de las cinco soluciones seleccionadas, com-parándolas con la serie de tiempo.

Se descomponen las cinco soluciones en términos de los estadísticos que forman lafunción objetivo.

Se realiza el análisis lineal, no lineal y fractal a cada una de las cinco soluciones,observando que atributos de la señal logra capturar, para comparar estos resultados sehace uso del error relativo (Ecuación 6-1).

Se selecciona una de las soluciones como la mejor de todo el juego de experimentos, seelige la que más atributos capture de la serie de tiempo.

Atributos de la serie de tiempoPara el análisis de las soluciones obtenidas en los juegos de experimentos, se tienen en

cuenta las herramientas para el análisis de la señal en términos lineales, no lineales y fractales,las cuales descubrieron atributos de la serie de tiempo.

Autocorrelación: Primer cruce por cero (pcpc)En el caso de la autocorrelación se observa el momento en el que se da el primer cruce porcero, en el caso de la serie de tiempo este cruce por cero se da en 2235.

44 6 Resultados Obtenidos

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Au

tocorr

ela

ció

n

Autocorrelación del precio del café Colombiano (2003-2017)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Delay(días)

Figura 6-1: Primer cruce por cero autocorrelación lineal

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Frecuencia en escala logarítmica (log(f))

8

10

12

14

16

18

20

22

Am

plit

ud e

n e

scala

logarí

tmic

a (

log(A

))

Espectro de Potencia

Espectro de potencia de la señal

Regresión lineal

Figura 6-2: Espectro de potencia y su regresión lineal

Espectro de Potencia (P.E.P)

Al obtener el espectro de potencia de la serie de tiempo, se observa que su comportamientoes similar al del ruido 1/f , que la potencia esta distribuida sobre todo el espectro, a esteespectro de potencia se le realiza una regresión lineal, al atributo a capturar de este espectrode frecuencia es la pendiente de esta regresión lineal, la cual posee un valor de −0.8925

(Figura 6-2).

Información Mutua Promedio AMI (dl)

El atributo que se desea capturar del AMI corresponde al retardo propio de la señal, paraesto se busca el primer punto en el cual tiende a estabilizarse el valor de la informaciónmutua promedio, el retardo propio de la serie de tiempo se produce en el dia 20.

45

Máximo exponente de LyapunovPara la estimación del máximo exponente de Lyapunov se hace uso del método de Rosenstein,este máximo exponente corresponde a la tasa en la que las trayectorias de un atractordivergen entre si. El máximo exponente de Lyapunov para la serie de tiempo es de 0.0051.

Exponente de Hurst (E.H)Este exponente se calcula con el fin de obtener una medida para la memoria a largo plazo yla fractalidad que podría presentar una señal obtenida, para la obtención del exponente deHurst se hace uso del análisis de rango reescalado, teniendo en cuenta que:

H = 0.5 indica una serie aleatoria

0 < H < 0.5 indica una serie anti-persistente

0.5 < H < 1 indica una serie persistente

Para la serie de tiempo el valor del exponente de Hurst es de 0.9596, lo que indica que laserie es persistente y que se refuerza la tendencia.

Exponente de Hölder (E.Hölder)Se hallan los exponentes de Hölder para cada punto de la serie de tiempo, se buscan losdías en los cuales el valor de este exponente es mucho mayor a uno, esto podría indicarirregularidades en las señal. En la serie de tiempo se observa que en el día 1813 hay unexponente con un valor aproximadamente de 3.5 y en el día 458 un exponente con un valorde 2.5(Figura) 6-3.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Tiempo (Dias)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Exp

on

ente


Figura 6-3: Exponentes de Hölder para la serie de tiempo


6.1. Primer juego de experimentosEn la tabla 6-11 se presentan los parámetros definidos para esta primera etapa de experi-mentación 2:

Número de corridas 90Número de generaciones 500Número de la población 30Función objetivo utilizada 1 (Ec. 5-8)Número de parámetros 11

Tabla 6-1: Parámetros definidos para el primer juego de experimentos

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Generaciones

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

Fo

bj

Función objetivo vs Número de generaciones

(a)

0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38

Fobj

0

2

4

6

8

10

12

14

Fre

cu

en

cia

Histograma de Fobj en la ultima generación de cada corrida

(b)

Figura 6-4: (a) Error vs Número de generaciones (b) Histograma del error de cada experi-mento en la última generación

En la figura 6-4 se presenta la caracterización de la función objetivo, en (a) se muestra elvalor de la función objetivo vs las 500 generaciones durante cada corrida, se observa que apartir de la generación número 450 el valor de la función objetivo trata de estabilizarse. En(b) se presenta el histograma del valor de función objetivo obtenido en la última generaciónde cada corrida.

En la figura 6-2 se presentan las cinco señales con menor valor de función objetivo . Visual-mente se observa que hasta el día 3000 las soluciones siguen la tendencia de la serie, despuésdel pico más alto de la señal las soluciones no decaen lentamente si no que aproximadamen-te 500 días después cae de manera abrupta, en el día 4000 la serie presenta un cambio dedirección y empieza a subir rápidamente, ninguna de las soluciones logra seguir los cambiosde la serie después del día 4000.

2El costo computacional de cada corrida fue de 28800 segundos.

6.1 Primer juego de experimentos 47

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($/1

25kg)

Comparacion de la serie de tiempo con la primer señal obtenida (F1)

Serie de tiempo

F1

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($/1

25kg)

Comparacion de la serie de tiempo con la segunda señal obtenida (F2)

Serie de tiempo

F2

(b)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg)

Comparacion de la serie de tiempo con la tercer señal obtenida (F3)

(c)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg)

Comparacion de la serie de tiempo con la cuarta señal obtenida (F4)

Serie de tiempo

F4

(d)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg

)

Comparacion de la serie de tiempo con la quinta señal obtenida (F5)

Serie de tiempo

F5

(e)

Figura 6-5: Señales obtenidas del juego de experimentos comparadas con la serie del preciodel café Colombiano


En la Tabla 6-2 se observan las cinco mejores soluciones descompuestas en términos de lafunción objetivo utilizada para este juego de experimentos, F1 además de ser la función conmejor valor de función objetivo, también presenta el valor más cercano a 1 en NSE, y unmenor valor de MAE, por lo cual en términos de la función objetivo es quién prima sobrelas otras.

Para el análisis lineal (Tabla 6-3) se observan atributos de la autocorrelación (Primer crucepor cero), la pendiente del espectro de potencia . En términos de la autocorrelación ningunade estas funciones captura los atributos de la serie de tiempo real, para el espectro depotencia F3 y F5 son las que presentan un valor más cercano al de la pendiente de laserie real, sin embargo F1 solo difiere con estos en un 8%, las cinco funciones presentanpendientes negativas y con un valor cercano al de la serie real, lo cual podría indicar quetambién presentan comportamiento similar al del ruido 1/f .

En la tabla 6-4 se encuentran los dos estadísticos no lineales, el máximo exponente deLyapunov obtenido a partir del método de Rosenstein y el retardo propio de la señal de lainformación mutua promedio. Para el máximo exponente de Lyapunov las cinco funcionespresentan valores cercanos al de la serie real. Para el análisis fractal que se visualiza en latabla 6-5, las cinco funciones presentan un exponente de Hurst similar, por lo que estas cincorevelan un comportamiento persistente, en cuanto a los exponentes de Hölder, se observaque en F1 se presenta un exponente de Hölder mayor a uno en un valor cercano al de la seriede tiempo.

En la figura 6-5 (a) se observa a F1 la cual se selecciona como la mejor solución de este juegode experimentos, ya que presenta características de la serie de tiempo como una pendiente delespectro de potencia con comportamiento del ruido 1/f , un máximo exponente de Lyapunovpositivo y que su valor presenta un error relativo del 9.8% respecto al valor del máximoexponente de la serie real, en términos del análisis fractal se observa que la serie tiene uncomportamiento persistente debido a su exponente de Hurst y para el exponente de Hölder,se presenta irregularidades alrededor del día 1652.

No Fobj MAE POCID NSEF1 0.2503 0.1174 0.34775 0.2586F2 0.2566 0.1244 0.34922 0.2800F3 0.2706 0.1328 0.3525 0.2822F4 0.2711 0.1306 0.3530 0.2673F5 0.2722 0.1404 0.35761 0.3097

Tabla 6-2: Función objetivo descompuesta para las cinco mejores soluciones

6.1 Primer juego de experimentos 49

Análisis LinealSol pcpc P.E.PNo Valor Error(%) Valor Error(%)

F1 811 63.71 -0.6754 24.32F2 820 63.31 -0.6615 25.88F3 906 59.46 -0.7446 16.57F4 857 61.65 -0.5982 32.97F5 1053 52.88 -0.7210 19.21

Tabla 6-3: Estadísticos lineales

Análisis no LinealSol AMI dl(20) Máx exponente Lyapunov(0.0051)No dl Error (%) Valor Error(%)

F1 46 130 0.0046 9.8039F2 48 140 0.0047 7.8431F3 61 205 0.0049 3.9216F4 19 5 0.0041 19.6078F5 52 160 0.0041 19.6078

Tabla 6-4: Estadísticos no lineales

Análisis FractalSol Exp Hurst E.HölderNo Valor Error (%) Valor Error (%)

F1 0.9663 0.6982 1652 8.8803F2 0.9661 0.6774 1447 20.188F3 0.9668 0.7503 2100 15.83F4 0.9644 0.5002 1289 28.9F5 0.9655 0.6148 2616 44.29

Tabla 6-5: Análisis fractal


6.2. Segundo juego de experimentos

Número de corridas 69Número de experimentos 600Número de la población 30Función objetivo utilizada 2 (Ec. 5-10)Número de parámetros del SFI 11

Tabla 6-6: Parámetros definidos para el segundo juego de experimentos

Para el anterior juego de experimentos el valor de función objetivo sigue presentando cambioshasta la generación 450, por lo tanto para este segundo juego se aumenta el número degeneraciones a 600 con el fin de que el algoritmo pueda encontrar una mejor solución durantecada corrida pero se disminuye el número de corridas a 693. La función objetivo a utilizarcorresponde a la segunda definida en el capítulo 5 (ecuación 5-10), la cual tiene el MSE comoestadístico adicional, el objetivo de este es penalizar la caída del pico más alto de la seriede tiempo. En la tabla 6-6 se presentan los parámetros definidos para este segundo juegode experimentos. En la figura 6-6 se observa la caracterización del valor de función objetivopara este juego de experimentos:

0 100 200 300 400 500 600

Generaciones

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Fo

bj


(a)

0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21

Fobj

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fre

cu

en

cia


(b)

Figura 6-6: (a) Fobj vs Número de generaciones (b) Histograma de Fobj

En la figura 6-6 (a) se observa que la varianza de Fobj va disminuyendo a medida que aumentael número de generaciones y que este valor cambia en valores de generaciones muy cercanosa 600. En 6-6 (b) se muestra la distribución de frecuencias de Fobj en la última generación decada corrida. Se observa que las mejores soluciones no son precisamente las más frecuentes.


6.2 Segundo juego de experimentos 51

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg

)


Serie de tiempo

F1

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg

)


Serie de tiempo

F2

(b)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg

)


Serie de tiempo

F3

(c)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1P

recio

($

/12

5kg

)Comparacion de la serie de tiempo con la cuarta señal obtenida (F4)

Serie de tiempo

F4

(d)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg

)


Serie de tiempo

F5

(e)



En la figura 6-7 se presentan las cinco mejores soluciones para este segundo juego de ex-perimentos, el cambio de tendencia después del pico más alto logra seguirse por las cincosoluciones, sin embargo a partir del día 4000 sigue presentándose el mismo inconveniente yaque ninguna captura los cambios abruptos de la serie de tiempo.

En la tabla 6-7 se evidencia que el valor de función objetivo disminuyó respecto al primerjuego de experimentos, además el valor del NSE para estas funciones es más cercano a uno,lo que indica un mayor ajuste de las soluciones a la serie de tiempo respecto al primer juegode experimentos.

Para los estadísticos lineales de la tabla 6-8 se muestra que estas funciones también podríantener un comportamiento del ruido 1/f ya que también poseen una pendiente negativa, parael caso de F3 el valor de la pendiente se asemeja al de la señal real, pues el error relativoentre estos dos valores es del 1.60%, en términos de la autocorrelación ninguna de las cincofunciones presenta un valor de cruce por cero cercano al de la señal, ya que todas decaen demanera rápida, pero se sigue evidenciando memoria lineal.

Para los estadísticos no lineales presentados en la tabla 6-9, se encuentra que F2, F3 y F5

poseen un exponente máximo de Lyapunov cercano al esperado (0.0051), para la informaciónmutua promedio se observa que F2 y F5 presentan un retardo propio de 35 días, comparadocon el de la serie de tiempo (retardo de 20 días), obteniendo un error relativo del 75%.

En la tabla 6-10 se observa el exponente de Hurst el cual indica que las cinco señalespresentan un comportamiento persistente, para F1 se aprecia que no hay exponente de Höldermayor a 1, en las demás funciones aunque existe un exponente de Hölder mayor a 1 lo cualpuede indicar irregularidad de la señal, no se da en días cercanos al día 1813 el cual es el quepresenta un exponente de Hölder mayor a uno después de haberse presentado un exponentecercano a cero.

No Fobj MAE POCID NSE MSEF1 0.1467 0.0970 0.3377 0.6075 0.0114F2 0.1578 0.0946 0.3389 0.5676 0.0126F3 0.1618 0.1190 0.3386 0.6302 0.0108F4 0.1658 0.1112 0.3335 0.6062 0.0115F5 0.1668 0.1233 0.3340 0.6345 0.0107


Se elige a F3 (Figura 6-6 (c)) como la mejor solución para este juego de experimentos, ya quedomina sobre las demás soluciones en términos del espectro de potencia y el máximo expo-nente de Lyapunov, presenta un NSE mayor al de los demás, además de un comportamientopersistente, siendo la solución que más atributos captura de la señal real.

6.2 Segundo juego de experimentos 53

Análisis LinealSol pcpc P.E.PNo Valor Error(%) Pendiente Error(%)

F1 732 67.24 -0.7392 17.17F2 746 66.62 -0.6587 26.20F3 756 66.17 -0.8782 1.60F4 697 68.81 -0.6900 22.68F5 743 66.75 -0.8693 2.59


Análisis no LinealSol AMI (dl) Máx exponente LyapunovNo dl Error (%) Valor Error(%)

F1 52 160 0.0058 13.7254F2 35 75 0.0048 5.8824F3 39 95 0.0046 7.8431F4 41 105 0.0038 25.4901F5 35 75 0.0046 7.8431


Análisis fractalSol Exp Hurst E.HölderNo Valor Error (%) Valor Error (%)

F1 0.9682 0.8962 - -F2 0.9641 0.4689 3796 109.37F3 0.9706 1.1463 3779 108.43F4 0.9619 0.2396 3412 88.19F5 0.9713 1.2192 644 46.93



6.3. Tercer juego de experimentos

Para este juego de experimentos se aumenta el número de parámetros del Sistema de Fun-ciones Iteradas, correspondiente a la longitud de los vectores x y, en los anteriores juegos deexperimentos la longitud de estos vectores es de seis, se decide aumentar la longitud a sietecon el fin de tener una coordenada alrededor del día 5200 ya que en ese día se presenta uncambio de dinámica, lo que permite este parámetro adicional es capturar dicho cambio, lacantidad de corridas se aumenta a 1004.

Número de corridas 100Número de generaciones 600Número de la población 30Función objetivo utilizada 1 (Ec. 5-8)Número de parámetros del SFI 14

Tabla 6-11: Parámetros del Algoritmo ED definidos para el tercer juego de experimentos

0 100 200 300 400 500 600

Generaciones

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Fo

bj


(a)

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06

Fobj

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Fre

cu

en

cia


(b)

Figura 6-8: (a) Fobj vs Número de generaciones (b) Histograma de Fobj

En la figura 6-8 (a) se aprecia que el valor de la función objetivo disminuyó, su rango abarcavalores en la primera generación desde 0.3 hasta 0.05 y a medida que aumenta este númerode generaciones va disminuyendo la varianza y después de la generación 530 todos los valoresde Fobj tratan de estabilizarse.


6.3 Tercer juego de experimentos 55

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1P

recio

($/1

25kg

)


Serie de tiempo

F1

(a)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($/1

25kg

)


Serie de tiempo

F2

(b)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg)


Serie de tiempo

F3

(c)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg)

Comparacion de la serie de tiempo con la cuarta señal obtenida (F4)

Serie de tiempo

F4

(d)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/125

kg

)


Serie de tiempo

F5

(e)


En la figura 6-9 se presentan las cinco mejores soluciones para este juego de experimentoscomparada con la serie de tiempo. Visualmente los resultados han mejorado, ya que estossiguen la tendencia de la serie de tiempo a partir del día 5000, sin embargo el cambio abrupto


después del día 4000 no es capturado por las señales obtenidas.

La función F1 es la que presenta mejor valor de función objetivo (tabla 6-12), junto a F2

son las que presentan un valor de NSE más cercano a uno y un menor valor de error medioabsoluto, por lo cual F1 es la solución que prima sobre las demás en términos de la funciónobjetivo.

En los atributos del análisis lineal, se observa en la tabla 6-13 que el valor de la pendiente delespectro de potencia sigue siendo negativo por lo cual puede tener comportamiento del ruido1/f , pero se evidencia en el error relativo que hay una diferencia porcentual que va desdeel 31.29% hasta el 35.92%, es decir que las soluciones obtenidas de los anteriores juegos deexperimentos logran capturar más el comportamiento de la señal en términos de su espectrode potencia.

En cuanto a los estadísticos no lineales presentados en la tabla 6-14 se muestra que F1 esla solución con un máximo exponente de Lyapunov similar al de la señal ya que el errorrelativo entre estos dos valores es del 1.96%, para los valores del exponente de Hurst y deHölder de la tabla 6-15 se aprecia que F5 se acerca más al exponente de Hurst de la señal,sin embargo todas las soluciones revelan un comportamiento persistente de la señal. Para elcaso del exponente de Hölder ninguna de las soluciones presenta irregularidades cercanas aldía 1813, para F1 y F3 no se presenta ningún exponente con valor mayor a 1.

No Fobj MAE POCID NSEF1 0.0118 0.0139 0.3402 0.7127F2 0.0212 0.0257 0.3410 0.7190F3 0.0241 0.0296 0.3433 0.7215F4 0.0259 0.0267 0.3483 0.6626F5 0.0260 0.0266 0.3426 0.6658


6.3 Tercer juego de experimentos 57

Análisis LinealSol pcpc P.E.PNo Valor Error(%) Pendiente Error(%)

F1 757 66.12 -0.5719 35.92F2 823 63.17 -0.5937 33.47F3 772 65.45 -0.6132 31.29F4 787 64.78 -0.5954 33.28F5 786 64.83 -0.5899 33.90


Análisis no LinealSol AMI dl(20) Máx exponente Lyapunov(0.0051)No dl Error (%) Valor Error(%)

F1 44 120 0.0050 1.9608F2 48 140 0.0031 39.2157F3 25 25 0.0045 11.7647F4 38 90 0.0042 17.6471F5 26 30 0.0037 27.4510


Análisis FractalSol Exp Hurst E.HölderNo Valor Error (%) Valor Error (%)

F1 0.9691 0.9900 - -F2 0.9673 0.8024 3834 111.47F3 0.9687 0.9483 - -F4 0.9689 0.9692 3294 81.68F5 0.9608 0.1251 3903 115.27



En la tabla 6-16 se presentan los vectores x,y con los valores que construyen la mejor soluciónde toda la etapa de experimentación la cual se muestra en la figura 6-10. Los vectores xy tienen una longitud de siete, lo cual nos indica que con siete coordenadas en el planoes posible obtener una señal que reconstruya la serie de tiempo, para el primer y segundojuego de experimentos la longitud de estos vectores eran de seis, donde cinco de las seiscoordenadas se encuentran ubicadas antes del día 4000, lo que nos indica que al tener unasola coordenada para los 1478 puntos restantes no es posible reconstruir la serie de tiempopara esa ventana de tiempo, al añadir la séptima coordenada los cambios después del día4000 pueden apreciarse en las soluciones dadas por el tercer juego de experimentos, no solode manera visual, si no que esta mejora es reflejada en la función objetivo. El factor de escalaobtenido para esta solución es s = 0.3879.

x x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

V alor 0 800.6496 2463 3001.8 3908.3 5181.9 5478y y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6V alor 1.9145 2.1077 3.0754 5.9738 2.0156 5.0784 3.9909

Tabla 6-16: Valores en los vectores x,y para la construcción de la mejor solución obtenida

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg

)


Serie de tiempo

F1

Figura 6-10: Mejor solución de toda la etapa de experimentación

6.4 Discusión 59

6.4. DiscusiónEn esta sección de discusión se presentan las mejores soluciones obtenidas en cada juego deexperimento, en la tabla 6-17 se presentan los parámetros correspondientes a los vectoresx,y para las tres soluciones y en la figura 6-12 la comparación de estas y la serie de tiempo.Estas soluciones se identifican como 1, 2 y 3 (primer, segundo y tercer juego de experimentosrespectivamente), se hace una inspección visual de estas tres, determinando cual de estassigue la tendencia de la serie de tiempo.

Las tres soluciones capturan atributos como el exponente de Hurst, esto puede ser debidoa que las tres soluciones siguen parte de la dinámica de la serie de tiempo, lo que puedetener las características fractales que esta presenta. En términos de análisis lineal ningunade estas soluciones presenta un primer cruce por cero cercano al de la serie de tiempo, en elespectro de potencia las tres soluciones presentan valores negativos en la pendiente, pero lamejor solución del segundo juego de experimentos es la que presenta un valor más cercano,ya que el error relativo entre esta y la pendiente de la serie de tiempo es de 1.60%. Lasolución 1 es la única de estas tres que captura tanto exponente de Hurst como el exponentede Hölder, puesto que ni en la solución dos ni en la tres se presenta algún exponente deHölder mayor a uno. El máximo exponente de Lyapunov de la serie de tiempo se ve reflejadoen las tres soluciones, las cuales al seguir la dinámica de esta podrían estar capturandoel comportamiento caótico, ya que el máximo exponente que estas presentan es positivo,además de que el valor de este exponente en cada solución es cercano al de la serie, puestoque el error relativo entre el valor del exponente en cada solución y el de la serie de tiempoes de 9.80%, 7.84% y 1.96% respectivamente. Se observan los parámetros del vector x enlas tres soluciones en términos del exponente de Hölder de la serie de tiempo en la figura6-11, se observa que para x1, x2, x3 y x4 se presentan valores entre 0.25 y 0.5, sin cambiosabruptos, por lo cual indica que no se muestra ninguna irregularidad en la serie en esos días.Se obtiene la distancia entre puntos del vector x para cada solución, es decir, la distanciaque hay entre x0 y x1, x1 y x2, x2 y x3, sucesivamente. Se observa que las distancias entrepuntos varían y que no se presenta algún patrón entre ellas.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Tiempo (Dias)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Exp

on

en

te


Figura 6-11: Exponentes de Hölder para la serie de tiempo


Solución No x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

1 0 801.9 2463.3 3637.8 3927.1 5478 -2 0 809.4 2480.4 3095.8 3920.3 5478 -3 0 800.64 2463 3001.8 3908.3 5181.9 5478Solución No y0 y1 y2 y3 y4 y5 y61 2.31 2.60 3.01 6.002 2.53 4.90 -2 2.37 2.51 3.09 5.98 2.56 3.99 -3 1.91 2.10 3.07 5.97 2.01 5.07 3.99

Tabla 6-17: Parámetros x,y de la mejor solución obtenida en los tres juegos de experimentos

Al comparar visualmente las tres soluciones con la serie de tiempo en la figura 6-12. Estastres soluciones presentan un primer pico alrededor del día 500 el cual se ve en la serie detiempo solo hasta el día 800, se observa que la solución 1 no decae rápidamente despuésdel primer pico, cambio que se presenta en la solución 2, ya que esta si decae y llega a unvalor de precio cercano al de la serie en el día 4000, sin embargo ninguna de estas dos siguelos cambios de dinámica a partir de este día. Con ello surge la necesidad de insertar unaséptima coordenada que logre seguir esos cambios, en la solución 3 se observa una mejoratanto a nivel visual como en términos de la función objetivo. Se observa que el parámetro x5

posee un valor de 5181.9, que indica que a partir del día 5181 se presentará un cambio en ladinámica de la serie de tiempo que no lograban capturar las otras dos soluciones.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tiempo (días)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cio

($

/12

5kg

)

Comparacion de la serie de tiempo con la mejor solución de cada juego de experimentos

Serie de tiempo

Solución 1

Solución 2

Solución 3

Figura 6-12: Comparación de la serie de tiempo con las soluciones 1, 2 y 3

Capítulo 7

Conclusiones

ResumenEn este trabajo se presentaron las etapas de experimentación para la reconstrucción del

precio diario interno del café Colombiano a partir de un sistema de funciones iteradas el cualestá calibrado a partir de un algoritmo de evolución diferencial.

En primer lugar se realizó la descripción y análisis de la serie de tiempo proporcionadapor la Federación Nacional de cafeteros con el propósito de entender su comportamiento.Se tuvieron en cuenta tres ópticas: el análisis lineal, no lineal y fractal, en los cuales seobservaron características como la presencia de memoria lineal y no lineal a largo plazo,la serie de tiempo presenta una distribución de frecuencias multimodal, la pendiente desu espectro de potencia presenta características del ruido 1/f , un máximo exponente deLyapunov positivo el cual podría ser un indicador de caos, en términos fractales a partirdel exponente de Hurst se revela un comportamiento persistente de la serie y a partir delexponente de Hölder se observan puntos de la serie en los que esta no es diferenciable.

Luego, se describe la implementación del mecanismo utilizado para reconstruir la serie detiempo, al realizar el análisis de la serie se observó que esta presentaba en algunas escalascaracterísticas fractales debido a la auto-semejanza . El mecanismo seleccionado correspondea los sistemas de funciones iteradas los cuales permiten representar de una manera simpleseñales que presentan estas características, debe tenerse en cuenta que este mecanismo co-rresponde a un sistema dinámico lineal que es capaz de reconstruir la dinámica no linealde la serie de tiempo. Para calibrar los parámetros de este SFI se empleó un algoritmo deevolución diferencial.

Se realizaron diferentes juegos de experimentos, para el primer juego, se seleccionaron lasmejores soluciones, en las cuales se observó que presentaban un comportamiento similar alde la serie de tiempo hasta el día 3000 ya que siguen la tendencia, uno de los estadísticos enlos que más destaca es el NSE, ya que es un valor muy cercano a 1. Con el fin de mejorar

62 7 Conclusiones

los resultados se optó por adicionarle a la función objetivo el MSE obteniendo una segundafunción objetivo, con el fin de mejorar la caída del pico más alto de la señal, en este segundojuego de experimentos con la función objetivo modificada se presentan mejores valores enlos estadísticos lineales y no lineales, sin embargo, en las herramientas de análisis fractal nose presentan mejoras. Para el primer y segundo juego de experimentos son utilizadas seiscoordenadas para reconstruir los 5478 puntos. A partir del análisis visual se contempla quela clave para mejorar el modelo obtenido consiste en incrementar el número de coordenadasdespués del día 3000, para ello se incrementa el número de parámetros del SFI y se realizaun tercer juego de experimentos con la primer función objetivo.

Se compararon los tres juegos de experimentos y se muestra que la mejor solución se encuen-tra en el último juego de estos. La señal seleccionada como la mejor, captura atributos de laserie de tiempo como: Su espectro de potencia, el coeficiente de Hurst, el máximo exponentede Lyapunov.

Trabajo FuturoSe encontró un Sistema que permite la reconstrucción de la serie de tiempo, en la primeraetapa de experimentación se empleaban 11 parámetros para el sistema, la mejor solución delas tres etapas cuenta con 13 parámetros, sin embargo se observa que la señal obtenida nosigue la tendencia después del año 2018 ni en la subida que presenta a partir del día 4000debido al cambio abrupto de dinámica. Como trabajo futuro podría desarrollarse el acoplede dos o más Sistemas de Funciones Iteradas que permitan seguir estos cambios abruptosquizá con una cantidad menor de parámetros.

Apéndice A

Ensemble Forecasting

En este apendice se presenta la metodologia del ensemble forecasting para los 40 mejoresresultados en términos de la función objetivo, los cuales seran proyectados hasta el año 2018.Se varian los parámetros del SFI y la condición inicial con el fin de observar su capacidadde predicción.

El ensemble forecasting es un método de predicción numérica que es usado para generarmúltiples cálculos representativos de los posibles estados del clima. Si las predicciónes varíanmucho indica que hay mayor incertidumbre en lo que en realidad pasará. Dos de las fuentesprincipales de incertidumbre en los modelos de predicción son: el error introducido por lascondiciones iniciales y el error introducido por los parámetros del modelo[2].

A.1. Diagrama de cajas y bigotesEl diagrama de cajas y bigotes es un método para mostrar de manera visual un grupo

de datos a partir de los cuartiles (Figura A-2).

Figura A-1: Ensemble Forecast. Tomado de [2]

64 A Ensemble Forecasting

Figura A-2: Diagrama de cajas y bigotes. Tomado de [3]

Los bigotes se utilizan para indicar la variabilidad que se encuentra fuera de los cuartiles in-ferior o superior. Los valores atípicos se representan como puntos individuales. Comúnmentelos diagramas de cajas y bigotes son utilizados en estadísticas descriptivas ya que examinande forma rápida uno o más conjuntos de datos de manera visual[2].

Se toman las cuarenta soluciones que presentan menor valor de función objetivo y se com-paran con los datos del año 2018, en la figura A-3 se observa que la serie de tiempo solocoincide con las cuarenta mejores soluciones a partir del día 300.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (Días)

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Pre

cio

($

/12

5kg

)

Año 2018

Figura A-3: Ensemble forecasting para las 40 mejores soluciones. Año 2018

A.2 Variación de la condición inicial y con los parámetros del SFI fijos 65

A.2. Variación de la condición inicial y con los paráme-tros del SFI fijos

Se toma la mejor solución obtenida en la etapa de experimentación en donde se dejan fijoslos parámetros del SFI de esta solución, se genera un conjunto con las cuarenta mejoressoluciones y su respectiva condición inicial, a la mejor solución se le varía la condición inicialcolocándole la condición inicial de las cuarenta mejores. Como se observa en la figura A-3,solo a partir del día 300 los datos de la serie de tiempo están inmersos en los datos de lascuarenta mejores soluciones, se realizan variaciones en las coordenadas y del SFI con el fin deobservar si los primeros días del año 2018 logran estar inmersos entre las cuarenta solucionesy se valida la varianza a partir del diagrama de cajas y bigotes, la cual puede observarseen la figura A-4 (a). Se observa que hay 96 datos de la serie de tiempo dentro del rangointercuartil, correspondiente al 26.44% de los datos.

A.3. Variación de los parámetros del SFI con la condi-ción inicial fija

Para este método de validación se toma la mejor solución dejando fija su condición inicial,se genera un conjunto con los parámetros de las cuarenta mejores soluciones, a la mejor sele deja fija su condición inicial y se varian sus parámetros con dicho conjunto y se corren lassimulaciones, para el diagrama de cajas de este método se encuentran 30 datos dentro delrango intercuartil, lo cual representa un 9.09% de los datos, esto se observa en la figura A-4(b).

A partir de estas dos validaciones se observa que al variar la condición inicial se presentanmejores resultados, ya que se encuentra un mayor porcentaje de datos dentro del rangointercuartil al realizar esta variación, su horizonte de predicción comprendería 96 de los 363días que se proyectaron.

66 A Ensemble Forecasting

(a) (b)

Figura A-4: Diagrama de cajas para las 40 mejores soluciones (Año 2018) (a)Confición inicialvariable y parámetros fijos (b) Condición inicial fija y parámetros variables

Bibliografía

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