INTRODUCCIÓN:

Los métodos numéricos son una alternativa de solución para problemas que no tienen un modelo matemático que los solucione ó la aplicación de ese modelo, cuando existe, resulta demasiado compleja.

Ejemplo: Resolver la ecuación

Respuesta arrojada por Derive: x = 2,769292354

Existen modelos para casos similares que tienen ciertas “particularidades”, algunas que en nuestro caso no se cumplen y otras que posiblemente sí (consultar Método de Tartaglia). Para resolver nuestro problema recurrimos al cálculo, determinando los puntos críticos y graficando para intuir la solución.

Obtenemos la primera derivada para determinar los puntos máximo y mínimo:

x1 = 1,82x2 = 0,18

y1 = -3,09y2 = -0,91

Obtenemos la segunda derivada para determinar el punto de inflexión:

De donde:

x = 1y = -2

Gráficamente:

El método numérico aparece cuando necesitamos precisar la respuesta, recurriendo a un proceso iterativo que nos aproxime a la respuesta matemática “tanto como deseemos”. En nuestro caso se observa en primera instancia que la respuesta está entre 2 y 3. Utilizando lo dicho, refinamos a: entre 2,7 y 2,8. Si requerimos más precisión seguimos iterando para llegar en una nueva instancia a: entre 2,76 y 2,77; y, así sucesivamente. En general, siempre nos conformaremos con una “aproximación” al paso que aceptamos “un ligero error”, que dependerá de nuestros intereses.

Pero… ¿Es que alguna vez, la respuesta es EXACTA?

UNIDAD 1: TEORÍA DE ERRORES (Consultar: Error y tipos de error, tipos de redondeo, cifras significativas, precisión y exactitud)

1.1. El error y tipos de error

En la práctica de la Ingeniería y de las Ciencias, debemos conformarnos siempre con una solución aproximada ante cualquier problema planteado, por las siguientes razones:

Los modelos matemáticos son aproximados; esto es, son simplificaciones del problema real. No se tienen en cuenta todos los factores que pueden afectar a un fenómeno. Por ejemplo, en el caso del tiro parabólico, se suele despreciar la resistencia del aire; sin embargo, para casos reales, esta variable es absolutamente indispensable para los cálculos.

Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe aproximar la solución numéricamente. Por ejemplo una ecuación de quinto grado.

Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y éstas, sólo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. Por ejemplo, “se sabe que” cuando se habla de caída libre, v = gt y se procede a los cálculos. El problema está en el valor de g, que fue obtenido experimentalmente y que se utiliza como 9.8, en la mayoría de los casos sin especificar que ese 9.8 es aproximado.

Ó los parámetros pueden provenir de cálculos matemáticos y estos tienen una precisión limitada que depende del número de cifras decimales que se utilicen. Por ejemplo, el área de un círculo: A = r2. Al hacer el cálculo, se limitará a cierto número de decimales, lo que redundará en una “A” imprecisa.

Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre estarán presentes LOS ERRORES! Estos pueden clasificarse según la fuente de que proceden en:

1.1.1. Errores inherentes:

Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen de forma experimental. El error se debe tanto al instrumento de medición, como a las condiciones en las que se realiza el experimento. Por ejemplo, si el experimento es a temperatura constante, debe tenerse en cuenta que ésta no se logra más que en forma aproximada.

El error inherente puede deberse también a que se involucren cantidades que no pueden ser representadas exactamente en un número dado de dígitos decimales. Por ejemplo, el cálculo del lado de un cuadrado con base en su diagonal; en forma elemental sería:

Y, el problema es: cuándo acabamos de calcular la raíz cuadrada de 2?

1.1.2. Errores de truncamiento:

Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:

Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Sólo depende del método numérico empleado.

Ejemplo: Al calcular el valor de e, esperamos obtener 2,71828182845905. Al efectuar el cálculo por la serie de Taylor hasta n=6 se obtiene e=2,71805555555556, lo que nos produce un error de al menos 2 diezmilésimas, por haber truncado el resto de los términos de la serie, a partir del octavo. Si se trabaja hasta n=10 se obtiene e=2,71828180114638, lo que nos produce un error mucho menor, de al menos 2 cienmillonésimas, por haber truncado el resto de los términos de la serie, a partir del decimosegundo. 1.1.3. Errores de redondeo:

Los errores de redondeo se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando, o lo que determine la voluntad del usuario. Por ejemplo al calcular el valor de  , tenemos que quedarnos sólo con la mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de cálculo o que imponga el usuario.

1.2. Tipos de redondeo

Al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere, puede requerirse un proceso de redondeo. Para redondear se emplea usualmente:

1.2.1. Redondeo truncado:

El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de

cifras decimales que se estén utilizando. Por ejemplo, sí redondeamos a 4 cifras decimales tenemos 0,7777.

1.2.2. Redondeo simétrico:

El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada está entre 0

y 4. Por ejemplo, sí redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 0,7778.

En la práctica, puede no ser así. Si realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras decimales y usamos ambos tipos de redondeo, se obtiene:

0,3333 + 0,6666 = 0,9999 (Redondeo truncado) 0,3333 + 0,6667 = 1 (Redondeo simétrico)

Puede observarse, que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más precisos.

1.3. Cifras significativas

El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza. Al usar instrumentos de medición, siempre existirá la duda del valor que debo asignar a la cifra correspondiente a la división más pequeña del instrumento.

Por ejemplo, si se mide una longitud con una cinta métrica cuya menor división es el centímetro, puedo estar seguro de la medida hasta los centímetros, pero siempre quedará la duda sobre cuánto mide ese pedacito que sobra en el objeto que estoy midiendo y que no alcanza a ser un centímetro. En nuestro sistema serían los milímetros restantes que deben determinarse al ojo porque en nuestra cinta no están marcadas divisiones entre las marcas de los centímetros. Entonces, el número de cifras significativas se conforma con

el número de cifras seguras más una, por la cifra dudosa. De igual manera, sirven como ejemplos las lecturas de los odómetros y los velocímetros de los autos.

Por otro lado, los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse sólo para ubicar al punto decimal. Por ejemplo, de los siguientes números todos tienen 4 cifras significativas: 0,00001985; 0,0001985; 0,001985; 19,85 y 1985. Para asegurar que un cero represente una cifra significativa, es común emplear la notación científica. Para quitar las dudas, hagámoslo con el ejemplo anterior:

0,00001985 = 1,985x10-5, para cuatro cifras significativas que se leen en la base. 0,0001985 = 1,985x10-4, para cuatro cifras significativas que se leen en la base. 0,001985 = 1,985x10-3, para cuatro cifras significativas que se leen en la base. 1985 = 1,985x103, para cuatro cifras significativas que se leen en la base. 19,85 = 1,985x101, para cuatro cifras significativas que se leen en la base.

Por otra parte, los siguientes números tienen 3, 4 y 5 cifras significativas, respectivamente: 4,53x10-5 (hay seguridad hasta las décimas), 4,530x10-5 (hay seguridad hasta las centésimas) y 4,5300 x 10-5 (hay seguridad hasta las milésimas). Para expresar lo mismo, se suele poner explícitamente los ceros cuando se trabaja en forma natural. De los siguientes números, todos tienen 5 cifras significativas: 19850, 0,019850, 19,850, por la presencia del 0 a la derecha.