Apuntes

2

Contenido1. Línea Recta------------------------------------------------------------------------------------3

1.1 Definición y aplicaciones

2. Elementos de la Recta-----------------------------------------------------------------------42.1 Formulario

3. Ejercicios---------------------------------------------------------------------------------------73.1 Distancia entre dos puntos

4. Cónicas----------------------------------------------------------------------------------------144.1 Definición 4.2 Circunferencia----------------------------------------------------------------------------15

4.2.1 Definición4.2.2 Elementos de la circunferencia4.2.3 Formulario 4.2.4 Centro en el origen4.2.5 Centro fuera del origen

4.3 Parábola-----------------------------------------------------------------------------------284.3.1 Definición4.3.2 Elementos de la parábola4.3.3 Formulario4.3.4 Vértice en el origen4.3.5 Vértice fuera del origen

3

Línea Recta

En este documento detallamos algunos aspectos sencillos de la gráfica de una línearecta. Partimos de las gráficas de rectas más simples, como rectas constantes, y rectasque pasan por el origen, para llegar a recta que tiene la forma y = ax+b. Posteriormentevemos otras formas de la ecuación de la recta que son equivalentes.

La línea recta es la figura geométrica más usada. Ésta puede representarse de muchasformas. Para poder estudiarla suponemos conocidos los conceptos de “punto” y “plano”.

Definición

Definiciones de línea recta:

1. Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo una recta pasa por esos dos puntos.

2. Es la figura geométrica formada por un polinomio de primer grado a0 + a1x.

3. Es la figura geométrica obtenida al unir dos puntos, tal que la distancia recorrida sobre ésta figura, es la más corta.

La recta es usada en una gran cantidad de aplicaciones.

1. Con líneas rectas podemos formar, triángulos, cuadrados, rectángulos, en general todos los polígonos.

2. Los modelos más simples pueden construirse con líneas rectas, por ejemplo un objeto en movimiento con aceleración constante puede modelarse con una línea recta donde la pendiente es la aceleración.

4

Elementos de la Recta

Y= EJE DE LAS ABSISASX= EJE DE LAS ORDENADAS

P1 (X1,Y1)= punto de una rectam= pendiente de una rectaP2(X2,Y2)= segundo punto

5

Formulario

Forma general de la recta

Ax+By+C

m=−AB

b=−CB

a=−CA

Dondem=pendiente

b=intersección en eje “y”a=intersección en eje “x”

Forma normal de la recta

x cosα+ y sin α−p=0

Forma simétrica de la recta

xa+ yb=1

Fórmula para calcular pendiente

m=(Y 2−Y 1)(X 2– X 1)

En rectas paralelas m1=m2

En rectas perpendiculares m1=−1m2

Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos

d=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2

Punto medio de una recta

Xm=x2+x1

2 Ym=

y2+ y1

2 = (Xm,Ym)

Fórmula para hallar la ecuación de una recta

( y− y0 )=m(x−x0)

6

Donde “y0” “x0” son coordenadas de un punto (X,Y)

Formula punto pendiente

y=mx+b

Donde m= pendiente

b= intersección en eje “y”

Fórmula para la distancia entre un punto y una recta

d=¿Ax+By+C∨ ¿√A2+B2

¿

Fórmula para calcular el área de un triangulo (determinantes)

A=12 |( y1− y3 )x2−(x1−x3 ) y2+x1 y3−x3 y1|

7

Ejercicios

1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto J(-2,-3) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(5,4)

Soluciónm1 = m2

m=(Y 2−Y 1 )(X 2– X 1 )

m=(4−3)(5−2)

=13

( y− y0 )=m (x−x0 )

¿

( y+3 )=13

( x+2 )

3 ( y+3 )=1 ( x+2 )

3 y+9=x+2

(−1 ) (−x+3 y+9−2=0 )

x−3 y−7=0

2.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto k(2,1) y que es perpendicular a la recta que pasa por a(-2,1) y b(-3,5)

Soluciónm1=m2

m1=−1m2

m2=(5−1)(3+2)

=−4

m1=−1−4

=14

( y− y0 )=m (x−x0 )

( y−1 )=14

( x−2 )

4 ( y−1 )=1 ( x−2 )

4 y−4=x−2

(−1 ) (−x+4 y−4+2=0 )

x−4 y+2=0

8

3.- Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -2 y que pasa por las rectas 2x+3y-7=0 y 2x-2y-2=0

Solución 2 x+3 y−7=0

(−1 ) (2x−2 y−2=0 )

2 x+3 y−7=0−2 x+2 y+2=00 x+5 y−5=0

5 y=5

y=55=1

2 x+3 y−7=0

2 x+3 y−7=0

2 x+3 (1 )−7=0

2 x−4=0

x=42

x=2

( y− y0 )=m (x−x0 )

( y−1 )=−2 ( x−2 )

y−1=−2 x+2

2 x+ y−1−2=0

2 x+ y−3=0

4.-Hallar la intersección con los ejes coordenados de la recta 2x+3y-6=0

Solución 2 x+3 y−6=0

y=0

2 x−6=0

x=62=3

Coordenadas (3,0)

x=0

3 y−6=0

y=63=2

Coordenadas (0,2)

9

5.- Hallar la pendiente de la ecuación de la recta 3x+y-4=0

Solucióny=mx+b

Ax+By+C=0

3 x+ y−4=0

y=−3x+4

m=−3

6.- Hallar la pendiente y ordenada al origen de la recta 2x+y-5=0

SoluciónAx+By+C=0

2 x+ y−5=0

y=−2x+5

m=−2

m=−AB

m=−21

=−2

7.- Calcula la distancia del punto A(2,1) a la recta 3x-y+2=0 y las intersecciones de la recta con los ejes coordenados

Solución

d=¿Ax+By+C∨ ¿√A2+B2

¿

d=|3 (2 )+(1 )+2|

√32+12

d=¿6+1+2∨ ¿√9+1

¿

d=¿9∨ ¿√10

=2.848¿

3 x− y+2=0

x=0

y+2=0

y=−2

y=0

3 x=−2

x=−23

10

8.- Encuentra la intersección de la recta 2x+3y-6=0 con los ejes coordenados con la ecuación simétrica de la recta

Soluciónxa+ yb=1

2 x+3 y−6=0

2 x+3 y=6

2x6

+ 3 y6

=66

x3+ y

2=1−−→ec. simetrica

9.- Hallar la intersección con los ejes coordenados de la recta cuya ecuación es 3x+y-2=0

Soluciónxa+ yb=1

3 x+ y−2=0

3 x+ y=2

3x2

+ y2=2

2

6 x+2 y2

=1

x3+ y=1−−→ec. simetrica

11

10.- A partir de la formula general de la recta obtén la pendiente, intersección con los ejes coordenados respecto a las siguientes formulas

m=−AB

b=−CB

a=−CA

Sea 2x-3y-5=0

m=−2−3

=23

b= 5−3

=−53

X= (-5/3,0)

a=−52

=−52

Y=(0,5/2)

11.- Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto j(-2,-3) y es perpendicular a la recta 2x-3y+1=0

Solución

m=−AB

m=−2−3

=23

m1=−1m2

23=−1m2

m2=−123

=−32

y− y0=m ( x−x0 )

y — (−3)=−32

¿

2 ( y+3 )=−3 ( x+2 )

2 y+6=−3x+6

3 x+2 y+6−6=0

3 x+2 y=0

12.- Encuentra la ecuación de la recta cuya distancia al origen es p=5 considerando que el ángulo de inclinación de la normal es α=60°

Soluciónx cosα+ y sin α−p=0

x cos60+ y sin 60−5=0

(x (0.5 )+ y (0.86 )−5=0 ) (100 )

50 x+86 y−500=0−−→ec .normal

12

13.- Transforma la ecuación de la recta 3x+4y-15=0 de su forma general a la forma normal

Solución3 x+4 y−15=0

Escriba aquí la ecuación.

14.- Calcula la distancia del punto j(2,1) a la recta 2x-y+5=0

Solución

d=|Ax+By+C|

√ A2+B2

d=|2 (2 )−1+5|

√22+12

d=¿8∨ ¿√5

= 8

√5¿

15.- Calcula la distancia entre la recta 2x+3y-6=0 y 2x+3y+1=0

Solución2 x+3 y−6=0

y=0

2 x−6=0

x=62=3

coordenadas (3,0 )

x=0

3 y−6=0

y=63=2

coordenadas (0,2)

d=¿Ax+By+C∨ ¿√A2+B2

¿

d=|2 (0 )+3 (2 )+1|

√22+32

d=|6+1|√13

=|7|√13

d=1.94

13

16.- Calcula en área del triangulo cuyos vértices son j(2,1) k(8,2) y l(3,6)

Solución I

A=12 |( y1− y3 )x2−(x1−x3 ) y2+x1 y3−x3 y1|

A=12∨(1−6 ) 8 — (2−3)2+2∗6−3∗1∨¿

A=12|−40−(−2 )+12−3|

A=12|−40+2+12−3|

A=12|57|

A=572

=14.5

17.- Calcula el área del triangulo cuyos pinches vértices son los puntos A(6,2) B(4,7) y C(1,1)

Solución

A=12 |( y1− y3 )x2−(x1−x3 ) y2+x1 y3−x3 y1|

A=12

¿|

A=12|1∗4−5∗7+6−2|

A=12|4−35+4|

A=12|35|

A=352

=17.5

14

Cónicas

Formas cónicas pueden obtenerse al cortar una superficie cónica de revolución con un plano que no pase por el vértice. El tipo de cónica obtenido dependerá de la inclinación del plano respecto al eje de dicha superficie.

15

Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

Elementos de la circunferencia

Radio: distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia

Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Arco. Es un trozo de circunferencia

Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.

Tangente: Recta que toca en un punto a la circunferencia.

16

Formulario

Forma cónica con centro en el origen C (h, k) = C (0,0)

x2+ y2=r2

Forma ordinaria con centro fuera del origen C (h,k)

(x−h)2+( y−k )2=r 2

Forma general

x2+ y2+Dx+Ey+F=0D=−2hE=−2k

F=h2+k 2−r2

17

Ejercicios

1.- Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y con un radio de 6

SoluciónC (0,0 )r=6

x2+ y2=r2

x2+ y2=62

x2+ y2=36→ec.ord .

x2+ y2−36=0→ec .gral .

2.- Encuentra la ecuación de la circunferencia con el centro en el origen y con radio de 1

SoluciónC (0,0 )r=1

x2+ y2=r2

x2+ y2=12

x2+ y2=1−−→ec .ord .

x2+ y2−1=0−−→ec .gral .

18

3.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en c(-3,5) y tiene un radio de 6

Soluciónc (−3 ,−5 )r=7

c (h , k ) r=7

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

(x−(−3 ) )2+ ( y−(−5))2=72

( x+3 )2+( y+5 )2=72→ec .ord .

x2+6 x+9+ y2+10 y+25=49

x2+6 x+ y2+10 y+9+25−49=0

x2+ y2+6 x+10 y−15=0→ec .gral . 4.- Dada la ecuación x2+ y2+12 x−10 y+25=0 encuentra los valores del centro

y el radio de la circunferencia.

SoluciónSolución completando t.c.p.

x2+ y2+12 x−10 y+25=0

x2+ y2+12 x−10 y=−25

x2+12x+ y2−10 y=−25

x2+ 12 x2

+ y2−−10 y2

=−25

x2+12x+36+ y2−10 y+25=−25+25+36

x2+12x+36+ y2−10 y+25=36

( x+6 )2+( y−5 )2=36

Solución con formula

x2+ y2+12 x−10 y+25=0

D=−2h12=−2h

h= 12−2

=−6

E=−2k−10=−2k

k=−10−2

=5

F=h2+k 2−r2

r2=h2+k2−Fr=√−62+52−25

19

( x+6 )2+( y−5 )2=62

c (h , k )=C (−6,5 )r=6

r=√36+25−25r=√36r=6

5.- Encuentra el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por p(3,4) y tiene centro en el origen

Soluciónc (0,0 ) y pasa por p (3,4)

d=√(x2 – x1 )2+( y2− y1 )2

d=√(3−0 )2+( 4−0 )2

d=√(3 )2+( 4 )2

d=√9+16

d=√25

d=5

x2+ y2=r2

x2+ y2=52

x2+ y2=25

x2+ y2−25=0

6.- Hallar la ecuación ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro está en c(3,4) y tiene un radio de 4

Solución(x−h)2+( y−k )2=r 2

(x−3)2+( y−4 )2=42→ec .ord .

x2−6 x+9+ y2−8 y+16=16

x2−6 x+ y2−8 y+9+16−16=0

x2−6 x+ y2−8 y+9=0

x2+ y2−6 x−8 y+9=0→ec. gral

20

7.- Encuentra la ecuación ordinaria y general de la circunferencia con centro en (-3,-4) y que pasa por p(0,0)

Soluciónc (h , k )=(−3 ,−4 )

p(0,0)

r=√(x2 – x1 )2+( y2− y1 )2

r=√(−3−0)2+(−4−0)2

r=√(−3)2+(−4)2

r=√9+16

r=√25

r=5

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

(x−(−3))2+( y−(−4))2=52

(x+3)2+( y+4)2=52→ec .ord

x2+6 x+9+ y2+8 y+16=25

x2+6 x+ y2+8 y+9+16−25=0

x2+ y2+6 x+8 y=0→ec. gral

8.- Encuentra la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general con centro en c(2,3) y tangente a la recta 3x-4y+1=0

Soluciónc (h , k )=(2,3 )

3 x−4 y+1=0

r=|Ax+By+C|

√ A2+B2

r=|3 (2 )+(−4 (3 ) )+1|

√32+(−4 )2

r=|6−12+1|√9+16

r=|5|√25

=55

(x−h)2+( y−k )2=r 2

( x−2 )2+( y−3 )2=12→ec .ord

x2−4 x+4+ y2−6 y+9=1

x2−4 x+4+ y2−6 y+9=1

x2−4 x+ y2−6 y+4+9−1=0

x2+ y2−4 x−6 y+12=0→ec .gral .

21

r=1

9.- Encuentra el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación es x2+ y2+2 x+2 y−2=0

Soluciónx2+ y2+2 x+2 y−2=0

x2+ y2+2 x+2 y=2

x2+2x + y2+2 y=2

x2+ 2 x2

+ y2+2 y2

=2

x2+2x+1+ y2+2 y+1=2+1+1

x2+2x+1+ y2+2 y+1=4

( x+1 )2+( y+1 )2=4

( x+1 )2+( y+1 )2=22

c (−1 ,−1 ) r=2

x2+ y2+2 x+2 y−2=0

x2+ y2+Dx+Ey+F=0

D=−2h2=−2h

h= 2−2

h=−1

E=−2k2=−2k

k= 2−2

k=−1

F=h2+k 2−r2

−2= (−1 )2+ (−1 )2−r2

r2= (−1 )2+ (−1 )2+2

r=√ (−1 )2+(−1 )2+2r=√1+1+2

r=√4r=2

22

10.- Encuentra el centro, el radio y las ecuaciones de la circunferencia cuyo diámetro pasa por A(-3,-5) y B(1,-3)

Solución

Xm=x2+x1

2 Ym=

y2+ y1

2

Cx=−3+12

Cy=−5+3

2

Cx=−22

Cy=−22

Cx=−1Cy=−1

C (−1 ,−1)

r=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2

r=√(−3−(−1 ) )2+(−5−(−1 ) )2

r=√ (−2 )2+(−4 )2

r=√4+16

r=√20

(x−h)2+( y−k )2=r 2

(x−(−1 ))2+( y−(−1 ) )2=√202

( x+1 )2+ ( y+1 )2=20→ec.ord .

( x+1 )2+ ( y+1 )2=20

x2+2x+1+ y2+2 y+1=20

x2+2x+1+ y2+2 y+1−20=0

x2+2x+ y2+2 y−18=0

x2+ y2+2x+2 y−18=0→ec .gral

23

11.- Encuentra en la forma ordinaria y general la ecuación de la circunferencia que pasa por A(1,2) B(5,4) y C(3,8)

Solución Segmento AD = Diámetro

c (h , k )

Xm=x2+x1

2 Ym=

y2+ y1

2

Xm=3+12

Ym=2+82

Xm=42=2 Ym=10

2=5

c (2,5 )

r=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2

r=√(2−1)2+(5−2)2

r=√(1)2+(3)2

r=√1+9

r=√10

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

( x−2 )2+( y−5 )2=(√10 )2

( x−2 )2+( y−5 )2=10→ec.ord .

x2−4 x+4+ y2−10 y+25=10

x2−4 x+ y2−10 y+4+25−10=0

x2+ y2−4 x−10 y+19=0→ec .gral

24

12.- A partir de la ecuación x2+ y2−6 x−8 y=0 de una circunferencia calcula su longitud y la superficie del círculo limitado por la circunferencia

Solución x2+ y2−6 x−8 y=0

x2−6 x+ y2−8 y=0

x2 −6 x2

+ y2 −8 y2

=0

x2−6 x+9+ y2−8 y+16=9+16

x2−6 x+9+ y2−8 y+16=25

(x−3)2+( y−4 )2=52

r=5

D=2r

D=2 (5 )

D=10

SuperficieA=π r2

A=π 52

A=π 25A=78.53u2

Longitud

p=πDp=π 10

p=31.41u

25

13.- Encuentra la forma ordinaria y en la forma general la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,2) y B(7,8) si la recta x− y−5=0 pasa por el centro de la circunferencia.

SoluciónA(3,2) y B(7,8)

m=(2−8)(3−7)

m=−6−4

=32

Xm=x2+x1

2 Ym=

y2+ y1

2

Xm=3+72

Ym=2+82

Xm=102

Ym=102

Xm=5 Ym=5

( y− y0 )=m (x−x0 )

( y−5 )=23( x−5)

3 ( y−5 )=2(x−5)

3 y−15=2x−10

(−1)(−2 x+3 y+10−15=0)

2 x+3 y+5=0(−2)(x− y−5=0)

2 x+3 y+5=02 x+3 (−3)+5=0

2 x−9+5=02 x−4=0

2 x=4

x=42

x=2

c (2 ,−3)

r=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2

r=√(2−3)2+(−3−2)2

r=√(−1)2+(−5)2

r=√1+25

r=√26

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

( x−2 )2+( y−(−3))2=(√26 )2

( x−2 )2+( y+3 )2=26→ec .ord

x2−4 x+4+ y2+6 y+9=26

x2−4 x+4+ y2+6 y+9−26=0

x2−4 x+ y2+6 y−13=0→ec .gral .

26

2 x+3 y+5=0−2 x+2 y+10=0

0 x+5 y+15=05 y=−15

y=−155

y=−3 14.- Si la recta cuya ecuación es 5 x+2 y−9=0 pasa por el centro de una

circunferencia y tenemos los puntos J(1,-2) y K(5,0) que pertenece a la circunferencia encuentra la ecuación de la circunferencia en forma general y ordinaria.

Solución

Xm=x2+x1

2 Ym=

y2+ y1

2

Xm=1+52

=62

Ym=−22

Xm=3 Ym=−1

m=(Y 2−Y 1)(X 2– X 1)

m= −25−1

=−24

=−12

( y− y0 )=m (x−x0 )

( y−1 )=−12

( x−3 )

2 ( y−1 )=1 (x−3)

2 y−2= x−3

(−1 ) (−x+2 y−2+3=0 )

x−2 y−1=05 x+2 y−9=0

6 x−10=06 x=106 x=10

x=106

c ( 53,

15)

r=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2

r=√(1−5)2+(−2)2

r=√(−4 )2+(−2)2

r=√16+4

r=√20

(x−h)2+( y−k )2=r 2

(x−53)

2

+( y−15)

2

=(√20)2

(x−53 )

2

+( y−15 )

2

=20→ec .ord

x2−103

x+259

+ y2−25y+ 1

25=20

x2−103

x+ y2−25y+ 1

25+ 25

9−20=0

x2+ y2−103x−2

5y−3866

225=0→ec .gral .

27

x=53

x−2 y−1=053−2 y−1=0

−2 y−25=0

−2 y=25

y=

25

−2

y=15

c ( 53,

15)

15.- Por la forma ordinaria y general encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x2+ y2+6 x−8 y−11=0

Soluciónx2+ y2+6 x−8 y−11=0

x2+6 x+ y2−8 y=11

x2+ 6 x2

+ y2−8 y2

=11

x2+6 x+9+ y2−8 y+16=11+9+16

x2+6 x+9+ y2−8 y+16=36

(x+3)2+( y−4)2=36

(x+3)2+( y−4)2=62

c (−3 ,+4 ) r=6

x2+ y2+6 x−8 y−11=0

x2+ y2+Dx+Ey+F=0

D=−2h6=−2h

h= 6−2

h=−3

E=−2k−8=−2k

k=−8−2

k=4

F=h2+k 2−r2

−11=−32+42−r2

r2=−32+42−11r=√9+16−11

r=√36r=6

28

16.- Dada la ecuación de la circunferencia x2+ y2−6 x−8 y=0 encuentra el perímetro y el área.

x2+ y2−6 x−8 y=0

x2−6 x+ y2−8 y=0

x2−6 x2

+ y2−8 y2

=0

x2−6 x+9+ y2−8 y+16=0+9+16

x2−6 x+9+ y2−8 y+16=25

(x−3)2+( y−4 )2=25

(x−3)2+( y−4 )2=52

c (3,4 ) r=6

c (3,4 ) r=6

A=π r2

A=π 62

A=π 36A=π r2

A=113.09u2

p=2πrp=2π 6p=2πr

p=37.69u

Parábola

La parábola es el conjunto de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija d llamada directriz.

Elementos de la parábola

Vértice: Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.

Foco: Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría

Directriz: es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo

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punto al Foco

Eje de simetr ía: Recta perpendicular a la directriz y que pasa por e l vértice y el foco.

Lado recto: Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parábola

Parámetro: La distancia entre el vértice y la directriz que es la misma distancia entre el vértice y el foco.

Formulario

Formulario para la parábola con vértice en el origen C (0,0) horizontal y vertical respectivamente.

v (h , k )−−→vertice ocentroLR=4 p−→Lado recto p=distancia del foco al vertice

y2=±4 px F (± p ,0) x=± p

x2=±4 py F (0 , ± p) y=± p

Formulario para la parábola con vértice fuera del origen C (h,k) horizontal y vertical respectivamente.

v (h , k )−−→vertice ocentroLR=4 p−→Lado recto p=distancia del foco al verticeForma x2+Dx+Ey+ f =0

( y−k )2=±4 p(x−h) F (h± p , k ) x=h± p

(x−h)2=± 4 p (x−h) F (h , k ± p) y=k ± p

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Ejercicios

1.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco se encuentra en F(0,-2) y con vértice en el origen.

Soluciónx2=±4 py

x2=−4 pyx2=−4(2) y

x2=−8 y→ec.ordx2+8 y=0→ec. gral .

F (0 , ± p)

F (0−2)

LR=4 pLR=4 (2)LR=8

y=± p

y=2

y−2=0

2.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco se encuentra en F(1,0)y la ecuación de la directriz es x-1=0

Solucióny2=±4 px

y2=4 (1 ) xy2=4 x→ec .ord .

y2−4 x=0→ec .gral .

F (± p ,0)

F (1,0 )

LR=4 pLR=4 (1)LR=4

x=± p

x=1

31

3.- Encuentra todos los elementos de la parábola cuya ecuación es y2=12 x

Solucióny2=±4 px

y2=12 xy2=4(3) x

F (± p ,0)F (3,0)

LR=4 p12=4 p

p=124

=3

x=± p

x=−3x+3=0

4.- Hallar las ecuaciones de la parábola que tiene su vértice en el origen y su foco en F(0,-2)

Soluciónx2=±4 py

x2=−4 pyx2=−4(2) y

x2=−8 y→ec.ordx2+8=0→ec .gral .

F (0 , ± p)F (0 ,−2)

LR=4 pLR=4¿2)LR=8

y=± py=2

y−2=0

5.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice esta en el origen y la ecuación de la directriz es x−1=0

y2=±4 px

y2=−4 pxy2=−4 (1 ) x

y2=−4 x→ec .ordy2+4 x=0→ec. gral

F (± p ,0)F (−1,0)

LR=4 pLR=4 (1 )LR=4

x=± px−1=0x=1

6.- Dada la ecuación de la parábola x2+8 y=0 encuentra todos sus elementos

Solución

32

x2+8 y=0x2=−8 y

x2=−4 (2 ) y

F (0 , ± p)F (0 ,−p)F (0 ,−2)

LR=4 p8=4 p

p= 84

p=2

y=± py=py=2

y−2=0

7.- Encuentra los elementos de la parábola cuya ecuación es y2=3 x

Solucióny2=3 x F (± p ,0)

F (+ p ,0 )

F ( 34,0)

LR=4 p3=4 p

p=34

x=± px=−p

x=34

x−34=0

8.- Encuentra los elementos de la parábola con vértice en el origen y con ecuación de la directriz x−1=0

Solucióny2=±4 pxy2=−4 pxy2=−4(1) x

y2=−4 x→ec .ordy2+4 x=0→ec. gral

F (± p ,0)F (−p ,0)F (−1,0)

LR=4 pLR=4 (1 )LR=4

x=± px−1=0x=1

33

9.- Determina la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y en su forma general con los siguientes datos v(3,2) directriz x=5

Solución( y−k )2=±4 p(x−h)( y−k )2=−4 p (x−h)( y−2 )2=−4 (2 ) ( x−3 )

( y−2 )2=−8 ( x−3 )→ec.ordy2−4 y+4=−8x+24y2−4 y+8 x+4−24=0

y2−4 y+8 x−20=0→ec. gral

LR=4 pLR=4 (2 )LR=8

F (h± p , k )F (h−p , k )F (3−2,2 )F (1,2 )

x=h± px=h+ px=3+2x=5

10.- Determina la forma reducida de la ecuación de la parábola cuya expresión en su forma general es y2+2 y−4 x+9=0

Solucióny2+2 y−4 x+9=0y2+2 y=4 x−9

y2+ 2 y2

=4 x−9

y2+2 y+1=4 x−9+1y2+2 y+1=4 x−8

( y+1)2=4 ( x−2 )→ec .ord .

v (2 ,−1)