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Recta Secante y Tangente Matemtica Escuela Tcnica ORT 2013 Ezequiel Wajs

Rectas Secante y Tangente - Introduccin

Nota: f(x) es una funcin cualquiera

a, Xa y Xb son valores cualesquiera de x x es una distancia cualquiera

entre dos valores del eje x

Introduccin Comenzaremos a analizar el crecimiento y decrecimiento de las funciones que estudiemos, a tal efecto, necesitamos una nueva herramienta que nos permita sacar conclusiones sobre dichas caractersticas. La herramienta que propondremos ser simple y sencilla: a travs de la funcin que queramos estudiar trazaremos ciertas rectas y estudiaremos sus caractersticas para deducir cmo se comporta la funcin original. Definiciones Una recta secante es aquella recta que corta a una curva en dos puntos (al menos), a medida que estos dos puntos elegidos se van acercando la recta secante tiende a convertirse en una recta tangente. Una recta tangente es aquella recta que se apoya en un punto de una curva, manifestando cual es la direccin que toma la curva para ese punto. En el siguiente grfico pueden observarse una curva (azul), tres secantes (roja, amarilla y verde) y una tangente (magenta)

(Grfico 1)

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Clculo de la Recta Secante En principio nos interesaremos slo por averiguar la pendiente de las rectas Secante y Tangente y comenzaremos con el clculo de la pendiente de la recta secante. Es importante notar que para calcular la pendiente de la recta secante no es necesario conocer el grfico de la funcin ni ninguna propiedad de la misma ms all de su dominio y su expresin matemtica. Si la recta secante corta a la curva (la funcin) en dos puntos, quiere decir, precisamente, que aquellos dos puntos en donde la recta corta a la curva son comunes a ambas, es decir, son parte de la recta secante y parte de la curva a la vez. Por lo tanto, en esos dos puntos, la recta y la curva comparten sus coordenadas (x;y). Estos dos puntos son escogidos arbitrariamente, sin ningn criterio en especial. Llamemos a las abscisas de esos dos puntos (coordenadas del eje x) Xa y Xb, e imaginemos un grfico ficticio de una funcin cualquiera:

(Grfico 2)

Es evidente que, como muestra la figura, sean cuales fueren Xa y Xb, sus respectivas imgenes (ordenadas) sern f(Xa) y f(Xb), (es decir, la funcin reemplazada en Xa y en Xb respectivamente).

Xa Xb

f(Xa)

f(Xb)

x

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Una vez comprendido que para hallar dos puntos de la recta secante (especificamente los dos puntos de interseccin) no hace falta conocer nada ms que la expresin algebrica de la funcin (y su dominio) estamos listos para hallar la pendiente de dicha recta.

Recordando que la pendiente de una recta (m) puede calcularse con la expresin:

2 1

2 1

y yymx x x

= =

Siempre y cuando (x1;y1) y (x2;y2) sean dos puntos distintos de la recta. En el caso de la recta secante estos dos puntos necesarios son los nicos dos puntos de la recta que se conocen (y que pertencen tambin a la funcin) son:

( )( )

; ( )

; ( )

Xa f Xa

Xb f Xb

Por lo tanto la expresin de la pendiente de la recta secante es:

sec( ) ( ) ( ) ( )y f Xb f Xa f Xa f Xbm

x Xb Xa Xa Xb

= = =

Otra forma de escoger los dos puntos distintos de la recta es fijar uno y definir al otro a travs de la distancia a la que se encuentra del primero. En el caso del Grfico 2 (pg. 2), podramos definir Xa como el punto y x como la distancia al segundo punto (por lo tanto no necesitaramos saber Xb). De esta forma las coordenadas de los dos puntos quedan:

( )( )

; ( )

; ( )

Xa f Xa

Xa x f Xa x+ +

sec( ) ( ) ( ) ( )y f Xa x f Xa f Xa x f Xam

x Xa x Xa x + +

= = = +

Estas dos formas de hallar m son totalmente anlogas, puede usarse cualquiera. Este

segundo mtodo se conoce como cociente incremental.

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Ejemplo:

Se tiene la funcin 2( ) 2xf x x= + cuyo grfico se desconoce por completo. Calcular la

pendiente de la recta secante a la funcin en los puntos X=0 y X=2.

2 0

2 2

sec

0 2( ) (0) 0 2 1( ) (2) 2 2 8

( ) ( ) (2) (0) 8 1 3,52 0 2

Xa Xbf Xa ff Xb f

y f Xb f Xa f fmx Xb Xa

= =

= = + =

= = + =

= = = = =

Analizando el signo y el valor de la pendiente de la recta secante pueden obtenerse varias conclusiones acerca de lo que sucede con la funcin f(x) dentro del intervlo (0;2).

El signo de la pendiente de una recta indica la direccin que tiene esa recta, si el signo es positivo, la recta es creciente, si es negativo, es decreciente (al mismo tiempo si la pendiente es 0 la recta es una constante).

Sera cierto en varios casos (pero no en todos) decir que si la pendiente de la recta secante es positiva la funcin crece y si es negativa, decrece. Sin embargo podra darse el caso de que se elijan dos puntos entre los cuales la funcin pase de crecer a decrecer en una o ms ocasiones, por ejemplo:

(Grfico 3)

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Puede verse en el Grfico 2 (pg. 2) que la pendiente de la recta secante es positiva y que la funcin crece, sin embargo, en el grfico 3 aqu presentado la pendiente de la recta secante es positiva y la funcin no es estrictamente creciente, sino que de a momentos crece y de a momentos decrece. Si es cierto, sin embargo, que crece ms de lo que decrece para los dos puntos escogidos. Por lo tanto, a efectos de estudiar el crecimiento de la funcin, la recta secante es una forma aproximada, no exacta.

Clculo de la Recta Tangente

Para evitar la aproximacin que se produce al calcular la pendiente de la recta secante la primer solucin que podemos proponer es no tomar dos puntos muy distantes, sino dos puntos muy cercanos, de esa forma, estaramos analizando un tramo ms pequeo y la probabilidad de que la funcin vare mucho en ese tramo disminuye, sin embargo, mientras el tramo sea finito, estaremos aproximando. Poder analizar el crecimiento y decrecimiento punto a punto sera ideal, dado que no habra aproximacin alguna, al mismo tiempo, nos encontramos con el problema de que no puede definirse una sola recta con un nico punto. Sin embargo, si existe una recta nica que depende de un nico punto de la funcin, llamada recta tangente y que en ese punto en donde se apoya sobre la funcin, llamado punto de tangencia, tiene la misma direccin y sentido que la funcin:

(Grfico 4)

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Fue a mediados del 1600 que dos matemticos, Newton y Leibniz, independientemente, encontraron una solucin. La solucin fue no dejar de tomar dos puntos para hallar la secante, pero si imponer la condicin de que esos dos puntos fueran infinitamente prximos (es decir, que los puntos elegidos tienden a ser los mismos), de modo que esa recta secante tienda a convertirse en una recta tangente y de esta forma calcular de manera exacta y sin aproximar, una pendiente (de la recta tangente) que permita analizar de forma precisa el crecimiento y decrecimiento de las funciones. Si en vez de llamar Xa y Xb a los puntos, llamamos a al punto en donde queremos hallar la pendiente de la recta tangente y x al punto que tiende a ser a. De esta forma e imaginando a la tangente como al lmite de una secante podramos utilizar el mismo mtodo que el usado antes en estas pginas para hallar su pendiente, llamaremos a ese valor derivada de la funcin en el punto a y se escribir f(a):

Los dos puntos ahora son

( ) ( ); ( ) y ; ( )x f x a f a Y la pendiente de la recta tangente evaluada como el lmite de la secante cuando a y x son infinitamente parecidas:

tg( ) ( )( ) lim

x a

y f x f af a mx x a

= = =

Y cuando utilizamos la forma de cociente incremental (si solo definimos un punto x y la distancia al otro punto x), lo que sucede ahora es que en vez de hacer que un punto tienda a ser el otro, proponemos que la distancia entre ambos puntos tienda a ser cero.

tg 0

( ) ( )( ) limx

y f a x f af a mx x

+ = = =

Nuevamente, estas dos formas de calcular la pendiente son totalmente anlogas y arrojan exactamente los mismos resultados, aunque la operatoria para llegar a ellos pueda ser levemente distinta.

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Ejemplo:

Se tiene la funcin 2( ) 2 1f x x x= + + cuyo grfico se desconoce por completo.

Calcular la pendiente de la recta tangente a la funcin en el punto X=3. Coloreamos los trminos que son los mismos, paso a paso.

Mtodo 1

Puede verse que el punto elegido es a = 3 y f(3) = 16.

De esta forma el lmite queda:

tg 3(3) li (3)(m

3)

x

yf fmx

fx

x

= = =

Como x es una variable que tiende a a y lo mismo para f(x) no pueden ser reemplazadas por a hasta no resolver la indeterminacin, solo podemos reemplazar f(x) por su expresin algrebrica:

2

3 3

2 16 2 15(3) lim lim3

2 13x x

x xx xfx x

+ = =

+ +

Puede observarse que x = 3 es raz del polinomio del numerador y del denominador, puede resolverse la indeterminacin factorizando y simplificando los factores en violeta:

( )3 3

( 5)(( ) lim lim 53) 83x xxxf a x

x + = = +

=

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Mtodo 2 (Cociente Incremental)

Para este caso el punto fijo es el mismo. Y la condicin que hay que imponer es que la distancia al siguiente punto (x) tienda a cero. De esta forma:

tg 0

(3(3) li (3 )m )x

fymx

xf fx

= = =

+

Para resolver la indeterminacin reemplazamos f(x) por su expresin algebrica, esta vez, especializada en (3+x):

0

2(3 ) 2(3 ) 1 1lim 6(3)x

x xfx

+ + + =

+

Aplicando la propiedad distributiva:

0

2

0 0

2

2

169 6 6 2 1

8

(3) lim

8(3) lim lim16 61x

x x

fx

x xfx

x x x

x xx

= + =

+ + + +

=

+

+ +

Sacando factor comn x y simplificando los factores en violeta se resuelve la indeterminacin:

0 0

( 8)(3) lim lim ( 8) 8x x

x xx

f x

+ = = + =

Cmo puede verse ambos mtodos arrojan los mismos resultados y son anlogos. Y ahora si, podemos decir, sin miedo a cometer equivocaciones que para el punto X = 3, la funcin f(x) crece y que la pendiente de su recta tangente es 8.