Recta tangente a una curva

Todos sabemos dibujar, aproximadamente, la tangente a una curva en un punto, ¿pero como definirla?. Una forma posible podría ser :”La recta que pasa por el punto y que sólo toca a la curva en dicho punto”, definición que no se satisface en el siguiente caso:

“La recta que pasa por el punto y que sólo toca a la curva en dicho punto”,

Esta definición no se satisface en el siguiente caso:

¿Qué interés tiene conocer la tangente a la curva?

Concretamente, la pendiente de esta recta informa sobre el crecimiento y decrecimiento de la curva:

Aquí, la recta tangente es creciente, su pendiente es positiva.

La curva es creciente

Concretamente, la pendiente de esta recta informa sobre el crecimiento y decrecimiento de la curva:

Observemos estos casos:

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.Sabemos que una de las característicasprincipales de una recta es su pendiente (m)

En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 1x x

2 1y y

2 1

2 1

y ym

x x

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.

Introducción a la Derivada

Función original

Recta secante

De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:

2 1

2 1

y ym

x x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.

Introducción a la Derivada

Recta tangente

Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?

1 1( , )x y

2 1

2 1

?y y

mx x

Algo de historia.Algo de historia.

Introducción a la Derivada

Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.

El problema de la recta tangente

Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

y = f(x)

Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

y = f(x)

(a; f(a))

(x; f(x))

Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la recta secante que pasa por esos dos puntos

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

¿Cuál es la pendiente de la recta secante?

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

ax

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

2 4 6 8

2

4

6

x

y

ax

Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))

ax

afxfPendiente

)()(

Pendiente de la recta tangente en el punto (a; f(a))

ax

afxflímm

ax

)()(

La siguiente es una forma equivalente:

h

afhaflímmh

)()(0

Ejemplos

1) Hallar una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1;1).

2) Hallar una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3/x en el punto (3;1).

Ejemplos

3) Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (9;3) a la curva:

xy

Definición

La derivada de una función f en un número a, denotada con f’(a), es:

h

afhaflímafh

)()()('

0

si este límite existe.

Definición equivalente

ax

afxflímaf

ax

)()()('