Carla Giménez i Marc Vidal 1 CT1

Rectes en el pla

Com es pot expressar una rectaLes rectes s'expressen amb equacions, que són la relació entre les coordenades (x,y) de tots i cadascun dels seus punts. Aquestes equacions són:

Com es troben les equacions

• A partir de la equació vectorial podem trobar les equacions paramètriques:

r: (x, y) = (4,-1) + K (2,5)

• A partir d’un punt P(4, -1) i d’un vector director v(2, 5) podem trobar l’equació vectorial:

r: (x, y) = (4,-1) + K (2,5)

punt vector director

r:x = 4 +2K

y = -1 + 5K

• A partir de les equacions paramètriques podem trobar la equació contínua:

x – 4 y + 1

2 5r:r:

x = 4 +2K

y = -1 + 5K=

Com es troben les equacions

• A partir d’una equació contínua podem trobar la equació general:

x – 4 y + 1

2 5r: =

r: 5(x-4) = 2(y+1) 5x – 20 = 2y + 2 5x – 2y – 20 – 2 = 0 5x – 2y – 22 = 0

• A partir de la equació general podem trobar l’equació explícita:

r: 5(x-4) = 2(y+1) 5x – 20 = 2y + 2 5x – 2y – 20 – 2 = 0 5x – 2y – 22 = 0

r: = y 5 222 2

x

Exercici resolt d’equacions de les rectes

Escriu les diferents equacions de la recta que passa pel punt P(4,-1) i té com a vector director el vector v = (2, 5).

• Equació vectorial: r: (x, y) = (4,-1) + K (2,5)

• Equacions paramètriques:

r:x = 4 +2K

y = -1 + 5K

• Equació contínua:

r:

• Equació general: r: 5(x-4) = 2(y+1) 5x – 20 = 2y + 2 5x – 2y – 20 – 2 = 0 5x – 2y – 22 = 0

•Equació explícita:

r:

= y

Què és i com es calcula el pendent

El pendent d’una recta, és una mesura de la inclinació de la recta i es calcula a partir de l’equació explícita:

y = y = mx + n

Pendent de la recta

Ordenada en l’origen

Exercici resolt del pendent

de la recta.

Considera la recta de l’equació:

Troba el pendent:

2(2 – x) = – 3 (y)4 – 2x = – 3y– 2x – 3y + 4 = 0

pendent =

Posicions relatives de la recta

Exercici resolt de posicions relatives de la recta

Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les rectes. Justifica’n les respostes.

a) (x,y) = (1, – 1) + K (2, 1)

x = 1 + 2Ky = – 1 + K P(5, 1)

5 = 1 + 2K K = 21 = –1 + K K = 2

Sí que pertany.

b) x = 3 + 2Ky = 1 +K P(5, 1)

5 = 3 + 2K K = 11 = 1 + K K = 0 No pertany.

c) x + 2y – 3 = 0P(5, 1) 5 + 2(1) – 3 = 0

5 + 2 – 3 = 0No pertany.

Projecció ortogonal i punt simètric d’una recta

r

P

P’

Considerem una recta r i un punt P exterior a la recta r. El punt P’, és la projecció ortogonal de P a la recta r.

r

P

P’

S

Considerem una recta r i un punt P exterior a la recta r. El punt S, és el punt simètric de P respecte de la recta r.

Exercici resolt de la projecció ortogonal i el punt simètric

Donat el punt P(3,4):a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta r: 4x + y =1

r: 4x + y – 1 = 0s: x – 4y – 1 = 0

P(3,4) x – 4y + C = 0 3 – 4(4) + C = 0 C = 13

4x + y – 1 = 0x – 4y + 13 = 0 x = 4y - 13

4x + y – 1 = 0 4 (4y – 13) + y – 1 = 016y – 52 + y – 1 = 016y + y = 52 + 1 17y = 53

y=x = 4y – 13

x = 4 ( ) – 13

Exercici resolt de la projecció ortogonal i el punt simètric

b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte la recta r.

P(3, 4)

(a, b)

Els angles entre dues rectes

Exercici resolt d’angles entre dues rectes

——— 30,9

Calcula l’angle que formen les rectes r: x + y + 4 = 0 i s: y = – 4x – 2

r: x + y + 4 = 0 y = – x + 4 = 0 s: y = – 4x – 2

r: x + y + 4 = 0s: y = – 4x – 2

Distàncies

Exercici resolt de distàncies entre rectes

Troba la distància entre les rectes 2x – 3y + 5 = 0 i 4x – 6y + 3 = 0.

r: 2x – 3y + 5 =0s: 4x – 6y + 3 = 0

són paral·leles

r: x = 1

P(1, )

Fi