Recursos matemáticos para física

Un vector es un segmento orientado en el espacioque se caracteriza por:

Origen o punto de aplicación y extremo

Dirección: la recta que lo contiene

Sentido: el que indica la flecha

Módulo: longitud del segmento.Indica el valor numérico de la magnitud en la unidad elegida

O

A

A'

v

E

Linea de acción

Origen

Extremo

Vector

Suma de vectores

a

b

R

a

b

c d

R

OO

a

b

a

-b

R=a+ (-b)

Diferencia de vectores

La suma presenta las siguientes propiedades:

1. Conmutativa:

a + b = b + a

2. Asociativa:

a + (b + c) = (a + b) + c

Suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores a y b, se define la suma, o resultante, de ambos al vector R, obtenido al unir el punto O, origen del primero (a) con el extremo del vector b, aplicado al extremo del vector a.

Producto de un escalar k por un vector a

El producto de un vector a por un escalar k es otro vector de igual dirección y sentido que el vector y de módulo "k" veces el módulo del vector a.

R = k . a

Las propiedades que presenta el producto de un escalar por un vector son:

1. Conmutativa: k . a = a . k

2. Asociativa respecto del escalar: k1. (k2 . a) = k2. (k1. a)

3. Distributiva respecto a la suma de escalares:

(k1 + k2) . a = k1. a + k2. a

4. Distributiva respecto a la suma de vectores:

k .(a + b) = k. a + k. b

X

Y

Z

a

a

a

ak

i j

x

y

z

Componentes de un vector

ax = |a| cos ,

ay = |a| cos

az = |a| cos

denominándose a cos , cos , cos los cosenos directores del vector.

a = a i + a j + a kx y z

Y el módulo vale

donde

a+a+a = a 2x

2y

2x

X

Y

a

j

i

a

ay

x

Si trabajamos en el plano, como y son complementarios, se cumple que:

cos = sen

a = a cos a = a cos = a sen

x

y

Y el módulo vale

Componentes de un vector en el plano

a+a = a 2y

2x

http://iris.cnice.mec.es/fisica/probar.php?applet_id=74

Producto escalar de dos vectores

Se define el producto escalar de dos vectores a y b como un escalar cuyo valor es:

a . b = |a| . |b| cos ;

donde es el ángulo que forman los dos vectores y está comprendido entre 0 y

(0 )

b

a

proyección

También se puede definir como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él.

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa : a . b = b . a

2. Distributiva respecto de la suma :

a . (b + c) = a . b + a . c

3. Asociativa respecto de un escalar:

k (a . b) = (k a) . b = a . (k b) = (a. b) k

Expresión en función de las componentes:

a . b = (ax i + ay j +az k). (bx i + by j + bz k) = ax bx i . i + ax by i . j + ax bz i . k + ay bx j . i + ay by j . j + ay bz j . k + az bx k . i + az by k . j + az bz k . k =

ax bx + ay by + az bz

luego

a . b = ax bx + ay by + az bz

ya que i . j = j . i = 0 ; i . k = k . i = 0 ; j . k = k . j = 0 ; i . i = j . j = k . k = 1

4. a. a = ax2 + ay

2 + az2 = a2

5. Si a y b pero a . b = 0, entonces el cos = 0, luego a b.

Aplicaciones del producto escalar

r

b

u

r

Proyección

1. Cálculo de la proyección de un vector sobre una dirección

Si definimos un vector unitario u en la dirección de la recta sobre la que vamos a calcular la proyección, se cumple

proyr b = b cos = b . u

b

a

2. Determinación del ángulo

que forman dos vectores

cos µ = a.ba.b

=ax.bx + ay.by +az.bz

a2x + a2

y + a2z b2

x + b2y + b2

z

Aplicaciones del producto escalar

3. Cálculo de cosenos directores

r . i = r cos

De igual manera calcularemos el cos y cos

4. Ley de los cosenos

a

b

c

a - b = c ;

(a - b) . (a - b) = c . c

a . a - a . b - b . a - b . b = c. c

a2 - 2 a . b - b2 = c2

a2 - 2 a . b .cos + b2 = c2

r + r + r

r= r + r + r

.0r + .0r + .1r = r

r.icos

2z

2y

2x

x

2z

2y

2x

zyx=

Producto vectorial de dos vectores

p

b

a

Se define el producto vectorial de dos vectores como un vector cuyo módulo es:

| p | = | a ^ b | = | a | | b | sen , donde (0 ), la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores y el sentido el que indica la regla del sacacorchos o del tornillo.

Propiedades del producto vectorial

1. No conmutativa: a ^ b = - b ^ a

2. Distributiva respecto de la suma:

a ^ (b + c) = (a ^ b) + (a ^ c)

3. Asociativa respecto de un escalar:

k (a ^ b) = (k a) ^ b = a ^ (k b) = (a ^ b) k

4. a ^ a = 0

5. Si a 0 y b 0 pero a ^ b = 0, entonces el sen = 0, luego a es paralelo a b.

Expresión del producto vectorial en función de las componentes

a ^ b = (ax i + ay j +az k) ^ (bx i + by j + bz k) = ax bx i ^ i + ax by i ^ j +

+ ax bz i ^ k + ay bx j ^ i + ay by j ^ j + ay bz j ^ k + az bx k ^ i + az by k ^ j +

+az bz k ^ k = ax by k - ax bz j - ay bx k + ay bz i + az bx j - az by i =

i j k

= ax ay az

bx by bz

ya que: i ^ i = j ^ j = k ^ k = 0 ;

i ^ j = - j ^ i = k ;

-i ^ k = k ^ i = j ;

j ^ k = - k ^ j = i

http://iris.cnice.mec.es/fisica/probar.php?applet_id=77

i

j

k

Aplicaciones del producto vectorial

a

b

S = a ^ b

h

90º

1. El área del paralelogramo formado por los dos vectores se puede definir como el producto vectorial de los dos vectores.

S = a . h = a . b .sen = | a ^ b|

2. Representación vectorial de una superficie:

Como consecuencia de la aplicación anterior, cualquier superficie se puede dividir en pequeñas superficies elementales en forma de paralelogramos, pudiendo representar cada uno de ellos por un vector perpendicular a su superficie. Como todos tendrían la misma dirección y sentido se pueden sumar. Por lo que cualquier superficie la podemos representar como un vector perpendicular a ella, de tal forma que, su módulo sea el área de la superficie y su sentido el del sacacorchos que gire en el sentido del recorrido de su periferia.

Aplicaciones del producto vectorial3. Ley de los senos

a + b = c ; a ^ (a + b) = a ^ c

(a ^ a) + (a ^ b) = a ^ c

a . b . sen ( -) = a . c . sen

a . b .sen = a . c . sen

b sen = c sen

b

a

c

S = a^b

h= c sen 90º

4. El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

c. (a ^ b) = c. S = c.S.sen =

S.h = Vol =

cx cy cz

ax ay az

bx by bz

Momento de un vector deslizante respecto a un punto

Or

M

a

P

d

90º

Sea el vector deslizante a, define el momento del vector a con respecto a un punto O, como el producto vectorial del vector r , cuyo origen es el punto O y el extremo un punto de la recta donde se aplica el vector, por el vector a.

M = r ^ a M = r. a. sen = a . d

El momento no varia tanto si desplaza el vector sobre su recta de acción como si desplaza el punto O sobre una paralela a ella.

Teorema de Varignon

Si consideramos varios vectores deslizantes que sean concurrentes, el momento de la suma de estos vectores respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de los vectores componentes respecto al mismo punto O.

Momento de un vector respecto a un eje

ar

r'

P

Q

O

O'

e

M'oMo

M'e

Me

u

'Se define como la proyección sobre dicho eje del momento del vector con respecto a un punto cualquiera del eje.

El momento del respecto a un eje no depende del punto que

tomemos sobre el eje.

Mo = r ^ a

Mo' = r' ^ a = (O’O + r) ^ a = (O’O ^ a)+ + r ^ a = (O’O ^ a) + Mo

Los momentos respecto al eje, los podemos escribir como el producto escalar de los momentos respecto a los puntos por el vector unitario en la dirección del eje (u)Me = Mo . u = Mo . 1. cos = Mo . cos

Me' = Mo' . u = [(O’O ^ a) + Mo] . u = (O’O ^ a) . u + Mo . u = Mo . U

cero

Par de vectores

-a

a

d

O

O'

r

r'1

r'2

r2

r1

Se define el par de vectores como un sistema formado por dos vectores deslizantes de la misma magnitud y sentidos opuestos, situados en dos rectas paralelas

Su resultante es cero y el momento resultante respecto de cualquier punto del plano vale:

Mo = r1 ^ (+a) + r2 ^ (-a) = (r1 - r2) ^ a = r ^ a

siendo el módulo:

Mo = r . a . sen = d . a

donde d es la distancia entre las dos direcciones y se denomina brazo del par.También se cumple:

Mo' = (r1' ^ a) + [r2' ^ (-a)] = (r1' - r2') ^ a = r ^ a

1

1

2

2

3

3

3

3

4

Intersección de las superficies equiescales con el plano

Líneas vectoriales del campo

Unidad de superficie

a

a

aa

a

Derivada de un vector respecto de un escalar

A

Bhh( )

h()hO

Sea una magnitud vectorial, h(), que depende de un escalar , generalmente el tiempo.

Si consideramos, respecto a unos ejes coordenados, la curva que describen los extremos del vector h cuando varia por variar el escalar , como se observa en la figura tenemos:

h = h( +) - h()

Al multiplicar dicho vector por (1/), tenemos un nuevo vector h/ que tendrá la misma dirección que h.Por analogía con el concepto de derivada de una función escalar definimos la derivada de un vector con respecto a un escalar como el límite a que tiende el vector h/cuando tiende a cero.

h lim =

)h(-) +h(lim =

d

h00

d

Derivada de un vector respecto de un escalar

Por lo que la derivada de un vector h respecto de un escalar, es un vector cuya dirección es tangente a la curva descrita por los extremos del vector h en el punto considerado, y cuyas componentes son las derivadas de cada una de las componentes del vector h respecto del escalar.

Como h = hx i + hy j + hz k , podemos

escribir que:

kddh + j

ddh

+ iddh =

d

h zyx

d

Derivada de un vector respecto de un escalar: consecuencias

a) Si al variar el escalar, el vector h sólo varía en dirección pero no en módulo, sus extremos describen una circunferencia, entonces h y dh/d son perpendiculares.b) Si el vector h sólo varía módulo pero no en dirección, sus extremos describirán una recta, luego h y dh/d tienen la misma dirección.

u

h

dhd

dhd u

hddu

X

Y

Zc) Si ponemos el vector h como h = h u

Al derivar dicha expresión tenemos:

dhdµ

=dhdµu +hdu

dµlo que nos indica que la derivada de un vector se puede descomponer como la suma de dos vectores, uno en la dirección del vector y otro en la dirección perpendicular.

Físicamente estos dos vectores nos indican las variaciones del módulo dhdµu

y la variación en la dirección hdudµ

Derivada parcial

Si tenemos una magnitud escalar f(x,y,z), que es función de x, y, z , se define la derivada parcial, respecto a una variable x:

f f (x+x,y,z f (x,y,z ----lim ---------------------------- x xx

es decir, se calcula la derivada de la función con respecto a la variable considerando las otras variables como constantes.

De la misma forma podemos definir la derivada parcial de un vector a respecto a x, como a a (x+x,y,z) - a (x,y,z) ---- = lim ----------------------------xx x

de igual manera podríamos definir respecto a las otras variables.