Redes Cristalinas
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Universidad del Valle de México campus Saltillo Principios de termoquímica
TEMA: Redes cristalinas
Gustavo Rosendo Guzmán
Universidad del Valle de México campus Saltillo Principios de termoquímica
CONTENIDO Estructura amorfa y cristalina Celdas Unitarias Redes de Bravais Parámetros de Red Índices de Miller
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Estructuras en estado sólido Cristalina Amorfa
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Estructura Amorfa• Sus partículas presentan atracciones lo
suficientemente fuertes para impedir que la sustanciafluya, obteniendo un sólido rígido y con cierta
dureza• No presentan arreglo interno ordenado sino
que sus partículas seagregan al azar.• Al romperse se obtienen formas irregulares• Se ablandan dentro de un amplio rango de
temperatura y luego se funden o se descomponen.
• Ejemplos: Asfalto, Parafina, Ceras, Vidrios, algunos
polímeros, algunos cerámicos.
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Estructura Cristalina Presentan un arreglo interno ordenado, basado en
minúsculos cristales individuales cada uno con una formageométrica determinada.
Los cristales se obtienen como consecuencia de larepetición ordenada y constante de las unidadesestructurales (átomos, moléculas, iones)Al romperse se obtienen caras y planos bien definidos.Presentan puntos de fusión definidos, al calentarlossuficientemente el cambio de fase ocurre de una maneraabrupta.Ejemplos: NaCl, Sacarosa, Sales en general, Metales,Algunos polímeros, Algunos cerámicos.
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Celda Unitaria
El cristal individual es llamadocelda unitaria, está formado porla repetición de ocho átomos.
El cristal se puede representarmediante puntos en los centrosde esos átomos.
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Red Cristalina
Ordenamiento espacial de átomosymoléculas que se repite sistemáticamentehasta formar un Cristal
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http://recursostic.educacion.es/ciencias/biosfera/web/alumno/1bachillerato/cristalizacion/contenido1.htm
Redes de Bravais
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SistemaCristalino RedesdeBravais Nomenclatura
CÚBICO SimpleCentrado en el CuerpoCentrado en las Caras
PoS(CS)I(CC)(BCC)F(CCC)(FCC)
TETRAGONAL SimpleCentrado en el Cuerpo
PoS(TS)I(TC)
ORTORRÓMBICO SimpleCentrado en el CuerpoCentrado en las CarasCentrado en la Base
PoS(OS)I(OC)F(OCC)C(OB)
ROMBOÉDRICO Simple PoS(R)
HEXAGONAL Simple PoS(H)
MONOCLÍNICO SimpleCentrado en la Base
PoS(MS)C(MB)
TRICLÍNICO Simple PoS(TS)
Redes de Bravais
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Parámetros de Red El tamañoy la forma de la celda unitaria
se especifica por la longitud de lasaristas y los ángulos entre las caras.
Cadacelda unitaria se caracteriza porseis números llamados Parámetros deRed, Constantesde Red o EjesCristalográficos.
La longitud de las aristas seexpresa ennanómetroso Angstrom, esta longituddependede losdiámetros de los átomosquecomponen la red
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SistemaCristalino
Ejes Ángulosentreejes
Volumen
Cúbica a=b=c 90°lostres a³
Tetragonal a=b≠c 90°lostres a²c
Ortorrómbica a≠b≠c 90°lostres abc
Hexagonal a=b≠c Dosde90°yunode120°
0.866a²c
RomboédricaoTrigonal
a=b=c Diferentesa90°(todosiguales)
a³√1-3cos²α+2cos³α
Monoclínica a≠b≠c Dosde90°yunodiferenteβ
abcsenβ
Triclínica a≠b≠c Diferentesa90°(todosdiferentes)
abc√1-cos²α-cos²β-cos²γ+2cosαcosβcosγ
Parámetros de Red
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Parámetro ao(CS)
a
a
a√2
(Vista Superior)
aa√3
a = 2r
(Alzado del Triángulo)
a√2
(BCC)
a√3 = 4r
a = 4r/√3
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aa√2
a
(Vista Frontal)(FCC)
a√2 = 4r
a = 4r/√2
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Posiciones atómicas
Esferas Rígidas(CS)
(CS) (BCC)
(BCC) (FCC)
(FCC)
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Átomos / Celda Cada una de las celdas unitarias tiene una
cantidad específicade puntosde red:losvértices y loscentros de las caras o el centrode lacelda.
Estos puntosde red están compartidoscon las celdasvecinas:
un punto de red en un vértice pertenece simultáneamentea ocho celdas.
Un punto de red en unacara está compartido pordosceldas
Un punto de red centrado en el cuerpo solo pertenece auna celda.
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Red Cúbica Simple (CS)(8 vértices) x (1/8 átomos)
= 1 átomo/celda
Red Cúbica Centradaen el Cuerpo (BCC)(1 átomo/celda) + (1 átomo centro)
= 2 átomos/celda
Red Cúbica Centradaen las caras (FCC)(1 átomo/celda) + (6 caras x ½ átomo)
= 4 átomos/celda
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Número de coordinación Es la cantidad de átomos que se encuentran en
contacto directo alrededor de un átomo, o lacantidadde vecinos más cercanos.
Es una medidade qué tan compactoy eficiente es elempaquetamientode los átomos.
En laestructuracúbica simple, cada átomo tiene seisvecinos más cercanos en contacto.
En laestructuracúbica centrada en el cuerpo, cadaátomo tiene 8 vecinos más cercanos en contacto.
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(CS)(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / ThomsonLearning™
(BCC)
No. Coordinación = 6 No. Coordinación = 8
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Factor de empaquetamiento Es la fracción de espacioocupada por losátomos,
suponiendoque son esferas duras que se encuentranen contactocon su vecino más cercano
FactordeempaquetamientoFE = __volumende átomos)__
volumen de celda unitaria
FE = (átomos/celda)(volumen deátomos)volumendecelda unitaria
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Cálculo del factor: Estructura Cúbica Simple (a = 2r)
FE = __(1 atomo/celda) (4πr³/3)___ = (4πr³/3)_ = πa³ 8r³ 6
FE = 0.52 = 52% empaquetamiento
Porcentaje de la celda ocupada por los átomos
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Estructuraao en
función de r
Átomos
porcelda
Númerodecoordinació
n
Factordeempaquetamient
oEjemplos
CúbicaSimple(CS)
ao=2r 1 6 0.52 Polonio,Mnα
Cúbicacentradaenelcuerpo(BCC)
ao=4r/√3 2 8 0.68 Fe,Ti,W,Mo,Nb,Ta,K,Na,V,Zr,Cr
Cúbicacentradaenlascaras(FCC)
ao=4r/√2 4 12 0.74 Fe,Cu,Au,Pt,Ag,Pb,Ni,Al
Hexagonalcompacta(HCP)
ao=2rco=
1.633ao
2 12 0.74 Ti,Mg,Zn,Be,Co,Zr,Cd
Estructuras principales
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metalConstantedereda(nm) radioatómicor(nm)
Cromo 0,289 0,125
Hierro 0,287 0,124
Molibdeno 0,315 0,136
Potasio 0,533 0,231
Sodio 0,429 0,186
Tántalo 0,330 0,143
Volframio 0,316 0,137
Vanadio 0,304 0,132
Parámetros de red BCC
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metalConstantedereda(nm) radioatòmicor(nm)
Aluminio 0,405 0,143
Cobre 0,3615 0,128
Oro 0,408 0,144
Plomo 0,495 0,175
Níquel 0,352 0,125
Platino 0,393 0,139
Plata 0,409 0,144
Parámetros de red FCC
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Densidad teórica ρ La densidad teórica de un material se puedecalcular
con las propiedades de su estructuracristalina.
Densidad = __masa átomos__volumen celda
(#atomos/celda)(masa_atomica)
(vol_celda _unitaria)(#avogadro)Densidad _
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Cálculo de la densidad Determine ladensidad del hierro (BCC),
parámetrode red: a = 0.2866nm
átomos/celda = 2
masa atómica = 55.847gr/mol
volumen = a³ = (2.866x10^-8cm)³ = 23.54x10^-24cm³/celda
ρ = ______(2)(55.847)_______ = 7.882g/cm³
(23.54x10^-24)(6.02x10^23)
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PLANOS
Índices de MillerCOORDENADAS
VECTORES
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x
y0,0,0
1,0,0
0,1,0
0,1,1
1,1,0
1,0,11,1,1
1/2,1,0
Puntos de Redz
0,0,1
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Los índices de Miller de las direcciones cristalográficasse utilizan para describir direcciones específicas en lacelda unitaria
Las direcciones cristalográficas se usan para indicaruna determinada orientación de un cristal
Como las direcciones son vectores, una dirección y sunegativa representan la misma línea, pero endirecciones opuestas
Una dirección y su múltiplo son iguales, es necesarioReducir a enteros mínimos
Direcciones cristalográficas
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Procedimiento paradeterminarlasdireccionescristalográficas:
1.Determinar las coordenadas del punto inicial y final
2. Restar las coordenadas del final menos el inicial3. Eliminar las fracciones o reducir los resultados
obtenidos a los enteros mínimos4. Encerrar los índices entrecorchetes rectos [ ], los
signos negativos se representan con una barrahorizontal sobre el número
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Direcciones:
A= (1-0, 1-0, 0-0) = [1 1 0]B = (1/2-0, 1-0, 0-0) = [1/2, 1, 0] = [1 2 0]C = (1-0, 1-0, 1-0) = [1 1 1]D = (0-1, 0-0, 1-0) = [-1, 0, 1] = [I 1S 0 1]E = (1-0, 1-1, 1-0) = [1, 0, 1] = [ 0 1]
x
y0,0,0
1,0,0
0,1,0
z
0,0,1 0,1,1
1,1,0
1,0,1
1/2,1,0BA
1,1,1
C
DE
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Un material tiene las mismas propiedades en cada unade las direcciones de una familia.
Los metales se deforman con facilidad en direccionesdonde losátomos están en contacto más estrecho
Las propiedades magnéticas del hierro yotrosmateriales dependen de las direcciones metalográficas
Es más fácil magnetizar el hierro en las direcciones 100
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Ejercicio:
Para las siguientes familias dedirecciones, definirtodos losvectores posiblesy dibujarlos en laceldaunitaria Cúbica:
< 100 > < 111 >
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(c) 2003 Brooks/C
ole Publishing / T
homson L
earning
Ejercicio:
Por mediode los índices de Miller, identificar lassiguientes direcciones cristalográficas:
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Ejercicio:
Por mediode los índices de Miller, identificar lassiguientes direcciones cristalográficas:
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Publishing / T
homson
Learning
Planos cristalográficos Un plano es un conjunto deátomos ubicados
en un área determinada
Los índices de Miller sirven para identificarplanos específicos dentro de unaestructuracristalinaEste sistema sirve para identificar planosdedeformación o de deslizamientoSe utiliza para determinardiferentes niveles deenergía superficialSirven paradeterminar el sentido decrecimiento de cristales en algunos materiales
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Procedimiento para identificación deplanos:
1.Identificar los puntos en donde el plano cruza los
ejes x, y, z. Si el plano pasa porel origen decoordenadas, este se debe moverpara poder ubicaruna distancia.
2. Determinar los recíprocosde esas intersecciones.3. Simplificar las fracciones, sin reducir a enteros
mínimos.4. Los tres números del plano se representan entre
paréntesis, los negativos se identifican con una líneahorizontal sobre el número
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B: 1/1, 1/2, 1/∞ (2 1 0)
C: 1/∞, 1/-1, 1/∞ (0 1S 0)
x
Determinar los índices de Miller de los siguientes planos:
A: x=1, y=1, z=1
B: x=1, y=2, z=∞ (El plano no cruza el eje z)
C: x=∞, y=-1, z= ∞ (El plano pasa por el origen, mover a y=1)z
A: 1/1, 1/1, 1/1 (1 1 1)
0,0,0
1,0,0
0,1,0
1,0,1
0,0,1
A
0,2,0y
B
C
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Planos:S S(001), (110), (220), (020), (221), (112), (1S11)
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Los planos y sus negativos son iguales (0 2 0) = (0 2S 0)
Los planos y sus múltiplos no son iguales,
En cada celda unitaria, los planosde una familiarepresentan gruposde planos equivalentes, serepresentan con corchetes { }
En los sistemascúbicos, una dirección que tiene losmismos índices que un plano es perpendiculara eseplano Planosde la familia {110}
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S S S S SPlanosde la familia {1 1 1}(111), (111), (111), (111), (1S11), (11S1S), (111S), (1S1S1S)
x
y
z
x
z
(111) S(1S1S1)
Los Planos 111 y (1S1S1S) sonparalelos
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Ejercicio:En unacelda unitariacúbica, trazar la dirección [1 2S 1]
y el plano (2S 1 0)
x
y
z
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Direcciones y Planos de Deslizamientos
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Densidad Planar En los planos metalográficos se puede medir la
cantidad de masa que ocupan los átomos con respectoal área del plano.
Los procesos de deformación de los materiales seproducen donde ladensidad es alta, y se deforma porel deslizamientode los átomos en ese plano.
𝜌𝑝 =(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜)𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
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( 4 ∗ 4)
Calcular la densidad planar de un plano 100 en unacelda CS de Polonio, cuyo radio atómico es de 0.167nm
a = 2r
𝜌𝑝 = 1(2𝑟)2
𝜌𝑝 = 1(2𝑟)2= 8.96 átomos/nm²
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Fracción de empaquetamiento planar
Es la fracción de área ocupada por átomos dentro de unplano específico.
El resultado se multiplica por 100 y se obtiene elporcentaje de área de átomos que ocupan el plano.
𝐹𝐸𝑝 =(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜)(𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜)𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
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( 4 ∗ 4)(𝜋𝑟2)
(2𝑟)
Calcular la Fracción de empaquetamiento planarde unplano 100 en una celda CS
a = 2r
𝐹𝐸𝑝 = 1(2𝑟)2
𝐹𝐸𝑝 =1 (𝜋𝑟2)2 =𝜋4= 0.78 = 78%
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Densidad lineal Cantidad de puntos de red por unidad de longitud a lo
largode una dirección específica. Las direcciones con alta densidad lineal indican
direcciones de deformación.
𝜌𝑙 =(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎)𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎
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Calcular la densidad lineal de la dirección [0 1 1] enuna celda FCC decobre, cuyo radioatómicoes de0.127nm
𝜌𝑙 = 24(0.127)
2𝜌𝑙 =4𝑟= 3.93 átomos/nm
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Fracción de empaquetamiento lineal
Es la fracción de longitud ocupada porátomos dentrode unadirección específica.
𝐹𝐸𝑙 = (𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙)(𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛)
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Calcular la Fracción de empaquetamiento lineal en ladirección [0 1 1] en una celda FCC de cobre, cuyo radioatómico es de 0.127nm
𝐹𝐸𝑙 = (𝜌𝑙)(2𝑟)𝐹𝐸𝑙 = (3.93)(2𝑟) =1
100%
Esta es una dirección compacta
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Bibliografía ASKELAND Donald, PHULÉ Pradeep. Cienciae
Ingeniería de los Materiales. Cuartaedición, Thomson,México, 2004.
59Universidad del Valle de México campus Saltillo Principios de termoquímica
Para saber más…
http://www.youtube.com/watch?v=bvGrQcZQlsw&list=PLj4YiOgq320q80wUZASi-l7xZvdr47TNC