Redes Eric

MÉTODOS DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE REDES DE

ABASTO DE AGUA

Dr. ERIC CABRERA ESTUPIÑÁN

La Habana, 9 de marzo de 2011

Redes malladasRedes malladasLas redes malladas (o también llamadas redes cerradas) son aquellas formadas por un sistema de tuberías conectadas de modo que se cierran formando circuitos.

12

3

4 5

6

78

Análisis: Consiste en determinar los Qij (en tramos) y las Hi (en nodos), supuesta la red completamente diseñada (diámetros, longitudes equivalentes, rugosidades, etc).

Redes malladasRedes malladas

C3

C8

C7

C6

Q38

ANÁLISIS ESTACIONARIOANÁLISIS ESTACIONARIO

La solución del análisis se basa en las siguientes ecuaciones:


a) Ecuación del nudo: Resulta de imponer continuidad en cada nodo de la red

i

T

tij CQ

1

Sería la ecuación para el nudo “i”, donde la sumatoria se extiende a todos los tramos que tengan uno de sus extremos en el nodo “i”. Qij es el caudal en cada tramo [(-) si entra y (+) si sale del nodo]. Ci es el consumo exterior asociado al nodo “i”.

7786757 CQQQ



a) Ecuación de pérdidas: Las pérdidas localizadas y por tramos vendrán dadas por la ecuación correspondiente en la que intervendrá Qij.

nijijij QKhf

52

8

ij

ijijij Dg

LfK

Darcy-Weisbach:

852.187.4

649.10

HWij

ijij CD

LK

Williams-Hazen:

2n

852.1n


Para una red determinada, la pérdida de energía entre dos de sus nodos es igual a la suma algebraica de las pérdidas en cada tramo del recorrido, cualquiera sea dicho recorrido.


En particular si partimos y llegamos a un mismo nodo recorriendo completamente el circuito elemental, se cumplirá la “ecuación del circuito”.

T

tijhf

1

0 , siendo jiij HHhf


T

tijhf

1

0 , siendo jiij HHhf

Extendiendo la sumatoria a todos los tramos de dicho circuito y siendo este recorrido en un sentido único (por ejemplo sentido horario), de modo que hfij<0 si la dirección del caudal circulante en el tramo ij es contrario al sentido positivo escogido.

El conjunto de ecuaciones de nodo y ecuaciones de circuito definen un sistema no lineal, cuya solución proporciona los valores de Qij y Hi buscados. De ahí que la solución del caso estacionario en una red cerrada sea un problema íntimamente relacionado a los métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

- Método de Hardy Cross (1946)

- Método de Newton-Raphson

- Método matricial


Redes malladasRedes malladas Método de Hardy Método de Hardy CrossCross

Se debe a Hardy Cross (1946) [“Analysis of Flow in Networks of Conduits or Conductors”, Univ. Illinois. Bull.286]. Se trata de un método numérico de aproximaciones sucesivas, el cual exige una solución inicial de caudales circulantes por los tramos de la red que cumpla las ecuaciones de nudo (continuidad).

A continuación, es calculado en cada iteración un incremento o corrección de caudal en cada circuito o malla elemental, aplicándose de modo que los circuitos queden compensados, de la forma siguiente:



Sean Qij y hfij el caudal y la pérdida de carga correspondiente al tramo comprendido entre el nodo “i” y el nodo “j”, de modo que:

Si el sentido real de circulación es 0, ijij hfQ “i” “j”

0, ijij hfQ Si el sentido real de circulación es “j” “i”

y sea la ecuación de pérdidas para el tramo considerado:

nijijij QKhf , que escribiremos como:

1

n

ijijijij QQKhf

conforme el criterio de signos tomado, con jiij HHhf



Consideremos ahora una malla genérica de la red:

Donde los caudales:

)(17

)(74

)(34

)(13 ,, KKKK QyQQQ Q13

Q34

Q74

Q17

Correspondientes a una Iteración (K) cumplen lasecuaciones del nodo, pero no verifican la ecuación de pérdida para el circuito1-3-4-7

Se introduce entonces un caudal correctivo

Q

Q

de manera que

los nuevos caudales (iteración K+1) sean:




Se introduce entonces un caudal correctivoQ de manera que los nuevos caudales

(iteración K+1) sean:

)()(17

)1(17

)()(74

)1(74

)()(34

)1(34

)()(13

)1(13

KKK

KKK

KKK

KKK

QQQ

QQQ

QQQ

QQQ

(1)

Siendo Q positivo para un determinado sentido de recorrido

del circuito (por ejemplo, coincidente con el sentido horario).



El término Q se obtiene como sigue:

ij+1 si el sentido asumido para el tramo coincide con el horario

-1 si el sentido asumido para el tramo no coincide con el horario

Ecuación de pérdidas para el circuito:

T

tijij hf

1

0

En nuestro caso,

017743413 hfhfhfhf

Suprimimos en lo que sigue el subindice (K)

que indica el # de iteración.

En nuestro caso,

017743413 hfhfhfhf



01717747434341313 nnnn QQKQQKQQKQQK

0

...

...

11717

17474

13434

113131717747434341313

1171717

1747474

1343434

1131313

nnnnnnnn

nn

nnnnnn

QnKQnKQnKQnKQQKQKQKQK

QnQQK

QnQQKQnQQKQnQQK

11717

17474

13434

11313

1717747434341313

nnnn

nnnn

QnKQnKQnKQnK

QKQKQKQKQ

Para un caso general será:



T

t

nijij

T

t

nijijij

QnK

QKQ

1

1

1

T

t

n

ijij

T

t

n

ijijijij

QnK

QQKQ

1

1

1

1En prevención de que algún valor Qij

fuese negativo (lo cual es indicativo de haber tomado a priori un sentido equivocado para alguno de los tramos) se calcula mediante:

Se procede de igual modo en el resto de los circuitos, obteniéndose una corrección para cada uno de ellos.



Q

Los nuevos caudales Q(K+1) se obtienen mediantes las ecuaciones del sistema (1), pero agregando también (con su signo), las correcciones en circuitos contiguos para los tramos que pertenezcan a dos circuitos. De este modo se garantiza que el nuevo conjunto de valores: )1( K

ijQ

verifiquen la ecuación de continuidad en todos los nodos, al igual que sucedía en la iteración anterior (k).

-NO SIEMPRE CONVERGE a la solución cuando el conjunto inicial de Qij se aparta mucho de la solución.

-GRAN NÚMERO DE ITERACIONES necesarias para el caso de redes grandes.



Resolver la siguiente red por el método de Cross.

12

3

4

500l/s

700l/s

800l/s

100m



Supongamos los siguientes sentidos y caudales iniciales:

12

3

4

0.5m3/s

0.7m3/s

0.8m3/s

100m

0.3m3/s

0.5m3/s

0.3m3/s

0.4m3/s

0.9m3/sI II

Usando la ecuación de Darcy-Weisbach para expresar las pérdidas en cada uno de los tramos en función del caudal:

2252

2 8

2 ijijijijijij

ij

ijijij QKQ

Dg

Lf

g

V

D

Lfhf

Sustituyendo los datos:

356.468;594.10;431.38;486.313;962.20 3412132314 KKKKK



Las correcciones

III QyQ se calculan según:

T

tijij

T

tijijijij

QK

QQKQ

1

1

2

Dado que (n=2) en este caso

141434341313

141414343434131313

2 QKQKQK

QQKQQKQQKQI

131323231212

131313232323121212

2 QKQKQK

QQKQQKQQKQII



Y los caudales en la iteración (K+1) se obtienen en función de los correspondientes a la iteración (K) según:

IKK

IIKK

IIIKK

IIKK

IKK

QQQ

QQQ

QQQQ

QQQ

QQQ

)(34

)1(34

)(12

)1(12

)(13

)1(13

)(23

)1(23

)(14

)1(14



Los resultados obtenidos en la serie de iteraciones partiendo de la solución inicial adoptada son los siguientes:



Las pérdidas de carga correspondientes a estos caudales son:

mQKHHhf

mQKHHhf

mQKHHhf

mQKHHhf

mQKHHhf

77.0

97.0

32.11

28.12

09.12

234344334

212122112

213133113

223233223

214144114

Tomando H1=100m resulta:

mH

mH

mH

91.87

68.88

97.100

4

3

2

DISEDISEÑOÑO


Problema de optimización.

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