Reflexión

Factorización es un proceso inverso a la multiplicación de polinomios( productos notables)

Tema: Técnicas de factorización:

¿Qué entiende usted por factorización?

Con bastante frecuencia, cuando se nos pide factorizar completamente un polinomio, nos encontramos con varios casos de factorización en el mismo polinomio.

Siempre es recomendable comenzar obteniendo el factor común monomio (primer caso de factorización), si es posible.¿Qué es factorizar? Factorizar un polinomio es el proceso mediante el cual el polinomio se transforma en un producto de factores.

Objetivo educativo: Identificar y aplicar métodos para descomponer en factores un polinomio.

Principales técnicas de factorización

Factor común

Factorización de

binomios

Factorización de trinomiosCubo perfecto de

binomio

Factorización múltiple

Factor común, comprende

Factor común monomio Factor común polinomio Factor común por agrupamiento

Proceso para factorizar factor común polinomio.Mirar si hay f.c.p en la expresión algebraica.

Sacar factores comunes polinomios fuera del paréntesis.

Sacar factores no comunes fuera del paréntesis.

Proceso para factorizar el factor común por agrupamiento.Agrupamos entre paréntesis los términos que sean comunes de dos en dos según si el polinomio tenga 4 o 6 términos.

A cada agrupación aplicamos factor común monomio.

Al resultado que quede aplicamos finalmente factor común polinomio.

Factorizar completamente cada polinomio2x2 - 12x + 10 =3x3 - 27x2 + 54x =4x2 - 32x + 60 =2x3y + 4x2y2 - 6xy3 =

4x2 - 30x + 14 =9y3 + 3y2 - 6y =20x3 - 5x =3x2 – 27 =2x3 – 16 =24x3 + 3 =

Aplica el factor común en los siguientes polinomios.

Factorización de binomios

Aplica la diferencia de cuadrados perfectos.x⁴ - y⁶ =a⁸ - b¹² =a²b⁴ - x⁴y⁶ =m⁴b¹² - n⁸x²y⁴z² - a⁴b⁴x⁶y² - a⁴b⁴x⁶y² - 925x⁴ - 9x⁶16a⁴ - 81b⁶w² - 4a⁶25a²b⁴m⁶ - 225m⁸n²

Suma y diferencia de cubos.Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

Factoriza las sumas y diferencias de cubos.

Factoriza los siguientes trinomios.a)  b)c)d) e)

72172 xx

3613 24 kk

CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO

Recordemos los productos notables:(a  +  b)3=  a3 + 3 a2b  + 3 a b2  + b3

(a  -  b)3=  a3 - 3 a2b  + 3 a b2  -  b3

La expresión resultante de los productos (a  +  b)3 y (a  -  b)3, consta de cuatro términos y se le llama CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO.FACTORIZACIÓN DEL CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO

FACTORIZACIÓN DEL CUBO PERFECTO DE UN BINOMIOPara factorarlo se extrae la raíz cúbica al primer y cuarto términos, con las raíces formamos un binomio; separando las raíces con (+) si todos los términos del cubo son positivos y con  ( - ) si los términos del cubo son alternadamente positivos y negativos; el binomio formado se eleva al cubo.

Ejemplo explicativo:

Factorar los tetranomios o cubos perfectos de binomios

• x3   +   6x2   +   12x   +   8

• x3   -   9x2   +   27x   -   27

• x3   +   3/2 x2   +   3/4 x   +   1/8

• 64x3  +  144x2  +  108x  +  27

• a3b3  +  3a2b2x  +  3abx2  +  x3

• x6 +  6x4  +  12x2  +  8

• ¿Qué condiciones tiene que cumplir el polinomio para ser "cubo perfecto"?

1) Tiene que tener dos términos que sean "cubos", es decir, potencia tercera de algo (número, letra o ambos). Por ejemplo, los siguientes términos son cubos:

x3

x6         porque (x2)3 es igual a x6       (Potencia de Potencia)-x3        porque (-x)3 es igual a -x3     (¿por qué?)8          porque 23 es igual a 8-1         porque (-1)3 es igual a -127        porque 33 es igual a 27

¿Por qué usamos solamente la fórmula de la suma elevada al cubo? ¿No hay fórmula para la resta?

En realidad hay 4 fórmulas posibles para el cubo de un binomio:

(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3

(-a + b)3 = -a3 + 3.a2.b - 3.a.b2 + b3

(-a - b)3 = -a3 - 3.a2.b - 3.a.b2 - b3

Miscelánea de ejercicios para afianzar las técnicas de factorización. APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA

Simplificación de fracciones algebraicas. Aplicaciones en la Física. Calcula la fuerza de gravedad en el Planeta Marte sabiendo que su diámetro es y su masa es veces la masa de la Tierra. Donde G = es la constante de gravitación Universal en Marte, m la masa y r su radio, por lo tanto la fuerza de gravedad viene dada por:

ma )64( Kgaa )964( 2 24)10( a

11)32( a 22 /. KgmN

2

.

r

mGg

Problema de Electricidad Resistencia Eléctrica. Cuando dos resistores se colocan en paralelo, laresistencia total R satisface la relación

21

111

RRR

Siendo y las resistencias en Ohm de ambos resistores. Si tiene 5 Ohm más que y la resistencia total es de 6 Ohms ¿Cuánto valen y ?

1R 2R 2R

1R 1R 2R

Problemas de geometría

Si el área de un cuadrado es

.

¿Cual es la longitud de cada lado?

A=

81)3(180)3(100 2 xx

Si el área de un rectángulo es

¿Cuáles son las medidas del largo y el ancho?

22 )10116( mxxA 2m

El área de un circulo esta dada por

¿Cuál es el valor del radio?

22 )49429( cmxxA

r = ?

Problemas que se resuelven empleando ecuaciones y factorización.El área de un jardín rectangular mide 30 pies cuadrados. Si el largo mide 7 pies más que el ancho, encuentra las dimensiones.RESOLUCIÓN ANALÍTICA

1.- Datos: Planteamiento y resoluciónlargo = x + 7 A = l . aancho = x área = 30 Es una ecuación cuadrática Resolvemos factorizando el trinomio (x + 10)(x - 3) = 0 , de donde se deduce que x + 10 = 0 o x – 3 = 0 x = - 10 o x = 3 Conclusión: ancho = 3 pies y largo = 3 +7 = 10 pies

2ftxx 730 2 03072 xxxx ).7(30

REFLEXION FINAL