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REFORZAMIENTO

Escuela Secundaria General No.12

Asignatura Matemáticas 3

Grado 3º

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T e m a: Número, álgebra y variación.

En esta oportunidad reforzaremos los aprendizajes esperados del primer trimestre, recuperando información de los temas:

• Uso de técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Saber que un número divide a otro exactamente o que es múltiplo de otro, es útil para resolver algunos problemas …

Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente, es decir, con los que el cociente (resultado de la división) es entero y el residuo es 0

Los números que tienen exactamente dos divisores, 1 y el mismo número, se llaman números primos.

Los números que tiene más de dos divisores se llaman números compuestos.

El número 1 solamente tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto.

Todo número es múltiplo de sus divisores y divisor de sus múltiplos. Mínimo común múltiplo (mcm) Al número más pequeño que es múltiplo común de dos números a y b se le llama mínimo común múltiplo de a y b, y se representa como mcm.

Ejemplo: mcm de 4 y 6 es 12

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, … Múltiplos de 6: 6, 12,18, 24, 30, 36, 42, …

Este número es útil para resolver algunos problemas como: ¿Cuánto mide de lado el cuadrado de menor tamaño que se puede hacer con losetas de 20 cm x 30 cm? Máximo común divisor (MCD) Al número mayor que es divisor común de dos números a y b se le llama Máximo Común Divisor de a y b, y se representa como MCD.

Ejemplo: MCD de 4 y 6 es 2 Divisores de 4: 1, 2, 4 Divisores de 6: 1, 2, 3, 6

Este número es útil para resolver algunos problemas como: Se van a preparar bolsas con golosinas-dulces- para los invitados de una fiesta. Se tienen 24 chocolates, 36 barritas de caramelo y 60 paletas. Se quiere que las bolsas sean iguales entre sí, es decir que no haya una, por ejemplo, con más chocolates que otra. También se desea que no sobren golosinas. ¿Cuántas bolsas se podrán preparar con la mayor cantidad posible de golosinas?

Periodo de realización:

25 enero al 5 de febrero 2021

Qué vamos a aprender:

Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Materiales: Ficha de trabajo, libreta de apuntes, videos, libro de texto

Te explico

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Procedimiento para calcular el Máximo Común Divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números: El Máximo Común Divisor (MCD) es el mayor de los divisores comunes de varios números. Para calcularlo, se descompone cada uno de los números en factores primos. Señalando los factores comunes primos que dividan a todos y cada uno de los números. El MCD es el resultado de multiplicar los factores primos comunes marcados.

En el caso de que no se repita ningún factor que divida a todos y cada uno de los números, el M.C.D. de esos números es 1, y se dice que los números son “primos entre sí”. Por ejemplo, el 18 y el 25 son primos entre sí. El MCD es: 1. El Mínimo Común Múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes de varios números. Para calcularlo, se descompone cada uno de los números en factores primos. El mcm es el resultado de multiplicar los factores comunes y los no comunes. Ejemplo 1: Calcular el MCD y mcm de 36, 60 y 72

Ejemplo 2: Calcular el MCD y mcm de 4, 20 y 12

36 60 72 2 Máximo Común Divisor 18 30 36 2 MCD: 2 x 2 x 3 = 12 9 15 18 2 9 15 9 3 mínimo común múltiplo 3 5 3 3 mcm: 1 5 1 5 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 5 = 240 1

4 20 12 2 Máximo Común Divisor 2 10 6 2 MCD: 2 x 2 = 4 1 5 3 3 5 1 5 mínimo común múltiplo 1 mcm: 2 x 2 x 3 x 5 = 60

El MCD es útil para reducir o simplificar una fracción: 12

20=

12 ÷ 𝟒

20 ÷ 𝟒=

3

4

(El MCD de 12 y 20 es 4; por esa razón al simplificar de divide 12 entre 4 y 20 entre 4) El mcm es útil para obtener el denominador común de fracciones equivalentes al sumar o restar fracciones con diferente denominador.

3

4+

10

20+

4

12=

(El mcm de los denominadores 4,12 y 20 es 60; para obtener fracciones equivalentes con un mismo denominador igual a 60, se divide el mcm 60 que será el denominador común entre el dominador de cada fracción y el resultado se multiplica por el numerador, el producto obtenido será el numerador de la fracción. De esta manera se obtiene una fracción equivalente. El procedimiento se repite con cada una de las fracciones; al final se suman o restan las fracciones equivalentes obtenidas)

60 ÷ 4 x 3 = 15 x 3 = 45 60 ÷ 20 x 10 = 3 x 10 = 30

60 ÷ 12 x 4 = 5 x 4 = 20

3

4+

10

20+

4

12=

𝟒𝟓

𝟔𝟎+

𝟑𝟎

𝟔𝟎+

𝟐𝟎

𝟔𝟎=

𝟗𝟓

𝟔𝟎

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• Análisis de diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.

En este grado se amplía el estudio de la variación, incluyendo la variación cuadrática y de otros tipos, presentando fenómenos y situaciones en contextos cotidianos que resulten familiares o significativos.

FUNCIONES. Variaciones.

En Matemáticas; la palabra función se utiliza para expresar que un número depende de otro; es una relación entre dos conjuntos de números, que asigna a cada número de un conjunto, uno y sólo un número de otro conjunto.

De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un sólo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia. En este tema aprenderás a reconocer e interpretar sus características principales.

A continuación, analizaremos situaciones de variación cuadrática en donde al leer la información y organizarla en una tabla, es posible con los datos elaborar una gráfica e identificar las características principales.

Funciones cuadráticas – características En matemáticas, hablamos de funciones cuadráticas cuando se puede expresar la ecuación mediante la siguiente forma.

Como puedes ver, la ecuación cuenta con tres términos, cada termino tiene un nombre bien definido, se dice que la función esta completa cuando ninguno de estos términos es cero, si alguno fuera cero, la función cuadrática se dice que está incompleta.

La gráfica de esta función es una curva llamada parábola. La trayectoria de un proyectil, el cable que sostiene un puente colgante, el tiro a la canasta de basquetbol, el tiro libre a la portería en un partido de futbol, etc., son ejemplos de figuras parabólicas

https://www.electrontools.com/Home/WP/wp-content/uploads/2020/03/funcion_cuadratica_ecuacion.png

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Gráfica de una función cuadrática La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, tiene una forma muy particular y es importante que entiendas cómo se comporta o como varía según los términos que la forman.

Toda función cuadrática tiene algunas características importantes de conocer, en la gráfica siguiente las marco en rojo, estas son Ordenada al origen – Vértice – y Eje de simetría. La siguiente gráfica corresponde a la función y= x2 – 4x – 1

Ejemplo: Representar gráficamente la función: y = x2 Se construye una tabla de valores dando a una serie de valores crecientes y calculando los correspondientes de cada par de valores correspondientes se representa gráficamente por un punto y el conjunto de todos los puntos de la gráfica.

Esta parábola tiene las siguientes características: Pasa por el origen, es tangente -toca en un punto- al eje de las x, es simétrica respecto al eje de las y y se abre hacia arriba, es decir, dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje de las y.

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Características de la gráfica – parábola - de una función cuadrática

Con los valores de cada elemento

Si el valor de a es mayor que 0, pero menor que 1.

0 < a < 𝟏 La gráfica se amplía-se dilata-se abre: y = .5x2

Si el valor de a = 1. La gráfica se mantiene equilibrada: y = x2 Si el valor de a es mayor que 1. a > 𝟏 La gráfica se contrae -se va cerrando: y = 2x2 y = 3x2

Las parábolas tienen la siguiente forma:

Si el valor de a es positivo, la parábola abre hacia arriba – parábola cóncava hacia arriba . El vértice presenta un mínimo

Si el valor de a es negativo, la parábola abre hacia abajo – parábola cóncava hacia abajo. El vértice presenta un máximo

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Resumiendo todo lo visto, a partir de la ecuación desarrollada o polinómica de una función cuadrática podemos extraer la siguiente información:

… realizando las operaciones para calcular el vértice.

Y esta sería su representación gráfica:

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Apóyate de tu libro de texto: Matemáticas 3. Consultado las lecciones:

• Proporcionalidad y funciones

Lección: 1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. Página: 45 a 51.


Lección: 1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Página: 52 a 55.


Lección: 3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Página: 151 a 158.

Para reforzar tus conocimientos, revisa los siguientes videos:

Nombre del Video: Mínimo común múltiplo MCM explicación completa

Canal: Matemáticas profe Alex Link: https://www.youtube.com/watch?v=Hxkb3i85qDw

Nombre del Video: Máximo Común Divisor MCD

Canal: Matemáticas profe Alex Link: https://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmY

Nombre del Video: MAXIMO COMUN DIVISOR Super Facil – Para principiantes

Canal: Daniel Carreon Link: https://www.youtube.com/watch?v=WD4rGWCRBYY

Nombre del Video: FUNCIÓN CUADRÁTICA. Gráfico de Parábolas. Explicación completa (super

fácil) Canal: Aprendiendo Matemática

Link: https://www.youtube.com/watch?v=xRq3feSSfyc Nombre del Video: ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA (Parte 1)

Canal: Abel Esteban Ortega Luna Link: https://www.youtube.com/watch?v=tc4pp9soYAU

Nombre del Video: GRAFICAR FUNCIONES CUADRÁTICAS Super facil

Canal: Daniel Carreon Link: https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0&feature=emb_rel_pause

Para aprender más

https://www.youtube.com/watch?v=Hxkb3i85qDwhttps://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmYhttps://www.youtube.com/watch?v=WD4rGWCRBYYhttps://www.youtube.com/watch?v=xRq3feSSfychttps://www.youtube.com/watch?v=tc4pp9soYAUhttps://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0&feature=emb_rel_pause

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Enviar resuelto: Viernes 29 de enero de 2021

Nombre del alumno: ______________________________________________ Tercer grado. Grupo: ______

Intenciones didácticas. Que el alumno resuelva problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo (mcm) y el Máximo Común Divisor (MCD) empleando el producto de los factores primos. Instrucciones: Lee detenidamente cada situación, realiza los planteamientos y resuelve. 1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para

limpieza en garrafones de la misma capacidad. ¿Cuál es la cantidad mínima de líquido que debe tener el tanque, de tal manera que se puedan utilizar garrafones de 4, de 10 o de 12 litros y que no sobre líquido y los garrafones se llenen completamente? ____________________________________ ____________________________________________________

Se recomienda calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de la cantidad de líquido -capacidad- de los garrafones:

4 10 12

2. En una línea de transporte de pasajeros, un autobús A

sale de la terminal cada 1 ½ hora; un autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, ¿a qué hora y día vuelven a coincidir sus salidas? __________________________________________ __________________________________________________

Se recomienda calcular el mínimo común múltiplo de los tiempos de salida de los autobuses. Para realizar el cálculo, convierte las horas a minutos. Al obtener el mcm, nuevamente convertir los minutos a horas. 90 120 150

Manos a la obra

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3. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones. a) ¿Cuánto medirá cada una de las partes? _____________

________________________________________________ b) ¿Cuántas tablas se pueden sacar? ___________________

________________________________________________

Se recomienda calcular el máximo común divisor (MCD) de las medidas que tienen los tablones de madera, el resultado será lo que medirá cada una de las partes. Finalmente, para calcular cuántas tablas se pueden sacar se divide la medida de cada tablón entre la medida de cada una de las partes (MCD) obtenido. Se suman los resultados obtenidos para saber cuántas tablas se pueden sacar.

48 60

4. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que

mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si se quiere que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la medida por lado de los azulejos? ________________________

Se recomienda calcular el máximo común divisor (MCD) de las medidas de ancho y alto de la pared. El resultado será lo que medirá por lado cada azulejo.

210 300

5. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18

segundos y un tercero cada minuto. A las 7:15 de la tarde los tres coinciden. ¿Cuántas veces volverán a coincidir en los próximos cinco minutos y a qué horas? _____________ __________________________________________________

Se recomienda calcular el mínimo común múltiplo de los tiempos en que enciende cada faro. Para realizar el cálculo, convertir los minutos a segundos. Al obtener el mcm, nuevamente convertir los segundos a minutos. 12 18 60

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Enviar resuelto: Viernes 5 de febrero 2021

Nombre del alumno: ______________________________________________ Tercer grado. Grupo: ______

Fortalezcamos nuestros conocimientos: Realizar el análisis de Funciones cuadráticas. Características de la gráfica – parábola - de una función cuadrática. Instrucciones: Lee detenidamente cada situación, realiza los planteamientos y resuelve. 1. Julia escucha y observa por la TV la narración de un partido de futbol: “Pérez con la camiseta 11, se

prepara para cobrar un tiro libre; de meter el gol, los Linces ganan el campeonato… tira y… ¡gol!, ¡gol!, ¡gol! El disparo trazó una parábola y el balón está en el fondo de la portería…”

La situación anterior se puede representar en un plano cartesiano donde el eje horizontal (x) representa la distancia recorrida por el balón, en metros, y el eje vertical (y), la altura.

a) ¿A qué distancia de la portería se colocó el balón para efectuar el tiro libre? ___________________ b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón cuando se cobra el tiro libre? _________________ c) ¿En qué valor para x se alcanza la altura máxima?________________________________________ d) A partir de la gráfica anterior se elaboró la tabla. Analicen los valores registrados. ¿Es posible

determinar un eje de simetría en la gráfica? Si consideras que si se puede; traza en la gráfica por dónde pasa el eje de simetría.

2. En las gráficas de las funciones cuadráticas, hay valores en la expresión que hacen que la forma y

posición de los puntos sobre la gráfica se modifiquen. Completa las tablas calculando los valores de y para cada uno de los valores de x.

Variable

independienteVariable dependiente

Dominio Contradominio

Altura (metros) distancia (metros)

x y=-.12x ²+1.2x0 0

1 1.08

2 1.92

3 2.52

4 2.88

5 3

6 2.88

7 2.52

8 1.92

9 1.08

10 0

Repaso y practico

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3. Ubica en el plano cartesiano los puntos de las coordenadas (x,y) que obtuviste en las tablas anteriores y traza las gráficas de las expresiones correspondientes.

4. Resuelve el siguiente ejercicio: las tablas siguientes muestran las relaciones entre números de

acuerdo a un enunciado algebraico. Selecciona la expresión-fórmula- que corresponda a la relación de números de cada tabla y escribe en el espacio el número de la tabla a la que corresponde cada expresión-fórmula.

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5. En el plano cartesiano siguiente se encuentran las gráficas de tres parábolas

Se dice que la parábola rosa está más abierta que la parábola azul y más cerrada que la parábola verde

• La ordenada al origen o el punto coordenado de corte con el eje y de las tres gráficas es la coordenada ( 0, -1)

En base a la información de las gráficas anteriores completa la tabla siguiente:

NOTA:

• La ordenada al origen es el punto coordenado de corte con el eje y. Consulta la información que está al inicio.

• El coeficiente del término de segundo grado, es el número que acompaña a x2. Si no está escrito se deduce que es la unidad 1.

6. Las siguientes gráficas muestran los cambios en el parámetro a de la expresión y = ax2 + b, escribe

debajo de cada gráfica la expresión que le corresponde

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7. Completa la siguiente tabla para encontrar los elementos de las parábolas.

NOTA:

• Consulta la información que está al inicio.

A manera de autoevaluación que te permita reflexionar sobre tu desempeño y trabajo realizado; rellene los círculos de los aspectos en los que se cumplió.

o Usé técnicas para determinar el mcm y el MCD o Empleé el mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD) en la resolución de

problemas. o Analicé las características de la variación cuadrática a partir de sus representaciones tabular,

gráfica y algebraica que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

o Reforcé sus conocimientos consultando la información del libro de texto. o Realicé los ejercicios de la ficha de manera autónoma. o Resolví los ejercicios de la ficha con ayuda. o Tuve oportunidad de profundizar sobre el tema con el apoyo de los videos.

o Marca la valoración que te permita reflexionar sobre lo aprendido y lo que falta por aprender:

Leí con detenimiento la información de la ficha de trabajo, analicé los ejemplos, tuve oportunidad de revisar los videos de apoyo y la información del libro de texto, planteé y resolví todos los problemas.

Leí con detenimiento la información de la ficha de trabajo, analicé los ejemplos, tuve oportunidad de revisar los videos de apoyo y la información del libro de texto, planteé y resolví casi todos los problemas.

Leí con detenimiento la información de la ficha de trabajo, analicé los ejemplos, tuve oportunidad de revisar los videos de apoyo y la información del libro de texto y resolví la mayoría de los problemas.

Leí con detenimiento la información de la ficha de trabajo, analicé los ejemplos, tuve oportunidad de revisar los videos de apoyo y la información del libro de texto y resolví algunos problemas.

Leí con detenimiento la información de la ficha de trabajo, analicé los ejemplos, no tuve oportunidad de revisar los videos y resolví algunos problemas.

Leí con detenimiento la información de la ficha de trabajo, analicé los ejemplos y resolví algunos problemas.

Lo que aprendí

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