Regiones de comportamiento atípico de billares caóticos

Regiones de comportamientoatıpico en billares caoticos

In memoriamM. en C. Jorge Alejandro Hernandez Tahuilan

2010

Jorge Alejandro Hernandez Tahuilan (1983–2010)

Conocı a Jorge por primera vez en agosto de 2008, cuando tomo un curso quedi en el Posgrado en Ciencias Fısicas sobre Herramientas Computacionales. Al finaldel curso, los asistentes tuvieron que hacer un proyecto computacional, y Jorge mepidio que lo encaminara. Le sugerı que simulara unos modelos tipo billar en dosdimensiones, lo cual logro con mucho exito, al producir unas simulaciones bonitascon visualizaciones en tiempo real.

Fue hasta marzo de 2009 cuando Jorge se me acerco para discutir la posibilidadde trabajar en su tesis de maestrıa conmigo. Le sugerı varios proyectos posibles,pero estabamos de acuerdo en que retomara su codigo para simular billares, paraextenderlo a tres dimensiones, el cual quedo muy bien, y permitio entender de maneraintuitiva ciertas propiedades de estos billares.

El proyecto se fue desarrollando durante el siguiente ano, incluyendo discusionescon investigadores internacionales, y culmino en un artıculo de investigacion. Este seescribio en colaboracion con un investigador hungaro, y se envio para su publicacionen la revista internacional Nonlinearity en junio de 2010. Jorge produjo todas lasfiguras para el artıculo, que tambien forma parte de su tesis.

En su trabajo de tesis, Jorge aplico un metodo computacional, llamado “DinamicaPonderada de Liapunov”, a los modelos tipo billar. Se trata de una manera deencontrar tipos de comportamientos especiales –atıpicos, como indica el tıtulo– enestos sistemas. Aparentemente no se habıa aplicado a estos sistemas anteriormente.Jorge extendio el metodo a este caso, y lo aplico a distintos billares en dos y tresdimensiones, en particular para buscar regiones de estabilidad en los sistemas queson principalmente caoticos. El metodo resulta ser poderoso, y planeabamos escribirotro artıculo sobre estos resultados.

Jorge tenıa contemplado seguir con el programa del doctorado en fısica en elmismo posgrado de la UNAM, y yo estaba ansioso por seguir trabajando con el en eldesarrollo del proyecto.

Jorge fue siempre un excelente estudiante, trabajador y dedicado, ası como un serhumano culto, educado y humilde, y con un sentido de humor agradable. Fue unaexperiencia muy grata trabajar de manera cercana con el.

Lo extranaremos siempre.

David P. Sanders, diciembre de 2010

Agradecimientos

Agradezco al Dr. David Philip Sanders por su valiosa guıa y por la paciencia queme tuvo a lo largo de este trabajo.

A la UNAM por haberme brindado la oportunidad de seguir con mis estudios.A los miembros de mi comite tutoral por sus sugerencias y correcciones para

este trabajo, que fueron de gran importancia al mostrarme aspectos que no habıaconsiderado.

A todas las personas que directa o indirectamente me han apoyado a lo largo deestos ultimos anos, a mi familia, y por supuesto a todos mis amigos. Mi trabajo estambien su trabajo.

Indice general

I Antecedentes 1

1. Definiciones 31.1. Modelos tipo billar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Medidas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Transformaciones ergodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Transformaciones mezclantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Ejemplos de billares en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . 81.7. Modelos mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1. Gases de partıculas en interaccion . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2. Gases de esferas duras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.3. Gas de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Exponentes de Liapunov 172.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Hiperbolicidad y region de Pesin . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. Lema del seguimiento (Shadowing lemma) . . . . . . . . . 21

2.2. Estimacion numerica del espectro de Liapunov . . . . . . . . . . . 222.2.1. Algoritmo de Benettin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2. Estimacion numerica del espectro de Liapunov para billares 26

2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1. Evolucion del maximo exponente de Liapunov con el numero

de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2. Billares en 2 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.3. Billar en 3 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Dinamica ponderada de Liapunov 373.1. Idea del metodo de LWD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Detalles del metodo de LWD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Mapeo estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1. LWD aplicado al mapeo estandar . . . . . . . . . . . . . . 42

II Resultados 45

4. LWD para billares 474.1. Posibles perturbaciones de la dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. LWD en billares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Ejemplos del LWD en billares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4. Alcances del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.1. Billar estadio redondeado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4.2. Ruido vs. tamano de las islas encontradas . . . . . . . . . . 544.4.3. Reduccion progresiva del ruido . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. LWD en un billar tridimensional 615.1. El estadio cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2. LWD en el estadio cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3. Subvariedades invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4. Estabilidad de las orbitas periodicas encontradas . . . . . . . . . . . 66

6. Conclusiones 69

A. Codigo de las simulaciones 71

B. Estadio redondeado 73B.1. Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73B.2. Ecuaciones de la geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Indice de figuras

1.1. Ejemplo de un billar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Billar en un cırculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Billar en una elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Billar en menos de medio cırculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Billar de Sinai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Billar en un estadio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7. Billar en un hongo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8. Billar en una piramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9. Gas de Lorentz y un fluido periodico. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1. Evolucion de los vectores ortonormales iniciales. . . . . . . . . . . 242.2. Ortogonalizacion de Gram–Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Efecto de la transformacion discreta en los vectores tangentes. . . . 282.4. Evolucion del maximo exponente de Liapunov con el numero de

colisiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5. Espectro de Liapunov de varios billares. . . . . . . . . . . . . . . . 322.6. Un billar en 3 dimensiones y su espectro de Liapunov. . . . . . . . . 342.7. Maximo exponente de Liapunov del billar de la figura 2.6(a). . . . . 35

3.1. Rotor pateado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Espacio fase del mapeo estandar para diferentes valores de k. . . . . 423.3. LWD aplicado al mapeo estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4. LWD aplicado al mapeo estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1. Posibles perturbaciones de la dinamica de los billares. . . . . . . . . 484.2. LWD aplicado al billar de hongo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. LWD aplicado al estadio de Bunimovich. . . . . . . . . . . . . . . 514.4. Una orbita periodica parabolica en el estadio. . . . . . . . . . . . . 514.5. LWD aplicado al billar de menos de medio cırculo. . . . . . . . . . 524.6. LWD aplicado a un estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . 544.7. Espacio de colisiones de un estadio redondeado con islas minusculas. 554.8. LWD aplicado a un estadio redondeado con islas minusculas. . . . . 554.9. LWD con reduccion progresiva del ruido aplicado al mapeo estandar. 574.10. LWD con reduccion progresiva del ruido aplicado al mapeo estandar. 57

4.11. LWD con reduccion progresiva del ruido aplicado al estadio re-dondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1. Estadio cilındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2. Proyeccion en el plano del estadio cilındrico. . . . . . . . . . . . . 625.3. LWD aplicado al estadio cilındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4. LWD aplicado al estadio cilındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5. Una trayectoria de la subvariedad invariante de la figura 5.4. . . . . 655.6. Otro tipo de trayectorias encontradas con el LWD en el estadio

cilındrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.7. Una orbita periodica y como cambia su estabilidad. . . . . . . . . . 675.8. Una orbita periodica y como cambia su estabilidad. . . . . . . . . . 68

B.1. El parametro b del estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . 74B.2. El parametro c del estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . 74B.3. Espacios de colisiones para b = 0.6 y diferentes valores de c. . . . . 75B.4. Dependencia de las islas elıpticas en los parametros b y c. . . . . . . 76B.5. Geometrıa del estadio redondeado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Introduccion

Los modelos de billares constituyen una importante clase de sistemas dinamicosque han sido ampliamente estudiados. Su importancia radica en que estos modelossimples pueden capturar toda la complejidad de los sistemas Hamiltonianos, desdela integrabilidad hasta el movimiento caotico, e incluso pueden extenderse al casono-hamiltoniano. Algunos de estos sistemas presentan un fuerte comportamientocaotico, al grado de que pueden ser considerados entre los mejores ejemplos decaos determinista. Estos objetos requieren para su estudio formal arduas aplicacionesde la teorıa de la medida; sin embargo, manipular estos sistemas y cambiar suspropiedades para llevar a cabo distintos experimentos numericos es muy facil, puessus propiedades dinamicas dependen solo de la geometrıa de la mesa de billar. Elgran avance que ha tenido el estudio de los billares en los ultimos tiempos se debe engran parte a la posibilidad de llevar a cabo estos calculos numericos.

Los modelos tipo billar pertenecen a la selecta clase de sistemas donde sepueden obtener resultados rigurosos, como demostrar que la hipotesis ergodica secumple. El modelo mas simple de sistema hamiltoniano en que se han probadodiversas manifestaciones de la no integrabilidad es el sistema de esferas duras.Este consiste de partıculas sin rotacion que chocan elasticamente entre sı en unaregion del espacio. Un gas puede ser descrito, de una manera muy simplista, por estemodelo. La dinamica de los sistemas de esferas duras es equivalente a la de un billaren una dimension mayor, y, por lo tanto, deberıa cumplirse la hipotesis ergodica paraestos sistemas. Tuvo que pasar casi un siglo para que esta hipotesis propuesta porBoltzmann fuera demostrada por Sinai, en el caso mas reducido de un gas de dosdiscos.

Los billares pueden pensarse como un sistema mecanico muy idealizado, peroesta equivalencia tambien es valida para algunos sistemas electromagneticos ycuanticos. Eso los ha hecho cobrar recientemente aun mas importancia, pues esposible llevar a cabo experimentos que reproducen sus equivalentes cuanticos, eincluso es posible comparar la influencia de imperfecciones mecanicas de billareselectromagneticos en cavidades resonantes superconductoras con respecto a lossistemas idealizados [1].

Resumen

En esta tesis se implementaron y estudiaron dos maneras estrechamente rela-cionadas de caracterizar la dinamica de los modelos tipo billar. La primera es elcalculo del espectro de Liapunov, y la otra es la adaptacion del metodo DinamicaPonderada de Liapunov (del ingles Lyapunov-Weighted Dynamics, o LWD), quesirve para encontrar trayectorias raras en el sistema estudiado, permitiendo encontrarregiones de estabilidad o inestabilidad segun se requiera.

El texto se divide en dos partes: en la primera se dan los antecedentes del presentetrabajo. En el primer capıtulo se exponen las definiciones de los modelos tipo billary algunos conceptos elementales. El segundo capıtulo continua con los conceptosrelacionados con los exponentes de Liapunov, se exponen los detalles para calcularestos para los billares, y se calcula el espectro de Liapunov para algunas mesas. En elcapıtulo tercero se expone el metodo de LWD, y se ejemplifica aplicandolo al mapeoestandar.

La segunda parte contiene los resultados nuevos. En el capıtulo cuarto se estudiala manera de adaptar el LWD a los billares. En ese capıtulo se muestran variosejemplos y se discuten los alcances del metodo. Finalmente, en el capıtulo quintose aplica este metodo a un billar tres-dimensional y se analizan los resultados.

Parte I

Antecedentes

1

Capıtulo 1

Definiciones

Los sistemas que se estudiaran en esta tesis toman el nombre del juego de billar,donde algunas bolas son golpeadas con un taco para mandarlas a las buchacas. Yaunque estos modelos solo toman en cuenta una bola de billar puntual, que no giray que viaja en lınea recta, la dinamica resultante es muy rica, pues al cambiar lageometrıa de la region en la que se mueven se pueden obtener sistemas que ilustranmuchas de las propiedades de los sistemas dinamicos hamiltonianos.

1.1. Modelos tipo billarUn modelo tipo billar [2] es un sistema dinamico que describe a una partıcula

puntual moviendose en una region fija y chocando con los bordes de esta. Losmodelos tipo billar seran llamados simplemente billares. La partıcula se mueve, sinla influencia de ninguna fuerza, en una region Q, de dimension d, abierta y acotada,de Rd o Td. La frontera ∂Q = Λ esta compuesta en general por un numero finito desubvariedades suaves Ck, de dimension (d − 1), denotadas por Λ1, . . . ,Λs, de talforma que ∂Q = Λ = Λ1 ∪ · · · ∪ Λs. Llamaremos a la region Q la mesa del billar ya la frontera ∂Q la orilla de la mesa de billar.

La partıcula tiene posicion q ∈ Q y velocidad v ∈ Rd. Mientras no choque conla orilla de la mesa, la dependencia temporal de su posicion y su velocidad esta dadapor

q = v y v = 0 . (1.1)

Dado que estamos interesados en billares de una sola partıcula, la magnitud dela velocidad no es importante, por lo que fijaremos ‖v‖ = 1. Podemos tambientomar como unitaria la masa de la partıcula, por lo que su momento coincide consu velocidad. Al hacer eso, las ecuaciones (1.1) son las ecuaciones de movimientocorrespondientes a la hamiltoniana H(p, q) = ‖p‖2/2. El dominio Q es llamado elespacio de configuracion, y el espacio fase del sistema esta dado porM = Q×S d−1,donde S d−1 es la esfera unitaria de dimension (d − 1) de los vectores velocidad.

3

4 Capıtulo 1. Definiciones

Figura 1.1: Ejemplo de un billar.

Cuando q ∈ ∂Q, la partıcula choca con la orilla del billar y la velocidad de lapartıcula cambia discontinuamente, siguiendo las leyes de la reflexion elastica, esdecir, el angulo de incidencia con la normal es el mismo que el de reflexion. Porlo tanto, el vector velocidad de salida v f estara relacionado con el vector velocidadincidente vi como

v f = vi − 2(vi · n)n . (1.2)

Aquı, n = n(q) es el vector normal unitario de la frontera ∂Q en el punto q.

La normal n(q) no esta definida en la interseccion de las variedades queconforman ∂Q, por lo que la ecuacion (1.2) no se puede ocupar. El conjunto Λ∗ =

∂Λ1 ∪ · · · ∪ ∂Λs de los extremos de las fronteras es llamado el conjunto singularde ∂Q. En Λ∗ la normal no puede ser unıvocamente definida, por lo que la reflexionno estara generalmente definida. Ası que cuando la partıcula choca en un punto deΛ∗, esta dejara de existir. Los puntos de Λ∗ juegan en estos modelos el papel de lasbuchacas en el juego del billar. Toda trayectoria que no pase por el conjunto singularΛ∗ esta bien definida para tiempos −∞ < t < ∞. Las trayectorias que en algunmomento t f llegan a un punto del conjunto singular estan definidas para −∞ < t < t f ;de igual forma, las trayectorias que en el pasado ti llegan a algun punto del conjuntosingular estan definidas solo para ti < t < ∞. En la siguiente seccion veremos cuales la importancia de este conjunto singular, cuando hablemos de la medida invariantede los billares.

1.2. Medidas invariantes 5

1.2. Medidas invariantesLa dinamica del billar induce un flujo Φt en el espacio faseM, donde t ∈ R es el

tiempo [2]. El flujo Φt preserva enM la medida

dµ = cµ dq dv , cµ :=1

|Q| · |S d−1|, (1.3)

donde dq y dv son las medidas de Lebesgue en Q y S d−1, respectivamente, cµ es unfactor de normalizacion, y |Q| y |S d−1| son los volumenes respectivos.

Es comun en la teorıa ergodica reducir el estudio de flujos a transformacionesconstruyendo una seccion transversal. Para el flujo Φt, una hipersuperficie natural enM, de dimension 2d − 2, se construye utilizando la frontera de la mesa:

M := x = (q, v) ∈ M : q ∈ ∂Q, v · n(q) ≥ 0. (1.4)

Esta subvariedad de M consiste de todas las velocidades salientes resultantes de lareflexion en ∂Q. Cualquier trayectoria del flujo Φt cruza M cada vez que se refleja en∂Q. Esto define la transformacion de primer retorno

T : M → M (1.5)

por T x := Φτ(x)x, donde τ(x) := mint > 0 : Φtx ∈ M. La transformacion T esfrecuentemente llamada transformacion del billar o transformacion de colision. Estatransformacion no esta definida en q ∈ ∂Q si q ∈ S 0, donde S 0 = (q, v) ∈ M : q ∈Λ∗ ∪ (q, v) ∈ M : v · n(q) = 0. Esto es, la transformacion de primer retorno noesta definida si q pertenece al conjunto singular Λ∗ o si la velocidad es perpendiculara la normal, pues en ese caso la velocidad no cambiarıa y serıa como si no hubieracolision. La transformacion del billar T preserva la medida

dν = cν (v · n(r)) dr dv , cν :=1

|∂Q| · |S d−1|. (1.6)

Existen conjuntos M′ ⊂ M y M′ ⊂ M de medida total, esto es µ(M′) = 1 yν(M′) = 1, para los cuales Φt y T k estan definidos para todos t ∈ R y k ∈ Z, esdecir, el flujo Φt y la transformacion de primer retorno T k estan definidos para casicualquier condicion inicial [3]. Que alguna propiedad se cumpla para casi todo puntoen M o M, quiere decir que la propiedad puede no cumplirse en un conjunto demedida cero, que puede ser el conjunto singular Λ∗ o S 0.

El sistema dinamico (M, µ,Φt) tiene una propiedad llamada involucion o invari-anza temporal: para cada x = (q, v) ∈ M′, se tiene que el punto I(x) = (q,−v) ∈ M′

satisfaceΦt(I(x)) = I(Φ−tx) (1.7)

para todo t ∈ R. Por lo tanto, la involucion I anticonmuta con el flujo Φt, es decir,ΦtI = IΦ−t y preserva la medida µ. La transformacion de primer retorno T tambienadmite una involucion I1 : M → M, definida por (q, vi) → (q, v f ), utilizando lanotacion de la ecuacion (1.2). La involucion I1 anticonmuta con T , es decir, T k I1 =

I1 T−k para toda k ∈ R, y preserva la media ν.


1.3. Transformaciones ergodicasDecimos que un conjunto A ⊂ M es invariante bajo la transformacion T , o A

es T -invariante, si T−1(A) = A. Decimos que una transformacion T que preserva lamedida µ de un espacio de probabilidad es ergodica si cada conjunto T -invariantetiene medida 0 o 1, esto es, si T−1(A) = A implica que µ(A) = 0 o 1.

Una definicion equivalente de ergodicidad para espacios medibles es la que seconoce en mecanica estadıstica como la hipotesis ergodica de Boltzmann, que afirmaque los promedios espaciales y los promedios temporales coinciden en el lımite delos tiempos muy largos, y que se puede escribir como

lımn→∞

1n

n−1∑j=0

f (T j(x)) =

∫M

f (y)dµ(y) . (1.8)

Demostrar que las definiciones anteriores son equivalentes requiere usar el Teoremade Birkhoff–Khinchin, que garantiza que la media temporal de f ,

f := lımn→∞

1n

n−1∑j=0

f (T j(x)) , (1.9)

existe y es T-invariante1.Otra propiedad equivalente a la ergodicidad es que para cada A, B ⊂ M tenemos

que

lımn→∞

1n

n−1∑m=0

µ(T−m(A) ∩ B) = µ(A)µ(B) . (1.10)

Esta propiedad es muy importante, pues nos permitira comparar las diferenciasentre la ergodicidad y el siguiente tipo de transformaciones que estudiaremos: lasmezclantes.

1.4. Transformaciones mezclantesUna transformacion T de un espacio de probabilidad en sı mismo que preserva la

medida se denomina mezclante si para cada A, B ⊂ M se cumple

lımn→∞

µ(T−n(A) ∩ B) = µ(A) µ(B) . (1.11)

Si comparamos con la ecuacion (1.10), se ve que una transformacion mezclante esaquella donde el lımite de µ(T−m(A) ∩ B) existe cuando m→ ∞ y su valor es igual aµ(A) µ(B).

1La demostracion de esta equivalencia y de los teoremas anteriores puede encontrarse en [2].

1.5. Caos 7

Se puede demostrar que toda transformacion mezclante es ergodica. Para hacerlo,basta tomar un conjunto A que sea T -invariante y en la definicion anterior hacerB = A. Obtenemos que µ(A) = µ2(A). Esto solo deja dos posibilidades: µ(A) = 0o 1, por lo que T es ergodica. Sin embargo, no se cumple lo contrario, es decir, notoda transformacion ergodica es mezclante. Para ver eso, tomamos el ejemplo de lasrotaciones Rw del cırculo por un angulo wπ; ningun conjunto permanece invariantesalvo el conjunto total, por lo que es una transformacion ergodica. Si tomamos Rw

con w < 1/2 y dos arcos A y B de longitud πw, es facil ver que si R−nw A ∩ B , ∅,

entonces R−n−1w A ∩ B = ∅, por lo que no se cumple (1.11). Por tanto, la propiedad de

mezclado es una propiedad mas fuerte que la ergodicidad.Existe otro tipo de transformaciones mezclantes. Decimos que una transforma-

cion T : M → M es topologicamente mezclante si dados dos subconjuntos abiertosU,V ⊂ M, existe un entero N ∈ N tal que

T−n(U) ∩ V , ∅ (1.12)

para todo n ≥ N. Esta definicion de mezclado es mas intuitiva: significa que laevolucion del sistema es tal que cualquier abierto de M se traslapara con cualquierotro abierto arbitrario. La propiedad de mezclado se puede interpretar como sigue:para dos conjuntos disjuntos de condiciones iniciales, la probabilidad de encontrarpuntos pertenecientes a uno de ellos en el otro crece y se hace homogenea paratiempos grandes, aunque en un principio hayan estado separados.

Existen transformaciones con propiedades mas fuertes aun: transformacionesK-mezclantes y las que satisfacen la propiedad de Bernoulli (son equivalentes aun corrimiento de Bernoulli). Si una transformacion es K-mezclante entonces esmezclante, y a su vez Bernoulli implica K-mezclante. Por esto la propiedad deBernoulli es el mas alto grado de estocasticidad en terminos de la teorıa ergodica,e implica todas las otras.

1.5. Caos

El concepto de caos es muy delicado, debido a que no existe una definicion unica.Sin embargo, mencionar la palabra caos trae inmediatamente algo a la mente: faltade orden o de capacidad de prediccion. Si un sistema es ergodico o mezclante podrıapensarse que existe caos, pero esto no siempre sucede, ni con la ergodicidad ni conel mezclado. Por ejemplo, regresemos a las rotaciones en un cırculo con un anguloirracional. Estas son ergodicas, pero este sistema no es caotico –de hecho es bastantesimple– por lo que se hace evidente que necesitamos mas restricciones para obtenerel caos.

La propiedad faltante para obtener un comportamiento caotico es la alta sensibil-idad a condiciones iniciales. Alta sensibilidad a condiciones iniciales quiere decirque aun condiciones iniciales arbitrariamente cercanas, tendran comportamientos


completamente distintos en el futuro. Una manera de cuantificar esta propiedad escon los exponentes de Liapunov, que seran estudiados en el capıtulo siguiente.

No existe una definicion matematica de caos aceptada por toda la comunidad,por lo que aquı enunciaremos una de las muchas que hay[4]: se dice que un sistemadinamico es caotico si cumple por lo menos con estas dos propiedades:

Tiene alta sensibilidad a condiciones iniciales.

Es topologicamente mezclante.

Estas dos ultimas propiedades son necesarias para tener caos –no basta tenersensibilidad a condiciones iniciales. Como ejemplo tomaremos al sistema queconsiste en doblar repetidamente un valor inicial. Este sistema tiene sensibilidad acondiciones iniciales, pues todo par de valores cercanos eventualmente se separarantanto como uno quiera con el tiempo, de manera exponencial. Es evidente tambienque en este sistema tampoco hay caos. La caracterıstica faltante en este sistema es elmezclado topologico.

A veces [5] se agrega otro requisito para llamar a un sistema caotico:

Las orbitas periodicas forman un conjunto denso.

Un subconjunto U ⊂ M es denso si todo punto de M puede ser bien aproximadopor puntos de U, es decir, dentro cualquier vecindad alrededor del punto x ∈ M,existen puntos de U. Desde el punto de vista de la medida las orbitas periodicas sonirrelevantes, pues su medida es nula y parecen no significar nada. Sin embargo, sonrealmente importantes, pues son sencillas y se puede calcular su estabilidad y otrascantidades con mucha exactitud, e incluso se puede aproximar arbitrariamente biencualquier trayectoria con orbitas periodicas.

1.6. Ejemplos de billares en dos dimensionesPara fijar ideas, se mostraran a continuacion ejemplos de mesas de billar basicas,

que han sido ampliamente estudiadas. Hay que decir que el caso mas estudiado es elcaso de mesas en 2 dimensiones. Aunque existen varios resultados para las mesas endimensiones superiores, continuan siendo un tema muy activo de investigacion.

En vez de estudiar el flujo del billar Φt, estudiaremos la transformacion de primerretorno T : M → M, con M definida en (1.4). Esta subvariedad consiste de todoslos puntos de la frontera del billar que tienen velocidades salientes. Para localizarpuntos en esa variedad, podrıamos usar las coordenadas cartesianas de la posiciony la velocidad, pero como veremos a continuacion, hay un sistema de coordenadasmucho mas practico. En todas las mesas de billar 2-dimensionales, la velocidad antesy despues de la colision queda determinada si especificamos la velocidad tangenciala la frontera de la mesa (que no cambia despues de la colision). Para determinarel punto de colision utilizaremos la longitud de arco de la frontera de la mesa

1.6. Ejemplos de billares en dos dimensiones 9

∂Q, medida desde algun punto arbitrario. Ası, toda colision queda completamentedeterminada por dos numeros: la velocidad tangencial y la longitud de arco. Estas sonlas llamadas coordenadas de Birkhoff de M. Definimos el espacio de colisiones [3]como el espacio de todas las colisiones, que tiene coordenadas velocidad tangencialy longitud de arco. Este espacio es un cilindro, ya que la coordenada longitud dearco es una coordenada periodica. El espacio de colisiones es el espacio fase dela transformacion de primer retorno T , y es muy util, pues permite visualizarsefacilmente. Pero no es el espacio fase total del flujo Φt, sino solo una seccion dePoincare.

Billar circular y billar elıptico

El billar circular es uno de los mas sencillos. En la figura 1.2(a) se puedenobservar un par de trayectorias distintas dentro de este billar. Si el coseno inversode la velocidad tangencial en el punto de choque es entero modulo π, entonces laorbita sera cerrada y tendra forma de un polıgono regular; si es racional modulo π,entonces las orbitas tambien seran cerradas pero seran polıgonos estrellados. Lascausticas2 de todas las orbitas seran cırculos concentricos de radio R(1 − |vt|).

En todos los billares con reflexion especular se conserva la energıa, y en el billarcircular se conserva ademas el momento angular, o lo que es lo mismo, la velocidadtangencial en la colision. Esto se puede ver facilmente, ya que el vector normal es unvector radial en todo punto. El billar circular corresponde a la clase de los sistemasHamiltonianos integrables, es decir, tiene tantas integrales de movimiento comogrados de libertad. Por lo tanto, su espacio fase esta foliado por variedades invariantesbajo el flujo Hamiltoniano Φt (o bajo la transformacion de primer retorno T ). En lafigura 1.2(b) se muestra su espacio de colisiones y se observa dicha foliacion.

El billar elıptico tiene una estructura mas rica, a pesar de ser tambien integrable,como se ve en la figura 1.3. Si las trayectorias pasan por el segmento que une losfocos, luego de reflejarse en ∂Q cruzaran este segmento otra vez. Un ejemplo deeste tipo de trayectorias se muestra en amarillo en la figura 1.3(a). Las causticas deestas trayectorias son hiperbolas confocales con la elipse. En el espacio de colisiones1.3(b), estas trayectorias corresponden a las curvas cerradas de la figura. Las demastrayectorias nunca pasaran por el segmento que une a los focos. Un ejemplo de estetipo de trayectorias se muestra en azul en la figura 1.3(a). Sus causticas son elipsesconfocales e interiores a la elipse del billar. Una trayectoria que pase por un focode la elipse se reflejara en ∂Q y pasara por el otro foco, regresando al foco inicialdespues de otra colision [2]. Estas trayectorias forman la separatriz en M, que separalos 2 comportamientos diferentes, y esta dibujada en rojo en la figura 1.3(b).

2Una caustica es una envolvente de la trayectoria.


Figura 1.2: Billar en un cırculo.

Figura 1.3: Billar en una elipse.

Billar de menos de medio cırculo

En la parte superior de la figura 1.4(a) se muestra un billar de menos de mediocırculo, es decir, perturbamos un billar de medio cırculo desplazando la lınea mediauna distancia ε de su posicion central. En la parte inferior de la figura 1.4(a)se muestran dos trayectorias en este billar. Este sistema perturbado deja de serintegrable. El momento angular deja de ser una integral de movimiento y la foliaciondel espacio fase desaparece y se obtiene un espacio fase mezclado, como se muestraen el espacio de colisiones, figura 1.4(b). Se discutira mas a fondo el espacio fase de

1.6. Ejemplos de billares en dos dimensiones 11

este sistema en la seccion 2.1.1.

Figura 1.4: Billar en menos de medio cırculo, con ε = 0,1.

Figura 1.5: Billar de Sinai.

Billar de Sinai

El billar de Sinai consiste en un obstaculo circular dentro de un cuadrado o untoro, como se muestra en la figura 1.5(a), donde se ha dibujado una trayectoria en


azul. La dinamica de este sistema es totalmente opuesta a la del cırculo o a la de laelipse: es ergodica, mezclante y caotica; ver la figura 1.5(b). La forma de producirel caos en este sistema se debe a la curva dispersora (disco) en el billar. Una manerade pensar esto consiste en tomar en cuenta que al chocar con el cırculo, trayectoriasparalelas se separan cada vez mas.

Figura 1.6: Billar en un estadio.

Estadio de Bunimovich

Es posible modificar la mesa de billar circular o la elıptica para obtener un sistemadinamico con comportamiento caotico. Una manera de hacer esto es romper al cırculoen dos, separar las mitades en la direccion perpendicular al diametro comun, y unirlos arcos con lıneas rectas. Leonid Bunimovich fue el primero en estudiar esta mesaen los anos 1970s [6]. Descubrio que el billar en el estadio tiene alta sensibilidada condiciones iniciales y que la transformacion del billar es ergodica, mezclante eisomorfa a un corrimiento de Bernoulli.

El estudio de este billar fue muy importante, pues se pensaba que para tenerdivergencia exponencial de condiciones iniciales era necesario tener fronteras disper-soras, como el disco en el billar de Sinai. Bunimovich mostro que es posible obtenereste tipo de comportamiento con fronteras focalizantes, mediante el mecanismo dedesfocalizacion de frentes convergentes [6].

Billar del hongo

El billar del hongo esta constituido por un semicırculo y una pata rectangular,como se muestra en la figura 1.7(a). Hay dos casos extremos de este billar: (a) no

1.7. Modelos mecanicos 13

Figura 1.7: Billar en un hongo.

hay pata, por lo que el billar es un semicırculo y es completamente integrable, y (b)la pata es tan ancha como el semicırculo, por lo que el billar es un semiestadio y, porlo tanto, completamente caotico. Sin embargo, entre esos dos extremos, se presentaun fenomeno raro: el espacio fase se divide completamente en dos regiones, unaintegrable, correspondiente a las trayectorias que nunca dejan el semicırculo, y otraregion correspondiente a las trayectorias que en algun momento entran a la pata.

1.7. Modelos mecanicos

Una de las razones para estudiar a los billares es que algunos sistemas fısicos sonequivalentes a un billar de cierta geometrıa. A continuacion se mencionaran algunosde estos sistemas.

1.7.1. Gases de partıculas en interaccion

Partıculas en una dimension

Consideremos un sistema de dos partıculas de masas m1 y m2 que se muevenen el intervalo unitario 0 ≤ x ≤ 1. Las partıculas se mueven sin la influencia deninguna fuerza y chocan elasticamente entre ellas y con las paredes del intervalo enx = 0 o x = 1. Denotamos por x1 ≤ x2 las posiciones de las partıculas, y por u1,u2 a sus velocidades. Cuando las partıculas chocan con los extremos del intervalo, suvelocidad simplemente se invierte; cuando chocan entre ellas, se preserva el momentolineal total m1u1 + m2u2 y la energıa cinetica total (m1u2

1 + m2u22)/2. Sean uk, vk

las velocidades antes y despues del choque de la k-esima partıcula. Entonces, la


Figura 1.8: Billar en una piramide.

velocidad final se escribe en terminos de las velocidades iniciales como:

v1 =u1(m1 − m2) + 2m2u2

m1 + m2, v2 =

u2(m2 − m1) + 2m1u1

m1 + m2. (1.13)

Para mostrar que este sistema es equivalente a un billar, introducimos las variables

qi = xi√

mi , vi = qi = ui√

mi (1.14)

para i = 1, 2. El estado de este sistema queda especificado por un punto q = (q1, q2) ∈R2 y por una velocidad v = (v1, v2). El espacio de configuracion del sistema es eltriangulo rectangulo

Q =q = (q1, q2) : 0 ≤

q1√

m1≤

q2√

m2≤ 1

(1.15)

que se muestra en la figura 1.8.La trayectoria del sistema en Q es gobernada por (1.1) y (1.2). Mientras las

partıculas no chocan se mueven en lınea recta. Cuando chocan con las paredes,invierten su velocidad como en una colision elastica. La parte no evidente es mostrarque las colisiones entre las partıculas corresponden a colisiones especulares en lahipotenusa del triangulo Q. Para mostrar esto solo tenemos que escribir la normal ala hipotenusa n = 1

√m1+m2

(−√

m1,√

m2) y utilizar (1.2) para obtener

v f = vi − 2(vi · n)n =(v1 + 2

(−m2v1 +√

m1m2v2)m1 + m2

, v2 − 2(√

m1m2v1 − m1v2)m1 + m2

).

Al sustituir (1.14), obtenemos

v f =(u1(m1 − m2) + 2m2u2

m1 + m2,

u2(m2 − m1) + 2m1u1

m1 + m2

), (1.16)

1.7. Modelos mecanicos 15

que corresponde a (1.13). Por lo tanto, la trayectoria del sistema en Q es gobernadapor las reglas del billar y ambos sistemas son equivalentes.

Podemos generalizar este modelo a un numero n de partıculas con masasm1, . . . ,mn en el mismo intervalo. El espacio de configuracion de este sistema sera,utilizando la notacion de (1.14), una piramide recta en Rn:

Q =q = (q1, . . . , qn) : 0 ≤

q1√

m1≤ · · · ≤

qn√

mn≤ 1

. (1.17)

La trayectoria del sistema en Q tambien es gobernada por las reglas del billar,por lo que el estudio del modelo mecanico de n partıculas en el intervalo puede serreducido al estudio de la dinamica de un billar en un n-sımplex o piramide Q en Rn.

1.7.2. Gases de esferas durasUn modelo simplificado de un gas serıa tomar esferas moviendose en alguna

region acotada del espacio y chocando entre ellas. Por simplicidad supondremosque las esferas tienen el mismo radio r y la misma masa m. Las bolas chocanelasticamente entre sı, por lo que se conserva la energıa cinetica. Una colision debolas duras con centros en q1 y q2 solo puede ocurrir si |q1 − q2| = 2r2.

Este modelo se puede reducir a un billar en un espacio de alta dimension. Parahacer esto, necesitamos definir la geometrıa de la mesa y probar que los choquesentre las esferas corresponden a reflexiones especulares en la superficie de la mesadel billar. Este ultimo es muy parecido a como se hizo en el modelo anterior, por loque lo omitimos. Para definir la mesa, denotamos la posicion del centro de la i-esimaesfera por qi = (q1

i , q2i , q

3i ) y su velocidad por vi = (v1

i , v2i , v

3i ). El estado del sistema

queda descrito si especificamos q y v dados por

q = (q11, q

21, q

31, q

12, . . . , q

2n, q

3n) ∈ R3n , v = (v1

1, v21, v

31, v

12, . . . , v

2n, v

3n) ∈ R3n .

Debido a que las bolas son duras y no pueden encimarse, las regiones donde(q1

i − q1j)

2 + (q2i − q2

j)2 + (q3

i − q3j)

2 < (2r)2 para 1 ≤ i ≤ j ≤ n no son accesibles alsistema. Denotamos a estas regiones Ci j, las cuales corresponden a configuracionesprohibidas del sistema, por lo que no estan dentro de la mesa del billar. El conjuntosingular de Λ∗ contiene todas las intersecciones de las superficies cilındricas Ci j.Tales intersecciones corresponden a las colisiones de tres o mas bolas. El resultadode tales colisiones no esta definido. Si R es la region donde se mueven las bolas, elespacio de configuracion del sistema es Q = Rn \

⋃i, j Ci j. Ası, el estudio mecanico

de las n bolas se reduce al estudio de la dinamica de billar en el dominio Q.

1.7.3. Gas de LorentzEl gas de Lorentz fue introducido por Hendrik Lorentz en 1905 para estudiar los

electrones en un metal. Consiste en una partıcula moviendose entre esferas duras fijas


Figura 1.9: Gas de Lorentz y un fluido periodico. Figura tomada de [7].

en el espacio. La partıcula movil representa a los electrones y las bolas juegan el papelde las moleculas del metal. Las bolas son del mismo radio r y pueden ser colocadasaleatoriamente o de forma periodica. La partıcula choca con las bolas elasticamente.Si las bolas fijas estan colocadas en una malla regular, el gas de Lorentz se diceperiodico. Uno puede colocar en lugar de esferas poliedros u otros objetos. Estemodelo tambien es equivalente a un fluido periodico de dos discos por celda unitariaen un enrejado como el de la figura 1.9. Si miramos desde el centro de algun disco,y miramos el movimiento del otro disco, la dinamica sera equivalente a una partıculapuntual chocando con un disco de radio igual a la suma de los radios de los discosoriginales.

Para reducir este modelo a un billar, se debe buscar un dominio fundamentalD, cuyas traslaciones paralelas puedan cubrir todo el espacio. En la figura 1.9se muestran las traslaciones paralelas del dominio fundamental D separadas porlıneas punteadas. El movimiento de la partıcula puede ser proyectado al dominiofundamental D y obtener un billar en D con condiciones periodicas a la frontera, esdecir, en un toro Td. El dominio Q del billar se obtiene removiendo los obstaculosdel toro.

Capıtulo 2

Exponentes de Liapunov

Una de las principales herramientas en el estudio de los sistemas dinamicosson los exponentes caracterısticos de Liapunov; estos miden la estabilidad oinestabilidad de las trayectorias del sistema bajo perturbaciones pequenas, o lo quees lo mismo, la sensibilidad a las condiciones iniciales. En este capıtulo se dara sudefinicion y se expondra la manera de calcularlos para los billares.

2.1. DefinicionConsideremos un sistema dinamico diferenciable

Γ = F(Γ) , (2.1)

donde Γ es un vector del espacio fase del sistema, que tiene dimension L. Al integrareste conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas obtenemos la evolucion temporaldel sistema, el llamado flujo en el espacio fase, dado por

Γ(t) = Φt(Γ(0)) (2.2)

donde Γ(t) es la solucion al tiempo t.Tomemos una trayectoria de referencia, Γ(t), y una trayectoria perturbada

Γs(t) conectada con Γ(t) por una curva parametrizada con parametro s tal quelıms→0 Γs(t) = Γ(t). El vector tangente asociado es

δΓ(t) = lıms→0

Γs(t) − Γ(t)s

. (2.3)

Su ecuacion de movimiento se obtiene linealizando (2.1):

δΓ = D(Γ) · δΓ, (2.4)

donde D(Γ) := ∂F(Γ)/∂Γ es la matriz jacobiana del sistema. Para sistemas caoticos,la perturbacion (2.3) crece exponencialmente, lo que motiva la definicion de los

17

18 Capıtulo 2. Exponentes de Liapunov

exponentes de Liapunov de una trayectoria con condiciones iniciales δΓ(0) como

λ(Γ(0), δΓ(0)) := lımt→∞

1t

log|δΓ(t)||δΓ(0)|

. (2.5)

Para mapeos discretos, T : M → M, la definicion de los exponentes de Liapunoves

λ(x, δx) := lımn→∞

1n

log |DxT n(δx)| , (2.6)

donde x ∈ M y δx es un vector tangente definido de manera similar a (2.3).La tasa de separacion puede ser diferente para diferentes vectores tangentes (2.3)

iniciales. Eso da origen al llamado espectro de Liapunov (EL) del sistema, quees el conjunto de L exponentes λi. Geometricamente, los exponentes de Liapunovpueden ser interpretados como la tasa de crecimiento exponencial promedio de losejes principales de una elipse infinitesimal que rodea al punto del espacio fase y queevoluciona de acuerdo a la ecuacion (2.1). Ası los exponentes de Liapunov describenla contraccion y el estiramiento del flujo en el espacio fase.

La existencia de todos los exponentes de Liapunov esta garantizada por elteorema de Oseledets [3]:

Teorema de Oseledets. Si se cumple que∫

Mlog+||DxT || dν(x) < ∞ y tambien

que∫

Mlog+||DxT−1|| dν(x) < ∞, donde log+s := max(log s, 0), entonces existe un

subconjunto H ∈ M, denso e invariante bajo T , con ν(H) = 1, tal que para x ∈ Hexiste una descomposicion invariante bajo DT del espacio tangente,

TxM = E(1)x ⊕ · · · ⊕ E(m)

x , (2.7)

con alguna m = m(x), tal que para todo vector v ∈ E(i)x diferente de cero, existe el

lımitelımt→∞

1t


= λ(i)x , (2.8)

donde λ(1)x > · · · > λ(m)

x .El teorema de Oseledets implica que el espacio tangente en el punto x puede ser

descompuesto en subespacios de dimension menor E( j)x , y los λ( j)

x existen y ademasson iguales en cada E( j)

x . Los puntos x ∈ M donde no se puede hacer esto tienenmedida cero. Los valores de λ( j)

x son llamados los exponentes de Liapunov del flujo enel punto x y k j = dim E( j)

x son sus multiplicidades. Los exponentes de Liapunov estan

2.1. Definicion 19

definidos en cada punto x donde la descomposicion (2.7) y el lımite (2.8) existen,sin importar la medida invariante µ que se utilice. De la definicion se sigue que losexponentes de Liapunov y sus multiplicidades son invariantes bajo el flujo, y que siel flujo es ergodico, entonces estos seran constantes en casi todo el espacio.

En el caso de los billares, el teorema de Oseledets se aplica y asegura la existenciade todos los exponentes de Liapunov, siempre que los valores absolutos de todas lascurvaturas seccionales de ∂Q estan uniformemente acotadas [3].

La ecuacion (2.5) se puede reescribir como una estimacion para el cambio detamano en la separacion inicial como |δΓ(t)| ∼ |δΓ(0)| etλ( j)

x . Si λ( j)x > 0, cualquier

vector distinto de cero v ∈ E( j)x crece exponencialmente (con una tasa de λ( j)

x ) en elfuturo y se contrae exponencialmente (con la misma tasa) en el pasado. Si λ( j)

x < 0pasa lo opuesto. Por lo tanto, los vectores v ∈ E( j)

x con λ( j)x > 0 corresponden a

perturbaciones inestables de la condicion inicial x y los vectores v ∈ E( j)x con λ( j)

x < 0corresponden a perturbaciones estables. Si λ( j)

x = 0, los vectores tangentes no secontraen ni se expanden exponencialmente, pero pueden hacerlo, por ejemplo, demanera polinominal.

Los exponentes de Liapunov para sistemas simplecticos, como son los billaresy los sistemas de esferas duras, satisfacen la llamada simetrıa de pares de Smale,λi + λL+i−1 = 0, para i = 1, . . . , L. Ademas, si el flujo preserva el volumen del espaciofase, entonces la suma de los exponentes de Liapunov debe ser igual a cero. Parasistemas que no son simplecticos o para sistemas disipativos se pierde la simetrıa depares de Smale y la suma de los exponentes del espectro de Liapunov ya no es iguala cero. Si el sistema es disipativo, la suma de todos los exponentes de Liapunov esnegativa y corresponde a la produccion (irreversible) de entropıa [8]. Sin embargo,esos sistemas estan fuera del campo de estudio de este trabajo.

2.1.1. Hiperbolicidad y region de PesinLa descomposicion del espacio tangente hecha en la ecuacion (2.7) lleva a un

concepto de mucha importancia: la hiperbolicidad. Un punto x ∈ M es llamado unpunto hiperbolico si los exponentes de Liapunov (2.8) existen y todos son distintosde cero. Para un punto hiperbolico x ∈ M, tenemos que TxM = Ei

x ⊕ Eex, donde

Eix =

⊕λ(k)

x >0

E(k)x ; Ee

x =⊕λ(k)

x <0

E(k)x . (2.9)

El subespacio Eix tiene coeficientes de Liapunov mayores que cero, y el subespacio Ee

xtiene coeficientes de Liapunov menores que cero. Los superındices i y e se refierena inestable y estable, respectivamente. Un mapeo T es llamado hiperbolico en elsentido de Pesin si todos los puntos x ∈ M, salvo un conjunto de medida cero, sonhiperbolicos.

La hiperbolicidad permite obtener resultados muy interesantes de una formarigurosa, y muchos de lo que se sabe de la estructura y la dinamica del caos se


han demostrado solo en casos donde se satisfacen las condiciones de hiperbolicidad[9]. Ademas, la hiperbolicidad implica inestabilidad para casi todas las orbitas.Esto es consecuencia de que los exponentes de Liapunov sean distintos de cero,pues trayectorias que empiezan arbitrariamente cerca, se separan en el futuro oen el pasado. Esta propiedad se discutio en la seccion 1.5 donde se le llamo altasensibilidad a condiciones iniciales y es un ingrediente fundamental del caos; unamanera de cuantificarla es con los exponentes de Liapunov, y la hiperbolicidad es elgrado mas alto que puede tener.

Sin embargo, en muchos sistemas los puntos x ∈ M que son hiperbolicos notienen medida total, es decir, existe un subconjunto S ⊂ M tal que ν(S ) > 0,pero todos los puntos y ∈ S son no-hiperbolicos pues alguno de sus exponentesde Liapunov se anula. En estos casos, para estudiar al sistema tenemos que dividirsu espacio fase en varias regiones que tienen comportamientos diferentes, como sehara a continuacion.

Denotemos por N al conjunto de puntos que tienen bien definido tanto su pasadocomo su futuro por el mapeo T . El teorema de Oseledets implica que para ν-casi todox ∈ N todos sus exponentes de Liapunov λ1(x) < · · · < λm(x) existen. Llamamos laRegion de Pesin de M al conjunto

Σ(T ) = x ∈ N : λi(x) , 0,∀ i = 1, . . . ,m . (2.10)

Notese que la region de Pesin Σ(T ) es T -invariante y que ademas los exponentes deLiapunov λi(x) no seran necesariamente iguales. Sin embargo, uno puede ir mas lejosy tomar algun conjunto B ⊂ N que sea T -invariante tal que ν(B) > 0. Entonces latransformacion TB := T |B (la restriccion de T a B) preserva la probabilidad νB, quese obtiene condicionando ν a B. Se puede construir conjuntos B en los cuales TB esergodica con respecto a la medida νB. Este resultado se enuncia a continuacion[2]:

Teorema de la Descomposicion Espectral de T . Sea ν(Σ(T )) > 0. Entoncesexisten conjuntos Σi ⊂ Σ(T ), i = 0, 1, 2, . . . , J ≤ +∞ tales que

1. Σi ∩ Σ j = ∅ para i , j y ∪iΣi = Σ(T );

2. µ(Σ0) = 0 y µ(Σi) > 0 para i > 0;

3. T (Σi) = Σi para i ≥ 0;

4. T |Σi es ergodica con respecto a µΣi para i > 0.

Los conjuntos Σi son llamados las componentes ergodicas de T . De acuerdoal teorema anterior, la region de Pesin puede ser descompuesta en una cantidadnumerable de subregiones que no interactuan entre sı. Estas regiones son ergodicasbajo T |Σi y los puntos de estas regiones tienen el mismo espectro de Liapunov.

Existe una clase de sistemas Hamiltonianos para los cuales existen tantasintegrales de movimiento como grados de libertad, los sistemas integrables. Paraestos sistemas las trayectorias en el espacio fase se organizan de una manera regular,

2.1. Definicion 21

generando foliaciones en cilindros o en toros (ver la figura 1.3, pag. 10). Sin embargo,los sistemas Hamiltonianos usualmente no presentan este comportamiento, es decir,no son integrables.

En un sistema Hamiltoniano tıpico f : M → M hay regiones f -invariantesD ⊂ M de medida positiva donde la dinamica es estable y los exponentes deLiapunov son nulos. Las regiones D son la union de toros o cilindros f -invariantes.Estas regiones se encuentran alrededor de puntos periodicos elıpticos1; las regionesalrededor de estos puntos son llamadas islas elıpticas. La region de Pesin Σ( f ) esllamada mar caotico y puede tener muchas componentes ergodicas. En los sistemasHamiltonianos, estas islas elıpticas usualmente coexisten con un mar caotico, ambosde medida positiva (ver la figura 1.4).

2.1.2. Lema del seguimiento (Shadowing lemma)La dinamica en los billares es completamente determinista. Dada la posicion

inicial q0 ∈ R y velocidad inicial v0 de la partıcula dentro del billar en eltiempo t = 0, se puede determinar, en principio, su posicion qt y velocidad vt

para cualquier tiempo t ∈ R integrando las ecuaciones (1.1) y (1.2). En otraspalabras, el estado presente del sistema determina por completo el futuro y el pasadodel sistema. Sin embargo, describir analıticamente el estado futuro o pasado delsistema solo es posible para billares con geometrıas muy simples, como cırculoso rectangulos. Para geometrıas mas complicadas esto se vuelve intratable para|t| grande. Ademas, esto supone un conocimiento preciso de q0 y de v0, lo quehace preguntarse bajo que condiciones los calculos numericos realizados en unacomputadora, donde siempre existe un error de truncamiento asociado, tienenvalidez. El termino seguimiento (del ingles shadowing) se refiere a la relacion entrelas trayectorias de un mapeo y las trayectorias aproximadas obtenidas en la presenciade ruido o del error de truncamiento.

Denotemos por Xs ∈ Ω el estado preciso de una partıcula moviendose en eltiempo y por Xs = Xs + δXs al estado calculado. Para s = 0, |δXs| es del ordende la precision disponible (10−16 utilizando el tipo double en C o float en Python).Para s > 0, pero s pequena, podemos aproximar s como |δXs| ∼ 10−16. Pero para untiempo t + s, tenemos que

δXs+t ≈ DXsΦt(δXs) + δX′t , (2.11)

donde δX′t es el error adicional hecho durante el calculo de Φu(X0), s < u < s + t. Porsimplicidad, δX′t ∼ 10−16, pero el primer termino de la ecuacion (2.11) puede crecermuy rapido dependiendo de DXsΦ

t(δXs).Si el punto inicial X0 tiene exponentes de Liapunov iguales a cero, los vec-

tores tangentes creceran lento, y el primer termino de la ecuacion (2.11) per-

1 Los puntos elıpticos de un mapeo son aquellos en los que la matriz de estabilidad solo tienevalores imaginarios.


manecera pequeno incluso para t grande. Pero si X0 tiene exponentes de Liapunovpositivos, entonces

|DXsΦt(δXs)| ≈ eλt|δXs|. (2.12)

La exponencial eλt crece rapido para λ > 0. Por ejemplo si λ = 1, entonces al tiempot = log(1016) ≈ 39 el error sera del orden de 1. Ası, los errores crecen rapido ypueden hacer que los calculos subsecuentes no tengan ningun significado [9]. Poreso, se vuelve imposible calcular el estado futuro de X0 aun aproximadamente. Demanera similar, si hay exponentes de Liapunov negativos en X0, el pasado distante estambien inaccesible.

Sin embargo, aparentemente los calculos numericos realizados en las computa-doras pueden describir de manera precisa el comportamiento a largo plazo. La razonde esto es que en los experimentos numericos lo que uno quiere es generar unatrayectoria tıpica y no la trayectoria exacta de un punto X0 particular. La secuenciade puntos xn con n1 < n < n2 es llamada una δ-pseudo-trayectoria del mapeoinvertible F : M → M si para δ > 0 pequena se cumple dist(F(xn), xn+1) < δ paran1 < n < n2 − 1. Si δ = 0 entonces xn+1 = F(x), ası que xn es la trayectoria real depunto x0. Para δ > 0 uno obtiene un punto xn+1 ≈ F(xn) en cada iteracion de F. Yesto es lo que se observa en un experimento numerico donde errores de truncamientoestan presentes. El siguiente lema es conocido para mapeos hiperbolicos.

Lema del seguimiento: Para ε > 0 existe una δ > 0 tal que para cada δ-pseudo-trayectoria xn, n1 < n < n2, existe y0 ∈ M tal que

dist(xn, Fn(y0)) < ε (2.13)

para n1 < n < n2. Uno dice que la trayectoria de y0 ε-sigue la pseudo-trayectoria xn.No hay restricciones sobre n1 y n2, ası que el seguimiento puede darse en tiemposarbitrarios, incluso infinitos [3]. Si el mapeo no es hiperbolico entonces sı hayrestricciones sobre n1 y n2, y el seguimiento se mantendra durante ese tiempo [3].En palabras, se puede decir que la δ-pseudo-trayectoria xn del punto x0 permaneceε-cercana a la trayectoria real de y0. En los experimentos numericos donde x0 esescogido al azar, lo que importa es que la secuencia xn es aproximadamenteuna trayectoria real del sistema, y esta y0 es tan buena como la de x0 escogidaaleatoriamente.

2.2. Estimacion numerica del espectro de LiapunovQueremos calcular numericamente los exponentes de Liapunov. Benettin et al.

[10] introdujeron por primera vez un algoritmo eficiente para calcular el espectro deLiapunov de cualquier sistema dinamico diferenciable. Sin embargo, en el caso delos billares hace falta un algoritmo que pueda manejar el caso de modelos hıbridosde ecuaciones diferenciales ordinarias y mapeos discretos para tomar en cuentalas colisiones de la partıcula con la orilla del billar. El algoritmo de Benettin fue

2.2. Estimacion numerica del espectro de Liapunov 23

extendido a este tipo de modelos hıbridos por Dellago et al. [8]. A continuacion sepresentan los fundamentos de estos dos algoritmos.

2.2.1. Algoritmo de BenettinEl algoritmo de Benettin consiste en resolver simultaneamente las ecuaciones de

movimiento (2.1) para la trayectoria de referencia Γ(t) y la aproximacion lineal (2.4)para un conjunto completo de vectores tangentes δΓl. Las dificultades asociadas alerror de truncamiento y a la incertidumbre al escoger los vectores iniciales δΓl(t) seevitan renormalizando periodicamente el conjunto de vectores tangentes, de tal formaque los exponentes de Liapunov son obtenidos del promedio temporal de los factoresde renormalizacion.

Consideremos primero la estimacion numerica del maximo exponente de Lia-punov λ1. Escogemos un δΓ(0) arbitrario, de tal forma que tenga una componenteen la direccion de maximo crecimiento exponencial. Evolucionamos este vector deacuerdo a la ecuacion (2.4) por un tiempo largo. Tıpicamente |δΓ(t)| se vuelve tangrande que ocurre desbordamiento aritmetico si λ1 > 0. Este problema se solucionarenormalizando |δΓ(t)| a 1. Esto es, cada cierto intervalo arbitrario de tiempo τ j, nodemasiado grande, almacenamos la magnitud del vector tangente2 α(1)

j = |δΓ(τ j)| ydividimos δΓ(τ j) entre su magnitud para obtener un vector de tamano 1 en la mismadireccion. La ecuacion (2.8) puede ser reescrita de la siguiente manera:

λ1 = lımt→∞

1t


= lımt→∞

1t

n∑j=1

log|δΓ(τ j)||δΓ(τ j−1)|

(2.14)

con algunas τ j que cumplan τ0 < τ1 < · · · < τn y con τ0 = 0 y τn = t. Al normalizardespues de cada paso de tiempo τ j, tendremos que la magnitud del denominadorsera igual a 1 para el siguiente intervalo de tiempo. Esto no afecta al calculo total pueslo unico que importa es el logaritmo de la razon de |δΓ(τ j)|

|δΓ(τ j−1)| . Finalmente, almacenadas

las magnitudes α(1)j , podemos aproximar el maximo coeficiente de Liapunov como

λ1 '1t

n∑j=1

log(α(1)j ) (2.15)

para un t suficientemente largo de tal forma que el valor de λ1 converja con unatolerancia aceptable a algun valor.

Los pasos necesarios para calcular el maximo exponente de Liapunov se puedenresumir como

1. Escoger un δΓ(τ0 = 0) arbitrario como vector inicial.

2Notacion: en adelante, α(k)j representara el k-volumen generalizado al tiempo τ j.


Figura 2.1: Evolucion de los vectores ortonormales iniciales.

2. Evolucionar el vector inicial de acuerdo a la ecuacion (2.4) por un tiempo τ j

para obtener δΓ(τ j).

3. Almacenar α(1)j = |δΓ(τ j)| y dividir δΓ(τ j) entre su magnitud.

Este nuevo vector sera el vector inicial para el siguiente paso de la iteracion.Es necesario repetir los pasos 2 y 3 para τ0 < τ1 < · · · < τn con τn = t.

4. La aproximacion de λ1 estara dada por

λ1 '1t

n∑j=1

log(α(1)j ) .

Para calcular el segundo exponente de Liapunov λ2, se deben escoger dosvectores tangentes ortonormales δΓ(1)(0) y δΓ(2)(0). Estos dos vectores definen unparalelogramo de area α(2)

0 en el espacio tangente. Evolucionando estos vectoresde acuerdo a la ecuacion (2.4) por un tiempo t, obtenemos δΓ(1)(t) y δΓ(2)(t) quedefinen otro paralelogramo de area α(2)

t . Se asume que los 2 vectores iniciales tienencomponentes no nulos en la direccion de maximo crecimiento, pues son arbitrarios.Por esto, el paralelogramo original se deformara como se indica en la figura 2.1.

La ecuacion (2.5) se puede reescribir como una estimacion para el cambio detamano en la separacion inicial como |δΓ(i)(t)| ∼ |δΓ(i)(0)| etλ(i)

x . Entonces podemosestimar el area del nuevo paralelogramo como α(2)

t = et(λ1+λ2)α(2)0 , por lo que

λ1 + λ2 = lımt→∞

1t

log

α(2)t

α(2)0

.Ası, si ya tenemos una estimacion de λ1, la estimacion numerica del lado

izquierdo de la ecuacion anterior lleva a una estimacion de λ2. Las dificultadesson las mismas que en el caso de λ1: para tiempos largos, los vectores δΓ(1)(t) y


δΓ(2)(t) crecen demasiado, lo que provoca desbordamiento aritmetico, y se vuelvencasi paralelos, pues para tiempos largos el crecimiento es en la direccion de λ1, loque destruye la diferencia entre las direcciones de δΓ(1)(t) y δΓ(2)(t). Para evitarestos problemas se procede, como en el caso del calculo de λ1, a reemplazarperiodicamente a los vectores δΓ(1)(t) y δΓ(2)(t) por otro par de vectores ortonormalesen el subespacio generado por estos vectores. Obtenemos que

λ1 + λ2 '1t

n∑j=1

log(α(2)j ) ,

donde α(2)j es el area (antes de normalizar) del paralelogramo en el tiempo τ j.

Para calcular el k-esimo exponente de Liapunov λk, debemos seguir un pro-cedimiento similar al caso de λ2, pero esta vez evolucionaremos un conjunto de kvectores δΓ(i)(t) y nos fijaremos en el k-volumen del paralelogramo k-dimensionalque el conjunto de vectores δΓ(i)(t) genera, y cada intervalo de tiempo τ j losreemplazaremos por un conjunto de vectores ortonormales entre sı, generados atraves del procedimiento de ortogonalizacion de Gram–Schmidt.

Figura 2.2: Ortogonalizacion de Gram–Schmidt.

Ortogonalizacion de Gram–Schmidt

El proceso de ortogonalizacion de Gram–Schmidt es utilizado para ortogonalizarun conjunto de vectores linealmente independientes v1, . . . , vk, en un espacio dedimension L ≥ k, de tal forma que obtenemos otro conjunto de vectores u1, . . . , uk,ortogonales entre sı, los cuales generan el mismo subespacio que los vectoresoriginales v j, por lo que seran una combinacion lineal de ellos. A partir de los vectoresu j se puede construir un conjunto de vectores ortonormales e j =

u j

|u j |, con ei · e j = δi j.

Los vectores e j estan dados por

e j = v j −

j−1∑i=1

(v j · ei

)ei ; (2.16)


β j =

∥∥∥∥∥∥v j −

j−1∑i=1

(v j · ei

)ei

∥∥∥∥∥∥ . (2.17)

El k-volumen del paralelogramo k-dimensional que el conjunto de vectores v j formanesta dado por α(k) = β1β2 · · · βk.

Una vez aplicada la ortogonalizacion de Gram–Schmidt, obtenemos que

k∑i=1

λi '1t

n∑j=1

log(α(k)j ), (2.18)

donde α(k) es el k-volumen del paralelogramo k-dimensional que el conjunto devectores genera antes de la normalizacion. Para obtener una estimacion numericade λk necesitamos una estimacion numerica del lado derecho de la ecuacion (2.18) yuna estimacion de los exponentes λ1, . . . , λk−1. Con este metodo podemos en principiocalcular todos los exponentes de Liapunov que queramos.

Los pasos necesarios para calcular el espectro de Liapunov se pueden resumircomo sigue:

1. Escoger un conjunto completo de vectores δΓ j(τ0 = 0) arbitrarios.

2. Evolucionar este conjunto de vectores de acuerdo a la ecuacion (2.4) por untiempo τi para obtener un nuevo conjunto de vectores δΓ j(τi).

3. Aplicar el proceso de ortogonalizacion de Gram–Schmidt al conjunto devectores δΓ j(τi) y almacenar las magnitudes α( j)

i = β1β2 · · · β j con las β j dadaspor (2.17).

Los vectores resultantes (2.16) de la ortogonalizacion seran los vectoresiniciales para el siguiente paso de la iteracion. Es necesario repetir los pasos 2y 3 para τ0 = 0 < τ1 < · · · < τn con τn = t.

4. La estimacion numerica de λ j al tiempo t = τn estara dada por

λ j '1t

n∑j=1

log(α(k)j ) −

j−1∑i=1

λi =1t

n∑j=1

log

α(k)j

α(k−1)j

.2.2.2. Estimacion numerica del espectro de Liapunov para bil-

lares

Con el metodo anterior es posible calcular el espectro de Liapunov para cualquiersistema dinamico que se pueda escribir como (2.1). Los billares son sistemas que


siguen evolucionan de acuerdo a (2.1) mientras viajan por el interior del billar, y estaevolucion es la correspondiente a la de una partıcula libre:(

qp

)=

(p/m

0

). (2.19)

Sin embargo, cuando la partıcula choca con la frontera del billar, el momentop sufre un cambio instantaneo, lo que es equivalente a un mapeo discreto quetransforma al momento antes del choque pi a otro despues del choque p f , y esemapeo solo es aplicado cuando la partıcula choca con la frontera del billar. Por estopodemos decir que los billares son un modelo hıbrido entre un sistema dinamicodescrito por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y un mapeo discreto.La generalizacion del algoritmo de Benettin a este tipo de sistemas fue hecha porDellago et al. [8], y a continuacion describiremos los detalles de esta.

Consideremos el conjunto de L ecuaciones diferenciales ordinarias (2.1), concondiciones iniciales Γ(0), y supongamos que ademas aplicamos la transformacion

Γ f = M(Γi) (2.20)

en los tiempos de colision τ1, τ2, τ3, . . . . Los subındices i y f se refieren a losestados inicial y final al aplicar el mapeo M. El mapeo M(Γ) debe ser diferenciable.Llamaremos S al mapeo en el espacio tangente correspondiente a M, δΓ f =

S(Γi, δΓi).Durante el intervalo τi+1−τi la trayectoria se obtiene al integrar la ecuacion (2.1),

lo que origina el flujo Φt. La evolucion de los vectores tangentes (2.3) se obtieneintegrando (2.4). Tomando en cuenta el mapeo discreto aplicado en los tiempos τi,la evolucion en el espacio fase y en el espacio tangente puede ser escrita como

Γ(t) = Φt−τn M Φτn−τn−1 · · · Φτ2−τ1 M Φτ1(Γ(0)

); (2.21)

δΓ(t) = Lt−τn · S · Lτn−τn−1 · · ·Lτ2−τ1 · S · Lτ1 · δΓ(0) , (2.22)

donde L∆t es el propagador de δΓ en los segmentos continuos, lo cual, aplicado alvector tangente δΓ, da como resultado el cambio que este vector sufre en el tiempo∆t. El propagador L puede ser escrito como

Lt2−t1 = exp(∫ t2

t1D[Γ(t′)]dt′

). (2.23)

El efecto de aplicar el mapeo S a la trayectoria perturbada se ilustra en la figura2.3; ver tambien [8]. La trayectoria de referencia esta dibujada con una lınea solidaazul y la trayectoria satelite con una lınea punteada verde. Para la trayectoria dereferencia el mapeo discreto M se aplica en Γi en el tiempo τc y mapea al vector Γi en


Figura 2.3: Efecto de la transformacion discreta en los vectores tangentes.

Γ f . Para la trayectoria satelite, el mapeo se aplica en un punto desplazado Γi+δΓc y enun tiempo ligeramente diferente τc +δτc. Es importante hacer notar que δτc puede sertanto positivo como negativo. Como se puede ver de la figura, δΓ f inmediatamentedespues del mapeo esta dado por

δΓ f = M(Γi + δΓc) − [Γ f + F(Γ f ) δτc], (2.24)

donde hemos ocupado la aproximacion lineal

Γ(t + δt) = Γ(t) + F(Γ) δt .

Utilizando la misma aproximacion lineal obtenemos

δΓc = δΓi + F(Γi)δτc .

Combinando este resultado con la ecuacion (2.24) y aplicando la aproximacionlineal

M(Γ + δΓ) = M(Γ) +∂M∂Γ· δΓ ,

obtenemos finalmente una expresion para δΓ f como funcion de Γi y δΓi, el vectorinicial en el espacio fase y el vector tangente:

δΓ f =∂M∂Γ· δΓi +

[∂M∂Γ· F(Γi) − F(M(Γi))

]δτc . (2.25)

Hay que notar que el retardo δτc es a su vez funcion de Γi y δΓi. Esta ecuacion da laregla de transformacion lineal exacta para los vectores δΓ f .

La ecuacion (2.25) se aplica a cualquier mapeo discreto –solo es necesarioconocer las ecuaciones de movimiento dadas por F(Γ), el mapeo M(Γ), y la matrizJacobiana asociada a este mapeo, ∂M

∂Γ. A partir de ahora, consideraremos solamente


el caso de la colision de una partıcula puntual con una superficie curva, en la cualesta es reflejada elasticamente. Este tipo de colisiones ocurre en billares con paredescurvas, e incluye el caso de paredes planas.

Escribiremos el vector en el espacio fase como

Γ =

(qp

),

donde q y p representan la posicion y el momento de la partıcula. Entre colisiones,el movimiento es el correspondiente al de una partıcula libre

Γ =

(qp

)=

(p/m

0

). (2.26)

Al chocar con la frontera del billar, la partıcula es reflejada elasticamente, lo quequiere decir que la transformacion M no cambia la posicion q ni la componente delmomento p paralela a la superficie; por lo tanto,

Γ f = M(Γi) =

(qi

pi − 2(pi · n)n

), (2.27)

donde n es la normal unitaria perpendicular a la superficie en el punto de colision,n = n(q). La colision de la trayectoria satelite es retrasada con respecto a la colisionde la trayectoria de referencia por un tiempo

δτc = −δqi · n

pi/m · n,

que es simplemente la separacion perpendicular a la superficie de ambas trayectoriasdividida por la velocidad normal. La matriz Jacobiana asociada al mapeo M se puedeescribir como

∂M∂Γ

=

(1 0A B

),

donde

A =∂p f

∂qi= − 2[n ⊗ pi + (pi · n)1] ·

∂n∂qi

;

B =∂p f

∂pi= 1 − 2n ⊗ n .

Aquı, 0 y 1 son matrices de L× L, y d⊗ e denota el producto tensorial de los vectoresd y e. El operador B corresponde simplemente a la reflexion del momento en elpunto de colision. ∂n/∂q es la matriz de derivadas del vector normal con respectoa la posicion. El vector δqc es la diferencia en el espacio de configuracion entre lospuntos de colision de la trayectoria de referencia y a trayectoria satelite, y esta dadopor

δqc = δqi + (pi/m)δτc .


Combinando todo esto con la ecuacion (2.25), obtenemos la regla exacta detransformacion para los vectores tangentes:

δΓ f =

(δqi − 2(δqi · n)n

δpi − 2(δpi · n)n − 2(pi · δn)n − 2(pi · n)δn

). (2.28)

Se ha escrito δn = ∂n/∂qi · δqc, que es la variacion de n debida al desplazamientoδqc, que se debe a la curvatura de la frontera.

Como ultimo ingrediente para calcular la evolucion de δΓ, debemos calcular elpropagador dado por (2.23). Usando la ecuacion (2.26) podemos escribir

D(Γ) =∂F∂Γ

=

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

, (2.29)

por lo que podemos escribir L como

Lt2−t1 = exp(∫ t2

t1D[Γ(t′)] dt′

)= exp (D(t2 − t1)) = I + (t2 − t1)D

=

1 0 ∆t 00 1 0 ∆t0 0 1 00 0 0 1

, (2.30)

donde hemos escrito ∆t := t2 − t1. Aplicando este propagador a δΓ = (δq, δp),obtenemos

L∆t(δΓ) = L∆t(( δq , δp ))

= ( δq + ∆t · δp , δp ) . (2.31)

Con las ecuaciones 2.31 y 2.28 podemos calcular la evolucion de δΓ y aplicar elalgoritmo de Benettin descrito en la seccion 2.2.1 y resumido en la pagina 26 paraobtener los exponentes de Liapunov de los billares.

2.3. EjemplosA continuacion calculamos los espectros de Liapunov de algunos de los bil-

lares expuestos en la seccion 1.6 para mostrar lo discutido anteriormente y elfuncionamiento del algoritmo.

2.3.1. Evolucion del maximo exponente de Liapunov con el numerode colisiones

En la ecuacion 2.5 se ve que la definicion de los exponentes de Liapunov implicaun lımite para tiempo infinito. Sin embargo, es posible obtener una muy buena

2.3. Ejemplos 31

estimacion de los exponentes de Liapunov al utilizar el algoritmo de Benettin porun tiempo relativamente grande. La convergencia esta asegurada por el teorema deOseledets, pero la velocidad de convergencia dependera del sistema. La meta escalcular los exponentes de Liapunov durante suficientes colisiones para obtener unabuena aproximacion, pero que no sean demasiadas para utilizar el menor tiempocomputacional posible.

En la figura 2.4(a) se observa la evolucion del maximo exponente de Liapunov(MEL) para el billar de Sinai durante mil colisiones; la lınea punteada es el MELcalculado con un millon de colisiones. Para un numero de colisiones pequeno, lasfluctuaciones son grandes, por lo que deben ocuparse muchas mas para tener unabuena estimacion. En la figura 2.4(b) se observa la evolucion durante los primeroscien mil choques del millon calculado. La convergencia para este caso tiene unadesviacion menor a 3 % del valor calculado para un millon de colisiones a partir dela colision numero 105.

(a) (b)

Figura 2.4: Evolucion del maximo exponente de Liapunov con el numero decolisiones.

2.3.2. Billares en 2 dimensionesEn la figura 2.5(a) se muestra el espectro de Liapunov de un billar circular.

Como el sistema tiene 2 grados de libertad, el espacio fase del sistema tiene 4dimensiones, por lo que tenemos tambien 4 exponentes de Liapunov. Pero dado quehay dos integrales de movimiento, el sistema es completamente integrable y todoslos exponentes de Liapunov son cero. Esto se debe a que el espacio fase esta foliadoy por lo tanto no hay separacion exponencial de trayectorias, aunque la separacionpuede ser polinominal.

Si no hay suficientes integrales de movimiento para que el sistema sea completa-mente integrable, entonces la foliacion del espacio fase desaparece y algunos de los


(a) Billar Circular (b) Estadio

(c) Hongo (d) Billar de Sinai

Figura 2.5: Espectro de Liapunov de varios billares calculado con un millon decolisiones.

exponentes de Liapunov seran distintos de cero. Para sistemas que son invariantesante translaciones temporales, es decir, si no importa cuando fijamos el cero en eltiempo, el teorema de Noether implica que se conserva la energıa. Si esto sucede,entonces dos de los exponentes de Liapunov son iguales a cero, uno correspondiente ala direccion perpendicular a la superficie de energıa constante y otro correspondientea la direccion del flujo. Para los billares esto se cumple, por lo que siempre habra dosexponentes de Liapunov iguales a cero.

Para el estadio sucede lo anterior, pues el sistema no es integrable. Entonces,solo 2 exponentes de Liapunov son cero, y los otros dos no, como se ve en la figura2.5(b). Los exponentes distintos de cero son los que dan la separacion exponencialde trayectorias iniciales cercanas. En esta imagen, y en las que siguen, se apreciaclaramente la simetrıa de pares de Smale.

Para el caso del hongo tenemos un conjunto de condiciones que nunca abandonan

2.3. Ejemplos 33

el sombrero del hongo y que se encuentran en una region integrable del espacio fase,como se ve en la figura 1.7. Para este conjunto, los exponentes de Liapunov se anulany corresponden al espectro pintado en azul en la figura 2.5(c). Si en algun momentola partıcula entra a la pata del hongo entonces se pierde la integrabilidad y seobtiene nuevamente la separacion exponencial de condiciones iniciales. El espectrode Liapunov para este caso se dibuja en la figura 2.5(c) de color rojo.

El espectro de Liapunov del billar de Sinai se dibuja en la figura 2.5(d). Este billares dispersivo y tiene un par de exponentes de Liapunov distintos de cero.

2.3.3. Billar en 3 dimensionesLas propiedades dinamicas de los billares dependen de los parametros geometri-

cos de las mesas. Como es de esperarse, este cambio se refleja en la magnitud delos exponentes de Liapunov. Ası que una manera de caracterizar las propiedadesdinamicas de las mesas es estudiar como varıan los exponentes de Liapunov al variarlos distintos parametros del sistema.

Para ilustrar esto, estudiaremos la mesa de billar que se muestra en la figura2.6(a). Esta mesa ha servido para estudiar la difusion en cristales tridimensionales[11]. Consiste en una esfera central de radio rint rodeada por 8 esferas de radiorext en las esquinas de un cubo. Esta puede ser tomada como la celda unitaria deun cristal. En la figura 2.6(b) se muestra la variacion del maximo coeficiente deLiapunov respecto a rint y rext. El exponente de Liapunov para cada valor de rint yrext se calculo con un millon de colisiones, y la distancia entre las esferas exterioreses L = 2. Como se puede ver, el maximo exponente de Liapunov crece al aumentarrint o rext, como es de esperarse, pues el billar se vuelve mas dispersivo.

En la figura 2.7 se muestran las proyecciones para rint y rext constantes. Como esde esperarse, estas son simetricas en rint y rext, ya que el sistema tambien lo es.


(a)

(b)

Figura 2.6: (a) Un billar en 3 dimensiones, y (b) su maximo exponente de Liapunovcomo funcion de los parametros geometricos.

2.3. Ejemplos 35

(a)

(b)

Figura 2.7: Se muestran las proyecciones de 2.6(b). En (a) cada curva tiene rext

constante, y en (b) cada curva tiene rint constante.

Capıtulo 3

Dinamica ponderada de Liapunov

En la gran mayorıa de los sistemas Hamiltonianos sucede que islas elıpticasconviven con mares caoticos, ambos de medida distinta de cero. En los sistemasdinamicos en general sucede algo parecido, pues muchos sistemas tienen trayectoriasque presentan comportamiento atıpico, caotico o regular. Esto es algo que debetomarse en cuenta al calcular los exponentes de Liapunov de cualquier sistema, puespuede darse el caso de que los resultados obtenidos solo correspondan a algunacomponente ergodica del sistema o a alguna isla elıptica. Por esto es importantedesarrollar metodos que permitan localizar estas trayectorias con comportamientoatıpico. Se han desarrollado varios algoritmos con este fin [12, 13, 14]; en este trabajose utilizo el algoritmo de la Dinamica Ponderada de Liapunov (Lyapunov-WeightedDynamics) o LWD, introducido recientemente por J. Tailleur y J. Kurchan en [15].

3.1. Idea del metodo de LWD

Para obtener una idea del comportamiento general de un sistema uno puedeintroducir un ensamble de caminantes y evolucionarlos. Sin embargo, la dinamica delos sistemas Hamiltonianos es determinista, y por lo tanto la evolucion de cualquiernumero de caminantes hara en general un muestreo muy pobre del espacio fase,pues dependera de las limitadas condiciones iniciales de los caminantes. Eso es unproblema si, por ejemplo, se buscan islas y estas son muy pequenas, pues habrıa queelegir muchas condiciones iniciales distintas para que alguna cayera dentro de estasislas.

Para darle la vuelta a este problema, se evolucionan los caminantes de acuerdoa una nueva dinamica efectiva, que tendra que ser escogida para llevar a loscaminantes a las regiones del espacio fase deseadas. Para esto, la dinamica originalsera perturbada con un ruido aleatorio pequeno.

Cada caminante lleva consigo un vector tangente, que corresponde a la separacionde dos trayectorias inicialmente cercanas, y este vector tangente evoluciona con lamisma dinamica perturbada. Despues de cierto tiempo, los caminantes son clonados

37

38 Capıtulo 3. Dinamica ponderada de Liapunov

o eliminados con una tasa proporcional al alargamiento de su vector tangente. Sise buscan regiones caoticas (regulares), entonces se favorecen los caminantes quetienen un vector tangente que crece mas (menos). Eliminar un caminante equivalesimplemente a olvidarse de el. Clonar un caminante es poner otro caminante enla misma posicion y con el mismo vector tangente; sin embargo, estos clonesevolucionan despues con un ruido diferente.

El efecto de esto es que los caminantes que esten en las regiones deseadas delespacio fase seran favorecidos, es decir, copiados, mientras que los caminantes queesten fuera de estas regiones se iran eliminando poco a poco. Despues de un tiempo,posiblemente largo, todos los caminantes estaran en las regiones deseadas del espaciofase. El efecto final es que las orbitas son ponderadas de acuerdo a como cambia suvector tangente, y esto es de cierta manera equivalente a ponderarlas con su maximoexponente de Liapunov, es decir, con su sensibilidad a las condiciones iniciales.

Se introduce la tasa proporcional al alargamiento del vector tangente ya que,aunque en las regiones caoticas es mas probable que el vector tangente crezca,puede no hacerlo, porque la separacion exponencial de trayectorias inicialmentecercanas es un comportamiento lımite que ocurre en el tiempo infinito y no dicenada del comportamiento para tiempos pequenos. Entonces, esta tasa proporcionalasegura que aunque el comportamiento instantaneo del vector tangente vaya contrael comportamiento buscado, no sea necesariamente eliminado, pues podrıa estar enuna de las regiones deseadas.

Ademas, para mantener la poblacion de caminantes aproximadamente constante,se aplica tambien una tasa de copiado a todo el conjunto de caminantes. Esto es,siempre que los clonemos, se intentara clonar o eliminar el numero de caminanteseliminado o clonado en el paso anterior. Eso se logra multiplicando la tasa de clonadodescrita en el parrafo anterior por el numero de clones deseados entre el numero declones actuales. Ası se evita que una vez que los caminantes llegan a las regionesdeseadas, estos sean clonados sin lımite y su numero se dispare. Sin embargo, unaconsecuencia de esta forma de mantener la poblacion sera que el numero de clonesfluctuara alrededor del numero de clones deseados.

3.2. Detalles del metodo de LWDUna poblacion de N caminantes, con posiciones en el espacio fase Γi ≡ (qi,pi),

i = 1, . . . ,N, evolucionan con una dinamica Hamiltoniana, perturbada con una fuerzaaleatoria de intensidad

√ε, pequena y diferente para cada caminante:

qi = pi,

pi = −∇V(qi) +√ε η(t) , (3.1)

donde η(t) es un ruido blanco de varianza unitaria.Cada caminante lleva consigo un vector tangente δΓi. Se puede pensar que el

vector tangente δΓ representa un companero del caminante que empieza a la distancia

3.2. Detalles del metodo de LWD 39

δΓ(0) y que evoluciona con el mismo ruido. Despues de un tiempo t, la posicion deli-esimo caminante y su companero son Γi(t) y Γi(t) + δΓi(t) respectivamente, y larazon de la separacion inicial y la separacion al tiempo t la denotaremos por

ri =|δΓi(t)||δΓi(0)|

. (3.2)

Despues de cierto tiempo, los caminantes son clonados o eliminados con unatasa proporcional a α-veces el alargamiento del vector tangente. Un valor positivo(negativo) de α tiende a favorecer orbitas con un exponente maximo de Liapunovgrande (pequeno). El efecto de elevarlo a la potencia α es que ri siempre sera mayorque uno cuando que el comportamiento del caminante coincida con el que buscamos;esto es, ri > 1 si α es positiva y buscamos que el vector tangente crezca pero tambienri > 1 si α es negativa y buscamos que el vector tangente disminuya.

Despues de calcular ri, debemos decidir si el caminante esta en las regiones quebuscamos o no. Esto depende directamente del valor de ri:

1. si (ri)α > 1, el clon es copiado con probabilidad (ri)α − 1 ;

2. si (ri)α < 1, el clon es eliminado con probabilidad 1 − (ri)α .

Cada par de clones evoluciona despues con un ruido diferente. Despues de untiempo posiblemente largo, la mayorıa de los clones estaran en la region de mayor omenor caoticidad del espacio fase, dependiendo del signo dado al parametro α.

El algoritmo en sı no garantiza que el numero de clones permanecera constante.Las ecuaciones de Hamilton con ruido (3.1) se pueden escribir en forma compactacomo

xi = −wi j∂H

∂x j+ Diηi , (3.3)

donde x = (q1, . . . , qN , p1, . . . , pN) , D = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) y w =

(0 11 0

). Los

vectores tangentes δΓ evolucionan como

δΓ = −Ai jδΓ j con Ai j = wikδ2H

δxkδx j. (3.4)

En terminos de v = δΓ|δΓ|

, la magnitud de u esta dada por

|δΓ(t)| = |δΓ(0)|e−∫ t

0 viAi jv jdt . (3.5)

Se puede ver en la referencia [16] que la distribucion de probabilidad P de quelos caminantes sean clonados cumple que∫

∂P∂t

dx dv = −α

∫viAi jv jPdx dv , (3.6)


por lo que la distribucion de probabilidad P no se conserva. De hecho, cadacaminante es clonado con una tasa igual a −αviAi jv j, que es lo mismo que α veces lacontraccion del vector tangente |δΓ(t)|. Ası que para mantener el numero de clonesaproximadamente constante, se utiliza una tasa de copiado dada que depende delnumero de clones en cierto instante.

En resumen, los pasos para aplicar el metodo son:

1. Tomamos un ensamble de N caminantes en el espacio fase con posiciones Γi =

(qi,pi) que evolucionaran de acuerdo a la ecuacion (3.1). Cada caminante llevaconsigo un vector tangente δΓ, inicialmente de magnitud unitaria |δΓ0| = 1 queevolucionara con la forma linealizada de (3.1) hasta obtener el valor δΓ f .

2. Una vez que calculamos la evolucion del vector tangente, calculamos la razonentre la magnitud inicial y la magnitud final del vector tangente,

ri =|δΓ f |

|δΓ0|, (3.7)

y renormalizamos el vector tangente para utilizarlo en la siguiente iteracionδΓ0 →

δΓ f

|δΓ f |.

3. Calculamos el numero de copias que haremos del clon,

num_copias = floor(razon · rαi + aleatorio) , (3.8)

donde razon es la cantidad de clones totales entre la cantidad de clonesdeseados, aleatorio es un numero aleatorio en [0,1) y floor es una funcionque nos regresa el entero mas cercano menor que el argumento.

a) Si num_copias = 0, entonces el caminante es eliminado.

b) Si no, entonces clonamos al caminante num_copias-1 veces.

Despues, cada clon evoluciona con ruido diferente.

4. Repetimos lo anterior para todos los caminantes por un numero dado dechoques.

Como ya se menciono, al aplicar la tasa de copiado a todo el conjunto decaminantes descrita por (3.8), se obtienen fluctuaciones en el numero de clones.Estas fluctuaciones dependeran del valor de α directamente. Las fluctuaciones sonpequenas si se trabaja con valores de |α| ∼ 1, pero estas se hacen muy grandessi el valor de α se incrementa. Por esto, la tasa de copiado a todo el conjuntode caminantes descrita por (3.8) es util solo para estos valores de α. Trabajar convalores mas grandes requerirıa posiblemente una tasa de copiado que mantuvieraexactamente constante la poblacion total de caminantes [16]. En esta tesis siempre seocupo α = ±1, por lo que esta tasa de copiado es adecuada.

3.3. Mapeo estandar 41

3.3. Mapeo estandarPara ilustrar el funcionamiento del algoritmo y para ver que en realidad esta fun-

cionando como queremos, se aplicara al mapeo estandar antes de aplicarlo a losbillares. Este modelo fue estudiado en [15], por lo que se puede comparar si nuestraimplementacion del algoritmo esta funcionando.

Figura 3.1: Rotor pateado.

El mapeo estandar es un mapeo que ha recibido mucha atencion, ya que esun modelo simple de un sistema conservativo que presenta caos Hamiltoniano.Representa la evolucion de un rotor pateado, esto es, de una partıcula constrenidaa moverse sin friccion en un cırculo, bajo la influencia de una fuerza impulsivaperiodica, que actua cada cierto tiempo con la misma intensidad y con la mismadireccion y sentido. Esta fuerza provoca un cambio instantaneo en el valor delimpulso angular proporcional a la componente tangencial de dicha fuerza. El nombrede mapeo estandar se le dio porque muchos sistemas pueden ser localmente reducidosa este mapeo [17]. A pesar de su importancia, muchos de sus aspectos todavıa noestan completamente entendidos [18].

El momento de la partıcula sera denotado por p y su coordenada por q. La reglade transformacion esta dada por:

pn+1 = pn −kδ2π

sin(2πqn) ; qn+1 = qn + δpn+1 , (3.9)

donde k fija la intensidad de la fuerza, δ el periodo entre dos sucesivas aplicacionesde la fuerza, y n representa el tiempo.

Para k = 0, el sistema se reduce a un pendulo simple sin gravedad, por lo quees integrable y solo son permitidas orbitas periodicas o cuasiperiodicas. Cuandodibujamos en el espacio (q, p), las orbitas cuasiperiodicas aparecen como curvascerradas y se puede apreciar la foliacion del espacio fase (ver figura 3.2(a)). En estecaso el momento es constante, por lo que las trayectorias en el espacio fase son curvashorizontales.


(a) k = 0.0 (b) k = 0.8

(c) k = 1.35 (d) k = 4.5

Figura 3.2: Mapeo estandar. Se dibujan varias orbitas en el espacio fase delmapeo estandar con δ = 1 y diferentes valores de k, el parametro deestocasticidad. Diferentes colores indican diferentes orbitas (aunque colores igualesno necesariamente corresponden a las mismas orbitas).

Para k > 0, el sistema pierde su integrabilidad. Sin embargo, para k pequena,algunas orbitas cuasiperiodicas sobreviven, como afirma el teorema KAM y comose ve en la figura 3.2(b). El teorema KAM establece que si un sistema integrablese somete a una pequena perturbacion no lineal, entonces algunas de las superficiesinvariantes del sistema se deformaran y otras seran destruidas; ademas, al aumentarla perturbacion, mas orbitas seran destruidas. Para k mayor, se puede observar un marcaotico conviviendo con islas integrables, como se ve en la figura 3.2(c). Al aumentark, aumenta el tamano del mar caotico y las islas se hacen cada vez mas pequenas (verla figura 3.3(d)).

3.3.1. LWD aplicado al mapeo estandarSe implemento el metodo LWD para aplicarlo al mapeo estandar, siguiendo

lo expuesto en la seccion 3.2 y la referencia [15], para localizar regiones de

3.3. Mapeo estandar 43

comportamiento atıpico. Al aplicar el algoritmo para α = 1, los caminantes seconcentraran en la region mas caotica del espacio fase. Para el caso de la figura3.3, esta region es la variedad inestable del punto fijo inestable situado en (0.5, 0.0),revelando las caracterısticas de la marana homoclınica. En esa figura se muestra laevolucion de los caminantes en el tiempo.

(a) n = 0 (b) n = 5

(c) n = 10 (d) n = 10000

Figura 3.3: LWD aplicado al mapeo estandar. Se muestra la evolucion temporal en elespacio fase (fondo azul) de 10000 clones (en rojo) con α = 1, k = 1,0, y δ = 1,0.En (a) los clones estan distribuidos uniformemente en el espacio fase. En (b) y (c)algunos de los clones se acercan a la variedad inestable, hasta que finalmente en (d)todos los clones se encuentran cerca ella. En (d) se muestra la superposicion de lasposiciones durante las 100 ultimas aplicaciones del mapeo.

Para encontrar estructuras regulares en medio del mar caotico, se tiene mas bienque escoger α negativa, lo que favorece que los clones se vayan a las islas elıpticasdel sistema. En la figura 3.4 se muestra el resultado de aplicar el LWD con α = −1y ε = 10−6 al mapeo estandar. Los clones se concentran en las casi invisibles islasque quedan. El tamano de las islas pequenas es de aproximadamente 5 × 10−7 vecesel del espacio fase; si pusieramos condiciones iniciales aleatorias uniformemente


distribuidas para encontrar estas islas, tendrıamos que usar aproximadamente 2millones, lo que pone de manifiesto el poder de este metodo. Ademas, este metodopuede usarse para buscar islas para valores arbitrarios de k, como se ejemplifica enlas figuras 4.9 y 4.10.

(a) (b)

Figura 3.4: LWD aplicado al mapeo estandar. Se muestra la evolucion temporal de10000 clones con α = −1, k = 7.7 y δ = 1.0. En (a) se muestra la posicion final delos clones despues de 10000 pasos de tiempo. En (b) se muestra un acercamiento auna isla de (a).

Parte II

Resultados

45

Capıtulo 4

LWD para billares

En este capıtulo adaptaremos el LWD a los billares –aparentemente, por primeravez. En las primeras dos secciones se dan los detalles para esto y se aplica a variasmesas de billar. Despues estudiamos los alcances del algoritmo, particularmente sucapacidad para encontrar islas elıpticas pequenas, y se propone una forma de mejorarla convergencia hacia estas regiones.

4.1. Posibles perturbaciones de la dinamicaLa evolucion de los modelos tipo billar consta de la parte entre choques, dada por

(1.1), en la que la partıcula se mueve en la region Q sin la influencia de ningun tipo defuerza y el choque elastico con la frontera del billar ∂Q dada por (1.2). Para adaptarel algoritmo de LWD a los modelos tipo billar, hay que determinar que parte delHamiltoniano vamos a perturbar con el ruido, pues podemos perturbar el momento1

entre los choques o el vector normal en cada choque2.Debido a que la dinamica de estos sistemas esta determinada por la geometrıa de

la mesa de billar, lo mas natural serıa pensar que debemos perturbar la geometrıa,o mas especıficamente la normal a la frontera en el punto de choque. Sin embargo,como veremos a continuacion, perturbar el momento despues del choque o perturbarla normal tienen un efecto equivalente, pero perturbar el momento tiene una ventaja.

Llamaremos v f a la velocidad de salida sin perturbar nada, v f 1 a la velocidad desalida perturbada directamente, y v f 2 a la velocidad que se obtiene al perturbar lanormal. En este caso η sera un vector de ruido blanco de varianza unitaria. Tenemosque v f = vi − 2(vi · n)n, mientras que las otras dos estan dadas por

v f 1 = v f + εη = vi − 2(vi · n)n + εη ; (4.1)

v f 2 = vi − 2(vi · (n + εη))(n + εη) = vi − 2(vi · (n + εη))n− (2εvi · n + 2ε2vi · η)η . (4.2)

1Como tomamos la masa de la partıcula como unitaria, el momento y la velocidad coinciden.2La normal n siempre debera permanecer unitaria; solo cambiara su direccion.

47

48 Capıtulo 4. LWD para billares

(a) (b)

Figura 4.1: Posibles perturbaciones de la dinamica de los billares.

Como se puede ver, en ambos casos la velocidad final tiene componentes en ladireccion del vector η. La unica diferencia es la magnitud relativa de la perturbacion.En (4.1), se ve que esta sera ε veces la magnitud de η, mientras que para el segundocaso la magnitud relativa sera de (2εvi·n+2ε2vi·η). El segundo caso tiene la desventajade depender de vi · η, lo que hace que la magnitud relativa pueda fluctuar mas que enel primer caso.

Se probaron ambas formas de perturbar la dinamica y ambos casos dieron losmismos resultados. Esto es de esperarse, pues aunque perturbar el momento duranteel vuelo de la partıcula tiene el efecto de cambiar la direccion del movimiento variasveces, solo importa el punto de la frontera donde sera la proxima colision, y esto esequivalente a cambiar una sola vez la direccion del movimiento. Ası que segun laspruebas que se realizaron, ambas formas de perturbar tienen el mismo efecto.

Sin embargo, una de las principales motivaciones para utilizar el metodo deLWD en los billares es encontrar islas pequenas en el espacio fase. Para esto lomas conveniente es no tener fluctuaciones en la intensidad de la perturbacion, puesestas podrıan ser suficientemente grandes para enviar al caminante fuera de la isla.Debido a esto, como una precaucion, en este trabajo se escogio perturbar la velocidaddirectamente en vez de perturbar la normal.

4.2. LWD en billares

Una vez que ya sabemos como vamos a perturbar la dinamica, lo siguiente esimplementar el LWD a la transformacion de primer retorno (1.5). Esto se describe acontinuacion:

1. Tomamos un ensamble de N caminantes en el espacio fase con posiciones Γi =

(qi,pi) que evolucionaran entre choques de acuerdo a (1.5):

Γ =

(qp

)=

(p/m

0

).

4.2. LWD en billares 49

Cuando choquen con la frontera ∂Q, la posicion del caminante no cambiara,pero la velocidad lo hara de una manera perturbada, similar a la ecuacion(2.27):

Γ f = M(Γi) =

(qi

pi − 2(pi · n)n + εη

), (4.3)

donde n es la normal unitaria perpendicular a la superficie, q es la posicion dela colision y p es la velocidad, y los subındices i y f denotan los valores antesy despues de la colision, respectivamente.

2. Cada caminante lleva consigo un vector tangente δΓ, inicialmente de magnitudunitaria |δΓ0| = 1, que evoluciona entre choques como se indica en (2.22). Para∆t el tiempo entre dos choques sucesivos, tenemos que

δΓ f = S · L∆t · δΓ0 , (4.4)

con el propagador L∆t dado por (2.30)1 0 ∆t 00 1 0 ∆t0 0 1 00 0 0 1

,y el mapeo S que evoluciona δΓ f = S(Γi, δΓi) en los choques descrito por(2.28)

δΓ f =

(δqi − 2(δqi · n)n

δpi − 2(δpi · n)n − 2(pi · δn)n − 2(pi · n)δn

).

3. Una vez calculado esto, calculamos la razon entre la magnitud inicial y lamagnitud final del vector tangente,

ri =|δΓ f |

|δΓ0|, (4.5)

y renormalizamos el vector tangente para utilizarlo en la siguiente iteracion:δΓ f

|δΓ f |→ δΓ0.

4. Calculamos el numero de copias que haremos del clon,

num_copias = floor(razon · rαi + aleatorio) , (4.6)

donde razon es la cantidad de clones totales entre la cantidad de clonesdeseados, aleatorio es un numero aleatorio en [0,1) y floor es una funcionque nos regresa el entero mas cercano menor que el argumento.


5. a) Si num_copias = 0, el caminante es eliminado.

b) Si no, clonamos al caminante num_copias-1 veces.

Despues, cada clon evoluciona con ruido diferente.

6. Repetimos lo anterior para todos los caminantes por un numero dado dechoques.

4.3. Ejemplos del LWD en billaresAplicaremos este procedimiento a varios billares para mostrar que funciona, antes

de estudiar sus alcances y limitaciones en la siguiente seccion.

Billar de hongo

El billar del hongo y su espacio de colisiones se muestran en la figura 1.7. Seescogio este billar para ser el primero en probar el algoritmo debido a sus propiedadespoco usuales: el espacio fase esta dividido completamente en una parte integrabley una parte caotica, es decir, solo hay una isla elıptica rodeada de un mar caoticoformado por una sola componente ergodica. Al aplicar el algoritmo con α = 1 y conα = −1, uno esperarıa encontrar esta componente ergodica y alguna trayectoria de laisla, como de hecho sucede en la figura 4.2.

(a) (b)

Figura 4.2: LWD aplicado al billar de hongo. El espacio de colisiones del billar dehongo esta en azul. En rojo, se muestra la superposicion de la posicion final de 500clones despues de 5000 choques con ε = 10−6 y (a) α = 1 ; y (b) α = −1.

4.3. Ejemplos del LWD en billares 51

(a) (b)

Figura 4.3: LWD aplicado al estadio de Bunimovich. El espacio de colisiones delestadio esta en azul. En rojo, se muestra la superposicion de la posicion final de 500clones despues de 5000 choques con ε = 10−6 y (a) α = 1 ; y (b) α = −1.

Figura 4.4: Una orbita periodica parabolica en el estadio.

Estadio de Bunimovich

El billar de Bunimovich y su espacio de colisiones se muestran en la figura 1.6.Este billar es ergodico y mezclante y es equivalente a un corrimiento de Bernoulli. Esun sistema completamente caotico, en el que no hay islas elıpticas y casi cualquierpunto tiene un exponente de Liapunov mayor que cero. Al aplicar el algoritmo conα = 1, esperarıamos encontrar que los clones cubren casi uniformemente todo elespacio fase despues de un tiempo. En la figura 4.3(a) casi sucede eso, pero seobservan zonas en las que aparentemente no hay clones, por lo que se podrıa pensarque no existe la homogeneidad del espacio fase derivada a la propiedad mezclante.Lo que ocurre en realidad es que existe una familia de orbitas periodicas parabolicas–aquellas que solo rebotan en las partes rectas de la mesa, y que se muestran enla figura 4.4– pero su medida es cero. Debido a que la separacion de trayectoriasinicialmente cercanas a estas trayectorias es lineal, la uniformizacion del espacio de


colisiones debido a la ergodicidad en esa zona sera lenta, y se dara solo en el tiempoinfinito. Sin embargo, esa region corresponde a la region menos caotica del espaciofase, y es algo muy bueno que al aplicar el algoritmo con α = −1 los clones se vayana esa region del espacio de colisiones, como se observa en 4.3(b). Los brazos que seobservan en la figura 4.3(a) pueden corresponder a variedades estables de los puntoperiodicos parabolicos.

(a) (b)

Figura 4.5: LWD aplicado al billar de menos de medio cırculo con ε = 0.3. El espaciode colisiones del estadio esta en azul. En rojo, se muestra la superposicion de laposicion final de 500 clones despues de 10000 choques con ε = 10−6 y (a) α = 1 ; y(b) α = −1.

Billar de menos de medio cırculo

El billar de menos de medio cırculo y su espacio de colisiones se muestran en lafigura 1.4, en la pagina 11. Este billar es en cierto sentido mas complicado que losanteriores, ya que tiene un archipielago fractal de islas integrables, rodeadas de unmar caotico formado por varias componentes ergodicas. En otro sentido es menoscomplicado, ya que su dinamica tiene regiones donde es regular y no es mezclante niequivalente a un corrimiento de Bernoulli. En la figura 4.5(a) se aplico el LWD con αpositiva, lo que hace que los clones lleguen a la parte caotica del sistema. Los clonesllegaran a alguna de las componentes ergodicas del sistema, que depende de α y delas condiciones iniciales de los clones, y que no interactua con otras componentesergodicas (en la figura 4.5(a) se alcanza a apreciar esto). En cambio, si aplicamos elLWD con α negativa, eso provoca que los clones se agrupen en alguna isla elıpticadel sistema, como se muestra en 4.5(b).

4.4. Alcances del algoritmo 53

4.4. Alcances del algoritmoUna de las razones para implementar el algoritmo de LWD y de adaptarlo a los

modelos tipo billar fue la idea de que pudiera servir para encontrar islas elıpticasen los espacios fases de los modelos tipo billar de una manera general. La utilidadde esto es obtener evidencia numerica de diversas propiedades de distintas mesas debillar, como la ergodicidad y la hiperbolicidad, en particular en dimensiones mayoresa 2, donde solo existen resultados rigurosos para un numero limitado de geometrıas–ver, por ejemplo, la referencia [19]. Para investigar la ergodicidad de un sistema,se buscarıan islas con este metodo; si se encuentran, entonces la dinamica no esergodica, mientras que si no se encuentran, puede ser un indicio para suponer laergodicidad, aunque nunca puede ser una demostracion contundente.

Sin embargo, en muchos mapeos y para ciertas condiciones, hay un marcaotico grande y las islas elıpticas son muy pequenas. Tratar de encontrarlas podrıarepresentar un problema para el algoritmo en sı por la misma forma en que sebuscan las trayectorias raras: se perturba con un ruido pequeno. Si se estan buscandoislas muy pequenas, la perturbacion podrıa sacar a los clones de la isla aunquelos clones hayan llegado ahı. El efecto final sera que el ruido llevara a los clonescerca, pero este mismo ruido los podrıa sacar de ahı cuando la isla sea demasiadopequena. Si fuera ası, para un ruido ε dado, solo podrıan encontrarse islas tales quesu tamano fuera suficientemente grande para que el ruido no sacara a los clones deella. Afortunadamente, la situacion no es tan crıtica, como se vera mas adelante, perose hace necesario investigar los alcances y limitaciones del algoritmo, en especialrelacion a su capacidad para encontrar islas pequenas.

Para estudiar los alcances del algoritmo para encontrar islas pequenas, necesita-mos, de alguna manera, ser capaces de controlar el tamano de las islas del mapeocambiando la geometrıa de una manera bien establecida. Esto no se puede hacer enlas geometrıas presentadas en las secciones 1.6 y en 4.3, pues solo el hongo y el billarde menos de medio cırculo tienen islas. En el caso del hongo las islas solo se puedenmodificar aumentando el ancho de la pata, pero eso solo cambia el ancho de la isla,que siempre se extendera en toda la direccion vertical. En el caso del billar de menosde medio cırculo siempre habra una isla grande que no se puede reducir mas. Por lotanto, necesitamos otra mesa. La mesa escogida es una generalizacion del estadio deBunimovich, que llamaremos billar estadio redondeado; fue introducido por P. Balinty M. Halasz en [20].

4.4.1. Billar estadio redondeadoEl billar estadio redondeado es en realidad una familia de mesas de billar que

estan descritas por dos parametros, 0 ≤ b ≤ 1 y 1 ≤ c ≤ ∞. Su descripcioncompleta, ası como imagenes de las mesas y sus respectivos espacios de colisionesse encuentran en el Apendice B y en [20]. El caso lımite del estadio de Bunimovichesta dado para b = 1 y c = ∞. El caso c = 1 corresponde a un cırculo para


cualquier valor de b. Entre estos casos lımites, para ciertos valores de los parametros,se encuentran islas elıpticas entre un mar caotico de uno o varias componentesergodicas, y el tamano de las islas cambia al cambiar los parametros (ver lafigura B.3). Este tipo de comportamiento es justo lo que necesitamos para estudiarque tan eficazmente el metodo de LWD puede encontrar islas pequenas, pues nospermitira tenerlas, variar su tamano y probar si se pueden encontrar o no.

En la figura B.3(c) se muestra el espacio de colisiones para una de estas mesascon parametros b = 0.6 y c = 1.6. En la figura 4.6 se aplica el LWD a esta mismamesa.

(a) (b)

Figura 4.6: LWD aplicado a un estadio redondeado con parametros b = 0.6 y c = 1.6.El espacio de colisiones esta en azul. En rojo, se muestra la posicion final de 200clones despues de 4000 choques para ε = 10−8 y para (a) α = 1 y para (b) α = −1.

4.4.2. Ruido vs. tamano de las islas encontradasComo se menciono al inicio de esta seccion, el ruido que lleva a los clones a las

regiones de interes del espacio fase es el mismo que los puede sacar de islas pequenasy llevarlos lejos. Por esto podrıa ser valido suponer que el tamano de las islas que sepueden encontrar dependera directamente de la magnitud del ruido utilizado. Sinembargo, hay que tomar en cuenta que el algoritmo, por construccion, favorece lasorbitas que localmente tienen el comportamiento deseado, en este caso el regular.Ası, los clones que esten cerca de las regiones regulares, de las variedades estables ode otras estructuras del espacio fase que tengan esta propiedad, seran clonados conuna probabilidad neta mayor que los que no esten cerca de estas regiones. El efectofinal sera que los clones permaneceran cerca de las regiones regulares en el espaciofase. A continuacion se mostrara esto.

En la figura 4.7(a) esta dibujado el espacio de colisiones de un estadio redondeadoy las islas son invisibles a simple vista hasta que observamos el acercamiento de


(a) (b)

Figura 4.7: En (a) se muestra el espacio de colisiones de un estadio redondeado conparametros c = 9.99 y b = 0.8. Las islas son invisibles a simple vista hasta que seobserva el acercamiento de (b) y se alcanza a ver una isla pequena. Notese que laabscisa en (b) va de 4.236+0.001 hasta 4.236+0.005.

4.7(b). Al aplicar el LWD a esta mesa con ruido ε =0.01, que es de magnitud masgrande que el area (∼ 10−7) y que la longitud mayor (∼ 6×10−4) de la isla elıptica, seobtiene el resultado de la figura 4.8(a). Como se puede observar, aunque el ruido esdos ordenes de magnitud mayor que la longitud mayor de la isla, el LWD es capaz dellevar a los clones a alguna estructura que emana de la isla elıptica, que posiblementesea una variedad estable de alguna estructura. Para un ruido del orden de magnitud dela longitud mayor de la isla elıptica, se obtiene el resultado de la figura 4.8(b), dondese aprecia que los clones estan mas cerca de la isla, pero que todavıa permanecensobre la variedad anterior.

(a) (b)

Figura 4.8: LWD aplicado a un estadio redondeado con parametros b = 0.8 y c = 9.9con un ruido (a) ε = 0.01 y (b) ε = 0.0001 despues de 1000 choques.


Para obtener trayectorias mejor definidas, serıa necesario utilizar un ruido maspequeno. Sin embargo, esto tiene una gran desventaja en el caso de que la regionde Pesin tenga una gran componente ergodica alrededor de la isla elıptica y estasea relativamente pequena: el numero de colisiones necesario para que los clonesse acerquen a la isla puede ser muy grande. Si se da el caso, muy probable, de queninguno de los clones este dentro de la isla, entonces todos tendran que viajar muchotiempo antes de acercarse suficientemente a alguna region regular como para que seanclonados con mayor probabilidad que los otros clones. En pruebas realizadas con lamisma mesa de la figura 4.8 para 1000 clones perturbados con un ruido ε = 10−7,lo mas comun fue que no llegaran a la isla incluso despues de 50000 colisiones, porlo que se tendrıa que aumentar mas el numero de colisiones, y esto empieza a sercomputacionalmente costoso.

Podemos concluir que aunque un ruido pequeno mejora la sensibilidad a las islaspequenas y obtiene mejores trayectorias, aumenta mucho el tiempo necesario paraque todos los clones lleguen a esa region. Un balance de esto es necesario paraoptimizar el algoritmo, pero como se vera en la siguiente seccion, hay algo muchomas eficiente que mantener el ruido constante y que es una extension natural a lo quese ha discutido en esta seccion: disminuir el ruido paulatinamente.

4.4.3. Reduccion progresiva del ruidoEn principio, utilizar un ruido muy pequeno lleva a los clones a las regiones de

interes, aunque estas sean pequenas, y las mantiene ahı. Sin embargo, el ruido muypequeno hace que los clones tarden mas tiempo (colisiones) para llegar ahı, y estorepresenta un inconveniente importante. Para evitar esto, se puede hacer una ligeramodificacion al algoritmo, aprovechando lo discutido en la seccion anterior: que unruido grande lleva a los clones a una estructura cercana a las islas. Aunque este ruidotambien los saca de las islas, el efecto final es que los clones permaneceran cercade estas regiones. Ademas, con un ruido grande, los clones se acercan a las islasrapidamente. Entonces la idea de la modificacion es la siguiente: empezar con unruido relativamente grande e irlo reduciendo progresivamente hasta alcanzar un ruidomuy pequeno. Eso garantizara que los clones se acercaran a las islas rapidamentedesde el inicio, y al disminuir la magnitud del ruido podremos localizar de maneramas precisa las islas o las regiones donde la dinamica es regular. El cambiar lamagnitud del ruido se utilizo en el artıculo [15] para obtener trayectorias mejordefinidas; en el presente trabajo se investigo la utilidad de cambiar la magnitudprogresivamente para llegar a las regiones de interes cuando estas son pequenas.

El procedimiento consistira en reducir la magnitud del ruido cada cierto tiempo.Este tiempo debera ser suficiente para que los clones se acerquen tanto como selos permita el ruido a las regiones de interes. El cambio en la magnitud del ruido nodebera ser muy brusco, pues en las pruebas realizadas se vio que esto puede hacer quelos clones se pierdan en el mar caotico. El resultado de aplicar esta idea se mostrara acontinuacion.


Ruido progresivo en el mapeo estandar

En la figura 4.9 se muestra el resultado de aplicar el LWD al mapeo estandar.Se empezo con un ruido ε = 0.001 y se redujo este en un orden de magnitud,dividiendolo entre 10, cada 250 colisiones. En 4.9(a) se muestra el espacio fasecorrespondiente a los parametros utilizados; las islas elıpticas que se encuentranalrededor de una orbita de periodo ocho apenas son visibles. En 4.10(a) se muestraun acercamiento y se ve claramente la estructura de las islas principales y algunassecundarias.

(a) (b)

Figura 4.9: LWD con α = −1 aplicado al mapeo estandar con parametros k = 40.8 yδ = 1. Se evolucionaron 10000 clones durante 2500 iteraciones del mapeo.

(a) (b)

Figura 4.10: LWD con α = −1 aplicado al mapeo estandar con parametros k = 68.0y δ = 1. Se evolucionaron 10000 clones durante 2500 iteraciones del mapeo.

En la figura 4.10 se aplica el mismo procedimiento descrito en el parrafo anterior;solo se cambio el parametro k. En 4.10(b) se muestra una isla muy pequena alrededor


de una orbita de periodo cuatro, que es casi imposible de encontrar sin reducirel ruido como lo hicimos: El tamano de la isla es de aproximadamente 10−11

veces el area total del espacio fase; si pusieramos condiciones iniciales aleatoriasuniformemente distribuidas para encontrar estas islas, entonces tendrıamos que usaraproximadamente 100 mil millones para que alguna cayera dentro de la isla.

Ruido progresivo en el estadio redondeado

En la figura 4.7(a) se dibujo el espacio de colisiones de un estadio redondeado.Las islas son de nuevo invisibles a simple vista, hasta que observamos el acercamien-to de 4.7(b).

La imagen 4.7(b) no fue generada con condiciones iniciales aleatorias uniforme-mente distribuidas, sino que ya sabıamos donde estaba la isla, y se generaron 2000condiciones iniciales aleatorias en el intervalo adecuado. Si utilizaramos condicionesiniciales uniformemente distribuidas, necesitarıamos alrededor de 10 millones paraque alguna condicion cayera dentro de la isla; como se vera mas abajo, el metodo deLWD es mucho mas eficiente para encontrarlas.

En la figura 4.11 se muestra la evolucion de 10000 clones a los que se les aplicael LWD disminuyendo el ruido. Se empieza con un ruido relativamente grande, ε =

0.01. Despues de 100 choques los clones se acercan a las islas formando algunaestructura como se puede ver en la figura 4.11(a). Esta es la misma estructura que laque se observa en la figura 4.8(a), pero se ha dejado evolucionar mucho menos tiempoa los clones. Para el choque 101 se cambia el ruido a ε = 0,001 y se evolucionan porotros 100 choques. Sus posiciones despues de esto se muestran en 4.11(b). Los clonessiguen aglutinados cerca de la misma estructura pero esta se ha delineado mejor.A partir de ahora se reduce la magnitud del ruido un orden de magnitud cada 100colisiones. El efecto (no mostrado) es que los clones siguen formando una estructurasimilar a la de las figuras 4.11(a) y 4.11(b), pero cada vez se acercan mas al centro deestas, es decir los brazos que se ven se acortan mas y mas, hasta que en la colision 501todos ellos estan muy cerca de la isla y casi no se distinguen los clones rojos del fondoazul, pues solo forman un punto (ver la figura 4.11(c)). Despues de esto continuamosdisminuyendo el ruido un dos ordenes de magnitud cada 100 colisiones, y podrıamoshasta llegar al lımite inferior impuesto por la precision usada, pero que en este casollegamos hasta 10−13. Una vez llegado a este valor, hacemos el ruido cero, es decir,dejamos a los clones evolucionar sin ninguna perturbacion, para poder dibujar susorbitas y obtener ası una mejor imagen de la region que los clones encontraron. Enla figura 4.11(d) se muestra un acercamiento a la posicion de los clones despues deque anulamos el ruido. Se puede observar la isla elıptica a la que llegaron con grandetalle.

Al comparar la figura 4.11(d) con la figura 4.7(b) se puede ver que con el LWDse puede obtener gran detalle de la estructura. Ademas hay que tomar en cuentaque en el caso de 4.7(b) ya sabıa donde estaban las islas y tome las condiciones


(a) n = 100, ε = 0.01 (b) n = 200, ε = 0.001

(c) n = 500, ε = 10−5 (d) n = 900, ε = 0

Figura 4.11: LWD con reduccion progresiva del ruido ε. Se aplica el LWD a 10000clones disminuyendo progresivamente el ruido ε. Se muestra la posicion de los clonesrespecto al numero de colisiones n.

iniciales de forma que estuvieran cerca de la isla. Si no supiera donde estaba la isla ytomara condiciones iniciales aleatorias pero uniformemente distribuidas en el espaciofase, para encontrar las islas deberıa tomar alrededor de 10 millones de condicionesiniciales diferentes para que alguna de ellas cayera dentro de esta, y alrededor de100 veces mas si quisiera encontrar las diferentes orbitas para la misma isla que seencuentra con el metodo de LWD.

Consideraciones

Sin embargo, la convergencia de los clones a las islas no esta garantizadapara combinaciones arbitrarias de los parametros. Para distintas combinaciones delnumero de clones y la magnitud inicial del ruido puede que los clones se pierdan enel mar caotico. La razon es que si se empieza con ruido grande, los clones estarandispersos en la estructura de la figura 4.8(a) y al reducir el ruido puede que ningunode los clones quede dentro de las islas y el ruido lleve a todos al mar caotico. Esto


se puede evitar o reduciendo la magnitud inicial de ε, o aumentando el tiempo quedejamos evolucionar a los clones antes de disminuir el ruido. Por ejemplo, para estebillar, con 500 clones o menos empezando con ε = 0.01, y reduciendo el ruido cada100 colisiones, los clones no llegan a la isla. Esto se evita si disminuimos el ruidoa ε = 0.0001 y reducimos el ruido cada 500 colisiones, por ejemplo. Es necesariojugar con los parametros para obtener el comportamiento optimo de los clones encada sistema.

Estos problemas, sin embargo, pueden ser facilmente evitados y son insignifi-cantes si se comparan con el tiempo de maquina necesario para obtener los mismosresultados con otros metodos. Otro gran inconveniente que presenta este metodo esla limitacion que impone la precision numerica utilizada en las simulaciones. Nuncase podran encontrar islas arbitrariamente pequenas bien definidas para una precisionde punto flotante fija. Sin embargo, como se muestra en la figura 4.11(a), aun conun ruido grande en comparacion con el tamano de las islas, es posible encontrarevidencia de la existencia de estructuras regulares dentro de una dinamica caotica,pues los clones tienden a aglutinarse cerca de ellas. Si se encuentran este tipo deestructuras para determinada magnitud del ruido, es posible disminuirlo, cambiandola precision de punto flotante utilizada en las simulaciones, hasta posiblementeobtener la convergencia de los clones hasta una region dada del espacio fase.

Podemos concluir que el LWD con la adicion de la reduccion progresiva del ruidorepresenta un herramienta util y poderosa en la busqueda de estructuras regularesen el espacio fase de los modelos tipo billar. En el siguiente capıtulo se mostraranalgunas aplicaciones de esto.

Capıtulo 5

LWD en un billar tridimensional

En este capıtulo se mostrara una de las aplicaciones que puede tener el metodo deLWD para encontrar estructuras regulares en un sistema con mas grados de libertad,un billar en 3 dimensiones. Para este caso, ya no se cuenta con el espacio de colisionesdefinido en la seccion 1.6, ya que se necesitan por lo menos 2 coordenadas paradescribir el punto de choque de la partıcula con la frontera ∂Q, y otras dos paradescribir la velocidad antes y despues de la colision. El espacio formado por estasvariables ya tiene cuatro dimensiones, por lo que no se puede visualizar. Aunquese podrıan tomar secciones de Poincare de dimension menor, lo que se hara en estecapıtulo sera solo visualizar la trayectoria tridimensional y utilizar el metodo de LWDpara billares desarrollado en el capıtulo anterior para encontrar estructuras regularesen el espacio fase y estudiar su estabilidad.

El trabajo de este capıtulo consiste en aplicar el LWD a la clase de billaresdesfocalizantes estudiados en [21], que esta compuesta por elementos cilındricos ysecciones de planos.

5.1. El estadio cilındrico

El caso tridimensional mas sencillo de la clase de billares introducido en [21]consta de un cilindro cortado con dos planos, uno perpendicular al eje del cilindroy otro inclinado un angulo arbitrario, como se muestra en la figura 5.1. A estebillar se le llamo estadio cilındrico, ya que se puede considerar un equivalente delestadio de Bunimovich en tres dimensiones. Si ambos planos fueran perpendicularesal eje, entonces la dinamica del billar serıa integrable: el billar serıa simplemente elproducto cartesiano de un cırculo con un segmento, ambos integrables. Inclinar unode los planos sirve para mezclar la dinamica de estas componentes y, principalmente,para introducir el mecanismo desfocalizador tıpico del estadio de Bunimovich [6]:el plano inclinado permite la expansion de los frentes de onda que salen de lasuperficie cilındrica y permiten que se expandan mas alla de la lınea focal, causandola separacion de trayectorias inicialmente cercanas. Ası se destruyen las simetrıas del

61

62 Capıtulo 5. LWD en un billar tridimensional

Figura 5.1: Estadio cilındrico.

Figura 5.2: Proyeccion en el plano del estadio cilındrico.

sistema.

5.2. LWD en el estadio cilındrico

Se aplico el metodo de LWD del capıtulo anterior al billar de estadio cilındricopara distintos valores de h y r, pero siempre con el angulo del plano superior θ =

π/4. Para visualizar las trayectorias obtenidas, tenemos que tomar en cuenta quela perspectiva dara muchos problemas. Si hay trayectorias caoticas en el cilindro,estas llenaran densamente alguna region del espacio fase y consecuentemente algunaregion de la proyeccion en el espacio de configuracion. Si simplemente dibujamosla trayectoria, lo mas seguro es que no se distinguira nada. Incluso podrıa ser difıcilvisualizar trayectorias aunque no fueran caoticas. Una posible solucion es mirar sololos puntos donde choca con la frontera del billar, pero de nuevo la perspectiva puede

5.2. LWD en el estadio cilındrico 63

causar problemas, y por esto se extendio esta en el plano. Ası que como un auxiliarpara visualizar las colisiones, se desdoblaron el cilindro y los segmentos de planosque forman el estadio cilındrico y se proyectaron en el plano, como se ilustra en lafigura 5.2.

(a) (b)

Figura 5.3: LWD aplicado al estadio cilındrico. En (a) se muestra la trayectoriaencontrada con el LWD, mientras que en (b) se muestran solo los puntos de choqueen el desdoblamiento en el plano. El billar tiene parametros h = 2, r = 1 y θ = π/4,y el LWD se calculo con 3000 choques, 2000 clones, α = −1 y reduccion progresivade ruido como en la figura 4.11.

En la figura 5.3 se muestra una trayectoria resultante de aplicar el LWD al estadiocilındrico. La trayectoria encontrada corresponde a la partıcula manteniendose enun plano horizontal y chocando con el cilindro, como se puede ver en la figura5.3(a). En 5.3(b) se observa esto en la proyeccion en el plano. Esta trayectoria esla de una partıcula en un billar circular, y es el equivalente, en cierto sentido, a lasorbitas parabolicas en el estadio de Bunimovich. Para este tipo de trayectorias losexponentes de Liapunov se anulan todos. Se probaron diversas combinaciones denumero de clones, numero de choques y magnitud del ruido, ası como la reduccionprogresiva del ruido, para cilindros con h > 0, y siempre se encontraron el mismotipo de trayectorias.

Para estadios cilındricos con h < 0, al aplicar el LWD obtenemos algo diferente:podemos encontrar el tipo de trayectorias que se muestran en las figuras 5.4 y 5.6.


(a) (b)

Figura 5.4: LWD aplicado al estadio cilındrico. En (a) se muestran dos trayectoriasencontradas con el LWD, mientras que en (b) se muestran solo los puntos de choqueen el desdoblamiento en el plano. El billar tiene parametros h = −1.4, r = 1 yθ = π/4, y el LWD se calculo con 1200 choques, 2000 clones, α = −1 y reduccionprogresiva de ruido como en la figura 4.11.

5.3. Subvariedades invariantesComo se puede ver en las figuras 5.3 y 5.4, las trayectorias encontradas con el

LWD se encuentran cercanas a subvariedades invariantes ante el flujo, de dimensionmenor a la del espacio de configuracion. Las propiedades dinamicas de estassubvariedades se pueden desviar mucho del comportamiento tıpico del sistema [22],si es que existe, por lo que estudiar su estabilidad es interesante y util para determinarlas propiedades dinamicas del sistema en regiones cercanas a estas subvariedades.Aunque estas son de medida cero en el espacio fase, pueden exhibir propiedadesinteresantes en las direcciones transversales a la subvariedad, lo que se utilizara paraestudiar la estabilidad de las trayectorias encontradas con el LWD.

Analizaremos primero el tipo de variedades invariantes que se ven como lamostrada en rojo en la figura 5.4. La trayectoria se mantiene en un par de planos,uno de ellos vertical y otro horizontal, y cambia de uno a otro al chocar con la tapainclinada del cilindro. Si tomamos este par de planos y los enderezamos para quesean coplanares, se obtiene la figura 5.5(b). Esta partıcula se mueve en algo parecidoa un billar de menos de medio cırculo, que tiene una archipielago de islas elıpticasnadando en un mar caotico, como se muestra en la figura 1.4 de la pagina 11.

Para estudiar la estabilidad de la subvariedad invariante, se calculo el espectro deLiapunov de varias trayectorias en esta subvariedad. Como es de esperarse, dos deestos exponentes siempre son cero, pues se conserva la energıa. De los otros cuatroexponentes restantes, dos describen la estabilidad en las direcciones transversalesa la subvariedad, mientras que el otro par describe el movimiento dentro de lamisma. El resultado importante es que hay muchas trayectorias que tienen todos los

5.3. Subvariedades invariantes 65

(a) (b)

Figura 5.5: Una trayectoria de la subvariedad invariante de la figura 5.4 extendidasobre el plano. Se puede ver que es equivalente a una partıcula atrapada en un billarde menos de medio cırculo, como el de la figura 1.4. En (b) la lınea verde representala interseccion de la subvariedad con el plano inclinado.

exponentes de Liapunov iguales a cero. Esto quiere decir que hay trayectorias queson linealmente “estables” tanto en la direccion transversal a la subvariedad comodentro de ella. Tambien se encontraron trayectorias que tienen un par de exponentesde Liapunov distintos de cero, las cuales corresponden a las trayectorias que soncaoticas dentro de la subvariedad.

Otro aspecto interesante respecto a las trayectorias estables en todas las direc-ciones, es que dado que son equivalentes a las de una partıcula en un billar de menosde medio cırculo, es posible predecir el tipo de dinamica que tienen. Cuando el billares efectivamente un billar de menos de medio cırculo (con ε > 0 segun la notacion dela figura 1.4) existen regiones de estabilidad. Cuando ε < 0, se tiene algo equivalentea un estadio asimetrico en el que se da el mecanismo de desfocalizacion y ya noexisten estas regiones regulares. El LWD acertadamente encuentra estas regionescuando existen y no las encuentra despues, como es de esperarse.

El siguiente tipo de subvariedades invariantes que se estudiaron fueron lasparecidas a la mostrada en verde en la figura 5.4, que son las que permanecen enun plano vertical y chocan con la parte del cilindro mas alejada del plano inclinado.Las trayectorias dentro de esta subvariedad corresponden simplemente a las de unapartıcula en un billar triangular, como se ve en la figura 5.4. Otra vez un par deexponentes siempre es cero por la conservacion de la energıa, y otro par sera ceroporque las trayectorias son estables dentro del billar triangular. Los otros dos, sinembargo, pueden ser distintos de cero o no, por lo que hay trayectorias tanto establesdentro de la subvariedad como en la direccion transversal a esta.


(a) (b)

Figura 5.6: Otro tipo de trayectorias encontradas con el LWD en el estadio cilındricocon h = −0.4. Se utilizaron 20000 clones con ε = −1 y se dejaron evolucionar durante10000 colisiones con reduccion progresiva del ruido.

5.4. Estabilidad de las orbitas periodicas encontradasOtro tipo de trayectorias encontradas con el LWD son las mostradas en la figura

5.6. La proyeccion en el espacio de configuracion se mantiene en una region acotadamuy pequena y chocan con el plano inclinado casi perpendicularmente. Esto hacepensar que estas trayectorias se encuentran alrededor de trayectorias periodicas delas cuales serıa interesante calcular su estabilidad (ver las figuras 5.7 y 5.8). Estastrayectorias periodicas corresponden a orbitas k-periodicas de la transformacion deprimer retorno,

T k(Γ) = Γ. (5.1)

Para calcular su estabilidad se calculo la evolucion de un conjunto δΓi de L vectoresen el espacio tangente, con1 δΓi = ( δ1,i , δ2,i , . . . , δL,i ). Su evolucion se calculo deacuerdo a la ecuacion (2.22) durante k colisiones para obtener los vectores δΓi(tk),donde tk es el tiempo que le lleva a la partıcula completar un periodo. Con estos seformo la matriz D = ( δΓ1(tk) , δΓ2(tk) , . . . , δΓL(tk) ), que es la aproximacion linealde T k alrededor de la orbita periodica:

δΓi(tk) = D · δΓi(0) . (5.2)

Este es el mapeo tangente de la transformacion T k. Como D es real, sus valorespropios %i vienen en pares de complejos conjugados. La naturaleza del punto fijode T k esta determinada por los valores propios de D:

Si los valores propios son reales de magnitud unitaria, % ∈ R y % = ±1, el parde valores propios es (%, %) y el punto fijo es parabolico [23].

1En este caso, δk,l es la delta de Kronecker.

5.4. Estabilidad de las orbitas periodicas encontradas 67

Si los valores propios son reales no unitarios, entonces uno es el inverso delotro, (%, 1/%), y el punto fijo se llama hiperbolico.

Si los valores propios de D son complejos, %i ∈ C, entonces estos vienenen pares de complejos conjugados (%, %∗) que se encuentran sobre el cırculounitario, |%| = 1, y el punto fijo se llama elıptico. En mapeos de cuatro dimen-siones, los valores propios pueden venir agrupados en complejos cuatrillizos,(%, 1/%, %∗, 1/%∗).

(a) (b) Magnitud de los valores propios.

Figura 5.7: (a) Una orbita periodica y (b) como cambia su estabilidad con distintosvalores de h.

La orbita periodica que se muestra en la figura 5.7(a) es cercana2 a la trayectoriaencontrada con el LWD de la figura 5.6(a). Se calcularon los valores propios delmapeo tangente para varias mesas con distintos valores de h y r. En la figura 5.7(b)se grafica la magnitud de los valores propios al variar h. Se empieza en h = −1,5, yaque para valores de h mas pequenos la trayectoria periodica no existe. Esta grafica seexplica a continuacion:

En las regiones a© y b© de la figura 5.7(b), h ∈ [−1.5,−1.1] ∪ [−0.6, 0.2],obtenemos dos pares de valores propios reales de magnitud unitaria y un parde valores propios complejos. Esto es, el punto fijo es una combinacion deparabolico y elıptico.

En las demas regiones, obtenemos otra vez dos pares reales de magnitudunitaria, pero ahora los valores propios del otro par son reales de magnituddistinta de la unidad. Esto es, el punto fijo es una combinacion de parabolico yhiperbolico.

2El criterio fue simplemente poner la velocidad perpendicular al plano inclinado en el momentode choque.


La trayectoria es estable en las regiones a© y b©; para valores de h fuera deesa region, hay comportamiento hiperbolico en dos direcciones del espacio fase delsistema, por lo que esta trayectoria no deberıa encontrarse con el LWD fuera de esasregiones y sı deberıan encontrarse dentro de ellas, tal como sucede.

(a) (b) Magnitud de los valores propios.

Figura 5.8: (a) Una orbita periodica y (b) como cambia su estabilidad con distintosvalores de h.

Para la orbita periodica que se muestra en la figura 5.8(a), la situacion es similar:

En las regiones a© y b© de la figura 5.8(b), h ∈ [−0.4,−0.2] ∪ [0.8, 0.95],obtenemos dos pares de valores propios reales de magnitud unitaria y un parde valores propios complejos. Esto es, el punto fijo es una combinacion deparabolico y elıptico.

En las demas regiones, obtenemos otra vez dos pares reales de magnitudunitaria, pero ahora los valores propios del otro par son reales de magnituddistinta de la unidad. Esto es, el punto fijo es una combinacion de parabolico yhiperbolico.

El analisis de estabilidad presentado aquı no pretende ser exhaustivo; se hizosolo para probar que las trayectorias encontradas con el LWD estan en regionesestables del sistema. Estudiar la estabilidad permitio confirmar y entender por que lastrayectorias como las de las figuras 5.4 y 5.8 no se encuentran con el LWD paradeterminados valores de h.

Capıtulo 6

Conclusiones

Se han estudiado dos maneras de caracterizar la dinamica de los modelos tipobillar. Una de ellas, el calculo del espectro de Liapunov, permite estudiar la dinamicade una orbita dada, mientras que la otra, el LWD, permite encontrar regiones deestabilidad o inestabilidad en el espacio fase de todo el sistema, casi sin conocerlopreviamente.

En la primera parte del trabajo, se implemento un algoritmo para calcular losexponentes de Liapunov. Al calcular el espectro para diferentes mesas se pudieronilustrar todas las caracterısticas de los sistemas hamiltonianos descritas en losprimeros dos capıtulos, como la simetrıa de pares de Smale o la conservaciondel volumen en el espacio fase. Este algoritmo funciona independientemente de ladimension de la mesa, por lo que queda como un posible trabajo futuro estudiarel comportamiento del espectro de Liapunov para distintas mesas en dimensionesarbitrarias.

Para implementar el LWD para los billares, primero se duplicaron los resultadosobtenidos previamente en [15] para el mapeo estandar. Una vez que eso funciono,se le hicieron las modificaciones pertinentes para los modelos tipo billar. Como sepuede ver en las primeras secciones del capıtulo 4, se obtiene el comportamientoesperado para los billares mas conocidos.

Para probar los alcances del LWD, es decir, su capacidad de encontrar regiones deestabilidad pequenas, se utilizo el billar de estadio redondeado descrito en el apendiceB. Este permite cambiar el tamano de las islas elıpticas de una manera controlada.En el primer intento no se encontraron las islas con el LWD normal cuando estaseran muy pequenas. Por esto se propuso la reduccion progresiva del ruido, uncomplemento al metodo que mejora sustancialmente su capacidad de encontrar islasen mapeos donde dominan las regiones fuertemente caoticas y aumenta la velocidadde convergencia. Sin este, el tiempo de convergencia a las regiones de interes aumentamucho y en algunos casos no hay dicha convergencia.

Finalmente se aplico el LWD al billar tridimensional estadio cilındrico en elcapıtulo 5. Se encontraron exitosamente las regiones regulares del espacio fase, loque se comprobo con un pequeno estudio de su estabilidad. Para este caso, ya no se

69

70 Capıtulo 6. Conclusiones

puede visualizar el espacio fase, lo que dificulta decir que el metodo efectivamenteesta funcionando por completo. Queda como trabajo futuro el buscar secciones dePoincare del espacio fase que permitan visualizar de manera eficaz las regionesencontradas o encontrar automaticamente tanto las trayectorias periodicas cercanas aestas regiones como determinar su estabilidad.

Apendice A

Codigo de las simulaciones

Para simular la dinamica de los billares se escogio el lenguaje de programacioninterpretada Python, debido a su gran cantidad de herramientas disponibles, tantomatematicas como de visualizacion. Tiene ademas la gran ventaja de ser softwarelibre. La version utilizada fue Python 2.6.2. Se utilizo el modulo numpy 1.2.1 quebrinda soporte para arreglos multidimensionales y una gran coleccion de funcionesmatematicas para trabajar con estas estructuras. Las imagenes en 2D fueron hechascon el modulo matplotlib 0.98.5. La visualizacion en 3D fue hecha con el modulovisual 5.12. La principal desventaja de este lenguaje de programacion es su lentitud,comparado con lenguajes compilados como C o Fortran.

La meta de este trabajo fue construir un algoritmo que fuera suficientementeflexible para poder agregar diferentes geometrıas o mesas de billar sin muchoesfuerzo. Para esto se utilizo una estructura de clases con la tecnica de herencia queforma parte de la programacion orientada a objetos: definimos una serie de objetosgeometricos que deben ser una dimension menor a la de la mesa de billar, comocırculos, elipses y lıneas en 2D, y esferas y planos en 3D. Cada uno de ellos tienevarias funciones; las principales son:

class ObjetoGeometrico():

def Choca(x,v)

def Normal(x)

def Delta_n(dx,x)

La funcion Choca regresa las posiciones posibles donde chocarıa una partıculacon posicion inicial x y velocidad v. La funcion Normal regresa el vector normal ala frontera en la posicion x, y la funcion Delta_n regresa la variacion de la normaldebida a la variacion en la posicion dx.

Existe una clase Mesa_de_Billar general, en la cual definimos la forma en laque reflejamos la partıcula al chocar (que siempre fue de forma elastica, pero se dejaabierta la posibilidad de que sea inelastica). Siguiente_Choque calcula cual es laposicion en la cual chocara la partıcula (escoge la mas cercana de todas las posibles).

71

72 Capıtulo A. Codigo de las simulaciones

class Mesa_de_Billar:

def Reflejar(v,n,num_xf)

def Siguiente_Choque(x,v)

Entonces una mesa de billar llamada Mesa es un objeto que se compone de variosobjetos geometricos dentro de una lista llamada Frontera:

class Mesa(Mesa_de_Billar):

Frontera = [ ObjetoGeometrico_1() , ObjetoGeometrico_2() ]

Estos objetos geometricos forman la mesa de billar y se deben definir de tal formaque la mesa este cerrada, es decir que no tenga huecos por los que las partıculaspuedan escaparse y no volver. Por ejemplo, la elipse se compone de un solo objetogeometrico que es una elipse, mientras que un hongo se compone de 5 segmentosde recta y un medio cırculo. Este objeto Mesa hereda las funciones de la claseMesa_de_Billar.

Para evolucionar dentro del billar la posicion de la partıcula con posicion inicialx1 y velocidad inicial v1 hasta la posicion y velocidad despues del choque x2, v2 ,solo hay que meter en un ciclo for o while lo siguiente:

x2 , num_x2 = mesa.Siguiente_choque(x1,v1)

n = mesa.Frontera[num_x2].Normal(x2)

v2 = mesa.Reflejar(v1,n,num_x2)

x1 , v1 = x2 , v2

Despues de esto se puede visualizar o solo utilizar los datos para llevar a cabocalculos.

Ası para crear una mesa nueva tendremos que crear los objetos geometricosnecesarios (en caso de que no los hayamos hecho ya) y crear una clase en la quelos juntemos todos. Esta forma de construir las mesas hace que se definan las cosasuna sola vez y permite reutilizar las definiciones que se han hecho antes. Por lo tanto,el utilizar las propiedades de la herencia le da gran poder y flexibilidad al codigo.

Apendice B

Estadio redondeado

El estadio redondeado no es una sola mesa de billar, sino una familia demesas de billar que generalizan al estadio de Bunimovich; fue introducida porPeter Balint y Miklos Halasz en [20]. Cada mesa de billar de la familia quedadescrita totalmente por 2 parametros, y al variar los parametros se obtienen cambiosmas o menos continuos en la dinamica del sistema. Estos cambios van desde elcaso completamente integrable hasta el caso completamente caotico, pasando pordistintos niveles del caso mixto con islas elıpticas en un mar caotico. Esta mesa tienerelevancia en este trabajo, pues permite obtener, de una manera controlada, islas dediferentes tamanos al cambiar los parametros del sistema. Esto fue necesario paraprobar los alcances del metodo de LWD del capıtulo 4.

B.1. Parametros

Los elementos de esta familia de mesas de billar estan descritos por dosparametros1: 0 ≤ b ≤ 1 y 1 ≤ c ≤ ∞. Las mesas estan formadas por cuatro arcosde circunferencia de cırculos de radios diferentes, que se unen en las esquinas de untrapezoide con la misma tangente. Por esto, la frontera de esta mesa tiene curvaturadiscontinua, es decir, la frontera solo es de clase C1.

El parametro b describe la geometrıa del trapezoide: la base y los lados deltrapezoide tendran una longitud fija, mientras que la longitud del lado superior sera bveces la longitud de la base (ver la figura B.1). Los casos b = 1 y b = 0 correspondena un cuadrado y a un triangulo equilatero respectivamente. Como el trapezoide essimetrico respecto al eje vertical, los cırculos de la derecha y la izquierda tendran losmismos radios. Llamaremos R, R∞ y r a los radios de abajo, de los lados y de arribarespectivamente.

Para una b dada, debemos fijar los radios de los cırculos, pues fijar b determinasus centros. Pero como los arcos de circunferencia deben tener la misma tangente en

1Seguimos la notacion de [20].

73

74 Capıtulo B. Estadio redondeado

Figura B.1: El parametro b del estadio redondeado. Estan dibujados los valores b =

1.0 , 0.6 , 0.4 , 0.2 , 0.0 .

(a) c = 1.0 (b) c = 2.0 (c) c = 6.0 (d) c = 1000.0

Figura B.2: El parametro c del estadio redondeado. Se dibujan varias mesas condistintos valores de c y con b = 0.6.

los puntos en que se unen, si fijamos cualquier radio la geometrica de la mesa quedacompletamente determinada.

En vez de fijar uno de los radios, es mas conveniente definir el parametro c =

R∞/R que fija la razon entre los radios de los cırculos inferior y medio (ver la figuraB.2). El parametro c es mas conveniente, pues permite obtener como casos lımitevarios billares ya conocidos sin saber el valor de ningun radio. En particular, el casoc = 1 corresponde a un cırculo para cualquier valor de b, el caso c = ∞ y b = 1corresponde al estadio de Bunimovich, mientras que c = ∞ y b < 1 corresponde a unestadio asimetrico [24].

Cambiando el parametro c ∈ [1,∞] para una b dada, podemos deformar ladinamica del sistema de ser completamente integrable (c = 1) a una completamentecaotica (c = ∞). Para el caso c = 1 tenemos un cırculo, y la dinamica escompletamente regular. Para el caso de c > 1 finito y b < 1, se da una coexistencia de

B.1. Parametros 75

(a) c = 1.00 (b) c = 1.05

(c) c = 1.60 (d) c = 4.10

(e) c = 6.70 (f) c = 7.30

Figura B.3: Espacios de colisiones para b = 0.6 y diferentes valores de c. Al variar elparametro c, se puede observar la transicion de un sistema completamente integrablea uno mixto con islas rodeadas por un mar caotico de varias componentes ergodicas,hasta llegar finalmente a uno aparentemente ergodico.

un mar caotico de una o varias componentes ergodicos con islas elıpticas de medidapositiva, que desaparecen si aumentamos lo suficiente el valor de c. En la figura B.3


A B

C D

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9b

1

3

5

7

9

11

13

15

17

cA

B

C

D

periodo 2

A B C D

Figura B.4: Regiones de estabilidad de varias orbitas periodicas en el espacio deparametros ( b , c).

se muestran estos fenomenos cuando variamos c para un valor fijo de b. Para el casode c > 1 finito y b = 1, siempre habra islas que solo desapareceran en el caso lımitede c = ∞.

En la figura B.4 se muestra un mapa de la dependencia de la aparicion odesaparicion de las islas elıpticas con los parametros b y c. Las regiones de distintoscolores muestran para que parametros (b, c) existen islas elıpticas alrededor de lasorbitas periodicas mostradas en las figuras de los lados. Estas trayectorias puedenseguir existiendo para otros valores de los parametros, pero son inestables y por lotanto no tienen islas elıpticas alrededor. Estos resultados son numericos, excepto lafrontera donde desaparecen los puntos fijos de periodo 2, que puede ser calculadaanalıticamente [20]. La forma de obtenerlos fue poner un gran numero de condicionesiniciales en el espacio fase, evolucionarlas, y observar cuales de ellas permanecen enregiones acotadas. Un resultado importante de [20] es que no se encuentran islas paravalores de c mayores a cierto valor clim que depende de b. Esta region esta por arribade las curvas donde un tipo de orbita desaparece, mostradas en la figura B.4.

Se aplico el LWD a esta familia de mesas para obtener evidencia numericaadicional de la ausencia de islas en esas regiones. Para las combinaciones de b yc estudiadas, el LWD reproduce la ausencia de islas.

B.2. Ecuaciones de la geometrıa

Para valores fijos de los parametros b y c hay que encontrar los radios y centros delos arcos de circunferencia que componen la mesa. Para determinar estas cantidades,utilizaremos la notacion de la figura B.5.

B.2. Ecuaciones de la geometrıa 77

Figura B.5: Geometrıa del estadio redondeado. El trapezoide resultante de fijar unvalor de b se dibuja en azul. El arco de circunferencia de radio r se muestra en colornaranja; el de radio R∞, en rojo; y el de radio R, en verde.

Al fijar el parametro b y la longitud de la base del trapezoide, los puntos P1, P2,P3 y P4 quedan determinados. Lo siguiente es determinar los radios y centros de loscuatro arcos de circunferencia, que deben tener la misma tangente en los puntos enlos que se unen. Sin embargo, como la mesa es simetrica respecto al eje vertical, soloes necesario satisfacer estas condiciones para tres arcos de circunferencia, pues elarco derecho y el izquierdo tienen el mismo radio y sus centros seran una reflexionrespecto al eje vertical.

El arco de circunferencia superior tiene radio r y esta centrado en Cr, el arcoinferior tiene radio R y esta centrado en CR, y el arco de la derecha tiene radio R∞ yesta centrado en CR∞. El punto M = P1 + P2 es el punto medio del segmento que unelos puntos P1 y P2. El vector q es un vector perpendicular a este segmento.

Por simetrıa, Cr esta sobre el eje y, y como ‖P −Cr‖ = r, entonces

Cr =(

0 , Piy −√

r2 − P1x

). (B.1)

Con esto, es posible calcular la tangente al arco de circunferencia superior T1 en elpunto P1: T1 = (Cr − P1)⊥.

Y como CR∞ = P1 + sn1 con s ∈ R, entonces T1 · CR∞ = T1 · P1. Ademas, comoCR∞ esta en la lınea que pasa por M con direccion q, entonces

CR∞ = M + t1q , t1 =T1 · P1 − T1 · M

T1 · q. (B.2)


De igual forma, T2 ·CR = T2 · P2 y CR esta en el eje vertical, por lo que

CR =(

0 , t2), t2 =

T2 · P2

T2y. (B.3)

Con esto calculamos la tangente al arco inferior en el punto P2: T2 = (CR − P2)⊥.Estas ecuaciones nos dan CR y CR∞ como funcion de r, pues T1 es funcion de r y

T2 es funcion de CR∞, que tambien es funcion de r. Si sustituimos estas ecuacionesen la definicion del parametro c

c =R∞R

=

∥∥∥CR∞ − P1

∥∥∥∥∥∥CR − P2

∥∥∥ , (B.4)

obtenemos una ecuacion implıcita de r en terminos de b y c:

f (r) = c‖CR∞ − P1‖ − ‖CR − P2‖ . (B.5)

Es posible resolver esta ecuacion, con el metodo de la biseccion u otro, para obtenerel valor de r necesitado para las valores dados de b y c. Una vez que se tenga r,simplemente se sustituye en las ecuaciones (B.2) y (B.3) para obtener CR∞ y CR, ycon esto se obtienen los radios de los otros arcos de circunferencia:

R∞ =∥∥∥CR∞ − P1

∥∥∥ ; (B.6)

R =∥∥∥CR − P2

∥∥∥ . (B.7)

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Regiones de comportamiento atípico de billares caóticos

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