REGLA DE L´HOPITAL

La forma ∞

∞ la escribiremos para abreviar los siguiente cuatros casos:

+∞

+∞,

+∞

−∞,

−∞

−∞,

−∞

+∞

El teorema también es válido para límites laterales o infinitos. Es decir,

𝑥 → 𝑎+, 𝑥 → 𝑎−, 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞

PRODUCTO INDETERMINADO

La indeterminación 0. ∞ se transforma en 0

0 ó

∞

∞ cambiando el

producto en cociente.

Ejemplo 1: Hallar lim𝑥→0+

𝑥. ln (𝑥)

Solución: lim𝑥→0+

𝑥 = 0 y lim𝑥→0+

ln (𝑥) = −∞. El límite presenta forma

indeterminada 0. ∞.

Si a) 𝑓 y 𝑔 son funciones diferenciables y 𝑔(𝑥) ≠ 0 cerca de a, excepto

posiblemente en a. b) lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 0 y lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 0 ó lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ±∞ y lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = ±∞

c) Existe lim 𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)

Entonces lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)

lim𝑥→0+

𝑥. ln (𝑥) = lim𝑥→0+

ln (𝑥)1

𝑥

Presenta forma indeterminada ∞

∞

= lim𝑥→0+

1

𝑥

−1

𝑥2

L’ hopital

= lim𝑥→0+

−𝑥

= 0 Así,

lim𝑥→0+

𝑥. ln (𝑥) = 0

DIFERENCIA INDETERMINADA

La indeterminación ∞ − ∞ se convierte en la forma 0

0 ó

∞

∞

transformando la diferencia en un cociente de funciones.

Ejemplo 2: Hallar lim𝑥→0+

[1

𝑥−

1

𝑆𝑒𝑛(𝑥)]

Solución:

lim𝑥→0+

1

𝑥= ∞ y lim

𝑥→0+

1

𝑠𝑒𝑛(𝑥)= ∞ , el lim

𝑥→0+[

1

𝑥−

1

𝑆𝑒𝑛(𝑥)] presenta forma

indeterminada ∞ − ∞.

lim𝑥→0+

[1

𝑥−

1

𝑆𝑒𝑛(𝑥)] = lim

𝑥→0+

𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑥

𝑥.𝑠𝑒𝑛(𝑥) Presenta forma indeterminada

0

0

= lim𝑥→0+

𝑐𝑜𝑠(𝑥)−1

𝑥.𝑐𝑜𝑠(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥) L’ hospital. Presenta F.I.

0

0

= lim𝑥→0+

−𝑠𝑒𝑛(𝑥)

−𝑥.𝑠𝑒𝑛(𝑥)+2𝑐𝑜𝑠(𝑥) L’ hospital

=0

2

= 0

Por lo tanto, lim𝑥→0+

[1

𝑥−

1

𝑆𝑒𝑛(𝑥)] = 0.

POTENCIAS INDETERMINADAS

Se calcula lim

𝑥→𝑎[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥), se obtienen las siguientes formas

indeterminadas 00, ∞0, 1∞.

Para resolver se procede a los siguientes pasos:

1) Se hace 𝑦 = [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥)

2) Se aplica logaritmo 𝑙 𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) ⟹ 𝑙 𝑛(𝑦) = 𝑔(𝑥). 𝑙𝑛𝑓(𝑥) 3) Se calcula 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎𝑙𝑛 (𝑦) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥). 𝑙𝑛𝑓(𝑥) = 𝑙

4) Se aplica exponencial 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = [𝑒]𝑙

Ejemplo 3: Hallar lim𝑥→0+

(𝑥 + 1)cot (𝑥)

Solución:

1) 𝑦 = (𝑥 + 1)cot (𝑥)

2) Aplicamos logaritmo

𝑙 𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)cot (𝑥) ⟹ 𝑙 𝑛(𝑦) = cot(𝑥) . 𝑙𝑛(𝑥 + 1) 3) Calculamos el límite.

𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑙𝑛 (𝑦) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

cot(𝑥) . 𝑙𝑛(𝑥 + 1)

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑙𝑛(𝑥+1)

tan (𝑥) Presenta F.I.

0

0

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

1

𝑥+1

sec (𝑥)2 L’hopital

=

10 + 1

sec (0)2

= 1 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0+𝑙𝑛 (𝑦) = 1

4) Aplicamos exponencial 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

(𝑥 + 1)cot (𝑥) = 𝑒1 = 𝑒

Por lo tanto, lim𝑥→0+

(𝑥 + 1)cot (𝑥) = 𝑒.

REFERENCIAS

L., Leithold (2009). El Cálculo 7ma edición. Editorial Mexicana.

S., Jorge (2005). Calculo diferencial con funciones trascendentes

tempranas para ciencias e ingeniería. 2da edición. Editorial Hipotenusa. Barquisimeto, Venezuela.