Mtodo de la Falsa Posicin o Regula Falsi 1 MTODO DE LA FALSA POSICIN O REGULA FALSI Luis Eduardo Daz e-mail: luis-ed1988@hotmail.comYeison Jos Hernndez e-mail: hernandez.ing@hotmail.com Sixto Manuel Santiago e-mail: sixto_santiago@hotmail.com RESUMEN: El mtodo de la falsa posicin o regula falsiesotraalternativausadapararesolverel problema de encontrar el cero de una funcin dada aprovechandola ideade unir los puntos (a, f(a))y (b,f(b))conunalnearecta.Lainterseccinde estalneaconelejexproporcionaunamejor estimacindelaraz.Elhechodequese reemplacelacurvaporunalnearectadeuna "falsaposicin"delaraz;deaquelnombrede mtodo de la falsa posicin, o en latn, regula falsi. Tambinseleconocecomomtodode interpolacin lineal. PALABRASCLAVE:Falsaposicin,lnearecta, interpolacin lineal. 1 INTRODUCCIN En el presente escrito mostraremos como darle solucin aunaecuacindadaatravsdelmtododebiseccin utilizandodeestamaneraparaobtenerlosclculos herramientascomoExcelyWinplot,loscualesnos facilitanymuestrandeformaconcisalosresultados deseados,deestaformalogramosencontraruna solucinpormediodelaaproximacinenbasea intervalos. 2 FUNDAMENTOS TEORICOS Auncuandolabiseccinesunatcnicaperfectamente vlidaparadeterminarraces,sumtodode aproximacinpor"fuerzabruta"esrelativamente ineficiente.Lafalsaposicinesunaalternativabasada en una visualizacin grfica. Uninconvenientedelmtododebiseccinesqueal dividirelintervalodex1axUenmitadesiguales,nose tomanencuentalasmagnitudesdef(x1)yf(xU).Por ejemplo,sif(x1)estmuchomscercanaaceroque f(xU), es lgico que la raz se encuentre ms cerca de x1 quedexU.Unmtodoalternativoqueaprovechaesta visualizacingrficaconsisteenunirf(x1)yf(xU)con una lnea recta. La interseccin de esta lnea con el eje de las x representa una mejor aproximacin de la raz. El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta de una "falsa posicin" de la raz; de aqu el nombre de mtododelafalsaposicin,oenlatn,regulafalsi. Tambinseleconocecomomtododeinterpolacin lineal. Usando tringulos semejantes, la interseccin de la lnea recta con el eje de las x se estima mediante: (1) Multiplicando en cruz la Ec. (1) obtenemos: (2) Agrupando trminos y reordenando: (3) Dividiendo entre (4) Figura 1. Representacin grafica del mtodo de la falsa posicin. Mtodo de la Falsa Posicin o Regula Falsi 2 3CALCULOSYANALISISDE RESULTADOS Comoprimeramedidatomamoslasformulasdelas ecuacionesdadasylasingresamosenuncuadrode Excel con el fin de detectar el cambio de signo. Para la ecuacin: (5) Tenemos, Tabla 1. Datos ingresados en los campos correspondientes. ComopodemosobservarenlaTabla1ingresamosla formula para la ecuacin empezando en la primera celda delatablausandocomovalordexA11enestecaso queserialaceldaquecontieneelvalor-5,luego copiamos la formula en toda la columna y obtenemos la solucin en cada celda automticamente Podemos observardonde hay un cambio de signos que enestecasoserianloslimitesinferior-3,ysuperior-2, tomando estos dos valores y copindolos en una nueva tabla:. Tabla 2. Iteraciones para encontrar la solucin De esta manera volvemos a utilizar la Ec. (5) para hallar f(a) y f(b) teniendo en cuenta remplazar por x los valores de los limites colocados en la Tabla 2. Tabla 3. Formula para hallar f(b). ParahallarlosvaloresdeCnaplicamoslaEc.(4).Y para f(cn) tomamos de nuevo la Ec. (5) y remplazamos x por el valor Cn. Tabla 4. Formula para hallar f(cn) EnlacolumnaErrorcolocamosunacondicin,lacual nosdircuandoobtenemosunasolucin,preguntando si el valor contenido en la celda de f(cn) multiplicado por elvalordecnesmenorquelatoleranciaestablecida, queesestecasoesde1x10-4arrojarelmensaje SOLUCION si no, TODAVIA NO. Tabla 5. Formula para hallar Error. Mtodo de la Falsa Posicin o Regula Falsi 3 Ahora,efectuandolosclculosrespectivosseobservan los siguientes resultados: Tabla 6. Seobservaquelacomputacinfrenaenlaiteracin nmero 13. Resultado: -2,10305959 Para la ecuacin: (6) Tenemos: Tabla 7. Tabla 8. ComoseobservaenlaTabla8.Lacomputacinfrena en la iteracin nmero 31. Resultado: -4,04331815 4GRAFICAS Y ANALISIS Grafica 1.Grafica de Ec. (5). LarazdeEXP(-A11)+EXP(2*A11)+2*A11-4es aproximadamente-2,103059587,conunerrorde 0.0001. ComoseobservaenlaGrafica1.Laraizseencuentra entre el intervalo [-3,-2]. Grafica 2. Grafica de Ec. (6). 16 13 10 8 5 2 2 5 8 10 13 161613108522581013xy10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10987654321123456789xyMtodo de la Falsa Posicin o Regula Falsi 4 LarazdeEXP(-A11)+A11^3-2*A11+1es aproximadamente-4,04331815,conunerrorde 0.0001. Observando la Grafica 2. Y analizando los resultados del mtodo realizado en Excel, La raz se encuentra entre el intervalo [-5,-4]. 5CODIGO FUENTE using namespace std; double f(double x) {return (exp(-5*x)-4*x);}//Aqui se coloca la funcion main() { {double a=-0,b=10,c; // Modificar el intervalo donde estar la raiz aqui