1

Regla generalizada de la potencia

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

2

¿Cómo se puede derivar la siguiente función? 23 )3( xy

Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del

binomio…. y derivar la

función resultante

96 36 xxy

Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar

????)3( 203 xy

Por supuesto, el problema no pasa por elevar el

binomio a la potencia 20.

3

Con el fin de hallar una regla para estos casos,

analicemos el primer ejemplo. Podríamos conjeturar

que la derivada de la función es 23 )3( xy

)1(...............)3(2' 3 xy

Es decir, estamos considerando la función interior

como si fuera una variable (u)

Calculando la derivada de la expresión desarrollada

se obtiene 96 36 xxy5 2y' 6 x 18 x

3 2

2 3

y' 2( x 3 ) 3 x

y' 6 x ( x 3 )

Factorizando

4

Se observa, que derivar con la regla de potencias no

es suficiente cuando se tiene la potencia de una

función, faltó el factor que es justamente la

derivada de dicha función.

23x

5

Ahora, se va a derivar . Hay tres pasos

a seguir.

203 )3( xy

203 )3( x 1. Se bloquea la función )3( 3 xu

2. Se deriva la función externa 20)(u

193

19

)3(20

)(20

x

u

3. Se multiplica por la derivada

de la función interna u.

2193 3)3(20 xx

1932 )3(60 xx

El paso 3 por lo general se omite.

OJO!!!!...no olvidarlo

6

Derivar 2)45()( xxf

Claramente podemos identificar y recordando la regla de la cadena

tenemos que

)5)(45(2 xdx

df

dx

dhxhn

dx

df n 1)(

)45(10 x

4050 x

Ejemplo

h( x ) 5x 4

Derivar

Sea 367)( 2 xxxf

6143672

12

12

xxx

dx

df

21

2 367

37

xx

x

367

372

xx

x

La función puede escribirse también de la siguiente forma:

21

2 367)( xxxf

y

367)( 2 xxxf

21

2 367)( xxxf

Ejemplo

Derivar

Sea

23

2

)6(

63)(

xx

xxf

223

232232

1

23

2

)6(

)63)(6(2)63()6)(6(

)6(

63

2

1

xx

xxxxxxx

xx

x

dx

df

43

22332

1

2

23

)6(

)63()6(6)6(

63

)6(

2

1

xx

xxxxxx

x

xx

43

24243

2

23

)6(

)36369(366)6(

63

)6(

2

1

xx

xxxxxx

x

xx

Ejemplo

12 2 2

3 2 3 2

3x 6 3x 6f ( x )

( x 6 x ) ( x 6 x )

Cuando analizamos el ejemplo inicial, pudimos, a

partir de , plantear: 23 )3( xy

2

3

entonces

3

uy

xu

Esta última expresión se puede derivar respecto a u.

udu

dy2

Pero nosotros deseamos hallar por lo que

escribimos dx

dy

10

Lo cual es cierto desde el punto de vista de las

fracciones algebraicas, pero una derivada es el

límite de una razón de cambio, no una fracción.

Sin embargo, apliquemos la última expresión a

nuestro problema.

)3(6

6

32entonces

32

32

2

2

2

xx

xudx

dy

xudx

du

du

dy

xdx

duu

du

dy

Y esto es correcto según la diapositiva 3

11

Regla de la Cadena

12

Regla de la cadena en notación

de Leibniz

Si , y además son dos funciones diferenciables, entonces:

dy dy dt

dx dt dx

y f t t g x

Derivar 12 3 xy

Solución: Hacemos

uuf

xxu

2)(

1)( 3

entonces )(ufy

escribimos

22/1

21 3xu

dx

du

du

df

dx

dy

reemplazando u

12

3

3

2

x

x

dx

dyRpta

𝐭𝐚𝐧 𝜶 =sen 𝛼

cos 𝛼 𝐜𝐨𝐭 𝜶 =

1

tan 𝛼 =

cos 𝛼

sen 𝛼 𝐬𝐞𝐜 𝜶 =

1

cos 𝛼 𝐜𝐬𝐜 𝜶 =

1

sen 𝛼

tan( ) c tan( ) 1 cos( ) sec( ) 1 sin( ) c sec( ) 1

① 𝒅 𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝑥 .

𝒅𝒙

𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ②

𝒅 𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒅𝒙 = −𝐬𝐞𝐧 𝑥 .

𝒅𝒙

𝒅𝒙 = −𝐬𝐞𝐧 𝒙

③ 𝒅 𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝒅𝒙 = 𝑑

sen 𝑥

cos 𝑥 =

cos 𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

④ 𝒅 𝒄𝒐𝒕 𝒙

𝒅𝒙 = 𝑑

cos 𝑥

sen 𝑥 =

sen 𝑥 𝑑𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 =

−𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 = −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

⑤ 𝒅 𝒔𝒆𝒄 𝒙

𝒅𝒙 = 𝑑

1

cos 𝑥 =

cos 𝑥 𝑑 1 − 1 𝑑𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

1

cos 𝑥.𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 . 𝐭𝐚𝐧 𝒙

⑥ 𝒅 𝒄𝒔𝒄 𝒙

𝒅𝒙 = 𝑑

1

sen 𝑥 =

sen 𝑥 𝑑1 − 1 𝑑𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 =

−𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 =

−1

sen 𝛼

𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −𝐜𝐬𝐜 𝒙 . 𝐜𝐨𝐭 𝒙

Derivadas de Funciones Trigonométricas

15

Derive 3xseny

3 3

3 2

2 3

dysin x ' x '

dx

dycos x 3x

dx

dy3x cos x

dx

Ejemplo.

16

xy 3cos

Ejemplo.

Derive

3

2

2

dycos x ' cos x ' x '

dx

dy3cos x sin x 1

dx

dy3 sin( x )cos ( x )

dx

17

2y ln x sen x

2

2

dyln x sen x ' x sen x

dx

dyln x sen x ' ln x sen x ' x ' sen x x s en x '

dx

dy 12ln xsen x 1 sen x cos x x

dx xsen x

dy 2ln( xsen( x )).( sen( x ) x cos( x ))

dx xsen( x )

Ejemplo.

Derive

18

' ' '2 2 22

2 2

22

2

dycos 3x 6 cos 3x 6 3x 6 3x 6 '

dx

dy2.cos 3x 6 sen 3x 6 2 3x 6 3

dx

dy12( 3x 6 ).cos( 3x 6 ) sen 3x 6

dx

dy6 3x 6 sen 2 3x 6

dx

Ejemplo.

Derive 22f ( x ) cos 3x 6

19

'' 'dfcos cos cos x cos cos x cos x

dx

dfsen cos cos x sen cos x sen x

dx

dfsen cos cos x sen cos x sen x

dx

Ejemplo.

Derive f ( x ) cos cos cos x

20

' ' 'dfsen ln x 6 ln x 6 x 6

dx

df 1cos ln x 6 1

dx x 6

cos ln x 6df

dx x 6

Ejemplo.

Derive f ( x ) sen ln x 6

21

' ' '2 2 2 2

3 2 2

3 2 2

dfsen x x sen x x x x

dx

df2 sen x x cos x x 2x 1

dx

df2 2x 1 sen x x cos x x

dx

Ejemplo.

Derive 2 2f ( x ) sen x x

22

' ' '3

2

2

dfcos 5x 1 cos 5x 1 5x 1

dx

df3.cos 5x 1 sen 5x 1 5

dx

df15cos ( 5x 1) sen( 5x 1)

dx

Ejemplo.

Derive 3f ( x ) cos 5x 1

23

Ejemplo.

Derive

35 2

35 2

35 2

''

3 'x x x 8 5 2 5 2

2x x x 8 5 2 4

2 x x x 85 2 4

dye x x x 8 x x x 8

dx

dye 3 x x x 8 5x 2x 1

dx

dy3 x x x 8 5x 2x 1 e

dx

3

5 2x x x 8e

24

' ' 'dfsen ln x 6 ln x 6 x 6

dx

df 1cos ln x 6 1

dx x 6

cos ln x 6df

dx x 6

Ejemplo.

Derive f x sen ln x 6

25

2 '2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 1

2

5. 5. 5.( ) '( ) 2. .

5. 5. .2.( ) 5. .( . )'( ) 2. .

( )

x x x

x e x e x e

x x x e x x e

x e x e

e e ef x f x

e x e x e x

e e e x e e e xf x

e x e x

Ejemplo.

Derive

26

4 3 '

3

ln 2 ln 2 ln 2( ) '( ) 4. .

ln 2 (1/ ). (ln 2).(1/ 2 )'( ) 4. .

x x xf x f x

x x x

x x x x xf x

xx

433

3 '3 33 3

33 (2/3) 1 3 23 3

3

( ) .ln( 4 )

'( ) 4. .ln( 4 ) . .ln( 4 )

1'( ) 4. .ln( 4 ) . (2 / 3). .ln( 4 ) . .(3 4)

4

f x x x x

f x x x x x x x

f x x x x x x x x xx x

Ejemplo.

Derive