Reglas calculo matemaÌtico

8/12/2019Reglas calculo matematico

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CENTRO DE ESTUDIOSofipolofipolofipolofipolC/Bcquer,6.Mstoles

REGLAS DE CLCULO MATEM TICOBSICO

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REGLAS DE CLCULO MATEMTICO BSICO

1.- LOS NUMEROS ENTEROS

Son nmeros enteros los nmeros naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos(-)

Si un nmero aparece entre barras /5/, significa que su valor absoluto es un nmero entero alcual se le ha eliminado el signo.

Dos nmeros enteros que tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo se les denominaopuestos; (+ 3); (- 3) La suma de un nmero entero y su opuesto siempre es 0.

1.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Para saber si un numero es divisible por otro, basta efectuar la operacin y ver si es o noexacta, pero es mas cmodo tener criterios que nos permitan con un slo golpe de vista o pormedio de un breve calculo, saber si un nmero es divisible por otro.

UN NUMERO ESDIVISIBLE POR .SI2 La cifra de las unidades es par3 Si la suma de sus cifras es mltiplo de 39 Si la suma de sus cifras es mltiplo de 95 Si la cifra de sus unidades es 0 o 5, si termina en 0 o en 510 Si la cifra de las unidades es 0, si termina en 0

11Se suman las cifras del lugar par por un lado y las del lugar imparpor otro; si la diferencia es 0, 11, o mltiplo de 11 , es mltiplo de11

5841 = (5 + 4) ( 8 + 1 ) = 0, luego es mltiplo de 11

2.- OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS

Los nmeros pueden ser positivos y negativos.Primero hay que realizar las operaciones que estn entre parntesis, despus las

multiplicaciones, luego las divisiones, despus las sumas y por ltimo las restas. Si no se sigueeste orden los resultados pueden ser errneos.


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2.1.- SUMAR Y RESTAR

Para sumar un nmero positivo y otro negativo el resultado es el mismo que si restamos delnmero positivo el negativo. (+ 5) + (- 4) es lo mismo que 5 4 = 1.

Para restar un nmero negativo es la operacin inversa, es decir, se suma (+ 2) - (- 3) = 2 + 3.

A.- Suma:

- Nmeros con igual signo: El resultado es la suma de los valores absolutos de los dosnmeros, con el mismo signo.

(+5) + (+4) = (+9) (-3) + (-6) = (-9)

- Nmeros con distinto signo: El resultado es la resta de sus valores absolutos y el signocorrespondiente al nmero con mayor valor absoluto.

(+ 4) + (- 3) = (+ 1) (+ 5) (- 8 ) = (- 3)(- 5) + (+ 2) = (- 3) (- 751) + (+ 351) = - 400

B.- Resta: Un signo delante de un parntesis cambia el signo de lo que hay dentro de este.Se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

(+3) (+4) = (-1) (-3) (-4) = (+1)(+3) (-4) = (+7) (-3) (+4) = (-7)

2. 2.- MULTIPLICACIN

El signo de multiplicar se puede escribir de varias formas: con un aspa (5 x 2), con un punto (5.2), ltimamente por utilizacin en informtica con un asterisco (5 * 2)

Se multiplican los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado. El signo vienedado por las tablas siguientes.

Ejemplo: (+7) x (-2) x (- 1) = (+14)

La multiplicacin de un nmero positivo y otro negativo, el resultado siempre es negativo.

+ x - = -

ms por menos = menos

- x + = -

menos por ms = menos(+ 7) x (- 2) = - 14.

La multiplicacin de un nmero negativo y otro negativo, el resultado siempre ser positivo.

+ x + = +ms por ms = ms

- x - = +menos por menos = ms

(- 14) x (- 1) = (+ 14)


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2.3.- DIVISIN

Se dividen los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado. El signo viene dadopor las tablas siguientes.

Ejemplo. (+20): (-2): (-5) = (+2)

La divisin de un nmero positivo entre otro negativo o a la inversa siempre es negativo; es decirque la divisin entre nmeros de distinto signo siempre ser negativo

+ : - = -ms entre menos = menos

- : + = -menos entre ms = menos

(+ 20): (- 2) = (- 10)

Si dividimos un nmero negativo y otro negativo, el resultado siempre ser positivo.La Divisin entre nmeros del mismo signo siempre dar resultado positivo.

+ : + = +ms entre ms = ms - : - = +menos entre menos = ms

(- 10): (- 5) = (+ 2).

(+5) x (+8) = (+40) (+ 90): (+ 5) = (+ 18)(+5) x (- 8) = (- 40) (+ 90): (- 5) = (+ 18)(-5) x (+8) = (- 40) (- 90): (+ 5) = (- 18)(-5) x (- 8) = (+40) (- 90): (- 5) = (+ 18)

2.- LOS NUMEROS DECIMALES

Los nmeros decimales tienen dos partes: parte entera y parte decimal, separadas por unacoma.

a) parte entera o nmeros enteros los que quedan a la izquierda de la coma. partedecimal: o nmeros decimales los que quedan a la derecha de la coma

OPERACIONES CON NMEROS DECIMALES:

Suma y Resta de nmeros decimales: Los nmeros decimales se suman y se restan como los

enteros, manteniendo la coma en la misma posicin para todos los sumandos y el resultado.0,0354,79

+ 6,13615,406

16,80- 9,13

7,'67

A.- SUMA: Se colocan las comas debajo de las comas, quedando en la misma columna lasunidades del mismo orden. Se suman igual que los nmeros naturales.


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5

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Antes de comenzar la operacin convertimos en entero el divisor, poniendo en el dividendo tantosceros como cifras decimales tenga el divisor y quitamos la coma de este.

Despus es una divisin de nmeros enteros. Por lo tanto, la divisin 325: 0'4 es la misma que

3250: 4. Ya que hemos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo nmero: 10.

3.- Dividir un nmero decimal entre otro decimal: Se multiplican el dividendo y el divisor,por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.

36,2 : 5,28 = 3620 : 528Se aade al dividendo y al divisor tantos ceros como sean necesarios, para igualar el nmero decifras decimales, se elimina la coma y se opera como si fueran enteros.

14,4: 0,02 = 14,40: 0,02 = 720 5,375: 3,2 = 5,375: 3,200 = 1,679

Igualar con ceros las cifras decimales y despus quitar la coma decimal, operando como si setratara de nmeros enteros. El dividendo 729'3 tiene 1 decimal y el divisor tiene 4 decimales.

729'3: 0'0033 = 7293000 :33

Para que el divisor resulte un nmero entero desplazamos la coma del dividendo y del divisor 4veces. Al nmero 729'3 desplazamos la coma un lugar y le aadimos 3 ceros, resultando7293000.El divisor resulta 33.

En realidad, hemos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo nmero: 10.000.

4.- Dividir por la unidad seguida de ceros: Desplazamos la coma tantos lugares hacia laizquierda como ceros tenga la unidad (si no hay suficientes cifras se aaden ceros).

2,35 : 1000 =0,00235

732,5 : 100 =7,325

6'05 : 100 =0'0605

Si dividimos un nmero decimal por la unidad seguida de ceros el resultado es el nmero decimalcon la coma trasladada hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor.

0'0605 resulta de trasladar 2 lugares la coma, ya que 100 contiene dos ceros.

3.- NUMEROS MIXTOS

Son la suma de un nmero natural y una fraccin (ser sobreentendido el signo de la suma raznpor la que se prescinde de l).

3 1/ 4 = 3 + 1/4

Si se quiere expresar como fraccin se multiplicar el denominador por la parte entera y se lesumar el numerador. 3 = 13/4


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6

A la inversa, si se quiere expresar un nmero racional en forma de nmero mixto. Bastar condividir el numerador entre el denominador e indicarlo as:

25/7 = 25:7 = 3 (cociente) y de resto 4 = En forma de nmero mixto: 3 4/7

Hallar 6 1 + 32 4

El primer trmino de esta suma es un nmero mixto. Consiste en la suma de un nmero natural yuna fraccin, 6 +

Para pasarlo a fraccionario se aplica la definicin de suma, as

6 1 = 6 + 1 = 6 + 1 = ( 6 x 2 ) + 1 = 132 2 1 2 2 2

O multiplicamos el nmero entero por el denominador y al resultado se le suma el numerador. Eldenominador se mantiene.

6 1 = 6 x 2 + 1 = 132 2 2

El resto de la suma se realiza como la suma de fracciones que es

13 + 3 = (13 x 2 ) + 3 = 29/42 4 4

4.- NUMEROS FRACCIONARIOS

Nmero fraccionario es el que expresa una o varias partes de la unidad dividida en cierto nmerode partes iguales.

El nmero fraccionario tiene dos partes:

Numerador (nmero de partes que contiene una fraccin) y denominador (nmero de partes iguales en que se divide la unidad).

OPERACIONES CON FRACCIONES:

A.- SUMA Y RESTA:

Suma o resta de racionales con igual denominador: Se suma o restan losnumeradores y se deja el mismo denominador.

1/8 + 6/8 = 7/8 7/8 3/8 = 4/8

Se sumanlos numeradores y se deja el mismo denominador:

+ =

3 43 4

+ =

3 + 4

=

7


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7

Se restanlos numeradores y se deja el mismo denominador:

Cuando hay que sumar o restar ms de dos quebrados con el mismo denominador, se deja elmismo denominador y se suman o restan todos los numeradores.

Numerador 5 + 3 - 4 + 2 =Denominador 7 7 7 7

Aqu se trata de sumar y restar fracciones de igual denominador. La fraccin resultante de estaoperacin tendr el mismo denominador, siendo su numerador el resultado de sumar y restar losnumeradores de las cuatro fracciones dadas.

Numerador = 5 + 3 4 + 2 y el denominador ser el mismo que en las fracciones anteriores. 7.

El resultado de la operacin ser: 6/7

La Suma o restas de fracciones cuyos denominadores sean primos entre s: Se multiplican losdenominadores para hallar un denominador comn y luego, se multiplica el numerador de laprimera fraccin por el denominador de la segunda y se suma y resta a la multiplicacin deldenominador de la primera fraccin por el de la segunda.

3/5 + 7/11 = (33+35) / 55 = 68/55

5/3 2/5 = (25 6) / 15 = 19/15

Suma y resta de fracciones con distinto denominadorPara sumar o restar quebrados, si tienen distinto denominador, hay que conseguir un mismodenominador. Para ello hay que conseguir un nmero que sea mltiplo comn todos losdenominadores, a ser posible el ms pequeo. (El mnimo comn mltiplo, es el nmero mspequeo que es la vez divisible por los nmeros a los que nos referimos).

3 + 45 2

El mnimo comn mltiplo es el 10,por ello lo ponemos de denominador.

___ + ___ =10 10

6 + 2010 10

Y ya tenemos lasuma de quebradoscon el mismodenominador.

6 + 20 = 6 + 20 = 2610 10 10 10

El denominador comn por medio del mnimo comn mltiplo (m. c. m.), que son los factorescomunes al mayor exponente y los no comunes, y luego se suman o restan.

El mnimo comn mltiplo de varios nmeros es el menor de sus mltiplos comunes.

4 3

5 55 5 5 5

-=

4 3

5 55 5- =

4 - 3

5 =

1

5


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8

3/6 + 7/12 = (6+7)/ 12 = 13/12 1/3 4/6 = (2-4)/6 = -2/6

6 = 3 x 2 x 112 = 3 x 22 x 1

m. c. m.= 22 x 3= 12 3 = 3 x 16= 3 x 2 x 1

m. c. m. = 3 x 2 =6

Ejemplo: 2 + 1 + 5 - 3 =3 4 2 6

Las fracciones a sumar y restar tienen distinto denominador, por lo que hay que reducirlas,primero a comn denominador

1.- Hallamos el mnimo comn mltiplo de los denominadores (de 3, 4, 2 y 6). Estos nmerosposeen infinitos mltiplos comunes, pero hemos de hallar el menor, el ms pequeo de loscomunes. En esta ocasin es 12.

2.- Hallamos fracciones equivalentes a las del problema con denominador 12. (Se halla unafraccin equivalente a la primera si se multiplican o dividen numerador y denominador por elmismo nmero).

La fraccin equivalente a 2/3 que presente 12 en el denominador, ser 8/12 La fraccin equivalente a 1/ 4, con denominador 12 ser 3/ 12 La equivalente a 5/2 ser 30/2 y la equivalente a 3/6 ser 6/ 12

8 + 3 + 30 6 = 3512 12 12 12 12

B.- MULTIPLICACIN: Se multiplican numeradores por un lado y denominadores por otro.

Los quebrados se multiplican multiplicando en paralelo:

Para multiplicar cuando hay ms de dos quebrados, no hay problema ya que al ser en paralelo sepueden realizar todos de una vez.

Ejemplo: 3 x 2 x 54 3 2

Se multiplicar los numeradotes entre si y los denominadores entre s.

3 x 2 x 5 = 30, y 4 x 3 x2 = 24. El resultado es 30/24 = 5/4

Se divide numerador y denominador por (6), para reducir al mximo la fraccin.

3 4

5 2

x = x =3 4

5 2

3 x 4

5 x 2=

12

10

= 1,2


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C.- DIVISIN:Se multiplican en cruz.

3 : 45 3

La divisin es la operacin inversa a la multiplicacin. Para resolverla se multiplicar la primera

fraccin por la inversa de la segunda

Es decir, 3/5 x 3 /4 y el resultado es 9/20

Los quebrados se dividenmultiplicando en aspa:

6/7: 1/5 = 30/7

Cuando hay que dividir ms de dos conviene dividir los dos primeros y luego el resultado dividirlopor el tercero, el resultado dividirlo por el cuarto y as sucesivamente.

Fraccin decimal: Fraccin cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. 3/10 71/1000

Una fraccin decimal se puede escribir como un nmero decimal.

0,7 = 7/10 874/10000 = 0,0874 1/1000 = 0,001

De ah que cuando tengamos que realizar una operacin como:

23:0,01= 23: 1/100 = 23 x 100

5.- POTENCIAS

Llamamos potencia de base a y exponente n al producto de n factores iguales a a.

BaseExponente

5 3 = 5 x 5 x 5

- Si una potencia tiene base negativa el resultado podr ser: 2 2 = 4; 2 3 = 8

o Positiva si el exponente es par: (- 2 ) 2 = 4o Negativa si el exponente es impar: (- 2 ) 3 = - 8

- Tener en cuenta que 3 2 =- (3 x 3)=- 9 no es igual a (- 3) 2 = (- 3) x (- 3) = 9

a = b; an= bn (a + b) . (a b ) = a2- b2 ( a + b )2 = a2+ b2+ 2ab

5 2

3 4

5 2

: = : =3 4 3 x 2

5 x 4=

6

20

= 0,3


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OPERACIONES CON POTENCIAS

A.- SUMA Y RESTA: se deben de hallar las potencias independientemente y sumarlas orestarlas.

Se calcula cada una de ellas por separado - 22

+ 53

- 32

= 4 + 125 - 9 = 120;

B.- POTENCIAS DE EXPONENTE CERO: a0= 1 20= 1

Cualquier nmero, positivo o negativo, elevado a la potencia cero dar como resultado uno.

C.- MULTIPLICACIN CON IGUAL BASE

Es otra potencia con la misma base y el exponente igual a la suma de los exponentes.

a m . a n = a m + n 3 3x 3 2= 3 5 ( - 2) 2x ( - 2) 3= ( - 2) 2+3 = ( - 2) 5

D.- COCIENTE DE POTENCIAS CON IGUAL BASE

Potencia con igual base y de exponente la resta de los exponentes.

am = a m - nan

4 4: 4 3= 4 1 (-3) 3: (-3) 2= (-3) 1= -3 ;4 8 : 4 2 : 4 = 4 5

Si las bases son distintas hay que operar con cada una de forma independiente

2 2x 3 2: 6 2= 16 x 9: 36 = 144: 36 = 4

E.- POTENCIA DE UN PRODUCTO: Es el producto de los factores elevados al exponente dado.

(a . b) n = an . bn (a . b . c )n= an. bn. cn (7 x 3 x 2 ) 3= 73x 33x 23= 42 3

F.- POTENCIA DE UN COCIENTE:

Dividimos los nmeros de dicho cociente y el resultado lo elevamos a la potencia dada.Para elevar una fraccin a una potencia se elevan ambos (numerador y denominador) a dichapotencia.

(a/b) n = a n / b n ( a : b )n= an: bn (144 : 12) 2= 12 2= 144


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G.- POTENCIA DE OTRA POTENCIA: Es una potencia de la misma base cuyo exponente es elproducto de los exponentes.

( am )n = a m.n [(3) 4 ] 7 = 3 4 x 7= 3 28

H.- POTENCIA ELEVADA A UNA FRACCIN: Es una raz que tiene como radicando la baseelevada al numerador de la fraccin y como ndice el denominador de dicha fraccin.

35/3 = 3 3 5 A1/2 = 2 A1

I.- POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO: Son fracciones con numerador 1 y cuyodenominador es la misma potencia con exponente positivo.

a n = 1/ a n 3 - 2 = 1/3 2

- Una potencia con exponente 0 siempre es igual a 1 : 30= 1- Una potencia cuya base es 1 siempre ser 1 : 13= 1- Una potencia cuyo exponente es 1 ser igual a la base: 91= 9- Una potencia cuya base es 0 siempre es igual a 0. 09= 0

NUMEROS CUADRADOS CUBOS1 1 12 4 83 9 274 16 645 25 1256 36 2167 49 3438 64 5129 81 72910 100 1000

11 121 133112 144 172813 169 219714 196 274415 225 337516 256 409617 289 491318 324 583219 361 685920 400 80006.


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- RAICES6.- RACES

Raz n de un nmero a ser otro nmero b que elevado a n es igual a a.

ndice Raz

na= b bn = a

Radicando

La raz cuadrada es la operacin inversa de elevar al cuadrado

SIGNO DE UNA RAZ

5 x 5ndice par dos soluciones (-5) x (-5)1.- Radicando

positivondice impar raz positiva

ndice par: no tiene solucin2.- Radicandonegativo ndice

impar

raz

negativa

A.- RAZ DE UNA RAZ:Se multiplican los ndices y elradical ser en mismo.

B.- POTENCIA DE RACES: Se eleva el radicando adicha potencia

C.- MULTIPLICACI N DE UN N MERO POR UNA

RAZ: Es otra raz con el mismo ndice y el radicandoser el producto del radicando y el nmero quemultiplica elevado al ndice

D.- PRODUCTO DE RACES: Si tienen igualndice se mantiene el ndice y se multiplican losradicandos

E.- DIVISIN DE RACES: Con igual ndice semantiene el ndice y se dividen los radicandos

F.- SIMPLIFICAR UNA RAZ: Poner la


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raz en forma potencial

G.- RAZ DE NMEROS DECIMALES: La raz de unnmero decimal, se extrae como si el nmero fuera entero y

en el nmero que se obtiene, se separan tantas cifras haciala derecha, como indique el cociente entre la cantidad decifras decimales que tena el nmero dado y el ndice de laraz

La Raz de cualquier ndice del nmero 1 es igual al mismo nmero 1.

7.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ax + by = c ; Una ecuacin es una igualdad algebraica que se cumple solo para determinadosvalores de las incgnitas, o letras cuyos valores queremos obtener

Las ecuaciones de primer grado con dos incgnitas se llaman ecuaciones lineales Unasolucin de una ecuacin lineal es un par de valores que hace cierta la igualdad Una ecuacin lineal tiene infinitassoluciones

Hay 3 mtodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas

1.- MTODO DE SUSTITUCIN

Este mtodo consiste en despejar una incgnita en una ecuacin y sustituir el valorobtenido en la otra; Se obtiene as una ecuacin con una incgnita.

3x 2y = 10x + 3y = 7

3x 2y = 10x = 7 - 3y

3 ( 7 3y ) 2y = 1021 9y 2y = 10 ;y = 1 ; x = 4

2.- METODO DE IGUALACIN

Se despeja la misma incgnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresionesobtenidas

3x 5y = 1 ; x = 1 + 5y3

1 + 5y = 15 2y ; y = 4; x = 73

x + 2y = 15 ; x = 15 2y

3.- METODO DE REDUCCIN

Se Aplica cuando una incgnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o bien suscoeficientes son uno mltiplo del otro


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Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los nmeros que convenga), para que una delas dos incgnitas tenga el mismo coeficiente en ambas; As al restarlas desaparece esa incgnita

3x + 5y = 76 ; (x4) ; 12 x + 20y = 3044x 2y = 6 ; (x3) ; 12 x - 6y = 18

Restando 26 y = 286; Y = 11; x = 7

Una ecuacin es una operacin en la que hay una parte o dato que desconocemos, que vieneexpresado por una letra o incgnita.

El planteamiento de la ecuacin siempre es a modo de igualdad:6x - 7 = 2x + 5

1.- Poner todos los nmeros que acompaan a la incgnita al mismo lado de la igualdad y elresto al otro (Un nmero para cambiar de lado en la igualdad, pasa con el mismo valor absolutopero cambindole el signo)

Si esta sumando en un lado pasa restando al otro Si esta multiplicando en un lado de la igualdad pasa dividiendo y al revs 6x - 2x = +7

+5

2.- Una vez agrupados se realizan las operaciones. 4x = 12

3.- Despejar la incgnita, pasar 4 que est multiplicando al otro lado, y pasarlo dividiendo

x = 12 por tanto x = 34

Si repartimos 120Euros entre dos amigos de forma que uno de ellos recibe triple cantidad quela otra, mas 8 Euros. Qu cantidad corresponde a cada uno?

Cantidad de uno ->x el otro -> 3x + 8

La suma de las dos cantidades tiene que ser elvalor a repartir.x + 3x + 8 = 120; x + 3x = 112

4x = 112; x = 112/ 4 = 28

1.-28Euros2.-92Euros

SISTEMAS DE ECUACIONES. Es un conjunto de ecuaciones en el que hay ms de unaincgnita, es decir, ms de un valor desconocido.

3x + 5y = 2 x - 3y = 10

1.- Despejar en una ecuacin una incgnita y sustituir esa incgnita en la otra ecuacin

x = 10 + 3y3x + 5y = 2 ------------ 3(10 + 3y) + 5y = 2

30 + 9y +5y= 2

9y + 5y= 2 - 30

14y = - 28 y = - 28/ 14y = -2

Una vez obtenido uno de los valores volvemos al valor de x y sustituimos la y por su valornumrico obteniendo as el valor de x.


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X = 10 + 3. (-2) x = 10 - 6 -> x = 4

Ejemplo: Los 320 empleados de una fabrica trabajan en tres secciones; En la seccin 1 haytantos trabajadores como en la suma de los otras dos y la 3 tiene 40 trabajadores menos que la2 Cuntos trabajadores hay en cada seccin?.

x = 1 seccin; y = 2 seccin z = 3 seccin

La 1 tiene tantos como las otras dos juntas: x = y + zLa 3 tiene 40 menos que la 2: z = y - 40Si todos son 320: x + y + z = 320Tenemos tres ecuaciones con tres incgnitas.

x + y + z = 320 X = y + z z = y 40

En la 3 ecuacin tengo el valor de z, por lo que sustituyo ese valor en la 2 ecuacin y en laprimera, quedando as:

x = y + y - 40;x = 2 y 40 x + y + y 40 = 320x + 2 y = 360

Ahora hay dos ecuaciones con dos incgnitas como en el ejemplo anterior.

x + 2y = 360x = 2y - 40

Sustituyo de nuevo el valor de x = 2y - 40 en la 1ecuacin2y 40 + 2y = 3602y + 2y = 360 + 40

4y = 400 ----- y = 100Si y = 50. Entonces x = 2. 100 - 40 -> x = 160

Si x + y + z = 160, entonces 80 + 50 + z = 160; z = 60

8.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ax 2 + Bx + c = 0

9 .- LA REGLA DE TRES

La regla de tres simple resuelve los problemas en los cuales se dan dos cantidades de magnitudesdistintas y que guardan entre s una proporcin directa o indirecta.

1.1.- REGLA DE TRES DIRECTA

1) Compro 5 compactos por 24 euros, cunto cuestan 12 ms?


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Ejemplo: 30 % de 250; 30/100 de 250; 250 x 30: 100 = 75Compro una moto por 7.350 Euros y me hacen un descuento del 24% Cunto he de pagar?

100 - > 7.350

24 - x

x = 7.350 x 24 = 1764

100

Total del precio = 7.350

7350 1764 = 5600; Lo quetengo que abonar

2.- CALCULO DEL TOTAL, CONOCIDA LA PARTE

De un total desconocido sabemos la parte asociada a determinado porcentaje Cul es eltotal?

Nos dan el % de una cantidad, calcular dicha cantidadHoy han faltado a clase 6 alumnos, lo que supone un 20% del total de alumnos, Cuntosalumnos componen el total de la clase?

Total ausentes100 20

x 6100 = 20 ; 600/20 = x ; x = 30

x 6

33 hombres de un pueblo, estn solteros y son el 6 % de los hombres del pueblo. Cuntoshombres hay en total?

6 -> 33 hombres100 -> x

x = 100 x 33 = 5506

Hay 550 hombresen el pueblo

3.- CALCULO DEL PORCENTAJE CONOCIDOS EL TOTAL Y LA PARTE

De un total conocido, se ha tomado una parte determinada que porcentaje se ha tomado Dada una cantidad que es un % de otra dada, calcular dicho %

En las ultimas elecciones, de un censo de 2.500 personas, el alcalde actual recibi 1.500 votosQue porcentaje de votantes apoyo al alcalde?

VOTANTES VOTO FAVORABLES2.500 1.500

100 X2500/100 = 1500/X

X = 1500. 100 / 2.500 = 60

Una clase tiene una matrcula de 250 alumnos. Si faltan a clase 40, Qu tanto por ciento falt aclase?

250 alumnos - > 10040 alumnos -> x x = 100 x 4 = 1625 Falt el 16 % de losalumnos


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11.- PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

Una proporcin es la igualdad de dos razones

El producto de los medios es igual al productode los extremosA x D = B x C

1.- CALCULO DEL TRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION

Un problema de proporcionalidad consiste en calcular uno de los trminos de una proporcin,conociendo los otros tres

Ej.: 3 / 4 = 9 / X 3x = 4x9 x = 12

2.- CUANDO LAS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Que son magnitudes directamente proporcionales?Dos magnitudes son directamente proporcionales si:

Al aumentar una (doble, triple,...) la otra tambin aumenta (doble, triple,....)

Al disminuir una (mitad, tercio,...) la otra tambin disminuye (mitad, tercio,....)LITROS DE ACEITE 1 3 5 6 8COSTE EN EUROS 3,2 9,6 16 19,2 X

Si se multiplica un valore de las magnitudes por un nmero, el valor correspondiente de la otramagnitud queda multiplicado por ese nmero

Regla de tres directa

Litros de aceite Coste5 168 x

La proporcin

5 = 16 ; x = 8. 16/ 5 = 25,68 x

Resolucin de problemas: Mtodo de reduccin a la unidad

Ej.: Un mecnico cobra 60 Euros por un trabajo de 4 horas Cuanto cobrar por un trabajo de 7horas?

4 horas = 60 Euros 1 hora = 60 euros /4 = 15 euros 7 horas = 15 euros x 7 = 105 euros

3.- CUANDO LAS MAGNITUDES SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES


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20/22


20

8 . 5 = 1000 ; 40 = 1.000 x = 120 . 1000 = 3.000.10 12 x 120 x 40

Ahora veamos un ejemplo en el que interviene alguna relacin de proporcionalidad inversa

Ejemplo: Un taller trabajando 8 horas diarias, durante 5 das, fabrica 1.000 equipos. Ahora tieneque servir un pedido de 3.000 equipos, trabajando 10 horas diarias Cuantos das tardar enfabricar el pedido?

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Horas Equipos Das8 1.000 5

10 3.000 x

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Al ser proporcionalidad inversa envez de 8/10, tomamos 10/ 8

10 1.000 = . 5 .8 3.000 x

10.000 / 24.000 = 5 / x

x = 12 das

12.- AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

1.- AUMENTOS PORCENTUALES

Las reservas de agua de una regin, hace un mes eran de 260 hm3 y han aumentado un15 %, Cuales son las reservas actuales?

Solucin 1: Reservas actuales = 260 + 15 % de 260 ==260 + 15 x 260 = 260 + 39 = 299

100Solucin 2: Cada 100 hm3que habra hace un mes hay 115

hace un mes Hoy100 115260 x

100/260 = 115 / x ;X = 299

Aumentar una cantidad en un a % equivale a calcular el (100 + a) % de dicha cantidad.

Las reservas de agua de una ciudad aumentan el ltimo mes un 15 %. Si actualmente se cifranen 299 hm3 Cuales eran las reservas hace un mes?

115% de x = 299 115/100 de x = 299; x = 299: 1.15 = 260 hm3

2.- DISMINUCIONES PORCENTUALES

En una tienda se rebaja todo un 15% Cul es el precio de un abrigo que antes costase 380Euros?


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a) Precio rebajado = precio anterior rebaja 380 - 15% de 380 == 380 380. 15/ 100 = 323

b) Cada 100 del precio antiguo queda en 85Sin rebaja100380

Rebajado85x

100 / 380 = 85 / x

x = 380. 85 / 100 = 323

Hemos calculado el 85% de 380; 85% de 380 ---------- 0,85 x 380 = 323

He pagado 323 Euros, por unos guantes que estaban rebajados en un 15 % Cul era el precioantes de ser rebajados?85 % de x = 323 ; 0,85. x = 323 ; x = 323: 0,85 = 380

13.- REPARTOS PROPORCIONALES

En estos problemas se divide un total en varias partes que han de ser proporcionales a ciertosnmeros dados

1.- Rafael Ana y Luis, reciben 250 Euros por repartir propaganda. Rafael ha repartido dospaquetes, Ana tres y Luis cinco Cunto dinero corresponde a cada uno?

250 Euros / 10 paquetes = 25 euros paquete; Rafael = 50; Ana = 75 y Luis = 125

La cantidad que corresponde a cada uno es directamente proporcional a los paquetes repartidos50/2 = 75/3 = 125/5 = 250/10

2.- Tres hermanos se reparten dinero en partes proporcionales a sus edades; Juan con 23 aos lehan correspondido 184 Euros, Cuanto le corresponde a Luis de 15 y Ana de 12 aos?

Cantidad por ao 184/23 = L / 15 = A/ 12; 8 = L/15 = A/12; L = 120; A = 96

14.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS ELEMENTALES

Doble de un numero 2 aUn numero, mas su doble, mas su mitad m + 2m + m/2El triple de un nmero mas cinco 3 x + 5El triple del resultado de sumar cinco a un nmero 3 (x + 5)El numero siguiente al nmero b b + 1El anterior a un numero b - 1Un nmero par 2nUn numero impar 2n + 1 o bien 2n -1

Operaciones con monomios

2 a . 3 b = 6 a b


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(2 b). (-5 b) = -10 b 2

(2x). (4 x y) = 2. x . 4. x. Y = 2. 4. x. x. y = 8 x2 y

15.- UNIDADES DE LONGITUD

km hm dam M dm cm mm

1.000 m 100 m 10 m 0, 1 m 0.01 m 0.001 m

16.- UNIDADES DE SUPERFICIE

km2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2

1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 0.01 m 2 0.0001 m 2 0,000001 m 2

Las unidades de superficie aumentan de 100 en 100

rea = 1 a = 1 dam 2 = 100 m 2

Hectrea = 1 ha = 100 a = 1 hm 2 = 10.000 m 2

17.- UNIDADES DE VOLUMEN

km 3 hm 3 dam3 m3 dm3

LITROcm3 mm3

x 1O 3

x 1000

Cada unidad de volumen es:

o 1.000 veces la unidad de orden inferioro La milsima parte (0.001) de la unidad superior

1 dm 3= 1 litro

Reglas calculo matemaÌtico

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