UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINAFACULTAD DE ECONOMA Y PLANIFICACINDEPARTAMENTO ACADMICO DE GESTIN EMPRESARIALUnidad 5: Tcnicas de proyeccin en estudios de mercado: Regresin no lineal.Por: Ampelio Ferrando PereaFORMULACIN Y EVALUACIN DE PROYECTOS DE INVERSIN

MODELOS DE REGRESIN NO LINEALLa regresin lineal no siempre da buenos resultados, porque a veces la relacin entre Y y X no es lineal sino que exhibe algn grado de curvatura. La estimacin directa de los parmetros de funciones no-lineales es un proceso complicado. No obstante, a veces se pueden aplicar las tcnicas de regresin lineal por medio de transformaciones de las variables originales. Cmo ajustar modelos de regresin lineal cuando la funcin no es lineal?

REGRESIN NO LINEAL

REGRESIN PARABLICA Recordemos que la ecuacin de mejor ajuste corresponde aquella que presenta los Coeficientes de determinacin y Correlacin mas prximo a la unidad, bajo este criterio, se dan casos donde la serie de Informacin obtenida no se puede explicar por ninguno de las medidas de Regresin vistas hasta el momento; ante esta situacin y asumiendo que la serie tiene una curva parablica cuyo comportamiento se describe matemticamente por una ecuacin de segundo grado ( parbola ).La regresin se expresa as: Y = a + bx + cx2 Donde: Y = Estimacin de la variable dependiente A,B,C = constantes numricas X = Valores de la variable independiente. Los valores "A", "B" y "C" se encuentran resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas.

REGRESIN PARABLICA

REGRESIN PARABLICA Los valores "A", "B" y "C" se encuentran resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas.

y = Na + b x + c x 2

xy = a x + b x 2 + c x3

x2y = a x 2 + b x3 + c x4

REGRESIN PARABLICA Las ecuaciones normales se reducen cuando se utiliza como origen el trmino medio de los valores de x, ya que: x y x3 se anulan quedando:

y = Na + c x 2

xy = b x 2

x2y = a x 2 + c x4

METODO ABREVIADO DEL TRMINO MEDIO DE LOS VALORES DE X Consiste en abreviar el clculo de los parmetros, cuando se toma cmo origen el trmino medio de los valores cronolgicos. De esta forma se eliminan los trminos de ellas ecuaciones normales que contienen sumas de las potencias impares de X. Esto es debido a que la primera propiedad de la media aritmtica dice: La suma de las desviaciones de los valores de la serie con respecto a su media es igual acero Con nmero impar de trminos : se toma el valor central de la serie cronolgica como cero. Con numero par de trminos: se toman dos valores centrales ( - 1 y +1)

PRODUCCIN ANUAL DE ALCACHOFA en toneladasREGRESION PARABLICA

AoXYXYx 2x2yx 4y 22003-3234-7029210681547562004-2171-342468416292412005-1147-14711471216092006012400001537620071140140114011960020082144288457616207362009320661891854814243601166-145285507196203754

REGRESION PARABLICAPara el calculo de los coeficiente a, b y c reemplazamos los datos en las ecuaciones normales:(1) 1166 = 7a + 28c

(2) -145 = 28b

(3) 5507 = 28a + 196cDe (2) se obtiene que:28b = -145Luego: b= -145/28 b= -5.179

REGRESION PARABLICALuego de (1) y (3) se obtiene que:(1) 1166 = 7a + 28c (-4)(3) 5507 = 28a + 196c(4) -4664 = -28a -112c (-4) 5507 = 28a + 196c_____________________ 843 = 84cLuego: c = 843/84 c= 10.0357

REGRESION PARABLICALuego reemplazando los valores de c en (1) se tiene:1166 = 7a + 28(10.0357)Luego:1166 = 7a + 280.9966a = 1166 - 280.9966/ 7 = 885.0004/7Entonces: a= 126.428

REGRESION PARABLICAPor consiguiente la Ecuacin parablica resultante es:Valores de los coeficientes:a= 126.428b= -5.179c= 10.0357

Y = 126.428 - 5.179x + 10.0357x2

COEFICIENTE DE DETERMINACIN PARABLICAr2 = ( x y - x y/n)+ c ( x 2 y - x 2 y/n) y 2 - ( y) 2 /n

COEFICIENTE DE CORRELACIN PARABLICA

r= r2

COEFICIENTE DE DETERMINACIN PARABLICAr= 0.98 r2 = -5.179( -145 -0*1166/7)+ 10.0357 (5507 - 28 *1166/7)=203754 - 1359556/7r2 = 9211.0501 = 0.966358 9531.7114286COEFICIENTE DE CORRELACIN PARABLICA

r= r2 r= 0.966358

REGRESIN PARABLICAY = 126.428 - 5.179x + 10.0357x2(2010) Y = 126.428 - 5.179(4)x + 10.0357(4)2(2010) Y = 266.28 toneladas(2011) Y = 126.428 - 5.179(5)x + 10.0357(5)2(2011) Y = 351.43 toneladas(2012) Y = 126.428 - 5.179(6)x + 10.0357(6)2(2012) Y = 456.64 toneladas

REGRESIN POTENCIALTeniendo los datos Histricos observados sobre la Demanda, Oferta o la variable que se quiera Proyectar, podemos graficar la nube de puntos y poder apreciar la distribucin de los mismos y poder apreciar si los puntos se aproximan a alguna funcin, en el caso de la funcin exponencial se puede recurrir a la siguiente relacin: Y =axb*

REGRESIN POTENCIAL*

La ecuacin potencial puede resolverse a travs de las siguientes ecuaciones normales: REGRESIN POTENCIAL*

REGRESIN POTENCIALUna vez realizada la sustitucin, los resultados se escriben en la forma: *

Y = axb

REGRESIN POTENCIAL*

AoXY: Consumo de fideos en miles de TM2001112200221420033162004415200551820066172007719200882120099202010102155173

TABLA DE DATOS/REGRESIN POTENCIAL*

AoXYLog XLog YXlogYLogX* LogY(LogX)2(LogY)220011120.001.081.080.000.001.1720022140.301.152.300.350.091.3220033160.481.203.600.580.231.4420044150.601.184.720.710.361.3920055180.701.266.300.880.491.5920066170.781.237.380.960.611.5120077190.851.288.961.090.721.6420088210.901.3210.561.190.811.7420099200.951.3011.701.240.901.69201010211.001.3213.201.321.001.74551736.5612.3269.808.325.2115.23

ECUACIONES NORMALESREEMPLAZANDO:*

log y= n loga + blogxlogx*log y= loga* logx+ b(logx)

12.32= 10loga + 6.56b8.32= 6.56loga + 5.21b

CLCULO DE LOS DETERMINANTES*

10 6.56 = 10x5.21 6.56x6.56 =52.1 43.03= 9.07 6.56 5.21

log a 12.32 6.56 = 12.32x5.21 8.32x6.56 = 64.19 54.58= 9.61 8.32 5.21

b 10 12.32 = 10x8.32 6.56x12.32 = 83.20 80.82 = 2.38 6.56 8.32

CLCULO DE LOS VALORES DE a y bluego:*Log NCLCULO DEL ANTILOGARITMO

b= b = 2.38 = 0.26 9.07

Log a= log a = 9.61 = 1.059537 a = antilog de 1.0595537 = 11.47 9.07

ECUACIN: y= 11.47 x 0.26

CLCULO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r 2FMULA DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r2INTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r2Significa que el 80% de la variacin de Y se explica por la variacin de X (el tiempo) *

____r 2 = blogx * logy + loga * log y n(log y) 2 _______ (log y) 2 -n(log y) 2

r 2 = 0.26 *8.32 + (1.06* 12.32) 15.18 = 2.16 + 13.06 15.18 = 0.04 = 0.80 15.23 - 15.18 0.05 0.05

CLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r FMULA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN rINTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r = 0.89Significa que existe una alta correlacin entre las variables X y Y *

r = r 2

r = 0.80

r = 0.89

REGRESIN POTENCIAL(2011) Y = 11.47 (11)0.26(2011) Y = 21.40 TM(2012) Y = 11.47 (12)0.26(2012) Y = 21.89 TM(2013) Y = 11.47 (13)0.26(2013) Y = 22.35 TM(2014) Y = 11.47 (14)0.26(2014) Y = 22.78 TM(2015) Y = 11.47 (15)0.26(2015) Y = 23.19 TMN=PotenciacinExponente

ECUACIN: y= 11.47 x 0.26

MODELO DE REGRESIN EXPONENCIALSi aplicamos logaritmos, esta funcin tambin puede ser expresada con la frmulas:

Este modelo es interesante, porque el exponente x en una funcin exponencial mide la elasticidad de Y respecto de X.Una funcin no-lineal que tiene muchas aplicaciones es la funcin exponencial:

Y= abx*

logY = nloga + logbXX logY = loga X+ logbX

REGRESIN EXPONENCIAL La funcin exponencial tiene aplicacin en el anlisis de Regresin, cuya ecuacin se representa por la expresin: Y = ABX

*

REGRESIN EXPONENCIAL

REGRESIN EXPONENCIAL La ecuacin exponencial (logartmica) puede resolverse a travs de ecuaciones normales:

*

REGRESIN EXPONENCIAL*

AoXY: Exportacin de nctar de maracuy congelado en miles de litros200413220052242006338200745420085422009666201078428340

TABLA DE DATOS/REGRESIN EXPONENCIAL*

AoXYLog YX2X* LogY(LogY)220041321.5111.512.2820052241.3842.761.9020063381.5894.742.5020074541.73166.922.9920085421.62258.102.6220096661.823610.923.3120107841.924913.443.692834011.5614048.3919.29

ECUACIONES NORMALESREEMPLAZANDO:*

11.56= 7loga + 28logb48.39= 28loga + 140logb

logY = nloga + logbXX logY = loga X+ logbX

CLCULO DE LOS DETERMINANTES*

7 28 = 7x140 28x28 = 980 784= 196 28 140

log a 11.56 28 = 11.56x140 48.39x28 = 1,618.40 1,354.92= 263.48 48.39 140

log b 7 11.56 = 7x 48.39 28x11.56 = 338.73 323.68 = 15.05 28 48.39

CLCULO DE LOS VALORES DE a y bluego:*Log NCLCULO DEL ANTILOGARITMO

Log a= log a = 263.48 = 1.344286 a = antilog de 1.344286 = 22.09 196

Log b= log b = 15.05 = 0.0767857 b= antilog de 0.0767857 = 1.19 196

ECUACIN: y= 22.09*1.19 x

CLCULO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r 2FMULA DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r2INTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r2Significa que el 91% de la variacin de Y se explica por la variacin de X (el tiempo) *

____r 2 = logb*XlogY + loga * log y n(log y) 2 _______ (log y) 2 -n(log y) 2

r 2 = 0.077*48.39 + (1.344* 11.56) 7(1.65) 2 = 3.73 + 15.54 19.06 = 0.21 = 0.91 19.29 - 19.06 0.23 0.23

CLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r FMULA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN rINTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r = 0.95Significa que existe una alta correlacin entre las variables X y Y *

r = r 2

r = 0.91

r = 0.95

REGRESIN EXPONENCIAL(2011) Y = 22.09*1.198(2011) Y = 88.83 TM(2012) Y = 22.09*1.199(2012) Y = 105.71 TM(2013) Y = 22.09*1.1910(2013) Y = 125.80 TM(2014) Y = 22.09*1.1911(2014) Y = 146.70 TM(2015) Y = 22.09*1.1912(2015) Y = 178.14 TMNPotenciacinExponente=

ECUACIN: y= 22.09*1.19 x

*