regresion variables cuantitativas

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 3. Regresión con variables cualitativas 45 3  _________________  Regresión con variab les cualitativas 1. Introducción Hasta ahora hemos abordado el tema de la correlación y la regresión con variables cuantitativas. Sin embargo, un estudio de regresión similar puede desarrollarse si contamos con una variable -la variable X- que sea cualitativa de dos o más categorías. En esta circunstancia se trata de conocer la regresión de X (una variable que adopta valores cualitativamente diferentes) sobre una variable Y cuya escala de medida es al menos de intervalo. El análisis estadístico del contraste de medias (mediante el análisis de la varianza)  puede ser interpretado como un análisis de la regresión en el que la variable X es cualitativa. Es más, enfocar el análisis de la varianza desde el punto de vista de la regresión puede ser una ventaja que proporcione a dicho análisis una mayor generalidad. 2. Regresión con una variable dicotómica. Supongamos que deseamos conocer en qué medida se relacionan sexo y habilidad manual para realizar una tarea. La variable sexo es una variable cualitativa de dos categorías –dicotómica- y puede codificarse de forma arbitraria con los valores 0 y 1;  por ejemplo, 0 mujer y 1 varón. La variable habilidad se cuantifica a través de un instrumento determinado de forma cuantitativa. Supongamos que se obtienen los siguientes resultados teniendo una muestra total de 8 sujetos, 4 varones y 4 mujeres: Sujetos Sexo (X) Habilidad (Y)  XY  1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 1 1 1 1 20 36 26 22 49 40 47 48 0 0 0 0 49 40 47 48 Sumas 4 288 184

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Apuntes de regresion para variablees cuantiativas.

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  • 3. Regresin con variables cualitativas

    45

    3

    ___________________

    Regresin con variables cualitativas

    1. Introduccin

    Hasta ahora hemos abordado el tema de la correlacin y la regresin con variables

    cuantitativas. Sin embargo, un estudio de regresin similar puede desarrollarse si

    contamos con una variable -la variable X- que sea cualitativa de dos o ms categoras.

    En esta circunstancia se trata de conocer la regresin de X (una variable que adopta

    valores cualitativamente diferentes) sobre una variable Y cuya escala de medida es al

    menos de intervalo.

    El anlisis estadstico del contraste de medias (mediante el anlisis de la varianza)

    puede ser interpretado como un anlisis de la regresin en el que la variable X es

    cualitativa. Es ms, enfocar el anlisis de la varianza desde el punto de vista de la

    regresin puede ser una ventaja que proporcione a dicho anlisis una mayor

    generalidad.

    2. Regresin con una variable dicotmica.

    Supongamos que deseamos conocer en qu medida se relacionan sexo y habilidad

    manual para realizar una tarea. La variable sexo es una variable cualitativa de dos

    categoras dicotmica- y puede codificarse de forma arbitraria con los valores 0 y 1;

    por ejemplo, 0 mujer y 1 varn. La variable habilidad se cuantifica a travs de un

    instrumento determinado de forma cuantitativa. Supongamos que se obtienen los

    siguientes resultados teniendo una muestra total de 8 sujetos, 4 varones y 4 mujeres:

    Sujetos Sexo (X) Habilidad (Y) XY 1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    20

    36

    26

    22

    49

    40

    47

    48

    0

    0

    0

    0

    49

    40

    47

    48

    Sumas 4 288 184

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    46

    2.1. Correlacin y recta de regresin.

    Como en el estudio de una correlacin ordinaria, calculamos los estadsticos

    descriptivos que nos van a servir para este fin:

    53.01

    )(5.0

    8

    4 1 =

    ===

    N

    XXSX

    N

    X

    96.111

    )(36

    8

    288 1 =

    ===

    N

    YYSY

    N

    Y

    Y con estos datos calculamos la correlacin entre X e Y:

    894.096.1153.0

    365.07

    184

    1

    1

    =

    =

    =

    YX

    N

    XYSS

    YXN

    XY

    r

    A partir del valor de correlacin calculado y bajo el supuesto que se cumplan los

    supuestos requeridos, puede estimarse, bajo el mismo procedimiento que en el caso en

    que ambas variables eran cuantitativas, la recta de regresin que define dicha relacin:

    bXaY +=

    o bien:

    110 XBBY +=

    donde

    X

    YXY

    S

    Srb

    XbYa

    =

    =

    En nuestro caso, tendramos:

    265.02036

    2053.0

    96.1189.0

    ==

    ==

    a

    b

    de donde la ecuacin de regresin es:

    XY 2026 +=

    Ntese que dado que la variable X adopta dos posibles valores, (O para varn y 1 para

    mujer), las predicciones en Y en estas circunstancias son:

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    47

    4612026

    2602026var

    =+=

    =+=

    mujer

    n

    Y

    Y

    La interpretacin de estas estimaciones es la siguiente: 26 es el valor esperado en Y para

    un sujeto que tenga sexo varn y 46 el valor esperado para cualquiera de las mujeres.

    Estos valores (26 y 46) coinciden exactamente con las medias en Y del grupo de

    varones y de las mujeres, respectivamente. Recordemos los datos:

    Sujetos Sexo (X) Habilidad (Y) Medias por grupo

    260 =Y

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    20

    36

    26

    22

    49

    40

    47

    48

    461 =Y

    Sumas 4 288 36=Y

    Por otro lado, la diferencia entre ambas medias (46-26) coincide con el valor de b, es

    decir, con el cambio esperado en Y al cambiar una unidad (de 0 a 1) el valor de X:

    2001

    2646=

    =

    =

    X

    Yb

    Y el parmetro a coincide justamente con la media del grupo que se codifica como 0,

    en nuestro caso, el de varones. Es decir, la ordenada en el origen de la recta de regresin

    del modelo pasa por el punto 26 que es el promedio de la habilidad manual en dicho

    grupo.

    Grficamente estas ideas pueden reflejarse si se dibuja la nube de puntos (en realidad

    dos series de datos alineados verticalmente ver puntos rojos en la grfica-) y la

    correspondiente recta de regresin en un eje de coordenadas:

    SEXO

    2,01,00,0

    HA

    BIL

    IDA

    50

    40

    30

    20

    10

    X

    Y

    0Y

    1Y

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    48

    Obsrvese que cuando X vale 0, la recta corta el eje de la Y en el valor medio del grupo

    de varones ( =0Y 26) y que el otro punto que la define es precisamente el valor medio

    de Y en el grupo de mujeres ( =1Y 46 -cuando X vale 1-). Adems, como hemos

    indicado, la incremento en Y al cambiar el valor de X de 0 a 1 es precisamente el valor

    de inclinacin de la recta (b):

    20)01(

    )2646(=

    =

    =

    X

    Yb

    o lo que es lo mismo:

    20264601 === YYb

    2.2. Supuestos del modelo.

    Dado que trabajamos con el mismo modelo de regresin que cuando se trataba de dos

    variables cuantitativas, los requisitos a los que deben adecuarse los datos para que dicho

    modelo pueda se aplicado idneamente deben ser los mismos que en aquel caso. As

    pues, debe probarse la adecuacin de la nube de puntos a una recta (linealidad), la

    igualdad de varianzas del error (homocedasticidad) y su normalidad, as como la

    independencia entre puntuaciones (que es un requisito supuesto de antemano).

    Teniendo en cuenta la representacin grfica caracterstica cuando X adopta dos nicos

    valores (dos series alineadas verticales- de puntos que representan la variabilidad de Y

    para cada uno de los valores de X), puede decirse que la recta constituye una buena

    representacin para unir ambas series, representando el cambio sufrido en la Y estimada

    en funcin del cambio (de 0 a 1 de una categora a otra-) en X.

    Por otra parte el supuesto de la homocedasticidad quedar satisfecho si la dispersin de

    la serie de puntos respecto a valor predicho dentro de la condicin X=0 es semejante a

    dicha dispersin en la condicin X=1. Para probar si se cumple o no este supuesto, tal y

    como en el tema de la regresin anterior, hay que realizar un estudio de los errores.

    Recurdese que graficando cul es la distribucin de los mismos en funcin de los

    valores de Y predichos puede obtenerse, a nivel grfico, una primera aproximacin a

    dicho estudio. Formas definidas o caractersticas de esta distribucin (por ejemplo, de

    megfonos o tringulos en cierto grado invertidos-) apuntan a una posible violacin de

    este supuesto. En ltimo trmino, si deseamos probar mediante alguna prueba

    estadstica si los datos se ajustan o no al supuesto mencionado puede probarse la

    significacin de la correlacin entre los errores (absolutos) y los valores de Y predichos.

    La falta de significacin de dicha correlacin indica la satisfaccin de este supuesto de

    la homocedasticidad aunque como sabemos este procedimiento no detecta a veces el

    incumplimiento del supuesto.

    Por ltimo, la normalidad de las puntuaciones se cumple si la distribucin de puntos

    alrededor de cada una de las dos medias por grupos se ajustan a una distribucin tipo

    campana de Gauss. Este supuesto es ms difcil de corroborar cuando existen pocos

    datos; de cualquier manera la prueba de anlisis de la regresin es ms robusta al

    incumplimiento de este supuesto que a la violacin de otros. La va ms cmoda y fcil

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    49

    de estudiarlo es pidiendo el grfico de probabilidad normal en el paquete estadstico

    SPSS.

    2.3. Validez del modelo y bondad de ajuste.

    Para probar la validez del modelo de regresin y ajuste lineal planteado, se procede de

    manera similar al caso en que ambas variables eran cuantitativas. Como se sabe, puede

    abordarse esta cuestin mediante tres procedimientos alternativos y coincidentes:

    a) evaluando la significacin de la correlacin b) evaluando la significacin del coeficiente b c) aplicando la prueba F que evala de manera global en qu medida la variacin

    de los datos de la que da cuenta el modelo de regresin sobrepasa aquella parte

    de la variacin de los datos de la que no es responsable dicho modelo.

    Como decimos, estas tres vas o trayectorias conducen a una misma conclusin.

    Probemos, por ejemplo, en primer lugar, la validacin a travs del ndice F para los

    datos anteriores. Recurdese que:

    )1/()1(

    /2

    2

    =

    kNR

    kRF

    Entonces, para nuestros datos:

    7.236/)894.01(

    1/894.02

    2

    =

    =F

    Por otra parte, la prueba de significacin para la correlacin:

    2

    1

    0

    2

    =

    N

    r

    rt

    XY

    XY

    En nuestro caso:

    87.4

    6

    894.01

    894.0

    2=

    =t

    Y para el coeficiente b:

    =

    N

    res

    XX

    S

    bt

    1

    2

    2

    )(

    0

    que sustituyendo:

    87.4

    2

    67.33

    20==t

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    50

    Comprubese la igualdad de los tres resultados teniendo en cuenta que tF =

    Buscando en las tablas pertinentes el valor de p para estos estadsticos, se concluye que

    la probabilidad de que la explicacin de los datos a partir del modelo lineal estimado sea

    irrelevante es del .003. Es decir, aceptamos el modelo de regresin estimado como una

    buena aproximacin de la explicacin de los datos, ya que la probabilidad de que no lo

    sea es muy pequea (menor a .05). Por lo tanto, existe relacin significativa entre X e Y.

    A nivel terico diremos que el sexo explica de forma relevante la diferencia existente en

    la habilidad manual. El sentido de dicha relacin (atendiendo a los promedios

    correspondiente a cada grupo) es el de que las mujeres muestran significativamente un

    nivel de habilidad manual superior al de los varones en este tipo de tarea.

    Por ltimo, resulta conveniente calcular la bondad de ajuste del modelo, esto es, la

    valoracin de la proporcin de variacin explicada por el mismo respecto a la variacin

    total de los datos. Como se sabe, nos estamos refiriendo a 2R que es:

    22

    XYrR =

    Es decir:

    80.0894.0 22 ==R

    O bien.

    80.01002

    800

    )(

    )(

    1

    2

    1

    2

    exp2==

    ==

    N

    i

    N

    total

    li

    YY

    YY

    SC

    SCR

    lo que indica que el 80% de la variacin manifiesta en las puntuaciones de la habilidad

    manual (Y) se explica por la variable sexo (X), una porcentaje bastante alto.

    2.4. Aplicacin con el SPSS.

    Para estimar los diferentes estadsticos y significaciones anteriormente analizados

    mediante este paquete basta aplicar los mismos comandos que se utilizaban para el caso

    de dos variables cuantitativas. As, la sucesin de comandos y salidas correspondientes

    se exponen a continuacin.

    En primer lugar, el fichero de datos ser similar al cuadro que presentamos al principio

    de estas pginas:

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    51

    Si pedimos Analizar/regresin/lineal donde Y funciona como variable dependiente y X

    como variable independiente, obtenemos.

    Resumen del modelo

    Modelo R R cuadrado R cuadrado corregida

    Error tp. de la estimacin

    1 ,894(a) ,798 ,765 5,80230

    a Variables predictoras: (Constante), SEXO

    ANOVA(b)

    Modelo

    Suma de cuadrados

    gl Media

    cuadrtica F Sig.

    Regresin 800,000 1 800,000 23,762 ,003(a)

    Residual 202,000 6 33,667

    1

    Total 1002,000 7

    a Variables predictoras: (Constante), SEXO b Variable dependiente: HABILIDA

    Coeficientes(a)

    Coeficientes no estandarizados Coeficientes

    estandarizados

    Modelo B Error tp. Beta t Sig.

    (Constante) 26,000 2,901 8,962 ,000 1

    SEXO 20,000 4,103 ,894 4,875 ,003

    a Variable dependiente: HABILIDA

    Como puede observarse, los coeficientes a y b de la ltima tabla coinciden plenamente

    con los previamente estimados, al igual que la correlacin entre X e Y (que es lo mismo

    que el coeficiente Beta de la ecuacin de la recta o su valor estandarizado 0..894-).

    La validez del modelo se prueba reparando en el valor de p correspondiente a la F de la

    tabla de ANOVA o bien por el de la t correspondiente al coeficiente b o de Beta (iguales

    a .003) (vase en la segunda y tercera tablas presentadas).

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    52

    Para obtener el grfico de dispersin y recta correspondiente mediante SPSS (de forma

    similar a como representamos arriba) aplicamos: Grficos/dispersin/lineal/simple, Una

    vez dibujada la nube de puntos se pulsa dos veces sobre la misma y se pide al cuadro de

    dilogo que nos proporcione la recta ajustada total.

    2.5. Anlisis de la regresin versus contraste de medias.

    Tal y como hemos indicado al principio, el anlisis de la regresin para el caso en que la

    variable X es de tipo cualitativo es un anlisis anlogo al de contraste de medias usado

    tan frecuentemente en el mbito de la experimentacin. El referido contraste de medias

    se desarrolla en la paquete estadstico SPSS activando el comando ANOVA. A partir de

    idntico archivo de datos como el de antes, podramos ejecutar dicho comando para los

    datos que nos ocupan aplicando las siguientes rdenes: Analizar/Comparar

    medias/ANOVA de un factor (especificando cul es la variable dependiente y cul la

    independiente). Los resultados de dicho anlisis deben coincidir exactamente con

    aquellos proporcionados por el anlisis de la regresin desarrollado antes. Solicitando

    algunos estadsticos descriptivos adicionales a dicho comando ANOVA que nos sirven

    para interpretar y concluir sobre los resultados, las salidas proporcionadas son las

    siguientes:

    Estadsticos descriptivos

    N Mnimo Mximo Suma Media Desv. tp.

    SEXO 8 ,00 1,00 4,00 ,5000 ,53452

    HABILIDA 8 20,00 49,00 288,00 36,0000 11,96423

    N vlido (segn lista) 8

    ANOVA

    Suma de

    cuadrados gl Media

    cuadrtica F Sig.

    Inter-grupos 800,000 1 800,000 23,762 ,003

    Intra-grupos 202,000 6 33,667

    Total 1002,000 7

    Como observamos, obtenemos un cuadro de resultados idntico al presentado

    anteriormente en el caso de la regresin. Adems, si dentro de esta va de anlisis

    hacemos la peticin de evaluar el supuesto de la igualdad de varianzas (dentro del

    comando opciones), la prueba de Levene nos ofrece la confirmacin o no del

    cumplimiento de este supuesto, tan importante como sabemos para la utilizacin de los

    anlisis que estamos llevando a cabo (recurdese que dentro del comando regresin el

    estudio de dicho supuesto se haca mediante la graficacin de la relacin entre los

    valores predichos y los errores). Pues bien, la peticin de la prueba de Levene para

    nuestros datos nos informa lo siguiente: Prueba de homogeneidad de varianzas

    Estadstico de Levene Gl1 gl2 Sig.

    ,727 1 6 ,426

    Dados estos resultados, concluimos que efectivamente la homogeneidad de las

    varianzas de error (homocedasticidad) se cumple puesto que la diferencia entre la

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    53

    varianza de los datos en el grupo de mujeres respecto a la de los varones puede

    explicarse por azar en una proporcin alta (.426).

    3. Regresin con variable politmica.

    Cuando la variable X en un anlisis de la regresin es cualitativa de ms de dos

    categoras, el anlisis es similar al realizado con anterioridad. Sin embargo, puede

    resultar til desarrollar a continuacin un ejemplo que muestre algunas de sus

    particularidades.

    3.1. Codificacin.

    Supongamos que se desea conocer si el tipo de asistencia que reciben los nios de 2

    aos durante la jornada matinal incide en alguna medida en su nivel evolutivo. Se

    identifican tres tipos de asistencia diferentes: En guardera (X1), en casa asistido por un

    cuidador no familiar (X2) y en casa asistido por uno de sus padres (X3). Los resultados

    obtenidos se ofrecen en la siguiente tabla:

    Sujeto Tipo de asistencia Nivel evolutivo Medias por grupo

    1 Guardera 100

    2 Guardera 120

    3 Guardera 140

    4 Guardera 130

    5 Guardera 90

    116

    6 C. no familiar 96

    7 C. no familiar 87

    8 C. no familiar 97

    9 C. no familiar 100

    10 C. no familiar 100

    96

    11 Progenitor 130

    12 Progenitor 130

    13 Progenitor 140

    14 Progenitor 110

    15 Progenitor 105

    123

    Las puntuaciones medias obtenidas permiten realizar una primera interpretacin de los

    datos a nivel descriptivo respecto al nivel evolutivo de los nios afectados por cada tipo

    de cuidado. Observamos que la media del grupo de nios cuidado por el progenitor es la

    ms alta seguida por la del grupo de nios cuidados en guardera; por ltimo, los nios

    de nivel evolutivo inferior parecen ser aquellos cuidados por una persona ajena a la

    familia. Si existen o no diferencias significativas entre dichos niveles es algo de lo que

    se encargar de responder los anlisis que siguen.

    Recurdese que en el caso de una X de tipo dicotmico el archivo de datos contena una

    sola columna para dicha X mediante la cual se conoca, utilizando los cdigos 1 y 0, la

    categora a la que perteneca cada uno de los sujetos (la condicin de X por la que

    estaba afectado). Ahora con tres valores de X no es posible agotar todas las

    posibilidades de asociacin sujetos-valores mediante este sistema pues tenemos tres

    alternativas de pertenencia. Sin embargo, utilizando dos columnas para representar dos

    de las tres categoras de que consta la variable X es suficiente para conocer toda esta

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    54

    informacin necesaria1. En general, podemos decir que se necesitan K-1 columnas de

    identificacin de la variable cualitativa para tener toda la informacin sobre qu

    condicin concreta de X afecta a cada sujeto (siendo K el nmero de categoras que

    adopta la variable X). As, por ejemplo, la codificacin siguiente para cada una de las

    dos categoras de X (X1 = guardera) (X2 = cuidador no familiar) sera suficiente para

    plasmar toda la informacin sobre la categora a la que pertenece cada uno de los 15

    sujetos que compone la muestra:

    Sujetos X1

    (guardera)

    X2

    (no familiar) Y

    Medias

    por

    grupo

    1 1 0 100

    2 1 0 120

    3 1 0 140

    4 1 0 130

    5 1 0 90

    116

    6 0 1 96

    7 0 1 87

    8 0 1 97

    9 0 1 100

    10 0 1 100

    96

    11 0 0 130

    12 0 0 130

    13 0 0 140

    14 0 0 110

    15 0 0 105

    123

    La lectura de la tabla anterior sera la siguiente: Un valor 1 en la primera columna y un

    0 en la segunda indica que el sujeto pertenece a la primera categora; un valor 0 en la

    primera y un 1 en la segunda que el sujeto pertenece a esta segunda; por ltimo, ceros

    en ambas columnas identifica a un sujeto que no pertenece ni a la primera categora ni a

    la segunda sino a la tercera (no existente en el archivo que es el cuidado por el

    progenitor).

    3.2. Aplicacin con SPSS.

    A partir del siguiente archivo de datos, tal y como ha quedado justificado en el apartado

    de la codificacin anterior, en formato SPSS:

    1 Tngase en cuenta que la introduccin de una tercera columna para representar la ltima de las

    categoras de X contempladas, supondra una redundancia sobre la informacin precedente, es decir,

    constituira una columna colineal (de informacin totalmente redundante) con las anteriores por lo que los

    clculos de las estimaciones del modelo de regresin seran imposibles.

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    55

    se activa el comando regresin/lineal de dicho paquete para estimar la ecuacin de

    regresin del modelo as como su significacin estadstica. En dicho comando se

    especifica que la variable dependiente es el nivel evolutivo y las independientes las dos

    X representadas en las columnas del archivo de datos (guardera y cuidado no familiar),

    obteniendo los siguientes resultados:

    Resumen del modelo

    ,648a ,420 ,323 15,03884

    Modelo

    1

    R R cuadradoR cuadradocorregida

    Error tp. de laestimacin

    Variables predictoras: (Constante), casanfamiliar, guarderaa.

    Como ya sabemos, este cuadro (resumen del modelo) informa que la proporcin de

    variacin del nivel evolutivo de los nios por cuenta del tipo de cuidado que reciben en

    periodo laboral es del .420. Adems, la relacin analizada es significativa (=.05),

    puesto que la tabla de ANOVA siguiente proporciona un valor de F = 4.34, con una p =

    .038

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    56

    Coeficientesa

    123,000 6,726 18,288 ,000

    -7,000 9,511 -,187 -,736 ,476

    -27,000 9,511 -,721 -2,839 ,015

    (Constante)

    guardera

    casanfamiliar

    Modelo

    1

    B Error tp.

    Coeficientes noestandarizados

    Beta

    Coeficientesestandarizad

    os

    t Sig.

    Variable dependiente: nivela.

    As pues, tenemos que la ecuacin de regresin es:

    21 00.2700.700.123 XXY =

    La interpretacin de cada uno de estos coeficientes es la siguiente:

    - 123 es el nivel evolutivo esperado para los nios que puntan 0 tanto en X1 como en X2. Es decir, cuando no han sido cuidados ni en guardera ni por una

    persona no familiar, por tanto para aquellos que han sido cuidados por el

    progenitor:

    123)0(00.27)0(00.700.123 ==progenitorY

    - (-7) es el efecto que se espera se produzca sobre 123 cuando el sujeto punta 1

    en X1 y 0 en X2, es decir, cuando el nio ha sido cuidado en la guardera. De

    otra forma, es el valor esperado del nivel evolutivo para aquellos nios cuidados

    en guardera presentando una puntuacin en 7 puntos inferior a la esperada en

    aquellos nios cuidados por el progenitor:

    116)0(00.27)1(00.700.123 ==guarderaY

    - (-27) es el efecto que se espera se produzca sobre 123 cuando el sujeto punta 0 en X1 y 1 en X2., es decir, cuando el nio ha sido cuidado por una persona no

    familiar. Por lo tanto, el valor esperado del nivel evolutivo para estos nios es:

    96)1(00.27)0(00.700.123 ==nofamiliarY

    Obsrvese que estas puntuaciones estimadas coinciden con los promedios por grupo

    calculados arriba en el archivo de datos.

    Las significaciones que acompaan a cada uno de los coeficientes en la ecuacin nos

    indican (=.05) que:

    a) el coeficiente de X1 no resulta significativo (p=.476>.05) por lo que podemos afirmar que cuidar a los nios en la guardera (X1) respecto a hacerlo con el

    progenitor )7123( 10 == bbY no conlleva una diferencia sustancial en su

    nivel evolutivo a pesar de la disminucin de 7 puntos en su efecto estimado.

    b) por su parte, el coeficiente de X2 (p=.015

  • 3. Regresin con variables cualitativas

    57

    hacerlo con el progenitor hace disminuir significativamente su nivel evolutivo

    esperado en una cantidad de 27 puntos )27123( 20 == bbY .