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IngenieríaElectromagnética

Relación de Ejercicios

Profesor: Enrique Márquez Segura

Curso académico 2019-2020, v 0.3.1415,

Grado en Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación

E.T.S. de Ingeniería de TelecomunicaciónUniversidad de Málaga

Curso 2019/2020 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética

Contenido

1. Introducción a la radiofrecuencia y microondas 4

Ejercicio 1.1 Validez de la teoría de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ejercicio 1.2 Propagación en medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Análisis de circuitos para Ingeniería Electromagnética 6

Ejercicio 2.1 Resonancia serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Ejercicio 2.2 Bipuerto en T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Ejercicio 2.3 Bipuerto en Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ejercicio 2.4 Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ejercicio 2.5 Conversión de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ejercicio 2.6 Cálculo de parámetros ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ejercicio 2.7 Parámetros admitancia en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ejercicio 2.8 Adaptación de la impedancia de entrada de una antena . . . . . . . . 9Ejercicio 2.9 Adaptación de impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ejercicio 2.10 Adaptación de impedancias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ejercicio 2.11 Adaptación de impedancias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ejercicio 2.12 Pérdidas de inserción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ejercicio 2.13 Adaptación conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Ejercicio 2.14 Equivalente de Thèvenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Ejercicio 2.15 Parámetros a partir de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ejercicio Práctico p2.1 Función para la adaptación de impedancias . . . . . . . . 12

3. Medios de transmisión guiados 13

Ejercicio 3.1 Guía rectangular. Frecuencias de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ejercicio 3.2 Guía rectangular. Frecuencias de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ejercicio 3.3 Guía rectangular. Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Ejercicio 3.4 Guía rectangular rellena con dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicio 3.5 Guía rectangular. Frecuencias de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicio 3.6 Guía rectangular, múltiples modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicio Práctico p3.1 Función para el cálculo de modos en la guía rectangular . 15

4. Circuitos con líneas de transmisión 16

Ejercicio 4.1 Onda estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ejercicio 4.2 Transferencia de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ejercicio 4.3 Potencia y atenuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ejercicio 4.4 Parámetros de la línea de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Ejercicio 4.5 Línea de transmisión cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Ejercicio 4.6 Transformador en λ/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Ejercicio 4.7 Potencia en la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2

Ejercicio 4.8 Potencia en la carga y onda estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ejercicio 4.9 Circuito equivalente de la línea de transmisión . . . . . . . . . . . . . 19Ejercicio 4.10 Incidencia sobre una discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ejercicio 4.11 Línea de transmisión con generador y carga . . . . . . . . . . . . . 20Ejercicio 4.12 Línea de transmisión con generador y carga . . . . . . . . . . . . . 20Ejercicio 4.13 Línea de transmisión con pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Ejercicio 4.14 Línea de transmisión con bajas pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . 21Ejercicio 4.15 Transformación de impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ejercicio 4.16 Impedancia de entrada y armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ejercicio 4.17 Resonador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Ejercicio 4.18 Resonancia serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5. Representación de circuitos con múltiples puertos 24

Ejercicio 5.1 Propiedades de la matriz de parámetros S . . . . . . . . . . . . . . . 24Ejercicio 5.2 Cálculo de parámetros S de bipuertos . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Ejercicio 5.3 Cálculo de parámetros S de línea con discontinuidad . . . . . . . . . 25Ejercicio 5.4 Cálculo de parámetros T de bipuertos . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ejercicio 5.5 Cálculo de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ejercicio 5.6 Parámetros S de bipuertos en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ejercicio 5.7 Ganancias de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6. Transformación y adaptación de impedancias con líneas de transmisión 28

Ejercicio 6.1 Cálculos con la carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Ejercicio 6.2 Cálculos con la carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Ejercicio 6.3 Cálculos con la carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Ejercicio 6.4 Cálculos con la carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Ejercicio 6.5 Cálculos con la carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Ejercicio 6.6 Adaptación con un stub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Ejercicio 6.7 Adaptación de carga compleja con transformador en lambda/4 . . . 30Ejercicio 6.8 Adaptación de carga resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Ejercicio 6.9 Adaptación de carga con elementos concentrados . . . . . . . . . . . 30

7. Ejercicios globales 32

Ejercicio 7.1 (Junio 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Ejercicio 7.2 (Febrero 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Ejercicio 7.3 (Septiembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ejercicio 7.4 (Septiembre 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ejercicio 7.5 (Septiembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ejercicio 7.6 (Febrero 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ejercicio 7.7 (junio 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ejercicio 7.8 (Septiembre 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Ejercicio 7.9 (Septiembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Ejercicio 7.10 (Febrero 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ejercicio 7.11 Septiembre 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ejercicio 7.12 (Septiembre 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Ejercicio 7.13 (Febrero 2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


Tema 1

Introducción a la radiofrecuencia y

microondas

Ejercicio 1.1. Validez de la teoría de circuitos

Considere la tabla que se muestra a continuación donde se muestran las bandas de frecuenciasasignadas a diferentes servicios y sistemas de comunicaciones.

Banda Frecuencia

RF HF 3 MHZ-30 MHzVHF 30 MHZ-300 MHzUHF 300 MHZ-1 GHz

Microondas L 1 GHZ - 2GHzS 2 GHZ - 4 GHzC 4 GHZ - 8 GHzX 8 GHZ - 12 GHzKu 12 GHZ - 18 GHzK 18 GHZ - 27 GHzKa 27 GHZ - 40 GHz

Milimétricas Q 30 GHZ - 50GHzU 40 GHZ - 60 GHzV 50 GHZ - 75 GHzE 60 GHZ - 90 GHzW 75 GHZ - 110 GHzF 90 GHZ - 140 GHzD 110 GHZ - 179 GHz

a. Estime las dimensiones máximas de los circuitos para cada una de las bandas de frecuenciasde forma que se puedan considerar despreciables los fenómenos de propagación.

b. Considere una onda plana propagándose en espacio libre a cada una de las bandas defrecuencia que se muestran en la tabla. Determine la velocidad de fase, la constante depropagación y el retardo en propagar se la onda una distancia de una longitud de onda.

Solución Ej.1.1.

no disponible.

4


Ejercicio 1.2. Propagación en medios

En un cierto medio homogéneo, la velocidad de grupo se ha determinado experimentalmenteen un determinado ancho de banda. Tras procesar los datos se ha podido establecer que estavelocidad se puede modelar mediante la expresión vg =

√Aω donde A es una constante y ω

la pulsación. Asumiendo que se trata de un medio no magnético, determine la relación entre lavelocidad de fase y la velocidad de grupo.

Solución Ej.1.2.

vf =1

2vg.

5


Tema 2

Análisis de circuitos para Ingenie-

ría Electromagnética

Ejercicio 2.1. Resonancia serie

Suponga el circuito de la gura funcionando en régimen permanente sinusoidal con una tensiónde entrada vi(t) de amplitud 12V. Suponiendo que la inductancia es de 12mH y la resistencia de3 Ω,

a. determine el valor de la capacidad necesaria para que el circuito resuene a la frecuencia de9kHz.

b. Determine el valor de la amplitud de la corriente máxima en el circuito y la frecuencia ala que se produce.

c. Determine el valor máximo de la tensión en el inductor.

d. Determine el valor máximo de la tensión en el condensador.

vi(t) vo(t)

R L

C

+

−

+

−

Solución Ej.2.1.

a. 26 nF

b. |I|mx = 4A

c. |VL|max = 2, 71 · 103 V

d. |VC |max = 2, 72 · 103 V

Ejercicio 2.2. Bipuerto en T

Determine los parámetros impedancia, Z, del circuito de la gura.

6


Z1 Z3

Z2P1 P2

Solución Ej.2.2.

Z11 = Z1 + Z2, Z21 = Z12 = Z2, Z22 = Z2 + Z3.

Ejercicio 2.3. Bipuerto en Pi

Determine los parámetros admitancia, Y, del circuito de la gura.

Z1 Z3

Z2

P1 P2

Solución Ej.2.3.

Y11 = Y1 + Y2, Y21 = Y 12 = −Y2, Y22 = Y2 + Y3

Ejercicio 2.4. Circuitos equivalentes

a. Demuestre que el circuito mostrado en la gura puede ser un modelo circuital equivalentepara un circuito pasivo caracterizado por sus parámetros Z.

Z11 − Z12 Z22 − Z12

Z12

+

−

+

−

V1 V2

I1 I2

P1 P2

b. Obtenga un circuito empleando elementos concentrados para un bipuerto que presenta unamatriz de parámetros Z con Z11 = Z22 = (30 + j20)Ω y Z21 = Z12 = 30Ω

Solución Ej.2.4.

a. Z′11 = Z1, Z

′21 = Z

′12 = Z12, Z

′22 = Z22.

7


b.

j20Ω j20Ω

30Ω

Ejercicio 2.5. Conversión de parámetros

Demuestre que si el parámetro C es distinto de cero, los parámetros ABCD de un bipuertopueden transformarse en parámetros Z mediante las siguientes relaciones: Z11 = A/C, Z12 =(AD −BC)/C, Z21 = 1/C, Z22 = D/C.

Ejercicio 2.6. Cálculo de parámetros ABCD

a. Determine los parámetros ABCD de los bipuertos de la gura.

Z/2

Z/2

P1 P2 ZP1 P2

b. A partir de las matrices obtenidas en el apartado anterior, determine la matriz de paráme-tros ABCD del siguiente bipuerto.

Z1/2 Z3/2

Z2

Z1/2 Z3/2

P1 P2

Solución Ej.2.6.

a.

[A BC D

]=

[1 Z0 1

],

[A BC D

]=

[1 0

1/Z 1

].

b. A =Z1 + Z2

Z2,B =

Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z2, C =

1

Z2, D =

Z3 + Z2

Z2.

8


Ejercicio 2.7. Parámetros admitancia en cascada

Dos bipuertos caracterizados por sus parámetros admitancia se conectan en cascada. Determinela matriz admitancia resultante de la conexión.

[Ya] [Yb]

+

−

+

−V1 V2

I1 I2+

−

+

−V3 V4

I3 I4

Solución Ej.2.7.

Y11c = Y11a−Y12aY21aY22a + Y11b

, Y22c = Y22b−Y12bY21bY22a + Y11b

, Y21c = − Y21aY21bY22a + Y11b

, Y12c = − Y12aY12bY22a + Y11b

.

Ejercicio 2.8. Adaptación de la impedancia de entrada de una antena

Una antena diseñada para trabajar a una frecuencia de 500MHz con una impedancia de antenade 75 Ω se conecta a un receptor que presenta una impedancia de entrada de 50 Ω. Diseñe uncircuito de adaptación con una respuesta en frecuencia de tipo paso alto que permita transferirla máxima potencia al receptor por parte de la antena.

Solución Ej.2.8.

+

Va

50Ω

3, 37nH

9pF

75Ω

Ejercicio 2.9. Adaptación de impedancia

Un generador de impedancia interna de Rg = 50Ω debe entregar su máxima potencia disponiblea una carga de Rl =25Ω. Determine un bipuerto de adaptación M que permita cumplir conla especicación mencionada anteriormente. Determine el valor de tensión que debería tener elgenerador para que la potencia media entregada a la carga sea de 200mW.

M

+Vg

Rg

Rl

9


Solución Ej.2.9.

No disponible

Ejercicio 2.10. Adaptación de impedancias complejas

La impedancia de entrada equivalente de un transistor es de 10 Ω en serie con 0.2 µH a lafrecuencia de trabajo. Diseñe un bipuerto de adaptación de forma que la impedancia de entradase transforme en 50Ω a la frecuencia de 20MHz.

Solución Ej.2.10.

No disponible.

Ejercicio 2.11. Adaptación de impedancias complejas

Un circuito presenta una impedancia de entrada de Zin = 100 + j25,1Ω. Determine un bipuertode adaptación para que a la frecuencia de 50 MHz la impedancia de entrada al conjunto sea de50 Ω.

Solución Ej.2.11.

No disponible.

Ejercicio 2.12. Pérdidas de inserción

El circuito de la gura muestra un bipuerto caracterizado por sus parámetros admitancia cargadopor una impedancia de carga real RL y excitado por un generador real de resistencia Rg.

[Y ]

+

−

+

−V1 V2

I1 I2+

Vg

Rg

Rl

a. Asumiendo que se trata de un bipuerto constituido únicamente por inductores y condensa-dores, exprese el valor de Rl necesario para que el generador entregue la máxima potenciadisponible a la carga en función de los parámetros del bipuerto.

b. Determinar las pérdidas de inserción para el valor de Rl calculado en el apartado anterior.

Solución Ej.2.12.

No disponible.

10


Ejercicio 2.13. Adaptación conjugada

Considere el circuito mostrado en la gura:

+Vg

Rg = 2Ω

Rl = 4Ω

C = 1/4F

L = 2H

a. Determine las frecuencias a las que se producen la transferencia de potencia máxima ymínima.

b. Determine las pérdidas de inserción del bipuerto de la gura a la frecuencia en la que latransferencia de potencia a la carga es máxima.

Solución Ej.2.13.

No disponible.

Ejercicio 2.14. Equivalente de Thèvenin

El circuito de la gura muestra dos bipuertos caracterizados por sus parámetros impedanciaconectados en cascada.

[Za] [Zb]

+Vg

Rg

Rl

A

A′

a. Determine el equivalente de Thèvenin visto hacia la izquierda del plano A-A'.

b. Determine la impedancia vista a la derecha del plano A-A'.

Solución Ej.2.14.

a. VTH = VgZ12a

Rg + Z11a, ZTH = Z22a −

Z212a

Rg + Z11a

b. Z′b = Z11b −

Z12b

Rl + Z22b

c.P2

Pdisp=|RTH +R

′b|2

4Rl

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Ejercicio 2.15. Parámetros a partir de medidas

Para caracterizar un bipuerto se realizaron las siguientes medidas

1. Con el puerto dos en circuito abierto, se aplicó un generador en el puerto uno de V1 = 100]0

resultando las medidas I1 = 10]0 y V2 = 50]0 .

2. Con el puerto uno en circuito abierto, se aplicó un generador en el puerto dos de V2 = 100]0

resultando las medidas I2 = 20]0 y V1 = 50]0 .

A partir de las medidas realizadas:

a. Determine la matriz de parámetros Z del bipuerto bajo prueba.

b. Determine la potencia entregada a un resistor colocado en el puerto dos de 10Ω cuando seconecta un generador valor Vg = 100]0 en el puerto uno.

Solución Ej.2.15.

No disponible.

Ejercicio Práctico p2.1. Función para la adaptación de impedancias

Con el n de automatizar el proceso de cálculo de circuitos de adaptación de impedancias realesen L, implemente empleando MatLab u Octave 1 una función que permita realizar el cálculo yla topología del circuito. La función debe tener la siguiente sintaxis:

[Xs,Xp,top]=adaptaLC(Rg,Rl,frec);

% Rg: impedancia del generador

% Rl: impedancia de la carga

% frec: frecuencia de diseño

%

% Xs: Reactancia serie

% Xp: reactancia paralelo

% top: 0 primer elemento anexo a la carga serie

% 1 primer elemento anexo a la carga paralelo

%

1https://www.gnu.org/software/octave

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Tema 3

Medios de transmisión guiados

Ejercicio 3.1. Guía rectangular. Frecuencias de corte

Se dispone de una guía rectangular con lados formados por paredes metálicas de aluminio ydimensiones a = 2cm y b = 1cm rellena con dieléctrico de permitividad 6.

a. Determine las frecuencias de corte de los cinco primeros modos que aparecerían en laestructura suponiendola inicialmente sin pérdidas (paredes de conductor perfecto).

b. Determine la atenuación (dB/100m) para el modo fundamental a 1,5fc (σAl = 3,78 ·107Sm−1).

Solución Ej.3.1.

No disponible.


Una guía de onda rectangular con dimensiones a = 2,5cm y b = a/2, opera en un sistema decomunicaciones a 14 GHz. Calcule los seis primeros modos que pueden propagarse en la estructuray las correspondientes frecuencias de corte en orden ascendente.

Solución Ej.3.2.

TE10, TE01,TE20,TE11,TM11.

Ejercicio 3.3. Guía rectangular. Dimensiones

Determine las dimensiones de una guía rectangular rellena con dieléctrico aire que permite tra-bajar en régimen monomodo en el rango de frecuencias de 9 a 14 GHz.

Solución Ej.3.3.

a = 1,667cm, b = 1,071cm.

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Ejercicio 3.4. Guía rectangular rellena con dieléctrico

a. Determine el rango de frecuencia de funcionamiento donde una guía rectangular de dimen-siones a = 2,286cm y b = 1,016cm puede operar en régimen monomodo.

b. A continuación esa misma guía se rellena con un dieléctrico con el objetivo de disminuirlas frecuencias de funcionamiento en un 70% de sus valores originales. Determine la per-mitividad relativa del dieléctrico necesario.

Solución Ej.3.4.

a. 6.56 a 13.12 GHz.

b. εr = 2,04


El alimentador de un reector parabólico se realiza mediante una bocina excitada por una guíacuadrada de lado a.

a. Determine la frecuencia de corte de los cinco primeros modos de la guía.

b. Se pretende trabajar a una frecuencia de 18 GHz. Determine el valor del lado de la guíapara que funcione justo a la frecuencia central de funcionamiento del primer modo.

Solución Ej.3.5.

No disponible.

Ejercicio 3.6. Guía rectangular, múltiples modos

Para una guía rectangular con dimensiones a = 2,286cm y b = 1,016cm, determine las constantesde propagación γmn para el modo TE10 cuando la guía de onda opera a la frecuencia de f =0,9 · fc10 y f = 1,1 · fc10, siendo fc10 la frecuencia de corte del modeo TE10

Solución Ej.3.6.

γ10(f = 0,9 · fc01) = −59,90m−1, γ10(f = 1,1 · fc01) = 62,98m−1

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Ejercicio Práctico p3.1. Función para el cálculo de modos en la guía

rectangular

Con el n de automatizar el proceso del cálculo de los modos en una guía rectangular, imple-mente empleando MatLab u Octave una función que permita determinar de forma ordenada lasfrecuencias de corte de los modos TE y los modos TM que pueden propagarse en función de losvalores geométricos. La función debe tener la siguiente sintaxis:

[fc,tipo,n,m]=RWGmodes(a,b,n,modos);

% a: impedancia del generador

% b: impedancia de la carga

% n: frecuencia de diseño

% tipo: 1: modos TE

% 2: modos TM

% 3: modos TE y TM

%

% fc: frecuencia de corte

% tipo: 1 TE, 2 TM

% n,m: índices del modo

%

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Tema 4

Circuitos con líneas de transmisión

Ejercicio 4.1. Onda estacionaria

Conteste a las siguientes cuestiones:

a. Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω se conecta a una carga resistivade 25 Ω. Determine el coeciente de onda estacionaria en la línea.

b. Una línea de transmisión terminada en circuito abierto se conecta a una línea que presenta1.25 longitudes de onda. Dibuje la variación de la tensión en cada punto de la línea.

c. Un generador se conecta a una línea de transmisión terminada en cortocircuito de longitudeléctrica una longitud de onda. Dibuje el diagrama de onda estacionaria en la línea.

Solución Ej.4.1.

No disponible.

Ejercicio 4.2. Transferencia de potencia

Un generador con una potencia disponible de 50mW se conecta a una línea de transmisión de50Ω. La impedancia característica de la línea es igual a la impedancia interna del generador. Enel otro extremo la línea de transmisión se conecta a una carga que resulta en un coeciente dereexión en la línea de 0.5. Determine la potencia disipada en la carga.

Solución Ej.4.2.

No disponible

Ejercicio 4.3. Potencia y atenuación

Según una determinada norma, la potencia máxima entregada a una antena ha de ser de 100Wpara garantizar el cumplimiento de la misma. La antena se conecta a un transmisor con impedan-cia interna igual a la impedancia de la línea que a su vez tiene el mismo valor que la resistenciade radiación de la antena. El cable empleado tiene una longitud de 50m y pérdidas de 5dB/100m.Determine la potencia máxima disponible del transmisor para cumplir con la normativa.

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Solución Ej.4.3.

No disponible

Ejercicio 4.4. Parámetros de la línea de transmisión

Considere una línea de transmisión caracterizada por los siguientes parámetros primario:

(a) Resistencia por unidad de longitud: Ru = 1,722× 10−4Ω/m

(b) Capacidad por unidad de longitud: Cu = 1,320× 10−10F/m

(c) Inductancia por unidad de longitud: Lu = 5,884× 10−7H/m

Determinar a la frecuencia de 10 GHz:

a. La impedancia característica de la línea

b. La constante de propagación de la línea

c. La velocidad de fase de la línea

d. El retardo que se origina en una línea de 2 km de longitud.

Solución Ej.4.4.

No disponible

Ejercicio 4.5. Línea de transmisión cargada

En una línea de transmisión sin pérdidas que se encuentra trabajando en régimen permanentesinusoidal, de impedancia característica Zo = 50Ω y terminada por una impedancia de carga de150 + j20Ω, determine para la frecuencia de trabajo de 2 GHz:

a. El coeciente de reexión en la carga.

b. El módulo de las ondas de tensión y de corriente en cada punto de la línea.

c. La impedancia vista a 50 cm de la carga.

d. El coeciente de onda estacionaria y su relación con los valores máximos y mínimos deimpedancia que presenta la línea.

ZL = 150 + j20Ω

l

Zo = 50Ω

l = 0l = d

Solución Ej.4.5.

a) 3 + 4j. b) Zin = 48.

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Ejercicio 4.6. Transformador en λ/4

Suponga dos líneas de transmisión con impedancias características distintas Zo1 y Zo2. Si ambaslíneas se conectan entre sí aparecerá una onda reejada en la unión entre ambas si no poseen lamisma impedancia característica. Demostrar que:

a. si se inserta entre las dos líneas de transmisión una tercera de impedancia característi-ca Zo3 =

√Zo1 · Zo2 y longitud λ/4 la onda reejada desaparece y toda la potencia es

transmitida a una carga adaptada con la que se termina la línea de impedancia Zo2.

b. si las impedancias de las líneas Zo1 y Zo2 son idénticas, Zo1 = Zo2, y la línea insertada esde longitud λ/2 no existirán reexiones.

c. la magnitud del coeciente de reexión es proporcional a la longitud eléctrica de la líneaintermedia si esta es muy corta y se cumple Zo1 = Zo2.

ZL

l

Zo3Zo1 Zo2

Solución Ej.4.6.

No disponible.

Ejercicio 4.7. Potencia en la carga

Represente la tensión, la corriente y la potencia en función del tiempo en el extremo de una líneade transmisión en los siguientes casos, deduciendo de las guras la dependencia del valor mediode la potencia con el nivel de desadaptación de la línea:

a. La línea de transmisión esta terminada con una carga de valor igual a su impedanciacaracterística.

b. La línea de transmisión se encuentra terminada en una carga imaginaria pura.

c. La línea de transmisión se encuentra terminada en una carga que da lugar a un coecientede reexión de valor ρL = 0,4ej

π4 .

a)ZL = Z0

b)ZL = jXL

c)ZL = ρL = 0,4ejπ4

l

Zo = 50Ω

l = 0l = d

Solución Ej.4.7.

no disponible.

18


Ejercicio 4.8. Potencia en la carga y onda estacionaria

Considere una línea de transmisión sin pérdidas en la que existe una onda estacionaria pura(|ρL| = 1), calcular, en función de los parámetros circuitales:

a. Valores instantáneos de la tensión y la corriente en la línea.

b. Valores instantáneos y medios de la potencia transmitida.

ρL = ejφ

l

Zo

l = 0l = d

Solución Ej.4.8.

no disponible.

Ejercicio 4.9. Circuito equivalente de la línea de transmisión

Demostrar mediante la utilización del circuito equivalente de una línea de transmisión sin pérdi-das que la impedancia de entrada de una línea innitamente larga vale Zo =

√Lu/Cu.

Lu Lu Lu

Cu Cu Cu

Solución Ej.4.9.

No disponible.

Ejercicio 4.10. Incidencia sobre una discontinuidad

Una línea de transmisión sin pérdidas e impedancia característica Zo = 75 se bifurca en dos deigual impedancia característica Zo tal y como se muestra en la gura. La onda de tensión queviaja que viaja a lo largo de ella con V + = 3V incide sobre la discontinuidad generada en labifurcación.

a. Obtener las tensiones de la onda de tensión transmitida en cada una de las líneas de labifurcación, así como las tensiones de las ondas de tensión reejadas.

b. Calcular la potencia transmitida en cada una de las líneas bifurcadas .

19


Zo

Zo

Zo

Solución Ej.4.10.

No disponible.

Ejercicio 4.11. Línea de transmisión con generador y carga

Un generador de impedancia interna Zg alimenta una línea de transmisión de impedancia carac-terística Zo cargada por una impedancia de carga ZL.

a. Determinar la relación existente entre la tensión del generador y la tensión de la ondaincidente en la línea.

b. Obtener la relación entre la potencia disponible del generador y la potencia transmitidapor la onda incidente en los siguientes casos

1. El coeciente de reexión en la carga es nulo.

2. El generador está adaptado a la línea de transmisión.

+Vg

Zg

Z0

z = 0 z = l

ZL

Solución Ej.4.11.

No disponible.

Ejercicio 4.12. Línea de transmisión con generador y carga

Una posible avería en una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Zo =50Ω puede modelarse como una resistencia de valor R = 150Ω entre los dos conductores de lalínea de transmisión. En uno de los extremos la línea de transmisión tiene conectado un generadoradaptado a ella y potencia disponible 500 mW. En el extremo nal de la línea, ésta se encuentraadaptada.

a. Determinar los valores de las tensiones en las ondas incidentes y reejas antes y despuésde la avería.

20


b. Calcular la potencia disipada por la resistencia que modela la avería.

c. Obtener la relación porcentual de la potencia entregada a la carga, antes y después de laavería.

1. El coeciente de reexión en la carga es nulo.

2. El generador está adaptado a la línea de transmisión.

+Vg

Zg

Z0

z = 0 z = lR

Z0

z = l

ZLR

Solución Ej.4.12.

No disponible.

Ejercicio 4.13. Línea de transmisión con pérdidas

Una línea de transmisión bilar se ha construido con hilos de radio 500 µm y una resistencia porunidad de longitud de 0.03 Ω/m. La separación entre los conductores es de 3 cm y la conductanciade aislamiento es de 10−7(Ω ·m)−1. Se pretende transmitir una señal con una frecuencia de 100MHz.

a. Determinar si se trata de una línea de bajas pérdidas.

b. Calcular la distancia de la línea a la cual el valor de la amplitud de la onda de tensióndecrece un 5% de su valor.

c. Determinar el retardo temporal que se produce en la línea con la longitud estimada en elapartado anterior.

Considere los parámetros de la línea bilar dados por las siguientes expresiones:

L =µ0π

ln

(D

ro

)H/m C =

πε0

ln(Dro

)H/m

Solución Ej.4.13.

No disponible.

Ejercicio 4.14. Línea de transmisión con bajas pérdidas

Se dispone de una línea de transmisión de bajas pérdidas caracterizada por sus parámetros R,L, C, G por unidad de longitud. Determinar la potencia media disipada en R y G para una líneade longitud λ/4 cortocircuitada en su extremo nal.

21


Solución Ej.4.14.

No disponible.

Ejercicio 4.15. Transformación de impedancias

El circuito de la gura se emplea para transmitir una señal de frecuencia 1GHz.Suponiendo quese trata de una línea de transmisión sin pérdidas:

a. Determine la potencia entregada a la carga.

b. Calcule la longitud del tramo de línea de impedancia Zo1 = 75Ω que se debería de introducirpara que la potencia entregada a la carga fuera máxima.

Datos: Zg = 50Ω, Z01 = 50Ω, Z02 = 50√

2Ω, Z03 = 100Ω, ZL = 100Ω, l = λ/8.

Zg

Vg ZL

l

Zo2Zo1 Zo3

Solución Ej.4.15.

No disponible.

Ejercicio 4.16. Impedancia de entrada y armónicos

Un generador de reloj (señal cuadrada) se conecta a una línea de transmisión de dieléctrico airecomo se muestra en la gura. A la frecuencia del primer armónico de la señal de reloj la longitudde la línea es λ/4.

a. Determine la impedancia de entrada a la línea a la frecuencia del primer armónico.

b. Determine la impedancia de entrada a la línea a la frecuencia del segundo armónico.

Zg = Ro

Vg ZL = 9Ro

l

Zo = Ro

Solución Ej.4.16.

No disponible.

22


Ejercicio 4.17. Resonador

El circuito de la gura muestra dos líneas de transmisión sin pérdidas de igual longitud conectadasen paralelo y terminadas una de ellas en circuito abierto y la otra en cortocircuito. Determinarlas frecuencias de resonancia que aparecen en el circuito.

l l

Solución Ej.4.17.

No disponible.

Ejercicio 4.18. Resonancia serie

Una línea de transmisión terminada en circuito abierto y de longitud un cuarto de longitud deonda se comporta como una resonancia serie en torno a la frecuencia de resonancia. Deducir larelación entre la impedancia característica de la línea y los valores de un circuito RLC serie.

Solución Ej.4.18.

No disponible.

23


Tema 5

Representación de circuitos con

múltiples puertos

Ejercicio 5.1. Propiedades de la matriz de parámetros S

El circuito de la gura presenta la siguiente matriz de parámetros S:

[S] =

[0,2 j0,9j0,9 0,2

]

[S]P1 P2

a. Determine si se trata de un dispositivo recíproco y sin pérdidas.

b. Determine el coeciente de reexión que se obtendría en el puerto 1 si se cortocircuita eldispositivo en el puerto 2.

Solución Ej.5.1.

No disponible.

Ejercicio 5.2. Cálculo de parámetros S de bipuertos

Calcule la matriz de parámetros S de los bipuertos de la gura. Considere la impedancia en lospuertos Z0

Z1

(a)

P1 P2 Z2

(b)

P1 P2

Z1

Z2

(c)

P1 P2

24


Solución Ej.5.2.

a. S11 = S22 =Z1

Z1 + 2Z0, S12 = S21 =

2Z0

Z1 + 2Z0.

b. S11 = S22 =−Z0Y2

2 + Z0Y2, S12 = S21 =

2

2 + Z0Y2,

c. No disponible

Ejercicio 5.3. Cálculo de parámetros S de línea con discontinuidad

Calcule la matriz de prámetros S del bipuerto de la gura. Considere la impedancia en los puertosZ0.

Zx

Z0 jβ Z0 jβ

λ/8λ/8

P1 P2

Solución Ej.5.3.

No disponible.

Ejercicio 5.4. Cálculo de parámetros T de bipuertos

Calcule la matriz de parámetros T de los bipuertos de la gura. Considere la impedancia en lospuertos Z0.

Z1

(a)

P1 P2 Z2

(b)

P1 P2

Z1

Z2

(c)

P1 P2

Solución Ej.5.4.

No disponible.

25


Ejercicio 5.5. Cálculo de tensiones

Un bipuerto caracterizado por sus parámetros S se conecta a una carga ZL como se muestra enla gura.

[S]

+Vg

Zg

Zl

a. Determine V2 si ZL = Z0.

b. Determine V2 si ZL 6= Z0.

Solución Ej.5.5.

No disponible.

Ejercicio 5.6. Parámetros S de bipuertos en cascada

Considere dos bipuertos conectados en cascada como se muestra en la gura.

[S(a)] [S(b)]

a. Demuestre el parámetro S11 resultante viene dado por:

S11 = S(a)11 +

S(a)21 S

(a)12 S

(b)11

1− S(a)22 S

(b)11

b. Demuestre el parámetro S21 resultante viene dado por:

S21 =S(a)21 S

(b)21

1− S(a)22 S

(b)11

Solución Ej.5.6.

No disponible.

Ejercicio 5.7. Ganancias de potencia

Demuestre que las expresiones para las diferentes deniciones de potencias en un bipuerto ca-racterizado por sus parámetros S y excitado por un generador y terminado por una impedanciade carga son correctas.

26


[S]

+Vg

Zg

Zl

Pavs Pin Pavout PL

a. Ganancia de potencia

G =PLPin

=1

1− |ρin|2|S21|2

1− |ρL|2

|1− S22ρL|2

b. Ganancia disponible

Gav =PavoutPavs

=1− |ρs|2

|1− S11ρs|2|S21|2

1

1− |ρout|2

c. Ganancia de transducción

GT =PLPavs

=1− |ρs|2

|1− S11ρs|2|S21|2

1− |ρL|2

|1− ρoutρL|2

Solución Ej.5.7.

No disponible.

27


Tema 6

Transformación y adaptación de

impedancias con líneas de trans-

misión

Ejercicio 6.1. Cálculos con la carta de Smith

Para este ejercicio debe emplear la carta de Smith.

a. Considerando una impedancia de referencia de 50 Ω, determine el coeciente de reexiónde las siguientes impedancias y su coeciente de onda estacionaria.

1. ZA = 50− j50Ω

2. ZB = −j75Ω

3. ZC = j25Ω

4. ZD = 150Ω

b. Considerando una impedancia de referencia de 50 Ω, determine el coeciente de reexiónde las siguientes admitancias

1. YA = 0,3 + j0,5f2. YB = 0,1− j0,25f3. YC = j0,05f4. YD = 0,015f

Solución Ej.6.1.

No disponible.


Una línea de transmisión de 50Ω y longitud 0.4 λ se encuentra terminada con una admitanciade 0,01− j0,04f. Haciendo uso de la carta de Smith determine:

a. La impedancia de entrada

b. La admitancia de entrada

c. El coeciente de reexión de entrada

28


Solución Ej.6.2.

No disponible.


Una impedancia de carga de valor ZL = 150 − j150Ω se conecta a una línea de transmisión delongitud 2 cm e impedancia característica Z0 = 75Ω. La citada línea presenta una longitud deonda de 6 cm, determine:

a. La impedancia de entrada

b. la frecuencia de operación si la velocidad de fase es 0.77 veces la velocidad de la luz

c. El coeciente de onda estacionaria

Solución Ej.6.3.

No disponible.


Una línea de transmisión de 50 Ω se usa para realizar un "stub"de adaptación cortocircuitándolaa su salida. Empleando la carta de Smith determine la mínima longitud necesaria en longitudesde onda para obtener las siguientes reactancias de entrada:

a. Zin = j25Ω

b. Zin = j50Ω

c. Zin = j150Ω

d. Zin = −j50Ω

Solución Ej.6.4.

No disponible.


Una impedancia de carga de valor desconocido se conecta a una línea de transmisión sin pérdidasde longitud 0,4λ y 50Ω de impedancia característica. El coeciente de onda estacionaria medidoes de 2 y la fase del coeciente de reexión 20deg. empleando la carta de Smith determine lasimpedancias de entrada y de carga.

Solución Ej.6.5.

No disponible.

29


Ejercicio 6.6. Adaptación con un stub

Una determinada impedancia de carga de valor 100 + j75Ω se desea conectar a un sistema conimpedancia de referencia de 50Ω. Determine las longitudes de un tramo de línea de transmisióny una línea de transmisión de conectada en paralelo para conseguir adaptar la carga.

Solución Ej.6.6.

No disponible.

Ejercicio 6.7. Adaptación de carga compleja con transformador en lambda/4

Una determinada impedancia de carga de valor 25 − j75Ω se desea conectar a un sistema conimpedancia de referencia de 50Ω. Determine la longitude de un tramo de línea de transmisión yde la impedancia de una línea en de longitud λ/4 para conseguir adaptar la carga.

Solución Ej.6.7.

No disponible.

Ejercicio 6.8. Adaptación de carga resistiva

Adapte una impedancia de carga de 200Ω a un generador real de impedancia 100Ω mediante lossiguientes procedimientos.

a. elementos concentrados.

b. Una línea de transmisión y un stub en serie.

c. Un transformador de línea de transmisión de longitud λ/4

Solución Ej.6.8.

No disponible.

Ejercicio 6.9. Adaptación de carga con elementos concentrados

Adapte las siguientes impedancias a un generador de 50Ω empleando elementos concentrados yhaciendo uso de la carta de Smith.

a. ZL = 10− j5Ω

b. ZL = 10 + j30Ω

c. ZL = 100 + j50Ω

d. ZL = 20− j40Ω

30


Solución Ej.6.9.

No disponible.

31


Tema 7

Ejercicios globales

Ejercicio 7.1. (Junio 2015)

Una guía rectangular ha sido construida para trabajar en un radar en la banda de frecuenciasde 24 a 28 GHz. Se trata de una guía WR34 con dimensiones a = 0,420 pulgadas y b = 0,25pulgadas (1 pulgada = 25.4 mm). Con el n de introducir un amplicador de potencia en lamisma es necesario ensanchar la guía para poder insertarlo.Determine las dimensiones máximas de la guía intermedia con la restricción de que debe sercuadrada a = b para que en el rango de funcionamiento propuesto solo se propaguen los dosprimeros modos en el tramo introducido.

a1

a2

b1

b2

Solución Ej.7.1.

No disponible.

Ejercicio 7.2. (Febrero 2014)

Se pretende construir una guía de ondas rectangular rellena con dieléctrico aire de dimensionesa × b, b < a < 2 · b, para operar a la frecuencia de 10GHz con su modo dominante. Comoespecicaciones se considera que debe operar al menos un 20 % por encima de su frecuencia decorte y al menos un 20 % por debajo de la frecuencia de corte del primer modo superior.

a. Determine un posible valor de las dimensiones a y b para cumplir las condiciones estable-cidas.

b. Explique el porqué de la necesidad de los margenes en frecuencia establecidos para elfuncionamiento de la guía de ondas rectangular.

32


a

b

εr = 1

Solución Ej.7.2.

No disponible.

Ejercicio 7.3. (Septiembre 2013)

Dos guías rectangulares idénticas con una relación entre su altura y anchura dada por a = 2b ycon dieléctricos de relleno diferentes se conectan una a continuación de la otra como se muestraen la gura. La primera de las guías esta rellena de aire, mientras que la segunda de un dieléctricocon permitividad relativa ε

′r.

a. Determine el máximo valor permitido para ε′r de forma que puedan propagarse el modo

fundamental en ambas guías al mismo tiempo.

b. Determine una expresión para el ancho de banda de frecuencias de funcionamiento mono-modo en ambas guías en función de los parámetros geométricos y materiales.

a

b

εr εr = 1 ε′r

Solución Ej.7.3.

No disponible.


Una guía de onda rellena de aire, con relación de aspecto b=1.8a, se ha empleado para funcionaren régimen monomodo entre 7.5 y 13.5GHz. Para poder bajar la frecuencia de funcionamiento seprocede a rellenar con dieléctrico distinto del aire. Determine el valor de la permitividad relativadel dieléctrico necesario para funcionar en régimen monomodo en el rango de frecuencias entre4.75 y 8.5 GHz.

33


Solución Ej.7.4.

No disponible.


Considere el circuito de la gura donde las líneas de transmisión se pueden considerar sin pérdidas.Sabiendo que en la línea de transmisión conectada al generador el coeciente de onda estacionariaes la unidad a la frecuencia en la cual la longitud de onda en la línea es λ = 100 cm, determineel valor de la impedancia Zl.

+

Vg

Z0

Z0 = 300Ω Z0

Z0

Zl

25cm

60cm


Una línea de transmisión donde se propaga un modo TEM, con dieléctrico de relleno aire eimpedancia característica Z0 = 50Ω, se encuentra funcionando a una frecuencia de 2 GHz. Lalínea de transmisión se encuentra conectada a una impedancia de carga ZL Esta impedancia seconsigue adaptar a la línea de transmisión mediante un tramo de línea de transmisión de longitudl = 2, 2cm terminada en circuito abierto y conectada en paralelo a una distancia d = 0, 66cm dela carga. Determine el valor de la impedancia de carga ZL.

+

Vg

Z0

ZLZ0Z0

Z0

d

l

Ejercicio 7.7. (junio 2015)

Dado el conjunto de líneas de transmisión representado en la gura, determine el valor de laimpedancia característica Z01 sabiendo que la potencia entregada a la carga a la frecuencia detrabajo es la potencia disponible del generador y conociendo el valor de Z02 dado por Z02 =84,09Ω y el de la impedancia de carga dado por ZL = 100Ω. La impedancia del generador es deZg = Z0 = 50Ω.

34


+

Vg

Z0

ZLZ0 Z01 Z02

λ/4 λ/4


Un generador de impedancia interna Zg = 50Ω alimenta una línea de transmisión de impedanciacaracterística Z0 = 75Ω cargada por una impedancia de carga ZL = 75Ω.Determine la impedancia de entrada a la línea y la potencia entregada a la carga.

+Vg

Zg

Z0

z = 0 z = λ/2

ZL


Considere el bipuerto de la gura:

ZP1 P2

a. Determine la matriz de parámetros S del bipuerto si Z = j15Ω y la impedancia de referenciaen los puertos es de Z0 = 50Ω.

El bipuerto del apartado anterior se carga con una impedancia Zl tal y como se muestra en lagura:

[S]

+Vg

Zg

Zl

Zg = 50Ω

Vg = 10V

b. Determine el coeciente de reexión a la entrada del bipuerto cuando éste está cargado porla impedancia de carga de valor Zl = 50 + j10Ω.

c. Determine la potencia media disipada en la carga.

35



Considere el circuito de la gura donde se representa el circuito equivalente de un dispositivoactivo a la frecuencia de 100 MHz. Datos: Z0 = 50Ω, g = 3f, Ri = 100Ω.

Ri

+

−v g · v−

P1 P2

a. Determine la matriz de parámetros S del bipuerto considerando Z0 como impedancia dereferencia.

El bipuerto es conectado a un generador de impedancia interna Z0 en el puerto 1 y a unaimpedancia de carga de valor Z0 en el puerto 2.

+

Vg

Z0

Z0Ri

+

−v g · v

b. Determine la potencia entregada a la impedancia de carga en función de la potencia dis-ponible del generador.

Con el n de adaptar el generador a la entrada del dispositivo, se introduce un bipuertoM comose muestra en la gura:

+

Vg

Z0

Z0Ri

+

−v g · v[M ]

c. Determine la potencia disipada en la carga en esta nueva condición de adaptación a laentrada del dispositivo. Describa, si lo hubiera, el benecio de introducir el Circuito deadaptación M a la entrada.

d. Diseñe el bipuerto M con elementos reactivos puros.

Ejercicio 7.11. Septiembre 2014

En la posición P de una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Z0 = 100Ωse mide el coeciente de reexión ρ = 1/2ej90

. A la derecha de P hay una sección 3λ/4 en cuyo

extremo una impedancia ZL cierra la línea. Utilizando únicamente la carta de Smith determineel valor de ZL y del coeciente de onda estacionaria S.

36


ZLZ0

P


Dado el conjunto de líneas de transmisión representado en la gura, determine el valor de laimpedancia característica Z01 de la línea y su longitud l sabiendo que la potencia entregada a lacarga a la frecuencia de trabajo es la potencia disponible del generador y conociendo el valor deZ02 dado por Z02 = 84,09Ω y el de la impedancia de carga dado por ZL = 100Ω. La impedanciadel generador es de Zg = Z0 = 50Ω.

+

Vg

Z0

ZLZ0 Z01 Z02

l λ/4


Un cable de dos metros de longitud con parámetros desconocidos ha aparecido en un cajón de unlaboratorio. Con el n de determinar los valores de sus parámetros se han realizado dos medidas.En primer lugar, se ha medido la impedancia de entrada cuando se ha dejado la salida en circuitoabierto, obteniéndose un valor de Zinca = −j75. En segundo lugar, se ha medido la impedanciade entrada cuando se ha cortocircuitado la salida, obteniéndose un valor de Zincc = j75. Se pide:

a. Determine la constante de fase del cable.

b. Determine la impedancia característica del cable.

a. Determine la constante de atenuación del cable.

Solución Ej.7.13.

a. β · l = π/4

b. Z0 = 50Ω

c. α = 0Np/m

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