relaciones-

7/21/2019 relaciones-

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RELACIONES



PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {5, 6}A x B con !a "e #o 6 $a%e "e #a #& !a

'1, 5( '2, 5( '3, 5('1, 6( '2, 6( '3, 6(

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dosconjuntos A y B es el conjunto de todos los paresordenados (x, y) donde x є A e y є B. En símbolos

A x B = {(x, y) / x є A y є B



1)¿ A x B = B x A?

No son iguales ...Por ej. si A = {a, b, c}, B = {1, 2}

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) }B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }

2)Si A y B son fini os el n!"ero #e ele"en os #eA x B es lla"a#o car#inal #e A x B y #eno a#o $or

A x B A x B = A . B

A#e"%s A . B = B . A = B x A&n onces A x B = B x A

P%o")c!o ca%!e &ano



PRODUCTO CARTESIANO DE CON*UNTOS DEIN+INITOS ELE ENTOS

A={x R-.2 ≤ x ≤ 3} yB ={x R-.1 ≤ x ≤ 2}No $o"e/o en#& !a%

#o e#e/en!o "e AxB$e%o !ene/o en e#%ec!0n )#o o/ %ea"o"e a )# !o"o #oe#e/en!o '$)n!o ( "e#/& /o4



A={x R-.2 ≤ x ≤ 3} yB ={x R-.1 ≤ x ≤ 2}Lo $)n!o "e#

%ec!0n )#oen %o a con !&!)yen e# $%o")c!o ca%!e &anoBxA

Producto cartesiano



B

1

E*E PLO2ean A = { , , y B = {1, , , . Entonces

A x B={( ,1),( , ),( , ),( , ),( ,1),( , ),( , ),( , ),( ,1).( , ),( , ),( , )3onsideremos el si"uiente subconjunto de AxB

4 = { (a, b) A x B / a 5 b ≤

A

1

6os interesan al"unossubconjuntos delproducto cartesiano



RELACIONES BINARIAS

Da"o "o con )n!o A y B, )na %e#ac& n R&na%&a e c)a#7)&e% ) con )n!o "e AxB

R 8 A 9 B

No!ac& n: S& a;A y ;B, $a%a "ec&% 7)e a e !0%e#ac&ona"o con $o% R e c%& &/o : 'a, (;R o aR

S& a no e !0 %e#ac&ona"o con , en!once 'a, (<R

S& B=A, e "&ce 7)e R e )na %e#ac& n &na%&a"e n&"a en A 4 E c%& &/o R 8 A 9 A



E*E PLOS

A# )no e#e/en!o "e #a %e#ac& n on:' 2 ,1 ( , '>, 2( , ' 1?, 5( , '2?,1?( , '1??,5?(, e!c

2ea 4 de$inida en 6 por medio de 4={(x,y)/x es el doble de y

En!once : 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 1@,3 R 1@, 3 R 21, 3 R 3, 4444

4={(x,y)/x di*ide a y 6x6



DISTINTAS +OR AS DE REPRESENTAR RELACIONES:.

7atri% Booleana8 7 4 8 9ay en la matri% si el parest# en la relaci&n y cero si no est#.:i"ra$o8 2i a4b, de a parte una $lec a acia b



RELACIONES CON NOTACI N ATRICIAL

E e/$#o: Sea U = {a, e, &, o, )},

A = {a, o} y B = { &, )}A x B= {'a,&(, 'a,)(,

'o,&(, 'o,)(}

Son %e#ac&one "e A en B:R1=

R2 = {'a,&(, 'a,)(}

R3 = {'a, &( }

R> = A x B

La matriz "e# $%o")c!o ca%!e &ano!&ene en !o"a #a #a 1 $o%7)e!o"o #o $a%e o%"ena"o e !0n en#a %e#ac& n4 a R> &, a R> ), o R > &, o R> )

La matriz "e R2 !&ene 1 en #a$%&/e%a #a $o%7)e co%%e $on"e a#e#e/en!o a "e A 7)e e %e#ac&onacon #o "o e#e/en!o i , u "e B a R2&, a R2 ) y ce%o en #a e )n"a #a

$o%7)e e# e#e/en!o o "e A no e%e#ac&ona con n&n n e#e/en!o "e Ben R2

=

00

11M R

2

=

00

01M R

3

=

11

11M R

4



DE+INICIONES:Sea R )na %e#ac& n &na%&a o %e )n con )n!o A4 D&%e/o7)e R e :

Refexiva: & x A e Fe%&G&ca 7)ex R xSimétrica: & x, y A e Fe%&G&ca 7)ex R y →y R xTransitiva: & x, y, A e Fe%&G&ca 7)ex R y, y R → x

RAntisimétrica: & x, y A e Fe%&G&ca 7)ex R y, y R x →

x = yO!%a /ane%a "e ex$%e a%#o: S&xHy → 'x,y( < R F 'y,x(

< R ]



) En N, ;x R y x di*ide a y<J es re$lexi*a ya 'ue xK ; N, x R x por'ue x di*ide a x

) En N, ;a R b a es el doble de b<.Jno es re$lexi*a ya 'ue ( , ) < R ya 'ue no es el doble de

) En , ;a R b a > b es m?ltiplo de <.Jes sim@trica ya 'ue si a R b p tal 'ue a > b = p;

b > a = ( p) con p b; R a

) En 6, ;x R y x di*ide a y<Jno es sim@trica ya 'ue R por'ue di*ide a pero no

di*ide a por lo tanto ( , ) < R

E*E PLOS8



E*E PLOS8

5( En N, MxR y J x "&F&"e a y e !%an &!&Faya 7)e & a R

y R c en!once ex& !en n, / ; N !a#e 7)e: = any c = /4 Co/ &n0n"o#a , c = / = 'a4n(4/= a'n4/(con n4/ ; N a R c

6( En N, MaR J a e e# "o #e "e no e !%an &!&Faya7)e '>, 2( ; R y '2, 1( ; R $)e !o 7)e > e e# "o #e "e2 y 2 e e# "o #e "e 1, &n e/ a% o > no e e# "o #e "e1, "e "on"e '>,1(<R

( En N, Mx R y J x "&F&"e a y e an!& &/ !%&caya 7)e &a R y R a en!once ex& !en n, / ;N !a#e 7)e: =an y a = /4 Co/ &n0n"o#a , a = / = 'a4n(4/ n4/= 1 n=/=1 a=



RESU ENRefexiva: e a!& Gace &&Kx ; A x R x no e a!& Gace && x;A- 'x,x(<R

Simétrica: e a!& Gace &&K x, y ;A x R y y R x no e a!& Gace && x, y ;A - 'x, y) ;R 'y, x( < R

Transitiva: e a!& Gace && Kx, y, ; A e Fe%& ca 7)e x R y, yR x R

no e a!& Gace && x, y, ;A:'x, y( ; R 'y, ( ;

R 'a, ( < R

Antisimétrica: e a!& Gace && Kx, y ; A e Fe%& ca 7)e x Ry, y R x x = y no e a!& Gace && x, y;A: 'x, y( ; R 'y, x( ; R x Hy



AN LISIS DE LAS RELACIONES SEVWN LA ATRIQ R X SU VRA+O DIRIVIDO'DIVRA+O(

Sea R )na %e#ac& n &na%&a o %e )n con )n!o A4 D&%e/o 7)e R e :Refexiva:

S& en #a "&a ona# $%&nc&$a# "e #a /a!%& R !o"o #o e#e/en!o on 1 ' ATRIQ( To"o e#e/en!o !&ene )na YecZa 7)e co/&en a y !e%/&na en [ /& /o ')n)c#e(4 'DIVRA+O(

Simétrica:

S&& R = ' R(!

: La /a!%& a oc&a"a a #a %e#ac& n co&nc&"e con ) !%a $)e !a4' ATRIQ( To"o $a% "e e#e/en!o 7)e !&ene )na YecZa, #a !&ene en #a "o "&%ecc&one'DIVRA+O(

Transitiva: Sea R2 = R x R 'P%o")c!o oo#eano "e /a!%&ce (

S&& e# e#e/en!o "e #a #a & co#)/na "e R2 e 1 en!once e# e#e/en!o "e R en

#a /& /a $o &c& n !a/ & n e 1 e "ec&% #a %e#ac& n R 2 e )n ) con )n!o "e Ren $a%!&c)#a% $)e"en co&nc&"&%4' ATRIQ(La %e#ac& nR e !%an &!&Fa & ca"a Fe 7)e Zay )n ca/&no "e #on &!)" 2 en!%e"o e#e/en!o , !a/ & n Zay )n ca/&no "e #on &!)" )no en!%e #o /& /o 4'DIVRA+O(

Antisimétrica :

S&& Zay 1 en #a #a & co#)/na "e R en!once Zay ? en #a /& /a $o &c& n "e' R(! y F&ceFe% a, a#Fo en #a "&a ona# $%&nc&$a#4' ATRIQ(



RELACIONES DE ORDEN:DE+INICI N X NOTACI N

Da"a )na %e#ac& n &na%&a R "e n&"a o %e A, e "&ce 7)e R e )na RELA !"N #E

$R#EN en A & Fe%& ca #a $%o$&e"a"erefexiva% antisimétrica% transitivaSe "&ce en!once 7)e A e !0 o%"ena"o $o% RNo!ac& n

U!&#& a%e/o e# [/ o#o \ $a%a #a relaciones "e o%"en

a R a \ Se #ee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o

igual)D& !&n!arelaciones o %e )n /& /o con )n!o, "an #) a% a "& !&n!o con )n!o

o%"ena"o 4

a, ; A on compara&les & a R o R a



ORDEN TOTAL X PARCIAL

'A, \( e !0 totalmente or'ena'o & c)a#7)&e% $a%"e e#e/en!o on co/$a%a #e , e "&ce en!once7)e \ e "e or'en total 4En o!%o ca o, e "&ce 7)e

'A, \( e !0 parcialmente or'ena'o y 7)e \ e "eor'en parcial 4

Por ejemplo:

1( 'N, ≤( e )n con )n!o !o!a#/en!e o%"ena"o4

2( Sea U = {1, 2, 3} y en P'U( = { , {1} {2} {3}{1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}} e "e ne #a %e#ac& n MA R B && A B 4 ' P'U(, R) no e )n con )n!o !o!a#/en!e o%"ena"o

ya 7)e ex& !en e#e/en!o !a#e co/o {1} y {2, 3}



E*E PLO

En N, a \ J n ; N - =a n

E )na %e#ac& n "e o%"en ya 7)e e :

%eYex&Fa: a=a1 Ka;N

an!& &/ !%&ca: Ka, ;N & a \ y \ a n,/ ;N -=a ny a= / , en!once = / ]n= /^n #)e o /^n=1 yco/o n,/ ;N /=n=1, a [ a=

!%an &!&Fa: Ka, ,c;N & a \ y \ c n,/ ;N- =a ny c= / , en!once c= a n]/ =a n^/ #)e o c=a n^/ , &_ = n4/, _;N -c=a _, e "ec&%, a \ c



ELE ENTOS NOTABLES

Da"o 'A,\( y C`A, CH a;A e cota superior "e C & Kc;C, c\a C e !0aco!a"o )$e%&o%/en!e

La /eno% "e #a co!a )$e%&o%e e e# supremo 4

a;A e cota in(erior "e C & Kc;C, a\c C e !0aco!a"o &nGe%&o%/en!e

La /ayo% "e #a co!a &nGe%&o%e e e#)n*mo+

E# )$%e/o y e# [n /o, & ex& !en, Zan "e e%co/$a%a #e con e# %e !o "e #a co!a )$e%&o%e o&nGe%&o%e , %e $ec!&Fa/en!e4



ELE ENTOS NOTABLES 'B(

Da"o 'A,\( y C`A, CHa;C e elemento maximal "e C & Kc;C, a\c a=c

/;C e m ximo "e C & Kc;C, c\/& ex& !e, e e# n&co e#e/en!o /ax&/a# "e C

a;C e elemento minimal "e C & Kc;C, c\a a=c4

/;C e m)nimo "e C & Kc;C, /\c& ex& !e, e e# n&co e#e/en!o /&n&/a# "e C



ELE ENTOS NOTABLES'CONTINUACI N(

P)e"en ex& !&% )no, Fa%&o o n&n n e#e/en!o/ax&/a# y /&n&/a#4

E# /0x&/o '/[n&/o(, c)an"o ex& !e, e e# n&coe#e/en!o /ax&/a# '/&n&/a#(4

S& en C ex& !e )$%e/o '[n /o( e n&co4

S& C !&ene /0x&/o '/[n&/o( co&nc&"e con e#)$%e/o '[n /o(4



Sea 'A, R ( e )n con )n!o $a%c&a#/en!e o%"ena"o yn&!o4

A ca"a e#e/en!o "e# con )n!o A e #e a oc&a )n$)n!o en e# $#ano 'o en e# e $ac&o(, 7)e##a/a%e/o F %!&ce4

Un "&a %a/a "e ba e e e# %0 co %e )#!an!e a#)n&% "o e#e/en!o con ec)!&Fo /e"&an!e )n

e /en!o "e %ec!a, 7)e ##a/a%e/o a%& !a4Ejemplo : Sea A = {a, ,c} y #a %e#ac& n R

R = {'a,a(, ' , (, 'c,c(, ' ,a(, ' ,c(, 'a,c(}

E "e o%"en !o!a#4

DIAVRA AS DE bASSE:



E*E PLOS1( Sea B = {1, 2}, en P'B (= { , {1}, {2}, {1,2}} e "e ne #a

%e#ac& n "e &nc#) & n, #a c)a# e "e o%"en $a%c&a# {1} {1,2} y {2} {1,2}

En!once , - es el elemento maximal y es el elementominimal , $)e no ex& !e o!%o e#e/en!o en P'B ( 7)e e ! M$o%"e a o "e# /&n&/a#, n& M$o% enc&/a "e# /ax&/a#

E# e#e/en!o m ximo 'e ./-0 e e# e#e/en!o /ax&/a# B, e#)n&Fe% o y e# e#e/en!o m)nimo "e P'B( e e# con )n!oFac[o4

2( En e# con )n!o C = { , {1}, {2}} e "e ne #a %e#ac& n "e&nc#) & n4 O e%Fa% 7)e {1} y {2}4 es el elemento minimal 1 es el m)nimo "e# con )n!o Cy !an!o 34 co/o 24 son los elementos maximales+

No existe elemento m ximo en



DIAVRA A DE bASSE PARA LA RELACI N INCLUSI NEN P'B(



:ia"rama de 9asse para A = { , , , 0, C, con la

relaci&n;(a, b) R sii a

di*ide a b 8 aDb<bser*amos 'ue no est#n

relacionados8 con con 0 con +a relaci&n es de orden parcial ya

'ue no todo par de elementoses comparable

4etorno

DIAVRA A DE bASSE 'CONTINUACI N(



Re#ac&one "e e7)&Fa#enc&a



2ea A un conjunto no *acío en el conjunto Fni*ersal U .

Fna relaci&n binaria 4 sobre A, es una relación de equivalencia si 4 satis$ace las tres propiedades8

4 es re$lexi*a

4 es sim@trica

4 es transiti*a

Fna relaci&n de e'ui*alencia identi$ica los elementos deun conjunto 'ue satis$acen una misma propiedad y losllama elementos equivalentes .

RELACIONES DE E UIdALENCIA



CLASES DE E UIdALENCIA

Definición :2ea 4 una relaci&n de e'ui*alencia en un conjunto A no *acío.

2ea a A, llamaremos ; clase de equivalencia de a” y laescribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos 'ue

est#n relacionados con a, es decir[a] = { x A x ! a "

#$e%&lo :

+a relaci&n 4 sobre 8a 4 b a > b es m?ltiplo de .9ay dos clases de e'ui*alencia distintas, la del 1 y la del 8

G1H = { 1, I , I , I ,J y G H = { I , I , I-,J



CLASE DE E UIdALENCIADefinición :

2ea 4 una relaci&n de e'ui*alencia en A. El conjunto de lasclases de e'ui*alencia se llama con$unto cociente de A por4.

El conjunto cociente es una partici&n de A

En e$ecto,

+as clases de e'ui*alencia son disjuntas dos a dos. +a uni&n de todas las celdas coincide con el conjunto A.

[ ]{ }Ax xA !

=



CLASE DE E UIdALENCIADe%ostración:

) 2ean M x, My A GxH= GyH GxH∩ GyH =

i) 2i x 4 y GxH= GyH sea % GxH % 4 x x 4 y % 4 y (transiti*idad)

% GyH, de donde GxH GyH.

4a%onando de manera similar se prueba 'ue GyH GxH.

!or lo tanto, GxH = GyH.

ii) 2i (x,y) 4 entonces GxH ∩ GyH = .En e$ecto, si existiera % GxH∩ GyH entonces % 4 x % 4 ypor lo tanto, x 4 y, lo cual es un absurdo.



CLASE DE E UIdALENCIA

[ ]xx

Ax

[ ]x A Ax

De%ostración:

) Neamos 'ue

En e$ecto, si Mx A, como 4 es re$lexi*a, x 4 x x GxH

[ ]x A Ax

=

[ ] Ax Ax

[ ] [ ] A%%4x A,xal"?npara,x%x% Ax

!or otro lado, sea % tal 'ue



E*E PLOS

!elaciones de equivalencia

) +a relaci&n 4 sobre ( 5)x( 5) de$inida por8 (x,y) 4 (a,b)

x5y = a5b

) +a relaci&n 4 sobre de$inida por8 (x,y) 4 (a,b) x.y = a.b2e puede demostrar 'ue ambas son relaciones de e'ui*alencia ya 'ue

*eri$ican las propiedades re$lexi*a, sim@trica y transiti*a. Acontinuaci&n *eremos los conjuntos cocientes de ambasrelaciones



PARTICI N DE 'Q (f 'Q (

Con )n!o coc&en!e "e'x,y(R'a, ( && x y=a , R"e n&"a o %e 'Q (x 'Q (#o $)n!o '%e a#!a"o (,)n&"o $o% !%a o$e%!enecen a #a /& /a c#a e

"e e7)&Fa#enc&a, e !o e : '> 5(]={'2 (, '1 @(, '3 6(,'5 >(, '6 3(, ' 2(}

'2 2(]={'1 3(, '3 1(}En e# %0 co Fe/o'> 5(], '> >(], '> 3(],'> 2(], '> 1], '3 1(], '1 2(]



PARTICI N DE 2

'x,y(R'a, ( && x4y=a4 , R "e n&"ao %e 2 #o $)n!o 7)e e !0n en)na /& /a c)%Fa $e%!enecen a #a/& /a c#a e "e e7)&Fa#enc&a, e !oe : '12 2(]={'1? 2,>(, '2,> 1?(, '.

1? .2,>(, '.12 2(ggg4} $)n!o en#a c)%Fa ce#e !e '!o"o ( '12 1(]={'1? 1,2(, '1,2 1?(, '.12 .1(, '.>,@ .2,5(, '>,@ 2,5(ggg4},$)n!o en #a c)%Fa %o a '!o"o (

relaciones-

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